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函数的表示法【教材分析】根据函数的定义，函数有三种最常用的表示法：解析法、列表法、图象法，这三种表示法在体现函数性质方面各有优势，根据不同情况采用适当的函数表示形式，有助于深入理解相关函数的性质，养成运用函数知识解决实际问题的习惯。
掌握函数三种形式的相互转换，为进今后学习新的函数（指数函数、对数函数等）的性质做好知识和方法准备。
【教学目标与核心素养】1．知识目标：掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法；灵活运用函数的三种表示法研究函数的性质；熟练作出部分常见函数（分段函数、取整函数、绝对值函数等）的图象；掌握函数的相关运算、函数解析式的求解方法等。
2．核心素养目标：熟练掌握函数的三种表示法，利用函数图象研究函数性质，提高学生的数学运算能力和直观想象能力。
【教学重难点】1．函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法；2．准确作出部分常见函数（分段函数、取整函数、绝对值函数等）的图象；3．函数的相关运算、函数解析式的求解方法等。
【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、知识引入提到“函数”，同学们立刻想到的是什么？可能是初中学过的形如“y kx=+、2=、y ax b=++”，这些正比例函数、一y ax bx c次函数、二次函数⋯等等。
这些都是解析式形式的函数。
思考讨论：如图，是我国最大的水库——三峡水库上游某个地区年降雨量的统计图，图中表示了年号与降雨量之间的对应关系，那么它们是不是函数关系呢？能不能用精确的解析式表示呢？提示：是函数关系，但没有精确的函数解析式。
二、新知识函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法将变量的函数关系用代数式表示，是函数表示方法的解析法；用表格给出变量之间的函数对应关系，是函数表示方法的列表法；用图形给出变量之间的函数对应关系，是函数表示方法的图象法。
上图分别是用列表法、图象法表示的列车时刻表和成绩变化图。
注意：①函数的三种表示法各有优势．解析法：变量之间的关系明确，便于精确计算，但不够直观，某些函数无法用解析式表示；列表法：变量之间的对应关系直观、明了，不需计算，但数据量有限；图象法：直观地显示出变量的关系、变化规律和函数的性质，使抽象的函数具体化，但无法进行精确运算，如求函数定义域、求精确的函数值等。
§2.2 函数的表示法教学目标：1.使学生掌握函数的常用的三种表示法；2.使学生能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，了解函数不同表示法的优缺点；3.使学生理解分段函数及其表示法，会处理某些简单的分段函数问题；4.培养学生数形结合与分类讨论的数学思想方法，激发学生的学习热情。
教学重点：函数的三种表示法及其相互转化，分段函数及其表示法教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数及其表示法。
教学过程：一、新课引入复习提问：函数的定义及其三要素是什么？函数的本质就是建立在自变量ｘ的集合Ａ上对应关系，在研究函数的过程中，我们常用不同的方法表示函数，可以从不同的角度帮助我们理解函数的性质，是研究函数的重要手段。
请同学们回忆一下函数有哪些常用的表示法？答：列表法是、图像法、解析法二、新课讲解请同学们阅读课本P28-P29例2以上部分内容，思考下列问题：1. 列表法是、图像法、解析法的分别是怎样定义的？2. 这三种表示法各有什么优、缺点？在学生回答的基础上师生共同总结:(多媒体课件显示) 列表法 图像法 解析法定 义 用表格的形式把两个变量间的函数关系表示出来的方法 用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法 一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来的方法优 点 不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观 可以直观地表示函数的局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势能叫便利地通过计算等手段研究函数性质缺 点 只能表示有限个元素的函数关系 有些函数的图像难以精确作出 一些实际问题难以找到它的解析式函数的三种表示法并不是相互独立的，它们可以相互转化，是有机的一个整体，像我们非常熟悉的一次函数、二次函数，我们都可以用列表法是、图像法、解析法来表示和研究它们。
下面我们再通过几个具体实例来研究函数的列表法是、图像法、解析法的相互转化和应用。
例1、 请画出下列函数的图像。
,0,0x x y x x x ≥⎧==⎨-≤⎩解：图像为第一和第二象限的角平分线， y如图2-5所示0 x图2-5本题体现的是由数到形的变化，是数形结合的数学思想方法。
正整数指数函数一、教材分析１．教材背景正整数指数函数是在学习了函数的现代定义及其图象、性质，学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，为将幂指数从整数扩充到实数范围之后，学习指数函数的一个基本初等函数。
本节内容1课时完成。
２．本课的地位和作用本节内容既是函数内容的深化，又是今后学习指数函数、对数函数的基础，具有非常高的实用价值，在教材中起到了承上启下的关键作用。
在正整数指数函数的研究过程中蕴含了数形结合、分类讨论、归纳推理等数学思想方法，通过学习可以帮助学生进一步理解函数，培养学生的函数应用意识，增强学生对数学的兴趣。
二、重难点分析根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：重点：正整数指数函数的概念，函数图像的特征归纳。
难点：函正整数指数数图像的特征。
三、目标分析１．知识技能目标了解正整数指数函数的概念、能画出一些简单的正整数指数函数的图像，了解它们的特征。
２．过程性目标通过自主探索，让学生经历“特殊→一般→特殊”的认知过程，完善认知结构，领会数形结合、分类讨论等数学思想方法。
３．情感、价值观目标让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美，展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。
四、学情分析１．有利因素学生刚刚学习了函数的定义、图象、性质，已经掌握了研究函数的一般思路，对于本节课的学习会有很大帮助。
２．不利因素本节内容对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，同时要求学生勤动手，要求学生有好的学习习惯。
五、教法学法根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析，确定以下教法、学法：探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学。
依据本节为概念学习的特点，类比学习函数的一般思路，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。
函数的表示方法 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数； 2、 了解简单的分段函数，并能简单应用；
一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法 如果函数yfxxA中，fx是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。 例如，s=602t，A=2r，2Srl,2(2)yxx等等都是用解析式表示函数关系的。 特别提醒： 解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。 解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。 2、列表法： 通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。 例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的. 特别提醒： 列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。这种表格常常应用到实际生产和生活中。 列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。 3、图象法： 用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。 例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。 特别提醒： 图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。 图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。 二、函数图像： 1、判断一个图像是不是函数图像的方法： 要检验一个图形是否是函数的图像，其方法为：任作一条与x轴垂直的直线，当该直线保持与x
轴垂直并左右任意移动时，若与要检验的图像相交，并且交点始终唯一的，那么这个图像就是函数图像。 2、函数图像的作图方法大致分为两种： （1）描点作图法。步骤分三步：列表，描点，连线成图。 （2）图像变换法。利用我们熟知基本初等函数图像，将其进行平移、对成等变换，从而得到我们所求的函数图像的方法。 三、根据函数图像确定函数的定义域和值域： 1、由函数图像来确定函数的值域的方法是看函数图像在y轴上的正投影所覆盖的区域； 2、由函数图像来确定函数的定义域的方法是看函数图像在x轴上的正投影所覆盖的区域； 四、分段函数图像： 有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数。由此可知，作分段函数的图像时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出。
类型一 函数的表示方法 例1：某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试分别用列表法、图象法、解析法表示售出台数x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与收款总额y(元)之间的函数关系． 解析：(1)该函数关系用列表法表示为： x/台 1 2 3 4 5
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x/台 6 7 8 9 10
y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
（2）该函数关系用图象法表示，如图所示．
（3）该函数关系用解析法表示为y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}． 答案：见解析 练习1：某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对
不扣分，试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈ {0,1,2,3,4,5})之间的函数关系． 答案：(1)该函数关系用列表法表示为： x/道 0 1 2 3 4 5
y/分 50 40 30 20 10 0
（2）该函数关系用图象法表示，如图所示 （3）该函数关系用解析法表示为y＝50－10x(x∈ {0,1,2,3,4,5})． 练习2：(2014～2015学年度浙江舟山中学高一上学期期中测试)已知f(x＋1)＝2x＋3，则f(x)
＝________. 答案：2x＋1 类型二 识画函数的图象 例2：作出函数y＝2x2－4x－3,0≤x<3的图象．
解析 ∵0≤x<3，∴这个函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的一段弧
答案：见解析 练习1：某种笔记本每个5元，买x(x∈{1,2,3,4})个笔记本的钱数记为y(元)，试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图象．
答案： 练习2：画出函数3yx的图像
答案：
3
-1O
y
x 类型三 函数图象的应用 例3：若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数的较小者，求f(x)的最大值． 解析：在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图，根据题意，坐标系中实线部分
即为函数f(x)的图象， ∴x＝1时，f(x)max＝1.
答案：1. 练习1：某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则四个图形中较符合该学生走法的是( )
答案：D 练习2：如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A、B、C的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，则f{f[f(2)]}＝________.
答案：2． 类型四 分段函数求值
例4：(2014～2015学年度广东珠海四中高一上学期月考)已知函数f(x)＝ 1－x2x≤1x2－x－3x>1，
则f[1f3]的值为( ) A．1516 B．－2716 C．89 D．18 解析：f(3)＝32－3－3＝3， f[1f3]＝f(13)＝1－19＝89.
答案：C． 练习1：(2014～2015学年度四川成都七中实验学校高一上学期期中测试)已知f(x)＝
2x－1 x≥2－x2－3xx<2，则f(4)的值为( )
A．7 B．3 C．－8 D．4 答案：A 练习2：(2014～2015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)设函数f(x)＝
x2＋1x≤1
2xx>1
，则f[f(3)]＝______.
答案： 139 类型五 分段函数在实际问题中的应用 例5：如图(1)所示，在边长为4的正方形ABCD边上有一点P，沿着折线BCDA，由点B(起点)向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求：y与x之间的函数关系式；
解析：当点P在BC上，即0≤x≤4时，S△ABP＝12×4x＝2x， 当点P在CD上，即4S△ABP＝12×4×4＝8，
当点P在DA上，即8
∴y＝ 2x 0≤x≤48 4
答案：y＝ 2x 0≤x≤48 4练习1：(2014～2015学年度宁夏育才中学高一上学期月考)已知A、B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地；在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的距离S表示为时间t(h)的函数表达式为( ) A．S＝60t B．S＝60t＋50t C．S＝ 60t 0≤t≤2.5150－50t t>3.5
D．S＝ 60t 0≤t≤2.5150 2.5答案：D 练习2：某市区住宅电话通话费为前3 min 0.20元，以后每分钟0.10元(不足3 min按3 min计，以后不足1 min按1 min计)．在直角坐标系内，画出接通后通话在6 min内(不包括0 min，包括6 min)的通话费y(元)关于通话时间t(min)的函数图象，并写出函数解析式及函数的值域．
答案：这个函数的解析式为y＝ 0.2，t∈0，3]0.3，t∈3，4]0.4，t∈4，5]0.5，t∈5，6]， 函数的值域为{0.2,0.3,0.4,0.5}． 1. 下列图像中，那些可能是函数图像，把你认为正确图像的序号填写在横线上 。
① ② ③ ④ ⑤
答案：②④⑤ 2. 根据下列函数图像分别确定函数的定义域和值域
（1） （2） （3） 答案：（1）定义域为2,1,0,1,2；值域是2,1,2。
（2）定义域为R；值域是6,6;（3）定义域为R；值域是R. 3. 作出分段函数21xxy的图像
Oyx
