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第六章 责任准备金

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寿险精算学-责任准备金

寿险精算学-责任准备金

（3）净均衡保费场合资金流分析
通过这个资金流分析，可以很清楚地知道即使是在净均衡保费场合，
当期支付的保费也并不等于当期的赔付支出。这是由于死亡事故并不 是每年均衡发生的，由于人类的生存规律，死亡概率通常呈现出随剩 余寿命递增的趋势，所以在净均衡保费场合，依然是前期保费收入多 于赔付支出，后期保费收入少于赔付支出。基于这种情况，保险公司 依然要严格管理前期的剩余保费，用前期的基金余额填补以后各年的 收支缺口。
U
Ax t Pax t
用这种原理确定责任准备金的方法称为前
瞻方法
例6.2
设保险公司发行某保单，被保险人的整值剩余寿
命K的概率函数为
1 q k 0 4
k 0,1, 2,3
该保单在被保险人死亡年末给付1，年利率6%。
根据净均衡保费原则确定：
（1）在趸缴保费场合，确定在各年期末责任准备金。 （2）在净均衡保费场合，确定在各年期末责任准备金。x t u
u0 k, j Z
f ( j ) j px k qx k j j qx k
净责任准备金的确定
前瞻亏损的期望即该时刻的净责任准备金
t
V ( Ax ) E[ t L] E[v ] PE[aU ]
m
tm tm km km
Px ax k :m k ,
责任准备金的其它确定方法
保费差公式（premium-difference formula）
责任准备金等于剩余缴费期内保费差的精算现值。
缴清保险公式（paid-up insurance formula）
责任准备金等于部分受益的精算现值。
案例2解答
趸缴场合净责任准备金

第六章理论责任准备金MicrosoftPowerPo

第六章理论责任准备金MicrosoftPowerPo
t
Ex
0tn tn
0tn tn

2、
3、
t
1 t x:n
V
P s x:t t k x
0

V x:n
Px:n s x:t t k x 1
证明：

t
V x Px s x:t
Ax:t
t
1
Ex
证：设 t s t
s
Vx Axs Px axs
第六章
理论责任准备金
.

在保险合同开始生效时，投保人缴纳的纯保 费精算现值与保险金给付的精算现值相等， 即在合同生效时刻，保险人的期望损失为零。 随着时间的推移，被保险人死亡率逐渐增大， 这种等价的平衡关系被打破，未来保险金的 给付逐渐大于未来收取的保费 。
.

。
金额 A
P 0 t
一、概念
责任准备金：保险人以保险契约为依据，为 将来发生的给付而提取的基金。 二、原因 1）随着被保险人的年龄增大，死亡率越高， 保险金给付越大。 2）趸缴保费或限期交费后，保险人只有履行 赔付义务，而不再收取保费。
t
0tn tn
。

4、延期m年的终身寿险
0t m tm
mt E x t Ax m P ( m Ax )a x t:mt tV ( m Ax ) Ax t
。

5、延期年m的终身生存年金
mt E x t a x m P ( m a x )a x t:mt tV ( m a x ) a x t
A
1 x s :t
t E x s Ax s t Px (a x s:t t E x s a x s t )

保险精算课件 第6章(责任准备金)

保险精算课件 第6章(责任准备金)

例1：某人在50岁时投保了20000元的死亡 年末赔付终身寿险，假设i=6%，试计算 （1）终身缴费情况下第15年末均衡净保费 责任准备金 （2）限期10年缴费时第5年末和第15年末 均衡净保费责任准备金
2.定期寿险给付准备金
保险费每年一次，n年缴清,k年末的给付准备金
k
V
1 x:n
A
1 x k : nk
P
1 x:n
ax k : n k
保险费每年一次，h (h<n)年内缴清
h k
V
1 x:n
1 1 A P a , k h h x k : nk x : n x k : h k 1 Ax k : nk , k h
例2：李某在30岁时投保了30年定期寿险， 死亡年末给付10000元，保费限期10年均衡 缴付。假设利率i=6%。计算第8年末和第15 年末责任准备金。
2、李某在30岁时投保了30年定期寿险，死 亡年末给付1万元，假设利率i=6%，保险期 限内缴清保费。计算第10年末责任准备金。
第 6章 给付责任准备金
本章主要内容：
● 准备金的意义 ● 均衡净保费给付准备金 ● 给付准备金的递推公式 ● 会计年度末给付准备金 ● 修正的净保费给付准备金
§7.1 责任准备金的意义
金额 保险金
保费
保险年度
1. 责任准备金的定义

由于人寿保险采取均衡保费的缴费方式，因 而在投保后的一定时期内，投保人缴付的均衡纯 保费大于自然保费（或支出），此后所缴付的均
4.延期年金给付准备金
延期n年终身生存年金保险，保险费 在n年内缴清，每年缴付一次，第k年末的 给付准备金为
n k ax k P ( n a x ) a x k : n k , k n kV ( n ax ) a , k n 费从投保起在30年内每年 缴付一次均衡缴清，预定利率为6%，据附 表1计算在投保第10年末和第40年末的责任 准备金。

责任准备金

责任准备金
过去法Ak1 x: k |Ex
x k A x k Px a
将来法
kx A1 x: k |
k
常记保险成本的精算积累值为：
k
Ex

精算积累值
s x: k |
x: k | a
k Ex
1
t 1
k
t
Ex
用将来法确定 常见险种的净责任准备金
完全连续场合 完全离散场合
不同视角下的准备金

不同的评估目的会导致不同的准备金评 估方法和基础假设。

法定责任准备金 盈余准备金 税收准备金
法定责任准备金(偿付能力准备金)

是保险监管机构为确保保险公司财务状况而确定的准备金数 额的最小值，保险公司所提留的准备金必须高于这个值。 评估假设（死亡率、预定利率费用率等）和评估方法（过去 法、未来法）比较保守，从而会产生较高的负债额。 不同国家规定有所不同，我国的精算规定也分别给出传统人 寿保险、新型寿险（分红保险、投资连结保险、万能保险） 法定责任准备金的评估假设和计算方法

按被保险人缴费、保险人赔付的方式分：

净责任准备金的定义

定义：

保险公司在任意时刻对每个仍在保障范围内的被保 险人的未尽责任现时值，就称为净责任准备金。 或者说是每个现存被保险人将来的受益现值，所以 也称为受益责任准备金。 为未来可能赔付而提留的准备金，是以纯保费为基 础计算的责任准备金。
x
lx
dx

90 100 28
91 72 33
92 39 39
93 0 －
已知利率i 6%, A90 0.885301 。求各年末的责任 准备金。

保险精算课件 第6章(责任准备金)

保险精算课件 第6章(责任准备金)

2.责任准备金的计算方法 2.责任准备金的计算方法
将来法： 将来法：责任准备金是保险人未来的净责
任，用未来给付金现值减去未来净保费现 值来衡量。 值来衡量。
过去法： 过去法：它是保险人过去净保费收入大于
赔付支出部分， 赔付支出部分，用过去净保费终值减去过 去给付的保险金终值计算。 去给付的保险金终值计算。
岁时投保了从60岁起每年 例：某人30岁时投保了从 岁起每年 万元 某人 岁时投保了从 岁起每年1万 的生存年金，保费从投保起在30年内每年 的生存年金，保费从投保起在 年内每年 缴付一次均衡缴清，预定利率为6%， 缴付一次均衡缴清，预定利率为 ，据附 计算在投保第10年末和第 表1计算在投保第 年末和第 年末的责任 计算在投保第 年末和第40年末的责任 准备金。 准备金。
P( n ax )ɺɺx : k , ɺɺ s k ≤n ɺɺ 1 kV ( n ax ) = ɺɺ ɺɺ P( n ax )ax : n − ɺɺx+n : k −n , k > n s k Ex
利用过去法计算下列责任准备金 1、某人在50岁时投保了 、某人在 岁时投保了 岁时投保了20000元的死亡年 元的死亡年 末赔付终身寿险，限期10年缴清保费 年缴清保费， 末赔付终身寿险，限期 年缴清保费，假 设利率i=6%，计算第 年末和第15年末均 年末和第 年末均 设利率 ，计算第5年末和 衡净保费责任准备金。 衡净保费责任准备金。
ɺɺ Ax + k − h Px ⋅ a x + k : h − k , k < h h kV x = k≥h Ax + k ,
岁时投保了20000元的死亡 例1：某人在 岁时投保了 ：某人在50岁时投保了 元的死亡 年末赔付终身寿险，假设i=6%，试计算 年末赔付终身寿险，假设 ， （1）终身缴费情况下第15年末均衡净保费 ）终身缴费情况下第 年末均衡净保费 责任准备金 年缴费时第5年末和 （2）限期 年缴费时第 年末和第15年末 ）限期10年缴费时第 年末和第 年末 均衡净保费责任准备金

《保险精算学》笔记：责任准备金共9页

《保险精算学》笔记：责任准备金共9页

《保险精算学》笔记：责任准备金第一节净责任准备金（受益责任准备金）一、责任准备金的定义1、责任准备金产生原因除了保单发行日以外，以保障期内任意某个时刻为参照点，未来收支的现时值都有可能不平衡。

2、净责任准备金定义：保险公司在任一时刻对每个现存被保险人的未尽责任现时值，就称为净责任准备金。

也就是在该时刻每个现存的被保险人将来收益的现时值，所以也称为受益责任准备金。

它的实质是现存被保险人未来收益与未来缴费现时值之差。

3、责任准备金的分类（1）按覆盖责任分净责任准备金（受益责任准备金）：覆盖被保险人将来的保险收益费用责任准备金：覆盖保险公司将来的费用支出修正责任准备金：对第一年的费用支出作修正，等价调节各年责任准备金，以利于保险公司的利润均匀溢出。

（2）按被保险人缴费、保险人赔付的方式分完全连续责任准备金（死亡即刻赔付，连续缴费）完全离散责任准备金（死亡年末赔付，生存期初缴费）半连续责任准备金（死亡即刻赔付，生存期初缴费）二、净责任准备金确定原理以完全连续终身寿险为例1、前瞻亏损（prospective loss）其中：2、净责任准备金的确定前瞻亏损的期望即该时刻的净责任准备金，记作。

用这种原理确定责任准备金的方法称为前瞻方法。

前瞻亏损的方差三、用前瞻法确定常见险种的责任准备金1、终身寿险，终身缴费2、年定期寿险，年缴费3、年两全险，年缴费4、次缴费终身寿险5、次缴费年定期寿险6、年延期，年缴费的终身生存年金四、净责任准备金的其它确定公式1、保费差公式（1）理解：责任准备金等于剩余缴费期内保费差的精算现值。

（2）推导：（以完全连续终身寿险为例）2、缴清保险公式（1）理解：责任准备金等于部分受益的精算现值。

（2）推导：（以完全连续年定期两全保险为例）3、后顾方法（1）理解：责任准备金是已付保费积累值与保险成本积累值（accumulated cost of insurance）之差。

（2）推导：4、应用前瞻公式和后顾公式的原则（1）在保障时间超过缴费期的场合，使用前瞻法更为方便（2）在尚未提供受益的递延期内，使用后顾法更为方便5、其它公式五、完全离散场合责任准备金的递推公式1、责任准备金的含义：解释：责任准备金为未来的保险责任的现时值减去未来保费收入的现时值。

均衡纯保费责任准备金


, th ht n
tn
h
P(
A x:n
)s x:t
t kx
,
th
thV
(A x:nx:h E th xh
t kx
,
ht n
1 ,
tn
*** 关于准备金公式的一些变形 ***
（1） 保费差公式：
tV
(
A x:n
)
A xt:nt
P(A )a x:n xt:nt
A
[ xt:nt P( A )]a
三、准备金的计算方法
1、过去法----以保险人过去已经收到的保费 与过去已发生支付的差额为基础建立准备 金的方法。
2、未来法----以保险人未来应该的支付与未 来保费收入的差额为基础建立准备金的方 法。
第一节 均衡纯保费准备金
*** 均衡纯保费准备金 ***
基于“均衡纯保费”和“保险金给付” （不考虑费用支付）计算的准备金称为“均 衡纯保费责任准备金”（也称净准备金）。
1
axt ax
（4）均衡纯保费公式：
tV
( Ax )
P( Axt ) P( Ax )
P( Axt )
（5）趸缴纯保费公式：
tV ( Ax )
Axt Ax 1 Ax
*** 准备金计算方法选择原则 ***
（1）超出缴费期时刻，用未来法公式：
htV ( Ax ) Axt , t h
（2）尚未发生给付的缴费期内，用过去法公式：
一、责任准备金的概念
1、定义： （1）保险合同有效期间，保险人为了履行未来的
责任而设置准备的基金。 （2）保险期限内，保险人为了平衡未来会发生的
债务而提存的基金。 （3）准备金实质上就是“保费储蓄余额 ”。

寿险责任准备金 计算 提取 实务操作

一、背景介绍寿险责任准备金是指保险公司为履行保单中约定的给付保险金责任所准备的资金。

它是保险公司未来为了支付保险合同给付而提供的资金保障，也是保险公司负债的一部分。

责任准备金的计算、提取和实务操作直接关系到保险公司的资金安全和经营稳健。

二、责任准备金的计算方法责任准备金的计算方法根据《保险法》、《保险公司财务监督管理办法》等相关法律法规和监管规定进行。

1. 责任准备金计算的基本原则责任准备金的计算需要遵循保守性原则，确保保险公司按照法律法规和监管要求进行计算，不得进行过度承担责任准备金的优惠。

还要遵循风险控制原则，确保责任准备金能够覆盖履行保险合同的责任。

2. 责任准备金计算的具体方法责任准备金的计算方法一般包括保守性估计和精算估计两种方式。

保守性估计是指在责任准备金计算过程中，采用相对保守的假设和方法，以确保责任准备金的充足性。

精算估计是指根据保险合同的具体条款和精算假设，进行责任准备金的精算计算。

3. 责任准备金计算的监管要求监管部门在责任准备金计算方面有一系列的要求，包括责任准备金报告的递交时间、内容、形式等方面的规定。

保险公司在进行责任准备金计算时，需要严格遵守监管部门的规定，确保计算的准确性和合规性。

三、责任准备金的提取责任准备金的提取是指保险公司按照法律法规和监管规定，将一定比例的责任准备金提取出来，用于支付赔付、保险金等相关费用。

1. 责任准备金的提取比例根据监管部门的规定，保险公司需要按照一定比例提取责任准备金，用于支付保险合同给付的相关费用。

责任准备金的提取比例通常由监管部门根据市场情况和风险状况进行调整，保险公司在进行责任准备金的提取时，需要确保提取比例的合规性和适当性。

2. 责任准备金的提取方式责任准备金的提取方式一般包括现金提取和资产置换两种方式。

现金提取是指保险公司按照规定比例提取责任准备金，并将其用于支付相关费用。

资产置换是指保险公司将一定比例的责任准备金转化为特定资产，用于支付相关费用。

第六章人寿保险保费与责任准备金计算原理


（四）大数定律在保险中应用的双重性
第一重： 为准确估计事件发生的概率，保险公司必须掌握大量的经验数据。经验数据越多，对事件发生
的概率的估计就越准确。
第二重： 一旦估计出事件发生的概率，必须将此概率估计值运用到大量的危险单位中才能对未来损失有
比较准确的估计。
在用经验数据进行未来危险预测时，保险公司往往假设过去事件发生的概率与未来事件发生的 概率相同，并且对过去事件发生概率的估计是准确的。但是过去事件发生的概率与未来事件发 生的概率往往不一样。事实上，由于各种条件的变化，事件发生的概率也在不断变化。另外， 也不能从过去的经验数据中得出完全准确的概率。所有这些都导致实际经验与预期结果之间存 在必然偏差，保险公司的危险实际上也就是这种偏差。保险公司可以通过承保大量危险单位提 高对危险单位预测的准确性。
显然，大数定律在这种损失分摊的机制中起着重要的作用。保险就像是一个蓄水池，每人贡献一 点保费，这些资金被保险公司集中起来以弥补少数不幸者所遭受的损失。当参与这种蓄水机制的 单位数越多时，蓄水池的功能越能正常稳定地发挥。
（三）大数定律与风险分散 在上面例子中我们看到房主只需缴纳20元的纯保费，即可获得在危险发生时保险公司对损失的赔 偿——10000元。
我们把对单个保险标的来说是否发生事故的不确定的数量关系转化为对保险标的的集合来说确
定的数量关系。
1-4、举例
在抛掷硬币的随机试验中，知道正面朝上的概率为0.5。但0.5只是理论上的概率，在实际的随机 试验中实际发生的频率不会恰好为0.5，而会有一些误差。
在10次抛掷硬币的随机试验中，实际出现正面的次数可能为3次，另7次为反面。这时，正面朝 上的实际发生频率为0.3，与理论概率0.5有0.2的误差。
（二）保险运行的数理解释

保险精算学笔记责任准备金


合规检查的方法
• 对保险公司的责任准备金进行定期检查 • 对保险公司的责任准备金计算和提取进行审计 • 对保险公司违反监管要求的行为进行处罚
责任准备金的监管趋 势
• 监管趋势 • 加强对保险公司的风险管理和偿付能力监管 • 提高责任准备金的计算精度和透明度 • 促进保险市场的健康发展和公平竞争
05
• 风险识别：识别影响责任准备金的风险因素 • 风险评估：评估风险因素对责任准备金的影响程度 • 风险监控：监控风险因素的变化，及时调整责任准备金
风险管理策略的实施
• 为保险公司提供风险管理的技术支持 • 促进保险公司的稳健经营和可持续发展
04
责任准备金的监管与合规
责任准备金的监管要求
监管要求的目的
责任准备金的应用与实践
责任准备金在保险公司中的应用
在保险公司中的应用
• 为保险公司提供合理的定价依据 • 帮助保险公司进行风险管理和经营决策 • 保障保险公司的偿付能力
应用的实践
• 制定合理的定价策略和风险管理策略 • 优化保险产品的设计和销售 • 提高保险公司的竞争力和盈利能力
责任准备金在保险产品设计中的应用
保险精算学的基本原理与方法
保险精算学的基本原理
• 大数定律：保险事故发生的概率在一定时期内是稳定的 • 中心极限定理：保险事故损失的分布趋于正态分布 • 风险分散原理：通过分散投资来降低保险公司的风险
保险精算学的方法
• 概率论：研究保险事故发生的概率及其分布 • 统计学：收集、整理和分析保险数据 • 经济学：分析保险市场的供求关系和价格机制
应用的实践
• 制定稳健的定价策略和风险管理策略 • 优化保险公司的资产配置和投资策略 • 提高保险公司的市场地位和品牌形象
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第六章责任准备金第一节净责任准备金（受益责任准备金）一、责任准备金的定义1、责任准备金产生原因除了保单发行日以外，以保障期内任意某个时刻为参照点，未来收支的现时值都有可能不平衡。

2、净责任准备金定义：保险公司在任一时刻对每个现存被保险人的未尽责任现时值，就称为净责任准备金。

也就是在该时刻每个现存的被保险人将来收益的现时值，所以也称为受益责任准备金。

它的实质是现存被保险人未来收益与未来缴费现时值之差。

3、责任准备金的分类（1）按覆盖责任分净责任准备金（受益责任准备金）：覆盖被保险人将来的保险收益费用责任准备金：覆盖保险公司将来的费用支出修正责任准备金：对第一年的费用支出作修正，等价调节各年责任准备金，以利于保险公司的利润均匀溢出。

（2）按被保险人缴费、保险人赔付的方式分完全连续责任准备金（死亡即刻赔付，连续缴费）完全离散责任准备金（死亡年末赔付，生存期初缴费）半连续责任准备金（死亡即刻赔付，生存期初缴费）二、净责任准备金确定原理以完全连续终身寿险为例1、前瞻亏损（prospective loss）其中：2、净责任准备金的确定前瞻亏损的期望即该时刻的净责任准备金，记作。

用这种原理确定责任准备金的方法称为前瞻方法。

前瞻亏损的方差三、用前瞻法确定常见险种的责任准备金1、终身寿险，终身缴费2、年定期寿险，年缴费3、年两全险，年缴费4、次缴费终身寿险5、次缴费年定期寿险6、年延期，年缴费的终身生存年金四、净责任准备金的其它确定公式1、保费差公式（1）理解：责任准备金等于剩余缴费期内保费差的精算现值。

（2）推导：（以完全连续终身寿险为例）2、缴清保险公式（1）理解：责任准备金等于部分受益的精算现值。

（2）推导：（以完全连续年定期两全保险为例）3、后顾方法（1）理解：责任准备金是已付保费积累值与保险成本积累值（accumulated cost of insurance）之差。

（2）推导：4、应用前瞻公式和后顾公式的原则（1）在保障时间超过缴费期的场合，使用前瞻法更为方便（2）在尚未提供受益的递延期内，使用后顾法更为方便5、其它公式五、完全离散场合责任准备金的递推公式1、责任准备金的含义：解释：责任准备金为未来的保险责任的现时值减去未来保费收入的现时值。

2、解释：第年死亡受益，为第年初缴付保费。

则第年为每个现存的被保险人准备的责任准备金加上每个现存的被保险人缴付的保费积累到年末正好可以为每个在这一年内死亡的被保险人提供元的死亡赔付，并为在该年末存活的每位被保险人准备元责任准备金。

3、解释：称为风险净值，是指一旦这一年中有死亡发生，死亡受益超过责任准备金部分的数额。

该递推公式说明每一位年初存活的被保险人所缴保费及年初所缴保费与年初责任准备金所产生的利息之和有两个用途：一是弥补年末责任准备金与年初责任准备金的差值；二是弥补该年死亡发生时而产生的风险净值。

六、半连续责任准备金的确定根据死亡年末给付与死亡即刻给付之间的关系，根据半连续保费与完全离散保费之间的关系，半连续责任准备金都可以转换为完全离散责任准备金的函数。

以次缴费年定期寿险为例其他险种场合可以同理推导。

七、一年缴费若干次责任准备金的确定一年缴费若干次的责任准备金可以表示为一年缴费一次的完全离散责任准备金加上一个损失保费的额外附加责任准备金。

以一年次缴费的完全离散终身寿险为例该责任准备金推导：同理，一年次缴费的完全离散年两全保险的责任准备金为解释：“损失保费”部分形成的额外责任准备金等于缴费期内每次缴纳元（终身寿险为）纯保费的纯寿险完全离散责任准备金（终身寿险为）的一部分，比例为。

八、分数期责任准备金的确定UDD假定下，近似方法：第二节修正责任准备金一、责任准备金产生原因1、费用责任准备金（1）净保费责任准备金（受益责任准备金）覆盖的责任：保险人将来的净责任（2）费用责任准备金覆盖的责任：由于保险业的特殊性，第一年的费用远远高于以后各年的费用，所以分期缴付保费场合，保险人的费用责任准备金实际上一直是负的。

换言之，在保险费用这一方面是保险人先垫付了被保险人的费用，被保险人用将来的分期付款逐期偿还首年欠付费用。

2、修正责任准备金产生的原因如果不考虑费用责任准备金的因素，始终以净保费责任准备金为准计算保险公司的债务，会使保险公司保险初年的负担很重，而且利润溢出各年变动非常大。

为了保险公司的利润溢出比较平滑，也同时兼顾被保险人的利益，有了修正责任准备金的概念。

二、修正责任准备金方法1、修正责任准备金原理——阶梯保费制原始等额净保费示图修正后阶梯（净）保费没有修正前是等额净保费：。

修正后成为阶梯保费：。

有2、常用修正责任准备金方法（1）完全初年修正方法条件：第一年的修正净保费等于第一年的死亡受益现值：则有：（2）美国保险监督官标准产生背景：FPT适用于低费率保单，如果是高费率保单，第一年冲销的费用就过多了。

美国保险监督官标准：如果是低保费保单：采用FPT调节如果是高保费保单：，则（3）加拿大修正制加拿大保险法允许有更大力度的修正。

条件：，其中为第一年费用按均衡保费衡量的额外补贴，有其中：a＝150％净均衡保费，b＝新契约费，c＝仍然提供的管理费用及保单持有人分红时在第二年及以后年中可收回费用的精算现值。

责任准备金1. 对于（x）的完全连续1单位n年期两全保险，为经过持续时间t时的前瞻亏损，验证=2. （x）的趸交保费每年1单位连续定期年金，在时间t的前瞻亏损为= ，计算[ ]及。

3. 写出前瞻公式：（1）（2）（45的趸交保费1单位10年定期保险在第5年末的责任准备金。

4．写出的4个公式。

5．写出的7个公式。

6．给出的后顾公式。

7．对0＜t≤m，证明（1）（2）8．指出等式与5.3中哪个公式相联系，并给出解释。

9．写出的四个公式。

10．写出的七个公式。

11．对0＜k m，证明12．当k＜2/n时，.计算. 13．根据附录生命表及利率6％，计算下表所列责任准备金（参见例4.3.4）。

完全连续半连续完全离散14．在每一年中死亡均匀分布的假设下，以下等式哪些是正确的？（1）（2）（3）15．在每一年中死亡均匀分布的假设下，证明16．以下公式中哪些是的正确公式？（1）( ) (2)（3） (4)17．以下公式中哪些是的正确公式？(1) (2)(3) (4)(5) (6)18．证明（1）（2）19．验证经h＋1置换h的（5.7.2）可整理成并给出解释。

这个公式称为Fackler责任准备金积累公式。

20．对（x）的1单位终身人寿保险，证明（1）（2）给出这些公式的文字解释。

21．如，证明。

[提示：用（5.7.6）]22．对于受益的n年期保险，设是净均衡年缴保费。

证明（1）（2）[提示：直接证明或用（5.7.2）]23．从(5.8.1)出发,建立按一般性推理解释这个结果。

24．解释以下公式，其中（1）（2）25．对下列责任准备金，导出与（5.8.5）,(5.8.8),(5.8.9)中某些式子类似的公式。

⑴⑵⑶⑷⑸⑹26．根据示例生命表以及利率6％，求的近似值。

27．证明（5.8.4）可写成28．对（）的保额为1的完全离散终身人寿保险，证明（1）Var =（2）Var =29．对于每年1单位的期初生存年金，考虑亏损在时间由年度一年分摊的亏损（1）解释的公式（2）证明①②③ Var =30．（1）对于例5.7.2的保险，建立式Var =（2）如l>0，计算（1）中保险的Var 值。

31．对于25岁人缴费期限20年的单位保额终身人寿保险，根据示例生命表以及利率6％计算1.2. 3. 4.Var 5. Var (用定理5.8.1)32．解释以下微分方城：（1）（2）33．如且，证明34．求135．一种向（30）发行的死亡即刻赔付并且到65岁为止的定期保险，其受益如下表所示：死亡年龄30-5050-5555-6060-65受益100000900008000060000用计算基数写出以下公式:(1) 半年缴一次的净比例年保费。

(2) 在以上（1）的情况下在30年末的责任准备金。

36．一种（35）的趸交保费保单，在活到65岁时提供100000，在65岁之前死亡时用于死亡年末归还不含利息的净趸交保费。

设净趸交保费为，用计算基数写出（1）的公式。

（2）年末责任准备金的前瞻公式。

（3）年末责任准备金的后瞻公式。

37. 用以及计算基数，写出以下责任准备金的前瞻公式和后顾公式。

1． 2.综合题38. 设，计算39. 设，计算40. 某种向(25)签发的终身寿险在死亡年末支付1单位受益，保费按年缴付至65岁为止，前10年的净保费为，接下去30年增加到一个新的均衡年保费水平。

1. 计算从35岁到64岁应缴净年保费。

2. 计算第10年的期末责任准备金。

3.在10年末，保单持有人可选择继续按净保费缴付至65岁为止，同时35岁之后的死亡受益额降为B，计算B。

4. 如果行使了第3小题的选择权，计算第12年的期末责任准备金41. 用(5.10.3)写出表达式1. 2. 3. 并解释结果42. 在每年死亡的Balducci假设下，证明与(5.8.1)相当的公式为43. 设，每一年死亡均匀分布，计算1. 2.44.* 根据每一年死亡均匀分布假设以及在真正半年缴一次的保费场合的下列责任准备金演变方程，由(5.8.7)得出(5.8.6)45.* 证明：并解释结果46.* ,对于h=0,1,2,……，m-1证明⑴⑵47. 按照例5.4.4中被保险人活到第2个保单年度末，重做例5.9.148. 按照例5.4.4及习题47所描述与讨论的那种保单1500份重做例5.9.249. 在习题48中，对于活到第4个保单年度末的被保险人，有关支付的额度与时间并不存在不确定性。

对于持续到时间2及3的被保险人，重做习题48。

50. 如果⑴按完全连续基础⑵按完全离散基础，表5.11.1的第5行应做何种改变？51. 对于向(30)签发的以比例净保费按年缴付的10000元普通寿险，用保费及期末责任准备金符号写出第11个保单年度的年中时的净保费责任准备金公式。

52. 某种3年期两全保单面额为3，死亡受益在死亡年末支付，用平衡原理决定的净年缴保费为0.94，按照利率20%产生的责任准备金如下：年度末责任准备金10.662 1.563 3.00计算：⑴⑵⑶保单签发时亏损的方差⑷第1年度末（未来）亏损的方差。

修正责任准备金1．（1）某赌场在年度A的7月1日向1000位顾客每人收取0.55元，并立即投资于每半年利息率为3%的储蓄账户基金。

在年度A+1的7月1日，对应于每份顾客的共计1000枚分币将被掷出正反面。

如正面向上，则可获1元奖金；如正面向下，奖金为0。

对该赌场在年度A的12月31日的资产负债表与损益表填入应有的数字，其中负债使用精算现值。