16.1.2二次根式的性质精品PPT课件

所以宽为4cm，长为6cm.
回顾与反思
通过今天的学习,
能说说你的收获和体会吗?
你有什么经验与收获让同学们共享呢？
问题发现 感受新知
问题1：你能将下列数字顺利通过下面两扇门吗？
4
0
1
-1
1 4 1 0、 1、 4
a≥0
a→ a→( a )2
a为任意实数
算术平方 根之门
问题2：两扇门交换位置，你还会走吗？ 全部都能通过Biblioteka 3 . S . 65 m.
如果其面积为S，则它的边长是 宽的2倍，面积为130m2,则它的宽为
（2）如左图所示，一个长方形的围 栏，长是
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间
t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h（单位：m)满 足关系式h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t 为
h 5
(4)
3 2a 3 0， a . 2
5 a＞0， a＜5.
巩固新知 深化理解
5.要画一个面积为24cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2， 它的长、宽各应是多少？ 解：设长方形的宽为xcm,根据得意得
3 x x 24 2
B C A D
解得
x 16 4（负值舍去）.
是
不是
当m>0时被开 方数是负数
12,
不是
xy＜0
(4) -m
不是
2
(5)
3
xy（x,y异号） ，
不是
根指数是3
(6) a 1 ,
是
非负数+正数 恒大于零
(7)
5
不是
实战演练 运用新知
例2 (1)当x取何值时,

课题：二次根式（2）课型：自学互学展示课
学习目标：1、掌握二次根式的基本性质：
2、能利用上述性质对二次根式进行化简.
重点：二次根式的性质
难点：综合运用性质 进行化简和计算。
学习环节
一．前置作业：
1、什么是二次根式，它有哪些性质？
2、二次根式 有意义，则x。
3、在实数范围内因式分解：
( )2=（x+）(y-)
主备人：郭海ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ审核人：姜瑞风时间：编号1602
（四）拓展提升
1、化简下列各式
（1） (2)
2、化简下列各式
（1）
（2） （x＜-2）
（五）达标测试：
A组
1、填空
（1）、 - =_________.
（2）、 =
（3）a、b、c为三角形的三条边，则
________.
2、已知2＜x＜3，化简：
B组
3 已知0＜x＜1，化简： －
（二）自主学习
1、计算： ，
，
，
。
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：
当
当
当
（三）合作交流
归纳总结：将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：
巩固训练：1、化简下列各式：
（1）、 （2）、
（3）、 （4）、 =（ ）
2、教材P4练习2、P5复习巩固2
3、总结你在计算过程中需要提醒大家注意的事项：
4 边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为 的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．
5、把 的根号外的 适当变形后移入根号内，得（ ）
A、 B、
C、 D、

1.2
二次根式的性质(2)
二次根式有哪些性质?
2
a a a 0
a a 0 a2 | a | a a 0
1.填空:
1 10 2 _1_0__, 2

2
1 5

2

_2_15__, 3


2 7
2
2 ___7_ .
9 16

__0_.7__,
9 16

_0_._7_5_;
3 _1_.2_2_4_7_4_4_8_7_1_, 3 _1_._2_2_4_7_4_4_8_7_1.
2
2
比较左右两边的等式,你发现了什么?你能用
字母一表般地示,二次你根式的还有发下面现的性吗质: ?
ab a b a 0, b 0 ,
a a a 0, b 0 .
b
b
化简:
1 121 225; 2 42 7 ; 3 5 ; 4 2 .
9
7
一般地,二次根式化简的结果应使根号内的数是一个自然
数,且在该自然数的因数中,不含有除1以外的自然数的平方数.
先化简,再求算式的近似值(精确到0.001)
1 18 24;
2 1 1 ;
49
3 0.001 0.5;
4 3 2;
75
由此可见,合理应用二次根式的性质,可以帮助我们简化实数的运算.
化简:
1 375
4 52 122
2 1 1
4
5 132 122
课内练习: P.9 1-3
3 25 33
6
1

82 172
化简下列两组式子:

（2）化简： ① 16 ;
② (2 5)2; ② (5)2 ;
③ (3.14 π)2 .
谈收获
本节课你收获了些什么？
作业：
课本第5页习题16.1中2，3， 4，5
有时候，人太清醒反而觉得累，觉得不快乐，但是想要学会装糊涂还真是难。不要等到人生垂暮，才想起俯拾朝花，且行且珍 面前一文不值，却在另一个人面前是无价之宝。谨记自己的价值所在。路再远，也有尽头;苦再深，也会结束，只要不放弃， 漫漫的长途中跋涉，在深深的痛苦中挣扎，我们常常为环境所迫，被困难所迷惑，放弃了希望，厌倦了生活，觉得路越走越窄 窄的不是路，是思想与感情，深的不是苦，是感受与心情，路边是路，苦中有甜，看得是你自己。许多人，不是擦肩，就是 事，不是无能，就是无情，总是无缘。人生，就是一次艰辛的旅行，得意时，顿生许多豪情，期盼着，浏览更多美好的风景 心，渴望着，走出困境摆脱愁情。人生所有的一切，得意也好，失意也罢，圆满很少，完美不多，人如此，事这样，如意很少 好多人或事，明明喜欢，偏偏不能;明明热爱，恰恰不能;生活，有许多无能，好多事情，明明讨厌，常常不做不行;明明厌倦， 的不能，想说的不行;不愿做的，却又不能，不想说的，就是不行。我们就是这样无奈，无能。何时，能随心如愿，给心身最大 这个世界有两件事我们不能不做：一是赶路，二是停下来看看自己是否拥有一份好心态。好心态是人们一生中的好伴侣，让人 悟：要有阳光般的心态。没有爱的生活就像一片荒漠，赠人玫瑰，手有余香“学会爱别人，其实就是爱自己”，让爱如同午后阳 房。人生感悟：学会爱别人多去尊重理解别人，常怀宽容和感激之心，宽容是一种美德，是一种智慧，海纳百川才有了海的广 是他们给了你帮助：感激你的敌人，是让你变得坚强。人生感悟：懂得宽容和感恩。管好自己的嘴，讲话不要只顾一时痛快 三冬暖，伤人一语六月寒”说话要用脑子。不扬人恶，自然能化敌为友。人生感悟：切记祸从口出！人情、人情，人之常情， 往，“平时多烧香，急时有人帮”，所以，“人情要多储存，就像银行存款，存的越多，时间越长，红利就越大。人生感悟：多储 躁！不要急于下结论特别是生气的时候做决断，要学会换位思考，或者等一等，大事化小，小事化了。把复杂的事情尽量简单 单的事情复杂化。人生感悟：遇事莫急躁！真正学会知足。人生最大的烦恼是从没有意义的比较开始，大千世界总有比如你 我哭泣没鞋穿的时候，我发现有人却没脚”。人生感悟：真正学会知足。如果敌人让你生气，那说明你还有胜他的把握，根本 的人是谁。如果有一条疯狗咬你一口，难道你也要趴下去反咬它一口吗？人生感悟：不和小人生气计较。别把工作当负担，既 没有更好的选择，与其生气埋怨，不如积极快乐的去面对。当你把工作当做生活和艺术时，你就会享受到生活的乐趣。人生感 人活着一天就是福气，就该珍惜，人生短短几十年，不要给自己留下更多的遗憾。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天；遇 舒坦，心也舒坦。人生感悟：珍惜自己的生活。1.人生就像蒲公英，看似自由，却往往身不由己。生活没有如果，只有结果， 就好。有的人像WIFI热点，即使远了，但是只要你没改密码，再相见的时候也会自动连上，只是改不改密码，也是人家的事了 人生，要么没心每肺扮傻到底，别让自己活成了那种，懂得很多道理却过不好这一生的人。成大事的人，往往做小事也认真， 往往也做不成大事。看别人不顺眼，其实是自已的修养不够。人生在世，顺少逆多，一辈子不容易，千万不要总是跟别人过不 不去。如果是一堆苹果，有好有坏，你就应该先吃好的，把坏的扔掉，如果你先吃坏的，好的也会变坏，你将永远吃不到好的 总爱跟别人比较，看看有谁比自己好，又有谁比不上自己。而其实，为你的烦恼和忧伤垫底的，从来不是别人的不幸和痛苦， 学习中经常取得成功可能会导致更大的学习兴趣，并改善学生作为学习的自我概念。为了成功地生活，少年人必须学习自立， 在家庭要教养他，使他具有为人所认可的独立人格。劳动教养了身体，学习教养了心灵我们的事业就是学习再学习，努力积累 了知识，社会就会有长足的进步，人类的励志语录未来幸福就在于此。青年是整个社会力量中的一部分最积极最有生气的力量 少保守思想，在社会主义时代尤其是这样。必须记住我们学习的时间有限的。时间有限，不只由于人生短促，更由于人事纷繁 手勤脑勤，就可以成为有学问的人。聪明在于学习，天才在于积累。所谓天才，实际上是依靠学习。天才不能使人不必工作， 展天才，必须长时间地学习和高度紧张地工作。人越有天才，他面临的任务也就越复杂，越重要。诺夫对所学知识内容的兴趣 12、要建设，就必须有知识，必须掌握科学。而要有知识，就必须学习，顽强地耐心地学习。向所有的人学习，不论向敌人或 是向敌人学习。学习专看文学书，也是不好的。先前的文学青年，往往厌恶数学理化史地生物学，以为这些都无足轻重，后来 只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习，这是教育过程的逻辑。游手好闲地 手好闲好。学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦” 钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来

；5的算术平方根是____.
新课导入
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
3
(1)若面积为3 的正方形,则边长为 _____m；若面积

为S 的正方形的边长为_____m．
(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，
65
则它的宽为_____m．
新课导入
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时


...

N ≥0；
N
有意义的
条件：
(3)二次根式作为分式的分母如
B
A
A＞0；
(4)二次根式与分式的和如
有意义的条件：
A≥0且B≠0.
A
1
B
有意义的条件：
练一练
1.下列各式：
3;
5;
a2 ;
3
x 1 x≥1；
27; x 2 2 x 1
一定是二次根式的个数有 （
A.3个
(2)
x3
.
x 1
解：∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
分析
∴x≥-3 且x≠1时，该式子有意义.
-3
0
1
【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范
围内有意义？
x2 2 x 1;
2

x
2 x 1 x 1
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
当堂练习
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ C ）

2.式子

已知
1 a
有意义,那么A(a,
a)
在第 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
结束语
谢谢大家聆听！！！
23
定义：式子 a(a 0) 叫做二次根式.
其中a叫做被开方式。
不要忽略
掌握二次根式有意义的条件
二次根式 a 有意义的条件: ____ａ__≥_０_____
例1.x是怎样的实数时，下列式子在实数范 围内有意义？
(1) x 1
(2) x2 2
(3) x2
(4) 1 3 2x
①被开方数大于或等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
第十六章二次根式
16.1 二次根式
二次根式
(a≥0)表示非负数a的算术平方根，
形如(a≥0)的式子叫做二次根式.
它必须具备如下特点： 1、根指数为2； 2、被开方数必须是非负数.
例1.下列各式是二次根式吗？
(1)32, (2)6, (3)9,
(4)12, (5)m m0 ,
(6) xyx,y异号 , (7)a2,(8)3 5.
切入点：从字母的取值范围入手。 l2.已知 x 2y 9与 x y 3互为相反数，
求 x 、y 的值.
切入点：从代数式的非负性入手。
l3.已知 x 1 ，你能求出 x的取值范围吗？
3 x
切入点：分类讨论思想。
l4.若 1 0 a为一个非负整数，求非负整数 a 的值
若a.b为实数,且| 2a| b20 求 a2 b2 2b1的值。
又 ∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴ a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴ a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴ 2a-b+c=2× (-2) -3+4 = -3。

1
( 4)2 4
(
0.01)2 0.01 (
3 1 )2
3
a a ( 0)2 0
2
(a≥0)
观测上述等式 的两4边2 ,你4 能得 0.012 0.01 到什么启示?

1
2



1
3 3
02 0
a2 a (a≥0)翻看主页可以找到更多课件 翻看主页可以找到更多课件
a (a≥ 0) =
-a (a＜0)
练习：
1.计算 :
1.
2
3
2.3
2
2
3. 0.32 5. 2
4.


1
2

7
5. 102
( 2003年·河南省)实数p在数轴上的位
置如图所示，化简 (1 p)2
2
2 p
1 p (2 p)
计算：
52 5
当a 0时
a2 a
1 2 1 6 6
当a 0时
a2 a
1:从运算顺序来看,
3.从运算结果来看:
a 2先开方,后平方 a 2=a
a2 先平方,后开方
2.从取值范围来看,
2 a a≥0
a2 a取任何实数
a2 =∣a∣
p 1 2 p
1
在实数范围内分解因式:4 x2 - 3
解: ∵ 3
2
3
∴ 4x2 3 (2x)2
2
3
(2x 3)(2x 3)
?
通过这节课的学习， 谈谈你掌握了什么？
祝你成功！
二次根式的定义:

取值范围是（ B ）
A.x为任意实数
B.1≤x≤4
C.x≥1
D.x≤4
【分析】
|1−x|−
− 4 2 ＝|1−x|−|x−4|，而结果是2x−5，
∴ 1−x≤0且x−4≤0，即1≤x≤4.
随堂训练
1 − 2 2 ＝2a−1，那么（ D ）
3.如果
1
2
B.a≤
1
2
D.a≥
A.a＜
C.a＞
1
2
1
这就是说，当a≥0时， ≥0.
新课导入
问题2 二次根式 ( )2 的被开方数a的取值范围是什么？
它本身的值又是什么？
当a＞0时， ( )2 表示a的算术平方根的平方，因此 ( )2 ＝a；
当a=0时， ( )2 表示0的算术平方根的平方，因此 ( )2 ＝0 ，
这就是说，当a≥0时， ( )2 =a.

练一练
3.若 − 2＋9与|x−y−3|互为相反数，则x＋y的值为（ D ）
A.3
B.9
C.12
D.27
【分析】
根据互为相反数的两数相加得0，
可知 − 2＋9＋|x−y−3|＝0，
所以ቊ
− 2＋9＝0，
＝15，
解得 ቊ
即x＋y＝27.
− − 3＝0，
＝12，
知识讲解
例3
解：由题意，得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+4×2=9，
∴x+4y的平方根为±3.
随堂训练
1.下列运算中不正确的是（
A.
2
2
B. 3D2 ＝3

x
x≤0， 1≤0，
解得x≥1 或x≤0
即当x≥1 或x≤0时， x x 1有意义.
课堂检测
拓广探索题
体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， x 2 有意义？
2x 1
解：由题意得
x 2 ≥0， 2x 1
则
2xx21≥＞00，，或
x 2≤0， 2x 1＜0，
解得x≥2或x＜
1 2
，
即当x≥2或x＜
为_____0_．
课堂检测
基础巩固题
4.(1)若式子
x 1 2
在实数范围内有意义，则x的取值
范围是__x_≥_1___;
(2)若式子
1 x2
x
在实数范围内有意义，则x的
取值范围是_x__≥_0_且__x_≠_2__.
课堂检测
基础巩固题
5.(1)若二次根式
m2 m2 m 2
有意义，求m的取值范围．
A．x＞3
B．x＜3
C．x≥3
D．x≠3
x 1 2.（2019•黄石）若式子 x 2 在实数范围内有意义，则x的取
值范围是（ A ）
A．x≥1且x≠2 B．x≤1
C．x＞1且x≠2 D．x＜1
巩固练习
连接中考
3.（2018•苏州）若 x 2 在实数范围内有意义，则x的取值
范围在数轴上表示正确的是（ D ）
A．
B．
C．
D．
课堂检测
基础巩固题
1.下面的式子是二次根式的是( A )
A. a2 1 B. 3 33 C.
D.-1 a
1 2
2.（2018•达州）二次根式 2x 4中的x的取值范围是（ D ）
A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2

=﹣|b|
=﹣b．
PA RT 0 3
课后回顾
01
理解二次根式性质的探索过程
02
掌握二次根式的性质
03
通过二次根式性质进行计算
谢谢倾听
第十六章 二次根式
二次根式的概念
目录
02
重点
01
学习目标
A KEY
理解二次根式的概念。
LEARNING OBJECTIVES
1、理解二次根式的概念。
03
2、利用√ （≥0）的意义解决具体问题。
）
PA RT 0 3
课后回顾
01
二次根式概念
02
探索二次根式的取值范围
谢谢倾听
DIFFICULTY
运用二次根式性质进行计算。
PA R T
01
学习目标
01
平方根知识点回顾
算数平方根的概念： 一般的如果一个正数x的平方等于a，即x^2=a，
那么这个正数x叫做a的算术平方根。
平方根的概念：
如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根或
二次方根，即如果 2 = ，那么x叫做a的平方根。
a
【答案】A
【详解】
由图可知：a＜0，a−b＜0，
则|| + ( − )2
＝−a−（a−b）
＝−2a＋b．
故选：A．
0
b
）
02
练一练
5．实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：|a|﹣ 2 ﹣ 2
【答案】－b
【解析】
∵从数轴可知：a＜0＜b，
∴|a|﹣ 2 ﹣ 2
=|a|﹣|a|﹣|b|
A．a＝2
B．a＞2
C．a≥2
）

即一个非负数的算术平方根的平方 等于它本身.
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这 是使二次根式 a 有意义的前提条件.
典例精析 例1 计算：
(1) ( 1.5)2; (2) (2 5)2；
解：(1)( 1.5)2 =1.5 (2)(2 5)2 = 22 ×( 5)2
= 4×5=20
(2)可以用到幂 的哪条基本性 质呢？
积的乘方： (ab)2=a2b2
二 a2 的性质
填一填： a2 ＝a (a≥0).
a(a≥0) 平方 2 运算
0.1
2 3
0 ...
a2
算术平 a2
4 方根
2
0.01
0.1
4
2
9
3
0
...
0
...
观察两者有什么关系？
思考：当a＜0时，a2 = -？a
a(a＜0) 平方 -2 运算
-0.1 -2 ...3
( 0)2 = 0
( 2)2 = 2
( 4)2 = 4
( 1)2 = 3
2 是2的算术平方根，根据算术平方根的意义，
2 是一个平方等于2的非负数.因此 ( 2)2 = 2 .
同理， 0, 4, 1 分别是0,4，1 的算术平方根，即
3
3
得上面的等式.
归纳总结
性质1：( a )2＝a (a ≥0).
a2
算术平 a2
4 方根
2
0.01
0.1
4
2
.9..
.3..
观察两者有什么关系？
归纳总结
性质2：
a (a≥0)
a2 = a =
-a (a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根 等于它本身的绝对值.

解：(1 )x2 3x3x3.
(2)y4
4y2 4
y2
2
2
y2
2
22
2
2
y 2 y 2 .
归纳 本题逆用了( a)2aa≥0在实数范围内分解因式.
在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解 因式的方法和公式仍然适用.
练一练 计算：
(1 )(5 ) 2 ；(2 )(2 2 ) 2 .
练一练 计算：
(1 )(-2 )2；(2 )(-1 .2 )2.
解: (1)(-2)2 =22=2.
(2)(-1.2)2=1.22=1.2.
辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．
(1) 2 2 2
2
(2) 2 2
2
(3) 2 2
（×） （× ） （√ ）
(4) 2 2 2 （√ ）
正方形的边长为 a ，
用边长表示正方形的面积为 a 2 ，
又∵面积为a，
即
2
a a.
这个式子是不是对所有 的二次根式都成立呢？
活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面 根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
a(a≥0) 算术平 0 方根
2
a
平方 ( a )2
0 0 运算
b
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
4.化简：
（1） 9 ＝ 3 ; （2） ( 4 ) 2 ＝ 4 ;
（3） 7 2
7
2
; （4） 81
81 .
5. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简 a2 (a1)2
的结果是 1
.
-1 0 1 a 2
6.利用a ＝ ( a ) 2（a≥0），把下列非负数分别写成

变式练习:若二次根式 x2 的值为3，
求x的值.
（1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的值
课堂小结
1、什么叫做二次根式？ 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
2、二次根式有哪两个形式上的特点？
（1）根指数为 2；
（2）被开方数必须是非负数。
3、二次根式具有哪些性质？ 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
∴y= 0 + 0 +3=3 ∴x y=23=8
例题学习 1 例1、求下列二次根式中字母a的取值范围：
(1) a 1
(2) 1 1 2a
(3) (a 3)2
隋堂练习 1
1、求下列二次根式中字母x的取值范围：
(1) x 1 (2) 4 x 2 (3) 1
x (4) 3x
例 2 x是怎样的实数时，式子 x 3 在实
想一想：假如把题目改为：要使
x-2 x-1
有意义，
字母 x 的取值必须满足什么条件？ x≥2
想一想：一个正数的算术平方根是 正数。
零的算术平方根是 0 。 负数有没有算术平方根？ 没有
二次根式的性质（１）
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
引例：|a-1|+(b+2) 2=0 , 则 a= b=
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：
（1）面积为5的正方形的边长为
方形的边长为