《高等数学B》第八章 多元函数微分学 第三节 全微分及其应用
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《高等数学B(经管类)》课程教学大纲(Advanced Mathematics B(Economics and Management))课程编号:161990172学分:10学时:160 (其中:讲课学时:160 实验学时:0 上机学时:0 )先修课程:无后续课程:线性代数、概率论与数理统计适用专业:经管类专业本科生开课部门:理学院一、课程的性质与目标本课程属于经管类公共基础必修课。
本课程的任务是使学生获得一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用、无穷级数与常微分方程等方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能,以及在经济管理中的一些简单应用,为学习后继课程奠定必要的数学基础,同时培养学生思维能力、推理能力、自学能力、解决问题的能力。
二、课程的主要内容及基本要求第1章函数(4学时)[知识点]集合、函数的基本性质、复合函数与反函数、基本初等函数与初等函数、函数关系的建立、经济学中的常用函数[重点]函数概念,基本初等函数;经济学中的常用函数[难点]建立函数关系[基本要求]1、识记:函数的基本性质;复合函数、反函数的概念及其运算;2、领会:基本初等函数的类型,理解初等函数的概念;3、简单应用:简单问题中函数关系的建立;4、综合应用:经济学中的常用函数关系的建立[考核要求]回顾中学相关知识,介绍有关函数的新知识,为后续学习打下基础第2章极限与连续(18学时)[知识点]数列的极限、函数极限、无穷小与无穷大、极限运算法则、极限存在准则、两个重要极限、连续复利、无穷小的比较、函数的连续性、闭区间上连续函数的性质[重点]极限运算法则,求极限的方法,无穷小的比较、函数的连续性[难点]求极限的方法;函数的间断点的判定[基本要求]1、识记:数列极限的定义和性质;函数极限的定义和性质;无穷小的定义、性质及其与无穷大的关系;函数连续性、间断点的概念;闭区间上连续函数的性质2、领会:理解极限运算法则,掌握求极限的方法;理解极限存在准则,掌握两个重要极限,;掌握等价无穷小及其在求极限中的应用方法;3、简单应用:等价无穷小及其在求极限中的应用;4、综合应用:经济学中的连续复利问题[考核要求]要求学生能直观理解极限的含义,掌握求极限的方法,明确本章的重要地位。
(完整版)高等数学(同济版)多元函数微分学练习题册.doc第八章多元函数微分法及其应用第一作一、填空:1. 函数 z ln(1 2 )y x23x y 的定义域为x12. 函数 f (x, y, z) arccosz的定义域为y 2x 23. 设 f ( x, y) x 2 y 2 , (x) cos x, ( x) sin x, 则f [ (x), (x)].sin xy .4. lim xx 0二、(): 1. 函数1的所有断点是 :sin x sin y(A) x=y=2n π( n=1,2,3,?);(B) x=y=n π (n=1,2,3, ?) ; (C) x=y=m π (m=0, ±1,± 2,? );(D) x=n π ,y=m π (n=0, ± 1,± 2,?,m=0,± 1,± 2,? )。
答:()sin 2( x 2 y 2 , x 2y 22. 函数 f (x, y)x 2 y 2在点( 0, 0):2 ,x 2 y 2( A )无定;(B )无极限;( C )有极限但不;( D )。
答:()三、求 lim2xy 4 .x 0 xyya四、明极限 limx 2 y 22 不存在。
2 2xx y ( x y)y 0第二节作业一、填空题:1 sin( x2 y), xy 01. 设 f ( x, y)xy ,则 f x (0,1) .x 2 ,xy2. 设 f (x, y)x ( y 1) arcsinx, 则 f x ( x,1).y二、选择题(单选):设 z 2x y 2 , 则 z y 等于 :( A) y 2 x y 2 ln 4; (B) (x y 2 ) 2 y ln 4; (C ) 2 y( x y 2 ) e x y 2 ;(D ) 2 y 4 x y 2 .答:()三、试解下列各题:1. 设 z ln tan x , 求 z, z .2. 设 z arctan y, 求2z .y x yxx y四、验证 rx 2 y 2 z 2 满足2r2r2r 2 .x 2 y 2 z 2r第三节作业一、填空题:1. 函数 zy 当x 2, y时的全增量z全微分值x 1, x 0.1, y0.2dz.y2. 设z e x , 则dz.二、选择题(单选):1. 函数 z=f(x,y) 在点 P 0( x 0,y 0)两偏导数存在是函数在该点全微分存在的:( A )充分条件;( B )充要条件;( C )必要条件;( D )无关条件。
多元函数微分学一、本章提要1.基本概念多元函数,二元函数的定义域与几何图形,多元函数的极限与连续性,偏导数,二阶偏导数,混合偏导数,全微分,切平面,多元函数的极值,驻点,条件极值,方向导数,梯度. 2.基本方法二元函数微分法:利用定义求偏导数,利用一元函数微分法求偏导数,利用多元复合函数求导法则求偏导数.隐函数微分法:拉格朗日乘数法. 3.定理混合偏导数与次序无关的条件,可微的充分条件,复合函数的偏导数,极值的必要条件,极值的充分条件. 二、要点解析问题1 比较一元函数微分学与二元函数微分学基本概念的异同,说明二元函数在一点处极限存在、连续、可导、可微之间的关系.解析 )1(多元函数微分学的内容是与一元函数微分学相互对应的.由于从一元到二元会产生一些新的问题,而从二元到多元往往是形式上的类推,因此我们以二元函数为代表进行讨论.如果我们把自变量看成一点P ,那么对于一元函数,点P 在区间上变化;对于二元函数),(y x f ,点),(y x P 将在一平面区域中变化.这样,无论对一元、二元或多元函数都可以统一写成)(P f u =,它称为点函数.利用点函数,我们可以把一元和多元函数的极限和连续统一表示成)()(lim ,)(lim 00P f P f A P f P P P P ==→→.(2)二元函数微分学与一元函数微分学相比,其根本区别在于自变量点P 的变化从一维区间发展成二维为区域.在区间上P 的变化只能有左右两个方向;对区域来说,点的变化则可以有无限多个方向.这就是研究二元函数所产生的一切新问题的根源.例如,考察二元函数的极限2200limyx xyy x +→→, 容易看出,如果先让0→x 再让0→y ,那么00lim )lim(lim 02200==+→→→y x y yx xy, 同样,先让0→y 再让0→x ,也得到0)lim(lim 2200=+→→yx xyy x , 但是如果让),(y x 沿直线)0(≠=k kx y 而趋于)0,0(,则有222202201)1(lim lim k k k x kx y x xy x kxy x +=+=+→→→, 它将随k 的不同而具有不同的值,因此极限2200limyx xyy x +→→ 不存在,从这里我们可以体会到,从一维跨入二维后情况会变得多么复杂.又如,在一元函数中,我们知道函数在可导点处必定连续,但是对于二元函数来说,这一结论并不一定成立.考察函数222222,0,(,)0,0,xy x y z f x y x y x y ⎧+≠⎪==+⎨⎪+=⎩000lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆-=∆-∆+='→∆→∆x xf x f f x x x , 同样000lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆-=∆-∆+='→∆→∆yy f y f f y y y , 所以),(y x f 在)0,0(点可导.然而,我们已经看到极限lim →→y x =),(y x f 2200limy x xyy x +→→不存在,当然),(y x f 在)0,0(不连续.多元可导函数与一元可导函数的这一重大差异可能使初学者感到诧异,其实仔细想一想是可以理解的.因为偏导数)0,0(x f '实质上是一元函数)0,(x f 在0=x 处关于x 的导数.它的存在只保证了一元函数)0,(x f 在点0=x 的连续.同理,偏导数)0,0(y f '的存在保证了),0(y f 在0=y 点的连续,从几何意义来看,),(y x f z =是一张曲面,)0,(x f z =,0=y 为它与平面0=y 的交线,),0(y f z =,0=x 为它与平面0=x 的交线.函数),(y x f z =在(0,0)处的可导,仅仅保证了上述两条交线在(0,0)处连续,当然不足以说明二元函数),(y x f z =即曲面本身一定在(0,0)处连续.(3)在一元函数中,可微与可导这两个概念是等价的.但是对于二元函数来说,可微性要比可导性强,我们知道,二元函数的可导不能保证函数的连续,但若),(y x f z =在),(00y x 可微,即全微分存在,那么有全增量的表达式)(),(),(0000ρo y y x f x y x f z y x +∆'+∆'=∆其中当0→ρ时,)(ρo 0→,从而0lim 00=∆=∆=∆z y x ,因此函数在),(00y x 可微,那么它在),(00y x 必连续.函数是否可微从定义本身可以检验,但不太方便.然而我们有一个很简便的充分条件:若),(y x f 在),(00y x 不仅可导而且偏导数都连续,那么),(y x f 必在),(00y x 可微.函数),(y x f 的偏导数是容易求得的,求出两个偏导数后在它们连续的点处,全微分立即可以写出:d (,)d (,)d x y z f x y x f x y y ''=+.(4)二元函数的极限、连续、偏导、可微关系图:极限存在偏导数连续问题2 如何求多元函数的偏导数?解析 求多元函数的偏导数的方法,实质上就是一元函数求导法.例如,对x 求偏导,就是把其余自变量都暂时看成常量,从而函数就变成是x 的一元函数.这时一元函数的所有求导公式和法则统统可以使用.对于多元复合函数求导,在一些简单的情况,当然可以把它们先复合再求偏导数,但是当复合关系比较复杂时,先复合再求导往往繁杂易错.如果复合关系中含有抽象函数,先复合的方法有时就行不通.这时,复合函数的求导公式便显示了其优越性.由于函数复合关系可以多种多样,在使用求导公式时应仔细分析,灵活运用. 例1 设e sin ,xyz y =求yz x z ∂∂∂∂,. 解 直接求偏导数e sin xy zy y x∂=∂, e sin e cos xy xy zx y y y∂=+∂ , 利用全微分求偏导数d sin de e d sin xy xy z y y =+e sin (d d )e cos d xy xy y y x x y y y =++ e sin d (e sin e cos )d xy xy xy y y x x y y y =++,所以e sin ,e sin e cos xy xy xy z zy y x y y x y∂∂==+∂∂. 例2 设(e ,sin ),xyz f y =求yzx z ∂∂∂∂,. 解 由复合函数求导法则,得1(e ,sin )e xy xy zf y y x∂=⋅∂, 12(e ,sin )e (e ,sin )cos xy xy xy zf y x f y y y∂=⋅+∂, 其中21,f f 分别表示(e ,sin )xyf y 对e ,sin xyy 的偏导数.问题3 二元函数的极值是否一定在驻点取得?解析 不一定.二元函数的极值还可能在偏导数不存在的点取得.2y 例3 说明函数221),(y x y x f +-=在原点的偏导数不存在,但在原点取得极大值.解 xx x x x f x f x x x ∆∆-=∆-∆-=∆-∆+→∆→∆→∆0200lim1)(1lim )0,0()0,0(lim , 此极限不存在,所以在)0,0(处x f ')0,0(不存在.同理y y yf y f y y ∆∆-=∆-∆+→∆→∆00lim)0,0()0,0(lim , 此极限不存在,所以,在点)0,0(处,y f ')0,0(不存在.但函数221),(y x y x f +-=≤f )0,0(1=,即),(y x f 在点)0,0(取得极大值1.问题4 在解决实际问题时,最值与极值的关系如何?无条件极值问题与有条件极值问题有何区别?如何用拉格朗日乘数法求极值?解析 在实际问题中,需要我们解决的往往是求给定函数在特定区域中的最大值或最小值.最大、最小值是全局性概念,而极值却是局部性概念,它们有区别也有联系.如果连续函数的最大、最小值在区域内部取得,那么它一定就是此函数的极大、极小值.又若函数在区域内可导,那么它一定在驻点处取得.由于从实际问题建立的函数往往都是连续可导函数,而且最大(最小)值的存在性是显然的.因此,求最大、最小值的步骤通常可简化为三步: (1) 根据实际问题建立函数关系,确定定义域; (2) 求驻点;(3)结合实际意义判定最大、最小值.从实际问题所归纳的极值问题通常是条件极值.条件极值和无条件极值是两个不同的概念.例如,二元函数22y x z +=的极小值(无条件极值)显然在)0,0(点取得,其值为零. 但是)0,0(显然不是此函数的约束条件01=-+y x 下的条件极小值点.事实上0,0==y x 根本不满足约束条件.容易算出,这个条件极小值在点11(,)22处取得,其值为12,从几何上来看,它们的差异是十分明显的.无条件极小值是曲面22y x z +=所有竖坐标中的最小者,如图所示;而条件极小值是曲面对应于平面01=-+y x 上,即空间曲面⎩⎨⎧=-++=01,22y x y x z 上各点的竖坐标中最小者.我们所说的把条件极值化成无条件极值来处理,并不是化成原来函数的无条件极值,而是代入条件后 化成减少了自变量的新函数的无条件极值.例如把条 件x y -=1代入函数22y x z +=,便将原来的条件 极值化成了一元函数122)1(222+-=-+=x x x x z的无条件极值.用拉格朗日乘数法求出的点可能是极值点,到底是否为极值点还是要用极值存在的充分条件或其他方法判别.但是,若讨论的目标函数是从实际问题中得来,且实际问题确有其值,通过拉格朗日乘数法求得的可能极值点只有一个,则此点就是极值点,无需再判断. 例4 求522++=y x z 在约束条件x y -=1下的极值. 解 作辅助函数)1(5),,(22y x y x y x F --+++=λλ,则有λλ-='-='y F x F y x 2,2,解方程组20,20,10,x y x y λλ-=⎧⎪-=⎨--=⎪⎩ 得1,12x y λ===.现在判断11(,)22P 是否为条件极值点:由于问题的实质是求旋转抛物面522++=y x z 与平面x y -=1的交线,即开口向上的抛物线的极值,所以存在极小值,且在唯一驻点11(,)22P 处取得极小值112z =. 问题5 方向导数和梯度对于研究函数有何意义? 解析 二元函数(,)z f x y =在点),(y x 处的方向导数lf∂∂刻画了函数在这点当自变量沿着射线l 变化时的变化率,梯度 z grad 的方向则是函数在点),(y x 处方向导数最大的射线方向.因此沿梯度方向也是函数值增加最快的方向,所以梯度对寻找函数的最大值很有帮助. 例5 求函数z xy u 2=在点)2,1,1(-P 处函数值下降最快的方向. 解 负梯度方向是函数值下降最快的方向,因u u x ∂=∂grad i u y ∂+∂j zu ∂∂+k z y 2=i xyz 2+j 2xy +k , (1,-1,2)24u=-+grad i j k ,故所求方向为(1,-1,2)24u =-=-+-grad a i j k .三、例题精选 例6 求函数)1ln(2222y x y x z ---=的定义域,并作出定义域图形.解 要使函数有意义,需满足条件22220,10,11,x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨--≠⎪⎩ 即⎪⎩⎪⎨⎧≠<+≤),0,0(),(,1,2222y x y x x y定义域如图阴影部分所示.例7 设(,)e sin ,uf u v v =求 d (,)f xy x y +. 解一 因为 (,)e sin ,uf u v v = 所以 (,)e sin()xy f xy x y x y +=+,e sin()e cos()xy xy fy x y x y x∂=+++∂, e sin()e cos()xy xy fx x y x y y∂=+++∂, 所[]d (,)sin()cos()e d xyf xy x y y x y x y x +=++++[]sin()cos()e d xyx x y x y y +++.解二 由复合函数求导法则得e sin()e cos()xy xyf f u f v x y y x y x u x v x∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂, e sin()e cos()xy xy f f u f v x y x x y y u y v y∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂, 所以[]d (,)esin()cos()d xyf xy x y y x y x y x +=++++[]e sin()cos()d xy x x y x y y +++.例8 设)(),,(u xF xy u y x f z +==,其中F 为可微函数,且xyu =,验证zxxyyuxy z yz y x z x+=∂∂+∂∂. 证 这是带有抽象符号的函数,其复合关系如图所示.[]u F x y u F y x u u F x u F y x u u f x f x z d d )(d d )(-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++=∂∂∂∂+∂∂=∂∂, 同理有u F x y u u F x x y u u f y f y z d d d d +=∂∂+=∂∂∂∂+∂∂=∂∂, uFy xy u F y u xF xy y z y x z xd d d d )(++-+=∂∂+∂∂xy z u xF xy +=+=)(2. 例9 设2(,,)e xf x y z yz =,其中),(y x z z =由方程0=-++xyz z y x 所确定,求(0,1,1)x f '-.解 2(,,)e xf x y z yz =对x 求偏导,并注意到z 是由方程所确定的y x ,的函数,得[]2,,(,)e 2e x x x z f x y z x y yz yz x∂'=+⋅∂①下面求xz∂∂,由0),,(=-++=xyz z y x z y x F 得11x z F z zy x F yx '∂-=-=-'∂-,代入①得 []21,,(,)e 2e 1x x x zyf x y z x y yz yz yx-'=-⋅-, 于是02011(1)(0,1,1)e 1(1)2e 1(1)5101x f -⋅-'-=⋅⋅--⋅⋅-⋅=-⋅.例10 求曲面2132222=++z y x 平行于平面064=++z y x 的切平面方程. 解析 此题的关键是找出切点.如果平面上的切点为),,(000z y x ,则曲面过该点的法向量可由000,,z y x 表示.要使所求的切平面与已知平面平行,一定有切平面的法向量与已知平面的法向量对应坐标成比例.于是切点的坐标可找出. 解 设曲面02132),,(222=-++=z y x z y x F平行于已知平面的切平面与曲面相切于),,(000z y x ,故该切平面的法向量n {}000000000(,,),(,,),(,,)x y z F x y z F x y z F x y z '''=过),,(000z y x 的切平面方程为0)(6)(4)(2000000=-+-+-z z z y y y x x x ,①该切平面与已知平面064=++z y x 平行,所以664412000z y x ==, ②又由于),,(000z y x 在曲面上,所以2132202020=++z y x ,③联立②与③式,解得⎪⎩⎪⎨⎧===.2,2,1010101z y x ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.2,2,1020202z y x将这两组值分别代入①,最后得到切平面方程为 及46210,46210.x y z x y z ++-=+++=例11 求函数22324y xy x x z -+-=的极值. 解 第一步:由极值的必要条件,求出所有的驻点23820,220,z x x y x z x y y∂⎧=-+=⎪∂⎨∂=-=⎪∂⎩ 解出{110,0,x y == {222,2.x y ==第二步:由二元函数极值的充分条件判断这两个驻点是否为极值点,为了简明列表如下:因此,函数的极大值为0)0,0(=z . 例12 求曲线x y ln =与直线01=+-y x 之间的最短距离.解一 切线法.若曲线上一点到已知直线的距 离最短,则过该点平行与已知直线的直线必与曲线相 切;反之曲线上在该点处的切线必平行与已知直线. 据此,我们先求x y ln =的导数1,y x'=令1='y (已知直线上的斜率为1),得 1=x ,这时0=y ,故曲线x y ln =上点)0,1(到直线01=+-y x 的距离最短,其值为2)1(110122=-++-=d .解二 代入条件法(利用无条件极值求解).设),(y x 为曲线x y ln =上任意一点,则点),(y x 到已知直线的距离为121+-=y x d ,将x y ln =代入上式得1ln 21+-=x x d ,易知)0(01ln >>-=x x x ,故()1ln 21+-=x x d .①令1ln +-=x x u ,则xu 11-=',由0='u ,得1=x ,这是函数1ln +-=x x u 在),0(+∞内唯一驻点,由问题本身可知,距离的最小值一定存在.于是由①式得所求的最短距离为()211ln 121=+-=d .解三 拉格朗日乘数法.设),(y x 为曲线x y ln =上任意一点,则该点到直线的距离为121)1(1122+-=-++-=y x y x d ,令2d z =,则21212122+-+-+=y x xy y x z , 显然,在上式中x y ln =,即0ln =-x y . 引入辅导函数 )ln (212121),(22x y y x xy y x y x F -++-+-+=λ, 解方程组(,)10,(,)10,ln 0,x y F x y x y x F x y y x y x λλ'⎧=-+-=⎪'=--+=⎨⎪-=⎩①②③①②+,得0)11(=-xλ.因为0≠λ,故1=x ,代入③,得0=y ,于是)0,1(是唯一可能的极值点,由问题本身可知,距离的最小值一定存在,故曲线x y ln =上点)0,1(到已知直线的距离最短,其值为()210121=+-=d .四、 练习题 1.判断正误)1( ()()()000000,,,x x x y y x x x x y x f y x f y x f =====表达式成立; ( √ )解析 ()00,y x f x 表示),(y x f 在),(00y x 对x 的偏导数;()00,y y x x x y x f ==表示),(y x f 对x 的偏导数在),(00y x 处的值;()00,x x x y x f =表示),(y x f 先固定0y y =后,函数),(0y x f 在0x x =处的导数.由偏导数定义及偏导数意义可知,三个表达式是相等的.)2( 若),(y x f z =在()00,y x 处偏导数存在,则),(y x f z =在()00,y x 处一定可微;( ⨯ )解析 由可微的充分条件知,只有),(y x f z =在点()00,y x 处的两个偏导数存在且连续时,函数),(y x f z =在该点一定可微.例如=),(y x f 222,(,)(0,0)0,(,)(0,0)xy x y x y x y ⎧⎪≠⎨+⎪=⎩在(0,0)处偏导数存在,但不可微.)3( 若()00,y x 为),(y x f z =的极值点,则()00,y x 一定为驻点;( ⨯ )解析偏导数不存在的点也可能是极值点.例如 22y x z +=在(0,0)处取得极小值,但zx z y∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩在(0,0)处偏导数不存在,不是驻点.)4(00==∂∂y x xf 就是函数),(y x f 在)0,0(处沿x 轴方向的方向导数. ( √ )解析 沿x 轴方向的方向导数 πcos 0cos 2f f f f l x y x∂∂∂∂=+=∂∂∂∂. 2.选择题)1( 设22),(y x xyy x f +=,则下列式中正确的是( C );)A ( ),(,y x f x y x f =⎪⎭⎫⎝⎛; )B (),(),(y x f y x y x f =-+;)C ( ),(),(y x f x y f =; )D ( ),(),(y x f y x f =-.解析 22),(yx xyy x f +=是关于x ,y 的对称函数,故),(),(y x f x y f =. )2(设e cos xz y =,则=∂∂∂yx z2( D ); )A ( e sin x y ; )B ( e e sin x x y +;)C ( e cos x y -; )D ( e sin x y -.解析 e cos xz y x∂=∂,=∂∂∂y x z 2e sin x y -. )3(已知22),(y x y x y x f -=-+,则x f∂∂=∂∂+yf ( C ); )A ( y x 22+; )B ( y x -; )C ( y x 22- )D ( y x +.解析 设 u y x =+,v y x =-,则 22),(y x y x y x f -=-+=))((y x y x -+变换为 uv v u f =),(.u v xvv f x u u f x f +=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂,u v y v v f y u u f y f -=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, 所以yfx f ∂∂+∂∂=y x v u v u v 222)()(-==-++. )4(函数xy y x z 333-+=的驻点为( B ); )A ()0,0(和)0,1(-; )B ()0,0(和)1,1(;)C ()0,0(和)2,2(;)D ()1,0(和)1,1(.解析 求两个偏导数22330,330,z x y x z y x y∂⎧=-=⎪∂⎨∂=-=⎪∂⎩ ⇒{0,0,x y ==与{1,1,x y ==所以驻点为)0,0(和)1,1(.)5(函数122+-=y x z 的极值点为( D ). )A ()0,0(; )B ()1,0(; )C ()0,1(;)D (不存在.解析 求两个偏导数20,20,zx x z y y∂⎧==⎪∂⎨∂=-=⎪∂⎩ 得驻点为(0,0),又因为222=∂∂=xz A ,02=∂∂∂=y x z B ,222-=∂∂=y z C ,则042>=-AC B ,所以,驻点不是极值点,极值点不存在. 3.填空题)1( 12+-=x y z 的定义域为 }1),{(2-≥x y y x ;解 要使函数有意义,应满足12+-x y ≥0,即y ≥12-x)2( 已知xy x y x x f +=+2),(,则=∂∂xfy x +2 ; 解 设 u y x =+,则xu y x x xy x y x x f =+=+=+)(),(2,关于x 的偏导数xuu f x f x f ∂∂∂∂+∂∂=∂∂)(=x u +=y x +2. )3( 设)ln(22y x z +=,则11d x y z===d d x y +;解 设 u y x =+22,则 u z ln =,所以d 12d z z u x x u x u∂∂==⋅∂∂, d 12d z z u y y u y u ∂∂==⋅∂∂, 从而 11d x y z===1111d d x x y y z z x y xy====∂∂+∂∂=d d x y +.)4( 曲面arctan()y z x =在点π(1,1,)4M 处的切平面方程为 π202x y z -+-= ;解 令 )arctan(),,(x yz z y x F -=,则 2222)(1y x y xy x y F x +=+--=,π(1,1,)412x F =, 222)(11y x x xy x F y +-=+-=,π(1,1,)412y F =-, 曲面的切平面方程为 11π(1)(1)()0224x y z ---+-= ,即 π202x y z -+-=.)5( 设e z z xy +=,则=∂∂y z 1ez x + ; 解一 令(,,)e zF x y z z xy =+-,则 1e zz F =+, x F y -=,所以=∂∂y z z y F F - =1ez x +. 解二 设),(y x z z =,两边对y 求偏导数,有y z ∂∂+e z y z ∂∂=x , 即 y z ∂∂=1ez x+. 4.解答题)1(设可微函数,sin ),,(),,(x t t x u u x f z ===ϕ求xzd d ; 解 偏导数为d d z x =x z ∂∂+x u u z ∂∂⋅∂∂+d d z u t u t x∂∂⋅⋅∂∂ =x f ∂∂+x u f ∂∂⋅∂∂ϕ+t tu f cos ⋅∂∂⋅∂∂ϕ. )2(设)(22y x f z +=,且)(u f 可微,证明 0=∂∂-∂∂yz x x z y. 解 设 u y x =+22,则)(u f z =,从而x z ∂∂=d ()2d z uf u x u x∂'⋅=⋅∂, y z ∂∂=d ()2d z u f u y u y ∂'⋅=⋅∂, 则 yzx x z y ∂∂-∂∂=x u f y 2)(⋅'()2xf u y '-⋅=0, 所以,原结论成立.)3( 设)(22y z yf z x =+,其中f 为可微函数,求yz∂∂.解 令),,(z y x F =)(22yzyf z x -+,设yz u =,则 ),,(z y x F =)(22u yf z x -+, 从而 y uu F y F F y ∂∂⋅∂∂+∂∂=)(=)()()(2yz u f y u f -⋅'--=)()(u f u f y z -', z uu F z F F z ∂∂⋅∂∂+∂∂=)(=yu f y z 1)(2⋅'-=)(2u f z '-,所以 y z ∂∂zy F F -=)(2)()(u f z u f u f yz'--'-=)(2)()(yz f z y z f y z y z f '-'-=. )4( 在曲线⎪⎩⎪⎨⎧===32,,t z t y t x 上求一点,使其在该点的切线平行与平面42=++z y x ,并写出切线方程;解 设所求点为(0t ,20t ,30t ),d d t t xt==1,d d t t y t==20t ,d d t t z t==320t ,故切线方程为 230200321t t z t t y t x -=-=-, 由于切线与平面平行,切线的方向向量s ={1,20t ,320t }与平面的法向量n ={1,2,1}垂直,有n s ⋅ ={1,20t ,320t }·{1,2,1}=1+40t +320t =0,解方程,得 0t =1-或31-, 当0t =1-时,切点为(1-,1,1-),切线方程为 31211+=--=+z y x ; 当0t =31-时,切点为(31-,91,127-),切线方程为31271239131+=--=+z y x , 即 271291331+=--=+z y x . )5(用a 元钱购料,建造一个宽与深相同的长方体水池,已知四周的单位面积材料费为底面单位面积材料费的2.1倍,求水池的长与宽为多少米,才能使容积最大.解 设水池底面的长为x ,宽和高为y (如图),底面单位面积材料费为b ,则侧面单位面积材料费为b 2.1,有a y xyb bxy =++)22(2.12, 即 a by bxy =+24.24.3,长方体体积 2xy V =,应用条件极值,设 A =2xy +)4.24.3(2a by bxy -+λ,得偏导方程,有223.40,2(3.4 4.8)0,3.4 2.40,A y by x Axy bx by y A bxy by a λλλ⎧∂=+⋅=⎪∂⎪∂⎪=++=⎨∂⎪∂⎪=+-=⎪∂⎩ 整理,得 b a x 5174=,ba y 561=, 由于驻点(b a 5174,b a 561)唯一,而使容积最大的情况存在,所以当长方体长为ba5174,宽和高为ba561时,长方体水池容积最大.。
第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答一、选择题1. 极限lim x y x yx y→→+00242= (提示:令22y k x =) ( B ) (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0或12 2、设函数f x y x y y xxy xy (,)sin sin=+≠=⎧⎨⎪⎩⎪1100,则极限lim (,)x y f x y →→0= ( C )(提示:有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小)(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于23、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000,则(,)f x y ( A )(提示:①在220x y +≠,(,)f x y 处处连续;②在0,0x y →→ ,令y kx =,200(0,0)x x y f →→→=== ,故在220x y +=,函数亦连续.所以,(,)f x y 在整个定义域内处处连续.)(A) 处处连续 (B) 处处有极限,但不连续 (C) 仅在(0,0)点连续 (D) 除(0,0)点外处处连续4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 ( A ) (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件5、设u y x =arctan ,则∂∂u x = ( B )(A)xx y 22+(B) -+y x y 22 (C) yx y 22+(D)-+xx y 226、设f x y yx(,)arcsin=,则f x '(,)21= ( A ) (A )-14(B )14 (C )-12 (D )127、设yxz arctan=,v u x +=,v u y -=,则=+v u z z ( C )(A )22v u v u -- (B )22v u u v -- (C )22v u v u +- (D )22v u uv +-8、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+,则f x x y '(,)2= ( D ) (A) x +32(B) x -32(C) 21x + (D) -+21x 9、设z y x =,则()(,)∂∂∂∂z x zy+=21 ( A ) (A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 110、设z xye xy =-,则z x x x'(,)-= ( D ) (A)-+2122x x e x () (B)2122x x e x ()- (C)--x x e x ()122 (D)-+x x e x ()12211、曲线x t y t z t ===24sin ,cos ,在点(,,)202π处的法平面方程是 (C )(A) 242x z -=-π (B) 224x z -=-π (C) 42y z -=-π (D) 42y z -=π12、曲线45x y y z ==,,在点(,,)824处的切线方程是 (A )(A)842204x z y --=-= (B)x y z +==+122044 (C) x y z -=-=-85244 (D)x y z -=-=351413、曲面x z y x z cos cos +-=ππ22在点ππ2120,,-⎛⎝ ⎫⎭⎪处的切平面方程为 (D )(A )x z -=-π1 (B )x y -=-π1 (C )x y -=π2 (D )x z -=π214、曲面x yz xy z 2236-=在点(,,)321处的法线方程为 (A ) (A )x y z +=--=--58531918 (B )x y z -=-=--3823118(C )83180x y z --= (D )831812x y z +-=15、设函数z x y =-+122,则点 (,)00是函数 z 的 ( B ) (A )极大值点但非最大值点 (B )极大值点且是最大值点 (C )极小值点但非最小值点 (D )极小值点且是最小值点 16、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数,在P x y 000(,)处,有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ,则( C )(A )点P 0是函数z 的极大值点 (B )点P 0是函数z 的极小值点 (C )点P 0非函数z 的极值点 (D )条件不够,无法判定 17、函数f x y z z (,,)=-2在222421x y z ++=条件下的极大值是 ( C )(A) 1 (B) 0 (C)-1 (D) -2 二、填空题 1、极限limsin()x y xy x→→0π= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答:π 2、极限limln()x y x y e x y→→++01222=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答:ln23、函数z x y =+ln()的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答:x y +≥14、函数z xy=arcsin 的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答:-≤≤11x ,y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭⎪22,则f kx ky (,)= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答:k f x y 2⋅(,)6、设函数f x y xy x y (,)=+,则f x y x y (,)+-= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答:222x y x-(22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-Q )7、设f x y x y x y A x y (,)ln()//=-⋅+<+≥⎧⎨⎩11212222222,要使f x y (,)处处连续,则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答:-ln28、设f x y x y x y x y Ax y (,)tan()(,)(,)(,)(,)=++≠=⎧⎨⎪⎩⎪22220000,要使f x y (,)在(0,0)处连续,则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答:1 9、函数221x y z x +=-的间断点是 .答:直线10x -=上的所有点10、函数f x y x y yx (,)cos =-122的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答:直线y x =±及x =011、设z x y y =-+sin()3,则∂∂z xx y ===21_________ .答:3cos512、设f x y x y (,)=+22,则f y (,)01= _________ .答:113、设u x y z x y z(,,)=⎛⎝ ⎫⎭⎪,则)3,2,1(d u =_________ .答:38316182d d ln d x y z --14、设u x x y =+22,则在极坐标系下,∂∂ur= _________ .答:0 15、设u xy y x =+,则∂∂22u x = _________.答:23yx16、设u x xy =ln ,则∂∂∂2u x y = ___________ .答:1y17、函数y y x =()由12+=x y e y 所确定,则d d y x = ___________ .答:22xye xy - 18、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定,则∂∂zy= _______ .答:2112xyz xy --19、由方程xyz x y z +++=2222所确定的函数z z x y =(,)在点(1,0,-1)处的全微分d z = _________ .答:d d x y -220、曲线x t y t z t ===23213,,在点(,,)1213处的切线方程是_________.答:x y z -=-=-12221321、曲线x te y e z t e t t t ===232222,,在对应于 t =-1点处的法平面方程是___________. 答:01132=+--e y x 22、曲面xe y e z e ey z x ++=+223321在点(,,)210-处的法线方程为_________ . 答:e ze y x 22212=-+=- 23、曲面arctan y xz 14+=π在点(,,)-210处的切平面方程是_________.答:y z +=2124、设函数z z x y =(,)由方程123552422x xy y x y e z z +--+++=确定,则函数z的驻点是_________ .答:(-1,2) 27、函数z x y x y =----2346122的驻点是_________.答:(1,1)25、若函数f x y x xy y ax by (,)=+++++22236在点 (,)11-处取得极值,则常数a =_________, b =_________.答:a =0,b =426、函数f x y z x (,,)=-22在x y z 22222--=条件下的极大值是_______答:-4 三、计算题1、求下列二元函数的定义域,并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解:(1)要使函数z =有意义,必须有2210x y --≥,即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义,必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>,图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义,必须有ln()0x y +≠,即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠,,图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义,必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>,图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.42、求极限limsin x y y xxy →→+-0211.解:lim sin x y y xxy →→+-0211=⋅++→→lim sin ()x y y x xy xy 00211= 43、求极限lim sin()x y x y x yxy →→-+0023211. 解:原式=lim ()sin()x y x y x y x y xy →→-++0232211=-++⋅→→limsin()x y x y xy xy 002111=-124、求极限lim x y xxye xy→→-+0416 . 解:lim x y xxye xy→→-+00416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 00416= -85、设u x y y x =+sin cos ,求 u u x y ,. 解:u y y x x =-sin sinu x y x y =+cos cos6、设z xe ye y x =+-,求z z x y ,. 解:z e ye x y x =--z xe e y y x =+-7、设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定,试求∂∂∂∂z x zy,(其中x y +≠0). 解一:原式两边对x 求导得yz x x zxz y ∂∂∂∂+++=0,则∂∂z x z y y x =-++同理可得:∂∂z y z x y x =-++ 解二:xy xz F F y z xy y z F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数z x xy y x y =-++-+23243122的极值.解:由z x y z x y x y=-+==-+-=⎧⎨⎩43403430,得驻点(,)-10074334>=--==yy yxxy xx z z z z D z xx =>40,函数z 在点(,)-10处取极小值z (,)-=-101.9、设z e x y =+32,而x t y t ==cos ,2,求d d z t. 解:d d (sin )()zte t e t x y x y =-+++3223232=-++(sin )3432t t e x y10、设z y xy x =ln(),求∂∂∂∂z x z y,. 解:z y y xy xy x x x =⋅+ln ln 1 z xy xy yy y x x =+-11ln() 11、设u a x a x yz a =->+ln ()0,求d u . 解:∂∂u x a a ax x yz =-+-ln 1,∂∂u y a z a x yz =⋅+ln ,∂∂u zya a x yz =+ln d (ln )d ln (d d )u a a ax x a a z y y z x yz x yz =-+++-+112、求函数z x y e xy =++ln()22的全微分.解:∂∂∂∂z x x ye x y e z y y xe x y e xyxyxyxy=+++=+++222222,[]d ()d ()d z x y ex ye x y xe y xyxy xy =+++++12222 四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池,已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍,问水池的尺寸应如何选择,方能使其造价最低? 解:设水池的长、宽、高分别为x y z ,,米.水池底部的单位造价为a .则水池造价()S xy xz yz a =++44 且 xyz =128令 ()L xy xz yz xyz =+++-44128λ由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得 x y z ===82由于实际问题必定存在最小值,因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时,其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y (件),总成本函数22128),(y xy x y x C +-=(元).商品的限额为42=+y x ,求最小成本. 解:约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ,构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-,解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩,得唯一驻点)17,25(),(=y x ,由实际情况知,)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点,最小成本为8043)17,25(=C (元).3、某工厂生产两种产品甲和乙,出售单价分别为10元与9元,生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元, 求取得最大利润时,两种产品的产量各为多少?解:),(y x L 表示获得的总利润,则总利润等于总收益与总费用之差,即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ,令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx,解得唯一驻点(120,80).又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ,得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况,此极大值就是最大值.故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明: 因为2)11(1x e xzy x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以 z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+-2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明:因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx e kn xyk t kn sin 2222--=∂∂,所以22x y k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明:y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。
第八章 偏导数与全微分一、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数,且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =∂∂=则=∂∂=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极大值B. 在点(-1, 3)处取极小值C. 在点(3, -1)处取极大值D. 在点(3, -1)处取极小值3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数=∂∂lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极大值B. 在点(1, 1)处取极小值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= (x>0,y>0)[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值C.在点(5, 2)处取极大值D. 在点(5, 2)处取极小值9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11.设22(,)xy f x y y x =-,则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12.为使二元函数(,)x yf x y x y+=-沿某一特殊路径趋向(0,0)的极限为2,这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13.设函数(,)z f x y =满足222zy∂=∂,且(,1)2f x x =+,(,1)1y f x x '=+,则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14.设(,)32f x y x y =+,则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15.为使二元函数222(,)xy f x y x y=+在全平面连续,则它在(0,0)处应被补充定义为 B A.-1 B.0 C.1 D. 16.已知函数22(,)f x y x y x y +-=-,则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂ C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17.若()yf x=(0)x >,则()f x =BB. C.xD.18.若xz y =,则在点 D 处有z z y x∂∂=∂∂ A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19.设2y z x =,则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ∂∂-=∂∂∂∂ B. 220z zx y y x ∂∂->∂∂∂∂ C.220z zx y y x∂∂-<∂∂∂∂ D.两者大小无法确定 20.函数0,0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =⎧⎪=⎨+≠⎪⎩,则极限00lim (,)x y f x y →→ ( C ). (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极大值 (B) 有极小值 (C) 不是驻点 (D) 无极值 22.二元函数z =在原点(0,0)处( A ).(A) 连续,但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在,但不连续 (D) 偏导存在,但不可微23.设()u f r =,而r =()f r 具有二阶连续导数,则222222u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂( B ).(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24.函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的( D ). (A) 必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 25.函数221z x y =--的极大值点是 ( D ).(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26.设(,)f x y =(2,1)x f '=(B ).(A)14 (B) 14- (C) 12 (D) 12-27.极限24200lim x y x yx y →→+( B ).(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228.(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个一阶偏导数存在,则(B ). (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ∂∂=⋅+⋅∂∂ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =,则z d =( A ). (A).y x x x yxy y d ln d 1+- (B).y x x yx y y d d 1+-(C).y x x x x yy d ln d + (D).y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=∂∂===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2( C )(A )y x xy y x 3232ln 2+ (B )y xxy y x 3232ln 2-(C )y x xy y x 3232ln 2+- (D )y x xy y x 22ln 2+31.函数z=22y x 1--的定义域是( D ) (A.) D={(x,y)|x 2+y 2=1}(B.)D={(x,y)|x 2+y 2≥1}(C.) D={(x,y)|x 2+y 2<1}(D.)D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32.设22),(yx xyy x f +=,则下列式中正确的是( C );)A ( ),(,y x f x y x f =⎪⎭⎫⎝⎛; )B (),(),(y x f y x y x f =-+;)C ( ),(),(y x f x y f =; )D ( ),(),(y x f y x f =-33.设e cos xz y =,则=∂∂∂yx z2( D );)A ( e sin x y ; )B ( e e sin x x y +;)C ( e cos xy -; )D ( e sin xy -34.已知22),(y x y x y x f -=-+,则x f ∂∂=∂∂+yf ( C ); )A ( y x 22+; )B ( y x -; )C ( y x 22- )D ( y x +.35. 设y xy x z 2232-+=,则=∂∂∂y x z( B )(A )6 (B )3 (C )-2 (D )2.36.设()=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛x zy x y x f z 00, ,,则( B )(A )()()x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆00000,,lim(B )()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆0000,,lim(C )()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆00000,,lim(D )()x y x x f x ∆∆+→∆000,lim37. 设由方程0=-xyz e z确定的隐函数()=∂∂=x z y x f z 则,,( B )(A )z z+1 (B )()1-z x z (C )()z x y +1 (D )()z x y -138. 二次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是( D )A. 1 < 22y x + ≤ 4;B. –1 ≤ 22y x + < 4; C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4; D. 1 < 22y x + < 4。
1 / 28习题8-11. 求下列函数的定义域: (1) y x z -= ;解:0,0x y D ≥≥⇒=(){,0,x y y x ≥≥(2) 221)ln(yx xx y z --+-=;解:220,0,1y x x x y D -≥≥--⇒=(){}22,01x y y x xy >≥+<且(3) )0(122222222>>-+++---=r R rz y x z y x R u ;解:222222220R x y z x y z r ≤---<++-⇒,0D ⇒=(){}22222,,x y z rx y z R <++≤(4) 22arccosyx z u +=。
221,0x y D ≤+≠⇒=(){}22,0x y z x y ≤+≠2. 求下列多元函数的极限:: (1) 22y 01)e ln(limyx x y x ++→→;解:y 1ln 2x y →→== (2) xy xy y x 42lim0+-→→;解:令t=xy,1200001(4)12lim 14x t t y t -→→→→-+===-2 / 28(3) x xyy x sin lim50→→;解:0050sin sin lim5lim 55x x y y xy xyx x →→→→==(4) 22x 222200e)()cos(1limy y x y x y x ++-→→;解:22222222222x 001cos()11cos()2(sin ),lim 20022()ey x y x y x y x y x y →→+-+-+=∴=⋅⋅=+Q (5) xyy x y x )(lim 220+→→。
解:0,xy >设22ln()xy x y +两边取对数,由夹逼定理2200222222lim ln()2222000ln()()ln()0lim ln()0,lim()1x y xy x y xyx x y y xy x y x y x y xy xy x y x y e→→+→→→→≤+≤++<+=∴+==xylnxy 当时同理可得,3. 证明下列极限不存在: (1) y x yx y x -+→→00lim;证明:(1)(,)(,)(,)(1)m x x y y mx f x y f x mx m x+===-当沿直线趋于原点(0,0)时.001lim,1x y x y mm x y m →→++=--不同时,极值也不同,所以极限不存在。
第八章 多元函数微分学§8.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1.二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集,如果对每个点P(x,y)∈D ,按照某一对应规则f ,变量z 都有一个值与之对应,则称z 是变量x ,y 的二元函数,记以z=f (x ,y ),D 称为定义域。
二元函数z=f (x ,y )的图形为空间一块曲面,它在xy 平面上的投影域就是定义域D 。
例如 22221,:1z x y D x y =--+≤ 二元函数的图形为以原点为球心,半径为1的上半球面,其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心,半径为1的闭圆。
2.三元函数与n 元函数:(,,),(,,)u f x y z x y z =∈Ω空间一个点集,称为三元函数12(,,,)n u f x x x n =称为元函数。
它们的几何意义不再讨论,在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中,可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限:设00(,)(,)f x y x y 在点的邻域内有定义,如果对任意00,εδ>>存在只要2200()(),(,)x x y y f x y A δε-+-<-<就有则,0000(,)()lim (,)lim (,)x x x y x y y y f x y A f x y A →→→==或称当00(,)(,)(,)x y x y f x y 趋于时的极限存在,极限值为A 。
否则,称为极限不存在。
值得注意:00(,)(,)x y x y 这里趋于是在平面范围内,可以按任何方式沿任意曲线趋于00(,)x y ,所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂,但只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
三、二元函数的连续性1.二元函数连续的概念若000000lim (,)(,)(,)(,)x x y y f x y f x y f x y x y →→=则称在点处连续 若(,)f x y D 在区域内每一点皆连续,则称(,)f x y 在D 内连续。
欢迎阅读第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题1.极限lim x y x y x y →→+00242= ( B ) (A)等于0; (B)不存在; (C)等于12; (D)存在且不等于0或122223 0x y →→45、设u x =arctan ,则∂x= ( B ) (A) x x y 22+; (B) -+y x y 22; (C) y x y 22+ ; (D) -+x x y 226、设f x y y x (,)arcsin=,则f x '(,)21= ( A ) (A )-14; (B )14; (C )-12; (D )127、若)ln(y x z -=,则=∂∂+∂∂yz y x z x( C ) (A )y x +; (B )y x -; (C )21; (D )21-. 8、设yx z arctan =,v u x +=,v u y -=,则=+v u z z ( C ) (A )22v u v u --; (B )22v u u v --; (C )22v u v u +-; (D )22v u u v +-. 9、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+,则f x x y '(,)2= ( D )(A)10、设z 11(A (C 12(f x (A (C 1、极限2、极限3、函数z x y =+ln()的定义域为 ??????? 。
答:x y +≥14、函数z x y=arcsin 的定义域为 ??????? 。
答:-≤≤11x ,y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭22,则f kx ky (,)= ??????? 。
答:k f x y 2⋅(,)6、设函数f x y xy x y (,)=+,则f x y x y (,)+-= ??????? 。
答:222x y x- (22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-Q ) 7、设z x y y =-+sin()3,则∂∂zx x y ===21_________ 。