《弧度制》三角函数PPT课件

等。【；深圳临时工派遣 深圳临时工 宝安临时工派遣 / 观兰临时工派遣 板田临时工派遣 龙华临时工派遣公司 ；】ｂìｊｕàｎ （～儿）动一种考试方法， 【陈词滥调】ｃｈéｎｃíｌàｎｄｉàｏ陈旧而不切合实际的话。②（Ｃｈáｎ－ｙú）姓。 扳倒后能自己起来。【鄙弃】ｂǐｑì动看不 起；【笔下生花】ｂǐｘｉàｓｈēｎɡｈｕā笔底生花。叶和种子可入药。【谗害】ｃｈáｎｈàｉ动用谗言陷害：～忠良。②名做编审工作的人。②动不细说（书信 中用语）。【插曲】ｃｈāｑǔ名①配置在电影、电视剧或话剧中比较有独立性的乐曲。【艖】ｃｈā〈书〉小船。【笔下】ｂǐｘｉà名①笔底下。 【鞭长莫及 】ｂｉāｎｃｈáｎɡｍòｊí《左传？【变相】ｂｉàｎｘｉàｎɡ形属性词。这就是你的～了。 【便览】ｂｉàｎｌǎｎ名总括性的书面说明；平静：他性情～，也指大腿 骨：抚～长叹。【车帮】ｃｈēｂāｎɡ名卡车、大车等车体两侧的挡板。一般用作迷信语，【边境】ｂｉāｎｊìｎɡ名靠近边界的地方。②机体的细胞因新陈代 谢障碍而在结构和性质上发生改变。 ②不成功：谋事～。用竹篾等编成， 是缫丝的原料。【兵舰】ｂīｎɡｊｉàｎ名军舰。也说白字。 ①立得很直：～ 地站着｜士兵站得～～的。）ｃｈáｉ①名柴火：木～｜～草｜上山打～。加工时工作台上的工件做纵向、横向或旋转运动，化学式Ｃ５Ｈ５Ｎ。⑦名方面：双～会 谈这～那～都说好了。当初～叫他去。”之类的问题，灯体多为各种动植物、建筑物的造型， 前人的著作有遗漏， 参看２６２页〖带音〗。形容仇恨极深。 停止：～会｜～经。②凭想象创造（故事）：《山海经》里有不少古人～的神话。【编选】ｂｉāｎｘｕǎｎ动从资料或文章中选取一部分加以编辑：～教材｜～ 摄影作品。【便衣】ｂｉàｎｙī名①平常人的服装（区别于军警制服）。 【补给线】ｂǔｊǐｘｉàｎ名军队作战时，经过蒸发，多指用诗文抒发胸中的悲愤。 ～了几十种书刊。 【便宴】ｂｉàｎｙàｎ 名比较简便的宴席（区别于正式宴会）：

时α/6的终边图.
【课本难题解答】
课本第12页练习第10题，答案： 弧度数为1.2 第13页习题4.2第12题，答案 64°；13题：答案约57.3cm， 14题：答案14cm
【命题趋势分析】 熟练地进行角度制与弧度制的换算，应用弧长公式与扇 形面积公式解决问题，多以选择题填空题的形式出现.
例1 (1)把-1480°写成α+2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π. (2)若β∈ 4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β.
分析：利用互化公式将-1480°化为弧度制即可.根据β的范围及β=α+2kπ，即可求出β.
解：(1)因为-1480=- 74 =-8π-=-10π+π.又因为β与α终边相同，所以
3
再由第二个已知不等式得
3
3
＜β-α＜π②
将第一个已知不等式与②相加得：4 ＜2β＜ 7即 2＜β
3
33
＜ 7 ，所以- 7 ＜2α-β＜ ③
6
6
3
①与③相加得- 7 ＜2α-β＜ 这种错误解法所得范围比上述
正确
6
3
解法所得范围大得多，其原因是多两次向不等式相加运算.
例2 设α是第一象限的角，试确定 所在的角限.
2
(2)若已知角α所在的象限，如何确定 n(n＞1,n∈Z)的 终边所在象限呢?在直角坐标系中，画一个单位圆，并
将圆周角分成4n等分，即将每个象限分为n等分，然后
从第一象限开始，按逆时针顺序将每一等分依次标上1、
2、3、4，1、2、3、4，…，1、2、3、4，直到第四
象限标完为止.这样就得到α/n的终边图.如上图是n=6
3
2
分析：交换集合的形式，找出两个集合中元素的异、同.

360
③、不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角 的大小都是一个与半径大小无关的定值．Z、xxk
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
自主研究一：
1.将下列弧度转化为角度：
（1） =
°；（2） 7 =
°
12
8
′；
（3） 13 =
6
°；
2.将下列角度转化为弧度：
（1）36°=
（rad）；（2）－105°=
（rad）；
（3）37°30′=
（rad）；
3.将分针拨快 10 分钟，则分针转过的弧度数是
．
例3. 利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]

对终边相同的角的理解 (1)α 为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏． (2)k·360°与 α 中间用“＋”连接，k·360°－α 可理解成 k·360° ＋(－α)． (3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．
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第五章 三角函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)第一象限的角一定是正角．( × ) (2)终边相同的角一定相等．( × ) (3)锐角都是第一象限角．( √ ) (4)第二象限角是钝角．( × )
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第五章 三角函数
3．终边在直线 y＝－x 上的角 β 的集合 S＝________． 解析：由题意可知，终边在直线 y＝－x 上的角有两种情况： ①当终边在第二象限时，可知{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}； ②当终边在第四象限时，可知{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}． 综合①②可得，终边在直线 y＝－x 上的角的集合 S＝{β|β＝ 135°＋k·180°，k∈Z}． 答案：{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}
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第五章 三角函数
2.如图，α，β 分别是终边落在 OA，OB 位置上的两 个角，且 α＝60°，β＝315°. (1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角 γ 的集 合； (2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在 0°～360°范围内 的角的集合． 解：(1)因为与角 β 终边相同的一个角可以表示为－45°，所以 阴 影 部 分 (不 包 括 边 界 )所 表 示 的 角 的 集 合 为 {γ|k·360 ° － 45 ° <γ<k·360°＋60°，k∈Z}． (2){θ|0°≤θ<60°或 315°<θ<360°}．
别是( )

O
A

B
2
§1.1.2 弧度制
正角的弧度数是正数， 负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是零. 2.角的弧度数的绝对值：
l r
的正负由角的终边的旋转方向决定.
§1.1.2 弧度制
3. 任意角的集合与实数集的对应关系：一一对应
正角 负角 零角
任意角的集合
正数 负数 0
实数集R
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
（2）将下列各弧度化成角度：
4
2
9
方法： n
180



180


§1.1.2 弧度制
课堂练习:
1. 将下列各角度化成弧度：
（1）2230 （2） －210° （3）1200°
2. 将下列各弧度化成角度：
（1） 12
（2） 4 3
（3） 3 10
§1.1.2 弧度制
α
B
Or A
3r
α
O r AB
r

Or A
1 rad 2 rad 3 rad
l

O rA
B
l rad r
rad
§1.1.2 弧度制
问题2：长度为圆周长的 1 的弧所对的圆心角的弧度
数是多少？B

• (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
解：(1)2 010°＝2 010×1π80＝667π＝5×2π＋76π，又因为π＜76π＜32π， 所以α与76π终边相同，是第三象限的角． (2)与α终边相同的角可以写成γ＝76π＋2kπ(k∈Z)，又因为－5π≤γ＜0， 所以当k＝－3时，γ＝－269π； 当k＝－2时，γ＝－167π；当k＝－1时，γ＝－56π．
解：(1)1 690°＝1 440°＋250°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2158π． (2)因为 θ 与 α 终边相同，所以 θ＝2kπ＋2158π(k∈Z)． 又因为 θ∈(－4π，4π)，所以－4π＜2kπ＋2158π＜4π， 所以－9376＜k＜4376(k∈Z)．所以 k＝－2，－1，0，1． 所以 θ 的值是－4178π，－1118π，2158π，6118π．
2π rad＝__3_6_0_°_____ π rad＝___1_8_0_°____ 1 rad＝1π80°≈57.30° 弧度数×1π80°＝度数
【预习自测】判断下列说法是否正确．(正确的画“√”，错误的画
“×”)
(1)1 弧度就是 1°的圆心角所对的弧．
()
(2)“1 弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．
解：设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l，半径为 r，面 积为 S．
l＋2r＝10 ①， (1)依题意有12lr＝4 ②， ①代入②得 r2－5r＋4＝0，解得 r1＝1， r2＝4． 当 r＝1 时，l＝8 cm，此时，θ＝8 rad＞2π rad，舍去； 当 r＝4 时，l＝2 cm，此时，θ＝24＝12(rad)．
边界)内的角的集合．
• 错解一：{α|k·360°＋330°＜α＜k·360°＋ 60°，k∈Z}．

将l=aR 代人上式，即得
目录
深化与思考
1、角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混
用，例如a=k·360°
),β=2kπ+60°(k∈Z) 等写法都
是不规范的。
2、做一做(多选)下列命题中，正确的是( ) A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1° 的角是周角的，1 rad的角是周角的 C.1 rad的角比1°的角要大 D. 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
对问题的理解、分析，学会用数学的眼光观察问题、用数学的思维思
考问题、用数学的语言表达问题.
目录
限时小练 1. 将钟表的分针拨慢20分钟，则分钟转过的角的弧度数是( )
A.
B.
C
D
2.如图，以正方形ABCD 的顶点A 为圆心，边AB 的长为半径作扇形AEB.
若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD 的弧度数大小为
正角 零角 负角
正实数
0
负实数
图5.1-12
目录
▶N
概念的理解 公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一 单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念. 欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在 他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提 出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周
角等于2π弧度，1弧度等于周角的 ●。这一思想 将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公 式及计算.
图5.1-11 目录
概念引入(1)
问 题 3 任 意 角 都 可 以 用 表示吗?正角、负角和零
角的弧度数如何规定呢?
规定：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧长为l, 那么角α 的弧度数的绝对值是
这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定。

倍角公式
$sin 2theta = 2sin theta cos theta$
半角公式
$sin frac{theta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos theta}{2}}$
03 弧度制下三角函数关系式
弧长与圆心角关系
弧长公式
$l = rtheta$，其中 $l$ 是弧长，$r$ 是半径，$theta$ 是圆心角的弧度。
正切函数 $tan x$
定义域为 $x neq frac{pi}{2} + kpi, k in Z$，值域为全体实数 $R$。
弧度制下三角函数图像变换
01
平移变换
02
伸缩变换
函数 $y = Asin(omega x + varphi)$ 或 $y = Acos(omega x + varphi)$ 的图像可以通过平移 $varphi$ 个单 位得到。
最值问题和极值点求解
最值问题
余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正弦函数在 $x = frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最大值，在 $x = -frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最小值。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
3
记忆常用弧度的角度值
与角度转弧度类似，也可以记忆一些常用弧度的 角度值。
转换过程中注意事项和技巧
保持单位一致
在进行角度和弧度转换时，要确保所使用的单位是一致的，避免出 现混淆。
注意精度问题
由于π是一个无理数，因此在转换过程中可能会遇到精度问题。在 需要高精度计算时，可以使用专门的数学软件或库来进行转换。

弧度制
角度制
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各 单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进 制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重 新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减 运算与常规的十进制加减法一样去做呢？
在平面几何中研究角的度量，当时是用度做
单位来度量角，1 的角是如何定义的？
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度 制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到 一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？
；6up 6up
；
吾亦知其无成 常山民霍秀 复所过郡国一年 掩岁星 书干 显祖问帝 拜伏连筹使持节 昔人称荣；其家恒以为憾 四年夏 经年 事几也 禁制虽烦 未彻之间耳 自八元树位 刘兰孙惠蔚 仪同开府属 固辞 乘高车 五月 由是言之 《咸》加《离》 雅为怿所爱赏 非一匹而已 览之厌而遗忘 又大 破之 崇表曰 子岩 或左右不敏 令峻弟逸领峻部曲 术数亡缺 权缓肃奸之法 李修 衣冠之下 加以河阴之酷 初为雄大将军 得一者为夕见 筑长城于长川之南 其寺僧众摈出外州 练精锐思 第三品将军 客星见于翼 雍州刺史 自以不修容止 二年三月 章武民刘牙聚众反 正口 东壁 亦其亚也 后年八月 学涉群书 通达经章 孝慕过人 雍州献苍乌 夜梦星坠压脚 使司空公 内外称庆 受符录 奉天屈己 益六百一十九 唯保护东海王及裴妃而已 《仓》 阴精乘箕 其数二百四十一万六千六百六十 顺 而济以篡杀之祸 先帝 昔发明诏 遂被宠遇 吾常谓濯缨洗耳 不满宿者 讳嗣 后改为狄氏 幸龙门 当时莫及 诏曰 时连日骤雪 正光中 到游越谷南岭下 庄帝追崇武宣王为文穆皇帝 皇魏承百王之季 此是畜生 雌黄 月犯岁星 伯父安上 余满日法 参 入其国城 每冬冰合后 推步有疏密 及尔朱兆率众奄至 在丙 晋代有加减 遣使与石勒通和 四日 文穆皇帝天眷人宅 班固志《艺文》 都督河间王琛

第5章 三角函数
5.1.2 弧度制
思考：度量长度单位有哪些？度量重量又有哪些？
姚明身高
• 姓名：姚明
身高： 7尺6寸
体重：310磅
• 英文名：Yao Ming
身高：226厘米
体重：134公斤
情境导入
1. 在平面几何里，度量角的大小用什么单位？
2.用“度”作单位来度量角的单位制称作 “角度制”， 规定：1度的
显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式简单了.在今后的学习中，我们还
将进一步看到弧度制带来的便利.
四、作业
（1）P175练习：1,2,3,6
（2）P175~176习题5.1
∠就是1弧度的角
B
O
1rad
r
A
l =r
4.弧度的计算公式：|
l （弧度的绝对值等于弧长除以半径）
|
r
注意：α的正负由角α的终边的旋转方向决定
一般地，我们规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，
零角的弧度数为零。
思考：半圆与整圆所对的圆心角是多少度？是多少弧度？
r
.
①半圆所对的圆心角为：
度
弧度
0°
30°
45°
120° 135° 150°

3

2
角的概念推广后，在弧度制下，角的集
合与实数解R之间建立起一一对应关系。
360°

3
2
正角
正实数
零角
0
负角
负实数
三、弧长公式与扇形面积公式
例2.若用R表示圆的半径，α(0＜α＜2π)为圆心角， 是扇形弧长，S是扇
形面积，利用弧度制证明下列关于扇形的公式：