含有30度角的直角三角形ppt课件(最新)

三角函数 锐角α
正弦sinα
余弦cosα
正切tanα
余切cotα
要能记 住有多 好
30o
1
2
3
3
3
2
3
45o
2 2
2 2
1
1
60o
3 2
1 2
3
3
3
这张表还可以看出许多 知识之间的内在联系?
5
例题欣赏 5
行家看“门道”
驶向胜利 的彼岸
例1 计算: (1)sin30o+cos45o;(2) sin260o+cos260o-tan45o.
解: (1)sin30o+cos45o
1 2 1 2 .
22 2
?怎样
解答
(2) sin260o+cos260o-tan45o
3 2
2 Leabharlann 1 22 1
3 1 1
44
0.
老师提示:
Sin260o表示 (sin60o)2, cos260o表示 (cos60o)2,其余 类推.
6
随堂练习 6
直角三角形中的边角关系
驶向胜利 的彼岸
B
看图说话: 直角三角形三边的关系. 直角三角形两锐角的关系. 直角三角形边与角之间的关系. A
c
a
┌
b
C
特殊角30o,45o,60o角的三角函数
值. 互余两角之间的三角函数关系.
30o
同角之间的三角函数关系
45o
45o ┌ 60o ┌
10
独立
扶梯的长度是多少?
B
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c.

又∵∠CDB=90
0
∴CD=
AC=
1 2×2a
= a
1.在△ABC中，∠C=900, ∠B=600,BC=7, 300 ,AB=---------14 则∠A = ---------2.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3, 5 若AB=10,则BC=---------3、如图Rt△ABC中，CD是斜边AB 上的高，若∠A=300，BD=1cm, 那么∠BCD=_____, BC=_____. 300 2cm A
证法一 ∵AB＝AD,∠B=60°
∴AB=AD=BD(有一个角是60°等腰三角形是等边三角形)
1 又∵BC=CD= BD 2 1 ∴BC= AB 2
A
B
C
D
证法二 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°
∠BAC=30° 1 求证：BC= 2 AB
证明：延长BC至D，使CD=BC，连结AD. 在△ABC与△ADC中 BC＝DC ∠ACB=∠ACD AC=AC ∴ △ABC≌△ADC（SAS） ∴AB=AD 又∵ ∠B=60° ∴ △ABC 是等边三角形 1 1 ∴BC＝DC＝ BD= AB
√
例5.下图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB 的中点,立柱BC、 DE垂直于横梁AC, AB＝7.4m,∠A＝30°立柱BC 、 DE要多长?
B D A
E
C
课本P81练习题
颗
粒
归
仓
这节课—
通过本节课 的学习，你学到 了哪些知识？在 合作学习中你感 受到了什么？你 还有那些疑惑？
我学会了…
含30 °直角三角形性质：
每日寄语 天锤百炼出好钢， 勤学苦练出好才。 除了奋斗， 什么都不属于我。

在实际问题中，也经常会遇到需要利用全等三角形性质来解决的问题。例如，在建筑、工程或物理等领域中，可能需要利用全等三角形来计算距离、角度或面积等问题。通过灵活运用全等三角形的性质和判定方法，可以有效地解决这些问题。
05
CHAPTER
含30度角直角三角形相似性质探讨
相似三角形定义
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
02
CHAPTER
含30度角直角三角形特点
角度关系
含30度角的直角三角形中，另一个锐角为60度，直角为90度。
边长比例
对于含30度角的直角三角形，若设30度角所对的直角边为a，斜边为c，则另一条直角边b满足b = (√3/2)c，即b : c = 1 : 2。同时，a : b = 1 : √3，a : c = 1 : 2√3。
要点一
要点二
相似三角形性质
相似三角形的对应边成比例，对应角相等，面积比等于相似比的平方。
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
预备定理
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
判定定理1
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
含30度角直角三角形全等判定方法
全等三角形的定义
两个三角形如果三边及三角分别对应相等，则称这两个三角形全等。
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等；全等三角形的周长、面积相等；全等三角形的对应边上的中线、高线、角平分线分别相等。
HL全等
直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等。
外心位置
外心是三角形外接圆的圆心，位于三角形外部。在含30度角的直角三角形中，外心位于斜边中线的延长线上，且距离直角顶点较远。

B
2、如图， Rt△ABC中， ∠A= 30°， 8cm AB+BC=12cm，则AB= _______. C
D
A
3、如图， Rt△ABC中， ∠A= 30°，BD平分∠ABC， 且BD=16cm，则AD= 24cm .
大
胆
尝
试
例1.已知:如图,在△ABC中, ∠ACB= 900 ∠A=300,CD⊥AB于D. 求证:BD= 1 AB.
4
B D C
自学课本55页例5
A
拓
展
Hale Waihona Puke 提升D已知:等腰三角形的底角为150,腰长为20. 求:腰上的高.
解:过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D ∵∠B=∠ACB=150(已知),
B
150
A
150
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300 ∴CD= 1 AC=
2
C
1 ×20=10 2
课堂检测
C
D
B
课堂检测
4、如图所示，已知△ABC中，∠ACB=900, CD⊥AB于D, ∠A=300,且AB=8cm, 4cm , ∠BCD=---------300 , 则BC= ---------6cm , 2cm ,AD= ---------BD= ---------A
A
C
D
B
5、如图△ABC是等边三角形， AB=5cm,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC, 垂足分别为D、E、F点， 2.5cm ， 则∠ADF =______, BD=______ 60° 1.25cm BE=_______.
则∠DCB=∠B=600 ∴△ADC是等腰三角形， △BCD是等边三角形

1
DE= AD.
2
2
∴BC= 1 AB= 1 ×7.4=3.7(cm).
22
A
E
C
又AD=
1
AB,
2
∴DE= 1 AD= 1 ×3.7=1.85 (cm).
22
答：立柱BC的长是3.7cm，DE的长是1.85cm.
例5 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高.
解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.
教材分析
教材分析： 本节内容是在学生学习了等边三角形的性质，由实 验几何转向论证几何的基础上，学习含30度角的直 角三角形的性质定理。特别是定理证明的添加辅助 线的方法相当重要，且难度较大。
目标与技能：
1.探索含30°角的直角三角形的性质. 2.会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算.
证明：∵△ABC为等边三角形， ∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60°， ∵CD=AE， ∴△ADC≌△BEA.
∴∠CAD=∠ABE. ∵∠BAP+∠CAD=60°， ∴∠ABE+∠BAP=60°. ∴∠BPQ=60°. 又∵ BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°， ∴∠PBQ=30°， ∴BP=2PQ.
3.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则
BD = 1 .
4.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC = 5 .
5.如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，则AB=___8___.
C B
B D
第3题图
C
例4 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE

∴ BC=12AB，DE=12AD ∴ BC=12×7.4=3.7(m) 又∵ AD=12AB ∴ DE=12AD=12×3.7=1.85(m) 答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
如图1所示的是某超市人口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边 缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC＝BD＝62cm，且与闸机侧 立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°．求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的 最大宽度． 解：如图，过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F，
斜边的一半.
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°. 证法②截半法
求证：BC=
1 2
AB.
证明：在BA上截取BD=BC，连接DC. ∵ ∠B=90°-∠A=60°，BD=BC
∴ △BCD是等边三角形 ∴ ∠BDC=60°，BD=DC=BC ∴ ∠DCA=∠BDC-∠A=30°=∠A
1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点） 2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．（难点）
用两个含30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼成 一个等边三角形吗？说说你的理由.
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小 关系？能证明你的结论吗？
10.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作
DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明
理由． 解： CD 1 DB.
2
理由如下：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝∠BED＝90°. ∵DE是∠ADB的平分线， ∴∠ADE＝∠BDE.
又∵DE＝DE， ∴△AED≌△BED(ASA)，

含30°角的直角三角形的性质
三边都相等.
1.等边三角形的 性质？
三个角都相等，且都等于60°. 等腰三角形的所有性质. 三边都相等的三角形叫做等边三角形
2.等边三角形的 判定？
三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形一定是等边三 角形.
【活动】
用刻度尺测量含30°角 的直角三角形的斜边和短直 角边，比较它们之间的数量 关系.
E B D
F
C
知识反馈 布置作业
1、必做题：课本第56页练习题
2、 选做题：
如图在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ， ∠BAC＝120°,ＡＣ的垂直平分线 ＥＦ交ＡＣ于点Ｅ，交ＢＣ于点 Ｆ．求证：ＢＦ＝２ＣＦ．
C A E
F
B
温馨提示：作业整洁
字体工整 步骤完整
“给我最大快乐的，不是已懂得知 识，而是不断的学习；不是已有的 东西，而是不断的获取；不是已达 到的高度，而是继续不断的攀登” －－－高斯
愿同学们：努力学习！勇攀高峰！
1 结论：短直角边=斜边 2
探究
我们可以用两个同样大小的三角尺（含30 °和60 ° 的角）拼接起来验证：在直角三角形中，如果一
个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于 斜边的一半.
A
B
D
C
操作探 究
1.量一量含30°角的直角三角尺的最短直角边 与斜边你有什么发现？
2.用两个全等的含30°角的直角三角尺你能 拼出一个等边三角形吗？说说你的理由． 3. 在直角三角形中，30°角所对的直角边与 斜边有怎样的大小关系？
C
D
B
课堂检测
4、如图所示，已知△ABC中，∠ACB=900, CD⊥AB于D, ∠A=300,且AB=8cm, 4cm , ∠BCD=---------300 , 则BC= ---------6cm , 2cm ,AD= ---------BD= ---------A

15.3等腰三角形
（第4课时）
如果一个三角形有两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等. （简称“等角对等边”）
用符号语言表示为： A 在△ABC中， ∵∠B=∠C ( 已知 ) ∴ AC=AB. ( 等角对等边 )
B
C
推论2 如果一个等腰三角形中有一个角是 60°，那么这个三角形是
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
提高训练
1. 已知：如图，在△ABC 中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线， 且BD=DC，求证：BC=2AB. A 证明：∵∠A=90°（已知） D ∴∠ABC+∠C=90° (直角三角形两锐角互余) 又∵BD平分∠ABC（已知） B ∴∠ABD=∠CBD（角平分线定义） 又∵BD=DC（已知） ∴∠DBC=∠C（等边对等角） ∴∠ABD=∠CBD =∠C（等量代换） ∴ ∠C =30° ∴BC=2AB（Rt△中，30°角所对边等于斜边的一半）
作业：
1、当堂作业：课本P138练习第3题 2、课本P139＿＿P140习题15.3 3、完成基础训练和畅优新课堂15.3 4、预习15.4，课本P141＿＿P142 思考的上方（作角平分线）Leabharlann C提高训练A
2.已知：如图，△ABC中， ∠ABC与∠ACB的平分线 相交于点O，DE∥BC。
E B
O
你能得出什么结论？
D C
提高训练
3.已知：在△ABC中，内角∠ABC的平分线 BD与外角∠ACP的平分线交于D点， DE∥BC.求证：EF=BE-CF
A E F
D
B
C
P
本节课学习了什么内容？
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

分析：问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90°，
∠A=30°，BC=35m,求AB .
B
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，
即
A斜的边对边
BC AB
1 2
可得AB= 2BC = 70m .
A
C
即需要准备70m长的水管
随堂检测 1.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m,扶梯的长度是 14m ，
2.计算 2sin 30 3tan 30 tan 45 的值是
（
）
A
B
随堂检测
5.如图,河岸AD,BC互相平行,桥AB垂直于两岸.桥长12m,在C处看桥两端A,B,夹 角∠BCA=600.求B,C间的距离(结果精确到1m).
解：在Rt△ABC中， tan BCA AB ,
BC 即tan 600 12 ,
∴ CE=DB=5m CD=EB=1.5m
Ｃ
Ｅ
在Rt△ACE中 tan ∠ACE=AE
CE
Ｄ
Ｂ
∴ AE=CE ·tan ∠ACE=5 •tan60 0=53
∴ AB=5 3 +1.5=8.65+1.5=10.15≈10 m
即旗杆 的高度大约是10m．
归纳：解应用题之关键在 转化成数学问题
个性化作业
3
这个角的对边与斜边的比值都等于____2____.
自主学习检测 4、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA= 54，则BC的长为__8___.
5、当锐角A>45°时，sinA的值( B )
A、小于
2 2
B、大于
2 2
C、小于 2 2
D、大于 2 2

A
DB
A
5、如图△ABC是等边三角形，
AB=5cm,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC,
垂足分别为D、E、F点， E
F
则∠ADF =__60_°___, BD=_2_.5_c_m__，
BE=_1_.2_5_c_m__.
B
C
D
知识反馈 布置作业
1、必做题：课本第81页练习题
2、 选做题：
A
如图在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ， E
2.用两个全等的含30°角的直角三角尺你 能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．
我们可以用两个同样大小的三角尺 （含30 °和60 °的角）拼接起来验证
A
B
C
D
3.猜在直角三角形中，30°角所对的直
角边与斜边有怎样的大小关系？
在直角三角形中，如果有一个锐角等于300， 那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半。
A
几何语言 ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A= 30° 30°
1 ∴ BC= 2 AB
B
C
大 胆尝 试
判断：
1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的 一半. 2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半. 3）直角三角形中最小的直角边是斜边的一半.
证明方法：
∴BC＝DC＝
1 2
BD=
1 2
AB
倍长法
证法二：
在BA上截取BE=BC，连接EC
A
∵ ∠B= 60° BE=BC
∴ △BCE是等边三角形，BE=EC
E
∴ ∠BEC= 60°
∵ ∠A= 30°

可得：
A
△ABD是等边三角形
∵ AC ⊥BD
∴
BC=CD=
1 2
BD
∵ BD=AB
60°
60°
∴ BC=
1 2
AB
B
C
D
在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那
么它所对的直角边等于斜边的一半。
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°。 求证：BC=1 AB。
证明：延长BC至D2 ，使CD=BC，连结AD.
二、 等边三角形的判定
1．三个边都相等的三角形是等边三角形； 2．三个角都相等的三角形是等边三角形； 3．有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形．
学习目标
• 1、理解“在直角三角形中，如果一 个锐角等于300，那么它所对的直角 边等于斜边的一半”。
• 2、会用添加辅助线的不同方法证明 含有30度角的直角三角形的性质。
课堂小结
• 本节课你有何收获？ • 1、含有30度角的直角三角形的性质：在直
角三角形中，如果一个锐角等于300，那么 它所对的直角边等于斜边的一半。 • 2、添加辅助线不同的证明方法。
大 胆尝 试
已知:如图,在△ABC中, ∠ACB= 900
∠A=300,CD⊥AB于D.
C
求证:BD= 1 AB.
• 探究2
①当将两个同样大小的三角板（含30 °和60 °的 角）摆在一起，新得到的三角形是特殊的三角 形吗？请说明理由；
②得出300 角所对的直角边与斜边之间的数量关 系，说明理由.
验证：我们可以用两个同样大小的三角尺
（含30 °和60 °的角）拼接起来验证
A
B
C
D