高中数学《统计》教材介绍

新教材高中数学学案含解析北师大版必修第二册：5.1.3 数据的直观表示学习任务核心素养(教师独具)1．了解柱形图、折线图、扇形图的定义．2．能够利用茎叶图解决实际问题．(重点) 3．会列频数分布直方图，会列频率分布直方图．(难点)1．通过频率分布直方图及频率分布折线图的学习，培养数据分析的核心素养．2．借助茎叶图及频率分布直方图解决实际问题，提升数学运算的核心素养.2020年某市居民的支出构成情况如下表所示：食品衣着家庭设备用品及服务医疗保健交通和通信教育文化娱乐服务居住杂项商品和服务39.4% 5.9% 6.2% 7.0% 10.7% 15.9% 11.4% 3.5%问题：(1)要直观、形象地表示这些数据间的数量关系，应作出哪种统计图？(2)要直观、形象地表示这些数据在全部数据中所占的比例，应作出哪种统计图？[提示](1)柱形圆．(2)扇形图．知识点1柱形图、折线图、扇形图1．柱形图(也称为条形图)作用形象地比较各种数据之间的数量关系特征(1)一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例(2)每一矩形都是等宽的2.折线图作用形象地表示数据的变化趋势特征一条轴上显示的通常是时间，另一条轴上是对应的数据3.扇形图(也称为饼图、饼形图)作用形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例特征每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比1．关于如图所示的统计图中(单位：万元)，下列说法正确的是()A ．第一季度总产值4.5万元B ．第二季度平均产值6万元C ．第二季度比第一季度增加5.8万元D ．第二季度比第一季度增长33.5% C [依次分析选项可得：A ．第一季度总产值3＋4＋4.5＝11.5万元，错误；B ．第二季度平均产值为4.5＋6＋6.83≈5.77万元，错误；C ．第二季度比第一季度增加(4.5＋6＋6.8)－(3＋4＋4.5)＝5.8万元，正确；D ．第二季度比第一季度增长 5.811．5≈50%，错误．故选C ．]知识点2 茎叶图作用(1)如果每一行的数都是按从大到小(或从小到大)顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的最值、中位数等数字特征(2)可以看出一组数的分布情况，可能得到一些额外的信息 (3)比较两组数据的集中或分散程度特征所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列1．一般情况下，茎叶图中的“茎”“叶”分别指哪些数？[提示] “叶”是数据的最后一个数字，其前面的数字作为“茎”．2.如图是一个班的语文成绩的茎叶图(单位：分)，则优秀率(90分以上)是________，最低分是________．4% 51 [由茎叶图知，样本容量为25,90分以上的有1人，故优秀率为125＝4%，最低分为51分．]知识点3 频率(或频数)分布直方图(或折线图) 1．画频数分布直方图与频率分布直方图的步骤(1)找出最值，计算极差；(2)合理分组，确定区间；(3)整理数据；(4)作出有关图示：频数分布直方图纵坐标是频数，每一组数对应的矩形的高度与频数成正比频率分布直方图纵坐标是频率组距，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，所有矩形的面积之和为12.频数分布折线图和频率分布折线图把频数分布直方图和频率分布直方图中把每个矩形上面一边的中点用线段连接起来，且画成与横轴相交．3.甲、乙两个城市2020年4月中旬，每天的最高气温统计图如图所示，这9天里，气温比较稳定的城市是________．甲[从折线统计图中可以很清楚的看到乙城市的气温变化较大，而甲城市气温相对来说较稳定，变化基本不大．]类型1条形图、折线图、扇形图的应用【例1】现在的青少年由于沉迷电视、手机、网络游戏等，视力日渐减退，某市为了了解学生的视力变化情况，从全市九年级随机抽取了1 500名学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，根据视力在4.9以下的人数变化制成折线统计图，并对视力下降的主要因素进行调查，制成扇形统计图．解答下列问题：(1)图中D所在扇形的圆心角度数为________．(2)若2020年全市共有30 000名九年级学生，请你估计视力在4.9以下的学生约有多少名？(3)根据扇形统计图信息，你觉得中学生应该如何保护视力？[思路探究](1)由扇形统计图中的数据求出D占的百分比，乘以360°即可得到结果；(2)由样本中视力在4.9以下的人数占的百分比，乘以30 000即可得到结果；(3)根据扇形统计图中影响视力的因素，提出合理化建议即可．[解](1)根据题意得：360°×(1－40%－25%－20%)＝54°.(2)根据题意得：30 000×8001 500＝16 000(名)，则估计视力在4.9以下的学生约有16 000名．(3)建议中学生应少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力．扇形统计图、条形统计图、折线统计图的特点1．扇形统计图的特点(1)用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比．(2)易于显示每组数据相对于总数的大小．2．条形统计图的特点(1)条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目．(2)易于比较数据之间的差别．3．折线统计图的特点(1)能清楚地反映事物的变化情况．(2)显示数据变化趋势．[跟进训练]1．某校公布了该校反映各年级学生体育达标情况的两张统计图(如图)，该校七、八、九三个年级共有学生800人，甲、乙、丙三个同学看了这两张统计图后，甲说：“七年级的体育达标率最高”．乙说：“八年级共有学生264人．”丙说：“九年级的体育达标率最高．”甲、乙、丙三个同学中，说法正确的是()A ．甲和乙B ．乙和丙C ．甲和丙D ．甲、乙和丙B [由扇形统计图可以看出：八年级共有学生800×33%＝264人； 七年级的达标率为260800×37%×100%≈87.8%；九年级的达标率为235800×30%×100%≈97.9%；八年级的达标率为250264×100%≈94.7%.则九年级的达标率最高．则乙、丙的说法是正确的，故选B ．] 类型2 茎叶图及其应用【例2】 (对接教材P 77练习B T 4)某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107； 乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101．画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较． [解] 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示．从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，叶主要集中在8、9、10的茎上；甲同学的得分情况也是大致对称，叶主要集中在7、8、9的茎上．乙同学的成绩总体情况比甲同学好．1．绘制茎叶图关键是分清茎和叶．一般地说，当数据是两位数时，十位上的数字为“茎”，个位上的数字为“叶”；如果是小数，通常把整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”．解题时要根据数据的特点合理地选择茎和叶．2．应用茎叶图可以对两组数据进行比较，画图时，要找到两组数据共同的茎，分析时要从数据分布的对称性、中位数、稳定性等方面比较．3．茎叶图的优点是保留了原始信息，并可以随时记录数据，但当样本容量较大时就不适合了.[跟进训练]2.如图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，若乙的平均分是89，则污损的数字是________．3 [设污损的叶对应的成绩为x ，由茎叶图可得，89×5＝83＋83＋87＋x ＋90＋99，∴x ＝3.故污损的数字是3.]类型3 频率分布直方图的绘制及应用1．我们抽取样本的目的是什么？把抽出的样本数据做成频率分布表，需要对数据做什么工作？[提示] 用样本去估计总体，为决策提供依据．分组、频数累计、计算频数和频率． 2．画频率分布直方图时，如何决定组数与组距？[提示] 组数与样本容量大小有关，当样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组，组距的选择应力求取整，一般运用“极差组距＝组数”．3．同一组数据，如果组距不同，得到的频率分布直方图相同吗？ [提示] 不相同．对同一组数据，不同的组距与组数对结果有一定的影响． 4．频率分布直方图的纵轴表示频率吗？ [提示] 不．表示频率组距.【例3】 某省为了了解和掌握2019年高考考生的实际答卷情况，随机地取出了100名考生的数学成绩，数据如下：(单位：分)135 98 102 110 99 121 110 96 100 103 125 97 117 113 110 92 102 109 104 112 105 124 87 131 97 102 123 104 104 128 109 123 111 103 105 92 114 108 104 102 129 126 97 100 115 111 106 117 104 109 111 89 110 121 80 120 121 104 108 118 129 99 90 99 121 123 107 111 91 100 99 101 116 97 102 108 101 95 107 101 102 108 117 99 118 106 119 97 126 108123 119 98 121 101 113 102 103 104 108 (1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图和折线图；(3)估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例．[思路探究] 先求极差．根据极差与数据个数确定组距、组数，然后按频率分布直方图的画法绘制图形．[解] 100个数据中，最大值为135，最小值为80，极差为135－80＝55.取组距为5，则组数为555＝11．(1)频率分布表如下：分组 频数 频率 频率/组距 [80,85) 1 0.01 0.002 [85,90) 2 0.02 0.004 [90,95) 4 0.04 0.008 [95,100) 14 0.14 0.028 [100,105) 24 0.24 0.048 [105,110) 15 0.15 0.030 [110,115) 12 0.12 0.024 [115,120) 9 0.09 0.018 [120,125) 11 0.11 0.022 [125,130) 6 0.06 0.012 [130,135] 2 0.02 0.004 合计1001.000.200(2)根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图，如图所示：(3)从频率分布表中可知，这100名考生的数学成绩在[100,120)分之间的频率为0.24＋0.15＋0.12＋0.09＝0.60，据此估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例为60%.(0.60＝60%)1．在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系 (1)若极差组距为整数，则极差组距＝组数； (2)若极差组距不为整数，则极差组距的整数部分＋1＝组数．2．组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少都会影响了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本容量越大，所分组数越多．[跟进训练]3．有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：[－20，－15)，7；[－15，－10)，11；[－10，－5)，15；[－5,0)，40；[0,5)，49；[5,10)，41；[10,15)，20；[15,20]，17.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；(3)求样本数据不足0的频率．[解](1)频率分布表如下：分组频数频率[－20，－15)70.035[－15，－10)110.055[－10，－5)150.075[－5,0)400.200[0,5)490.245[5,10)410.205[10,15)200.100[15,20]170.085合计200 1.000(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．(3)样本数据不足0的频率为：0.035＋0.055＋0.075＋0.200＝0.365.1．如果想用统计图来反映各数据的变化趋势，比较合适的统计图是()A．条形图B．折线图C．扇形图D．其他图形B[能反映各数据变化趋势的统计图是折线图．]2．某地农村2005年到2020年间人均居住面积的统计图如图所示，则增长最多的5年为()A．2005年～2010年B．2010年～2015年C．2015年～2020年D．无法从图中看出C[2005年～2010年的增长量为3.1,2010年～2015年的增长量为3.2,2015年～2020年的增长量为3.8.]3．(多选题)下列关于茎叶图的叙述错误的是()A．将数组的数按位数进行比较，将数大小基本不变或变化不大的位作为一个主杆(茎)，将变化大的位的数作为分枝(叶)，列在主杆的后面B．茎叶图只可以分析单组数据，不能对两组数据进行比较C．茎叶图更不能表示三位数以上的数据D．画图时茎要按照从小到大的顺序从下向上列出，共茎的叶可随意同行列出BCD[由茎叶图的概念知，只有A选项正确，故选BCD．]4．观察如图所示的统计图，下列结论正确的是()A．甲校女生比乙校女生多B．乙校男生比甲校男生少C．乙校女生比甲校男生少D．甲、乙两校女生人数无法比较D[题图中数据只是百分比，甲、乙两个学校的学生人数不知道，因此男生、女生的具体人数也无法得知．]5．某市广播电视局欲招聘播音员一名，对A，B两名候选人进行了两项素质测试，两人的两项测试成绩如下表所示．根据实际需要，广播电视局将面试、综合知识测试的得分按3∶2的比例计算两人的总成绩，那么________(填A或B)将被录用．测试成绩测试项目A B面试9095综合知识测试8580 B[A的成绩＝(90×3＋85×2)÷5＝88(分)，B的成绩＝(95×3＋80×2)÷5＝89(分)．因此B将被录用．]回顾本节内容，自我完成以下问题：1．重复的数据在茎叶图中是如何表示的？[提示]应用茎叶图进行统计时，注意重复出现的数据要重复记录，不能遗漏．2．你认为茎叶图有哪些优点？[提示]茎叶图能保留原始数据，并方便随时添加记录数据．3．频数分布直方图与频率分布直方图有什么不同？[提示]频数分布直方图能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数，而频率分布直方图则是从各小组数据在所有数据中所占的比例大小的角度来表示数据分布的规律．。

2。

4线性回归方程庖丁巧解牛知识·巧学一、相关关系变量之间的常见关系：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示.如正方形的边长l与面积S之间就是确定性函数关系,可以用函数S=l2表示;一类是相关关系，变量之间有一定的联系,但不能完全用函数来表达.如人的体重y与身高x有关。

一般来说，身高越高,体重越重，但不能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系。

在现实生活中存在着大量的相关关系,如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据,对数据进行统计分析,发现规律，才能作出科学的判断.辨析比较函数关系与相关关系的区别与联系相同点：两者均是指两个变量间的关系；不同点:①函数关系是一种确定性关系，自变量的任一取值，因变量都有唯一确定的值与之对应；相关关系是非确定性关系，因变量的取值具有一定的随机性；②函数关系是因果关系，而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系;③相关关系的分析方向及方法，由于相关关系的不确定性,在寻找变量间相关性的过程中，统计发挥着重要的作用，而函数关系则可以通过函数的性质来进行研究.二、线性回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。

通俗地讲,回归分析就是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。

1。

散点图我们把表示具有相关关系的两个变量x、y的一组数据(x n，y n)（n=1，2，3,…）对应的一些点（即样本点)画在坐标系内，得到的图形叫做散点图。

如：某地农业技术指导站的技术员，经过在7块并排大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据：（单位：千克)施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455观察表中数据，大体上随着施化肥量的增加,水稻的产量也在增加。

只是表中两者之间的关系表现得不是很确切，需要对数据进行分析.为此我们可以作统计图表,以便对两者有一个直观的印象和判断.除上述的统计图表外，我们还可以用另一种统计图——散点图来分析。

5．1 统计 5．1.1 数据的收集1．(多选)下面的四个问题中，不宜用抽样调查方法的是( )A．检验10件产品的质量B．银行对公司10万元存款现钞的真假检验C．跳伞运动员检查20个伞包及伞的质量D．检验一批汽车的防碰撞性能2．对于简洁随机抽样，下列说法中正确的命题为( )①它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的可能性进行分析；②它是从总体中逐个地进行抽取，以便在抽样实践中进行操作；③它是一种等可能抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公允性．A．①②③B．①② C．①③D．②③3．某校高三年级有男生500人，女生400人．为了解该年级学生的健康状况，从男生中随意抽取25人，从女生中随意抽取20人进行调查，这种抽样方法是( ) A．简洁随机抽样 B．抽签法C．随机数表法 D．分层抽样4．用抽签法进行抽样有以下几个步骤：①把号码写在形态、大小相同的号签上(号签可以用小球、卡片、纸条制作)；②将总体中的个体编号；③从这个容器中逐个不放回地抽取号签，将取出号签所对应的个体作为样本；④将这些号签放在一个容器内并搅拌匀称．这些步骤的先后依次应为( )A．②①④③ B．②③④①C．①③④② D．①④②③5．高三某班有34位同学，座位号记为01，02，…，34，用下面的随机数表选取5组数作为参与青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字起先，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号为( )49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 2096 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 7704 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06A．23 B．09C．02 D．166．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入状况，确定采纳分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是( ) A．12，24，15，9 B．9，12，12，7C．8，15，12，5 D．8，16，10，67．(多选)下列抽样方法不是简洁随机抽样的是( )A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B．某可乐公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查C．某连队从120名战士中，选择出50名最优秀的战士去参与抢险救灾活动D．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编号) 8．(多选)某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人．甲就读于高一，乙就读于高二．学校安排从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有( )A．应当采纳分层随机抽样法B．高一、高二年级应分别抽取100人和135人C．乙被抽到的可能性比甲大D．该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力9．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生人数为( )A．8 B．11C．16 D．1010．为了了解参与运动会的2 000名运动员的年龄状况，从中抽取20名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有________．①2 000名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的20名运动员是一个样本；④样本容量为20；⑤每个运动员被抽到的机会相等．11．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，依据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：A 产品的样本容量比C产品的样本容量多10，依据以上信息，可得C产品的数量是________件．12．一个布袋中有10个同样质地的小球，从中不放回地依次抽取3个小球，则某一特定小球被抽到的可能性是________，第三次抽取时，剩余每个小球被抽到的可能性是________．13．某高校为了支援我国西部教化事业，从报名的60名大三学生中选10人组成志愿小组，请用抽签法和随机数表法设计抽样方案．14．某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革的看法，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请详细实施操作．5．1.1 数据的收集1．答案：ABC解析：依据抽样调查与普查的概念知A、B、C一般采纳普查的方法，只有D采纳抽样调查的方法．2．答案：A解析：这三点全是简洁随机抽样的特点．3．答案：D解析：样本由差异明显的几部分组成，抽取的比例由每层个体占总体的比例确定，即为分层抽样．4．答案：A解析：由抽签法的定义可知，抽签法的步骤为将总体中的个体编号；把号码写在形态、大小相同的号签上(号签可以用小球、卡片、纸条制作)；将这些号签放在一个容器内并搅拌匀称；从这个容器中逐个不放回地抽取号签，将取出号签所对应的个体作为样本．依次为②①④③.5．答案：D解析：从随机数表第一行的第6列和第7列数字35起先，由左到右依次选取两个数字，不超过34的依次为21，32，09，16，17，第四个志愿者的座号为16.6．答案：D解析：由题意，各种职称的人数比为160∶320∶200∶120＝4∶8∶5∶3，所以抽取的具有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为40×420＝8，40×820＝16，40×520＝10，40×320＝6.7．答案：ABC解析：对于A ，平面直角坐标系中有多数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故A 中的抽样方法不是简洁随机抽样；对于B ，一次性抽取与逐个不放回地抽取是不等价的，故B 中的抽样方法不是简洁随机抽样；对于C ，选择的50名战士是最优秀的，不符合简洁随机抽样的等可能性，故C 中的抽样方法不是简洁随机抽样；对于D ，易知D 中的抽样方法是简洁随机抽样．8．答案：ABD解析：由于各年级的年龄段不一样，因此应采纳分层随机抽样法．由于比例为23520×50＋30×45＝110，因此高一年级1 000人中应抽取100人，高二年级1 350人中应抽取135人．甲、乙被抽到的可能性都是110.因此只有C 不正确，故应选ABD.9．答案：A解析：若设高一学生数为x ，则高三学生数为2x ，高二学生数为x ＋300，所以有x ＋2x ＋x ＋300＝3 500，解得x ＝800.故高一学生人数为800，因此应抽取高一学生人数为800×1100＝8. 10．答案：④⑤解析：①2 000名运动员不是总体，2 000名运动员的年龄才是总体；②每个运动员的年龄是个体；③20名运动员的年龄是一个样本．11．答案：800解析：抽样比为130∶1 300＝1∶10，即每10个产品中抽取1个个体，又A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，故C 产品的数量是[(3 000－1 300)－100]×12＝800(件).12．答案：310 18解析：因为简洁随机抽样过程中每个个体被抽到的可能性均为n N ，所以第一个空填310.因本题中的抽样是不放回抽样，所以第一次抽取时，每个小球被抽到的可能性为110，其次次抽取时，剩余9个小球，每个小球被抽到的可能性为19，第三次抽取时，剩余8个小球，每个小球被抽到的可能性为18.13．解析：抽签法：第一步：将60名高校生编号，编号为01，02，03， (60)其次步：将60个号码分别写在60张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签； 第三步：将60个号签放入一个不透亮的盒子中，充分搅匀； 第四步：从盒子中逐个抽取10个号签，并记录上面的编号； 第五步：所得号码对应的学生，就是志愿小组的成员． 随机数表法：第一步：将60名学生编号，编号为01，02，03，…，60； 其次步：在随机数表中任选一数起先，按某一确定方向读数；第三步：凡不在01～60中的数或已读过的数，都跳过去不作记录，依次记录下10个得数；第四步：找出号码与记录的数相同的学生组成志愿小组．14．解析：∵机构改革关系到每个人的不同利益，故采纳分层抽样方法较妥． ∵10020＝5，∴105＝2，705＝14，205＝4. ∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人． 因副处级以上干部与工人人数都较少，他们分别按1～10编号和1～20编号，然后采纳抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人进行00，01，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．这样便得到了一个容量为20的样本．。

《统计》数学教案标题：《统计》数学教案一、教学目标1. 理解统计的基本概念和原理。

2. 掌握数据收集、整理和分析的方法。

3. 能够运用统计知识解决实际问题。

4. 培养学生的逻辑思维能力和数据分析能力。

二、教学内容1. 统计基本概念：总体、样本、参数、统计量等。

2. 数据的收集与整理：普查、抽样调查、频数分布表、频率直方图等。

3. 数据的描述性统计分析：平均数、中位数、众数、极差、标准差等。

4. 参数估计与假设检验：点估计、区间估计、单样本t检验、双样本t检验等。

三、教学方法1. 讲授法：讲解统计的基本概念和原理。

2. 实例法：通过实例解释和应用统计知识。

3. 小组讨论法：组织学生分组讨论，提高他们的合作学习能力和解决问题的能力。

四、教学过程1. 导入新课：以生活中的实例引入统计的概念，激发学生的学习兴趣。

2. 新知讲授：- 介绍统计的基本概念和原理。

- 解释数据收集和整理的方法。

- 讲解描述性统计分析和参数估计的基本方法。

3. 实践操作：设计一些简单的统计问题，让学生自己动手收集和整理数据，并进行分析。

4. 课堂小结：总结本节课的主要内容和重点难点。

5. 作业布置：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。

五、教学评价1. 过程评价：观察学生在课堂上的表现，包括参与度、理解程度、解决问题的能力等。

2. 结果评价：通过作业和测验来检查学生对知识的掌握情况。

六、教学反思通过对学生学习效果的反馈，反思自己的教学方法和策略，不断改进和优化教学方案。

分层随机抽样市体育协会组织了“健步走”活动，活动共有10 000余人参加，按参加者年龄分老年组、青年组和少年组。

活动后市电视台拟从参加比赛的人群中抽取10人进行采访。

【问题1】上述问题中总体有什么特征？【问题2】抽取样本时采用抽签法合适吗？【问题3】你认为怎样抽取样本更合理？1．分层随机抽样(1)分层随机抽样一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．(2)比例分配在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．(3)应用：抽取样本．1．本质：对于含有差异明显几个层的总体随机抽样的一种方法，即按照一定比例进行抽样．2．混淆：不要与简单随机抽样混淆．3．简单随机抽样和分层随机抽样的区别和联系(1)区别：简单随机抽样是从总体中逐个抽取样本；分层随机抽样则首先将总体分成几层，在各层中按比例分别抽取样本．(2)联系：①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；②每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样． 2．分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数1层 2层 层个体数 M N 层样本量 m n 层个体 变量值 X 1，X 2，…，X MY 1，Y 2，…，Y N层样本 的个体 变量值x 1，x 2，…，x m y 1，y 2，…，y n层总体 平均数X ＝X 1＋X 2＋…＋X M M ＝1M∑i ＝1MX iY ＝Y 1＋Y 2＋…＋Y N N ＝1N∑i ＝1NY i层样本 平均数x ＝x 1＋x 2＋…＋x m m ＝1m ∑i ＝1mx iy ＝y 1＋y 2＋…＋y n n ＝1n∑i ＝1ny i总体平 均数W ＝∑i ＝1M X i ＋∑i ＝1NY iM ＋N样本平 均数w ＝∑i ＝1mx i ＋∑i ＝1ny im ＋n3.获取数据的途径 获取数据的基本途径有： (1)通过调查获取数据； (2)通过试验获取数据； (3)通过观察获取数据； (4)通过查询获取数据．1．分层随机抽样时，样本是在各层中分别抽取吗？2．分层随机抽样中，个体数量较少的层抽取的样本量较少，这是公平的吗？3．观察法是获取样本数据的途径吗？4．在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数w估计总体平均数W，是吗？提示：1.是；2.是；3.是；4.是．阅读教材P181问题3，如果要抽取一个有代表性的样本，男、女生的抽取比例大致是多少？提示：326∶386＝163∶193.1．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是( )A．简单随机抽样B．抽签法C.随机数法D．分层随机抽样【解析】选D.从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层随机抽样．2．某单位有职工160人，其中业务员104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用比例分配的分层随机抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员______人．【解析】20160＝18，设管理人员为x人，则x32＝18，得x＝4.答案：4基础类型一获取数据的途径(数学抽象)1．“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(Five－hundred－meter Aperture Spherical radio Telescope，简称FAST)，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜．建造“中国天眼”的目的是( )A．通过调查获取数据 B．通过试验获取数据C．通过观察获取数据 D．通过查询获得数据【解析】选C.“中国天眼”主要是通过观察获取数据．2．下列哪些数据一般是通过试验获取的( )A．2021年济宁市的降雨量B．2021年全国新生儿人口数量C．某学校高一年级同学的数学测试成绩D．某种特效中成药的配方【解析】选D.某种特效中成药的配方的数据一般通过试验获得．3．下列调查所抽取的样本具有代表性的是( )A．利用某地七月份的日平均最高气温值估计该地全年的日平均最高气温B．在农村调查市民的平均寿命C．利用一块试验水稻田的产量估计水稻的实际产量D．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中任意抽取100袋进行检验【解析】选D.A项中某地七月份的日平均最高气温值不能代表全年的日平均最高气温；B项中在农村调查得到的平均寿命不能代表市民的平均寿命；C项中试验田的产量与水稻的实际产量相差可能较大，只有D项正确．1.获取数据的基本途径：观察、查询、调查、试验．2．根据调查问题的特点设计抽样调查的不同方案，应遵循的原则：(1)要考虑如何保证调查内容的真实性；(2)要考虑如何合理地获取样本，以确保其典型性、代表性．基础类型二分层随机抽样的概念(数学抽象)【典例】1.分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽取，必须进行( ) A．每层等可能抽样B．每层可以不等可能抽样C．所有层按同一抽样比等可能抽样D．所有层抽取的个体数量相同【解析】选C.为了保证每个个体等可能的被抽取，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．2．下列问题中，适合用分层随机抽样抽取样本的是( )A．学校从10个优秀节目中抽取3个参加县元旦晚会B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本C．某学校有男、女学生各500名，为了解学生的期末复习情况，拟抽取100名学生进行调查D ．某啤酒厂质检员从生产流水线上，抽取样本检查产品质量【解析】选B.A 中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C 中总体虽然分男、女两个层，但是要了解期末复习情况，没有必要采取分层随机抽样；D 中总体所含个体无差异，不适合用分层随机抽样；B 中总体所含个体差异明显，并且要了解购买能力，与收入关系密切，适合用分层随机抽样．分层随机抽样的特点(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况； (2)更充分地反映了总体的情况；(3)等概率抽样，每个个体被抽到的概率都相等．为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ) A ．抽签法抽样 B ．按性别分层随机抽样 C ．按年龄段分层随机抽样 D ．随机数法抽样【解析】选C.该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女差异不大，所以按年龄段分层随机抽样具有代表性，比较合理．【加固训练】为了保证分层随机抽样时每个个体被等可能地抽取，必须要求( ) A ．每层等可能抽取 B ．每层抽取的个体数相等C ．每层抽取的个体数可以不一样多，但必须满足抽取n i ＝n·N i N (i ＝1，2，…，k)个个体(其中i 是层的序号，k 是总层数，n 为抽取的样本容量，N i 是第i 层中的个体数，N 是总体容量)D ．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制【解析】选C.分层随机抽样时，在各层中按层中所含个体在总体中所占的比例进行抽样． A 中，虽然每层等可能地抽样，但是没有指明各层中应抽取几个个体，故A 不正确； B 中，由于每层的个体数不一定相等，每层抽取同样多的个体数，显然从总体来看，各层的个体被抽取的可能性就不相等了，因此B 也不正确；C 中，对于第i 层的每个个体，它被抽到的可能性与层数i 无关，即对于每个个体来说，被抽取为样本的可能性是相同的，故C 正确；D 显然不正确．综合类型 分层随机抽样的应用(数据分析)比例分配的计算【典例】我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣( ) A ．104人 B ．108人 C ．112人 D ．120人【解析】选 B.由题意可知，这是一个分层随机抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300×8 1008 100＋7 488＋6 912 ＝300×8 10022 500＝108.分层随机抽样中按比例分配计算时，用到的两个关系式(1)样本量n 总体的个数N ＝该层抽取的个体数该层的个体数； (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．分层随机抽样的实际应用【典例】某政府机关在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．(1)若上级机关为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取20人了解情况，应用何种方法抽取，请具体实施操作；(2)若要从工人中抽取2人作为工人代表，应用何种方法抽取．【解析】(1)由于机构改革关系到各人的不同利益，故采用分层随机抽样的方法为妥． 抽取过程如下：①将在编人员按副处级以上干部、一般干部、工人分成三层；②因为10020 ＝5，105 ＝2，705 ＝14，205 ＝4，所以从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．③由于副处级以上干部与工人人数都较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00，01，…，69编号，然后用随机数法抽取14人．④将这20人合在一起，构成样本．(2)要从工人中抽取2人作为工人代表，应用抽签法抽取最合适．分层随机抽样的步骤【加固训练】一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人．为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？【解析】由题意知，该抽样为比例分配的分层随机抽样，抽取步骤如下：(1)分层．按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为100500 ＝15 ，则在不到35岁的职工中抽取125×15 ＝25(人)；在35岁至49岁的职工中抽取280×15 ＝56(人)；在50岁及50岁以上的职工中抽取95×15＝19(人).(3)在各层按随机数法抽取样本． (4)汇总每层抽样，组成样本．用样本平均数估计总体平均数【典例】某学校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况，从甲、乙、丙3个班中，按分层随机抽样的方法获得了部分学生一周的锻炼时间(单位：h)，数据如下．甲 6 6.5 7 7.5 8 乙 6 7 8 9 10 11 12 丙34.567.5910.51213.5(1)(2)估计这个学校高一的学生中，一周的锻炼时间超过10个小时的百分比； (3)估计这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间．【解析】(1)由题干中的表格可知，按分层随机抽样的方法从甲、乙、丙3个班中分别抽取5个，7个，8个学生．故三个班学生人数之比为5∶7∶8.(2)由题意知，抽取的20个学生中，一周的锻炼时间超过10小时的有5人，故一周的锻炼时间超过10个小时的百分比为520＝25%.(3)从甲班抽取的5名学生的总时间为6＋6.5＋7＋7.5＋8＝35. 从乙班抽取的7名学生的总时间为6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＝63.从丙班抽取的8名学生的总时间为3＋4.5＋6＋7.5＋9＋10.5＋12＋13.5＝66. 则35＋63＋665＋7＋8 ＝16420＝8.2.即这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间为8.2小时．在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m ，平均值为x ；第二层的样本量为n ，平均值为y ，则样本的平均值为mx ＋ny m ＋n.1．某学校为了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的课业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( ) A ．抽签法B ．简单随机抽样 C.分层随机抽样D ．随机数法【解析】选C.根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层随机抽样． 2．为了报考理想的大学，小明需要获取近年来我国各大学会计专业录取人数的相关数据，他获取这些数据的途径最好是( ) A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据 C.通过观察获取数据 D.通过查询获得数据【解析】选D.因为近年来我国各大学会计专业录取人数的相关数据有存储，所以小明获取这些数据的途径最好是通过查询获得数据．3．为调查某快餐店各分店的经营状况，某统计机构用分层随机抽样的方法，从A ，B ，C 三个城市中抽取若干家某快餐店分店组成样本进行深入研究，有关数据见下表：(单位：个)城市 某快餐店数量抽取数量A 26 2B 13 x C39y则样本量为( )A．4 B．6 C．10 D．12【解析】选B.设所求的样本量为n，由题意得n26＋13＋39＝226，解得n＝6.4．从总体容量为N的一批零件中用分层抽样抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为0.25，则N等于______．【解析】分层抽样是等可能抽样，故总体容量为30÷0.25＝120.答案：1205．分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为______．【解析】ω＝2020＋30×3＋3020＋30×8＝6.答案：6。

可编辑修改精选全文完整版第九章统计统计学有多种不同的定义，综合来说，统计学是收集、处理、分析、解释数据并从数据中得出结论的科学．作为专门研究有效收集和分析数据的科学，可以说凡是一个实际问题涉及数据处理，都应该利用统计学方法去分析和解决．统计方法不仅有用，对于理解周围的世界经常也是不可或缺的，它提供了对许多现象获得新见解的方法．现在统计学已深入到科学、技术、工程和现代社会生活的各个方面．尤其当我们进入大数据时代和“互联网＋”时代，作为研究数据分析的重要数学技术，统计学方法在相关领域的应用已成为数学应用的主要方法．统计素养已成为一名效率公民的基本素养．从新中国成立以来，在中学数学课程中，统计经历从无到有、从描述统计到推断统计、从选修变为必修的过程，其要求和地位都在不断提高．《课程标准2021年版》把“概率与统计”与“函数”“代数与几何”并列作为高中数学课程内容主线之一，并贯穿必修、选择性必修和选修整个数学课程．除了在初中统计基础上进一步学习数据收集和整理的方法、数据直观图表的表示方法、数据统计特征的刻画方法外，要求能用样本的统计特征推断总体的统计特征，包括单变量总体集中趋势参数、离散程度参数、取值规律和百分位数的估计，双变量总体的相关关系、一元线性回归模型和独立性的推断．相比初中统计以描述统计为主，高中统计以推断统计为主，更加强调数据的随机性．在统计的学习过程中，应让学生感悟在实际生活中进行科学决策的必要性和可行性；体会统计思维与确定性思维的差异、归纳推断与演绎证明的差异；通过实际操作、计算机模拟等活动，积累数据分析的经验．通过统计的学习，还应帮助学生建立正确的随机观念，养成通过数据来分析问题的习惯，学会抓住事物的主要因素等，发展数据分析、数学建模、逻辑推理、数学运算和数学抽象等数学学科核心素养，实现统计的教育价值．一、本章内容安排统计是通过数据分析来解决问题的，数据分析的过程体现了统计解决问题的基本思路．因此，让学生了解这个过程，对整体把握统计学科的特点，理解具体的数据分析方法和应用数据分析方法解决实际问题都是非常重要的．数据分析的过程存在多种不同的划分，《课程标准2021年版》对数据分析过程的划分如下：虽然在不同的数据分析过程划分中，划分的环节数、每个环节提法等不完全一致，但都遵循从收集数据到分析数据再到得出结论的基本过程．本章内容主要根据数据分析的基本过程进行安排，把学习内容分为三节．“9．1随机抽样”主要学习收集和整理数据的方法；“9．2样本估计总体”主要学习分析数据的方法，包括数据直观图表的表示方法和数据统计特征的刻画方法等，以及根据样本数据的统计特征估计总体的统计特征；“9．3统计案例公司员工的肥胖情况调查分析”是对前两节所学知识的综合应用．本章的知识结构如下：二、突出数据分析的基本过程，在过程中学习数据分析方法为了达到有效分析数据的目的，统计中会用到各种数据分析的方法，每个数据分析环节都有各自专属的数据分析方法，例如数据收集有随机抽样方法，数据分析有各种数字特征等，这些方法构成了统计研究和学习的主要内容．虽然很多具体的数据分析方法是针对数据分析过程中的某一个环节的，但其方法的合理性要放在整个数据分析过程中去理解．例如，一种抽样方法好坏要通过其抽取的数据对总体估计的效果进行评价，一个数字特征的选取合适与否取决于是否达到最终的统计目的等．因此，要理解数据分析方法的合理性，不能只针对某个环节孤立地进行学习，而应该放在数据分析的过程中进行学习．本章不管是抽样方法的学习，还是样本估计总体的学习，都尽可能通过具体案例的完整解决，让学生经历数据分析的基本过程，在基本过程中来学习数据分析的方法，理解数据分析的思路，并运用所学知识和方法解决实际问题．例如，简单随机抽样方法属于数据收集的内容，教科书并不是直接介绍简单随机抽样方法的定义和不同实现方法，而是设置了以下的问题：问题1家具厂要为树人中学高一年级制作课桌椅，事先想了解整个年级学生的平均身高，以便设定可调节课桌椅的标准高度．已知树人中学高一年级有712名学生，如果要通过简单随机抽样的方法调查高一年级学生的平均身高，应该怎么抽取样本？这是一个以估计总体均值为目的的抽样调查问题，但问题的解决需要经历数据分析的整个过程．在这个问题的解决过程中，不仅学习简单随机抽样方法的实现，还要通过总体均值和样本均值的比较，评价简单随机抽样方法的效果，体会简单随机抽样方法的特点．三、结合典型案例学习数据分析方法统计学是一门应用性很强的学科，它的概念和方法产生的动力基本都来自解决实际问题的需要．与建立在概念和定义基础上，通过演绎方式进行研究的数学其他分支不同，统计学是建立在数据基础上，通过归纳方式研究随机现象，通过数据分析解决问题．因此，统计的学习有别其他数学分支，需结合具体案例，由具体问题驱动学习，在问题的解决中体会数据的随机性，学习统计的概念和方法，积累数据分析的经验．而且结合具体案例还可以克服由于概念和方法的抽象性带来的理解困难．因此，结合具体案例介绍概念和方法是统计教科书编写的一个主要原则．由于统计的概念和方法都有各自的特点和适用范围，因而根据不同内容的特点，选择典型的案例就成为一个关键的问题．在中学阶段，案例的典型性不仅要体现统计概念、方法引入的必要性和解决问题的适切性，案例的背景还要符合学生的认知特点，有助于理解相关的概念和方法．教科书要尽量采用学生熟悉的案例背景，通过设计恰当的统计问题，在问题的解决中学习有关统计知识．例如，教科书在学习具体的抽样方法前，通过全国人口调查这个案例引入统计调查中涉及的一些基本概念．一方面，全国人口调查是学生比较熟悉的真实统计调查案例，让学生感受统计学科的重要性和应用性．另一方面全国人口调查不仅有普查，还有抽样调查，除了可以引入全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量等基本概念外，通过了解全国人口调查实施普查和抽样调查的背景及原因，可以进一步明确两种抽样方式的特点，以及抽样调查的必要性，帮助学生建立和完善有关统计调查的概观知识．这对后续进入具体随机抽样方法的学习是非常必要的．又如，教科书以同一个案例背景贯穿简单随机抽样和分层随机抽样的学习．在简单随机抽样问题1的基础上，教科书在随机分层抽样中设置了以下问题：问题2在树人中学高一年级的712名学生中，男生有326名、女生386名．能否利用这个辅助信息改进简单随机抽样方法，减少这种“极端”样本的出现，从而提高对整个年级平均身高的估计效果呢？教科书之所以采用“调查一个学校高一年级的平均身高”作为抽样调查的案例，主要考虑在通常情况下，对于一所学校的高一年级的学生数，既有进行抽样调查的必要性，又有进行全面调查的可行性，即获得总体均值是可行的，这使教科书后续比较样本均值与总体均值，进而评价随机抽样的效果显得比较自然．而两种抽样方法的学习使用同一案例背景，只是改变男生、女生人数这个条件，不仅有利于比较两种抽样方法的效果，而且有利于理解两种抽样方法的联系与区别．四、加强数据分析方法的形成过程，体现方法的合理性在数据分析方法中会用到很多数学的工具，如果不了解数学符号和公式背后的统计思想和数学原理，容易把统计学习变成纯粹的画图列表、公式计算等程序性操作，学生体会不到数据分析方法的合理性．方法引入的必要性，可以通过合适的案例背景来体现，而体现方法的合理性，则需要加强从直观想法到数学表达的转化过程，这个过程也是积累数据分析经验的过程．体现了方法的必要性和合理性，不仅使得知识的产生显得自然，也有利于学生更好地把握方法的本质．本章数据分析方法中，数学工具的使用主要是在用数字特征刻画数据的统计特征中．对于数字特征，主要是要理解其统计含义．有些数字特征的定义形式比较简单，其统计含义相对比较容易理解．例如，平均数刻画了一组数据平均水平，众数是一组数据最典型的代表，极差刻画了一组数据的波动范围等．但有些数字特征的数学表达相对复杂，其统计含义有时并不能一目了然，例如中位数、方差、标准差，尤其是分层抽样的方差公式．对于数字特征，往往是先有刻画数据某一方面的特征需要，再根据需要定义数字特征的．如果了解数字特征定义的目的是刻画数据哪一方面的特征，不仅有助于学生理解数字特征的统计含义，而且有利于理解数字特征定义的形式．例如，如果学生了解了中位数是把一组数据按大小分成个数相等两部分的那个数，就很容易理解中位数为什么要根据数据的个数，分奇偶两种情况进行定义．又如，方差和标准差都可以用来刻画一组数据离散程度，它们的公式初看起来都比较复杂，但了解了它们定义的过程，就容易理解它们在刻画数据离散程度上的特点，以及之所以定义成现在这种形式．为了让学生更好地理解方差和标准差的统计含义，积累数据分析的经验，教科书详细呈现了方差概念的形成过程．教科书首先通过比较两名射击运动员成绩稳定性，让学生体会定义数字特征刻画数据离散程度的必要性．通过分析，把刻画一组数据的离散程度问题逐步转化为刻画与平均数的“平均距离”大小的数学问题．在数学中，距离可以有多种定义，教科书先呈现学生最容易想到的“绝对值距离”，由于绝对值的数学性质不够好，为了避免含有绝对值，又引入“平方和距离”，以此作为刻画数据的离散程度的数字特征，即方差．这个从统计直观到数学表达逐步优化的数据分析过程，在数字特征的定义中具有一般意义，积累的经验有助于理解选择性必修中样本相关系数的定义．五、加强信息技术与统计的融合1．培养学生使用信息技术的意识和初步能力统计是通过数据分析解决问题的．在数据分析中经常会涉及数据的整理、可视化表示、计算等数据处理，尤其当样本量比较大时，工作量就会变得非常大．运用计算器、计算机等信息技术工具，不仅可以实现快速、准确地列表、画图、计算等数据处理，而且能使大量人工难以完成的数据处理变成可能．会使用信息技术处理数据是现代统计学习的重要组成部分．在高中统计的学习中，应该培养学生使用信息技术的意识和初步能力．为了给学生在统计学习中运用信息技术提供支持，在高中统计的起始章，教科书安排选学栏目“信息技术应用统计软件的应用”，集中介绍电子表格和R两款软件的基本统计功能，其中电子表格软件是使用比较普遍且具有一定统计功能的办公软件，而R软件则是统计专业人员中使用普遍且免费的专业统计软件．在后续统计的章节中，教科书结合有关内容，在适合使用的信息技术的地方，以边注的形式对给予提示．2．利用信息技术提高教学的效率和质量信息技术既是现代统计的组成部分，也是统计学习的有效辅助手段．通过合理使用信息技术，可以把学生从机械、烦琐的数据处理中解放出来，把更多精力集中于统计概念和方法的理解，从而提高教学的效率和质量．例如，绘制频率分布直方图涉及数据的分组、频率的计算、图形的绘制等大量工作，用统计软件可以快速绘制出不同组距和组数的直方图，节约重复计算、机械性操作的时间，把更多的精力花在直方图信息的提取上．又如，平均数、方差等特征数的计算，在学生已经知道如何计算的情况下，统计软件的使用就可以大大节约时间，进而把更多的精力花在理解特征数的统计含义上．3．通过随机模拟直观解释数据分析方法的合理性统计是研究数据收集和分析数据的科学，其研究重点是如何有效地收集和分析数据，所有数据分析方法都是为了达到这个目的．这里的“有效”既包括人力、物力、时间的节省，也包括估计精确度和可靠度的提高．在没有足够概率理论知识刻画估计的精确度和可靠度时，如何让学生了解样本和总体的关系，体会数据分析方法的科学性就成为统计内容呈现的重点．在中学统计中，信息技术一个很大的作用是可以实现随机模拟，它使大量重复试验成为可能．通过随机模拟，可以让学生体会样本数据的随机性和规律性，了解样本和总体之间的关系，这可以在很大程度上直观解释一些数据分析方法的合理性，弥补由于理论知识不足造成的理解困难．例如，在随机抽样的学习中，需要讨论样本量对于抽样估计效果的影响，以及评价简单随机抽样和分层随机抽样的估计效果，在理论上进行说明并不容易．因此，教科书通过随机模拟的方式，让学生直观观察的多次抽样的结果图1和图2，在此基础上归纳概括随机抽样方法的特点．。

第九章统计9.1随机抽样1.全面调查与抽样调查（1）对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查Ｗ.（2）在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体Ｗ.（3）根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查Ｗ.（4）把从总体中抽取的那部分个体称为样本Ｗ.（5）样本中包含的个体数称为样本量Ｗ.（6）调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据.2.简单随机抽样（1）有放回简单随机抽样一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n<N）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样.（2）不放回简单随机抽样如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.（3）简单随机抽样放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.（4）简单随机样本通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.（5）简单随机抽样的常用方法实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.■名师点拨（1）从总体中，逐个不放回地随机抽取n个个体作为样本，一次性批量随机抽取n个个体作为样本，两种方法是等价的.（2）简单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样的公平性.3.总体平均数与样本平均数（1）总体平均数①一般地，总体中有N 个个体，它们的变量值分别为Y 1，Y 2，…，Y N ，则称Y －＝Y 1＋Y 2＋…＋Y N N＝1N ∑N i ＝1Y i 为总体均值，又称总体平均数. ②如果总体的N 个变量值中，不同的值共有k （k ≤N ）个，不妨记为Y 1，Y 2，…，Y k ，其中Y i 出现的频数f i （i ＝1，2，…，k ），则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y －＝1N ∑k i ＝1f i Y iＷ. （2）样本平均数如果从总体中抽取一个容量为n 的样本，它们的变量值分别为y 1，y 2，…，y n ，则称y －＝y 1＋y 2＋…＋y n n＝1n ∑n i ＝1y i 为样本均值，又称样本平均数.在简单随机抽样中，我们常用样本平均数y －去估计总体平均数Y －.4.分层随机抽样（1）分层随机抽样一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层Ｗ.（2）比例分配在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.5.分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数（1）在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M 和N ，抽取的样本量分别为m 和n .我们用X 1，X 2，…，X M 表示第1层各个个体的变量值，用x 1，x 2，…，x m 表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y 1，Y 2，…，Y N 表示第2层各个个体的变量值，用y 1，y 2，…，y n 表示第2层样本的各个个体的变量值，则：①第1层的总体平均数和样本平均数分别为X －＝X 1＋X 2＋…＋X M M ＝1M ∑M i ＝1X i ，x －＝x 1＋x 2＋…＋x m m＝1m ∑m i ＝1x i . ②第2层的总体平均数和样本平均数分别为Y －＝Y 1＋Y 2＋…＋Y N N ＝1N ∑N i ＝1Y i ，y －＝y 1＋y 2＋…＋y n n＝1n ∑n i ＝1y i . ③总体平均数和样本平均数分别为W －＝∑M i ＝1X i ＋∑N i ＝1Y i M ＋N ，w －＝∑m i ＝1x i ＋∑ni ＝1y i m ＋nＷ. （2）由于用第1层的样本平均数x －可以估计第1层的总体平均数X －，用第2层的样本平均数y －可以估计第2层的总体平均数Y －.因此我们可以用M ×x －＋N ×y －M ＋N ＝M M ＋N x －＋N M ＋Ny －估计总体平均数W －. （3）在比例分配的分层随机抽样中，m M ＝n N ＝m ＋n M ＋N ，可得M M ＋N x －＋N M ＋Ny －＝m m ＋n x －＋n m ＋ny －＝w －.因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数w －估计总体平均数W －.6.获取数据的途径获取数据的基本途径有：（1）通过调查获取数据；（2）通过试验获取数据；（3）通过观察获取数据；（4）通过查询获取数据典型应用1总体、样本等概念辨析题为了调查参加运动会的1 000名运动员的平均年龄，从中抽取了100名运动员进行调查，下面说法正确的是（ ）A.1 000名运动员是总体B.每个运动员是个体C.抽取的100名运动员是样本D.样本量是100【解析】 根据调查的目的可知，总体是这1 000名运动员的年龄，个体是每个运动员的年龄，样本是抽取的100名运动员的年龄，样本量为100.故答案为D.【答案】D此类题目要正确理解总体与个体的概念，要弄明白概念的实质，并注意样本与样本容量的不同，其中样本量为数目，无单位.典型应用2简单随机抽样的概念下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？（1）从无数个个体中抽取50个个体作为样本；（2）仓库中有1万支奥运火炬，从中一次抽取100支火炬进行质量检查；（3）某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区开展救灾工作.【解】（1）不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.（2）不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”.（3）不是简单随机抽样.因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求.要判断所给的抽样方法是否为简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点.典型应用3抽签法及随机数法的应用某班有50名学生，要从中随机地抽出6人参加一项活动，请分别写出利用抽签法和随机数法抽取该样本的过程.【解】（1）利用抽签法步骤如下：第一步：将这50名学生编号，编号为01，02，03， (50)第二步：将50个号码分别写在纸条上，并揉成团，制成号签.第三步：将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀.第四步：从容器中逐一抽取6个号签，并记录上面的号码.对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生.（2）利用随机数法步骤如下：第一步：将这50名学生编号，编号为1，2，3， (50)第二步：用随机数工具产生1～50范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的学生进入样本.第三步：重复第二步的过程，直到抽足样本所需人数.对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生.（1）利用抽签法抽取样本时应注意以下问题：①编号时，如果已有编号（如学号、标号等）可不必重新编号.（例如该题中50名同学，可以直接利用学号）②号签要求大小、形状完全相同.③号签要搅拌均匀.④抽取号签时要逐一、不放回抽取.（2）利用随机数法抽取样本时应注意的问题：如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，应剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需的人数.典型应用4分层随机抽样中的有关计算（1）某单位共有老、中、青年职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工身体状况，现采用分层随机抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工的人数为Ｗ.（2）某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的35，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取人.【解析】（1）设该单位老年职工人数为x，由题意得3x＝430－160，解得x＝90.则样本中的老年职工人数为90×32160＝18.（2）法一：因为“泥塑”社团的人数占总人数的3 5，故“剪纸”社团的人数占总人数的2 5，所以“剪纸”社团的人数为800×25＝320；因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为yx＋y＋z＝32＋3＋5＝310，所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×310＝96.由题意知，抽样比为50800＝116，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×116＝6.法二：因为“泥塑”社团的人数占总人数的3 5，故“剪纸”社团的人数占总人数的2 5，所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50×25＝20.又“剪纸”社团中高二年级人数比例为yx＋y＋z＝32＋3＋5＝310，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20×310＝6.【答案】（1）18（2）6分层随机抽样中有关计算的方法（1）抽样比＝该层样本量n总样本量N＝该层抽取的个体数该层的个体数.。

２０２４年３月上半月㊀教材点击㊀㊀㊀㊀高中数学新版教科书必修二 统计内容对比分析及教学建议以人教A版和苏教版为例◉福建省邵武第四中学㊀饶锦芳㊀㊀摘要:数学教科书是课程的重要依托和主要载体,是教学的基本单位．教科书的编写,直接影响高中学生的 学 和中学教师的 教 ．本文中通过对新课程标准下,两个新版教科书(人教A版和苏教版)中必修部分 统计 课程的研究,从教学内容的结构安排㊁栏目设置等方面进行了较为深入㊁细致的对比,并进一步提出教学建议,以期高中数学教师在教学中充分利用各版本教科书,优化教学资源,提升教学效果．关键词:高中数学教科书;统计;对比分析;教学建议㊀㊀统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学,它可以为人们制定决策提供依据．按照«普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)»(以下简称 «课程标准» )的要求,在高中数学课程中,统计是必修课程和选择性必修课程的主题之一．从统计研究的内容来看,必修课程主要学习收集数据的方法和单变量的统计问题．目前,我国出现了 一标多版 的情况,不同版本教科书在编写风格㊁课程标准㊁课程精神等方面存在着一定的差异．因此,本文中选取了当前我国高中使用范围较广的两个版本的数学教科书,即人教A版与苏教版的必修 统计 课程进行研究,并通过对教学内容的结构与安排㊁栏目设置等方面进行深入细致的对比分析,为高中数学教师理解和整合不同版本教材中 统计 模块的优缺点,提供了借鉴和参考．１教科书内容比较长期以来,高中数学课程标准为教科书的编制提供重要的指导意见,因此,在研究教科书内容之前,教师应该先研读课程标准．当前实行的«课程标准»指出: 统计单元的学习,可以帮助学生进一步学习数据收集和整理的方法㊁数据直观图表的表示方法㊁数据统计特征的刻画方法;通过具体实例,感悟在实际生活中进行科学决策的必要性和可能性;体会统计思维与确定性思维的差异㊁归纳推断与演绎证明的差异;通过实际操作㊁计算机模拟等活动,积累数据分析的经验． [１]在这一内容指导下,本文所关注的人教A版与苏教版教材,在 统计 这一章节的内容安排上,具有明显的异同．下面笔者对两个不同版本教科书中的课程内容进行比较和分析．人教A版教材本章内容分为三节:９．１随机抽样,９．２用样本估计总体,９．３统计案例．苏教版则分为四节:１４．１获取数据的基本途径及相关概念,１４．２抽样,１４．３统计图表,１４．４用样本估计总体．从每个小节的内容呈现可以看出,两个版本的教科书都体现了«课程标准»的要求．教学内容的安排上也存在较大的差异:(１)人教A版在数据收集这部分先复习基本概念,再介绍抽样方法,提出了放回和不放回简单随机抽样,最后学习获取数据的４种主要途径;苏教版则是先介绍获取数据的主要途径,再到抽样方法的学习．(２)人教A版在内容安排上注意突出数据分析的基本过程,在 随机抽样 这节会因为研究需要介绍总体平均数与样本平均数以及它们之间的关系,注重根据实际需要选择正确的统计图表,在理解集中趋势参数的统计含义之下,用样本集中趋势参数估计总体,以及如何从图表中估计出集中趋势参数．苏教版把统计图表与集中趋势参数分为两节内容介绍: １４．３ 节分别用实际案例回顾了初中学习的统计图表并总结各自特点,接下来着重学习频率分布直方图; １４．４ 节分别用不同的案例介绍集中趋势参数及它们的统计含义．苏教版更加注重每个知识点的学习．(３)人教A版 ９．３ 节通过一个完整案例让学生经历利用统计学解决问题的全过程,并给出了任务与要求;苏教版在应用与建模栏目设置了 阶梯电价的设计 的作业．２栏目设置比较教科书的编写不仅要体现教科书的知识结构,还要传递数学思想㊁数学文化．而教科书的栏目设置是知１１教材点击２０２４年３月上半月㊀㊀㊀识内容呈现的重要方式,能够体现编者的思想和编写的特色．针对这一模块,«课程标准»指出: 通过 统计 课程的学习,学生能提升获取有价值信息并进行定量分析的意识和能力;适应数字化学习的需要,增强基于数据表达现实问题的意识,形成通过数据认识事物的思维品质;积累依托数据探索事物本质㊁关联和规律的活动经验． [１]下面笔者就两个不同版本教科书中栏目设置的对比,作出分析．２．１相同设置在两个版本的栏目设置中,有诸多相似之处:(１)章头都有图㊁表㊁问题提出;(２)都采用了生活中的案例,通过案例讲授新的知识,对统计中的基本概念引入严格的定义;(３)问题型及注释型的内容较为丰富,例题能够体现知识点的实际应用;(４)每一个知识点都有针对的练习㊁习题与复习题;(５)都有设置额外的知识点,如对数学家㊁数学史料的介绍,对信息技术应用的介绍,等等．２．２不同设置在两个版本的栏目设置中,也存在明显的差异:(１)人教A 版在每一节都设置了 引言 环节,主要是为了对上一部分进行内容总结,并引出接下来要学习的内容．由此可见,人教A 版较为注重学习的连贯性,强调知识点之间的连接与内在关系,循序渐进,体现数学知识的逻辑性㊁系统性．(２)人教A 版较为注重设置合适的教学情境,在 统计 这一章节中, 探究 思考 问题 类的栏目非常多,共计出现了２６处．由此可见,该版本强调以问题串联教学的环节,引导学生分析问题㊁解决问题,培养学生独立思考的能力．(３)人教A 版的案例较少,许多知识点会使用相同的案例,这说明,此版本教科书在具体案例的处理中,倾向于按数据处理的基本过程展开内容,而不是 就头论头,就尾论尾 地把统计过程割裂开来,帮助学生建立对统计的整体认知．(４)人教A 版的习题数量较少,在习题及复习题中进行了分层设计,包含 复习巩固,综合运用,拓广探索 这三个层次的内容,其中拓展栏目内容较少．相对而言,苏教版教材一方面注重直接提出本节要学习的问题,用问题引出要讲授的知识,以问题型旁白拓展思考．另一方面,苏教版的例题较多,注重知识的实际应用以及学生对数学知识与数学思想方法的吸收;题量较大,包含 感受 理解,思考 运用,探究 拓展 三个层次的内容,拓展栏目容较为丰富．总体而言,这两版教科书都有非常丰富的栏目设置,但也是神肖酷似,同中有异．３教学建议作为一线教师,笔者认为教学要能激发学生学习的兴趣,站在学生思维的最近发展区由浅入深教授知识,利用实际情境精选内容,优化课程结构,注重现代化教学手段的应用,强化利用数学知识解决实际问题的能力．鉴于上述分析,以下是笔者结合实际教学中遇到的问题,对必修 统计 教学的一些建议．３．１关于引言关于人教A 版 统计 章节的引言,笔者提出三个教学建议:(１)教师可以结合现实生活的统计指标举例,让学生感受统计就在身边,拉近学生与统计概念之间的距离,凸显统计知识的必要性,激发学生对统计的兴趣．在教学中,教师可以根据实际需要,举出学生身边的一些例子,用总量㊁比例(率)㊁平均数㊁百分位数等多元化的统计指标来阐述．(２)教师可以通过概括描述统计的学科特点,阐述统计解决问题的一般过程,让学生了解统计学习的基本思路和逻辑．(３)教师可以通过介绍统计解题过程中的常见困难,来联结不同的知识模块．总体而言,在教学中,笔者建议使用人教A 版的章引言作为本单元起始课的教学．３．２关于初高中内容的衔接统计 在逻辑上呈一条主干,开枝散叶的架构．小学㊁初中㊁高中都有统计内容的教学,如全面调查㊁抽样调查㊁总体㊁个体㊁样本量㊁简单随机抽样等重要概念,在义务教育阶段就曾多次出现．但是,高中阶段的统计学习,与义务教育阶段有着明显的差异．具体而言:(１)在抽样方法模块,初中只要求了解简单随机抽样,高中阶段需要进一步学习分层随机抽样以及设计抽样方法,以解决具体的问题．(２)在图表的制作与处理模块,小学 统计 处于 基于图象的直观判断 阶段,让学生学会把原始数据直接转化为图形,并能从图中获取关键信息;初中作图识图依然是重点,但作图需要先对数据进行处理,让学生在实例中感知数据处理的必要性与重要性,开始用 数字特征 进行统计分析;而高中的 统计 处于 基于数据处理与分析的推断 阶段． 需要通过一些典型案例,使学生了解较为系统的数据处理全过程,在此过程中进一步学习数据收集和整理的方法,数据直观图表的表示方法和数据统计特征的刻画方法．[１]因此,基于前文的分析,笔者认为,在初中与高中内容的衔接上,苏教版更为适用．例如,在苏教版教材１４．３统计图表的第一部分内容中,用实际案例回顾了初中阶段学习的统计图表,并总结了这些统计图表各自的特点以及每种统计图表在数据分析中的作用．进一步而言,在用频数直方图进行数据分析的过程中,编写者发现某些图形容易给人造成错觉,为了避２１２０２４年３月上半月㊀教材点击㊀㊀㊀㊀免误解,苏教版将频数直方图改良为频率直方图,以引导学生通过频率分布直方图观察数据的分布规律．３．３关于知识点的编排方式在知识点的编排方式上,人教A版在编写时注意突出数据分析的基本过程,更为适用．例如,在 ９．１．１简单随机抽样 这一节,内容编排如图１所示．典型案例:树人中学高一年级有７１２名学生,如果要调查高一年级学生的平均身高,应该怎么抽取样本?⇩抽样方法:抽签法㊁随机数法⇩平均数的计算⇩用样本平均数估计总体平均数图１在 ９．１．２分层随机抽样 这一节,人教A版也采用了相同的编排方式．这种编排方式能帮助学生建立对统计的整体认知,实现知识点之间的紧密联结,有助于学生进行连贯的学习和思考．但是,在学生作业中,笔者发现, 怎样安排抽样? 设计调查方案 这类的题目完成效果不理想,说明学生对知识点的学习不够深入．在这一背景下,教师对于学习内容的总结提升是非常关键的．例如,在讲授完分层抽样后,教师可以利用苏教版分层抽样的步骤,总结出一个清晰的逻辑线,具体如图２所示．图２与此同时,教师还可以对两种不同抽样方法进行列表对比,明确不同抽样方法的适用范围,如表１所示．表１㊀简单随机抽样与分层抽样的对比类别特点相互联系适用范围共同点简单随机抽样从总体中逐个抽取总体中的个体数相对较少分层抽样将总体分成几层,按各层的个体数之比抽取各层抽样时,可以采用简单随机抽样总体由差异明显的几部分组成抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同㊀㊀总体而言,教师可以把学习的重点内容以更加清晰的图表形式展现在学生面前,这样有利于学生对知识点的深入学习和理解．３．４关于应用与建模数学建模活动与数学探究活动是课程标准的主题之一,强调发挥学生的主体作用, 对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题㊁用数学方法构建模型解决问题[１]． 高考也非常重视强化利用统计解决实际问题的能力．在这一模块,苏教版设置了应用与建模栏目 阶梯电价的设计 ,人教A版在学习完必修 统计 相关知识后,提供了一个 公司员工的肥胖情况调查分析 统计案例,让学生深入探究,独立设置为一个章节．人教A版的案例指引学生从 背景与数据 任务与要求 统计分析报告的组成部分(标题㊁前言㊁主题㊁结尾) 这三方面进行探究．人教A版教材恰时恰当地引导学生明确关心的问题,说明数据蕴含的信息;根据数据分析的需要,说明如何选择统计图表描述和表达数据;从样本数据中提取能刻画其特征的量;通过样本估计总体的统计规律,分析案例的整体情况．所以,学生遇到实际问题时,不会无从下手,而是懂得如何把所学统计知识应用于实际生活解决问题．因此,在教学中,建议教师利用人教A版 ９．３统计案例 让学生了解利用统计学解决问题的全过程．３．５关于信息技术的应用人教A版和苏教版都有对信息技术应用的介绍,只是位置不同．在教学中,笔者认为苏教版在每一个知识点的结尾介绍电子表格软件及G e o G e b r a软件在这个知识点中的应用较为合理．此外,笔者建议,首先,教师在 统计案例 的教学中,让学生应用统计软件展示如何快速获取数据的频率分布直方图㊁扇形图,着重让学生回答从图表中提取的数据信息;其次,在学生已经知道如何计算的情况下,引导他们用统计软件快速计算平均数㊁方差等特征量,进而把更多精力花在理解特征数的统计含义上[２]．具体而言,高一学生在信息技术课上已经学习了编程,教师可以建议学生设计一款软件,输入身高和体重,敲回车键便可以得到偏瘦㊁正常㊁偏胖㊁肥胖中的一个结论,并给出建议的体重范围,帮助员工控制体重．通过一个完整案例,学生可以体会信息技术的应用带来的便利,把更多精力集中于统计概念和方法的理解上．不同版本的教科书都符合«课程标准»的理念与要求,内容与栏目的设置各有优缺点,有许多可以相互借鉴的地方．教师在备课时,不必拘泥于某一版本的教科书,可以对多个版本的教科书进行研究学习,结合本校的招生层次㊁本班学生的认知水平,根据实际教学环境需要,完善教学设计．参考文献:[１]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[S]．北京:人民教育出版社,２０２０．[２]吴雅楠．翻转课堂教学模式下高中统计教学设计研究[D]．北京:中央民族大学,２０２０．Z３１。

新教材人教A版高中数学必修第二册第九章统计知识点汇总及解题规律方法提炼第九章统计学9.1 随机抽样1.全面调查与抽样调查全面调查是对每一个调查对象进行调查的方法，也被称为普查。

在一个调查中，调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体。

抽样调查是根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法。

从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本量。

调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据。

2.简单随机抽样简单随机抽样包括放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样。

放回简单随机抽样是从一个总体含有N（N为正整数）个个体中逐个抽取n（1≤n<N）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样。

不放回简单随机抽样是如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样。

通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本。

实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法。

3.总体平均数与样本平均数总体平均数是指总体中所有个体变量值的平均数，记为Y。

如果总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则Y=（Y1+Y2+…+YN）/N。

如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y=（∑fiYi）/N。

样本平均数是指从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称y=（y1+y2+…+yn）/n为样本均值，又称样本平均数。

在简单随机抽样中，各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样的公平性。

在统计学中，我们常使用样本平均数y来估计总体平均数Y。

高中数学第二章统计 2.1 随机抽样教材习题点拨新人教B版必修3练习A1．什么是简单随机抽样？解：一般地，从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．2．在一般“调查”时，为什么要进行抽样调查？解：做一般“调查”最好是对每一个个体逐一进行“调查”，但这样做有时费时、费力，有时根本无法实现，一个行之有效的办法就是在每一个个体被抽取的机会均等的前提下从总体中抽取部分个体，进行抽样调查．3．如果想了解你所在班上同学喜欢听数学课的比例，计划抽取8名同学做调查．请你用抽签法抽取一个样本．解：(1)将班内60名同学的学号1，2，…，60分别写在相同的60X纸片上．(2)将60X纸片放在一个容器里均匀搅拌之后，就可以抽样．(3)抽出一X纸片，记下上面的，然后均匀搅拌，继续抽取第2X纸片，记下这个，重复这个过程，直到取得8个时终止．(4)于是，和这8个对应的同学就构成了一个简单随机样本．练习B1．某居民区有730户居民，居委会计划从中抽取25户调查其家庭收入状况，你能帮助居委会抽出一个简单随机样本吗？解：随机数表法：(用教材第87页的随机数表)(1)将730户居民编号为001,002， (730)(2)给出的随机数表是5个数一组，使用各个5位数组的后3位，从各个数组中任选一个后3位小于或等于730的数作为起始，如从第2行的第6组开始，取出572作为25户中的第1个代号；(3)继续向右读，每组后3位符合要求的数取出，前面已经取出的跳过，到行末转下一行从左向右继续读，得数据：572,483,459,073,242,372,048,088,600,636,171,247,303,422,421,183,546,385,120,042 ,320,500,219,225,059.编号为以上所选的25个的居户被选中．2．使用计算器或计算机制作一X1 000个一位数的随机数表，并检查0～9这10个数在表中出现的可能性是否相同？解：相同．练习A1．什么是系统抽样？系统抽样有什么优点？解：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．系统抽样的优点：它很好地解决了当总体容量和样本容量都较大时，用简单随机抽样不方便的问题．2．从编号为1～900的总体中用系统抽样的办法抽取一个容量为9的样本．解：按编号顺序分成9组，每组100个号，先在第一组用简单随机抽样方式抽出k(1≤k≤100)号，其余的k＋100n(n＝1，2，…，8)也被抽到，即可得所需样本．练习B1．某批产品共有1 563件，产品按出厂顺序编号，为从1～1 563.检测员要从中抽取15件产品作检测，请你给出一个系统抽样方案．解：S1 将产品的调整为0001,0002,0003， (1563)S2 从总体中剔除3件产品(剔除方法可用随机数表法)，将剩下的1 560件产品重新编号(分别为0001,0002，…，1560)，并分成15段；S3 在第一段0001,0002，...，0104，这104个编号中用简单随机抽样抽出一个(如0003)作为起始，则各段对应编号分别为0003,0107,0211， (1459)S4 将编号为0003,0107,0211，…，1459的个体抽出，即得到一个容量为15的样本．2．要考察某商场2003年的日销售额，从一年时间中抽取52天的销售额作为样本，请给出你的系统抽样方案．并说说你的抽样方案的优点和不足．解：S1 用随机数表法从365天中随机剔除1天；S2 将其余的364天编号，为001,002,003，…，364，并将依次分为52段；S3 在第一段001,002，…，007这7个中用抽签法选取一个，如002；S4 将为002,009,016，…，359的日期找出，组成样本．该抽样方案的优点是：抽取的样本能代表总体；缺点是：所抽取的日期与日常用的日期相比规律性差，不便于该方案的操作．练习A1．某校高一学生共500名，经调查，喜欢数学的学生占全体学生的30%，不喜欢数学的人数占40%，介于两者之间的学生占30%.为了考查学生的期中考试的数学成绩，如何用分层抽样抽取一个容量为50的样本．解：由题意知喜欢数学的学生有150人，不喜欢数学的有200人，介于两者之间的有150人．三个层次的学生人数之比为3∶4∶3.所以应抽喜欢数学的学生15人，不喜欢数学的学生20人，介于两者之间的学生15人．用随机数表法抽样分别从对应的部分抽取相应的人数即可．2．某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人．为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，用分层抽样应当怎样抽取？解：S1 确定抽样比100500＝15，所以不到35岁的应抽取125÷5＝25(人)，35～49岁的应抽取280÷5＝56(人)，50岁以上的应抽取95÷5＝19(人)；S2 用简单随机抽样法或系统抽样法分别抽取不到35岁的25人，35～49岁的56人；50岁以上的19人．这些人便组成了我们要抽取的样本．3．某大学就餐中心为了了解新生的饮食习惯，以分层抽样的方式从1 500名新生中抽取200名进行调查，新生中的南方学生有500名，北方学生有800名，西部地区的学生有200名，应如何抽取？解：由题意知南方学生有500名，北方学生有800名，西部地区的学生有200名．样本容量与总体容量的比为200∶1 500＝2∶15.所以应抽取南方学生约67名，北方学生约106名，西部地区的学生约27名．用分层抽样法分别从对应的部分抽取相应的人数即可．练习B某市电视台在因特网上征集电视节目的现场参与观众，报名的共有12 000人，分别来自4个城区，其中东城区2 400人，西城区4 605人，南城区3 795人，北城区1 200人．用分层抽样的方式从中抽取60人参加现场节目，应当如何抽取？解：从12 000人中抽取60人，抽取比例为12 000∶60＝200∶1，所以应在东城区抽取 2 400÷200＝12(人)，在西城区抽取 4 605÷200≈23(人)，在南城区抽取 3 795÷200≈19(人)，在北城区抽取1 200÷200＝6(人)．用系统抽样法分别从对应的部分抽取相应的数即可．练习A1．想一想怎样可以得到你所在班级同学的身高数据．解：设计调查问卷请每位同学填写自己的身高，然后汇总即可．2．你还能想到哪些可以得到数据资料的途径？解：如：教材或教材提供的数据；课堂数据(它们是在教室中收集的，主要与班上的学生有关，而不问结论是否对于更大的群体也成立)．练习B为了了解中学生如何度过课余时间，请你设计一份关于中学生课余活动的调查问卷，实际调查后写出调查分析报告．解：提示：在设计调查问卷时，设计的题目意思要明确，覆盖面要广，不要有答题倾向即可．习题2－1A1．为了考察某地10 000名高一学生的体重情况，从中抽出了200名学生做调查．这里的总体、个体、样本、样本容量各指什么？为什么我们一般要从总体中抽取一个样本，通过样本来研究总体？解：统计的总体是指该地10 000名高一学生的体重；个体是指这10 000名学生中每一名学生的体重；样本是指这10 000名学生中抽出的200名学生的体重；样本容量为200.若对每一个个体逐一进行“调查”，有时费时、费力，有时根本无法实现，一个行之有效的办法就是在每一个个体被抽取机会均等的前提下从总体中抽取部分个体，进行抽样调查．2．要从编号为1～100的100道选择题中随机抽取20道题组成一份考卷，请你用抽签法给出考题的编号．解：(1)编号1～100；(2)制作大小相同的号签，并写上；(3)放入一个大容器，均匀搅拌；(4)依次抽取20个签(注意每次都要均匀搅拌)，具有这20个编号的题组成一份考卷．3．某商店有590件货物，要从中选出50件货物做质量检查，请你用随机数表法给出一个抽样方案．解：(1)将590件货物编号为001,002， (590)(2)给出的随机数表是5个数一组，使用各个5位数组的中间3位，从各个数组中任选中间3位小于或等于590的数作为起始，如从第3行的第4列数037开始，取出037作为590件货物中的第1个代号；(3)继续向右读，将每组中间3位符合要求的数取出，已取出重复的跳过，到行末转下一行从左向右继续读，得数据：037,104,460,463,317,290,030,042,142,237,318,154,038,212,404,132，…，编号为以上所选的50个的货物被选中，即得到一个容量为50的样本．4．故宫博物院某天接待游客10 000人(假设把他们编号为0～9 999)，如果要从这些游客中随机选出10名幸运游客，请你用系统抽样的方式给出幸运游客的编号．解：按编号顺序分成10组，每组1 000个号，先在第1组用简单随机抽样方式取出k(0≤k≤999)号，其余的k＋1 000n(n＝1，2，…，9)也被抽到，即可得到所需样本．5．一支田径队中有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方式从全队中抽取28名运动员．解：从男运动员中抽16人，女运动员中抽12人．6．某市有210家百货商店，其中大型商店有20家，中型商店有40家，小型商店有150家．为了了解商店的销售情况，要从中抽取21家商店进行调查，请你用分层抽样的方式进行抽取．解：大型商店、中型商店、小型商店分别抽取2家、4家、15家．习题2－1B1．某公园为了考察每天游览的人数，从一年中要抽取30天进行统计，请你分别用随机数表法、系统抽样法、分层抽样法给出样本，并根据样本比较这3种抽样方式．解：方法1：随机数表法S1 将一年的365天编号为001,002， (365)S2 在教材第一节提供的随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向，比如，选第1行第6个数“5”，向右读；S3 从数“5”开始，向右读，每次读取3位，凡不在001～365中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到30个符合要求的；S4 以上对应的日期就是抽取的对象．方法2：系统抽样法S1 将365天用随机方式编号；S2 从总体中剔除5天(剔除方法可用随机数表法)，将剩下的360天重新编号(分别为001，…，360)，并分成30段；S3 在第一段001，…，012这12个编号中用简单随机抽样抽出一个(如003)作为起始；S4 将编号为003,015,027，…，351的日期抽出，组成样本．方法3：分层抽样法S1 将一年分为春、夏、秋、冬四个层次；S2 在每个层次中用随机数表法抽取8天；S3 4×8＝32，再用抽签法剔除2天，剩下的30天组成样本．点拨：3种抽样方法的共同点是每个个体被抽到的可能性均相等．2．随着互联网络的发展与普及，网络调查方式的使用越来越多．你能比较一下传统的调查方式与网络调查方式的优劣吗？解：网络调查省时、省力，但有时也不具备代表性．如调查农业方面的问题，应该调查农民，但农民上网的人数很少；传统调查方式虽费时、费力，但针对性强．。