二次方程根的分布情况归纳完整版

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。

如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。

如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。

分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程ax2+bx+c = 0根的分布情况设方程ar+bx+c = 0(d H 0)的不等两根为心兀且片 < 心，相应的二次函数为f (x) = or? +bx+c = 0, 方程的根即为二次函数图象与X轴的交点，它们的分布情况见下而各表(每种情况对应的均是充要条件)表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)表二：（两根与£的大小比较）表三：（根在区间上的分布）需满足的条件是对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：(1)两根有且仅有一根在(/,")有以下特殊情况：1°若/(/«) = 0或/(") = 0,则此时/(/«>/(/?)< 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为加或"，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(加丿)，从而可以求出参数的值。

如方程〃区2—(加+ 2)x+2 = 02 2在区间(1,3)上有一根，因为/(1) = 0> 所以mx2—(m+2)x+2 = (x—l)(mr—2)> 另一根为— > 由1 < — <3 2得一<tn<2即为所求；32°方程有且只有一根，且这个根在区间(〃?,〃)，即△ = 0,此时由4 = 0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程,求出相应的根，检验根是否在给左的区间，如若不在，舍去相应的参数。

如方程x2-4/^ +2w+ 6 = 0有且一根在区间(-3,0),求加的取值围。

分析：①由/(-3>/(0)< 0即(14加+ 15)(加+ 3)< 0得出]5 3一3<〃？<一訂：②由△ = ()即16〃/一4(2〃? + 6) = 0得出〃？= -1 或加=；,当〃？ = 一1 时，根兀= -2e(-3,0),3 3 15即〃2 = —1满足题意：当/« = -时，根兀=3点(一3,0),故/// = -不满足题意：综上分析，得出一3<〃2<-一或2 v 7 2 14m = -1根的分布练习题例1、已知二次方程(2加+ 1)疋_2皿+(加_1) = 0有一正根和一负根，数加的取值圉。

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。

如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。

如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。

分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a ）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()n m ,两根有且仅有一根在()n m ,（图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,，另一根在()q p ,，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,，从而可以求出参数的值。

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程ax 2 +bx +c = 0根的分布情况设方程ax 2+bx +c =0(a 0)的不等两根为x ,x 且x x ，相应的二次函数为 f (x )=ax 2+bx +c =0，方程的 根即为二次函数图象与 x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)表一：(两根与 0 的大小比较即根的正负情况)分布情况小)都根2根x 1大)都根2,根x 1)2小0 一x 1即(根负于一负大根个正一 一大致图象（）a得出的结论00b 2a()0-f00b 2a()0-f0 ) (0 (f大致图象（）a得出的结论00b 2a()0-f00b 2a ()0-f0 ) (0 f综合结论（不讨论a）0 0 0)b -a2(f 0a0 0 0)b -a2(f 0a0 ) (0 f a表二：（两根与k的大小比较）表三：(根在区间上的分布)两根有且仅有一根在(m , n )内 (图象有两种情况，只画了一种)一根在 (m ,n )内，另一根在(p ,q ) 内， mn p qf (m )f (n ) 0f (p )f (q )根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m ,n )外，即在区间两侧x 1m ,x 2 n ，(图形分别如下)需满 足的条件是大致图象（a得出的结f (m ) 0 f (n ) 0bm - n2af (m ) f (n ) 0或0 00 )m )n )p )q f (m ) f (n ) 0 f (p ) f (q ) 0 0大致图象（a得出的结f (m ) 0 f (n ) 0bm - n2af (m ) f (n ) 0f (m )f (n)0 f (m ) f (n )0 f (p )0 f (p ) f (q )f (q ) 0 分布情况两根都在(m , n )内综合结论（不讨论af (m ) f (n )2g2 f (0)(m +1) - 8mm - 1mm 3-2 2或m 3+2 2m对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：1)两根有且仅有一根在(m ,n )内有以下特殊情况： 若 f(m )=0或 f (n )=0，则此时 f (m )g f (n )0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以 求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m ,n )内，从而可以求出参数的值。

二次方程根的分布
1、一元二次方程
02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2
00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的
根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较 即根的正负情况）
k k k
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是
（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()
0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩
根的分布练习题
例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

例2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。

例3、已知二次函数()()()2
22433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m
的取值范围。

例4、已知二次方程()2
2340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。

二次函数在闭区间上的最值练习
例2、求函数()[]2
21,1,3f x x ax x =-+∈的最小值。

例3、求函数2
43y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值。

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
1、一元二次方程ax2 bx c 0根的分布情况
设方程ax2bx c 0 a 0的不等两根为x i,x2且x1 x2,相应的二次函数为f x ax2bx c 0,方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分布情况两个负根即两根都小于0
x1 0, x20
两个正根即两根都大于0
X 0, x20
一正根一负根即一个根小于0,
一个大于0 X1 0 x2
得出的结论得出的结
论综合结论
{不讨论a
2a
2a
表二：（两根与k的大小比较）
分布情况两根都小于k即
x1 k, x2k
两根都大于k即
x1 k, x2k
得出的
结论
2a f k
得出的结论综合结论{不讨论a
b k
2a
f k 0
2a
a f k 0
表三：（根在区间上的分布）
分布情况
o o
n q
f f m p f f
或
o o o
o
o
n n
o b a
t 2 n 得出的结论
o o
n q
f f m p f f
或
o o o
o
o
n
n
o o
b
m n f f m
得出的结论
综合结论{不讨论
a
m,n 夕卜，即在区间两侧 x i m,X 2 n,（图形分别如下）需满
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间
足的条件是。

二次方程()200axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况【一元二次方程根的分布的类型：】 1、零分布（1）有两正根 （2）有两负根 （3）一正一负2、k 分布（1）有两个大于k 的根 （2）有两个小于k 的根 （3）一个大于k,一个小于k, （4）有一个根在区间（k 1,k 2）内 （5）区间（k 1,k 2）有两个根 【引例】设方程的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()nm,内两根有且仅有一根在()nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()nm,内，另一根在()qp,内，qpnm<<<大致图象（0 > a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（0 < a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a ）——————()()0<⋅nfmf()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩一元二次方程根的分布题型例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。