江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高二数学(有答案)

姓名，年级：时间：邗江中学2019-2020学年度第二学期期中考试高二数学试卷（考试时间：120分钟 总分:150分)一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．函数f (x ）＝x 2﹣sin x 在［0，π］上的平均变化率为( ）A ．1B ．2C ．πD ．π2 2．复数z 满足z =2i 1−i ，则复数z 的虚部为( )A ．﹣1B ．1C ．iD ．﹣i3．已知随机变量X 服从正态分布N （1，4），若P （X ≥2）＝0。

2，则P （0≤X ≤1）为（ ）A ．0。

2B ．0.3C ．0。

4D ．0.6 4．已知C n+17−C n 7=C n 8（n ∈N ＊）,则n 等于（ )A ．14B ．12C ．13D ．155．已知f （x ）＝x •sin2x ,则)2(πf '为（ ） A ．﹣πB ．−π2C ．π2D ．π 6．二项式（√x +2x 2）10展开式中的常数项是（ )A ．180B ．90C ．45D ．3607．从1,2，3，4，5,6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则P （B ｜A ）＝（ ）A．38B．1340C．1345D．348．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）A．48种B．72种C．96种D．144种9．设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x）,且函数f(x）在x＝﹣1处取得极大值,则函数y＝xf′(x）的图象可能是（)A．B．C．D．10．已知（x﹣1)9（1﹣x）＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8＝（）A．﹣45 B．27 C．﹣27 D．4511．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排,以下说法正确的是（）A．每人都安排一项工作的不同方法数为54B．每人都安排一项工作,每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为A54C41C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(C53C21+C52C32)A33D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C31C42A33+C32A3312．已知函数f（x）＝ax﹣lnx，x∈［1，e］的最小值为3，若存在x1，x2,…，x n∈[1，e］，使得f（x1)+f(x2)+…+f（x n﹣1）＝f(x n），则正整数n的最大值为（)A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品的个数的数学期望值为．14．若(1﹣3x）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+a2+a3+…+a10＝．15．荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时,均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示．假设现在青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A叶上的概率是_________16．若存在a＞0,使得函数f（x）＝6a2lnx与g（x）＝x2﹣4ax﹣b的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为．三、解答题（本题共6小题，其中第17题10分,其他每题12分,共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知z是复数,z+2i与z2−i均为实数．（1）求复数z；(2）复数（z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．18．有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数（结果用数字作答)．（1）选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排4人，后排3人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起;（5）全体排成一排，男生互不相邻。

江苏省邗江中学2019-2020学年第二学期新疆班高二数学期中试卷一.选择题:1.函数sin 21y x =+的最小正周期为( )A.2πB.πC.2π D.4π 【参考答案】B 【试题解答】直接利用三角函数的周期公式求解即可.解:因为函数sin 21y x =+,所以函数的最小正周期222T πππω===. 故选:B.本题考查三角函数的周期的求法,对于函数()sin y A x B ωϕ=++其最小正周期2T ωπ=,属于基础题.2.在ABC ∆中,若()()3a b c b c a bc +++-=,则A ＝ ( ) A.23π B.2π C.3π D.6π 【参考答案】C 【试题解答】利用余弦定理即可得出. 解:()()3a b c b c a bc +++-=,22()3b c a bc ∴+-=,化为:222b c a bc +-=.2221cos 222b c a bc A bc bc +-∴===.因为(0,)A π∈.3A π∴=.故选:C.本题考查了余弦定理、三角函数的单调性与求值,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 3.将1sin2y x =的图象向左平移4π个单位,则所得图象的解析式为( ) A.1sin(+)28y x π=B.1sin(-)28y x π=C.1sin()22y x π=+D.1sin()24y x π=+.【参考答案】A 【试题解答】根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律即可得解. 解:将函数1sin2y x =的图象向左平移4π个单位, 所得函数的解析式为11sin sin 2428y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选:A.本题主要考查了函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律的应用,属于基础题.4.已知π3sin()35α+=,π2π63α<<,则cos α=( )【参考答案】D 【试题解答】根据同角三角函数的关系和角的范围,求出cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭,而cos cos 33ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,根据两角差的余弦公式即可求出.解:因为π2π63α<< 所以ππ23απ<+<,又π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,22ππsin cos 133αα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以cos cos cos cos sin sin 333333ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦413525=-⨯+=故选:D本题考查了同角三角函数的关系以及两角差的余弦公式,属于基础题. 5.若向量()4,2,4a =-,()2,1,1b =-,则23a b -＝ ( ) A.()6,3,7- B.()2,1,1--- C.()2,1,5-D.()14,7,11-【参考答案】C 【试题解答】由已知向量a ,b 的坐标,代入数乘向量坐标公式,可得向量2a 与3b 的坐标,代入向量减法的坐标公式,可得答案.解:因为()4,2,4a =-,()2,1,1b =-,所以()()()2324,2,432,1,12,1,5a b -=---=- 故选:C本题考查的知识点是空间向量的坐标运算公式,熟练掌握数乘向量和向量加法的坐标公式,是解答的关键,属于基础题.6.设(,4,3)x =a ,(3,2,)b z =,且//a b ,则xz 等于( ) A.9B.92C.32D.4【参考答案】A 【试题解答】由//a b ,根据向量平行(共线)的充要条件得存在实数λ使λa b ,进而构造方程求出λ值,进而求出x ,z 值,得到答案. 解:(,4,3)x =a ,(3,2,)b z =由//a b则存在实数λ使λab即()(),4,33,2,x z λ=,即3423x z λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩解得2λ= 故6x =,32z = 故9xz = 故选:A.本题考查的知识点是共线向量,熟练掌握向量平行(共线)的充要条件:存在实数λ使λa b ,是解答的关键,属于基础题.7.如图,直三棱柱111ABC A B C -中,若CA a =,CB b =,1CC c =,则1A B 等于( )A.a b c +-B.a b c -+C.b a c --D.b a c -+【参考答案】C 【试题解答】根据向量的加减法运算,计算结果.()111A B AB AA CB CA AA =-=--,11AA CC c ==,∴1A B b a c =--.故选:C.本题考查空间向量的运算,属于简单题型.8.已知a 为平面α的法向量, A ,B 是直线b 上的两点,则a ·AB ＝0是直线b ∥α的( )条件 A.必要不充分 B.充分不必要C.充要D.既不充分又不必要 【参考答案】A 【试题解答】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解:因为向量a 是平面α的法向量,则a α⊥,若0a AB =,则//AB α,则向量AB 所在直线b 平行于平面α或在平面α内,即充分性不成立, 若向量AB 所在直线平行于平面α或在平面α内,则//AB α,向量a 是平面α的法向量,∴a α⊥,则a AB ⊥,即0a AB =,即必要性成立,则0a AB =是向量AB 所在直线b 平行于平面α的必要条件, 故选:A.本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据向量和平面的位置关系是解决本题的关键,属于基础题.9.若(2)nx +展开式的二项式系数之和等于64,则第三项是( ) A.3160x B.2240x C.460x D.280x【参考答案】C根据题意有264n =,解可得,6n =;进而可得其二项展开式的通项,计算可得答案. 解:根据题意,(2)n x +展开式的二项式系数之和等于64, 有264n =,解可得,6n =;可得其二项展开式的通项为616()2r r r r T C x -+=⋅, 则其第三项是242436()260T C x x ⋅=⋅=, 故选:C本题考查二项式系数的性质,要注意第三项是2r时的值,属于基础题.10.在10212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中,含11x 的项的系数是( )A.10B.15C.20D.25【参考答案】B 【试题解答】令二项展开式的通项中x 的指数为11,求出r 值,再计算系数.解:10212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项为2102031101011()22r rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令20311r -=,解得3r =. 含11x 的项的系数是33101152C ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选:B本题考查二项式定理的简单直接应用.牢记公式是前提,准确计算是关键,属于基础题. 11.从4名男生和3名女生中选出4人参加迎新座谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,不同的选法共有( )种 A.34 B.35 C.120 D.以上都不对【参考答案】A本题求此事件较为复杂,而其对立事件较为简单,故可先求出其对立事件的情况,即可求解解:从7人中任取4人的所有选法共有4735C=种4人中全为男生的选法有1种∴这4人中必须既有男生又有女生,不同的选法35134-=种故选:A本题考查等可能事件的概率,解题的关键是转化为其对立事件求解,简化了计算,解决数学问题时,正难则反是一个重要的解题技巧.12.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛,其中A不参加物理、化学竞赛,则不同的参赛方案种数为( )A.720B.360C.72D.以上都不对【参考答案】C【试题解答】因为A不参加物理、化学竞赛,它是一个特殊元素,故对A参加不参加竞赛进行讨论,利用分类的思想方法解决,最后结果结合加法原理相加即可.解:根据题意,若选出4人中不含A,则有44A种;若选出4人中含有A,则有313423C C A种.4313 442372A C C A∴+=.故选:C.本题主要考查排列、组合及简单计数问题,解排列、组合及简单计数问题时遇到特殊元素时,对特殊元素要优先考虑,属于中档题.二.填空题:13.7sin6π=______.【参考答案】12- 【试题解答】将所求式子中的角76π变形为6ππ+,然后利用诱导公式()sin sin παα+=-化简后,再利用特殊角的三角函数值即可求出值. 【详解】7sin6π sin 6ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin6π=-12=-.故答案为12-此题考查了运用诱导公式化简求值,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.14.若200922008200901220082009(12)x a a x a x a x a x -=+++++,则1232009........a a a a ++++=__________.【参考答案】2- 【试题解答】利用赋值法求系数及系数的和,令0x =可得0a ,再令1x =得01220082009a a a a a +++++从而得解; 解:因为200922008200901220082009(12)x a a x a x a x a x -=+++++令0x =得01a =, 令1x =得200901220082009(12)1a a a a a +=++++-=-所以12320092a a a a ++++=-故答案为:2-本题考查赋值法求二项式展开式系数的和的问题,属于基础题.15.已知,,i j k 为空间两两垂直的单位向量,且32,2,a i j k b i j k =+-=-+ 则数量积a b ⋅＝_________________【参考答案】1- 【试题解答】利用向量的数量积坐标运算即可得出.解:因为,,i j k 为空间两两垂直的单位向量,且32,2,a i j k b i j k =+-=-+ 则以,,i j k 为一组正交基底, 所以()3,2,1a =-,()1,1,2b =- 所以()()3121121a b =⨯+⨯-+-⨯=- 故答案为:1-本题考查空间向量的数量积的坐标表示,熟练掌握向量的数量积的坐标运算是解题的关键,属于基础题.16.将4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名教师,则不同的分配方案共有_______________个 【参考答案】36 【试题解答】由题意知将4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名教师,只有一种分法1,1,2,从4个人中选2个作为一个元素,使它与其他两个元素在一起进行排列,得到结果. 解:将4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名教师, 只有一种结果1,1,2,首先从4个人中选2个作为一个元素, 使它与其他两个元素在一起进行排列,共有234336C A =种结果,故答案为:36.本题考查分步计数原理,首先分组,再进行排列,注意4个元素在三个位置这样排列,共有一种人数的分法,若由5个人在三个位置排列,每一个位置最少一个,同学们考虑该有几种结果. 三.解答题: 17.已知54cos(),cos ,,135αββαβ+==均为锐角,求sin α的值. 【参考答案】3365【试题解答】试题分析:首先利用同角间的三角函数关系由cos β得到sin β,由()cos αβ+求得()sin αβ+,所求sin α转化为()sin αββ⎡⎤+-⎣⎦,代入得到的数据求解试题解析:12sin()13αβ+=(4分) 3sin 5β=(8分)sin sin[()]ααββ=+-=3365(14分) 考点:1.同角间的三角函数关系;2.两角和差的正余弦公式18.有2名男生、3名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法?(以下各题请用数字作答)(1)甲不在中间也不在两端; (2)甲、乙两人必须排在两端; (3)男、女生分别排在一起; (4)男女相间;【参考答案】(1)48;(2)12;(3)24;(4)12. 【试题解答】(1)特殊元素优先安排,甲不在中间也不在两端,先将甲排好,其余全排列即可; (2)特殊元素优先安排,先排甲、乙,其余人全排列; (3)相邻问题用捆绑; (4)不相邻问题用插空;解:(1)依题意甲不在中间也不在两端,首先安排甲有12A 种排法,其余人全排列有44A ,按照分步乘法计数原理可得一共有142448A A =(种)(2)先排甲、乙有22A 种排法,其余人全排列有33A ,按照分步乘法计数原理可得一共有232312A A =(种)(3)将男女分别捆绑再排列有22322324A A A =(种)(4)男女相间用插空法,先排女生有33A 种排法,再将男生插入女生所形成的2个空档里有22A 种排法,故共有323212A A =(种)本题主要考查排列组合的实际应用,常见的排列问题的处理方法的应用,属于中档题.19.已知函数()sin 22f x x x a =+ (1)求()f x 的最小正周期和单调增区间;(2)当,4[3x ππ∈-]时,函数()f x 的最大值与最小值的和2,求a . 【参考答案】(1)最小正周期为π,单调增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k Z ∈;(2)2. 【试题解答】(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性和单调性,得出结论.(2)根据,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,求解内层函数的范围,结合正弦函数的图象及性质求解最值,结合已知可得a 的值;解:(1)12sin 22s ()sin 2in 322s 22o x x a x a f x x x a π⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪ =⎝-+⎪⎭⎝⎭, 因此()f x 的最小正周期为22ππ=. 令222232k x k πππππ--+,k Z ∈得51212k x k πππ-π+,k Z ∈; ()f x ∴的单调增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k Z ∈(2),43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,2(2)[33x ππ∴-∈-,]3π,∴当232x ππ-=-时,()f x 取得最小值2a -+;当233x ππ-=时,()f x 取得最大值为3a +;则2323a a -+++=+, 解得:2a =.本题考查了正弦函数的图象和性质的应用,三角恒等变换公式的应用,属于基础题. 20.如图,长方体1111ABCD A B C D -中,1AB AD ==,12AA =,点P 为1DD 的中点.(1)求证:直线1BD ∥平面PAC(2)求:异面直线1PB 与1BA 所成的角的余弦值. 【参考答案】(1)证明见解析15【试题解答】(1)直接利用三角形的中位线,得到线线平行,进一步利用线面平行的判定定理得到结论. (2)建立空间直角坐标系,利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值; (1)证明:连接BD ,交AC 于O ,则O 为BD 中点,连接OP ,P为1DD的中点,1//OP BD∴,OP⊂平面PAC,1BD⊂平面PAC,1//BD∴平面PAC;(2)如图以D为坐标原点DC、DA、1DD为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则()0,0,1P,()11,1,2B,()1,1,0B,()10,1,2A所以()11,1,1PB=,()11,0,2BA=-设异面直线1PB与1BA所成的角为θ,则()()11222221111101215cos11112PB BAPB BAθ⨯-+⨯+⨯===++⋅-+故异面直线1PB与1BA所成的角的余弦值为1515;本题考查线面平行的证明,异面直线所成的角的计算,属于中档题.21.如图所示,在三棱锥S ABC -中,ABC ∆是边长为4的正三角形,平面SAC ⊥平面ABC ,SA ＝SC ＝23,M ,N 分别为AB ,SB 的中点.(1)求证:AC ⊥SB ;(2)求二面角N －CM －B 的余弦值; 【参考答案】(1)证明见解析;(2)13【试题解答】(1)取A ,C 中点O ,连接OS ,OB ,由题意可得AC OB ⊥,AC OS ⊥,再由线面垂直的判定可得AC ⊥平面SOB ,进一步得到AC SB ⊥;(2)如图以O 为原点,OA ,OB ,OS 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,求出C ,B ,A ,S ,M ,N 的坐标,得到平面CBM 与平面CMN 的法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角N CM B --的余弦值.解:(1)证明:取A ,C 中点O ,连接OS ,OB ,由题意可得AC OB ⊥,AC OS ⊥,又OS OB O =,OS ⊂平面SOB ,OB ⊂平面SOBAC ∴⊥平面SOB ,又SB ⊂平面SOB 所以AC SB ⊥;(2)解:如图以O 为原点,OA ,OB ,OS 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系, 则(2C -,0,0),(0B ,23,0),(2A ,0,0),(0S ,0,22),(1M ,3,0),(0N ,3,2), 由已知条件易得平面CBM 的法向量为1(0,0,1)n =,设面CMN 的法向量为2(,,)n x y z =,(3,3,0)CM =,(2,3,2)CN =.由22·330·2320n CM x y n CN x y z ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩,取1z =,得2(2,6,1)n =-,设θ为所求角,则1212||1cos 3||||n n n n θ==. ∴二面角N CM B --的余弦值为13.本题考查线面垂直的判定,考查空间想象能力和思维能力,训练了利用空间向量求二面角的平面角,属于中档题.22.已知3n a a 的展开式的各项系数之和等于5345b b ⎛⎝展开式中的常数项,求3na a 展开式中含1a -的项的二项式系数. 【参考答案】35 【试题解答】先研究5的展开式的通项为105556155((4,(0,1,2,3,4,5)r r r r r r r r T C C b r---+===.求出n-的展开式的各项系数之和,解方程求出n,再由二项展开式的通项公式求得1a-的项是第4项设5⎛⎝的展开式中的通项为1055561554,(0,1,2,3,4,5)r r rr r r rrT C C b r---+⎛⎛==⋅⋅=⎝⎝.若求常数项,则令1050,26rr-=∴=,代入上式732T∴=.即常数项是72,又n的展开式的各项系数之和为722n=,∴7n=,而7-的通项公式(()77177526731r rr r r rrrT C aC---++==-,令75126r-+=-,解得3r=,即二项式系数是3735C=本题考查二项式的系数的性质,解题的关键是熟练掌握二项式的性质,考查了利用二项式的性质进行变形,属于中档题,。

江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高 二 数 学（试题满分：150分 考试时间：120分钟） 2020.5一、 选择题（一）单项选择题：本题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.1．化简：A 52=（ ）A ．10B ．20C ．30D ．40 2．下列导数运算正确的是（ ）A ．211'x x⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．(sin )cos x 'x =- C ．(3)'3x x = D ．1(ln )x '=x 3． (a +b)5的展开式中a 3b 2的系数为（ ）A ．20B ．10C ．5D ．1 4．已知()310P AB =，()35P A =，则()|P B A 等于（ ） A ．950 B ．12 C ．910D ．14 5．在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布()()21,0N σσ>，若()010.4P ξ<<=，则()02P ξ<<=（ ）A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．0.26．设a N ∈,且0≤a ＜13,若512020+a 能被13整除,则a =（ ）A ．0B ．1C ．11D ．127．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（ ）A ．2280B ．2120C ．1440D ．7208．若关于x 的不等式1127k x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6（二）多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共计20分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.9．定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）A ．-3是()f x 的一个极小值点；B ．-2和-1都是()f x 的极大值点；C ．()f x 的单调递增区间是()3,-+∞；D ．()f x 的单调递减区间是(),3-∞-．10．将高二(1)班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种？下列结论正确的有（ ）A ．11113213C C C CB ．2343C A C ．122342C C AD ．18 11．已知()n a b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1012．关于函数()sin x f x e a x =+，(,)x π∈-+∞，下列说法正确的是（ ）A ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=；B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<；C ．对任意0a >，()f x 在(,)π-+∞上均存在零点；D ．存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置．13．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0. 8，0.85，若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为__________.14．已知函数f(x)=x 2,当∆x →0时，f (1+∆x )−f(1)∆x →A ,则A = __________.15．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ=k)=c k+1，k =0，1，2，3，则P(ξ=2)= __________.16. 若对任意0x >，恒有()112ln ax a x x x e ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围为__________. 三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）高二某班级有5名男生，4名女生排成一排.（以下结果用数字作答）（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？18．（本小题满分12分）已知函数()323f x ax bx x =+-在1x =-和3x =处取得极值. （1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在[]4,4-内的最值.19．（本小题满分12分）某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.（1）求乙同学答对2个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m ，n ，分别求出甲、乙两位同学答对题目个数m ，n 的概率分布和数学期望.20.（本小题满分12分）已知*()(2),n f x x n N =+∈．（1）设2012()n n f x a a x a x a x =++++L ，①求012n a a a a ++++L ；②若在012,,,,n a a a a L 中，唯一的最大的数是4a ，试求n 的值； （2）设2012()(1)(1)(1)n n f x b b x b x b x =+++++++L ，求111nr r b r =+∑．21．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x x a x =-+（0a <），且()f x 的最小值为0. （1）求实数a 的值；（2）若直线y =b 与函数f(x)图象交于A,B 两点,A(x 1,f(x 1)), B(x 2,f(x 2)),且12x x <，A,B 两点的中点M 的横坐标为x 0,证明：x 0>1.22.（本小题满分12分）已知函数2()ln ,()xf x x x axg x e e =-+=-，其中0a >.（1）若a =1，证明：f(x)≤0；（2）用max{,}m n 表示m 和n 中的较大值，设函数()max{(),()}h x f x g x =，讨论函数()h x 在(0,)+∞上的零点的个数.命题人：徐小美、张茂城审核人：蒋红慧。

2019-2020学年扬州中学高二下学期期中数学试卷(文科)一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设集合A={1,2，3，4}，B={−2,0，2}，则A∩B=______．2.据国家海洋研究机构统计，中国有约120万平方公里的海洋国土处于争议中，该数据可用科学记数法表示为平方公里．3.下列命题中(1)在等差数列{a n}中，m+n=s+t(m,n，s，t∈N∗)是a m+a n=a s+a t的充要条件；(2)已知等比数列{a n}为递增数列，且公比为q，若a1<0，则当且仅当0<q<1；(3)若数列{n2+λn}为递增数列，则λ的取值范围是[−2,+∞)；(4)已知数列{a n}满足12a1+122a2+123a3+⋯+12na n=2n+5，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1(5)若S n是等比数列{a n}的前n项的和，且S n=Aq n+B；(其中A、B是非零常数，n∈N∗)，则A+B为零．其中正确命题是______(只需写出序号)4.已知f(x)=a sin3x+b tan x+1，若f(2)=3，则f(2π−2)=______ ．5.设P为曲线C：f(x)=x2−x+1上的点，曲线C在点P处的切线斜率的取值范围是[−1,3]，则点P的纵坐标的取值范围是________．6.实数x，y>0，且x+2y=4，那么log2x+log2y的最大值是______ ．7.已知f(2x+1)=3x−2，且f(a)=4，则a的值是______ ．8.“sinθ≠12”是“θ≠30°”的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)9.函数y=√3−x+1x2−x−6的定义域为______ ．10.对于mn，且m，n∈N且m，n≥2可以按如下的方式进行“分解”，例如72的“分解”中最小的数是1，最大的数是13.若m3的“分解”中最小的数是651，则m=______11.已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________．12.若f′(2)=1，则lim△x→0f(2+2△x)−f(2)△x=______ ．13.定义域为R的奇函数y=f(x)满足f(x−1)=f(x+1)，则y=f(x)在区间[0,2]上至少有______个零点．14.函数f(x)=4x2−mx+5在[2,+∞)上为增函数，则m的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.实数a取什么值时，复数z=a2−1+(a+1)i.是(I)实数；(Ⅱ)虚数；(Ⅲ)纯虚数．16.设命题p：函数f(x)=log a|x|在(0,+∞)上单调递增；q：关于x的方程x2+2x+log a32=0的解集只有一个子集．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．17.发烧是因为体内的白细胞为了吞掉细菌而迅速增加，耗氧增加而引起．发烧本身不是疾病，而是一种症状，它是体内抵抗感染的机制之一．为避免体温持续过高引发肺炎、脑膜炎、心肌炎等多种疾病，持续高烧的患者需要及时服用退烧药．某退烧药在病人血液中的含量不低于2克时，具有治疗作用．已知每服用a(1≤a≤5且a∈R)个单位的药，药剂在血液中的含量y(克)随着时间x(小时)变化的函数关系近似地表示为y=a⋅f(x)，其中f(x)={94+x ,0≤x<5,7−x 2,5≤x≤7.．(1)若病人一次服用2个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？(2)若病人第一次服用2个单位的药剂，5小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2个小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．18.已知f(x)是定义域为R的奇函数，且当x>0时，f(x)=2x．(1)求函数f(x)的解析式及其值域；(2)设x0是方程f(x)=4−x的解，且x0∈(n,n+1)，n∈Z，求n的值；(3)若存在x≥1，使得(a+x)f(x)<1成立，求实数a的取值范围．19.(本小题满分12分)已知函数，的最大值为．(1)求的值；(2)若，，求．−alnx+1(a∈R)．20.设函数f(x)=x−4x(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直，求f(x)的极值；(2)当a≤4时，若不等式f(x)≥2在区间[1,4]上有解，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：{2}解析：解：∵A={1,2，3，4}，B={−2,0，2}；∴A∩B={2}．故答案为：{2}．进行交集的运算即可．考查列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：解析：试题分析：根据科学计数法的规定可知120万用科学计数法可以表示为．考点：本小题主要考查科学计数法的应用．点评：科学计数法的应用十分广泛，要注意准确应用．3.答案：(2)(5)解析：解：(1)在等差数列{a n}中，m+n=s+t(m,n，s，t∈N∗)⇒a m+a n=a s+a t，反之不成立，例如常数列a n=0，不正确；(2)等比数列{a n}为递增数列，且公比为q，若a1<0，则当且仅当0<q<1，正确；(3)数列{n2+λn}为递增数列，则(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn，化为：λ>−(2n+1)，∴λ>−3，因此λ的取值范围是(−3,+∞)，因此不正确；(4)数列{a n}满足12a1+122a2+123a3+⋯+12na n=2n+5，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1，n=1时，a1=14，不成立，因此不正确；(5)若S n是等比数列{a n}的前n项的和，且S n=Aq n+B；(其中A、B是非零常数，n∈N∗)，若q≠1，则S n=a11−q−a11−q q n，则A+B=0−q=1时，S n=na1，不满足条件，舍去．因此A+B为零，正确．其中正确命题是(2)(5)．故答案为：(2)(5)．(1)在等差数列{a n}中，由m+n=s+t(m,n，s，t∈N∗)⇒a m+a n=a s+a t，反之不成立，可举反例；(2)利用等比数列的单调性即可判断出正误；(3)数列{n2+λn}为递增数列，则(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn，化简即可得出；(4)n=1时，a1=14，不成立；(5)由已知q≠1，S n=a11−q −a11−qq n，即可验证A+B=0−本题考查了等差数列等比数列的定义通项公式求和公式及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：−1解析：解：f(x)=a sin3x+btanx+1，若f(2)=3，则f(2π−2)=a sin3(2π−2)+btan(2π−2)+1=−a sin32−btan2+1=−(a sin32+btan2+1)+2=−3+2=−1故答案为：−1利用诱导公式以及函数值求解即可．本题考查诱导公式以及函数值的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．5.答案：解析：设P(x0,y0)，则f′(x)=2x−1．∴−1≤2x0−1≤3，即0≤x0≤2．∵y0=f(x0)=−x0+1= 2+，∵x0∈[0,2]，∴≤y0≤3，故点P的纵坐标的取值范围是．6.答案：1解析：解：∵实数x，y>0，且x+2y=4，∴4≥2√2xy，化为xy≤2，当且仅当x=2y=12时取等号．则log2x+log2y=log2(xy)≤log22=1．因此log2x+log2y的最大值是1．故答案为：1．利用基本不等式、对数的运算法则和单调性即可得出．本题考查了基本不等式、对数的运算法则和单调性，属于基础题．7.答案：5解析：解：令t=2x+1得，x=t−12，代入f(2x+1)=3x−2得，f(t)=32t−72，则f(x)=32x−72，则f(a)=32a−72=4，解得a=5，故答案为：5．令t=2x+1得x=t−12，代入解析式求出f(x)的解析式，再由f(a)=4列方程求出a的值．本题考查了函数的解析式的求法：换元法，以及函数的值，属于基础题．8.答案：充分不必要解析：解：“sinθ≠12”能推出“θ≠30°是充分条件，“θ≠30°推不出sinθ≠12，不是必要条件，故答案为：充分不必要根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案．本题考查了充分必要条件，考查了三角函数问题，是一道基础题．9.答案：{x|x<3且x≠−2}解析：解：由{3−x ≥0x 2−x −6≠0，解得x <3且x ≠−2． ∴函数y =√3−x +1x 2−x−6的定义域为{x|x <3且x ≠−2}．故答案为：{x|x <3且x ≠−2}．由根式内部的代数式大于等于0，且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案． 本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的计算题． 10.答案：26解析：解：由题意，m 2−(m −1)=651，∴m =26或−25(负数舍去)，即m =26．故答案为：26．观察m 的3次方分解规律中，发现：所分解的最小数是m 的平方与m −1的差．根据发现的规律进行计算即可．本题首先要根据所提供的数据具体发现规律，然后根据发现的规律求解．规律为：在m 2中所分解的最大的数是2m −1；在m 3中，所分解的最小数是m 2−m +1．11.答案：解析：解析：略 12.答案：2解析：解：∵f′(2)=1，∴lim △x→0f(2+2△x)−f(2)△x =lim △x→0f(2+2△x)−f(2)2△x×2 =2f′(2)=2×1=2．故答案为：2．根据题意，由导数在某一处的定义，求出计算结果．本题考查了导数的定义的应用问题，解题时应明确导数的定义公式，从而得出计算结果，是基础题．13.答案：3解析：解：f(x−1)=f(x+1)，∴f(x)=f(x+2)，即函数是周期为2的周期函数，∵f(x)是奇函数，∴f(0)=0，则f(2)=f(0)=0，令f(x−1)=f(x+1)中x=0，则f(−1)=f(1)=−f(1)，则f(1)=0，即0，1，2为y=f(x)在区间[0,2]上的零点，则y=f(x)在区间[0,2]上至少有3个零点，故答案为：3根据条件判断函数的周期是2，结合函数奇偶性和周期性，以及函数零点的定义进行判断即可．本题主要考查函数零点的个数，结合条件判断函数的周期，利用函数的周期以及奇偶性进行转化是解决本题的关键．难度中等．14.答案：(−∞,16],+∞)，解析：解：函数f(x)的增区间为[m8又f(x)在[2,+∞)上为增函数，所以[2,+∞)⊆[m，+∞)，8≤2，解得m≤16，则m8所以m的取值范围是(−∞,16]．故答案为：(−∞,16]．由f(x)在[2,+∞)上为增函数，得[2,+∞)为f(x)增区间的子集，由此得到不等式，解出即可．本题考查二次函数的单调性，属基础题，若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则[a,b]为f(x)增区间的子集．15.答案：解：(I)当a+1=0，即a=−1时，复数z是实数；(II)当a+1≠0，即a≠−1时，复数z是虚数；(III)当{a2−1=0，即a=1时，复数z是纯虚数．a+1≠0解析：(I)当a +1=0，复数z 是实数；(II)当a +1≠0，复数z 是虚数；(III)当{a 2−1=0a +1≠0，复数z 是纯虚数． 本题考查了复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 16.答案：解：由命题p 得a >1；由命题q 知关于x 的方程x 2+2x +log a 32=0无解，∴△=4−4log a 32<0，解得1<a <32； 由“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假知p ，q 中一真一假；∴若p 真q 假，则：a >1，且0<a <1，或a ≥32，∴a ≥32；若p 假q 真，则0<a <1，或1<a <32，解得a ∈⌀；综上得，实数a 的取值范围为[32,+∞)．解析：先求出命题p ，q 下的a 的取值范围，根据p ∨q 为真，p ∧q 为假可知p ，q 一真一假．所以讨论，p 真q 假，和p 假q 真两种情况，求出a 的范围求并集即可．考查对数函数的单调性，一元二次方程的解和判别式△的关系，p ∨q ，p ∧q 的真假情况和p ，q 真假情况的关系．17.答案：解：(1)a =2时，y ={184+x ,0≤x <514−2x 2,5≤x ≤7； 当0≤x <5时，由184+x ≥2，解得x ≤5，此时0≤x <5；当5≤x ≤7时，由14−2x 2≥2，解得x ≤5， 此时x =5；综上0≤x ≤5，故有效治疗的时间可达5小时；(2)当5≤x ≤7时，y =2×7−x 2+m ⋅94+x−5=7−x +9m x−1，其中1≤m ≤4，m ∈R ； 又函数y 1=7−x 与y 2=9m x−1在区间[5,7]上单调递减，∴函数y =7−x +9m x−1在区间[5,7]上单调递减；∴当x =7时，y min =9m 6≥2，解得m ≥43；∴m 的最小值是43．解析：(1)利用分段函数表示a =2时函数y 的解析式，求出有效治疗的时间；(2)判断函数y 的单调性，根据函数的性质求出满足题意的m 的最小值．本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了函数模型应用问题，是中档题．18.答案：解：(1)若x <0，则−x >0，则当−x >0时，f(−x)=2−x ．∵函数f(x)是奇函数，∴f(−x)=2−x =−f(x)，则f(x)=−2−x ，x <0，当x =0时，f(0)=0，则f(x)={2x , x >0 , 0 , x =0 , −2−x , x <0 ． …3分值域为(−∞,−1)∪{0}∪(1,+∞).…5分(2)令g(x)=f(x)−(4−x)={2x +x −4 , x >0 , −4 , x =0 , −2−x +x −4 , x <0 ． 显然x =0不是方程f(x)=4−x 的解．当x <0时，g(x)=−2−x +x −4<0，∴方程f(x)=4−x 无负数解． …7分当x >0时，g(x)=2x +x −4单调递增，所以函数g(x)至多有一个零点；…8分又g(1)=−1<0，g(2)=2>0，由零点存在性原理知g(x)在区间(1,2)上至少有一个零点．…9分 故g(x)的惟一零点，即方程f(x)=4−x 的惟一解x 0∈(1,2)．所以，由题意，n =1. …10分(3)设ℎ(x)=2−x −x ，则ℎ(x)在[1,+∞)上递减．∴ℎ(x)max =ℎ(1)=−12.…13分当x ≥1时，f(x)=2x ，不等式(a +x)f(x)<1，即a <2−x −x ．∴当a <−12时，存在x ≥1，使得a <2−x −x 成立，即关于x的不等式(a+x)f(x)<1有不小于1的解．…16分．解析：(1)根据函数奇偶性的对称性即可求函数f(x)的解析式及其值域；(2)根据函数和方程之间的关系进行求解即可；(3)构造函数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，函数与方程以及利用函数的单调性求函数的值域问题，综合考查函数的性质．19.答案：解析：20.答案：解：(1)∵f(x)=x−4x −alnx+1，∴f′(x)=1+4x2−ax，由题意，切线斜率k=f′(1)=1+4−a=0，∴a=5．∴f(x)=x−4x −5lnx+1，f′(x)=1+4x2−5x=x2−5x+4x2(x>0)．由f′(x)=0，得x=1或x=4．x(0,1)1(1,4)4(4,+∞)f′(x)+0−0+f(x)增函数极大值减函数极小值增函数∴f(x)的极小值为f(4)=4−1−5ln4+1=4−10ln2，f(x)的极大值为f(1)=1−4−0+1=−2．(2)由题意，当a≤4时，f(x)在[1,4]上的最大值M≥2．f′(x)=x2−ax+4x2(1≤x≤4)．(i)当−4≤a≤4时，f′(x)=(x−a2)2+4−a 24x2≥0，故f(x)在[1,4]上单调递增，M=f(4)，(ii)当a<−4时，设x2−ax+4=0(△=a2−16>0)的两根为x1，x2，则x1+x2=a<0，x1x2=4，故x1，x2<0．∴在[1,4]上f′(x)=x2−ax+4x2>0．故f(x)在[1,4]上单调递增，M=f(4)．综上所述，当a≤4时，f(x)在[1,4]上的最大值M=f(4)=4−1−aln4+1≥2．解得：a≤1ln2．∴a的取值范围是(−∞,1ln2].解析：(1)求出原函数的导函数，由题意得到f′(1)=0，求得a值，代入f(x)后利用导数求得极值点，进一步求得极值；(2)把不等式f(x)≥2在区间[1,4]上有解转化为f(x)在[1,4]上的最大值M≥2，把原函数求导后对a 分类求得函数的最大值，再由最大值M≥2求得实数a的取值范围．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，把不等式f(x)≥2在区间[1,4]上有解转化为f(x)在[1,4]上的最大值M≥2是解答该题的关键，是压轴题．。

江苏省扬州市邗江中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1.函数2()sin f x x x =-在[0，π]上的平均变化率为( ) A. 1 B. 2C. πD. 2π【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率的公式，计算出平均变化率.【详解】平均变化率为()()2π0πππ0πf f -==-.故选：C【点睛】本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题. 2.复数z 满足21iz i=-，则复数z 的虚部为（ ） A. ﹣1 B. 1C. iD. ﹣i【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简211ii i=-+-，再利用复数的代数形式求出结果. 【详解】解：∵()()()()2121211112i i i i i z i i i i ++====-+--+， 则复数z 的虚部为1． 故选：B ．【点睛】本题考查复数的除法运算.复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下： (1)分子、分母同时乘分母的共轭复数； (2)对分子、分母分别进行乘法运算；(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．3.已知随机变量X 服从正态分布14N （，），若(2)=0.2P X ≥，则(01)P X ≤≤为（ ） A. 0.2 B. 0.3C. 0.4D. 0.6【答案】B 【解析】 【分析】X 服从正态分布(14)N ，，对称轴1μ＝，利用正态曲线的对称性可解 【详解】解：∵随机变量X 服从正态分布(14)N ， ∴12μσ＝，＝， 又(2)=0.2P X ≥，∴(01)=(12)=0.50.2=0.3P X P X ≤≤≤≤-； 故选：B ．【点睛】利用正态曲线的对称性求概率是常见的正态分布应用问题．解题的关键是利用对称轴=x μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断．对于正态分布2()N μσ，，由=x μ是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的a ，有()()P X a P X a μμ<->+＝； (2)()00()1P X x P X x <-≥=；(3)()()=()P a X b P X b P X a <<<≤-．4.若7781n n n C C C +-=，则n 等于（ ）A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】C 【解析】试题分析：由7781n n n C C C +-=和组合数公式得()()()()1!!!7!6!7!7!8!8!n n n n n n +-=---,化简得()()1116778n n n n +-=-⋅--,解之得14n =.考点：组合数计算.5.已知()sin 2f x x x =⋅，则'2f π⎛⎫⎪⎝⎭为（ ） A. π- B. 2π-C.2π D. π【答案】A 【解析】 【分析】根据导数运算,求得()'f x ,代入即可求解. 【详解】因为()sin 2f x x x =⋅所以由导数运算公式可得()'sin 22cos2f x x x x =+ 所以sin 22'2cos 2222f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=⨯⨯⨯⎭+0cos πππ=+=-故选:A【点睛】本题考查了导数的乘法运算公式,复合函数求导的简单应用,求导数的值,属于基础题.6.二项式1022)x展开式中的常数项是( ) A. 180 B. 90C. 45D. 360【答案】A 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．【详解】解：二项式1022)x展开式的通项公式为5521102r r r r T C x -+=⋅⋅，令5502r -=，求得 2r =，可得展开式中常数项是22102180C ⋅=， 故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．7.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（ ） A. 38B.1340C.1345D.34【答案】B 【解析】 【分析】由条件概率的定义()(|)()P A B P B A P A =，分别计算(),()P A B P A 即得解.【详解】由题意5()9P A = 事件AB 为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有223313⨯+⨯=个事件1313()9872P A B ==⨯ 由条件概率的定义：()13(|)()40P A B P B A P A ==故选：B【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.8.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）A. 48种B. 72种C. 96种D. 144种【答案】B 【解析】 【分析】A 区域与其他区域都相邻，从A 开始分步进行其它区域填涂可解【详解】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为A B C D E 、、、、，分4步分析： ①，对于A 区域，有4种涂法，②，对于B 区域，与A 相邻，有3种涂法， ③，对于C 区域，与A B 、 相邻，有2种涂法，④，对于D 区域，若其与B 区域同色，则E 有2种涂法，若D 区域与B 区域不同色，则E 有1种涂法，则D E 、 区域有2+1＝3种涂色方法， 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种； 故选： B ．【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题使用两个计数原理进行计数的基本思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．9.设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值，则函数y ＝x ()f x '的图象可能是（ ）AB.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由极值与导数的关系确定，确定当0>x >﹣1以及x >0时，()xf x '的符号；当x ＝﹣1时，()xf x '＝0；当x <﹣1时，()xf x '符号．由此观察四个选项能够得到正确结果． 【详解】∵函数f （x ）在R 上可导，其导函数()f x '， 且函数f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值，∴当x >﹣1时，()f x '<0；当x ＝﹣1时，()f x '＝0；当x <﹣1时，()f x '>0．∴当0>x >﹣1时，()xf x '>0；x >0时，()xf x '<0； 当x ＝﹣1时，()xf x '＝0； 当x <﹣1时，()xf x '＜0． 故选：D ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．10.已知()()92100121011...x x a a x a x a x --=++++，则8a =（ ） A. 45- B. 27 C. 27- D. 45【答案】A 【解析】 【分析】分两类求解，当()1x -，取 1时， ()91-x 取8个x ，当 ()1x - 取x -时， ()91-x 取7个x ，分别求值，再相加.【详解】当()1x -取 1时， ()91-x 取8个x ，则1891a C =-⨯，当 ()1x - 取x -时， ()91-x 取7个x ，则()278911a C =-⨯⨯-，所以()27189911145a C C =-⨯⨯--⨯=- .故选：A【点睛】本题主要考查二项展开式的系数，还考查了分类讨论的方法，属于基础题. 11.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ） A. 每人都安排一项工作的不同方法数为54B. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A CC. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C C C C A +D. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +【答案】D 【解析】 【分析】对于选项A ，每人有4种安排法，故有54种；对于选项B ，5名同学中有两人工作相同，先选人再安排；对于选项C ，先分组再安排；对于选项D ，以司机人数作为分类标准进行讨论即可.【详解】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为54，即选项A 错误， ②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为2454C A ，即选项B 错误，③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（312252532222C C C C A A +）33A ，即选项C 错误， ④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有13C ,从余下四人中安排三个岗位1112342322C C C A A ，故有231231111324334322=C C C A C C A A C ；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有23C ,从余下三人中安排三个岗位33A ，故有2333C A ；所以每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +，即选项D 正确， 故选：D ．【点睛】本题考查了排列知识的应用. 求解排列问题的六种主要方法:1.直接法:把符合条件的排列数直接列式计算;2.优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;3.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列;4.插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;5.定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;6.间接法:正难则反、等价转化的方法.12.已知函数()ln f x ax x =-，[]1,x e ∈的最小值为3，若存在[]12,1,n x x x e ∈，使得()()()()121n n f x f x f x f x -+++=，则正整数n 的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导,研究函数单调性,利用最值与函数单调性的关系,即可求得a 的值,从而求得()f x 的最大值与最小值,再根据题意推出min max (1)()()n f x f x -,即可求得n 的最大值.【详解】11()ax f x a x x '-=-=, ①当0a ≤或10a e<≤时,()0f x '<在[]1,x e ∈恒成立,从而()f x 在[]1,e 单调递减,所以min ()()13f x f e ae ==-=,解得41,a e e ⎛⎤=∉-∞ ⎥⎝⎦,不合题意; ②当11a e <<时,易得()f x 在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,在1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增, 所以min 11()1ln 3f x f a a ⎛⎫==-=⎪⎝⎭,解得21,1a e e ⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭,不合题意; ③当1a >时,()f x 在[]1,e 单调递增, 所以min ()(1)31f x f a ===>,满足题意; 综上知3a =.所以()3ln f x x x =-,[]1,x e ∈,所以min ()(1)3f x f ==,max ()()31f x f e e ==-依题意有min max (1)()()n f x f x -≤,即(1)331n e -≤-,得23n e ≤+, 又*n N ∈,所以3n ≤. 从而n 的最大值为3. 故选:B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值,考查求参数的取值范围,需要学生结合分类讨论思想答题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是 ． 【答案】 【解析】试题分析：设抽到次品个数为ξ，则ξ～H （3，2，10），利用公式Eξ=，即可求得抽到次品个数的数学期望的值．解：设抽到次品个数为ξ，则ξ～H （3，2，10） ∴Eξ=故答案为点评：本题考查离散型随机变量的数学期望，解题的关键是确定抽到次品个数服从超几何分布，从而利用相应的期望公式求解．14.若102100121013x a a x a x a x -+++⋯+=()，则12310a a a a +++⋯+＝_____．【答案】1023 【解析】 【分析】赋值法 令0x =得：01a =；令1x = 得：10012310131024a a a a a =++⋯+-=++(),再两式相减可得. 【详解】解：∵102100121013x a a x a x a x -+++⋯+=()，令0x ＝得：01a = ；①令1x = 得：10012310131024a a a a a =++⋯+-=++()； ②由①②可得：12310102411023a a a a +++⋯+-==； 故答案为：1023．【点睛】赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如()n ax b +，2()max bx c ++ (a b c R ∈，，)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x ＝即可．(2)对形如()()nax by a b R +∈，的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可．(3)若()2012nn f x a a x a x a x +++⋯+=，则()f x 展开式中各项系数之和为()1f ．15.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A 叶上的概率是_________【答案】827【解析】 【分析】先分别求出顺时针、逆时针方向跳的概率，分析跳四次之后停在A 叶上，有两种情况：有2次是顺时针方向跳，有2次是逆时针跳，再分别计算对应的概率即可. 【详解】解：设按照顺时针跳的概率为p ，则逆时针方向跳的概率为2p ， 则2=3=1p p p +，解得p 13=，即按照顺时针跳的概率为13，则逆时针方向跳的概率为23， 若青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A 叶上，则满足四次跳跃中有2次是顺时针方向跳，有2次是逆时针跳，①若先按逆时针开始从A →B ，则剩余3次中有1次是按照逆时针，其余2次按顺时针跳，则对应的概率为123221124()3338127C ⨯⨯⨯==， ②若先按顺时针开始从A →C ，则剩余3次中有1次是按照顺时针，其余2次按逆时针跳，则对应的概率为123112124()3338127C ⨯⨯⨯==， 则概率为448272727+=， 故答案为:827【点睛】求复杂互斥事件概率的步骤：第一步，分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和； 第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率； 第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果．16.若存在0a >，使得函数2()6ln f x a x =与2()4g x x ax b =--的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b 的最大值为________. 【答案】213e 【解析】【分析】分别求出函数2()6ln f x a x =与2()4g x x ax b =--的导函数，设公共点为()00,g x y ，则00()()f x g x ''=解得03x a =，又()()00f x g x =，则2236ln 3(0)b a a a a =-->，令22()36ln 3(0)h a b a a a a ==-->，求出函数的导数，研究函数的最值.【详解】解：设曲线()y f x =与()y g x =的公共点为()00,g x y ，因为26(),a f x x'=()24g x x a '=-，所以200624a x a x -=，化简得2200230x ax a --=，解得0x a =-或3a ，又00x >，且0a >，则03x a =. 因为()()00f x g x =. 所以2200046ln ,x ax b a x --=2236ln 3(0)b a a a a =-->.设()h a b =，所以()12(1ln3)h a a a '=-+，令()0h a '=，得13a e=， 所以当103a e <<时，()0'>h a ；当13a e>时，()0h a '<. 即()h a 在10,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,3e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以b 的最大值为21133h e e⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故答案为：213e 【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值问题，属于中档题.三、解答题（本题共6小题，其中第17题10分，其他每题12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数．（1）求复数z ；（2）复数()2z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ） z=4-2i ．（Ⅱ）2＜a ＜6 【解析】【详解】（1）设(,)z x yi x y R =+∈ 所以，2(2)z i x y i +=++；(2)(2)225z x yi x y x y ii i +-++==-- 由条件得，20y +=且20x y +=， 所以4,2x y ==-(2)222()(42)(124)8(2)z ai i ai a a a i +=-+=+-+-由条件得：21240{8(2)0a a a +->->，解得26a <<所以，所求实数a 的取值范围是(2,6)-18.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. （1）选5人排成一排；（2）排成前后两排，前排4人，后排3人； （3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； （4）全体排成一排，女生必须站在一起； （5）全体排成一排，男生互不相邻.【答案】（1）2520种（2）5040种（3）3600种（4）576种（5）1440种 【解析】 【分析】（1）按照排列的定义求解..（2）分两步完成，先选4人站前排进行排列，余下3人站后排进行排列，然后相乘求解..（3）先考虑甲，再其余6人进行排列，然后相乘求解.（4）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，再将女生全排列，然后相乘求解.（5）先排女生，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，然后相乘求解.【详解】（1）从7人中选5人排列，有57765432520A =⨯⨯⨯⨯=（种）. （2）分两步完成，先选4人站前排，有47A 种方法，余下3人站后排，有33A 种方法，共有4373A A 5040=（种）.（3）（特殊元素优先法）先排甲，有5种方法，其余6人有66A 种排列方法，共有6653600A ⨯=（种）.（4）（捆绑法）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有44A 种方法，再将女生全排列，有44A 种方法，共有4444A A 576=（种）.（5）（插空法）先排女生，有44A 种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有35A 种方法，共有4345A A 1440=（种）.【点睛】本题主要考查了对排列的理解和排列数的计算，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.19.已知n的展开式中前三项的系数为等差数列. （1）求二项式系数最大项； （2）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1）358x ；（2）747x 和527x . 【解析】 【分析】（1）根据二项式定理展开式，前三项的系数为等差数列，计算求解n 的取值，再根据展开式求解二项式系数最大项；（2）由（1）中展开式，求解系数最大的项.【详解】（1）由题意，n+的展开式是1rn rrr nT C -+=， 化简得23244122n r r n r r rr rr nnTC xxC x-----+=⋅=⋅⋅则02211n n nT C x x =⋅=⋅，23231144222n n nn T C x x ---=⋅⋅=⋅，()3322223128n n n n n T C x x ----=⋅⋅=⋅因为，前三项的系数为等差数列，则有()12128n n n-⋅=+，解得8n =或1n =（舍去）则8n =，则8的展开式是1634182r r r r T C x --+=⋅⋅ 二项式系数是8rC ，当4r =时，二项式系数最大，则1612444583528T C xx --=⋅⋅=（2）由（1）得，8的展开式是1634182r r r r T C x --+=⋅⋅ 根据组合数性质，48C 最大，而2r -随着r 的增大而减小，且21r -<， 则计算0441821T C x x =⋅⋅=⋅，131311442824T C x x-=⋅⋅=⋅， 5522223827T C x x -=⋅⋅=⋅， 7733444827T C x x -=⋅⋅=⋅，44583528T C x x -=⋅⋅=⋅ 则当2r或3r =时，系数最大，则系数最大项是747x 和527x【点睛】本题考查二项式定理（1）二项式系数最大项（2）系数最大项；考查计算能力，注意概念辨析，属于中等题型.20.有一块半圆形的空地，直径200AB =米，政府计划在空地上建一个形状为等腰梯形的花圃ABCD ，如图所示，其中O 为圆心，C ，D 在半圆上，其余为绿化部分，设BOC θ∠=.（1）记花圃的面积为()f θ，求()f θ的最大值；（2）若花圃的造价为10元/米²，在花圃的边AB 、CD 处铺设具有美化效果的灌溉管道，铺设费用为500元/米，两腰AD 、BC 不铺设，求θ满足什么条件时，会使总造价最大. 【答案】（1）75003；（2）4πθ=时，总造价最大.【解析】 【分析】（1）根据梯形的面积公式可得()()sin cos sin ,0,2f πθθθθθ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭，解得三角函数的性质和导数求得()f θ的最大值.（2）求得花圃的总造价，然后利用导数求得4πθ=时，总造价最大.【详解】（1）设半径r ，则100r =米，作CE AB ⊥，垂足为E ，因为BOC θ∠=，所以sin sin ,cos CE OC R OE r θθθ=⋅==， 所以22cos CD OD r θ==， 所以()()()2122cos sin sin cos sin 2f r r r r θθθθθθ=⨯+⨯=+ ()410sin cos sin ,0,2πθθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.()()()()'42410cos 2cos 110cos 12cos 1f θθθθθ=+-=+-，所以当π0θ3时，()'0f θ>，()f θ递增；当32ππθ<<时，()'0f θ<，()f θ递减.所以当3πθ=时()fθ最大，最大值为43310750033f π⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）设花圃总造价为()()()()()51050022cos 10sin 11cos W f r r θθθθθ=++=++，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.()()'52210cos cos sin sin W θθθθθ=+--()()510cos sin cos sin 1θθθθ=-++.令()'0Wθ=，则cos sin 0θθ-=，由于0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4πθ=. 当04πθ<<时，()'0Wθ>，函数()W θ单调递增，当42ππθ<<时，()'0Wθ<，函数()W θ单调递减，所以当4πθ=时，函数()W θ有最大值，即总造价最大.【点睛】本小题主要考查函数导数在实际生活中的应用，考查利用导数求最值，属于中档题. 21.已知甲箱中装有3个红球，2个黑球，乙箱中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，某商场举行有奖促销活动，规定顾客购物1000元以上，可以参与抽奖一次，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱子中各随机摸出2个球，共4个球，若摸出4个球都是红球，则获得一等奖，奖金300元；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖，奖金200元；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖，奖金100元；其他情况不获奖，每次摸球结束后将球放回原箱中.（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若3人各参与摸奖1次，求获奖人数X 的数学期望()E X ；（3）若商场同时还举行打9折促销活动，顾客只能在两项促销活动中任选一项参与.假若你购买了价值1200元的商品，那么你选择参与哪一项活动对你有利？ 【答案】（1）625；（2）219100；（3）详见解答. 【解析】 【分析】（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A ，利用互斥事件概率计算公式能求出在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B ，求出()P B ，每个人获奖的概率相等，获奖人数X服从二项分布(3,())XP B ，求出X 可能值0,1,2,3的概率，由此求出X 的分布列，应用二项分布期望公式即可求出结论；（3）求出中奖的期望，设中奖的的金额为η，η可能值为300,200,100,0，求出相应的概率，列出分布列，进而求出期望，与打9折的优惠金额对比，即可得出结论. 【详解】（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A ，则21111232323222556()25C C C C C C P A C C +==， 所以在1次摸奖中，获得二等奖的概率625； （2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B ，则获得一等奖的概率为2232122553100C C P C C ==， 获得三等奖的概率为2211112233322322222552350C C C C C C C C P C C ++==， 所以362373()1002550100P B =++=， 每个人摸奖是相互独立，且获奖概率相等， 获奖人数X 服从二项分布73(3,)100X， 3373270,1,2,3,()()(),0,1,2,3100100i i iX P X i C i -====，X 分布列为：73219()3100100E X =⨯=； （3）如果选择抽奖，设中奖的的金额为η，η可能值为300,200,100,0，36(300),(200)10025P P ηη====，23(100)50P η==， 1122112223232323225527(0)100C C C C C C C C P C C η++===， η的分布列为：3244627()3002001000103100100100100E η=⨯+⨯+⨯+⨯=， 如果购买1200选择打九折，优惠金额为120103>，∴选择打九折更有利.【点睛】本题考查互斥事件概率、离散型随机变量分布列期望、二项分布期望，考查计算求解能力，属于中档题.22.已知函数()xf x e ax a =--（其中e 为自然对数的底数）. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若对任意2(]0,x ∈，不等式()f x x a >-恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设*n N ∈，证明：123()()()()1nnnn n e nn nn e ++++<-. 【答案】（1）见解析；（2）(,1)e -∞-（3）见证明 【解析】 【分析】（1）对函数求导，分类讨论0a ≤和0a >两种情况，即可得出结果；（2）分类参数的方法，将()f x x a >-化为1xe a x<-，再由导数的方法求1x e x -在(]0,2的最小值即可；（3）先由（1）令1a =可知对任意实数x 都有10x e x --≥，即1x x e +≤，再令()11,2,3,,kx k n n+==，即可证明结论成立.【详解】解：（1）因为()x f x e ax a =--，所以()xf x e a '=-，①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增； ②当0a >时，()0ln xf x e a x a >⇒>⇒>'，()0ln x f x e a x a <⇒<⇒<'所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增.（2）因为对任意的(]0,2x ∈，不等式()f x x a >-恒成立，即不等式()1xa x e +<恒成立.即当(]0,2x ∈时，1x e a x<-恒成立.令()(]()10,2x e g x x x =-∈，则()()21xx e g x x -'=.显然当()0,1x ∈时，()0g x '<，(]1,2x ∈时，()0g x '>， 所以()g x 在()0,1上单调递减，在(]1,2上单调递增. ∴1x =时()g x 取最小值1e -. 所以实数a 的取值范围是(),1e -∞-（3）在（1）中，令1a =可知对任意实数x 都有10x e x --≥， 即1x x e +≤（等号当且仅当0x =时成立）令()11,2,3,,kx k n n+==，则1k n k e n -<，即nk k n n k e e n e -⎛⎫<= ⎪⎝⎭故123nnnnn n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1231n n e e e e e <++++ ()()()111n ne e ee e e -=<-- 【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要用导数的方法求出函数的单调区间，以及函数的最值等，属于常考题型.。

江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高二数学（参考答案）1．B 2．D 3．B 4．B 5．B 6．D 7．A 8．A【解析】因为不等式有正整数解，所以0x >，于是1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3k xx≥， 1x =显然不是不等式的解，当1x >时，ln 0x >，所以ln 3ln 3k x x ≥可变形为ln 3ln 3x x k≥．令()ln xf x x =，则()21ln xf x x-'=，∴函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，而23e <<， 所以当*x ∈N 时，()(){}max ln 3max 2,33f f f ==，故ln 33ln 33k≥，解得9k ≥．故选A ．9. ACD 10．BC 11．ABC 12．ABD【解析】当1a =时，()sin x f x e x =+，求出(),(0),(0)f x f f ''，得到()f x 在(0,(0))f 处的切线的点斜式方程，即可判断选项A ；求出()0,()0f x f x ''><的解，确定()f x 单调区间，进而求出()f x 极值点个数，以及极值范围，可判断选项B ；令()sin 0xf x e a x =+=，当0a ≠时，分离参数可得1sin x x a e -=，设sin (),(,)x xg x x eπ=∈-+∞，求出()g x 的极值最值，即可判断选项C ，D 的真假. 13．0.009 14．2 15．16．2a e≥【解析】由题意可知，不等式()112ln ax a x x x e ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭变形为()()221ln 1ln ax ax e e x x +≥+.设()()()1ln 0f t t t t =+>，则()()()()11ln 1ln ln 1f t t t t t t t'''=+++=++()()221111ln 1t t t f t t t t '-⎛⎫''=++=-= ⎪'⎝⎭'.当01t <<时()0f t ''<，即()f t '在()0,1上单调递减. 当1t >时()0f t ''>，即()f t '在()1,+∞上单调递增.则()f t '在()0,∞+上有且只有一个极值点1t =，该极值点就是()f t '的最小值点. 所以()()11ln11201f t f ''≥=++=>，即()f t 在()0,∞+上单调递增.若使得对任意0x >，恒有()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭成立. 则需对任意0x >，恒有()()2ax f e f x ≥成立.即对任意0x >，恒有2ax e x ≥成立，则2ln xa x≥在()0,∞+恒成立. 设()()()2ln ,0,xg x x x =∈+∞则()()()222ln 2ln 22ln x x x x x g x x x ''--'==. 当0x e <<时，()0g x '>，函数()g x 在()0,e 上单调递增 当x e >时，()0g x '<，函数()g x 在()0,e 上单调递减则()g x 在()0,∞+上有且只有一个极值点x e =，该极值点就是()g x 的最大值点. 所以()()max 2g x g e e==，即2a e ≥.17．【解析】（1）由题意，有5名男生，4名女生排成一排，共9人 从中选出3人排成一排，共有39504A =种排法；（2）可用插空法求解，先排5名男生有55A 种方法，5个男生可形成6个空，将4个女生插入空中，有46A 种方法，故共有545643200A A =种方法.18．【解析】（1）()2'323f x ax bx =+-.由题可得()'0f x =的根为-1和3，∴2133113b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得131a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩.检验单调性符合.（2）由（1）得()32133f x x x x =--，()2'23f x x x =--， ∴()f x 在(),1-∞-和()3,+∞内单调递增；()f x 在()1,3-内单调递减.(需要列表) 又∵()7643f -=-，()513f -=，()39f =-，()2043f =-，∴()()min 7643f x f =-=-；()()max 513f x f =-=. 19．【解析】（1）记事件A:乙答对2题,故所求的概率 P(A)=C 32(23)2(13)=49. 答：甲答对1题乙答对2题的概率为49. （2）m 的所有取值有1，2，3，m~H(3,4,6) P (m =1)=C 41C 22C 63=15，P (m =2)=C 42C 21C 63=35，P (m =3)=C 43C 63=15，故E (m )=1×15+2×35+3×15=2或E (m )=3×46=2. 由题意可知n ∼B (3,23)，P (n =1)=C 31(23)1(13)2=29，P (n =2)=C 32(23)2(13)=49，P (n =3)=C 33(23)3=827，故E (n )=1×29+2×49+3×827=2或E (n )=3×23=2. 答：甲、乙两位同学答对题目数m,n 的数学期望均为2.20．【解析】（1）因为2012()(2)nnn f x x a a x a x a x =+++++=L ， ①令1x =，则0123n n a a a a +++=+L ；②因为二项式(2)nx +展开式的通项为：12rn rr r n T C x -+=，又在012,,,,n a a a a L 中，唯一的最大的数是4a ，所以445544332222n n n n n n n n C C C C ----⎧>⎨>⎩，即45454543434322n n n nA A A A A A A A ⎧⨯>⎪⎪⎨⎪>⨯⎪⎩，解得1411n n <⎧⎨>⎩，即1114n <<， 又*n N ∈，所以12n =或13；（2）因为[]2012()(2)1(1)(1)(1)(1)nn n n f x x x b b x b x b x =+++=++++++=+L ， 根据二项展开式的通项公式，可得，rr n b C =，所以1111!1(1)!1=11!()!1(1)!()!111n r r r n n n C C r r r n r n r n r n b r +++⋅=⋅=⋅=⋅++-++-++， 则()11231111112(1)12112111n n n n n n nr r n n b r C C C n n n +++=+++-+---=⋅++⋅⋅⋅+=+++=+∑. 21．【解析】（1）()2221a x x af x x x x-+'=-+=（0x >）.因为0a <，所以180a ->， 令f ′(x )=0得1x =2x =， 且10x <，20x >，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上f ′(x )>0；在⎛ ⎝⎭上f ′(x )<0； 所以函数()f x在x =时，取最小值0，又()10f =1=，解得1a =-. （2）由（1）得1a =-，函数()2ln f x x x x =--，设f (x 1)=f (x 2)=b （b >0），则1201x x <<<，设()()()2h x f x f x =--（01x <≤）， 则()()()()()22ln 22ln 222ln ln 2h x x x x x x x x x x =----+-+-=--+-，()()2112222202222h x x x x x x x '=--=-≤-=--+-⎛⎫⎪⎝⎭， 所以()h x 为减函数，所以()()110h x h >=，即()()()11120h x f x f x =-->，所以()()112f x f x -<，即()()122f x f x -<， 又11<x ，所以121x ->，又当1x >时，()f x 为增函数， 所以122x x -<，即122x x +>.即x 0>1. 22．【解析】（1）f ′(x )=1x −2x +1=−(x−1)(2x+1)x,x ∈(0,1),f ′(x )>0,f(x)增；x ∈(1,+∞),f ′(x )<0,f(x)减；∴f (x )≤f (1)=0. （2）在区间(1,)+∞上，()0>g x ，所以()max{(),()}()0h x f x g x g x =≥>， 所以()h x 在区间(1,)+∞上不可能有零点.下面只考虑区间(0,1)上和1x =处的情况.由题意()f x 的定义域为(0,)+∞，2121()2x ax f x x a x x-++'=-+=. 令()00f x '=可得0x =（负值舍去）.在0(0,)x 上()0f x '>()f x 为增函数，在0(,)x +∞上()0f x '<，()f x 为减函数， 所以max 0()()f x f x =.①当1a =时，01x =，所以max ()(1)0f x f ==.因为在区间(0,1)上，()0<g x ，且(1)0g =，所以此时()h x 存在唯一的零点1x =.②当01a <<时，014a x +=<.因为()000120f x x a x '=-+=，所以0012a x x =-. 所以()222000000001ln (2)ln 1ln1110f x x x x x x x x =-+-=+-<+-=.于是()0f x <恒成立. 结合函数()g x 的性质，可知此时()h x 存在唯一的零点1x =.③当1a >时，014a x +=>，所以()f x 在(0,1)上递增.又因为(1)10f a =->，2221111111111ln 102242242224f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+<--+=---< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在区间(0,1)上存在唯一的零点1x x =. 结合函数()g x 的性质，可知1x x =是()h x 唯一的零点.综上所述：当01a <≤时，()h x 在(0,)+∞上有唯一的零点1x =； 当1a >时，()h x 在(0,)+∞上也有1个零点.。

江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高 二 数 学（试题满分：150分 考试时间：120分钟） 2020.5一、 选择题（一）单项选择题：本题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑. 1．化简：A 52=（ ） A ．10B ．20C ．30D ．402．下列导数运算正确的是（ ）A ．211'x x ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．(sin )cos x 'x =-C ．(3)'3x x= D ．1(ln )x '=x 3． (a +b)5的展开式中a 3b 2的系数为（ ） A ．20B ．10C ．5D ．14．已知()310P AB =，()35P A =，则()|P B A 等于（ ）A ．950 B ．12C ．910D ．145．在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布()()21,0N σσ>，若()010.4P ξ<<=，则()02P ξ<<=（ ）A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．0.26．设a N ∈,且0≤a ＜13,若512020+a 能被13整除,则a =（ ） A ．0B ．1C ．11D ．127．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（ ）A ．2280B ．2120C ．1440D ．7208．若关于x 的不等式1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6（二）多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共计20分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.9．定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）A ．-3是()f x 的一个极小值点；B ．-2和-1都是()f x 的极大值点；C ．()f x 的单调递增区间是()3,-+∞；D ．()f x 的单调递减区间是(),3-∞-．10．将高二(1)班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种？下列结论正确的有（ ） A ．11113213C C C CB ．2343C AC ．122342C C AD ．1811．已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1012．关于函数()sin x f x e a x =+，(,)x π∈-+∞，下列说法正确的是（ ） A ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=； B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<；C ．对任意0a >，()f x 在(,)π-+∞上均存在零点；D ．存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置．13．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0. 8，0.85，若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为__________.14．已知函数f(x)=x 2,当∆x →0时，f (1+∆x )−f(1)∆x→A ,则A = __________.15．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ=k)=ck+1，k =0，1，2，3，则P(ξ=2)= __________. 16. 若对任意0x >，恒有()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围为__________. 三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）高二某班级有5名男生，4名女生排成一排.（以下结果用数字作答）（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？18．（本小题满分12分） 已知函数()323f x ax bx x =+-在1x =-和3x =处取得极值.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在[]4,4-内的最值.19．（本小题满分12分）某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的. （1）求乙同学答对2个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m ，n ，分别求出甲、乙两位同学答对题目个数m ，n 的概率分布和数学期望.20.（本小题满分12分） 已知*()(2),n f x x n N =+∈．（1）设2012()nn f x a a x a x a x =++++L ，①求012n a a a a ++++L ；②若在012,,,,n a a a a L 中，唯一的最大的数是4a ，试求n 的值；（2）设2012()(1)(1)(1)nn f x b b x b x b x =+++++++L ，求111nr r b r =+∑．21．（本小题满分12分） 已知函数()2ln f x x x a x =-+（0a <），且()f x 的最小值为0.（1）求实数a 的值；（2）若直线y =b 与函数f(x)图象交于A,B 两点,A(x 1,f(x 1)), B(x 2,f(x 2)),且12x x <，A,B 两点的中点M 的横坐标为x 0,证明：x 0>1.22.（本小题满分12分）已知函数2()ln ,()xf x x x axg x e e =-+=-，其中0a >. （1）若a =1，证明：f(x)≤0；（2）用max{,}m n 表示m 和n 中的较大值，设函数()max{(),()}h x f x g x =，讨论函数()h x 在(0,)+∞上的零点的个数.江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高二数学（参考答案）1．B 2．D 3．B 4．B 5．B 6．D 7．A 8．A【解析】因为不等式有正整数解，所以0x >，于是1127kxx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3k x x ≥， 1x =显然不是不等式的解，当1x >时，ln 0x >，所以ln 3ln 3k x x ≥可变形为ln 3ln 3x x k ≥．令()ln xf x x=， 则()21ln xf x x-'=，∴函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，而23e <<， 所以当*x ∈N 时，()(){}max ln 3max 2,33f f f ==，故ln 33ln 33k≥，解得9k ≥．故选A ．9. ACD 10．BC 11．ABC 12．ABD【解析】当1a =时，()sin x f x e x =+，求出(),(0),(0)f x f f ''，得到()f x 在(0,(0))f 处的切线的点斜式方程，即可判断选项A ；求出()0,()0f x f x ''><的解，确定()f x 单调区间，进而求出()f x 极值点个数，以及极值范围，可判断选项B ；令()sin 0xf x e a x =+=，当0a ≠时，分离参数可得1sin x x a e -=，设sin (),(,)x xg x x eπ=∈-+∞，求出()g x 的极值最值，即可判断选项C ，D 的真假. 13．0.009 14．2 15．16．2a e≥【解析】由题意可知，不等式()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭变形为()()221ln 1ln ax ax e e x x +≥+. 设()()()1ln 0f t t t t =+>，则()()()()11ln 1ln ln 1f t t t t t t t'''=+++=++()()221111ln 1t t t f t t t t '-⎛⎫''=++=-= ⎪'⎝⎭'.当01t <<时()0f t ''<，即()f t '在()0,1上单调递减. 当1t >时()0f t ''>，即()f t '在()1,+∞上单调递增.则()f t '在()0,∞+上有且只有一个极值点1t =，该极值点就是()f t '的最小值点. 所以()()11ln11201f t f ''≥=++=>，即()f t 在()0,∞+上单调递增.若使得对任意0x >，恒有()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭成立. 则需对任意0x >，恒有()()2ax f e f x ≥成立.即对任意0x >，恒有2ax e x ≥成立，则2ln xa x≥在()0,∞+恒成立. 设()()()2ln ,0,xg x x x =∈+∞则()()()222ln 2ln 22ln x x x x x g x x x ''--'==. 当0x e <<时，()0g x '>，函数()g x 在()0,e 上单调递增 当x e >时，()0g x '<，函数()g x 在()0,e 上单调递减则()g x 在()0,∞+上有且只有一个极值点x e =，该极值点就是()g x 的最大值点. 所以()()max 2g x g e e==，即2a e ≥.17．【解析】（1）由题意，有5名男生，4名女生排成一排，共9人从中选出3人排成一排，共有39504A =种排法；（2）可用插空法求解，先排5名男生有55A 种方法，5个男生可形成6个空，将4个女生插入空中，有46A 种方法，故共有545643200A A =种方法. 18．【解析】（1）()2'323f x ax bx =+-.由题可得()'0f x =的根为-1和3，∴2133113b aa ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得131a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩.检验单调性符合. （2）由（1）得()32133f x x x x =--，()2'23f x x x =--， ∴()f x 在(),1-∞-和()3,+∞内单调递增；()f x 在()1,3-内单调递减.(需要列表) 又∵()7643f -=-，()513f -=，()39f =-，()2043f =-， ∴()()min 7643f x f =-=-；()()max 513f x f =-=. 19．【解析】（1）记事件A:乙答对2题,故所求的概率P(A)=C 32(23)2(13)=49.答：甲答对1题乙答对2题的概率为49. （2）m 的所有取值有1，2，3，m~H(3,4,6) P (m =1)=C 41C 22C 63=15，P (m =2)=C 42C 21C 63=35，P (m =3)=C 43C 63=15，5+2×35+3×15=2或E (m )=3×46=2. 由题意可知n ∼B (3,23)，P (n =1)=C 31(23)1(13)2=29，P (n =2)=C 32(23)2(13)=49，P (n =3)=C 33(23)3=827，9+2×49+3×827=2或E (n )=3×23=2. 答：甲、乙两位同学答对题目数m,n 的数学期望均为2.20．【解析】（1）因为2012()(2)n nn f x x a a x a x a x =+++++=L ，①令1x =，则0123n na a a a +++=+L ；②因为二项式(2)nx +展开式的通项为：12r n r r r n T C x -+=，又在012,,,,n a a a a L 中，唯一的最大的数是4a ，所以445544332222n n n n n n n n C C C C ----⎧>⎨>⎩，即45454543434322n n n nA A A A A A A A ⎧⨯>⎪⎪⎨⎪>⨯⎪⎩，解得1411n n <⎧⎨>⎩，即1114n <<， 又*n N ∈，所以12n =或13；（2）因为[]2012()(2)1(1)(1)(1)(1)nnnn f x x x b b x b x b x =+++=++++++=+L ，根据二项展开式的通项公式，可得，rr n b C =，所以1111!1(1)!1=11!()!1(1)!()!111n r r r n n n C C r r r n r n r n r n b r +++⋅=⋅=⋅=⋅++-++-++， 则()11231111112(1)12112111n n n n n n nr r n n b r C C C n n n +++=+++-+---=⋅++⋅⋅⋅+=+++=+∑. 21．【解析】（1）()2221a x x af x x x x-+'=-+=（0x >）. 因为0a <，所以180a ->，令f ′(x )=0得114x =，214x =， 且10x <，20x >，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上f ′(x )>0；在⎛ ⎝⎭上f ′(x )<0； 所以函数()f x在14x =时，取最小值0，又()10f =，所以114=，解得1a =-. （2）由（1）得1a =-，函数()2ln f x x x x =--，设f (x 1)=f (x 2)=b （b >0），则1201x x <<<，设()()()2h x f x f x =--（01x <≤）， 则()()()()()22ln 22ln 222ln ln 2h x x x x x x x x x x =----+-+-=--+-，()()2112222202222h x x x x x x x '=--=-≤-=--+-⎛⎫⎪⎝⎭， 所以()h x 为减函数，所以()()110h x h >=，即()()()11120h x f x f x =-->，所以()()112f x f x -<，即()()122f x f x -<， 又11<x ，所以121x ->，又当1x >时，()f x 为增函数， 所以122x x -<，即122x x +>.即x 0>1.22．【解析】（1）f ′(x )=1x −2x +1=−(x−1)(2x+1)x, x ∈(0,1),f ′(x )>0,f(x)增；x ∈(1,+∞),f ′(x )<0,f(x)减；∴f (x )≤f (1)=0. （2）在区间(1,)+∞上，()0>g x ，所以()max{(),()}()0h x f x g x g x =≥>， 所以()h x 在区间(1,)+∞上不可能有零点.下面只考虑区间(0,1)上和1x =处的情况.由题意()f x 的定义域为(0,)+∞，2121()2x ax f x x a x x-++'=-+=.令()00f x '=可得0x =（负值舍去）.在0(0,)x 上()0f x '>()f x 为增函数，在0(,)x +∞上()0f x '<，()f x 为减函数， 所以max 0()()f x f x =.①当1a =时，01x =，所以max ()(1)0f x f ==.因为在区间(0,1)上，()0<g x ，且(1)0g =，所以此时()h x 存在唯一的零点1x =.②当01a <<时，014a x +=<.因为()000120f x x a x '=-+=，所以0012a x x =-. 所以()222000000001ln (2)ln 1ln1110f x x x x x x x x =-+-=+-<+-=.于是()0f x <恒成立. 结合函数()g x 的性质，可知此时()h x 存在唯一的零点1x =.③当1a >时，01x =>，所以()f x 在(0,1)上递增.又因为(1)10f a =->，2221111111111ln 102242242224f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+<--+=---< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在区间(0,1)上存在唯一的零点1x x =.结合函数()g x 的性质，可知1x x =是()h x 唯一的零点. 综上所述：当01a <≤时，()h x 在(0,)+∞上有唯一的零点1x =； 当1a >时，()h x 在(0,)+∞上也有1个零点.。

扬大附中高二年级数学阶段检测一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）1.已知复数z 满足(34)12i z i -=-（i 是虚数单位），则其共轭复数在复平面位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【★答案★】C 【解析】 【分析】先求出z ，再求出其共轭复数，而后根据复数的几何意义作出判断即可. 【详解】(34)12i z i -=-，∴12(12)(34)34682134(34)(34)91655i i i i i z i i i i --+++-====-+--+--， 其共轭复数为：2155z i =--，在复平面内对应点的坐标为21(,)55--，在第三象限. 故选：C.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查共轭复数，考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题. 2.现有甲班,,A B C 三名学生，乙班,D E 两名学生，从这5名学生中选2名学生参加某项活动，则选取的2名学生来自于不同班级的概率是（ ） A.15B.310C.25D.35【★答案★】D 【解析】【详解】解：从这5名学生中选2名学生参加某项活动，基本事件总数n 25C ==10，抽到2名学生来自于同一班级包含的基本事件个数m 2232C C =+=4，∴抽到2名学生来自于不同班级的概率是P 4311105m n =-=-=． 故选D【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.已知一系列样本点(,)i i x y (1,2,3,i =…,)n 的回归直线方程为ˆ2,yx a =+若样本点(,1)r 与(1,)s 的残差相同，则有()A. r s =B. 2s r =C. 23s r =-+D. 21s r =+【★答案★】C 【解析】 【分析】分别求得两个残差，根据残差相同列方程，由此得出正确选项.【详解】样本点(,1)r 的残差为21r a +-，样本点(1,)s 的残差为2a s +-，依题意212r a a s +-=+-，故23s r =-+，所以选C.【点睛】本小题主要考查残差的计算，考查方程的思想，属于基础题.4.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则()12P ξ=等于()A. 101021235()()88C ⋅B. 99211353()()888C ⋅⋅C. 9921153()()88C ⋅D. 9921135()()88C ⋅【★答案★】B 【解析】由题意得:取到红球的概率38P =; 停止时共取了12次球,其中前11次红球出现9次,第12次为红球;由二项分布公式，所以()12P x ==92911353C 888⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=10291135C 88⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 本题选择D 选项.5.随机变量X 的取值为0，1，2，若()104P X ==，()1E X =，则()D X =（ ） A.32B.12C. 14D. 1【★答案★】B 【解析】 【分析】设(1)P X p ==，(2)P X q ==，则由1(0)4P X ==，()1E X =，列出方程组，求出p ，q ，由此能求出()D X ．详解】解：设(1)P X p ==，(2)P X q ==， 1()0214E X p q =⨯++=①，又114p q ++=，② 由①②得，12p =，14q =， 2221111()(01)(11)(21)4242D X ∴=-+-+-=，故选：B ．【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题． 6.若23455012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（ ） A.54B.58C.516D.532【★答案★】C 【解析】 【分析】根据551[(21)1]32x x =-+，再根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】因为551[(21)1]32x x =-+，所以二项式5[(21)1]x -+的展开式的通项公式为：55155(21)1(21)r r r r r r T C x C x --+=⋅-⋅=⋅-，令3r =，所以2235(21)T C x =⋅-，因此有32255111545323232216C C a ⨯=⋅=⋅=⨯=. 故选：C【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式通项公式的应用，考查了数学运算能力7.某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管，其口径误差（单位：微米）服从正态分布()21,3N ，从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间()4,7内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.27%P μσξμσ-<<+=，()2295.45%P μσξμσ-<<+=）A. 31.74%B. 27.18%C. 13.59%D. 4.56%【★答案★】C 【解析】【分析】根据已知可得1,3,2,4,25,27μσμσμσμσμσ==-=-+=-=-+=，结合正态分布的对称性，即可求解. 【详解】()()()14757242P P P ξξξ<<=-<<--<<⎡⎤⎣⎦ ()10.95450.68270.13592=⨯-=. 故选：C【点睛】本题考查正态分布中两个量μ和σ的应用，以及正态分布的对称性，属于基础题.8.若函数()sin 2f x x a x =+在0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A. 1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. [1,)-+∞C. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【★答案★】C 【解析】 【分析】求出导函数'()12cos 2f x a x =+，则题意说明不等式'()0f x ≥在[0,)4π上恒成立，注意到此时0cos21x <≤，因此不等式可变形为12cos 2a x -≥，从而只要再求得1cos 2x-的最大值即可求得a 的范围．【详解】解：根据题意，函数()sin 2f x x a x =+，其导数'()12cos 2f x a x =+， 若函数()sin 2f x x a x =+在[0,)4π上单调递增，则'()12cos 20f x a x =+≥在[0,)4π上恒成立，又由x [0,)4π∈，则有0cos21x <≤，则'()12cos 20f x a x =+≥⇒12cos 2a x-≥，又由0cos21x <≤，则11cos 2x -≤-，即1cos 2x-有最大值-1，若'()12cos 20f x a x =+≥在[0,)4π上恒成立，则12a ≥-，即a 的取值范围为1[,)2-+∞，故选C ．【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，解决不等式恒成立求参数取值范围这类问题的常用方法是分离参数法，转化为求函数的最值．二、多选题：(本大题共4小题，每小题5分，共计20分) 9.复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. |z |5=B. z 的共轭复数为3122i + C. z 的实部与虚部之和为2 D. z 在复平面内的对应点位于第一象限【★答案★】CD 【解析】 【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得. 【详解】由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得221310||()()222z =+=，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面. 10.下列说法正确的是( )A. 在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B. 在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好C. 线性回归方程对应的直线ˆˆˆybx a =+至少经过其样本数据点中的一个点 D. 在回归分析中，相关指数2R 越大，模拟的效果越好 【★答案★】ABD 【解析】 【分析】利用独立性检验和线性回归的相关知识逐一判断即可.【详解】对于A ，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确； 对于B ，残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好，正确；对于C ，线性回归方程对应的直线ˆˆˆybx a =+过样本中心点，不一定过样本数据中的点， 故C 错误；对于D ，回归分析中，相关指数R 2越大，其模拟的效果就越好，正确. 故选：ABD【点睛】本题考查的是独立性检验和线性回归，考查了学生对基本概念的掌握情况，属于基础题. 11.给出下列命题，其中正确的命题有( ) A. 若a R ∈，则()1a i +是纯虚数 B. 随机变量()2~3,2X N ，若23X η=+，则()1D η=C. 公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有510种D. 回归方程为0.8585.71y x =-中，变量y 与x 具有正的线性相关关系 【★答案★】BD 【解析】 【分析】对于A ，当1a =-时，()10a i +=是实数，对于B ，()()114D D X η==，对于C ，乘客下车的可能方式有105种，对于D ，由ˆ0.850b=>可得D 正确. 【详解】对于A ，当1a =-时，()10a i +=是实数，故A 错； 对于B ，23X η=+∴1322X η=-可得()()14D D X η= 又()4D X =，∴()()114D D X η==，故B 正确；对于C ，汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有105种，故C 错误；对于D ，回归方程为0.8585.71y x =-，由ˆ0.850b=>，可得变量y 与x 具有正的线性相关关系，故D 正确； 综上所述正确的是：BD【点睛】本题考查了复数的概率、正态分布的方差、分步乘法计数原理和线性回归，属于基础题.12.设函数()ln xe f x x=，则下列说法正确的是（ ）A. ()f x 定义域（0，+∞）B. x ∈（0，1）时，()f x 图象位于x 轴下方C. ()f x 存在单调递增区间D. ()f x 有且仅有两个极值点【★答案★】BC 【解析】 【分析】 根据0ln 0x x >⎧⎨≠⎩可得定义域，即可判断A ；通过当()0,1x ∈时，()0f x <可判断B ；【详解】由题意函数()ln xe f x x =满足0ln 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠，所以函数()ln xe f x x =的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，所以A 不正确；由()ln xe f x x=，当(0,1)x ∈时，ln 0x <，∴()0f x <，所以()f x 在(0,1)上的图象都在轴的下方，所以B 正确；∵()()21ln ln x e x x f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=，设()1ln g x x x=-，()211.(0)g x x x x '=+> 所以()0g x '>，函数()g x 单调增，()110g e e =->，()22120g e e=->， 所以()0f x '>在定义域上有解，所以函数()f x 存在单调递增区间，所以C 是正确的；则函数()0f x '=只有一个根0x ，使得0()0f x '=，当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，函数单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D 不正确； 故选：BC .【点睛】本题主要考考查了求函数的定义域以及符号，利用导数研究函数的性质，属于中档题. 三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.已知复数1z ，2z 满足12121z z z z ==+=，则12z z -=__________． 【★答案★】3 【解析】分析：根据复数的模都为1，可求得a b 、 及、c d 间的关系，根据方程，得221ab cd +=-；表示出2222122z z a b c d ab acd -=+++--，代入即可求值．详解：设12,z a bi z c di =+=+因为12121z z z z ==+= 所以()()222222111a b c d a b c d +=+=+++=即()()222222111a b c d a b c d +=+=+++=化简得221ab cd +=-()()12z z a bi c di -=+-+()()22a cb d =-+-222222a b c d ab cd =+++--3=点睛：本题主要考查了复数模的定义及其相关运算，运算过程中注意熟练运用解题的技巧，属于基础题．14.一盒子装有只产品，其中有只一等品，只二等品．从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样．设事件为“第一次取到的是一等品”，事件为“第二次取到的是一等品”，则条件概率 ．【★答案★】【解析】 试题分析：表示在第一次取出的是一等品的情况下，第二次取出的是一等品的概率．第一取出一等品的概率为，然后还有个一等品和个二等品，所以第二次取出的是一等品的概率为，则条件概率为.考点：条件概率.【易错点睛】本题主要考查的是条件概率的计算，要熟记相关概念即计算公式．条件概率为事件发生的前提下在发生事件的概率，用公式可表示为，容易与且事件的概率计算混淆，且事件概率为事件的概率与事件的概率直接相乘.15.若6260126(21)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++⋅⋅⋅++，则012345623456a a a a a a a ++++++=________.【★答案★】13 【解析】 【分析】由导函数的应用得：设6()(21)f x x =+，260126()(1)(1)(1)g x a a x a x a x =+++++⋯++，所以5()12(21)f x x '=+，5126()2(1)6(1)g x a a x a x '=+++⋯++，又()()f x g x =，所以()()f x g x '='，即5512612(21)2(1)6(1)x a a x a x +=+++⋯++，由二项式定理：令0x =得：12345623456a a a a a a +++++，再由(0)(0)g f =，求出0a ，从而得到012345623456a a a a a a a ++++++的值；【详解】解：设6()(21)f x x =+，260126()(1)(1)(1)g x a a x a x a x =+++++⋯++， 所以5()12(21)f x x '=+，5126()2(1)6(1)g x a a x a x '=+++⋯++， 又()()f x g x =，所以()()f x g x '='， 即5512612(21)2(1)6(1)x a a x a x +=+++⋯++， 取0x =得：1234562345612a a a a a a +++++=， 又(0)(0)g f =， 所以01a =，故01234562345611213a a a a a a a ++++++=+=， 故★答案★为：13【点睛】本题考查了导函数的应用、二项式定理，属于中档题 16.若函数()()23ln f x x a x x =+++在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围为________. 【★答案★】15(,6]2-- 【解析】 【分析】求导得到()()1'230f x x a x =+++=，123a x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，设()123g x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据单调性得到★答案★.【详解】()()23ln f x x a x x =+++，则()()1'230f x x a x =+++=，即123a x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，设()123g x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，则函数在12,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭上单调递减. 162g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1522g =-， 函数在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一的极值点，故15,62a ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦.故★答案★为：15,62⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了极值点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 四、解答题：（本大题共6小题，共计70分）17.已知复数z 满足|z |5=，z 的实部、虚部均为整数，且z 在复平面内对应的点位于第四象限. （1）求复数z ；（2）若()22m m n i z --=，求实数m ，n 的值. 【★答案★】(1) 12z i =-或2i z =-. (2) 3m =±，5n =. 【解析】 【分析】（1）利用已知条件，设出复数z ，通过225(,)a b a b +=∈Z 及所对点所在位置求出即可复数z ； （2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m ，n 的值【详解】（1）设(,)z a bi a b =+∈Z ，则225(,)a b a b +=∈Z ， 因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a >，0b <， 所以12a b =⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=-⎩，所以12z i =-或2i z =-.（2）由（1）知12z i =-或2i z =-，当12z i =-时，234z i =--；当2i z =-时234z i =-.因为()22m m n i z --=，所以234m m n =±⎧⎨-=⎩，解得3m =±，5n =.【点睛】本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题 18.已知8件不同的产品中有3件次品，现对它们一一进行测试，直至找到所有次品．(1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第6次测试时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？(2)若至多测试5次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试方法？ 【★答案★】（1）840；（2）936. 【解析】 【分析】（1）若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第6次才找到最后一件次品，则第2次，第6次，与第3至第5次选出1次，在这三个位置进行次品全排列，剩下的三个位置再对正品进行全排列，即可得★答案★.；（2）分检测3次可测出3件次品，检测4次可测出3件次品，检测5次测出3件次品，对检测5次时再分为两类：一类是恰好第5次测到次品，一类是前5次测到都是正品，即可得★答案★. 【详解】（1）若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第6次才找到最后一件次品，则第2次，第6次，与第3至第5次选出1次，在这三个位置进行次品全排列，剩下的三个位置再对正品进行全排列，所以共有：1333351080N C A A =⋅⋅=．（2）检测3次可测出3件次品，不同的测试方法有336A =种，检测4次可测出3件次品，不同的测试方法有13253390C A A =种；检测5次测出3件次品，分为两类：一类是恰好第5次测到次品，一类是前5次测到都是正品，不同的测试方法共有52353245840C A A A +=种．∴满足条件的不同测试方法的种数为690840936++=．【点睛】本题考查分步计数问题，考查排列组合的实际应用，考查用排列组合数表示方法数，是中档题．19.随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走人大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷，某公司随机抽取1000人对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的1000人中的性别以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：男女总计认为共享产品对生活有益 400 b n认为共享产品对生活无益 c200300 总计 500m1000（1）求出表格中c b m n,,,的值，并根据表中的数据，判断能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系？（2）现按照分层抽样从认为共享产品对生活无益的人员中随机抽取6人，再从6人中随机抽取2人赠送超市购物券作为答谢，求恰有1人是女性的概率.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.()20P K k ≥ 0.100 0.0500.010 0.001 0k2.7063.8416.63510.828【★答案★】（1）100300500700c b m n ====,,,；能（2）815【解析】 【分析】（1）由总数为1000，可求m ，n ，进而分别求出b ，c ，利用题目所给公式计算出2K ，与表格中数据进行对比，得出检验结果；（2）由分层抽样的结果知道抽出的6人中，4名女性，2名男性，则可将其全部列举出来最后求得相应概率.【详解】解：（1）依题意，100300500700c b m n ====，，，. 在本次的实验中，2K的观测值2K21000(400200300100)47.61910.828700300500500⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.∴在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系；（2）依题意，应该从认为共享产品对生活无益的女性中抽取4人，记为A B C D ，，，，从认为共享产品对生活无益的男性中抽取2人，记为a ，b . 从以上6人中随机抽取2人，所有的情况为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A C A D A a A b B C B D (),B a ，(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)B b C D C a C b D a D b a b ，共15种，其中满足条件的为(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A a A b B a B b C a C b D a D b 共8种情况，故所求概率815P =； 【点睛】本题考查了学生运用表格求相应统计数据的能力，会运用独立性检验处理实际问题中的关联性问题，考查了分层抽样结果，以及求简单随机事件的概率，可以列举法处理，属于中档题. 20.“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号，某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(),(1,2,3,4,5,6)i i x y i =，如表所示： 试销单价x （元） 4 5 6 7 8 9 产品销量y （件） 90 8483807568（1）已知变量x ，y 具有线性相关关系，求产品销量y （件）关于试销单价x （元）的线性回归方程ˆˆy bxa =+； （2）用ˆi y表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的产品销量的估计值.当销售数据(),i i x y 对应的残差的绝对值ˆ1i i yy -≤时，则将销售数据(),i i x y 称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数ξ的分布列和数学期望()E ξ.（参考公式：1221ˆˆ,ni ii nii x y nxyba y bx xnx ==-==--∑∑；参考数据：662113050;271i i ii i x y x ====∑∑） 【★答案★】（1）ˆ4106y x =-+；（2）分布列见解析，32. 【解析】 【分析】（1）根据公式直接计算即可；（2）利用（1）中所求的线性回归方程求出对应的估计值，然后得出“好数据”的个数，然后可得ξ的所有可能取值，然后求出对应的概率，然后即可得到分布列和算出期望.【详解】（1）因为611806i i y y ===∑，611 6.56i i x x ===∑所以()61622130506 6.580704271253.517.5ˆi i i i i x y nxybx n x ==--⨯⨯===-=---∑∑，ˆˆ804 6.5106ay bx =-=+⨯=，所以所求的线性回归方程为ˆ4106y x =-+. （2）利用（1）中所求的线性回归方程ˆ4106yx =-+可得，当14x =时，1ˆ90y =； 当25x =时，2ˆ86y=；当36x =时，3ˆ82y =；当47x =时，4ˆ78y =； 当58x =时，5ˆ74y=；当69x =时，6ˆ70y =. 与销售数据对比可知满足ˆ1i i y y -≤（i =1,2，…，6）的共有3个“好数据”：()4,90、()6,83、()8,75.于是ξ的所有可能取值为0，1，2，3.()33361020C P C ξ===；()1233369120C C P C ξ===； ()2133369220C C P C ξ===；()33361320C P C ξ===，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P120 920 920 120于是()199130123202020202E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了线性回归和离散型随机变量的分布列和期望，考查了学生的计算能力，属于基础题.21.已知函数*()(1),nf x x n N =+∈. （1）当8n =时，求展开式中系数的最大项；（2）化简01122312222n n n n n n n n C C C C ----++++；（3）定义：121nin i aa a a ==+++∑，化简：1(1)nin i i C =+∑.【★答案★】（1）470x ；（2）32n ；（3）()1221n n -+-【解析】 【分析】（1）根据题意展开式中系数的最大项就是二项式系数最大的项，8n =，中间项为第5项，其系数最大（2）根据()()0122111nn n n nn n n n n f x x C C x C x C x C x --=+=++++，令2x =，即可求值(3)原式添加0n C ，利用倒序相加，化简即可. 【详解】（1）()()81f x x =+∴系数最大的项即为二项式系数最大的项4445870T C x x ==（2）()()0122111nn n n nn n n n n f x x C C x C x C x C x --=+=++++∴原式()()01122113222212222n nn n n n n n n nC C C C --=++++=+= （3）()11ni ni i C=+∑ ()121231n n n n n n C C nC n C -=++++ ①()11nini i C=+∑ ()121132nn n nn n n C nC C C -=++++ ②在①、②添加0n C ，则得 1+()11nini i C=+∑ ()0121231n n n n n n n C C C nC n C -=+++++ ③1+()11nini i C=+∑ ()12101321nn n nn n n n C nC C C C -=+++++ ④③+④得： 2（1+()11nini i C=+∑）()()()0121222n n n n n n n n n C C C C C n -=++++++=+∴ ()11ni n i i C =+∑=()1221n n -+-【点睛】本题主要考查了二项式定理，二项式系数，倒序相加法，赋值法，属于中档题. 22.已知函数()ln f x x ax a =-+，()2xg x xe x =-.（1）若3x =是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （2）求函数()y f x =的单调区间；（3）已知1a =，当()0,x ∈+∞，试比较()f x 与()g x 的大小，并给予证明. 【★答案★】（1）2320x y --=；（2）详见解析；（3）()()f x g x ≤，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据极值点定义可构造方程求得a ，根据导数几何意义可求得结果；（2）分别在0a ≤和0a >两种情况下，根据导函数的正负得到原函数的单调区间； （3）令()()()F x g x f x =-，可求得()()11xx F x xe x+'=-；令()()10x h x xe x =->，利用导数和零点存在定理可确定()h x ，即()F x '的正负，从而得到()F x 的单调性和最值，通过最值可知()0F x ≥，进而得到大小关系.【详解】（1）由题意得：()1f x a x'=-， 3x =是()f x 的极值点，()1303f a '∴=-=，解得：13a =()121133f '∴=-=，又()10f =，∴所求切线方程为()2013y x -=-，即2320x y --=.（2）由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()()110axf x a x x x-'=-=>，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x ∴的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当0a >时，令()0f x '=，解得：1x a=， ∴当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；()f x ∴的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （3）令()()()()ln 10xF x g x f x xe x x x =-=--->，则()()1111xxxx F x xe e xe x x+'=+--=-， 令()()10xh x xe x =->，则()()10xh x x e '=+>，∴函数()h x 在()0,∞+上单调递增，又()00h <，()10h >，()h x ∴存在唯一零点()0,1c ∈，使得()0h c =∴当()0,x c ∈时，()0h x <；当(),x c ∈+∞时，()0h x >； ∴当()0,x c ∈时，()0F x '<；当(),x c ∈+∞时，()0F x '>；∴函数()F x 在()0,c 上单调递减，在(),c +∞上单调递增，()()ln 1c F x F c ce c c ∴≥=---，又()10ch c ce =-=，即1c ce =，ln 0c c ∴+=，()()0F x F c ∴≥=，()()f x g x ∴≤在()0,∞+上恒成立.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据极值求解参数值、求解曲线在某一点处的切线方程、讨论含参数函数的单调性、比较函数大小关系的问题；比较函数大小关系的关键是能够通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。