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近世代数知识点近世代数知识点第一章基本概念1.1集合●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A.1.2映射●证明映射：●单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。
●满射：像集合中每个元素都有原像。
Remark：映射满足结合律！1.3卡氏积与代数运算●{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A.●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。
1.4等价关系与集合的分类★等价关系：1 自反性：∀a∈A,a a;2 对称性：∀a,b∈R, a b=>b a∈R;3 传递性：∀a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R.Remark：对称+传递≠自反★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。
第二章群2.1 半群1.半群=代数运算+结合律，记作（S,）Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。
ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。
2.单位元i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。
ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。
iii.在有单位元的半群中，规定a0=e.3.逆元i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。
ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。
iii.若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。
4.子半群i.设S是半群，≠T S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个子半群ii.T是S的子半群a,b T,有ab T2.2 群1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群.ii. 加群=代数运算为加法+交换群iii.单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p).2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元=代数运算+结合律+∀a,b G,ax=b,ya=b有解3. 群的性质i. 群满足左右消去律ii.设G是群，则∀a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解iii.e是G单位元⇔ e2=eiv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群4. 群的阶群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。
近世代数知识点近世代数，又称抽象代数，是数学的一个重要分支，它为许多其他数学领域提供了基础和工具。
下面让我们一起来了解一些近世代数的关键知识点。
首先是群的概念。
群是近世代数中最基本的结构之一。
简单来说，一个群就是一个集合 G 以及定义在这个集合上的一种运算“”，满足一些特定的条件。
比如，对于集合中的任意两个元素 a 和 b，运算的结果ab 仍然属于这个集合；存在一个单位元 e，使得对于任意元素 a，都有ae ＝ ea ＝ a；对于每个元素 a，都存在一个逆元 a^（－1)，使得 aa^（－1) ＝ a^（－1)a ＝ e。
群的例子在生活中也有不少，比如整数集合在加法运算下构成一个群。
环也是近世代数中的重要概念。
一个环 R 是一个集合，上面定义了两种运算：加法“＋”和乘法“·”。
加法满足交换律、结合律，有零元，每个元素都有相反数；乘法满足结合律；乘法对加法满足分配律。
常见的环有整数环、多项式环等。
接下来是域。
域是一种特殊的环，它要求非零元素对于乘法运算构成一个群。
比如有理数域、实数域和复数域。
同态和同构是近世代数中用来比较不同代数结构的重要工具。
同态是指两个代数结构之间存在一种保持运算的映射。
如果这个映射还是一一对应的，那就是同构。
同构的两个代数结构在本质上可以看作是相同的。
在近世代数中，子群、子环和理想也具有重要地位。
子群是群的一个子集，在原来的运算下也构成群；子环是环的一个子集，在原来的两种运算下也构成环；理想则是环中的一个特殊子集，对于环中的乘法和加法有特定的性质。
再来说说商群和商环。
以商群为例，给定一个群 G 和它的一个正规子群N，就可以构造出商群G/N。
商群中的元素是由N 的陪集构成的。
近世代数中的重要定理也不少。
比如拉格朗日定理，它对于理解群的结构和性质非常有帮助。
该定理指出，子群的阶整除群的阶。
最后，我们谈谈近世代数的应用。
在密码学中，群和环的理论被广泛用于加密和解密算法的设计。
近世代数知识点第一章基本概念1.1 集合A 的全体子集所组成的集合称为A 的幂集，记作2 A.1.2 映射证明映射：单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。
满射：像集合中每个元素都有原像。
Remark ：映射满足结合律！1.3 卡氏积与代数运算{ (a,b ) la € A,b € B }此集合称为卡氏积，其中(a,b )为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A.集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。
1.4 等价关系与集合的分类★等价关系： 1 自反性：? a€ A,a~a;2 对称性：? a,b€ R, a~b=>b ~a€R;3 传递性：? a,b,c€ R,a~b,b ~c =>a ~c€ R.Remark :对称+传递工自反★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a] 表示。
第二章群2.1 半群1. 半群=代数运算+结合律，记作（S,°）Remark: i. 证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。
ii. 若半群中的元素可交换，即a°b=b °a, 则称为交换半群。
2. 单位元i. 半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。
ii. 单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元= 右单位元= 单位元。
iii. 在有单位元的半群中，规定a0=e.3. 逆元i. 在有单位元e 的半群中，存在b, 使得ab=ba=e, 则a 为可逆元。
ii. 逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元= 可逆元。
iii. 若一个元素a既有左逆元al,又有右逆元a2,则a1=a2,且为a的逆元。
4. 子半群i. 设S是半群，？ T?S若T对S的运算做成半群，贝U T为S的一个子半群ii. T是S的子半群？？a,b ET,有ab ET2.2 群1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark ：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel 群.ii. 加群=代数运算为加法+ 交换群iii. 单位根群Um={ ??€??|?叨=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL（n,P）,数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL（n,p）.2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元=代数运算+结合律+ 单位元+逆元=代数运算+结合律+ ? a,b €G,ax=b,ya=b 有解3. 群的性质i. 群满足左右消去律ii. 设G是群，则？ a,b €G,ax=b,ya=b 在G中有唯一解iii. e 是G 单位元? e2=eiv. 若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群4. 群的阶群G的阶，即群G中的元素个数，用|??表示。
第 23 讲
§8 剩余类环、同态与理想
(Residue class ring 、homomorphism and ideal)
一． 剩余类环
在前一讲中已知,当I 是环R 的理想时,仅加法而言知R I ,得到加法商群}|]{[R a I R ∈=,(在前一讲中,用记号I a a +=△][)其中群I R 中运算为][][][b a b a +=+其中每个元素a 都叫做I 的一个剩余类环且I b a b a ∈-⇔=][][. 今将说明商加群I R 中可以合理地引入一个乘法并使},,{⋅+I R 做成一环.这个乘法定义为
][][][ab b a =⋅ (或I ab I b I a +=++))(()
定义的合理性:设
][]['a a =且I a a b b ∈-⇔=''].[][且I b b ∈-',I b a a b a ab ∈-=-∴)('',且I b b a b a b a ∈-=-)(''''',()R I ][][''''b a ab I b a ab =⇒∈-⇒∴定义是合理的. 很容易验证},{⋅I R 是一个半群. 同时可以验证},{⋅I R 乘法对加法的左右分配律.故此, },{⋅I R 是一个环.
定义1.设R 为任意一个环.而 I R ,那么},{⋅I R 称作R 关于理想I 的剩余类环(也叫商环或差环),其中I R 中每个元素叫作模I 的剩余类.
例 1.设Z R =为整数环,而使}|6{6Z n n Z I ∈∀==那么]}5[],4[],3[],2[],1[],0{[6==Z I
R ,就是我们已经熟悉的“模6剩余类环”—这是整数的剩余类环.
二.环同态及同态基本定理
定义2.设21:R R →ϕ是一个环同态,那么2R 中零元的完全原象
}0)(|{)0(11=∈=-a R a ϕϕ叫作ϕ的模,通常记ϕϕKer =-)0(1.
定理1.设R R −→−
ϕ是一个环同态满射,令ϕKer I =那么 (ⅰ) I R (ⅱ)R I
R ≅ 证明:(ⅰ)对加法而言,ϕ显然是一个加群满同态,由第二章知 I R . (即I 是R 的不变子群).下面只需证明吸收律也成立即可.
.,R r I k ∈∀∈∀那么.00)()()()(I rk r k r rk ∈⇒===ϕϕϕϕ同理I kr ∈.∴ I R
(ⅱ)由第二章知,存在R I R ≅Φ:.作为群同构,其中.][I
R a ∈∀ ),(])([a a ϕ=Φ下面只需证明:I R b a ∈∀][],[,])([])([])][([b a b a ΦΦ=Φ但
][][)()()(][])][([b a b a ab ab b a ΦΦ===Φ=Φϕϕϕ.
∴ R I R →Φ:是环同构.即R I R ≅Φ
. 定理2.设R 是一个环而 I R ,那么必有环同态I R R →:ϕ.使得ϕ是满同态且模I Ker =ϕ.称这样的ϕ为环的自然同态.
证明:令I R R →:ϕ,其中][)(a a =ϕ,
显然ϕ是个满射.而且R b a ∈∀,.
)()(][][][)(b a b a b a b a ϕϕϕ+=+=+=+
)()(]][[][)(b a b a ab ab ϕϕϕ=== ∴I R R ～.至于I Ker =ϕ是显然的.
注意:上述定理1和定理2通称为环和同态基本定理.同时表明:环R 的任何商环I R 都是R 的同态象.而环R 的任何同态象实质上只能是R 的一个商环.
与群同态类似,我们可以和到一些与第二章中平行的结果. 定理3.设R R →:ϕ是环同态映射,那么
(ⅰ)若S 是R 的子环)(S ϕ⇒是R 的子环
(ⅱ)若I 是R 的理想且ϕ为满射)(I ϕ⇒是R 的理想
(ⅲ)若S 是R 的子环)(1S -⇒ϕ是R 的子环
(ⅳ)若S 是R 的理想)(1S -⇒ϕ是R 的理想
证明: (ⅰ)S b a S b a ∈∃⇒∈∀,)(,ϕ使).(),(b b a a ϕϕ==所以S b a ∈-,于是R S S b a b a b a ≤⇒∈-=-=-)()()()()(ϕϕϕϕϕ.(子群)
另外 ） （ S ab S ab b a b a ∈∈== )()()()(ϕϕϕϕ
∴)(S ϕ是R 的子环.
(ⅱ) I R ,∴I 是R 的子环)()
(I i ϕ⇒是R 的子环.须证明吸收律成立. ϕ是满射
⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∈∈⇒=∈∃⇒∈∀=∈⇒∈∀I ai I ia IR a a R a R a i i I i I i ,)(,)
()( ϕϕϕ使使 R I I ai i a i a I ia a i a i ????)()()()()()()()()(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⇒⎪⎭
⎪⎬⎫∈==∈== (ⅲ))(,1s b a -∈∀ϕ ∴S b a ∈)(),(ϕϕ, 而知
S b a b a ∈-)()(),()(ϕϕϕϕ ∴⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫∈⇒∈=∈-⇒∈-=---)()()()()()()()(11s ab S b a ab s b a S b a b a ϕϕϕϕϕϕϕϕ )(1s -ϕ是R 的一个子环.
(ⅳ)R r R r S a s a ∈∴∈∀∈⇒∈∀-)(.,)().(1ϕϕϕ R S ,∴S a r S r a ∈∈)()(,)()(ϕϕϕϕ. 于是)()()()()()()()()(111s s ra S a r ra s ar S r a ar ---⇒⎪⎭
⎪⎬⎫∈⇒∈=∈⇒∈=ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 满足吸收律.
又由(ⅲ))(1s -⇒ϕ是R 的子环.于是R s )(1-ϕ. 注意2.从定理3的证明中可知:除了(ⅱ)需要ϕ是满环同态外,其余情况都不需要ϕ是满射这个条件.。
