圆的面积公式推导PPT

换算错误
进行单位换算时，应遵循正确的换算 关系。例如，1米等于100厘米，而不 是10厘米或1000厘米。
误区二：混淆直径与半径概念
概念不清
应明确半径是圆的任意一点到圆心的距离，而直径是通过圆心且两端都在圆上的线段。半径是直径的一半。
应用错误
在计算圆的面积时，应使用半径而不是直径。若题目给出的是直径，应将其除以2得到半径后再进行计算。
多边形内切圆与外接圆面积关系推导
正多边形情况
对于正多边形，其内切圆半径r与外接圆半径R之比为r:R=1:2，进而可推导出正多边形 内切圆面积与外接圆面积之比为πr²:πR²=1:4。
一般多边形情况
对于一般多边形，由于其各边长度和角度不均等，内切圆半径r与外接圆半径R之比不具 有固定值。但可以通过计算多边形各顶点到内切圆圆心的距离平均值来估算内切圆半径
圆的面积计算公式推导
• 推导过程：假设圆的半径为r，将圆划分为无数个小的扇形，每个扇形的面积近似于一个三角形。三角形的底为圆的周长（ 2πr），高为半径（r）。因此，圆的面积可以表示为无数个三角形面积之和，即S=πr²。
CHAPTER 02
圆的面积计算方法详解
直接法计算圆的面积
01
02
03
公式推导
求解组合图形的面积
当需要求解由圆和其他图形组合而成的复杂图形的面积时，可以通过圆的面积 公式来求解。
圆的面积在物理学中的应用
计算物体的转动惯量
在物理学中，转动惯量是一个物体对于旋转运动的惯性大小 的度量，而圆的面积公式可以用于计算某些形状物体的转动 惯量。
计算电磁场的能量
在电磁学中，电磁场的能量密度与场的分布有关，而场的分 布又与某些几何形状的面积有关，因此圆的面积公式也被用 于计算电磁场的能量。

求下图中涂色部分的面积。（单位：米）
80
100
10
10
填表：
r(米)
d(米) 4
C(米)
S(平方米)
10 18.84
9
恭喜你！ 顺利过关！
这是一个由草绳编织成的圆形茶杯垫片。
r 2πr
三角形的面积= 底×高 2 π 2 所以圆的面积：S= ×r= π r2 2
谢 谢
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”

=πr2
× 2r
2、一个雷达屏幕的直径是 40厘米，它的面积是多少平 方厘米？
半径：40÷2=20（厘米） 面积： 3.14×202
=3.14×400 =1256（平方厘米）
答：它的面积是1256平方厘米。
3、判断对错：
（1）直径是2厘米的圆，它
× 的面积是12.56平方厘米。 ()
3、判断对错：
（2）两个圆的周长相等，面
积也一定相等。
（√ ）
3、判断对错：
（3）圆的半径越大，圆所占
的面积也越大。
（√ ）
3、判断对错： （4）圆的半径扩大3倍，它
× 的面积扩大6倍。 （ ）
4、思考题：
已知半圆中三角形ABC的高是 5厘米，面积是30平方厘米， 求阴影部分面积。
用心学习才会学到更多知识 用心做事才会把事情做得更好
圆的
面积
复习：什么叫平面图形的面积？
下列图形的面积是如何计算
h
h
S=a2
a
S=ah
a
a
S=ah÷2 S=(a+b)h÷2
b a
S=ab
这个圆形花坛的 占地面积是多少
平方米
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
半径越大，圆的面积就越大。
高 底
高 底
高 底
高 底
高 底
高 底
高 底
多少？
2米
在长满青草的草地上 一匹马被主人用一根两 米长的绳子栓在一棵树， 这匹马最多能吃到多少 青草？
做一做：
根据下面所给的条件，求圆 的面积。 （1）半径2分米 （2）直径10厘米
1、求下面各圆的面积。 （口头列式）
3.14×12

四 等 分
八 等 分
十 六 等 分
三 十 二 等 分
以拼成的近似平行四边形为例： 圆面8等分时： 圆面16等分时： 圆面32等分时：
分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。
从上图中可以看出圆的半径是r，长 方形的宽近似( 圆的半径 )，长近似于 ( 圆周长的一半 )。
因为长方形的面积＝( 长 )×(宽 )， 所以圆面积＝(πr)×( r )＝(πr²)。 如果用S表示圆的面积，那么圆的面积计算公式就是 ： S＝πr²。
(2)一个圆的周长是12.56m，它的面积是多少平方米？
12.56÷3.14＝4(m) 3.14×(4 ÷ 2)2 ＝3.14×4 ＝12.56(m2) 答：它的面积是12.56 m²。
(3)将一只羊拴在草地的木桩上，绳子的长度是4米。这只羊最 多可以吃到多少平方米的草？
3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24(m2) 答：这只羊最多可以吃到50.24 m²的草。
9.42÷3.14＝3(dm) 34×3.14×32 ＝21.195(dm2) 答：阴影部分的面积是 21.195 dm2。
6．如图，从三块面积相等的正方形钢板上分别割 下大小不同的圆形钢片，请问三块钢板剩余部分 的面积相等吗？
解：设三块正方形钢板的边长为12a cm， 则第一块钢板剩余部分的面积为 12a×12a－3.14×(6a)2＝30.96a2(cm2)； 第二块钢板剩余部分的面积为 12a×12a－3.14×(3a)2×4＝30.96a2(cm2)； 第三块钢板剩余部分的面积为 12a×12a－3.14×(2a)2×9＝30.96a2(cm2)。 答：三块钢板剩余部分的面积相等。
1．(1)把一张圆形纸片分成若干(偶数)等份，拼成一 个近似的长方形。如下图。

本资料首先提出了目标，即掌握圆面积公式的推导和应用。接着无限等分并重新组合成近似长方形的方法。通过观察发现，当圆的等分数量越多，组成的形状越接近于长方形。进一步讨论得出，这个近似长方形的长与圆周长的一半大致相等，宽与圆的半径大致相等。基于这一发现，推导出了圆面积公式：S=πr²。为了加深理解，资料中还提供了多个例题和应用题，包括已知圆的半径、直径或周长求面积的情况，以及判断题和实际问题如计算操场面积和小羊吃草面积等。最后，总结了推导过程中使用的思想方法，如割补法、无限逼近和化曲为直，并强调了熟记圆面积公式的重要性。

带领者：王镇江
圆的面积定义
面积公式推导
智慧屋
我的收获
记 忆 宝 库
面积指的是什么？
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
返回
记 忆 宝 库
你还记得三角形、梯形 面积的推导过程吗？
记 忆 宝 库
你还记得三角形、梯形 面积的推导过程吗？
猜一猜：圆的面积和什么有关？
将圆分成若干等分
34 56
2
7
1
8
例2
街心花园中圆形花坛的周长是18.84
﹋ 米。花坛的面积是多少平方米？
S ＝ πr 2
第一步求花坛半径； 第二步求花坛面积；
华能火力发 电厂的烟囱 底面是圆形 的，要想知 道这根烟囱 占地多少平
﹋方米﹋有﹋哪些﹋
办法？
返回
努 力 吧 ！
求下面各圆的面积。
3厘米
数学诊所
（1）圆的半径扩大5倍, 圆的面积也扩大5倍。（×） （2）半径是2厘米的圆，周长和面积相等。（×） （3）一个圆的面积是3米。（×）
第一步求周长
第二步求面积
钟表分针尖 端到大钟面 中心的距离 是25cm,到 小钟面的距 离是20cm, 则圆环的面 积是多少平 方米？
求下图中涂色部分 的面积。（单位：米）
80
100
10
10
恭喜你！ 顺利过关！
16
9
15
10
14 13 12 11
将圆分成若干等分
1 2 3 4C 5 6 7 8 2
1 2 34 567 8
r
16 15 14 13 12 11 10 9
16 15 14 13 12 11 10 9
分的份数越多，拼成的图形 越接近长方形。

继续
推导过程是： 长方形的面积= 长 × 宽 圆的面积=圆周一半 ×半径
S=πr×r S=πr²
圆面积公式推导过程演示
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谢谢 本课件仅供大家学习学习
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高 底 推导过程： 长方形的面积=长×宽
平形四边形的面积=底× 高
宽 长
高 底 推导过程： 长方形的面积=长×宽
平形四边形的面积=底× 高
宽 长
继续
继续Βιβλιοθήκη 继续继续思考提纲：1、圆同拼成的 近似长方形什么变了？什么 没变？2、拼成的近似长方 形的长相当于圆的哪一部分？ 宽相当圆的哪一部分？3、 你能不能根据它们的以上关 系由长方形面积计算公式推 导出圆的面积计算公式？写 出推导过程。
长= r
宽= r

思维大比拼
冒险岛
华能火力发电厂的烟囱底面是圆形的，要想知道这根烟囱 占地多少平方米有哪些办法？
思维大比拼
冒险岛
10
10
求上图涂色部分的面积（单位：米）
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
25
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
还记得梯形面积公式的推导过程吗？
a
h
b
S梯形 =1/2(a+b)h
面积公式的推导
怎样计算一个圆的面积呢？ 能不能把圆转化成学过的图形来计算呢？
将圆分成若干份
面积公式的推导
34 56
2
7
1
8
16
9
15
10
14 13 12 11
面积公式的推导 将圆分成若干份
1 2 34 567 8
16 15 14 13 12 11 10 9
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
圆的面积
平罗县陶乐第一小学
面积公式 的推导
圆面积定 义
冒险岛
圆的面积
问题引入
问题引入
问题引入
小羊吃过的 草地的面积 是多少呢？
圆面积的定义 面积指的是什么？
圆面积的定义
圆所占平面的大小叫做圆的面积
面积公式的推导 还记得三角形面积公式的推导过程吗？