生命表构造理论

保险精算学-笔记-涵盖（利息,⽣命表,寿险精算及实务,⾮寿险,风险理论,内容丰富）第⼀章：利息理论基础第⼀节：利息的度量⼀、利息的定义利息产⽣在资⾦的所有者和使⽤者不统⼀的场合，它的实质是资⾦的使⽤者付给资⾦所有者的租⾦，⽤以补偿所有者在资⾦租借期内不能⽀配该笔资⾦⽽蒙受的损失。

⼆、利息的度量利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量⽅式有1、按照计息时刻划分：期末计息：利率期初计息：贴现率2、按照积累⽅式划分：（1）线性积累：单利计息单贴现计息（2）指数积累：复利计息复贴现计息（3）单复利/贴现计息之间的相关关系单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。

单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。

时，相同单复利场合，复利计息⽐单利计息产⽣更⼤的积累值。

所以长期业务⼀般复利计息。

时，相同单复利场合，单利计息⽐复利计息产⽣更⼤的积累值。

所以短期业务⼀般单利计息。

3、按照利息转换频率划分：（1）⼀年转换⼀次：实质利率（实质贴现率）（2）⼀年转换次：名义利率（名义贴现率）（3）连续计息（⼀年转换⽆穷次）：利息效⼒特别，恒定利息效⼒场合有三、变利息1、什么是变利息2、常见的变利息情况（1）连续变化场合（2）离散变化场合第⼆节：利息问题求解原则⼀、利息问题求解四要素1、原始投资本⾦2、投资时期的长度3、利率及计息⽅式4、本⾦在投资期末的积累值⼆、利息问题求解的原则1、本质任何⼀个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求⼀的问题。

2、⼯具现⾦流图：⼀维坐标图，记录资⾦按时间顺序投⼊或抽出的⽰意图。

3、⽅法建⽴现⾦流分析⽅程（求值⽅程）4、原则在任意时间参照点，求值⽅程等号两边现时值相等。

第三节：年⾦⼀、年⾦的定义与分类1、年⾦的定义：按⼀定的时间间隔⽀付的⼀系列付款称为年⾦。

原始含义是限于⼀年⽀付⼀次的付款，现已推⼴到任意间隔长度的系列付款。

2、年⾦的分类：（1）基本年⾦约束条件：等时间间隔付款付款频率与利息转换频率⼀致每次付款⾦额恒定（2）⼀般年⾦不满⾜基本年⾦三个约束条件的年⾦即为⼀般年⾦。

第八节 有关分数年龄的假设
基本原理:插值法 基本原理 插值法 1）均匀分布假定(线性插值 ）均匀分布假定 线性插值) 线性插值 2）常数死亡力假定 几何插 ）常数死亡力假定(几何插 值) 3）Balducci假定 调和插值 假定(调和插值 ） 假定 调和插值)
均匀分布假定(线性插值 均匀分布假定 线性插值) 线性插值
选择和终极表：选择效果和终极表合在一起 选择和终极表：选择效果和终极表合在一起. 表2-3 假定两位老人今年都是65岁 例.假定两位老人今年都是 岁，甲老人是今年刚刚体检合 假定两位老人今年都是 格购买的保险，乙老人是10年前购买的保险 年前购买的保险， 格购买的保险，乙老人是 年前购买的保险，至今仍在保障 范围内。使用表2-3的选择 的选择-终极生命表估计两位老人分别活 范围内。使用表 的选择 终极生命表估计两位老人分别活 岁的概率。 到73岁的概率。 岁的概率
剩余寿命的期望和方差
∞ w−x
o
期望剩余寿命：剩余寿命的期望值 均值 均值),简记 期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(均值 简记 ex
ex = E(T(x)) = ∫ t ⋅ fT (t)dt =
0
o
∫
0
t
pxdt
o2
剩余寿命的方差： 剩余寿命的方差：
Var(T(x)) = E(T(x)2 ) − E(T(x))2 = 2 ∫ t ⋅ t pxdt −ex
s(x + t) = (1−t)s(x) +ts(x +1) , 0 < t <1
q[x]+n 编制的生命表称为选择生命表 编制的生命表称为选择生命表.
若选择期为r年 投保期超过 年的同一年龄上的死亡概率 若选择期为 年，投保期超过r年的同一年龄上的死亡概率 相等. 相等

Pr(x X z) s(x) s(z)
人类寿命生存函数曲线图示
生存函数
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 1
21
41
61
81
101
年龄
例2.1
假设某人群的生存函数为
S(x) 1 x , 0 x 100 100
求： S(x) 1 x 100 一个刚出生的婴儿活不到50岁的概率； 一个刚出生的婴儿寿命超过80岁的概率； 一个刚出生的婴儿会在60～70岁之间死亡的概率； 一个活到30岁的人活不到60岁的概率。
死亡效力
定义：(x) 的瞬时死亡率，简记x
x


S ( x) S ( x)

f (x) S ( x)

ln[S(x)]
死亡效力与生存函数的关系
x
S(x) exp{ sds} 0
xt
t px exp{ sds} x
人类的死亡效力曲线图示
死亡效力
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
中老年时期属于人类的加速死亡时期。在这段时间里，身体各器 官逐渐老化，开始罹患各种疾病。在可靠性理论中，称这段时期 为加速失效期。
死亡效力
死亡效力与密度函数的关系
f (x) S(x) x
死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g(t)
G(t)
1
t
px

S(x) S(x S(x)
剩余寿命
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能
继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
剩余寿命与寿命变量图示
剩余寿命
剩余寿命的生存函数t px
t px Pr(T (x) t) Pr( X x t X t) S(x t) S(x)

设生存分布函数
s(t ) e , t 0, 其中 0为参数。 求死亡力（t）,（t）,F t）。 f （
t
例1.1答案
(t ) e t -s 根据定义：（t）= t s (t ) e f (t ) - s(t ) e
t t

死亡效力与生存函数的关系
s( x) exp{ s ds}
0 t x x t
px exp{ s ds} exp{ x s ds}
x 0
t
死亡效力

死亡效力与密度函数的关系
f ( x) x s( x) x exp{ s ds}
死力的性质
1、当x 0时， x 0； 2、对于任意x 0，都有 3、 x 是死力，则
＋ t 0 ＋ x
s ds ；
p x s ds 1
死力性质2的证明
s( x t ) 证：性质 、显然成立,由于t p x＝ 13 , 且 lim s( x) 0 s ( x) x 故有lim t p x＝lim
/(n 1)} , k 0, n 0, x 0
参数模型的问题




至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。 这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生 很大的误差 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而 是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的 分布。
0
x

死亡效力表示剩余寿命的密度函数 fT (t ) & g (t )
s ( x) s ( x t ) FT (t ) t qx 1 t px s ( x) d d s ( x) s ( x t ) s ( x t ) x t fT (t ) FT (t ) t px x t dt dt s ( x) s ( x)

生命表起源
• 生命表的定义
– 生命表是用表格的行使来反映生命的变化规 律，又称为死亡表，是一定时期、一定数量 的人口从生存到死亡的统计记录。它反映了 整数年龄的人在整数年内生存或者死亡的概 率分布情况。
• 生命表的发展历史
– 1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡 名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表 的最早起源。 – 1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬 统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用 了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因 而把Halley称为生命表的创始人。
s '( x) f ( x) x [ ln s( x)]' s ( x ) 1 F ( x)
• 死亡效力与生存函数的关系
s( x) exp{ s ds}
0 t x
(1.4)
px exp{ s ds}
x
x t
• 含义：
s ( x) s ( x x ) x lim x0 x s ( x) P{x将在 x x岁之前死亡} lim x0 x x瞬间死亡的比率
生命表基本函数
• lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。 • ndx：在x~x+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dx • nqx：x岁的人在x~x+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为qx
生存分布
• 一、新生儿的生存函数
• 二、x岁余寿的生存函数
• 三、死亡力
• 四、整值平均余寿与中值余寿
• 人类的“浴盆曲线”意味着：
– 刚出生的婴儿是脆弱的，死亡效力非常高。这是因为各种先天性的不足都 会在这个时期暴露。经过淘汰先天不足的孩子，死亡效力逐渐下降。 – 青壮年时期是人类死亡效力最低的时期。在这段时间里，身体各部位都属 于良好运作阶段，身体属于“偶然失效期”。 – 中老年时期属于人类的加速死亡时期。在这段时间里，身体各器官逐渐老 化，开始罹患各种疾病。在可靠性理论中，称这段时期为加速失效期。

§4.2 基本生命函数
一些基本生命函数 l x ：0岁人中活到x岁的人数 1． 2． d x ：0岁的人在x岁与（x+1）岁之间死亡的人数 px ：x岁的人（简记为(x)）在未来一年之间的生存 3． 概率 px P(T 1) 4． qx ：(x)在未来一年之间的死亡概率 qx P(T 1) 5． Lx ：(x)在未来一年之间的平均生存人年数 6． Tx ：(x)的累计生存人年数
第四章 生命函数
基本随机变量 基本生命函数
生命表 理论
一死亡法则
生命表的编制与选择
本章中英文单词对照
死亡年龄 生命表 剩余寿命 整数剩余寿命 死亡效力 极限年龄 选择与终极生命表

Age-at-death Life table Time-until-death Curtate-future-lifetime Force of mortality Limiting ate Select-and-ultimate tables

t
qx Pr(T ( X ) t ) pr ( x X x t X x) s ( x) s ( x t ) s ( x)
S ( x) S ( x t ) l x l x t t qx S ( x) lx
§4.3 一般整数年龄生命函数
4、
生命表的构造
l0个新生生命能生存到年龄X的期望个数： lx
lx l0 s( x)
l0 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望
个数： n dx 特别：n=1时，记作 d x
n
d x l x l x n l x n qx

02
生命表的基本概念
生命期望
总结词
生命期望是描述一个个体预期能够生存的年数，基于其年龄和性别。
详细描述
生命期望是生命表分析中的一个重要指标，它表示一个个体预期能够生存的年数。这个指标基于年龄和性别进行 计算，反映了不同年龄和性别的个体在特定条件下的预期寿命。生命期望的计算有助于了解不同人群的生命风险 和生存状况，为制定相关政策和措施提供依据。
生命表分析在保险精算中发挥着关键作用，通过对不同年 龄、性别、地区等人群的生命数据进行统计分析，评估保 险产品的风险和价值，为保险公司制定保险策略、产品设 计等提供科学依据。
健康风险评估
总结词
健康风险评估是生命表分析在健康领域的应用，通过分 析人口健康数据，评估个人和群体的健康风险。
详细描述
生命表分析在健康风险评估中发挥着重要作用，通过对 健康状况、疾病发病率、死亡率等数据的分析，评估个 人和群体的健康风险，为制定健康管理策略、预防措施 等提供科学依据。同时，生命表分析还可以用于评估新 药、新治疗方法的疗效和安全性。
风险函数
总结词
风险函数描述了在给定年龄段内个体死亡或 患病的概率。
详细描述
风险函数是生命表分析中用于描述个体在给 定年龄段内死亡或患病的概率的函数。这个 函数提供了关于健康风险的综合信息，有助 于深入了解不同年龄段的健康状况和潜在的 健康问题。通过比较不同群体或不同时期的 风险函数，可以评估健康状况的变化趋势，
未来人口变化的不确定性问题
总结词
未来人口变化的不确定性是生命表分析面临的另一个 挑战。
详细描述
生命表分析通常需要对未来人口变化进行预测和估计， 但这些预测和估计可能存在不确定性。未来人口变化受 到多种因素的影响，如生育率、死亡率、移民率等，这 些因素的变化可能难以准确预测和估计。此外，未来人 口变化的趋势也可能受到政策和环境变化的影响，进一 步增加了预测的不确定性。因此，在生命表分析中，需 要充分考虑未来人口变化的不确定性问题，并采取适当 的策略和方法来处理和减少这种不确定性对分析结果的 影响。

uxt
整值剩余寿命
定义：(x未) 来存活的完整年数，简记 K (x)
K(X ) k, k T (x) k 1, k 0,1,
概率函数
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) q k1 x k qx k px p k 1 x k px qxk k qx
1
S0x t S0x
S0
x S0x S0x
t
精算符号
剩余寿命的生存函数 t p：x
t px Pr T x
t
Sx
t
S0 x S0
t x
1
t
qx
特别：
x p0 S0 x
精算符号
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概
率
px 1 px
qx
：x岁的人将q在x 11年qx内死亡的概率
t u qx
剩余寿命的期望与方差
完全平均余寿：(x)剩余寿命的期望值(均值),简
记
o
ex
o
ex E(T (x)) td (1 t px ) t pxdt
0
0
剩余寿命的方差
o2
Var(T (x)) E(T (x)2) E(T (x))2 2 t t pxdt ex
0
整值剩余寿命的期望与方差
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还 能继续存活的时间，称为剩余寿命，记 作T(x)。
分布函数
定义
F0 (t) Pr[T 0 t]
意义：新生儿在 t岁之前死亡的概率。
定义： Fx (t) PrT x t
意义：x在 年t 之内死亡的概率。
定义：密度函数 f (x) F(x)
De Moivre模型(1724)

即为 l0 个个体在年龄段[x,x+t)预计的总生 存时间的和，它恰等于 l x s 对s在区间[0,t) 上的积分。
用 l x 表示未来生存年数的期望：
1）生存整数年数的期望

l lx n x n ex n px n 1 lx n 1 n 1 l x


0 0
dlx 证明：由于有 dx lx ( x) ，可以得到

t
0
slx s ( x s )ds tlx t slx s ds tlx t
0
t
利用分部积分法，令 u s, dv lx s ds
则有 du ds, v lx s ds l x s
q25 1 l26 975222 1 0.000945 l25 976144
赔付额随机变量的数学期望为
100 000 0.000 945 0 (1 0.000 945) 94.5.
所以基于公平原则，投保人应付的纯保费应为94.5元。
1、假设生命表存活人数函数
lx 10000(1
计算 （1）死亡力函数 x （2）在该生命表中三个60岁的人都能活到80岁概率； （3）60岁的人剩余寿命随机变量密度函数。
x ), 110
2、设死亡力 试求

x

x , 0 x 100 100 x
（1）随机变量T0的分布函数与密度函数 （2） P(20 T0 40)
（3）P(30 T0
第四节 生命表
一、生命表的起源

生命表的定义
生命表也称死亡表，是对相当数量的人口自出
生(或一定年龄)开始，直至这些人口全部去世为止

[x]
q[ x ]
选择表
q [ x 1]
q[ x 2]
终极表
q[ x 3] q[ x 4]
q x5
x5
64 65 66 67
.0249 .0273 .0298 .0326
.0354 .0387 .0424 .0464
.0447 .0489 .0535 .0586
.0554 .0607 .0664 .0727
解2.6
(1) e 7 0 l70 l71 l72 l73 l70 1 0 0 0 8 0 0 4 0 0＋ 1 0 0 1000 2 .3
( 2 ) l 7 1 t 8 0 0 (1 t ) 4 0 0 t L71 m 71 (3 ) a ( 7 2 ) 1 2
解2.7

8
则甲老人能活到73岁的概率为
p [ 6 5 ] (1 q [ 6 5 ] )(1 q [ 6 6 ] )(1 q [ 6 7 ] )(1 q [ 6 8 ] )(1 q [ 6 9 ] )(1 q 7 0 )(1 q 7 1 )(1 q 7 2 ) 0 .5 7 5 4 0 3

1 0
l7 1 t d t 400 600

1 0
8 0 0 (1 t ) 4 0 0 td t 6 0 0 2 3
d 71 L71

四、选择-终极生命表

选择-终极生命表构造的原因
– 需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体 检的新成员的健康状况会优于很早以前接 受体检的老成员。 – 需要构造终极生命表的原因：选择效力会 随时间而逐渐消失
例2.7

假定有两位老人今年都是65岁。甲老人 是今年刚刚体检合格购买的保险，乙老 人是10年前购买的保险，至今仍在保障 范围内。使用上面给出的选择－终极生 命表估计两位老人分别能活到73岁的概 率。

四版生命表-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以包括以下内容：生命表是统计学中常用的一种工具，用于描述人口或其他生物群体在不同年龄下的存活率和死亡率。

它是人口学研究和社会科学领域的重要工具，在人口发展、医疗卫生、社会保障等方面具有广泛的应用。

四版生命表是生命表的一种改进版本，相比于传统的三版生命表，它在数据的收集和处理上做了更多的优化，能够更准确地反映不同年龄下的生存状况和死亡风险。

四版生命表能够提供更全面、详细的人口统计信息，为社会科学研究和人口政策制定提供更科学、精准的依据。

四版生命表的构建方法主要包括数据收集、数据清洗、计算生命表的基本指标等步骤。

通过收集大量的人口数据，如出生率、死亡率、人口迁移情况等，可以建立一个全面的人口数据平台。

然后，通过对数据进行清洗和整理，排除异常值和错误数据，确保构建的生命表数据的准确性和可靠性。

最后，利用统计学方法和模型，计算得出生命表的基本指标，如年龄特定的死亡率、预期寿命等。

四版生命表在人口学研究和社会科学领域具有重要的应用价值。

它可以帮助我们了解不同年龄和性别群体的生存状况和死亡风险，为人口政策制定提供科学依据。

同时，四版生命表还能够分析不同因素对人口寿命和健康状况的影响，为公共卫生和医疗卫生建设提供有益的参考。

然而，四版生命表也存在一定的局限性。

一方面，生命表所依赖的数据需要具备一定的可靠性和完整性，而在一些发展中国家或地区，数据的收集和整理工作仍然存在一定的困难。

另一方面，生命表只能提供静态的人口统计信息，不能反映人口的动态变化和迁移情况。

未来的发展方向包括进一步完善四版生命表的构建方法，提高数据的质量和可靠性，加强对数据的动态更新和跟踪，以更好地反映人口的变化和发展趋势。

同时，还可以结合其他人口统计学方法和模型，探索更多的人口特征和群体特征，为人口研究提供更全面、深入的分析和解读。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构展开对四版生命表的讨论。

t
（7） t qx FT (x) (t) 0 s px (x s)ds ；

（8）
qx

lim
t
FT
(
x
)
(t
)

0 t px (x t)dt 1；
（9）
d dt
t
px

d dt
(1
t qx )


d dt
t qx

t
px ( x
t)；
（10） lim xn ( y)dy . n x
上式中，当 u=1 时，则可简记为 t| qx 。 注：由前面的讨论，我们有，
（1）t qx

SX (x) SX (x t) SX (x)
；
（2）t
px

SX (x t) SX (x)
（3）t|u qx t px tu
； px

SX
(x
t) SX (x SX (x)
t
u)
)


S
X '( SX
x (
t x)
)
注：关于T（x）的概率都是已知 X x 时相应的 X 的条件概率。
类似地，我们定义一个x 岁的人在 t 年后活着的概率 ST (x) (t)为： ST (x) (t)=Pr(T(x)>t)=1 FT (x) (t)
=1 SX (x) SX (x t) SX (x)
例1-4. 对于例1-1中的 X ，求 (x) 。
解：黑板演示
第二节 生命表函数
一、生命表的概念 二、 lx 函数 三、d x函数
一、生命表的概念

t qx Pr(T ( X ) t) pr(x X x t X x) s(x) s(x t) s(x)
t
qx

S(x) S(x S(x)
t)

lx
lxt lx
§4.3 一般整数年龄生命函数
4、 ❖
q f n x
❖ 表示（x）在未来f年内生存，在之后的n年 内死亡的概率。
f
n q
x
S(x
f ) S(x S(x)
f
n)

f
px n qx f
5、死亡效力(p57)
❖ 定义：(x) 的瞬时死亡率，简记 x
x
s(x) s(x)

f (x) s(x)
ln[s(x)]
❖ 死亡效力与生存函数的关系
x
s(x) exp{ sds} 0
❖ 一些基本随机变量 ❖ 1、X：新出生的婴儿或0岁的人在死亡时的年龄 ❖ 2、F(x)：X的分布函数
F(x) P(X x)(x 0)
❖ 表示新出生的婴儿尚未能活到x岁便发生死亡的概率
❖
§4.1 基本随机变量
❖ 3、S(x)：新生婴儿能活到x岁的概率值。 ❖ （1） S(0) 1 ❖ （2） S() 0 ❖ （3）S(x)是关于X的递减连续函数
w x 1
w x 1
ex E(K (x)) k k qx k px
k 1
k 1
完全平均余命
❖ 表示存活到 x岁的人群 ，平均还能存活的年 数。它是x岁群未来存活总人年数被 平均后的 值。即
表示出生时平均寿命，简称平均寿命。表示出 生同批人从出生到死亡平均每人存活的年数。 假 设死亡在每个年龄上都均匀分布，即

目录统计学 (1)描述统计学 (1)数理统计学 (1)市场调查方法及应用 (1)抽样调查技术及应用 (2)经济预测 (2)企业经济统计学 (2)国民经济核算 (3)证券投资统计分析 (3)市场统计学 (3)经济预测与决策 (4)风险管理 (4)统计专业英语 (4)经济与社会统计学 (4)社会统计学 (5)决策概论 (5)试验设计与质量控制 (5)企业决策支持学 (6)经济与金融统计 (6)应用随机过程 (6)应用回归分析 (7)应用时间序列分析 (7)应用多元统计分析 (7)非参数统计学 (7)SPSS软件及其应用 (8)SAS软件及其应用 (8)风险理论 (8)生命表的构造理论 (9)寿险精算实务 (9)数值分析 (9)利息理论与应用 (9)人口数学 (10)保险精算学 (10)寿险精算数学 (10)非寿险精算数学 (11)▲课程名称：统计学课程编号：043101学分：3 学时：48先修课程：高等数学、线性代数、概率论与数理统计课程内容简介：统计学是经济管理各专业的基础课程，主要内容包括：统计调查和整理、综合指标、抽样调查与推断、统计指数、相关与回归分析、时间序列分析等内容，使学生掌握并能运用统计基本方法和技术进行分析问题。

▲课程名称：描述统计学课程编号：043102学分：2.5 学时：40先修课程：高等数学、线性代数、概率论、数理统计学课程内容简介：描述统计学是统计专业的基础课程，主要内容包括：统计设计、统计调查、统计整理和统计分析，以提高科学研究和实际工作能力。

通过本课程的教学，使学生明确统计的特点和作用，理解并记忆统计学的有关基本概念和范畴，掌握并能运用统计基本方法和技术。

▲课程名称：数理统计学课程编号：043103学分：3 学时：48先修课程：高等数学、概率论课程内容简介：数理统计是在概率论的基础上建立的一门学科。

其主要研究对象是利用一定的数学模式来描述不确定性现象的统计规律，主要包括统计分布、参数估计、假设检验及线性回归分析等内容。

tu
t +u
px
条件生存函数
进一步地，有：
t |u
qx = Pr(t < T ( x ) ≤ t + u ) = Pr(T ( x ) > t ) ⋅ Pr(T ( x ) ≤ t + u | T ( x ) > t ) = t px ⋅ u qx +t
条件生存函数：
t +u
px =
t |u
px = t p x ⋅ u px +t =
u|t
p x = u p x ⋅ t p x +u
特别地，有：
x +t
p0 = x p0 ⋅ t px
整值剩余寿命
定义：( x)未来存活的完整年数，简记 K ( x)
K ( X ) = k, k ≤ T ( x) < k + 1, k = 0,1,L
概率函数
Pr( K ( X ) = k ) = Pr(k ≤ T ( x) < k + 1) = k +1 qx − k qx = k px − k +1 px = k px ⋅ qx + k = k qx
生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参 数方法）
生命表的分类
总体上可分为：国民生命表和经验生命表两大类。 国民生命表：完全生命表和简易生命表。 经验生命表：由寿险公司编制。分为： 综合生命表：仅考虑到达年龄（被保人已经达到的年 龄）而不考虑进入年龄（被保人投保时的年龄）。国民 生命表和终极和进入年龄的生命表。 终极生命表：按照承保选择的影响消失后的死亡率数 据编制而成的生命表称为终极表。 选择-终极生命表：选择表和终极表编制在同一张表 格中。

qx Pr T t k qx k px s qx k
令s t k , s 0,1 则：
t
2.3.2
显然对于s 0,1，上式中的 s qx k 无法直接利用生命表计算。因此 必须对分数年龄的概率分布做出某种假设。
二.关于分数年龄的三种常用假设
t
px 1 t qx ,
t 0,1
3.分数期死亡效力 x t , t 0,1
x t
d S x t dt S x t
由于 S x t 1 t S x tS x 1，则
常数分数期生命函数与整数函数之间的关系
l x t 1 t l x tl x 1 ,
等价公式
S x t 1 t S x tS x 1 ,
t 0,1
t 0,1
分数期死亡均匀分布的生存函数见图2-1；
图2-1.分数期死亡均匀分布的生存函数图
Pr K k k qk k px qx k qx k px j qx k 1 qx j 2.3.1
j 0 j 0 k 1 k 1
利用生命表数据并不能确定 x 的剩余寿命T的概率分布。比如
t
qx Pr T t Pr T k Pr k T t k qx k px t k qx k
d S x t S x S x 1 dt

即 x t
1 t S x tS x 1
S x S x 1

qx 1 tqx
4.分数期剩余寿命密度函数 t px x t， t 0,1

生存分布理论（寿险精算课程I ）学习重点：掌握生存函数及其相互关系、了解三种常用非整数年存活函数估计方法和几个死亡时间的解析分布、掌握生命表基本函数及其相互关系“如果算命先生能算出人的寿命，那么还要精算师干什么？”“既然‘天有不测风云、人有旦夕祸福’，那么精算师能算出人的寿命吗？” “算一个人的寿命‘不可能’，算一群人的寿命‘可能’”人寿保险是以人的生命为保险标的，以被保险人在指定时期的生存或死亡作为保险金给付条件。

因此，被保险人的寿命分布状况，也就是被保险人能存活多久，他在各年龄段上的死亡率有多大的是保险人所关心的问题。

寿险公司的承保对象是数以万计的保险人，如此众多的人的生存（死亡）率，必定存在着某种统计规律，这就是所谓“大数法则”。

寿险精算就是要利用这种大数法则，从概率论和数理统计的角度来研究和揭示这些统计规律性，用以解决寿险精算中的实际问题。

一、寿命的分布函数、生存函数和密度函数 1、寿命的分布函数一个人的寿命是从出生到死亡的时间长度，它是无法事先确定的，这在概率论中称为随机变量，记为)0(>X X 。

人的寿命总是有限的，假设人的寿命极限为ω，则ω<<X 0。

寿命随机变量X 的分布函数为：)()(x X P x F r ≤=，0≥x)(x F 在统计中称为累积分布函数，它的概率意义是随机变量X 小于等于一个给定值x 的概率。

在此，X 表示一个0岁的人将来的寿命，)(x F 可以理解为0岁的人在x 之前死亡的概率。

显然有：0)0(=F ，1)(=ωF 。

2、寿命的生存函数寿命随机变量X 的生存函数为：)()(x X P x S r >=，0≥x在此，X 表示一个0岁的人将来的寿命，)(x S 可以理解为0岁的人能活过x 岁的概率。

或者说一个人寿命大于x 岁的概率。

生存函数与分布函数具有如下补函数关系：)(1)(1)()(x F x X P x X P x S r r -=≤-=>= 显然有：1)0(=S ，0)(=ωS 。