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振动之弹簧振子的阻尼振动

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阻尼振动的实验研究与控制

阻尼振动的实验研究与控制

阻尼振动的实验研究与控制阻尼振动是指在物体受到外力作用后，振动系统由于阻力的存在而逐渐减小振幅，并最终停止振动的过程。

阻尼振动是自然界中普遍存在的物理现象，它的研究对于理解和掌握振动现象具有重要意义。

本文将介绍阻尼振动的实验研究以及控制方法。

一、阻尼振动的实验研究1. 实验装置为了研究阻尼振动，需要搭建一个简单的实验装置。

常用的实验装置包括弹簧振子、摆锤和旋转振子等。

其中，弹簧振子是最常见的实验装置。

它由一根垂直的弹簧和一个质量块组成，质量块悬挂在弹簧的下端。

通过手动给质量块施加一定的初速度，可以观察到阻尼振动的现象。

2. 实验现象当给弹簧振子一个初速度后，可以观察到如下几个现象：（1）振幅的减小：随着时间的推移，振幅逐渐减小，最终趋近于零。

（2）频率的不变：无论振幅怎么变化，振动的频率保持不变。

（3）相位的变化：随着时间的推移，质量块的运动相位逐渐滞后。

3. 实验过程进行实验时，首先需要调整实验装置，使弹簧振子处于平衡位置。

然后，给质量块一个初速度，并记录下振幅、时间和质量块的位置。

通过记录并分析这些数据，可以得到振幅随时间变化的曲线，进而确定阻尼振动的特点。

二、阻尼振动的控制方法控制阻尼振动是工程中一个重要的问题，合理地控制阻尼可以提高系统的稳定性和工作效率。

以下介绍两种常见的控制方法。

1. 主动控制主动控制是通过外界力或调节元器件来控制阻尼振动。

其中，最常用的方法是通过施加控制力来抵消或减小系统的阻尼。

例如，在机械系统中，可以利用电磁力或液压力来施加外力，消除或减小阻尼效应。

在电气系统中，可以通过改变电阻、电容和电感等元器件的值来改变系统的阻尼特性。

2. 被动控制被动控制是利用特定的结构和材料性能来控制阻尼振动。

其中，最常见的方法是利用阻尼材料来吸收振动能量，从而减小阻尼效应。

例如，在建筑结构中，可以将阻尼材料嵌入结构中，用于吸收地震或风力振动的能量。

在声学系统中，可以利用吸音材料减小声波的反射和散射，从而减小阻尼振动的影响。

弹簧质量对振子运动的影响

弹簧质量对振子运动的影响

弹簧质量对振子运动的影响
弹簧质量对振子运动有一定的影响。

在理想的情况下，振子是一个质点，弹簧质量可以忽略不计。

然而，当弹簧的质量较大时，会对振子的运动产生一些影响。

以下是一些可能影响：
1. 频率：振子的频率受到弹簧质量的影响。

弹簧质量越大，振子的频率会下降。

2. 振幅：弹簧质量较大时，会增加振子的有效质量。

因此，在给定频率下，振子的振幅可能会减小。

3. 能量耗散：弹簧质量的增加可能会导致振子的能量耗散加剧。

这是因为弹簧质量会对振动系统的阻尼特性产生影响。

需要注意的是，这些影响通常是较小的。

在实际应用中，弹簧的质量往往可以忽略不计，特别是当弹簧质量与振子质量相比较小时，其影响会更小。

弹簧振子的实验研究与分析

弹簧振子的实验研究与分析

国外研究现状
发展趋势
随着计算机技术和实验手段的不断进 步，弹簧振子的研究将更加注重多尺 度、多物理场耦合等复杂情况下的动 力学行为分析。
国外学者在弹簧振子的非线性动力学 、复杂振动行为等方面进行了深入研 究，提出了许多新的理论和方法。
研究目的和内容
研究目的
通过对弹簧振子的实验研究和分析，揭示其动力学特性，为相关应用提供理论支持。
模型验证与结果分析
01
实验验证
设计并进行实验，测量弹簧振子 的运动学参量，与理论计算结果 进行对比验证。
结果分析
02
03
误差分析
根据实验数据和理论计算结果， 分析弹簧振子的运动特性，如振 动周期、振幅、相位等。
对实验数据和理论计算结果进行 误差分析，探讨误差来源及减小 误差的方法。
06
弹簧振子应用拓展与前景 展望
弹簧振子的实验研究与分析
汇报人：XX 2024-01-22
目录
• 引言 • 弹簧振子实验装置与原理 • 弹簧振子运动特性分析 • 弹簧振子实验数据处理与分析 • 弹簧振子动力学模型建立与求解 • 弹簧振子应用拓展与前景展望
01
引言
研究背景与意义
弹簧振子作为物理学中的基本模 型，对于理解振动和波动现象具
模型求解方法及过程
初始条件设定
设定弹簧振子的初始位置和初始 速度，作为求解动力学方程的初 始条件。
微分方程求解
采用数值方法或解析方法求解动 力学方程，得到弹簧振子的位移 、速度和加速度等运动学参量随 时间的变化规律。
结果可视化
利用计算机编程或数学软件，将 求解结果可视化，便于观察和分 析弹簧振子的运动特性。
对采集到的数据进行处理和分析，得到弹 簧振子的固有频率、阻尼比等关键参数， 并绘制相应的图表和曲线。

振动之阻尼弹簧振子的受迫振动

振动之阻尼弹簧振子的受迫振动

等幅振动的圆频率比减幅振动的圆频率更大，因而振动得更快。
受迫振动的振幅随着减幅振动起伏，最后成为等幅振动。
约化阻尼因子不变，如果约化驱动力圆频率Ω/ω0取0.6，
等幅振动的圆频率比减幅振动的圆频率小，因而振动得比较慢。
受迫振动开始时受到减幅振动的扭曲，最后成为等幅振动。
约化阻尼因子不变，如果约化驱动力圆频率Ω/ω0取1，
如果约化阻尼因子β/ω0为0.1，约化驱动力圆频率Ω/ω0为2， 物体在作受迫振动时，减幅振动的位移随时间逐渐衰减为零，
等幅振动的圆频率比减幅振动的圆频率大，
两个振动叠加之后，开始时的位移比较复杂，经过一定的时间，减幅 振动衰减之后，物体作等幅振动，其圆频率等于驱动力的圆频率。
如果约化阻尼因子不变，约化驱动力圆频率Ω/ω0为6，
*{范例5.8} 阻尼弹簧振子的受迫振动
x = Acos(Ωt + Φ), A
F0
2 2 m ( 2 0 ) 4 2 2
, arctan
2 2 0 2
2 2 为了计算最大振幅，设A的分母的平方为 y ( 2 0 ) 4 2 2
令dy/dΩ = 0，可得 M 02 2 2 容易验证，这就是振幅取极大值的条件，当然要求 0 / 2 F0 F0 . 极大值为 AM 4 4 2 m 0 。
等幅振动的圆频率与固有圆频率相等，与减 幅振动的圆频率相近，因而振幅比较大。
受迫振动的振幅随时间不断增加，最后成为等幅振动。
当驱动力的圆频率等于减幅振动的圆频率 时，物体受迫振动达到稳定后的振幅最大。
*{范例5.8} 阻尼弹簧振子的受迫振动
一弹簧振子的质量为m，劲度系数为k，振子除了受到阻 力f = -γx之外，还受到周期性的外力的作用F = F0cosΩt， 其中是F0驱动力的幅值，Ω是驱动力的圆频率。(2)受迫 振动达到稳态时，讨论位移振幅和速度振幅与驱动力频 率的关系，并讨论振子产生共振的条件。 F0 2 A , arctan 2 2 2 2 2 2 0 2 m ( 0 ) 4 [解析](2)振子在作受迫振动时，经过一定的时间， x1→0，x→x2 = Acos(Ωt + Φ)，振子的运动达到稳态。 当系统的阻尼因子一定时，振子的振幅由驱动力 的圆频率决定；振子的位移与驱动力并不同相。 通常β ≠ 0，当Ω→0时，A→F0/mω02，Φ→0； 当Ω→∞时，A→0，Φ→-π。

x简谐振动(弹簧振子)

x简谐振动(弹簧振子)

2
2
2Acos(2 2 1 (t 1 )
2
即： T 1
2 1
2 1
2 1
三.同频率 振动方向垂直
x A1 cos( t 1)
x A1

cos
t
cos1
sin

t sin
1
y A2 cos( t 2 )
y A2
cos
(2) t1 = 0.0025s = ¼ T t2 = 0.005s = ½ T
Δx1 = u t1 = ¼ λ
Δx2 = u t2 = ½ λ
dt 2
2
mv dv kx dx 0 dt dt
d2x k
dt 2
m
x0
谐振方程
§2. 阻尼振动 受迫振动 共振
一.阻尼振动 —— 能量逐渐减少的振动。
摩擦阻力
考虑耗散作用
x
辐射阻尼 x
振动曲线：
振幅减小，
周期比系 统的固有
t
t
周期变大。
若阻尼过大，则系统完不成一次振动，称过阻尼振 动。见图
次，也就是合振动将加强与减弱各（ν2－ν1）次。
这样的两个简谐振动合成时，由于周期的微小差别
而造成的合振幅时而加强时而减弱的现象称为拍，
合振动在单位时间内加强或减弱的次数称为拍频。
x1 2 1
曲线： o
t
x2
o
t
x1 +x2
o
t
定量讨论： 振幅相同，初相为零。
x1 Acos1t Acos 2 1t
5.关系式：
c
T
例 题 频率为3000Hz的声波以1560ms-1沿一波线

§14阻尼振动受迫振动

§14阻尼振动受迫振动

课堂练习
2.如图所示演示装置，一根张紧的水平
绳上挂着四个单摆，让b摆摆动，其余各
摆也摆动起来，可以发现（ CD ）
A. a 摆摆动周期最短
B. c 摆摆动周期最长
C.各摆摆动的周期均与b摆相同
D. d 摆振幅最大
3.两个弹簧振子，甲的固有频率为f，乙的 固有频率为4f，当它们均在频率为2f的驱 动力作用下做受迫振动时，则 （ ）C A、甲的振幅较大，振动频率为f B、乙的振幅较大，振动频率为4f C、甲的振幅较大，振动频率为2f D、乙的振幅较大，振动频率为2f
二、受迫振动
1．驱动力： 周期性 的外力． 2．受迫振动：系统在 驱动力 作用下的振动． 思考： 弹簧振子做自由振动的频率是怎样的？ 弹簧振子在驱动力作用下做受迫振动，稳定后弹簧
振子的振动频率又怎样？
3．振动稳定后受迫振动的频率 总等于 驱动力 的频率，受迫 振动稳定后的频率与物体的固有 频率 无 关系．
§1.4阻尼振动 受迫振动
问题设计
在研究弹簧振子和单摆振动时，我们强调忽略阻力 的影响，它们做的振动都属于简谐运动.在实验室中让一 个弹簧振子振动起来，经过一段时间它将停止振动，你 知道是什么原因造成的吗？ 答案 阻力阻碍了振子的运动，使机械能转化为内能.
阻尼振动实例 同学荡秋千，由于受到空气的阻尼作用，
课堂练习
1. 如图所示，是用来测量各种发动机转速的转 速计原理图。在同一铁支架NM上焊有固有频率 依次为80Hz、60Hz、40Hz、20Hz的四个钢片a、 b、c、d。将M端与正在转动的电动机接触，发 现b钢片振幅最大，则a、b、c、d此时振动频率
约为6__0_H__z____ ， 电动机转速3为6_0_0_____r/min 。

17.3 阻尼振动与阻尼受迫振动

对应于三种不同的解，将有三种不同的运动形式。 对应于三种不同的解，将有三种不同的运动形式。 1) 阻尼振动 β 2 < ω02 或 Λ = β / ω0 < 1 当阻尼较小， 当阻尼较小，即当 解
2
2 特征方程： 特征方程： λ 2 + 2 βλ + ω0 = 0
x(t ) = A0 e
−β t
cos (ω t + ϕ0 )
2
7 第17章 振 动
π Aω cos(ω t + ϕ + π ) + 2 β Aω cos(ω t + ϕ + ) 2 + ω 02 A cos(ω t + ϕ ) = h cos ω t
2
当ϕ = 0
2 h2 = (2β Aω )2 + (ω0 A − ω 2 A)2
A ω
2
2 β Aω
2 0
β = γ / 2m ω02 = k / m
3. 振动表达式和振动曲线 如果能振动起来（欠阻尼情况） 如果能振动起来（欠阻尼情况） 上述方程的解是什么形式呢？ 上述方程的解是什么形式呢？
2 第17章 振 动
d x dx 2 + 2β + ω0 x = 0 2 特征根为： 特征根为： λ = − β ± β 2 − ω0 dt 2 dt
2
2
ω共振 = ω − 2β
2 0
2
的情况下， 在弱阻尼即β << ω 0的情况下， 弱阻尼即
当ω = ω 0 时，
系统的振动速度和振幅都达到最大值 — 共振 共振现象 •普遍 普遍 •有利有弊 有利有弊 •160年前 拿破仑入侵西班牙 桥塌 年前 •几十年后 圣彼德堡卡坦卡河 几十年后 •1940年 美国 桥 大风 流速 年

(完整版)阻尼振动

阻尼振动是否具有“周期性"和“等时性”简谐运动在不考虑摩擦和其他阻力等因素的影响时,振动过程中系统的机械能守恒，所以不管是单摆还是弹簧振子在振动过程中振幅始终保持不变，这种振动称为无阻尼振动。

然而，实际的振动总要受到阻力的影响，由于要克服阻力做功，振动系统的机械能不断减少。

同时振动系统与周围介质相互作用，振动向外传播形成波，随着波的传播,系统的机械能不断减少，因此振幅也逐渐减小.这种振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动,阻尼振动的图象如图1所示。

学生学完这节内容后，存在两方面疑问：一是阻尼振动是否具有“周期性"，二是阻尼振动是否具有“等时性”（振子连续两次通过平衡位置的时间间隔相同）。

这两个问题教材没有涉及，在图象中也不能反映出来,但是课后有些学生会提出，有些资料中也会出现相关的问题。

一、定性分析要想知道阻尼振动是否具有“周期性”，首先要知道什么是机械振动的周期。

人教版高二《物理》教材（必修加选修)中对周期的定义是这样的:物体完成一次全振动所需的时间，叫做振动的周期。

在周期的定义中存在全振动这个概念，全振动是指做机械振动的物体从某个点出发，等到下次回到该点时的运动状态和开始振动时的运动状态完全相同，且所用时间最短.所以能重复原来的运动状态（位移、速度、加速度等)的机械振动才是全振动，非等幅的阻尼振动不是全振动，所以它是没有周期的.关于阻尼振动是否具有“等时性”，有两种不同的说法。

第一种说法认为具有“等时性”,理由是阻尼振动的振幅虽然在不断减小，但可以看成是由很多个振幅不断减小的简谐运动的叠加，由于简谐运动具有等时性，它的周期与振幅无关，所以阻尼振动和简谐运动的相位是一致的，节奏也是相同的,所以具有“等时性”。

第二种说法认为不具有“等时性”，理由是物体做阻尼振动时，由于机械能的损失。

振子前后两次通过同一点时，后一次的速度肯定比前一次的小。

这样，从平衡位置到达最大位移处的平均速度总比返回时的平均速度大,所以回来就变慢了,对应的时间也就长了。

简谐振动中的能量和受迫振动


因此：
3、简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅 越大，振动的能量越大．
4、振子或单摆振动起来之后，由于是简 谐运动，所以能量守恒，此后它的振 幅将保持不的能量守恒.
二、阻尼振动
动画演示的是实际振动情况：
1、实际的振动与理想化的振动不同， 由于振动过程中要克服阻力做功， 将一部分机械能转化为其他形式的 能量，导致振动的总能量不断减小， 即振幅不断减小．
由共振曲线可知道：
当驱动力频率等于物体固有频率时， 物体振幅最大，驱动力频率与固有频 率相差越大，物体的振幅越小.
驱动力的频率接近物体的固有频率时， 受迫振动的振幅最大，这种现象叫做 共振.
四、共振的应用和防止
共振的应用：1、共振筛
2、共鸣箱（在乐器上用的比较多）
共振的危害:
大桥若共振的话!!!
如图AO回复力做正功（重力 做正功），重力势能减少，动
能增加，到O时，动能最大，势
能最小； OB，回复力做负功， 动能减小，势能增加，到达B时， 动能为零，势能最大，同理可 分析，之后过程中能量的转化 情况．
在此过程中，因为只有重力做 功，所以总机械能不变．
3、竖直弹簧振子的振动能量
沿竖直方向振动的弹簧振 子：通过回复力（重力和 弹簧弹力的合力）做功， 动能和势能（包括重力势 能、弹性势能）间相互转 化．
实验表明：物体在外力驱动下振动时， 振动稳定后的频率等于外 力驱动的频率，跟物体的 固有频率没有关系.
四、共振：下面就是一个共振
1940年，Tacoma Narrows大桥在 建成后的4个月就因风共振而倒 塌。
共振
实验表明：
受迫振动的频率 与物体的固有频 率无关，但是如 果驱动力的频率 接近或等于物体 的固有频率时， 振动物体的振幅 将达到最大.

阻尼振动的探究

阻尼振动的探究摘要：以弹簧振子的阻尼振动及RLC电路的阻尼振荡为例，探究了阻尼振动。

同时，以这两个阻尼振动系统为例分析了阻尼振动衰减时的特点。

关键词：阻尼振动阻尼系数衰减Research on damped vibrationHuangyihangAbstract:This article researches into damped vibration by the example of spring oscillator’s damped vibration and the example of RLC’s damped vibration. At the same time, this article researches the points of damped vibration’s attenuation by the two examples.Keyword:damped vibration damping coefficient attenuation简谐运动又叫做无阻尼自由振动。

但实际上，任何的振动系统都是会受到阻力作用的，这种实际振动系统的振动叫做阻尼振动。

在阻尼系统中，振动系统要不断地克服阻力做功，所以它的能量将不断地减少。

一定时间后回到平衡位置。

弹簧振子在有阻力情况下的振动就是阻尼振动。

分析安置在一个水平光滑表面的弹簧振子。

取弹簧处于自然长度时的平衡位置为坐标原点。

忽略空气等阻力，则弹簧振子只受到弹簧的弹力作用。

即由牛顿第二定律，可得此微分方程的通解为给定初始值，弹簧在t=0时，x=，,则此微分方程的解为弹簧振子在初始时刻，被拉离坐标原点距离，即弹簧被拉长(。

而后，弹簧由于弹簧拉力作用而返回原点，很容易就可以想到弹簧将作往复运动。

如方程所描述弹簧作简谐振动。

如果考虑弹簧振子运动时的阻力，情况将如何呢？由实验，可知运动物体的速度不太大时，介质对物体的阻力与速度成正比。

又阻力总与速度方向相反，所以阻力与速度有如下关系：为正比例常数。

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x A 2 e
t


2
t
A
[( )e
t
( )e
t
]
v Ae
t
0
2
2
(e
t
e
) Ae
t
0
2
Hale Waihona Puke sin h ( t ) .
{范例5.7} 弹簧振子的阻尼振动
讨论
x A 2 e
t
[( )e
t
质点运动的位移曲线如图所 示，阻尼因子越大，物体达 到静止所需要的时间越长。 在临界阻尼情况下，物体到 达静止所需要的时间最短。
阻尼因子越小，物体振动的准 周期越短，振动时间也越长。
质点运动的速度曲线如图所示，物 体的速度从零开始反方向增大，经 过一个极小值之后再反方向减小。
极值所在处的加速度为零。
x A 2 [e
i 0 t
e
i 0 t
] A co s 0 t
可见：在不计阻尼的情况下，物体作简谐振动。
{范例5.7} 弹簧振子的阻尼振动
讨论
x A 2 e
t
[( )e
t
( )e
t
]
④当0 < β < ω0时，设 可得
co s 1 2
i -i

0
2
2
则α = iω，
利用欧拉公式eiθ = cosθ + isinθ，e-iθ = cosθ – isinθ，
(e e ),
sin 1 2i (e
i
e
-i
)
位移为 x
或 这就是欠阻尼的情况， 其中 arctan 振幅按指数规律衰减。 2π 物体作准周期性运动，ω T 2 π 2 2 是其角频率，准周期为 0
Ae
t
(co s t

sin t )
x
0
Ae
t
co s( t )
阻尼因子越大， 周期越长。或 者说：阻尼使 振动变慢了。
利用双曲函数sinhθ = (eθ - e-θ)/2，coshθ = (eθ + e-θ)/2， 位移可 t x Ae (co sh t sin h t ) 用哪一个位移公式都能计 表示为 算，只要取实部就行了。
( )e
t
]
①当β > ω0时，即α是正实数，这是过 阻尼的情况，位移按指数规律衰减。 ②当β → ω0时，即α → 0，不论用罗必塔法则还是用公式 eαt → 1 + αt和e-αt → 1 - αt，都可得x = A(1 + ω0t)exp(-ω0t)。
这是临界阻尼的情况，位移仍然按指数规律衰减。 ③当β = 0时，则α = iω0， i= -1 为虚数单位 可得
d x dt
2 2
2
dx dt
0 x 0
2
设微分方程的解为x = ert，代入上式得特征方程r2 - 2βr + ω02 = 0。
2 2 0 特征方程的解为 r 设 α可以是实数和零以及虚数，则r1 = -β + α，r2 = -β – α。
1 2
v
dx dt
C 1 r1 e
r1 t
C 2 r2 e
r2 t
e
t
[ C 1 ( )e
t
C 2 ( )e
t
]
当t = 0时，x = A，v = 0，因此可得 A = C1 + C2，0 = C1(-β + α) + C2(-β - α) 如果β ≠ ω0，即α ≠ 0， C2 C1 A, 解得两个常数分别为 2 因此物体 的位移为 物体运动 的速度为
约化阻尼因子大于和等于1 时，速度大小会逐渐减小为 零；阻尼因子比较小时，物 体速度也会作周期性变化。
{范例5.7} 弹簧振子的阻尼振动
一弹簧振子的质量为m，倔强系数为k。振子还受到与速度大 小成正比、方向相反的阻力，比例系数为γ。当振子从静止 开始运动时，初位移为A。物体的运动规律是什么？不同的 阻尼下的位移曲线和速度曲线有什么差别？ 2 d x dx 取k/m = ω02， [解析]根据牛顿运动定律， m kx 2 γ/m = 2β， dt dt 物体运动的微分方程为 ω0就是无阻尼时物体的固有角频率，β是阻尼因子。 物体的运动方程可表示为
2 2 0
微分方程的解为
x C 1e 1 C 2 e
rt
r2 t
e
t
( C 1e
t
C 2e
t
)
其中C1和C2是由初始条件决定的常数。
{范例5.7} 弹簧振子的阻尼振动
一弹簧振子的质量为m，倔强系数为k。振子还受到与速度大 小成正比、方向相反的阻力，比例系数为γ。当振子从静止 开始运动时，初位移为A。物体的运动规律是什么？不同的 阻尼下的位移曲线和速度曲线有什么差别？ rt r t t t t 物体的速度为 x C 1e C 2 e e ( C 1e C 2 e )