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二次根式的性质 经典课件(最新版)

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二次根式的概念和性质ppt课件

二次根式的概念和性质ppt课件

又 ∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0,
∴ a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。
∴ a= -2 , b= 3 ,c= 4。
∴ 2 a -b + c = 2 × (精-选2 p)pt-课3件+ 4 = -3 。
17
二次根式的双重非负性解析
经常作为隐含条件，是解题的关键
例 已知 x 1 y 3 0，求x＋y的值
1.表示a的算术平方根
2. a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
精选ppt课件
6
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10, 00..0044,, a a2 , 2 ,
5,
aa , , 3 8 .
成一个数的平方的形式。如 4= 4 2 。
试一试（4）把下列各数写成平方的形式：
2
3=
3 2，
5 2
5 2
0.04
2
0.04
精选ppt课件
24
( a)2a (a0) 面积a a
2
(
2 )2 7
7
a
( 2 1 )2 2 1
3
3
( 5)2 5
(
2 )2 -
3
2 3
精选ppt课件
25
( 2 x ) 2 ( 3 y ) 2 2 x 3 y 2 x 3 y
精选ppt课件
41
练习．在实数范围内分解因式
（1） 3x2 15
（2） 2a24b2
精选ppt课件
42

二次根式的性质ppt课件

二次根式的性质ppt课件
特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
2.因为 a (a ≥ 0)表示a的算术平方根，所以 a ≥ 0(a ≥ 0)；
( a )2 a(a≥ 0); a ( a )2 (a≥ 0).
观察与思考
(1)计算 22 , 32 , 1 2 , 02的值,你发现了什么? 2
(2)当a ≥ 0时, a2的算术平方根是多少?由此你能得到 一个怎样的等式? 当a ≥ 0时, a2 a.
7.2 二次根式的性质（1）
( a)2 a
明确目标
1.理解掌握a2的算术平方根公式 （a≥0），并会利用它进行计算和化简.
( a)2 a
2.理解积的算术平方根 和化简.
= · （a≥0，b≥0）并利用它进行计算
ab a b
知识铺垫
1. 形如 a（a≥0）的式子叫可以计 算、化简一些二次根式.
例题引领
例1
（1） 36
（2） 9 4
3
0.5
4
a
x2
2
6 20
=
6 20
ab a b（a≥0，b≥0）
利用它可以对二次根式进行化简.
（2） 27
（3） 4 a 2
65 10 7
12 15x4y3
小试牛刀
化简:
(1) 12 ( 2) 2715
(3) 4a3
化简二次根式，就要把被开方数 中的平方数（或平方式）从根号里 开出来.
1. 当a ≥ 0时, a2 a.
2. 当a ≥ 0时, ( a )2 a2 .
3.
当堂达标
• 请完成导学案中当堂达标题目.
课本P36： 习题7.2 1、2题

二次根式ppt

二次根式ppt

运算规则
总结词
掌握二次根式的运算规则是学习二次根式 的核心。
详细描述
二次根式的运算包括加减乘除以及化简求 值等，需要遵循二次根式的运算法则和运 算顺序，同时要掌握常见二次根式的值和 化简技巧。
实际应用
总结词
了解二次根式在实际生活中的应用有助于学 习二次根式。
详细描述
二次根式在现实生活中有着广泛的应用，如 求物体的高度、计算平均数等，通过这些实 例可以更好地理解二次根式的意义和作用。
性质
非负性
$\sqrt{a}≥0(a≥0)$
唯一性
当a>0时，$\sqrt{a}$有两个值；当a=0时，$\sqrt{a}$有一个值；当a<0时 ，$\sqrt{a}$无意义。
02
加减运算
定义
概念
二次根式的加减运算是指将同类二次根式进行合并、抵消或说成是合并同类项。
公式
$\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ = $\sqrt{a \pm b}$ （a≥0，b≥0）
解决实际问题
在解决某些实际问题时， 可以通过二次根式的加减 运算来得到最终的解决方 案或结果。
03
代数应用
根式定义
根式
如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于a，那么这个数叫 做a的n次方根(或a的n次方根记作√a)，其中a叫做被开方数， n叫做根指数。
二次根式
如果一个非负数a的平方等于b，那么a是b的二次方根(或说b 的二次方根是a)，记作√b，其中a叫做被开方数，叫做二次方 根。
二次根式ppt
2023-11-01
contents
目录
• 定义与性质 • 加减运算 • 代数应用 • 平方根变换 • 二次根式的起源与发展 • 二次根式的挑战与困难

二次根式课件ppt

二次根式课件ppt
计算过程。
பைடு நூலகம்
03
二次根式的应用
求解实际问题
求解最优化问题
二次根式可以用于求解最优化问题， 例如在投资组合、生产计划等领域， 通过二次根式求解最优解，以实现最 大利润或最小成本。
求解面积和体积问题
二次根式可以用于求解一些几何图形 的面积和体积，例如在计算矩形、三 角形、球体等的面积和体积时，可以 使用二次根式进行计算。
有界性
当$a \geq 0$时，$\sqrt{a} \leq \sqrt{a + b}$（$b > 0$）。
正定性
当$a > b > 0$时，$\sqrt{a} > \sqrt{b}$。
05
二次根式的综合题
与方程有关的综合题
总结词
二次根式与方程的结合，涉及解方程、方程的根、根的判别式等。
详细描述
01
02
03
性质1
二次根式被开方数必须是 非负数，否则无意义。
性质2
二次根式的被开方数中不 能含有分母，否则不能化 简。
性质3
二次根式的被开方数中不 能含有能开得尽方的因数 或因式，否则也不能化简 。
二次根式的运算
加减运算
同类二次根式可以合并， 不同类二次根式不能合并 。
乘除运算
二次根式相乘除时，只需 将被除式与除式同时平方 再约分即可。
乘法法则
$(a\sqrt{b}) \times (c\sqrt{d}) = ac\sqrt{bd}$（$a,b,c,d \geq 0$）。
除法法则
$\frac{(a\sqrt{b})}{(c\sqrt{d})} = \frac{a}{c}\sqrt{\frac{b}{d}}$（$a,b,c,d \geq 0$，$bd \neq 0$）。

二次根式PPT课件

二次根式PPT课件
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;()
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教材P43 习题
必做题：1.3
选做题：2.4
谢 谢
7. 二次根式
新知导入
复习提问：
1.什么叫做算术平方根？
2.5的算术平方根怎么表示？
. 的算术平方根是多少?
4.什么数才有算术平方根？
学习目标
1.通过观察能说出二次根式和最简二次根式的概念,
并会进行判断.
2.通过“做一做”活动,能总结出二次根式的性质，
并能利用性质将二次根式化为最简二次根式.

最简二次根式:一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因
数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.
归纳
注意:化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次
根式是最简二次根式.
例题解析
例2 化简：
解：
展示与交流
议一议
（1）你是怎么发现 的被开方数含有开的尽方的因数的?
你是怎么判断

除以 除式的算术平方根（被除式必须是非负数，除式必须是正数）
=


( ≥ , > )

注意:a、b的取值范围不能忽略.
例题解析
例1 化简:

() × ; () × ; ()

探究三：二次根式的化筒
例1的化简结果 ,
方的因数.

中,被开方数中,都开方数都不含分母,也不含能开得尽
二次根式
二次根式的性质
最简二次根式
当堂检测
1.下列式子中，不属于二次根式的是（
2.式子

−
有意义的条件是（
C
）
A
）
3.下列根式一定是最简二次根式的是（

《二次根式》PPT课件 (共31张PPT)

《二次根式》PPT课件 (共31张PPT)

练习：
x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1
x 1 (2) 3x
x0
(3) 4 x
2 x为全体实数
(5) x
3
x0
1 a< 2
1 (4) x
x0
1 (7) 1 2a
1 (6) x0 2 x 3 x (8) | x | 4
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2 2
x=5，y=11
(2 x - y)
2011
=- 1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1、（ a） ＝a （a 0）
2
2、（ a ）＝|a| =
2
a (a>0) 0 (a=0)
-a (a＜0)
( a ) 与 a 有区别吗?
2
2
( a) 与 a
1:从运算顺序来看,
2
2
a
a
2
2
先开方,后平方
先平方,后开方
2.从取值范围来看, 2 a≥0 a

a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。 ③多个条件组合时，应用不等式组求解
二次根式的双重非负性
a 吵0, a 0.
二次根式的性质

二次根式的性质课件(共31张PPT)

二次根式的性质课件(共31张PPT)
(1) ( a)2 a
(2) (a)2 a
(3) (a2)2 2a
例5:已知:x<0,化简: 16x2
解 :1 6 x 2(4x)24x
∵x<0 , ∴4x＜0, ∴原式 = -4x
练一练:
化 :x 2 简 6 x 9 x 2 2 x 1
(其 中 -1x3)
化简：
(1) 210 （2） a 4
算 一 算 ： (1 ) （ -9 ） 2 (2 )
(
1 3
)2
(3 ) 6 4
(4 ) (x 2+ 1 )2
归纳
a2 a
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
由 a2 aa0,可以得 a a2a0。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25,
x1 y 3 0
∴ x 1 ＝０， y 3 ＝０
∴x＝１，y＝－３
∴x＋y＝－２
例 求下列二次根式的值
解：(1)
∵3 0
∴ (3 )2
3
(2)
当x＝ 3 时，x－１<０
∴ x2 2x11x 1 3
∴当x＝ 3 时， x2 2x 1 1 3
初中阶段的三个非负数： (a≥０) ≥０
题型:二次根式的非负性的应用.
(2)(3)a 2b 2
(a＜0,b＞0)
(4) 12aa2 (a＞1 )
(5) (x1)296xx2
(1＜x＜3 )
( a)2 a(a0)
a(a0)
a 2 a a(a0)
注意区a别 2与( a） 2
1. 求式子 x＋1－5－有x意义时X的取值范围。

课件二次根式性质.pptx

课件二次根式性质.pptx
先平方后开方
2.从取值范围来看：
( ) a≥0

a为任意实数
3.从运算结果来看：
( ) = a
=| a | =ቊ
−
（ ≥ ）
（＜）
课堂小结
1、 ≥0 （≥0）
（ a ）2 =a（a≥0）．
2、
3、 = | a | =ቊ
−
4、代数式
（ ≥ ）
；
；
；
性质的探究2
问题2 根据算术平方根的意义填空，你能说说这
样做的依据吗？
2
2
2
4
_____；
（ 4 ）=
（ 2 ）= _____；
1
1 2
2
0
_____．
（ ）= _____；
（
0
）
=
3
3
由此，你有什么猜想或你能得出什么结论?
（ a ）2 =a（a≥0）．
性质的运用
例1
计算下列各式：
（2 5）2 ．

|
a
|
=
=ቊ
−
（ ≥ ）
（＜）
;
巩固新知
例2
计算下列各式：
（1） 16 ；
（2） （-5） ．
2
巩固新知
例3
化简：
7 2
（1）（ 18） ；（2）
（ 0） ；（3）（4 ） ；
8
2
（4）
（3 5）2 ；（5） 9

；（6） （- 4）2 ；
（7） 25 ； （8） （-3）2 ．
性质探究4
（＜）
课后作业
作业：教科书第4页练习第1，2题；
习题16.1第2，4题．

人教版八年级下册数学16.1.2二次根式的性质课件 (共18张PPT)

人教版八年级下册数学16.1.2二次根式的性质课件 (共18张PPT)

计算：
(3)
(10)2
(4)
(
2 )2 3
通过上面的计算，你对 a2的化简结果
有一个怎样的认识？
拓展延伸：
a
a2 = a 0
-a
(a>0) (a=0)
(a<0)
练一练
说出下列各式的值
(1) 0.32
(2)
(
1 )2 7
(3) ( )2 (4) 102
议一议：
( a )2与 a2有何区别 ?
(4) ( 2 )2 7
探究新知
二次根式性质3： a2 a (a 0)
填空：
22 = ___2____;
0.12 __0__.1______;
2
( 2 )2 3
___3____;
02
__0______ .
例3：化简
(1) 16 (2) （-5）2
解：（1）16= 42 =4 （2） （-5）2 = 52 =5
也就是说a是非负数，a也是非负数。
例题讲解
若几个非负数相加的和等于0， 则每一个非负数都为0.
已知 a 3 (b+2)2 0,求a+b的值.
探究新知
完成下列填空，并说说你是怎样得到的。 二次根式性质2：（ a )2 a (a 0)
( 4)2 ___4_____;( 2)2 ___2_____;
人民教育出版社 八年级下册数学
16.1.2二次根式的性质
复习回顾
什么样的式子叫二次根式？
形如 a(a 0)的式子叫二次根式.
说一说:
下列各式哪些是二次根式?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
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初中数学课件
1.化简 16 得（ C ） A. ±4 B. ±2 C. 4 D.-4
(x 3)2 2. 当1<x<3时， x 3 的值为（ D ）
A.3 B.-3 C.1 D.-1
3.化简：
（1） 9 ＝ ３ ; （2） (4)2 ＝ ４ ; （3） 72 ７ ;（4） 3.14 2 3.14.
4 2 4

2
2
2
2

1 3



2
0
0
2是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 2是一个平方等于2的非负数，因此有（ 2）2 2
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初中数学课件
归纳
一般地，有 性质 1.( a )2=a (a≥0)
由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双 重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下： a2, ︱a︱, a . 由前面可知，二次根式还有第二条重要性质：即
首页
初中数学课件
谢谢
a 2 =a . 文字叙述：任何一个非负数的平方的算术平方根 都等于这个数.
初中数学课件
例1 计算
(1)( 1 )2 2
(2)( 2 5)2 3
例1（2）用到了 （ab)2=a2b2这个 结论.
解：(1)( 1 )2 1
22
(2)( 2 5)2 ( 2)2 ( 5)2 4 5 20
从取值范围看 a≥0
a取任何实数
从运算结果看
a
|a|
三 代数式的定义
初中数学课件
概念学习
用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方） 把_ 数 或 表示数的字母 连接起来的式子，我们称这样 的式子为代数式. 想一想：到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？
整式
代数式 分式
二次根式
当堂练习

2
4
4

1 3
2

1 3

2
2
2
0 2 0
2 是2的算术平方 根，根据算术平方
根的意义， 2 是 一个平方等于2的非 负数.
你能把所得的公式用字母表示出来吗？
初中数学课件
归纳总结 ( a )2 (a 0) 的性质：
一般地，( a )2＝a (a ≥0).
(3) (7)2 7
(2) (7)2 72 7 (4) 72 1
7
初中数学课件
课堂小结
定义 a （a≥0）
二
次
根
式
a 0，(a 0)
性质 （即 a 表示一个非负数）
2
a aa 0;
a2 （ a a 0）
首页
随堂训练
初中数学课件
见《学练优》位置如图所示，则化简 a 2 (a 1)2
的结果是 1 .
-1 0 1 a 2
5.利用 a ＝ ( a )2 （ a ≥0），把下列非负数分别写成
一个非负数的平方的形式：
(1) 9 ；
( 9)2 (4) 0.25 ； 1 2 4
(2)5 ； ( 5)2
初中数学课件
二次根式的性质 课件
第一课时
初中数学课件
学习目标
1.理解二次根式的两个性质.（重点）
情境引入
2.运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）
导入新课
数算字一旅算行：
初中数学课件
问题1：你能将下列数字顺利通过下面两扇门吗？
4 0 1 -1 1 4
0、1、1 4
算术平方 根之门
问题2：两扇门交换位置，你还会走吗？
填一填：
a 平方运算
a2
算术平 方根
a2
-4
（-4）2=16
4
0
02=0
0
1
12=1
1
-1
（-1）2=1
1
1 2

1
4 16
观察：两 者有什么 关系？
初中数学课件
思考：根据前面得出的结论填一填，并说明理由．
22 =
2
； 0.12 =
0.1
；
2 3
2

=
2 3
； 02 =
想一想：如何化简 a2 呢？
(5)2 52 5.
a (a≥ 0)；
a2 =|a| = -a (a＜0).
初中数学课件
辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．
（ ×） （×） （√ ） （√ ）
初中数学课件
议一议：如何区别( a )2与 a2 ？
( a)2
a2
从运算顺序看 先开方,后平方 先平方，后开方
学习目标
1.探索二次根式的性质. 2.运用二次根式的性质进行化简计算.
初中数学课件
复习引入
1.二次根式的定义:
形如 a
的式子叫做二次根式 .
2.二次根式的性质:
a 0, a （ 0 双重非负性).
首页
初中数学课件
合作探究 活动1：探究二次根式的性质1及应用
1.根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据．
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
3.从运算结果来看:
a 2=a
a (a≥0)
a2 =∣a∣ =
-a(a＜0)
a2 先平方,后开方
a2 a取任何实数
( a)2与 a2 有区别吗?
初中数学课件
例3：化简
(1) 16
(3) (7)2
(2) (5)2
(4) 72
解：(1) 16 42 4
3
3
99
初中数学课件
例2.（1）若 a 2 b 3 (c 4)2 0 ,
则a-b+c=___
(2)设y 1 x + x 1+2015试求x 2 y的值.
解：
（1）由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4. 所以a-b+c=2-3+4=3.
（2）由题意知，1-x≥0,且x-1≥0,联立解得x=1.从而知y=2015, 所以x+2y=1+2×2015=4031.
初中数学课件
活动2：探究二次根式的性质2及应用
32= 9=3 ,类似地，计算：
(75)2
=
7 5
, 0.52 = 0.5 , 02 = 0 ;
又如 (-3)2= 9=3=-(-3) ,再计算：
0
.
如何用字母表示你所得的公式呢？
初中数学课件 归纳总结
a2 (a 0) 的性质 一般地， a2 ＝a (a≥0).
思考：当a＜0时，a2 =？
例3：化简
(1) 16
初中数学课件
(2) (5)2
你还有其他 解法吗？
解：(1) 16 42 4； (2) (5)2 25 5.
1
(5) ；
2
1 2 2
(3) 2.5 ；
2
5 2
(6)0 .
( 0)2
课堂小结
性质 二次根式
初中数学课件
( a )2 a (a 0) a2 ＝a (a ≥0).
拓展性质
a2 |a|（a为全体实数）
初中数学课件
二次根式的性质
第2课时
初中数学课件
a≥0
a→ a→( a )2
a为任 意实数
算术平方 根之门
全部都能通过 a→a2→ a2
初中数学课件
一 ( a )2（a≥0）的性质
填一填：
a(a≥0)
0
算术平 方根
1
a
0 0
1 1
1 1 42
平方运算 ( a )2 0
1
观察：两者有什么 关系？
讲授新课
初中数学课件
思考：根据前面得出的结论填一填，并说明理由．
(-75)2 =
7 5 , (-0.5)2 = 0.5 .
初中数学课件
归纳
一般地，有
a (a≥0)
性质 2： a2 =︱a︱=
-a (a＜0)
用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方） 把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式 子为代数式.
初中数学课件
知识要点
1.从运算顺序来看,
2 a 先开方,后平方
初中数学课件
典例精析 例1 计算：
(1) ( 1.5)2;
(2) (2 5)2.
想一想：此小题 用到了幂的哪条 基本性质呢？
解： (1) ( 1.5)2 1.5;
积的乘方： （ab）2=a2b2
(2) (2 5)2 22 ( 5)2 4 5 20.
初中数学课件
二 a2 (a 0) 的性质