《1.1.2 命题的四种形式》教案

1.3.2 命题的四种形式
【教材分析】 （一）三维目标 （1）知识与技能
1）进一步理解命题的概念，了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；
2）会分析四种命题的相互关系。

（2）过程与方法
1）了解四种命题之间的关系，学会用数学观点分析解决实际问题； 2）通过研究四种命题之间的关系，提高分析问题、解决问题的能力。

（3）情感、态度与价值观
通过命题四种关系的判断，使学生感受对立统一的思想，培养学生的辩证唯物主义观点，
（二）教学重点
四种命题的概念及相互关系.。

（三）教学难点
四种命题的相互关系.。

（四）教学建议
本节内容比较抽象，教学时，不要让学生去死记硬背形式化的定义和模式，而要通过例题教学，让学生去发现四种命题形式间的逻辑关系，并能用命题间的关系趋验证写出的命题是否正确。

有时当原命题不易证明时，可利用两个互为逆否命题间的等效性转化为证明其逆否命题。

【新课导入设计】 导入一：（复习导入）
指出下列命题中的条件与结论，并判断真假： （1）矩形的对角线互相垂直且平分； （2）函数232y x x =-+有两个零点. 导入二：(情景导入)
某食品的广告词为“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”，初听起来，似乎是几句普通的赞美词，然而它所起得实际效果可大哩！原来这句话，变换成等价命题就是“不拥有的人们不
幸福”。

哪个家庭不幸福呢？掏钱买一个就是了。

瞧！广告商的目的就这样通过巧妙的命题变换达到了。

课前热身
【教学过程】
教材P23页习题1-3A第4、5题●板书设计
●授后记。

1.1.2四种命题教学目标：1. 通过实例理解命题的概念，会判断命题的真假；2. 了解命题的四种形式，能正确判断四种命题之间的关系．教学重点：会写命题的逆命题、否命题、逆否命题．教学难点：利用四种命题的关系判断命题的真假．教学方法：问题链导学，讲练结合．教学过程：一、问题情境我们知道，能够判断真假的语句叫做命题．例如，如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；①如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；②如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；③如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等．④思考：命题②，③，④与命题①有什么关系？二、建构数学1．上面的四个命题都是“如果……，那么……”形式的命题，可以记为“若p则q”，其中p 是命题的条件，q是命题的结论．2．在上面的例子中：命题②的条件和结论分别是命题①的结论和条件，我们称这样的两个命题互为逆命题；命题③的条件和结论分别是命题①的条件的否定和结论的否定，我们称这样的两个命题互为否命题；命题④的条件和结论分别是命题①的结论的否定和条件的否定，我们称这样的两个命题互为逆否命题．3．一般地，设“若p则q”为原命题，那么“若q则p”就叫做原命题的逆命题；“若非p则非q”就叫做原命题的否命题；“若非q则非p”就叫做原命题的逆否命题．（非p、非q分别表示p和q的否定）三、数学运用例1设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是()A.若a≠-b,则|a|≠|b|B.若a=-b,则|a|≠|b|C.若|a|≠|b|,则a≠-bD.若|a|=|b|,则a=-b2.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则2a+2b+2c≥3”的否命题是()A.若a+b+c≠3,则2a+2b+2c<3B.若a+b+c=3,则2a+2b+2c<3C.若a+b+c≠3,则2a+2b+2c≥3D.若2a+2b+2c≥3,则a+b+c=33.命题“若-1<x<1,则2x<1”的逆否命题是()A.若x≥1或x≤-1,则2x≥1B.若2x<1,则-1<x<1C.若2x>1,则x>1或x<-1D.若2x≥1,则x≥1或x≤-1例2 1.命题“个位数字为5的整数能被5整除”是(真、假)命题,它的逆命题为,是(真、假)命题.2.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并分别写出它们的逆命题、否命题与逆否命题,并判断真假:(1)负数小于零.(2)在三角形中,大边对大角.四、随堂练习：1.命题“a、b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是2.与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是3．已知命题甲：p⇒q，命题乙：q⇒p，命题丙：¬p⇒¬q，命题丁：¬q⇒¬p.(1)若甲真则乙为真；(2)若乙真则丙为真；(3)若丙真则丁为真；(4)若丁真则甲为真．说法正确的是4．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是5．命题“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题是____________________．6．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线．其逆命题为________(真、假)．7．命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是________，逆否命题是________．8．设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明它们的真假．9．证明：对任意非正数c，若有a≤b＋c成立，则a≤b.10.命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．参考答案例1【解析】1.选D.原命题的条件是a=-b,作为逆命题的结论;原命题的结论是|a|=|b|,作为逆命题的条件,即得逆命题“若|a|=|b|,则a=-b”,故选D.2.选A.命题“若p,则q”的否命题是“若¬p,则¬q”,故选A.3.选D.若原命题是“若p,则q”,则逆否命题为“若¬q,则¬p”,故此命题的逆否命题是“若x2≥1,则x≥1或x≤-1”.【拓展提升】1.四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论,所得命题是原命题的逆命题.(2)同时否定原命题的条件和结论,所得命题是原命题的否命题.(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得命题是原命题的逆否命题.例2 【解析】1.命题“个位数字为5的整数能被5整除”是真命题,它的逆命题为:“能被5整除的整数的个位数字为5”,如20能被5整除,个位数字为0,是假命题.答案:真能被5整除的整数的个位数字为5假2.(1)原命题:若一个数是负数,则它小于零.真命题.逆命题:若一个数小于零,则它是负数.真命题.否命题:若一个数不是负数,则它不小于零.真命题.逆否命题:若一个数不小于零,则它不是负数.真命题.(2)原命题:在三角形中,大边对大角.真命题.逆命题:在三角形中,大角对大边.真命题.否命题:在三角形中,不是较大的边所对的角不是较大的.真命题.逆否命题:在三角形中,不是较大的角所对的边不是较大的.真命题.【拓展提升】四种命题真假的判断(1)对于不含关联词的命题,要先把命题写成“若p,则q”的形式,有些命题的条件和结论含有前提条件,在改写时,前提条件的位置不能改变,即前提条件不能作为命题的条件.(2)判断一个命题是真命题,可以根据定义、定理证明,判断一个命题是假命题,只要举出反例即可.随堂练习1.【答案】a ＋b 不是偶数，则a 、b 不都是偶数2.【答案】不能被3整除的整数，一定不能被6整除3.【答案】（2）（4）4.【答案】25.【答案】若x >－3，则x 2＋x －6≤06.【答案】假7.【答案】若A ∪B ≠B ，则A B 若A B ，则A ∪B ≠B8.【答案】逆命题：已知a 、b 为实数，若a 、b 都是无理数，则a ＋b 是无理数． 如a ＝2，b ＝－2，a ＋b ＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a 、b 是实数，若a ＋b 不是无理数，则a 、b 不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a 、b 是实数，若a 、b 不都是无理数，则a ＋b 不是无理数．如a ＝2，b ＝2，则a ＋b ＝2＋2是无理数，故逆否命题为假9.【答案】 若a >b ，由c ≤0知b ≥b ＋c ，∴a >b ＋c .∴原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题，即对任意c ≤0，若有a ≤b ＋c 成立，则a ≤b .10.【答案】 解法1：是真命题．∵m >0，∴Δ＝1＋4m >0.∴方程x 2＋x －m ＝0有实根，故原命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”是真命题． 又因原命题与它的逆否命题等价．∴命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题也是真命题．解法2：是真命题．原命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题为“如果x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”．∵x 2＋x －m ＝0无实根，∴Δ＝1＋4m <0，m <－14≤0，故原命题的逆否命题为真命题．。

一、知识与技能1．了解命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；2．能正确判断命题的真假，掌握四种命题的关系，能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题．合理进行思维的方法。

3．会用反证法证明简单的数学问题二、过程与方法1．从实例出发，抽象出命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；2．由具体事例入手，让学生发现命题、逆命题、否命题与逆否命题的关系；3．由互为逆否命题的真假一致引导学生学会准确地判断命题的真假。

三、情感态度与价值观初步形成运用逻辑知识准确地表述问题的数学意识。

4．四种命题之间的关系：如右图所示三．练习领会1．学生口答例4【例4】写出命题“若0a =,则0ab =”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。

解：原命题：若0a =,则0ab =是真命题；逆命题：若0ab =，则0a =是假命题；否命题：若0a ≠，则0ab ≠”是假命题；逆否命题：若0ab ≠，则0a ≠”是真命题；说明：原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真.2．学生完成例5【例5】把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假。

（1）两个全等的三角形的三边对应相等；（2）四边相等的四边形是正方形；（3）负数的平方是正数；（4）在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。

分析：关键是找出原命题的条件p 和结论q .解：（1）原命题可以写成：若两个三角形全等，则这两个三角形的三边对应相等；（真）逆命题：若两个三角形的三边对应相，则这两个三角形全等；（真） 否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不是三边对应相等；（真） 逆否命题：若两个三角形不是三边对应相等，则这两个三角形不全等；（真）（2）原命题可以写成：若一个四边形四边相等，则它是正方形；（假）逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；（真）否命题：若一个四边形四边不相等，则它不是正方形；（真）逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等；（假）(3)原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数.另解：原命题可写成：若一个数是负数的平方，则这个数是正数；（真） 逆命题：若一个数是正数，则它是负数的平方；（假）否命题：若一个数不是负数的平方，则这个数不是正数；（假）逆否命题：若一个数不是正数，则它不是负数的平方. （真）3．学生完成例6【例6】设原命题是“当0c >时，若a b >，则ac bc >”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假.分析：“当0c >时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a b >，结论是ac bc >.解：逆命题：当0c >时，若ac bc >，则a b >.它是真命题；否命题：当0c >时，若a b ≤，则ac bc ≤.它是真命题；逆否命题：当0c >时，若ac bc ≤，则a b ≤.它是真命题.说明：两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题等）.。

1．1.2命题的四种形式[读教材·填要点]1．四种命题结构2．四种命题的相互关系3．四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况(2)①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．[小问题·大思维]1．命题a的否命题是b，命题b的逆否命题是c，命题c的逆命题是d，则命题a与命题d的关系是怎样的？提示：由四种命题间的关系可知a与d是一个命题．2．如果一个命题的逆命题为真命题，这个命题的否命题一定为真命题吗？提示：一定为真命题．因为一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，所以它们的真假性相同．3．在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？提示：因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0,2,4.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：(1)若α＋β＝π2，则sin α＝cos β；(2)对任意非正数c ，若有a ≤b ＋c 成立，则a ≤b . [自主解答] 逆命题：若sin α＝cos β，则α＋β＝π2.否命题：若α＋β≠π2，则sin α≠cos β.逆否命题：若sin α≠cos β，则α＋β≠π2.(2)逆命题：对任意非正数c ，若有a ≤b 成立，则a ≤b ＋c . 否命题：对任意非正数c ，若有a >b ＋c 成立，则a >b . 逆否命题：对任意非正数c ，若有a >b 成立，则a >b ＋c .四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题． (2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．1．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题． (1)负数的平方是正数；(2)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面． 解：(1)原命题改写成“若一个数是负数，则它的平方是正数”． 逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数． 否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数． 逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．(2)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面； 逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．判断下列命题的真假，并说明理由．(1)“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题； (2)“正三角形都相似”的逆命题；(3)“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题； (4)“若x －2是有理数，则x 是无理数”的逆否命题．[自主解答] (1)原命题的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”． 真命题 (2)原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”． 假命题 (3)原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”． ∵方程无实根， ∴判别式Δ＝1＋4m <0. ∴m <－14≤0. 真命题(4)原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”． ∵x 不是无理数，∴x 是有理数．又2是无理数， ∴x －2是无理数，不是有理数． 真命题若本例(3)改为判断“若m >0，则mx 2＋x －1＝0有实根”的逆否命题的真假，则结论如何？解：原命题的逆否命题为“若mx 2＋x －1＝0无实根，则m ≤0”．因为方程mx 2＋x －1＝0无实根，则m ≠0，所以判别式Δ＝1＋4m <0，则m <－14，故m ≤0，为真命题．在判断一个命题的真假时，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的等价关系进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假．2．把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．解：“若p，则q”的形式：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行，是真命题；逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线，是真命题；否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行，是真命题；逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线，是真命题．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.[自主解答]法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0，则a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．法二：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．因此假设不成立，故a＋b≥0.由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．3．证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.证明：将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”．由于m＋n>2，则m2＋n2≥12(m＋n)2>12×22＝2，所以m 2＋n 2≠2.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假．[解] 法一：逆否命题：已知a ，x 为实数，若a ＜1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为∅.判断如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2开口向上， 令x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2＝0， 则Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7. 因为a ＜1，所以4a －7＜0，即抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为∅. 故逆否命题为真命题．法二：利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．因为关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0.即4a －7≥0，解得a ≥74≥1.所以原命题为真，故其逆否命题为真． 法三：利用集合的包含关系求解．命题p ：关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，命题q ：a ≥1， 所以p ：A ＝{a |(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≥74；q ：B ＝{a |a ≥1}．因为A ⊆B ，所以“若p ，则q ”为真命题． 所以原命题的逆否命题为真．[点评] 因为互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，所以判断某个命题真假时，可以改为判断它的逆否命题的真假．当命题与不等式的解集有关时，也可以利用集合的包含关系．1．设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．故选D.答案：D2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是() A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3解析：a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.答案：A3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为()A．0B．1C．2 D．4解析：“若a>－3，则a>－6”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题．又逆命题、否命题为假命题，所以真命题的个数为2.故选C.答案：C4．命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为________．解析：“a>b”的否定是“a≤b”，“2a>2b－1”的否定是“2a≤2b－1”．答案：若a≤b，则2a≤2b－15．有下列四个命题：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的是______________(填上你认为正确的命题的序号)．解析：④中由A∩B＝B，应该得出B⊆A，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题．答案：①②③6．写出下列原命题的其他三种命题，并分别判断真假．(1)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B；(2)若ab＝0，则a＝0；(3)若x∈A，则x∈A∪B.解：(1)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题；否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题；逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．(2)逆命题：若a＝0，则ab＝0，真命题；否命题：若ab≠0，则a≠0，真命题；逆否命题：若a≠0，则ab≠0，假命题．(3)逆命题：若x∈A∪B，则x∈A，假命题；否命题：若x∉A，则x∉A∪B，假命题；逆否命题：若x∉A∪B，则x∉A，真命题．一、选择题1．命题“若a>b，则a＋1>b”的逆否命题是()A．若a＋1≤b，则a>b B．若a＋1<b，则a>bC．若a＋1≤b，则a≤b D．若a＋1<b，则a<b解析：把条件与结论交换，再否定．答案：C2．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析：否命题是既否定题设又否定结论．因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”．答案：B3．下列说法中错误的是()A．命题“a，b，c中至少有一个等于0”的否命题是“a，b，c中没有一个等于0”B．命题“若x>1，则x－1>0”的否命题是“若x<1，则x－1<0”C．命题“0，－2,0.4都是偶数”的否命题是“0，－2,0.4不都是偶数”D．命题“x＝－4是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“x＝－4不是方程x2＋3x－4＝0的根”解析：命题“若x >1，则x －1>0”的否命题应该是“若x ≤1，则x －1≤0”． 答案：B4．命题“函数f (x )·g (x )在定义R 上，h (x )＝f (x )·g (x )，若f (x )，g (x )均为奇函数，则h (x )为偶函数”的逆命题，否命题，逆否命题中正确的命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由f (x )·g (x )均为奇函数可得h (x )＝f (x )·g (x )为偶函数，反之则不成立，如h (x )＝x 2是偶函数，但函数f (x )＝x 2x 2＋1，g (x )＝x 2＋1都不是奇函数，故逆命题不正确，故其否命题也不正确，即只有逆否命题正确．答案：B 二、填空题5．命题“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的否命题是________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________， 逆否命题是________________________________________________________． 解析：命题“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的否命题是“若A ∪B ≠B ，则A B ”，逆否命题是“若A B ，则A ∪B ≠B ”．答案：若A ∪B ≠B ，则A B 若A B ，则A ∪B ≠B 6．给定下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x －k ＝0”有实根； ②“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题． 其中真命题的序号是________． 解析：①Δ＝4＋4k ＞0，∴是真命题．②否命题为“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”，是真命题． 答案：①②7．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．解析：由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2.∴1≤m ≤2.答案：[1,2] 8．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．答案：③和⑥，②和④ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤ 三、解答题9．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假． (1)若x ≠1时，则x 2－3x ＋2≠0； (2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．解：(1)逆命题：若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1，是真命题； 否命题：若x ＝1，则x 2－3x ＋2＝0，是真命题； 逆否命题：若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1，是假命题．(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题； 否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题； 逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．10．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．解：因为A ∩B ＝∅是假命题， 所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}， 则U ＝⎩⎨⎧m ⎪⎪⎭⎬⎫m ≤－1或m ≥32. 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2都非负，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0.解得m ≥32.又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ≥32在全集U 中的补集是{m |m ≤－1}， 所以实数m 的取值范围是(－∞，－1]．。

§1．1 .1 命题、四种命题【学情分析】：命题、四种命题是逻辑学的基本知识，数学学科包含了大量的命题，了解命题的基本知识，认识命题的相互关系，对于掌握具体的数学知识很有帮助。

本节首先从熟悉的例子出发，引入命题、真命题和假命题的概念，引导学生能挖掘命题中的条件和结论，从而由条件和结论的关系引入四种命题。

【教学目标】：（1）知识目标：理解命题的概念；能判断命题的真假；能把命题写成若P则q的形式；能写出一个命题的另外三个命题。

（2）过程与方法目标：利用学生身边熟悉的事物引入命题和四种命题，让学生经历命题的概念和四种命题形成及运用过程，领会分析、总结的方法。

（3）情感与能力目标：通过提供适当的情境资料，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣；在合作讨论中学会交流与合作，启迪思维，提高创新能力；通过学生的举例，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力。

【教学重点】：判断命题的真假, 一个命题的另外三个命题。

【教学难点】：把命题写成若P则q的形式, 一个命题的另外三个命题。

【教学过程设计】：练习与测试：1．下列语句不是命题的是（ ）A ．2是奇数。

B ．他是学生。

C ．你学过高等数学吗？D ．明天不会下雨。

2．下列语句中是命题的是（ ）A ．语文和数学B ．0sin 451= C ．221x x +- D ．集合与元素3．命题“内错角相等，则两直线平行”的否命题为（ ）A ．两直线平行，内错角相等B ．两直线不平行，则内错角不相等C ．内错角不相等，则两直线不平行D ．内错角不相等，则两直线平行 4．命题“若a b >，则1ab>”的逆否命题为（ ） A ．若1a b>，则a b > B ．若a ≤b ，则b a≤1C ．若a b >，则b a <D ．若ba≤1，则a ≤b5．命题“正数a 的平方不等于0”是命题“若a 不是正数，则它的平方等于0”的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定命题 6命题”02≤x ”是____________(真, 假)命题7.命题”若1x =，则220x x +-=”的逆命题是_________(真, 假)命题； 8命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是_ _______________________________________________9．写出“若x 2+y 2=0，则x =0且y =0”的逆否命题： ；10．命题“不等式x 2+x -6>0的解x <-3或x >2”的逆否命题是 11．把下列命题写成“若p 则q ”的形式，并判断其真假.(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除； (4)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧.12．写出命题“若a 和b 都是偶数，则a+b 是偶数”的否命题和逆否命题． 参考答案：1． C 2．B 3．C 4．D 5．B 6．真 ;7.假 8.逆否命题::圆的切线到圆心的距离等于圆的半径 9．逆否命题: 若x ≠0或y ≠0,则x 2+y 2≠0； 10．若x 23≤-≥x 且,则x 2+x-60≤11．(1)原命题可以写成：若一个数是实数，则它的平方是非负数.这个命题是真命题.(2)原命题可以写成：若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形.这个命题是假命题.(3)原命题可以写成：若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除.这个命题是真命题.(4)原命题可以写成：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧.这个命题是真命题.12．否命题为：若a和b不都是偶数，则a+b不是偶数；逆否命题为：若a+b不是偶数，则a和b不都是偶数§1．1.2 四种命题间的相互关系【学情分析】：四种命题的关系是命题这一节的核心内容，由原命题写出其他三种形式且引导学生探究四种命题相互间的内在的联系,从而引导学生探究出互为逆否命题的真假性一致.利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据．【教学目标】：（1）知识目标：理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤。

§1．1.2 四种命题间的相互关系[学情分析]：四种命题的关系是命题这一节的核心内容，由原命题写出其他三种形式且引导学生探究四种命题相互间的内在的联系,从而引导学生探究出互为逆否命题的真假性一致.利用互为逆否命题的等价性,通过“正难那么反〞培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据．[教学目标]：〔1〕知识目标：理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤。

〔2〕过程与方法目标：让学生初步学会运用逻辑知识整理客观素材，合理进行思维的方法，初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识。

〔3〕情感与能力目标：通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力。

[教学重点]：四种命题之间的关系；[教学难点]：利用互为逆否命题的等价性,通过“正难那么反〞培养自己的逆向思维能力。

[五．体验与运用例1:设原命题是“当c>0时，假设a>b，那么ac>bc〞，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假解：逆命题“当时，假设，那么〞．否命题“当时，假设，那么〞．否命题为真．逆否命题“当时，假设，那么〞．逆否命题为真．课堂练习写出命题：“假设 xy = 6那么 x = 3且 y = 2〞的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假例2：证明：假设022=+yx，那么0==yx。

练习：a,b两直线是异面直线,且点A与B,C与D分别是直线a,b 上的相异点求证:直线AC与BD必异面通过“正难那么反〞培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据六、小结与反思课堂小结1．写一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键是分清楚原命题的条件和结论,一般大前提不变．2．在命题真假性的判断中,要借助原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假, 学会利用互为逆否命题的等价性,通过“正难那么反〞培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据．通过学生自己的小结，将新知识系统化、重点化。

1.1.2四种命题教学目标知识与技能：使学生初步理解四种命题的概念；并掌握各种命题的表示形式；能根据任一命题的原命题写出其另外三种命题．过程与方法：通过对四种命题的概念及相互关系的学习，使学生进一步认识与加强对辩证统一思想的理解．情感态度与价值观：培养学生简单推理的逻辑思维能力；从命题的多样性、和谐统一性，使学生进一步感受数学中的美，以及思维的理性之美．教学重点和难点教学重点：四种命题的概念及相互关系．教学难点：由原命题写出另外三种命题．重难点突破策略：在这节课的教学过程中，要注意控制教学目标，即只研究比较简单的命题，而且命题的条件和结论比较明显；不研究含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题的逆命题、否命题和逆否命题．这节中“若p则q”形式的命题中的“p”，“q”可以都是命题，也可以不都是命题，不能等同于前面的复合命题．教学方法：趣味性教学、合作交流式教学教学过程（一）设置问题情境在以前的数学学习中，有这样的知识：菱形的对角线相互垂直．那么，这一真命题变一下形式后，是否是真命题呢？如：“如果一个四边形对角线相互垂直，那么它是菱形”，再如：“对角线不相互垂直的四边形不是菱形”．这些变形后的命题的真假是否和原命题有关呢？为解决这一问题，这节课我们就来学习“四种命题”．1、温故而知新：什么是命题？什么是命题的否定？（学生回答，教师补充完整）通过对以上问题的回答，复习上节有关知识，结合对下面的问题的思考，引入新课．分析下列两个命题间的关系：Ａ同位角相等，两直线平行．（让学生说出它的逆命题.）Ｂ两直线平行，同位角相等．2、引入新课：（1）回忆互逆命题的概念：①强调两者之间条件与结论的关系，②表示形式：原命题：若p则q;逆命题：若q则p;3、类比探索，学习新知：观察下列两个命题，分析其与命题A之间的关系，结合逆命题的概念，引导同学们自己归纳出否命题、逆否命题的定义:Ｃ同位角不相等，两直线不平行;Ｄ两直线不平行，同位角不相等；【设计意图】通过引导学生思考讨论，教师总结，对互为否命题、互为逆否命题的两命题间的相互关系、概念及表示形式进行学习，其中尤其强调注意否命题、逆否命题中条件和结论同时否定，它和命题的否定概念不同．在命题A与命题B中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．把其中一个命题叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题．在命题A与命题D中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．把其中一个命题叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆否命题．换句话说：（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题．（2）同时否定原命题的条件和结论，所得命题是否命题．（3）交换原命题的条件和结论，并同时否定，所得命题是逆否命题．最后，对以上所学概念进行对比总结：一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p和q的否定．于是，四种命题的形式就是：原命题：若p则q;逆命题：若q则p;否命题：若⌝p则⌝q逆否命题：若⌝q则⌝p;在教学过程中教师要注意做到对学生进行恰当的启发、引导与鼓励．下面让学生考虑这样一个问题：四种命题之间，任意两个是什么关系？（学生回答，教师补充，最后出示下图）给出一个命题：“若a＝0，则ab＝0．”让学生写出其他三种命题，并判断四个命题的真假，然后考虑其他三种命题的真假是否与原命题的真假有某种关系．不难发现如下关系：（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真．（2）原命题为真，它的否命题不一定为真．（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真．（二）讲练结合，巩固新知［例题讲解］1. 把下列命题先改写成“若p则q”的形式，再写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．（1）负数的平方是正数．（2）正方形的四条边相等．分析：关键是找出原命题的条件p与结论q．解：（1）原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数．逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．逆命题为假．否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．否命题为假．逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．逆否命题为真．（2）原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．逆命题为假．否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．否命题为假．逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．逆否命题为真．2. 设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．分析：“当c＞0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a＞b，结论是ac＞bc．解：逆命题：当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b．逆命题为真．否命题：当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc．否命题为真．逆否命题：当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b．逆否命题为真．［达标检测］1. 命题“若a＞b，则ac2＞bc2，（a，b，c∈R）”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题个数为（B）．A. 3B. 2C. 1D. 02. 在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则｛x｜ax2＋bx＋c＜0｝≠”的逆命题、否命题、逆否命题中，下列结论成立的是（D）．A. 三命题都真B. 三命题都假C. 否命题真D. 逆否命题真3.根据题意填空：①原命题：若a＞b，则a+c＞b+c逆命题：若a+c＞b+c，则a＞b；否命题：若a≤b，则a+c≤b+c.逆否命题：若a+c≤b+c，则a≤b.②原命题：若x2＋y2＝0，则x、y全为0；．逆命题：若 x、y全为0，则x2＋y2＝0；否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为0；逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0．（2）把命题“三边对应相等的两个三角形全等”改写成“若p则q”的形式，并写出它的逆否命题：原命题：如果两个三角形三边对应相等,那么这两个三角形全等．逆否命题：如果两个三角形不全等,那么这两个三角形三边不全对应相等．（3）填空：①命题“末位是0的整数，可以被5整除”的逆命题是 .②命题“矩形的两条对角线相等”的否命题是 .③命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是.最后教师强调总结：解决此类问题的关键是找出原命题的条件和结论，并搞清楚各个概念.（三）趣味游戏，内化新知为提高课堂效率，调动学生学习的主动性和积极性，缓解学生疲劳学习，我通过预先设置的卡片，将想要练习的题目以游戏的形式表现出来，从而吸引学生，提高学习兴趣．通过游戏训练，使学生进一步熟悉和掌握四种命题的概念和相互关系：在游戏（一）和（二）中分别给出一个命题（如：“同位角相等，两直线平行”），让学生快速回答出其逆命题、否命题及逆否命题，或快速判断所给命题与其的关系．通过游戏（三）的训练使学生进一步了解和掌握四种命题间的如下相互关系：一个命题的否命题和逆否命题互为逆命题;一个命题的逆命题和逆否命题互为否命题;一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题.（四）课堂小结：——“本节课我的收获！”学生交流后，谈谈自己的体会与收获，最后教师总结：知识方面：使学生掌握了四种命题的概念及相互关系.能力方面：培养了学生简单推理的逻辑思维能力、语言表达能力以及良好的心理素质.思想方面：使学生进一步认识与加强了对辩证统一思想的理解，并感受到了数学中的语言美，以及思维的理性之美．（五）作业布置：1、课本第6页练习题．2、探索性研究：（1）你能说出命题的否定和否命题之间的区别与联系吗？（2）分析思考原命题与其逆命题、否命题、逆否命题的真假之间有何关系，总结规律．（六）板书设计：（七）拓展延伸：在对某一命题的条件和结论否定时，有些问题，学生易出错．例如，对如下词语的否定：“任意的”、“所有的”、“都是”和“全是”等．下面以“全是”为例进行说明：所谓“否定”，即其对立面，显然“全是”的对立面中除了“全不是”之外，还有“部分也是”这一部分．因此，“全是”的对立面（即否定）应是“不全是”，而不是“全不是”．同样，“任意的”否定应是“某个”，“所有的”否定应是“存在一个”或“存在一些”，“都是”的否定是“不都是”．例如，命题：若x2＋y2＝0，则x，y全是0．其否命题是：若x2＋y2≠0，则x，y不全是0．（八）点评：在本节课中涉及两个问题：一个是定义，一个是规律，即四种命题间的关系．为了加深学生的认识，本节课突出了“学生参与”，即让学生通过例子认识定义，在活动中自己归纳、总结规律．同时，本节课又设计了适量的例题和练习，以巩固学生在课堂活动中掌握的知识．再者，本节课中所有例子都十分简单，但又极具有代表性，易于学生接受和理解，这也是学生能积极地参与到课堂活动中去的一个必要条件．美中不足的是，这节课的个别环节没有把握、掌控好，对“反例”的运用有所欠缺，创新方面还有待继续加强。

1.1.2四种命题（一）教学目标知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．（二）教学重点与难点重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．难点：（1）命题的否定与否命题的区别；（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．（三）教学过程学生探究过程：1．复习引入初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？2．思考、分析问题1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．3．归纳总结问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，（1）和（2）这样的两个命题叫做互逆命题，（1）和（3）这样的两个命题叫做互否命题，（1）和（4）这样的两个命题叫做互为逆否命题。

4．抽象概括定义1：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．让学生举一些互逆命题的例子。