江苏省扬州市扬州中学 2019-2020学年高二 数学月考卷(无答案)

江苏省扬州中学2019—2020学年度第一学期月考高二数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，计60分．每小题所给的A .B .C .D .四个结论中，只有一个是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.1.抛物线22x y =-的焦点坐标为（ ） A. 1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D. 10,2⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线方程，直接求焦点坐标. 【详解】22x y =-的焦点在y 轴，焦点纵坐标是2142-=-， 所以焦点坐标为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选D.【点睛】本题考查已知抛物线方程求焦点坐标，意在考查基础知识的掌握情况，属于简单题型. 2.m=-是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m-2)y-3=0相互垂直”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】A 【解析】 略3.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆23x ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC 的周长是( ) A. 23B. 6C. 43D. 12【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆定义，椭圆上的点到两焦点距离之和为长轴长即可得解. 【详解】设另一焦点为F ，由题F 在BC 边上，所以ABC ∆的周长l AB BC CA AB BF CF CA =++=+++==故选：C【点睛】此题考查椭圆的几何意义，椭圆上的点到两焦点距离之和为定值，求解中要多观察图形的几何特征，将所求问题进行转化，简化计算.4.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A. y =B. y =C. 2y x =±D. y x = 【答案】A 【解析】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：2222221312,c b c a b e e a a a a-==∴==-=-=∴=Q因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，选A. 点睛：已知双曲线方程22221(,0)x y a b a b-=>求渐近线方程：22220x y by x a b a -=⇒=±.5.若抛物线()220y px p =>的准线是椭圆2231x y pp+=的一条准线，则p =（ ）A. 12B. 16C. 18D. 24【答案】C 【解析】【分析】首先求抛物线和椭圆的准线方程，然后列等式求p . 【详解】23a p =，2b p =，22c p ∴=椭圆的右准线方程是2a x c == 抛物线的准线方程是2p x =， Q 两个曲线的准线方程相同，2p ∴=18p =. 故选C.【点睛】本题考查抛物线和椭圆的标准方程和几何性质，意在考查基础知识的理解和计算能力，属于简单题型.6.函数()2x af x +=在区间()1,+∞内单调递增的一个充分不必要条件是（ ）A. 2a ≥-B. 2a >-C. 1a ≥-D. 1a >-【答案】D 【解析】 【分析】首先求满足条件的充要条件，再求其真子集，就是满足条件的一个充分不必要条件. 【详解】函数()2x af x +=的单调递增区间是[),a -+∞，若函数()2x af x +=在区间()1,+∞单调递增，1a ∴-≤，即1a ≥-那么满足条件的一个充分不必要条件需是[)1,-+∞的真子集， 只有1a >-满足条件， 故选D.【点睛】本题考查复合函数给定区间的单调性，求参数取值范围，以及充分必要条件，复合函数单调性的判断方法，将函数分解为内层函数和外层函数，内层函数与外层函数的单调性一致，函数是单调递增，若相反，函数是单调递减.7.椭圆221x ky +=，则k 的值为（ ）A. 2B. 2或23C.23D. 1或23【答案】B 【解析】 【分析】首先将方程化为椭圆的标准方程，分情况讨论焦点的位置，然后根据222c a b =-求k 的值.【详解】椭圆化标准方程：2211y x k+=，2122c c =⇒= 当焦点在x 轴时，21a =，21b k =，那么21112c k =-= 2k ∴=；当焦点在y 轴时，21a k =，21b =，那么21112c k =-=， 23k ∴=， 2k ∴=或23.故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和简单的几何性质，本题易错点是忽略椭圆焦点的位置，造成丢解情况，属于基础题型.8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为A. 22139x y -=B. 22193x y -=C. 221412x y -=D. 221124x y -=【答案】A 【解析】【详解】分析：由题意首先求得A ,B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后利用离心率求解a 的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为(),0F c ，c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±， 不妨设：22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22220x y a bλλ-=≠，再由条件求出λ的值即可.9.设抛物线C ，y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅u u u u r u u u r = A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】D 【解析】 【分析】的首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点(1,2),(4,4)M N ，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得(0,2),(3,4)FM FN ==u u u u v u u u v，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.【详解】根据题意，过点（–2，0）且斜率为23的直线方程为2(2)3y x =+， 与抛物线方程联立22(2)34y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消元整理得：y y -+=2680，解得(1,2),(4,4)M N ，又(1,0)F ， 所以(0,2),(3,4)FM FN ==u u u u v u u u v，从而可以求得03248FM FN ⋅=⨯+⨯=u u u u v u u u v，故选D.【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出(1,2),(4,4)M N ，之后借助于抛物线的方程求得(1,0)F ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M 、N 的坐标，应用韦达定理得到结果.10.过双曲线x 2－22y=1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |=4，则这样的直线l 有A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】C 【解析】F AB x ⊥轴时，2),4;A B AB -∴=故选C11.已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方.若线段PF 的中点在以原点为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率为（ ）A. 4B.C.D. 【答案】B【解析】 【分析】如图，设PF 的中点M ，连接'PF ，'MF ，因为'FF 是圆的直径，所以'MF MF ⊥，并且M 是PF 的中点，所以'PFF ∆是等腰三角形，因为'MF MF ⊥，所以'PF MF k MF=求解.【详解】229,5a b == ，24c ∴= 设PF 的中点M ，右焦点'F ，因为'FF 是圆的直径，所以'MF MF ⊥，'90FMF ∴∠=o ，又因为点M 是PF 的中点，''4PF FF ∴== ,2'642PF a PF =-=-=， 1MF ∴=,'Rt FMF ∆中，'MF =='tan 'MF MFF MF∴∠==则直线PF 故选B.【点睛】本题考查椭圆方程和椭圆几何性质，意在考查数形结合分析，解决问题的能力，本题的关键是根据条件判断出''4PF FF ==，问题迎刃而解.12.设直线()300x y m m -+=≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点AB .若点(),0P m 满足PA PB =，则该双曲线的离心率是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】首先根据条件判断点P 在线段AB 的垂直平分线上，设出直线AB 的中垂线方程，然后直线AB 方程分别和双曲线的渐近线方程联立，求得点,A B 的坐标，利用中点M 在直线PM 上，求解,a b 的关系和离心率. 【详解】由于PA PB =，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上， 设M 是AB 的中点，则直线的斜率为-3， 即直线PM 的方程为()3y x m =--，联立30x y m b y x a -+=⎧⎪⎨=⎪⎩ 和30x y m by x a -+=⎧⎪⎨=-⎪⎩， 求得两个交点的坐标分别为,33ma mb A a b a b ⎛⎫-⎪++⎝⎭ ，,33mamb B b a b a ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 则3333,22ma ma mb mb a b b a a b b a M ⎛⎫-++ ⎪+-+- ⎪ ⎪⎝⎭，代入直线PM 的方程()3y x m =-- ，3333322mb mb ma ma a b b a a b b a m -⎛⎫++⎪+-+-=-- ⎪⎪⎝⎭()()()()()33323232323ma mb mb ma m a b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫-⇒+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++--⎝⎭⎝⎭， 33633b a b aa b b a-+⇒+=+- ， ()()()()()()2233336334b a b a b a a b a b b a a b ⇒--+++=+-⇒=即()222244a b c a==- ，即c e a ==. 故选A.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，考查学生的转化和计算能力，属于中档题型，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卷相应位置．13.命题“0x ∃>，sin cos 1x x +>”的否定是________． 【答案】0x ∀>，sin cos 1x x +≤ 【解析】 【分析】特称命题的否定是存在量词改成全称量词，结论否定.【详解】命题“0x ∃>，sin cos 1x x +>”的否定是“0x ∀>，sin cos 1x x +≤” 故填：0x ∀>，sin cos 1x x +≤.【点睛】本题考查特称命题的否定，属于简单题型.14.P 为双曲线1C ：22145x y -=上一点，F 为双曲线的右焦点，且4PF =，则点P 到双曲线左准线的距离为_________. 【答案】163【解析】 【分析】首先求点P 到左焦点的距离，再根据双曲线的第二定义求点P 到左准线的距离. 【详解】24a = ，25b = ，29c ∴=设椭圆的左焦点为1F ，11444PF PF PF -=⇒-=， 解得18PF =，设点P 到双曲线左准线的距离为d ， 那么1832PF c d a d =⇒=, 163d ∴=. 故填：163.【点睛】本题考查了双曲线的两个定义，意在考查转化和计算能力，属于简单题型.15.分别过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点1F 、2F 作两条互相垂直的直线1l 、2l ，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是________．【答案】0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据条件可知以12F F 为直径的圆在椭圆的内部，可得b c >，再根据222b a c =-，即可求得离心率e 的取值范围.【详解】根据条件可知12l l ⊥ ，以12F F 为直径的圆与椭圆没有交点，即b c >22222b c a c c ∴>⇒->，即2222122c a c a >⇒<，02c a ∴<<，即02e <<.故填：0,2⎛ ⎝⎭.【点睛】本题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.16.过抛物线2y x =上且在第一象限内的一点2(,)M m m 作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线另外交于A ，B 两点，若直线AB 的斜率为k ，则k m -的最大值为__________．【答案】 【解析】【详解】由题意，设22(,),(,)A a a B b b ，则220m a m b m a m b --+=--，即110m a m b+=++， 所以2a b m +=-， 又221a b k a b a b-==-+，所以12k m m m -=--≤-= 点睛：本题考查了抛物线的性质，直线的斜率公式和基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，其中正确推算k m -的表达式和运用基本不等式是解答的关键．三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知双曲线C 1：24x -212y =1． （1）若点M （3，t ）在双曲线C 1上，求M 点到双曲线C 1右焦点的距离；（2）求与双曲线C 1有共同渐近线，且过点（-3，）的双曲线C 2的标准方程．【答案】（1）4（2）x 2-23y =1 【解析】【分析】（1）由题得t 2=12（94-1）=15，再利用两点间的距离公式求得M 点到双曲线C 1右焦点的距离；（2）设双曲线C 2的方程为24x -212y =m （m ≠0，m ≠1），代入点（-3，），即得m 的值和双曲线的标准方程.【详解】解：（1）双曲线C 1：24x -212y =1的右焦点为（4，0），点M （3，t ）在双曲线C 1上，可得t 2=12（94-1）=15， 则M 点到双曲线C 1=4；（2）与双曲线C 1有共同渐近线，可设双曲线C 2的方程为24x -212y =m （m ≠0，m ≠1），代入点（-3，），可得m =94-2412=14， 则双曲线C 2的标准方程为x 2-23y =1． 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查共渐近线的双曲线的标准方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.已知函数()24sin 214πf x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，且给定条件p ：“42ππx ≤≤”.（1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若又给条件q ：“()2f x m -<”，且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()max 5f x =，()min 3f x =；（2）35m << 【解析】 【分析】（1）首先根据降幂公式化简24sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭，再根据辅助角公式化简函数()f x ，最后根据函数的定义域求函数的最值；（2）先解不等式得()f x 取值范围，再因为p 是q 的充分条件，得值域之间包含关系，解得m 的取值范围..【详解】（1）()1cos 224212x f x x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⨯--，2sin 2214sin 213x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，42x ππ≤≤Q∴22633x πππ≤-≤， 1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤∴-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴ ()[]3,5f x ∈()max 5f x =，()min 3f x =.（2）()22m f x m -<<+，Q p 是q充分条件，[]()3,52,2m m ∴⊆-+2325m m -<⎧⎨+>⎩，得35m <<. 【点睛】本题考查三角函数的化简和性质，以及与充分条件结合的子集问题求参数取值范围，意在考查转化和变形，计算求解能力，本题的第二问的关键是根据p 是q 的充分条件转化为()f x 取值范围的包含关系.19.椭圆C ：(222212x y m m m+=>，直线l 过点()1,1P ，交椭圆于A 、B 两点，且P 为AB 的中点. （1）求直线l 的方程；（2）若AB OP =，求m 的值.【答案】（1）230x y +-=；（2. 【解析】 【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法求直线的斜率；（2）根据（1）的结果，联立方程，求弦长AB ，的解得m 的值.【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y2211222222221212x y m m x y m m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，两式相减可得()()()()121212122202x x x x y y y y m m +-+-+= ，12122,2x x y y +=+=Q ， 代入可得121212y y x x -=--， ∴直线l 的方程是()1112y x -=-- ， 即230x y +-=. （2）OP =联立22223022x y x y m+-=⎧⎨+=⎩ 得22612920y y m -+-= ，21212922,6m y y y y -+==，AB ===，解得m .【点睛】本题考查了中点弦的解决方法——点差法，以及弦长公式，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，中点坐标，弦长公式都是解题的基本工具.20.双曲线C ：22145x y -=的左右两个焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线上一动点，且在第一象限内，已知12PF F ∆的重心为G ，内心为I .（1）若1260F PF ∠=o，求12PF F ∆的面积；（2）若12IG F F P ，求点P 的坐标. 【答案】（1）；（2）(P . 【解析】 【分析】（1）设1PF m =，2PF n = ,根据双曲线的定义和余弦定理，求解mn ,最后代入面积公式；（2）设()()0000,0,0P x y x y >>，根据条件可知点,I G 的纵坐标相等，根据()1212012121122PF F S F F y PF PF F F r ∆=⋅=++⋅求点I 的纵坐标r ，以及03G y y =，再结合双曲线的定义，求得24PF =，得到关于()00,x y 的方程求解. 【详解】（1）设1PF m =，2PF n =22244362cos60m n c m n mn -=⎧⎨==+-⋅⎩o ，解得20mn =，121sin 602PF F S mn ∆∴=⋅=o （2）设()()0000,0,0P x y x y >>，则00,33x y G ⎛⎫ ⎪⎝⎭.设12PF F ∆的内切圆半径为r ，则 ()1212012121122PF F S F F y PF PF F F r ∆=⋅=++⋅， 于是()012112222c y PF PF c r ⋅=++⋅，01222cy r PF PF c =++.由12IG F F P 知，0012223cy y PF PF c =++，即12412PF PF c +==. 又1224PF PF a -==，可得24PF =.因此，()22002200316145x y x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩， 又点P 在第一象限，解得04x =，0y =（舍负），故(P .【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，主要涉及长度和坐标的求解，本题的第二问有点I 的纵坐标的求解，或是求三角形内切圆的半径时，都可根据面积公式()1212012121122PF F S F F y PF PF F F r ∆=⋅=++⋅求解. 21.已知动点M 到定点(1,0)F 的距离比M 到定直线2x =-的距离小1. （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线12l l 和，分别交曲线C 于点,A B 和,K N ．设线段AB ，KN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点. 【答案】(1) 24y x = (2) 见解析 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）先借助抛物线定义确定曲线的形状是抛物线，再确定参数2p =，进而求出标准方程；（Ⅱ）先依据（Ⅰ）的结论分别建立12,l l 两条互相垂直的直线的方程，再分别与抛物线联立方程组，求出弦中点为,P Q 的坐标，最后借助斜率的变化确定直线PQ 经过定点.解：（Ⅰ）由题意可知：动点M 到定点()1,0F 的距离等于M 到定直线1x =-的距离.根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹C 是抛物线.∵2p =，∴抛物线方程为：24y x =（Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭.由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠.由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得()2222240k x k x k -++=. ()24224416160k k k ∆=+-=+>.因为直线1l 与曲线C 于,A B 两点，所以()1212122442,2x x y y k x x k k+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为()212,2k k +-.当1k ≠±时，有222112k k+≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()222121k y k x k k+=---，整理得()230yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点()3,0E ；当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0E . 综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0E .22.F 为椭圆1C ：22143x y +=的右焦点，直线l 为其右准线，圆2C ：223x y +=，A 、B 为椭圆C 上不同的两点，AB 中点为M .（1）若直线AB 过F 点，直线OM 交l 于N 点，判断直线NF 与AB 是否垂直？ （2）若直线AB 与圆2C 相切，求原点O 到AB 中垂线的最大距离. 【答案】（1）NF AB ⊥；（2）14. 【解析】 【分析】（1）首先设直线AB ：1x my =+ 与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并得到AB 中点M 的坐标和点N 的坐标，求直线NF 的斜率，判断是否垂直；（2）首先设直线AB ：x my n =+，根据直线与圆相切得,m n 关系，再联立AB 方程与椭圆方程，结合根与系数的关系求得AB 中垂线的方程，最后代入原点到直线的距离，根据基本不等式求最值.【详解】（1）由题意，AB 的斜率不为0，故设AB ：1x my =+，与22143x y +=联立，得()2234690m y my ++-=，2243,3434m M m m ⎛⎫-⎪++⎝⎭，OM ：34y mx =-， ∴()4,3N m -，又()1,0F ，∴NF k m =-，当0m ≠时，∵11,NF AB k k m m⋅=-⋅=- ∴NF AB ⊥；当0m =时，显然NF AB ⊥.综上，NF AB ⊥.（2）2C ：223x y +=，设AB ：x my n =+，与圆2C=.与22143x y +=联立，得()2223463120m y mny n +++-=，2243,3434n mn M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， AB 中垂线方程：22343434mn n y m x m m ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，即2034mn mx y m +-=+， O到其距离2143mnd m m===≤=+，当43m m =，即3m =±时取等号.综上，原点O 到AB 中垂线的最大距离为14. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中最值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，中点坐标，弦长公式都是解题的基本工具.。

江苏省扬州中学2019——2020学年度第一学期期中考试高 二 数 学（试题满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，计60分．每小题所给的A .B .C .D .四个结论中，只有一个是正确的。

)1.命题“∃x ∈Z ，使x 2+2x+m≤0”的否定是（ ）A ．∀x ∈Z ，都有x 2+2x+m≤0B ．∃x ∈Z ，使x 2+2x+m ＞0C ．∀x ∈Z ，都有x 2+2x+m ＞0D ．不存在x ∈Z ，使x 2+2x+m ＞011−的等比中项是（ ）A.B.1C.-1D. 1±3. “01m <<”是“方程2212x y m m+=−表示椭圆”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.双曲线221412x y −=的焦点到渐近线的距离为（ ）A． B ．2 CD ．15.已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，则9S 等于（ ）A ．8−B ．6−C ．10D ．06.双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A ．38B ． 316C ．163D ．837.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则“{a n }是等差数列”是“{}nS n是等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，S n ，T n 分别是它们的前n 项和，并且733n n S n T n +=+，则223817b +b a a +=( )A.176 B. 134 C. 193 D. 136 9.过104（，）的直线与抛物线2y x =交于A ，B 两点，若||4AB =，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于（ ）A.74B.94C.4D.2 10.已知数列{}n a ，如果1a ，21a a −，32a a −，……，1n n a a −−，……，是首项为1，公比为13的等比数列，则n a =（ ） A.31123n （）− B .131123n −−（） C.21133n −（） D.121133n −−（） 11.已知点(1,0)M ，,A B 是椭圆2214x y +=上的动点，且0MA MB ⋅=，则MA BA ⋅的取值范围是（ ）A. [1,9]B. 2[,9]3C.2[,1]3D.[312.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I ，G 分别为12PF F ∆的内心和重心，当IG x ⊥轴时，椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．12C D 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果．) 13.若“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，则m 的取值范围是________．14.已知数列{}n a 满足：11a =，*132()n n a a n N +=+∈，则n a = .15.过原点作一条倾斜角为θ的直线与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于A B 、两点，12,F F为椭圆的左,右焦点，若122F AF π∠=,且该椭圆的离心率2e ∈，则θ的取值范围为 ．16.过抛物线24y x =焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与圆()2221x y r −+=交于C ，D 两点，若有三条直线满足AC BD =，则r 的取值范围为 . 三、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分10分）（1）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若321n n S n =++，求n a .（2）已知{a n }是各项为正的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2+16,设b n ＝2log n a ，求数列{b n }的前n 项和．18.（本小题满分12分）已知双曲线C ：22221x y a b −=（a ＞0，b ＞023a c = （1）求双曲线C 的方程.（2）已知直线0x y m −+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B 且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值19.（本小题满分12分）已知:(1)(2)0,:p x x q +−≥关于x 的不等式2260x mx m +−+>恒成立 (1)当x R ∈时q 成立，求实数m 的取值范围.(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =−，11411S b =.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列221{}n n a b −的前n 项和()n *∈N .（3）设221log n n c b −=，n P 为数列214n n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求不超过2019P 的最大整数．21. （本小题满分12分）如图,已知抛物线C 顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴的非负半轴上，点(2,1)M −是抛物线上的一点.（1）求抛物线C 的标准方程（2）若点,P Q 在抛物线C 上,且抛物线C 在点,P Q 处的切线交于点S ,记直线,MP MQ 的斜率分别为12,k k ，且满足211k k −=,当,P Q 在C 上运动时，PQS ∆的面积是否为定值？若是，求出PQS ∆的面积；若不是，请说明理由.22.（本小题满分12分）如图，已知椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b +=>>的离心率为12，右准线方程为4x =，A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点． （1）求椭圆C 的标准方程.（2）记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若1232S S =求k 的值.（3）设线段MN 的中点为D ，直线OD 与右准线相交于点E ，记直线AM ，BN ，FE 的斜率分别为k 1，k 2，k 3 ，求k 2·(k 1－k 3)的值．出题人：蒋红慧 江金彪 校对：韩悦 审核：姜卫东高二数学期中考试答案1.C2.D3.B4.A5.D6.B7.C8.C9.B 10.A 11.B 12.A13. 3m > 14. 123-1n n a −=⋅ 15.5[,]66ππ16.()2,+∞16.详解：（1）当直线l x ⊥轴时，直线l ：1x =与抛物线交于(1,2)(1,2)−、，与圆222(1)x y r −+=交于(1,)(1,)r r −、，满足AC BD =. （2）当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 方程(1)y k x =−.1122(,),(,)A x y B x y联立方程组2(1)4y k x y x=−⎧⎨=⎩ 化简得2222(24)0k x k x k −++=由韦达定理 12242x x k+=+由抛物线得定义，过焦点F 的线段122424AB AF BF x x k=+=++=+当四点顺序为A C D B 、、、时AC BD =∴AB 的中点为焦点F （1，0），这样的不与x 轴垂直的直线不存在；当四点顺序为A C B D 、、、时，AC BD = ∴AB CD =又2CD r =，2442r k ∴+=，即222r k=− 当2r >时存在互为相反数的两斜率k ，即存在关于1x =对称的两条直线。

江苏省扬州市2019-2020学年数学高二下期末复习检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．用反证法证明“如果a ＜b ，那么33a b ＜”，假设的内容应是（ ） A ．33a b =B ．33a b ＜C ．33a b =且33a b ＜D ．33a b =或33a b ＞【答案】D 【解析】解：因为用反证法证明“如果a>b ，那么3a >3b ”假设的内容应是3a ＝3b 或3a <3b ，选D 2．观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=则1010a b +=（）A ．28B ．76C ．123D ．199 【答案】C 【解析】试题分析：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即1010123a b += 考点：归纳推理3．在边长为1的正ABC ∆中， D ， E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近于点B ），AD AE ⋅等于（ ） A ．16B ．29C ．1318D ．13【答案】C 【解析】 试题分析：如图，1,,60AB AC AB AC ==〈〉=D ，E 是边BC 的两个三等分点，221121122521333333399918AD AE AB BC AC CB AB AC AB AC AB AB AC AC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅+=+⋅+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选C.考点：平面向量数量积的运算4．数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，112n n n nb a a b ++-==，n *∈N ，则数列{}na b 的前n 项和为（ ）．A ．()14413n -- B ．()4413n- C ．()11413n -- D ．()1413n- 【答案】D 【解析】 【分析】由题意是数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 的等比数列，分别求出它们的通项，再利用等比数列前n 项和公式即可求得. 【详解】 因为112n n n nb a a b ++-==，111a b ==，所以数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 的等比数列， 因此()12121n a n n =+-=-，11122n n n b --=⨯=，数列{}n a b 的前n 项和为：1213521n a a a n b b b b b b b -+++=++++02422222n =++++()14141143n n -==--. 故选：D . 【点睛】本题主要考查的是数列的基本知识，等差数列、等比数列的通项公式以及等比数列的求和公式的应用，是中档题.5．已知数列{}n a 满足112a =，11n n a a +=+，*n N ∈，设n S 为数列{}n a 的前n 项之和，则19S =（ ） A ．3232-B ．3242-C ．3232D ．3612【答案】A 【解析】 【分析】由11n n a a +=+可知数列{}n a 为等差数列且公差为1-，然后利用等差数列求和公式代入计算即可． 【详解】由11n n a a +=+可知数列{}n a 为等差数列且公差为1-，所以19119181191832319192222S a d ⨯⨯=+=⨯-=- 故选A ． 【点睛】本题主要考查等差数列的概念及求和公式，属基础题．6．函数()x f x e x =-(e 为自然对数的底数)在区间[]1,1-上的最大值是( ) A ．11e+B ．1C ．1e +D ．1e -【答案】D 【解析】分析：先求导，再求函数在区间[-1,1]上的最大值. 详解：由题得()1,xf x e =-'令10,0.xe x -=∴=因为111(1)11,(1)11,(0)101f e f e e f e--=+=+=-=-=-=. 所以函数在区间[-1,1]上的最大值为e-1. 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 设()y f x =是定义在闭区间[],a b 上的函数，()y f x =在(),a b 内有导数，可以这样求最值： ①求出函数在(),a b 内的可能极值点（即方程/()0f x =在(),a b 内的根12,,,n x x x ）；②比较函数值()f a ，()f b 与12(),(),,()n f x f x f x ，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 7．已知函数()()ln af x x a R x=+∈有两个不相同的零点，则a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(),e +∞【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导得()2'x af x x-=，当0a ≤时，原函数单调递增，不能有两个零点，不符合题意，当0a >时，()f a 为最小值，函数在定义域上有两个零点，则()1ln 0f a a =+<，即10a e<<，又()10f a =>，则()f x 在(),a +∞上有唯一的一个零点，由210ea a <<<，那么()212ln f a a a =+，构造新函数()12ln g a a a =+1(0)a e<<，求导可得g(a)单调性，再由()()220g a f a e ==->，即可确定f(x)在()0,a 上有一个零点，则a 的范围可知．【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()2'x af x x-=. ①当0a ≤时，()'0f x >成立，所以函数()f x 在()0,∞+为上增函数，不合题意；②当0a x <<时，()'0f x >，所以函数()f x 在(),a +∞上为增函数； 当0x a <<时，()'0f x <，所以函数()f x 在()0,a 上为减函数. 此时()f x 的最小值为()f a ，依题意知()1ln 0f a a =+<，解得10a e<<. 由于1a >，()10f a =>，函数()f x 在(),a +∞上为增函数，所以函数()f x 在(),a +∞上有唯一的一个零点.又因为10a e <<，所以210ea a <<<. ()2211ln 2ln f a a a a a =+=+，令()12ln g a a a =+，当10a e <<时，()2212210'a a a a g a -=-+=<，所以()()2112ln 20f a g a a g e e a ⎛⎫==+>=-> ⎪⎝⎭. 又()0f a <，函数()f x 在()0,a 上为减函数，且函数()f x 的图象在()2,a a 上不间断，所以函数()f x 在()0,a 上有唯一的一个零点.综上，实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选C. 【点睛】本题考查已知函数有两个不同零点，利用导数求函数中参数的取值范围．通过求导逐步缩小参数a 的范围，题中()f a 为()f x 的最小值且()0f a <，解得10a e<<，()10f >，先运用零点定理确定点a 右边有唯一一个零点，同理再通过构造函数，求导讨论单调性的方法确定点a 左边有另一个唯一一个零点，最终得出参数范围，题目有一定的综合性．8．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．//,,αβmαn β，则//m nB ．//,//m m n α，则//n αC ．,//,m n m αβα⊥⊥，则//n βD ．,//m m n α⊥，则n α⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理依次判断各个选项即可. 【详解】两平行平面内的直线的位置关系为：平行或异面，可知A 错误；//m α且//m n ，此时//n α或n α⊂，可知B 错误；αβ⊥，//m n ，m α⊥，此时n β⊥或n β⊂，可知C 错误；两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条必垂直于该平面，D 正确. 本题正确选项：D 【点睛】本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查学生对于定理的掌握程度，属于基础题.9．已知椭圆2221(5)25x y a a +=> 的两个焦点为12,F F ,且128F F =,弦AB 过点1F ,则2ABF ∆的周长为( ) A ．10 B ．20C ．241D ．441【答案】D 【解析】 【分析】求得椭圆的a ，b ，c ，由椭圆的定义可得△ABF 2的周长为|AB|+|AF 2|+|BF 2|=4a ，计算即可得到所求值． 【详解】由题意可得椭圆22x a +225y =1的b=5，c=4，a=22b c +=41，由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a ， 即有△ABF 2的周长为|AB|+|AF 2|+|BF 2| =|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=4a=441． 故选D ． 【点睛】本题考查三角形的周长的求法，注意运用椭圆的定义和方程，定义法解题是关键，属于基础题． 10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．8B ．12C ．16D ．24【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图可知几何体为三棱锥，根据棱锥体积公式求得结果. 【详解】由三视图可知，几何体为三棱锥∴三棱锥体积为：1115 2.448332V Sh ==⨯⨯⨯⨯= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图确定几何体为三棱锥，且通过三视图确定三棱锥的底面和高.11．已知3,2a b ==，且()a ab ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A ．1 BC ．32D 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】分析：由()a ab ⊥-推导出()20a a b a a b ⋅-=-⋅=，从而3cos ,2a b =，由此能求出向量a 在向量b 方向上的投影.详解：3,2a b ==，且()a ab ⊥-，()2332cos ,0a a b a a b a b ∴⋅-=-⋅=-⨯⨯=，3cos ,2a b ∴=，∴向量a 在向量b 方向上的投影为3cos ,322a ab =⨯=，故选C.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a bθ=（此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.12．已知()2a cosx dx π=-⎰，则912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为（ ） A ．638B ．212- C ．6316D ．638- 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】()20a cosx dx π=-⎰=20 |sinx π-=﹣1，则二项式912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为T r+1=﹣9r C •921•2rrx -⎛⎫ ⎪⎝⎭， 令9﹣2r=3，求得r=3， ∴展开式中x 3项的系数为﹣39C •18=﹣212-，故选B 【点睛】本题考查集合的混合运算. 二、填空题：本题共4小题13．已知幂函数y x α=的图象经过点(4,4，则实数α的值是_______. 【答案】34- 【解析】 【分析】由幂函数的定义，把代入可求解. 【详解】点(4,4在幂函数y x α=的图象上， ∴ 244，32222，332,24故答案为： 34- 【点睛】本题考查幂函数的定义.幂函数的性质: (1)幂函数在(0)+∞，上都有定义；(2)幂函数的图象过定点(1,1)； (3)当0α>时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0)+∞，上单调递增； (4)当0α<时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0)+∞，上单调递减； (5)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．14．已知函数3()log 5f x x x =+-的零点0(,1)x a a ∈+，则整数a 的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数单调性可知若存在零点则零点唯一，由零点存在定理可判断出零点所在区间，从而求得结果. 【详解】由题意知：()f x 在()0,∞+上单调递增()f x ∴若存在零点，则存在唯一一个零点又()313510f =+-=-<，()334log 445log 410f =+-=-> 由零点存在定理可知：()03,4x ∈，则3a = 本题正确结果：3 【点睛】本题考查零点存在定理的应用，属于基础题.15．62()x x-的二项展开式中2x 项的系数为________. 【答案】60 【解析】 【分析】先写出二项展开式的通项，662166(2)(2)---+=-=-r r r r r r rr T C x x C x ，令622r -=，进而可求出结果.【详解】因为62()x x-的二项展开式的通项为：662166(2)(2)---+=-=-r r r r r r r r T C x x C x ，令622r -=，则2r ，所以2x 项的系数为226(2)60-=C .故答案为：60 【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型. 16．定义在(,)22ππ-上的奇函数()f x 的导函数为()f x '，且(1)0f =．当0x >时，()()tan f x f x x '<⋅,则不等式()0f x <的解为__________． 【答案】(,1)(0,1)2π--【解析】 【分析】当0x >时，由()()tan 'f x xf x <可得()'0sin f x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()sin f x g x x =在()0,∞+上递增，根据奇偶性可得()g x 在(),0-∞上递减，()0f x <，等价于()sin 0xg x <，结合()g x 的单调性与()()()11011f g g sin ===-，分类讨论解不等式即可.【详解】当0x >时，由()()tan 'f x xf x <()()'sin cos 0f x x f x x ->，可得()'0sin f x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()sin f x g x x=在()0,∞+上递增， ()g x 为偶函数， ()g x ∴在(),0-∞上递减，()()()11011f g g sin ===-，()0f x <，等价于()sin 0xg x <， ()()01sin 0g x g x ⎧>=-⎨<⎩或()()01sin 0g x g x ⎧<=⎨>⎩可得12x π-<<-或01x <<，()0f x <的解集为(),10,12π⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭，故答案为(),10,12π⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察四个选项，联想到函数()()cos g x f x x =，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

扬州市2019-2020学年度第一学期期末调研测试试题高二数学2019.01 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1.命题“，”的否定是________．【答案】，【解析】【分析】根据全称命题“”的否定为特称命题“”即可得结果.【详解】因为“”的否定是“”，“，”的否定是“，”，故答案为，.【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.2.已知直线过点,则直线的斜率为________．【答案】-1【解析】【分析】直接根据直线的斜率公式计算斜率的值即可.【详解】因为直线过点,所以直线的斜率为，故答案为.【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.3.一质点的运动方程为（位移单位：；时间单位：），则该质点在时的瞬时速度为________ ．【答案】6【解析】【分析】先求质点的运动方程为的导函数，再求得秒时的导函数值,即可得到所求的瞬时速度.【详解】质点的运动方程为，所以该质点在秒的瞬时速度为，故答案为6.【点睛】本题主要考查了导数的物理意义，属于基础题，导数在物理的应用,是近几年高考的热点，利用数学知识解决物理问题，在高考试卷中的份量在逐年加重，对此类题解题规律应好好把握.4.课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为, 若用分层抽样的方法抽取个城市，则丙组中应抽取的城市数为________个. 【答案】2【解析】【分析】根据抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率,用概率乘以丙组的数目，即可得到结果.【详解】城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4 ,12,8.本市共有城市数24 ,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本，每个个体被抽到的概率是，丙组中对应的城市数8，则丙组中应抽取的城市数为,故答案为2.【点睛】本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.5.在平面直角坐标系中，抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】【分析】直接利用抛物线的标准方程求得,再利用准线为可得结果.【详解】抛物线的开口向右，,所以抛物线的准线方程，即，故答案为.【点睛】本题考查抛物线的方程与准线方程,意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.6.执行如图所示的伪代码，若输出的的值为，则输入的的值是________．【答案】3【解析】【分析】分析出算法的功能是求分段函数的值，根据输出的值为10 ,分别求出当时和当时的值即可.【详解】由程序语句知：算法的功能是求的值，当时，，解得(或 ,不合題意舍去)；当时，,解得 ,舍去，综上，的值为3，故答案为3 .【点睛】本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.7.若,则“”是“直线：与：垂直”的________条件．（注：在“充要”、“既不充分也不必要”、“充分不必要”、“ 必要不充分”中选填一个）【答案】充分不必要【解析】【分析】两直线垂直等价于 ,即或 ,再根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】“直线与垂直” 等价于,即或,又易知：“”与“或”的充分不必要条件，即“”是直线与垂直的充分不必要条件，故答案为充分不必要.【点睛】本题考查了两直线垂直的性质以及充分条件与必要条件的定义，属于简单题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.8.函数的单调递减区间为________．【答案】（写成，，也算对）【解析】【分析】由,知,由能求出的单调递减区间.【详解】,,由，得,的单调递减区间为，故答案为.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.利用导数求函数的单调区间的步骤：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间；求得的范围，可得函数的减区间.9.已知椭圆左焦点为，左准线为，若过且垂直于轴的弦长等于点到的距离，则椭圆的离心率是________．【答案】【解析】【分析】先求出过且垂直于轴的弦长和点到的距离,由过且垂直于轴的弦长等于点到的距离，建立方程，再利用的关系求出的值.【详解】过且垂直于轴的弦长等于，点到的距离,因为过且垂直于轴的弦长等于点到的距离，所以，即，故答案为.【点睛】本题主要考查椭圆的方程与离心率，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．10.有一个质地均匀的正四面体木块个面分别标有数字.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于的概率为__________．【答案】【解析】由题意得，将此木块在水平桌面上抛两次看不到的数字共有种情况，其中两次看不到的数字都大于的情况有，共4种．由古典概型概率公式可得所求概率为．答案：11.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的一个焦点为(3，0)，则双曲线的渐近线方程为_______．【答案】【解析】【分析】利用双曲线的一个焦点为（3，0），即可求出m的值，然后求解渐近线方程．【详解】∵双曲线的一个焦点为（3，0），∴m+m+1=9，∴m=4，双曲线方程化为：，可得渐近线方程：y=±x．故答案为：y=±x．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，是基本知识的考查．12.已知可导函数的定义域为，，其导函数满足,则不等式的解集为________．【答案】【解析】【分析】先构造函数，根据可得函数在上单调递增函数，结合不等式,变形得到,根据单调性解之即可.【详解】不等式，令，因为，所以则,函数在上单调递增函数，，即,根据函数在上单调递增函数可知，故答案为.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.13.已知圆，为圆上的两个动点，且，为弦的中点.直线上有两个动点，且.当在圆上运动时，恒为锐角，则线段中点的横坐标取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由已知可得，在以为圆心，以2为半径的圆上，把在圆上运动恒为锐角转化为以为圆心，以2为半径的圆与以为圆心，以1为半径的圆外离求解.【详解】圆的半径为为弦的中点，，的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，设中点为，，且当在圆上运动时，恒为锐角，则以为圆心以2为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆外离，则，即，解得或，线段中点的横坐标取值范围为，故答案为.【点睛】本题考查直线与圆位置关系、圆与圆的位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将问题转化为圆与圆的位置关系是解题的关键.14.函数在上单调递增，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】分段去绝对值，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于的不等式组，求解后再取并集得结果.【详解】，当时，，要使在上单调递增，则在上恒成立，即；当时，，要使在上单调递增，则在上恒成立，即，综上，实数的取值范囿是，故答案为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，以及不等式恒成立问题，属于难题. 不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知为实数.命题：方程表示双曲线；命题：对任意，恒成立.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“或”为真命题、“且”为假命题，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由真可得,解不等式即可得到所求范围；(2)由真可得判别式小于0 ,解得的范国，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）若命题为真命题，则，即的取值范围是.（2）若命题为真命题，则，解得.即.∵命题“或”为真命题、“且”为假命题，∴和中有且仅有一个正确.若真假，则，解得；若假真，则，解得或.所以，综上所述：的取值范围为.【点睛】本题通过判断或命题、且命题真假，综合考查双曲线的方程以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.16.某商场亲子游乐场由于经营管理不善突然倒闭.在进行资产清算时发现有3000名客户办理的充值会员卡上还有余额.为了了解客户充值卡上的余额情况，从中抽取了300名客户的充值卡余额进行统计．其中余额分组区间为，，，，，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：（1）求的值；（2）求余额不低于元的客户大约为多少人？（3）根据频率分布直方图，估计客户人均损失多少？(用组中值代替各组数据的平均值)．【答案】（1）（2）300人（3）765元【解析】【分析】(1)由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出的值；(2) 由直方图的性质求得余额在之间的频率为，由此能估计余额不低于900元的客户数量；（3）利用频率分布直方图中每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值，能求出客户人均损失的估计值.【详解】（1）由，解得.（2）余额在之间的频率为0.1，故可估计余额不低于900元的客户大约为（人）.（3）客户人均损失的估计值为：（元）.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.17.在平面直角坐标系中，直线，.(1)直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由;(2)已知点，若直线上存在点满足条件，求实数的取值范围.【答案】（1）过定点，定点坐标为；（2）或.【解析】【分析】(1) 假设直线过定点，则关于恒成立，利用即可结果；(2)直线上存在点,求得 ,故点在以为圆心，2为半径的圆上，根据题意，该圆和直线有交点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，由此求得实数的取值范围. 【详解】（1）假设直线过定点，则，即关于恒成立，∴，∴，所以直线过定点，定点坐标为（2）已知点,，设点，则，，∵,∴,∴所以点的轨迹方程为圆，又点在直线：上，所以直线：与圆有公共点，设圆心到直线的距离为，则，解得实数的范围为或.【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及直线与圆的位置关系，属于中档题. 解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.18.2019年扬州市政府打算在如图所示的某“葫芦”形花坛中建一喷泉，该花坛的边界是两个半径为12米的圆弧围成，两圆心、之间的距离为米．在花坛中建矩形喷泉，四个顶点，，，均在圆弧上，于点．设.当时,求喷泉的面积;(2)求为何值时，可使喷泉的面积最大?.【答案】（1）平方米（2）【解析】【分析】（1）利用直角三角形的性质求出,即可求出喷泉的面积； (2)要构造矩形的面积关于角的函数，需要利用三角函数把矩形的长和宽用角表示出来，进而利用矩形的面积公式表示面积,然后利用导数求函数的最值，在求解时要注意角的取值范围.【详解】（1）在直角中，，，则,所以(平方米)答：矩形的面积为平方米.（2）在直角中，，，则，所以矩形的面积，令，，则，令，得.设，且列表如下：所以当时，最大，即最大.此时答：当为时，喷泉的面积最大【点睛】本题主要考查三角函数的应用以及利用导数求最值，属于中档题. 求函数极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.19.已知椭圆的长轴长为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过动点的直线交轴于点，交椭圆于点，(在第一象限)，且是线段的中点.过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点.①设直线、的斜率分别为，证明为定值;②求直线斜率取最小值时，直线的方程.【答案】（1）（2）①详见解析②【解析】【分析】(1) 利用长轴长为，离心率为分别求出的值，再求出的值，即可求出椭圆方程；(2)①设出的坐标，表示出直线的斜率，作比即可；②设出的坐标，分别求出的方程，联立方程组，求出直线的斜率的解析式，根据不等式的性质计算出的最小值，再求出的值即可.【详解】（1）由题意得：，所以，，故椭圆方程为.（2）①设，（，），由，可得，所以直线的斜率，直线的斜率此时，所以为定值.②设，，直线的方程为，直线的方程为.联立，整理得，由，可得，同理，.所以，，，所以，由，，可知，所以，当且仅当时取得等号.由，，在椭圆：上得，此时，即，由得，，所以时，符合题意.所以直线的斜率最小时，直线的方程为.【点睛】本题主要考查椭圆的方程，椭圆的定值问题、最值问题，以及直线圆椭圆的位置关系，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.20.已知函数，.(1)求在处的切线方程；(2)当时，求在上的最大值；(3)求证：的极大值小于1.【答案】（1）；（2）故当时，；当时，；当时，；（3）详见解析.【解析】【分析】(1)求出函数的导数，根据导数的几何意义求出切线斜率再由点斜式可得结果；(2)求出的解析式，求出，分别令可得函数增区间，令可得函数的减区间，分类讨论，根据函数的单调性可求出的最大值；(3)求出函数的导数，两次求导可判断函数的单调性，利用单调性求出函数的极值，判断即可.【详解】（1）∵，∴，∴在处的切线方程为，即，（2），（），令，得，在区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数；故当时，在上递减，.当时，先增后减，故.当时，在上递增，此时.（3），令，，则函数在上单调递减，，，所以存在唯一的，当时，当时，，所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，其中，所以函数有极大值.函数的极大值是，由，得，所以，因为，所以，即，所以的极大值小于1.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。

江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高 二 数 学（试题满分：150分 考试时间：120分钟） 2020.5一、 选择题（一）单项选择题：本题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.1．化简：A 52=（ ）A ．10B ．20C ．30D ．40 2．下列导数运算正确的是（ ）A ．211'x x⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．(sin )cos x 'x =- C ．(3)'3x x = D ．1(ln )x '=x 3． (a +b)5的展开式中a 3b 2的系数为（ ）A ．20B ．10C ．5D ．1 4．已知()310P AB =，()35P A =，则()|P B A 等于（ ） A ．950 B ．12 C ．910D ．14 5．在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布()()21,0N σσ>，若()010.4P ξ<<=，则()02P ξ<<=（ ）A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．0.26．设a N ∈,且0≤a ＜13,若512020+a 能被13整除,则a =（ ）A ．0B ．1C ．11D ．127．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（ ）A ．2280B ．2120C ．1440D ．7208．若关于x 的不等式1127k x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6（二）多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共计20分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.9．定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）A ．-3是()f x 的一个极小值点；B ．-2和-1都是()f x 的极大值点；C ．()f x 的单调递增区间是()3,-+∞；D ．()f x 的单调递减区间是(),3-∞-．10．将高二(1)班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种？下列结论正确的有（ ）A ．11113213C C C CB ．2343C A C ．122342C C AD ．18 11．已知()n a b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1012．关于函数()sin x f x e a x =+，(,)x π∈-+∞，下列说法正确的是（ ）A ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=；B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<；C ．对任意0a >，()f x 在(,)π-+∞上均存在零点；D ．存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置．13．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0. 8，0.85，若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为__________.14．已知函数f(x)=x 2,当∆x →0时，f (1+∆x )−f(1)∆x →A ,则A = __________.15．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ=k)=c k+1，k =0，1，2，3，则P(ξ=2)= __________.16. 若对任意0x >，恒有()112ln ax a x x x e ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围为__________. 三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）高二某班级有5名男生，4名女生排成一排.（以下结果用数字作答）（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？18．（本小题满分12分）已知函数()323f x ax bx x =+-在1x =-和3x =处取得极值. （1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在[]4,4-内的最值.19．（本小题满分12分）某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.（1）求乙同学答对2个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m ，n ，分别求出甲、乙两位同学答对题目个数m ，n 的概率分布和数学期望.20.（本小题满分12分）已知*()(2),n f x x n N =+∈．（1）设2012()n n f x a a x a x a x =++++L ，①求012n a a a a ++++L ；②若在012,,,,n a a a a L 中，唯一的最大的数是4a ，试求n 的值； （2）设2012()(1)(1)(1)n n f x b b x b x b x =+++++++L ，求111nr r b r =+∑．21．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x x a x =-+（0a <），且()f x 的最小值为0. （1）求实数a 的值；（2）若直线y =b 与函数f(x)图象交于A,B 两点,A(x 1,f(x 1)), B(x 2,f(x 2)),且12x x <，A,B 两点的中点M 的横坐标为x 0,证明：x 0>1.22.（本小题满分12分）已知函数2()ln ,()xf x x x axg x e e =-+=-，其中0a >.（1）若a =1，证明：f(x)≤0；（2）用max{,}m n 表示m 和n 中的较大值，设函数()max{(),()}h x f x g x =，讨论函数()h x 在(0,)+∞上的零点的个数.命题人：徐小美、张茂城审核人：蒋红慧。

2019-2020学年江苏省扬州市数学高二第二学期期末复习检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( )A 1B 1C ．2D 【答案】B 【解析】 【分析】求得直线PQ 的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得,P Q 两点坐标的关系，根据FQ FP ⊥列方程，化简后求得离心率. 【详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，依题意直线PQ 的方程为y =，代入双曲线方程并化简得222222222223,333a b a b x y x b a b a ===--，故221212220,,3a b x x x x b a -+=⋅=- 12y y ⋅= 221222333a b x x b a-⋅=-，设焦点坐标为(),0F c ，由于以PQ 为直径的圆经过点F ，故0FP FQ ⋅=，即()()1122,,0x c y x c y -⋅-=，即21240x x c +=，即4224630b a b a --=，两边除以4a 得42630b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故1e ===，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题. 2．复数1()2iz a R ai+=∈-在复平面上对应的点不可能在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 【分析】把复数化为(,)m ni m n R +∈形式，然后确定实部与虚部的取值范围． 【详解】21(1)(2)2(2)2(2)(2)4i i ai a a iz ai ai ai a +++-++===--++，2a >时，20,20a a -<+>，对应点在第二象限；2a <-时，20,20a a ->+<，对应点在第四象限；22a -<<时，20,20a a ->+>，对应点在第一象限．2a =或2a =-时，对应点在坐标轴上；∴不可能在第三象限． 故选：C ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义．解题时把复数化为(,)m ni m n R +∈形式，就可以确定其对应点的坐标． 3．展开式中的系数为（ ）A ．10B ．30C ．45D ．210【答案】B 【解析】（-1-x+x 2）10=[（x 2-x ）-1]10 的展开式的通项公式为，所以或，故展开式中的系数为故选B4．正方体1111ABCD A B C D -中，直线AD 与平面11A BC 所成角正弦值为（ ） A ．12B ．32C ．33D ．63【答案】C 【解析】 【分析】作出相关图形，设正方体边长为1，求出11B C 与平面11A BC 所成角正弦值即为答案. 【详解】如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，直线AD 与11B C 平行，则直线AD 与平面11A BC 所成角正弦值即为11B C 与平面11A BC 所成角正弦值.因为11A BC ∆为等边三角形，则1B 在平面11A BC 即为11A BC ∆的中心，则11B C O ∠为11B C 与平面11A BC 所成角.可设正方体边长为1，显然36=2=33BO ⨯，因此2163=1()=3B O -，则1111103sin B B C O B C ∠==，故答案选C.【点睛】本题主要考查线面所成角的正弦值，意在考查学生的转化能力，计算能力和空间想象能力. 5．已知函数()()1,0(1)1,0ln x m x f x m ax b x ⎧++≥=<-⎨-+<⎩，对于任意s R ∈，且0s ≠，均存在唯一实数t ，使得()()f s f t =，且s t ≠，若关于x 的方程()2m f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．()4,2--B ．()1,0-C ．()2,1--D ．()()4,11,0--⋃-【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意可知f （x ）在[0，+∞）上单调递增， 值域为[m ，+∞），∵对于任意s ∈R ，且s ≠0，均存在唯一实数t ， 使得f （s ）＝f （t ），且s ≠t ，∴f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，值域为（m ，+∞）， ∴a ＜0，且﹣b+1＝m ，即b ＝1﹣m ． ∵|f （x ）|＝f （2m）有4个不相等的实数根， ∴0＜f （2m）＜﹣m ，又m ＜﹣1， ∴02am -＜＜m ，即0＜（2a+1）m ＜﹣m ， ∴﹣4＜a ＜﹣2，∴则a 的取值范围是（﹣4，﹣2），故选A ．点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.6．若实数,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的取值范围为( )A ．[]1,9 B ．[]5,9C ．[]3,9D ．[]3,5【答案】C 【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z 的取值范围. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图：设2z x y =+，得2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点()1,1A 时，直线的截距最小， 此时z 最小，为213z =+=，当直线2y x z =-+经过点()3,3B 时，直线的截距最大，此时时z 最大，为2339z =⨯+=， 即39z ≤≤. 故选：C.点睛：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法. 7．已知函数()()ln af x x a R x=+∈有两个不相同的零点，则a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(),e +∞【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导得()2'x af x x -=，当0a ≤时，原函数单调递增，不能有两个零点，不符合题意，当0a >时，()f a 为最小值，函数在定义域上有两个零点，则()1ln 0f a a =+<，即10a e<<，又()10f a =>，则()f x 在(),a +∞上有唯一的一个零点，由210ea a <<<，那么()212ln f a a a =+，构造新函数()12ln g a a a =+1(0)a e<<，求导可得g(a)单调性，再由()()220g a f a e ==->，即可确定f(x)在()0,a 上有一个零点，则a 的范围可知．【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()2'x af x x-=. ①当0a ≤时，()'0f x >成立，所以函数()f x 在()0,∞+为上增函数，不合题意； ②当0a x <<时，()'0f x >，所以函数()f x 在(),a +∞上为增函数； 当0x a <<时，()'0f x <，所以函数()f x 在()0,a 上为减函数. 此时()f x 的最小值为()f a ，依题意知()1ln 0f a a =+<，解得10a e<<. 由于1a >，()10f a =>，函数()f x 在(),a +∞上为增函数，所以函数()f x 在(),a +∞上有唯一的一个零点.又因为10a e <<，所以210ea a <<<. ()2211ln 2ln f a a a a a =+=+，令()12ln g a a a =+，当10a e <<时，()2212210'a a a a g a -=-+=<，所以()()2112ln 20f a g a a g e e a ⎛⎫==+>=-> ⎪⎝⎭. 又()0f a <，函数()f x 在()0,a 上为减函数，且函数()f x 的图象在()2,a a 上不间断，所以函数()f x在()0,a 上有唯一的一个零点. 综上，实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭.故选C. 【点睛】本题考查已知函数有两个不同零点，利用导数求函数中参数的取值范围．通过求导逐步缩小参数a 的范围，题中()f a 为()f x 的最小值且()0f a <，解得10a e<<，()10f >，先运用零点定理确定点a 右边有唯一一个零点，同理再通过构造函数，求导讨论单调性的方法确定点a 左边有另一个唯一一个零点，最终得出参数范围，题目有一定的综合性． 8．已知，，则有( )A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】首先通过诱导公式，化简三个数，然后判断它们的正负性，最后利用商比法判断 的大小，最后选出正确答案. 【详解】，而，故本题选D.【点睛】本题考查了诱导公式、以及同角三角函数关系，以及商比法判断两数大小.在利用商比法时，要注意分母的正负性.9．已知函数()y f x =是可导函数，且()'12f =，则()()11lim 2x f x f x∆→+∆-=∆( )A ．12B ．2C ．1D ．1-【答案】C 【解析】分析：由题意结合导数的定义整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：()()112x f x f limx ∆→+∆-=∆()()()01111lim '122x f x f f x ∆→+∆-=∆,即：()()112x f x f limx∆→+∆-=∆1212⨯=. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查函数在某一点处导数的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作的渐近线的垂线，垂足为点，则的离心率为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式求出，利用勾股定理求出，由锐角三角函数得出，由诱导公式得出，在利用余弦定理可得出、、的齐次方程，可解出双曲线离心率的值。

同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．给出下列三个命题:命题1：存在奇函数()f x 1()x D ∈和偶函数()g x 2()x D ∈,使得函数()()f x g x 12()x D D ∈是偶函数；命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数, 但()()f x g x 在D 上是减函数；命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =0()x D ∈处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值. 那么真命题的个数是 ( )． A ．0B ．1C ．2D ．32．在含有3件次品的10件产品中，任取2件，恰好取到1件次品的概率为 A ．715B ．730C ．115D ．1303．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =时成立推导1n k =+时成立时，()f n =1+1112321n ++⋅⋅⋅+-增加的项数是( ) A ．1B ．21k +C ．2kD ．21k -4．点的极坐标，它关于极点的对称点的一个极坐标是A ．B ．C ．D ．5．设集合{|12}A x x =-<， []{|2,0,2}xB y y x ==∈，则A B =A ．[]0,2B ．()1,3C ．[)1,3D ．()1,46．两个线性相关变量x 与y 的统计数据如表： x 9 9.5 10 10.5 11 y1110865其回归直线方程是4ˆ0ˆybx =+，则相对应于点（11，5）的残差为（ ） A ．0.1B ．0.2C ．﹣0.1D ．﹣0.27．执行如图所示的程序框图，若输出的57S =，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．4k >B ．5k >C ．6k >D ．7k >8．在二项式()91x +的展开式中任取2项，则取出的2项中系数均为偶数的概率为（ ） A ．512B ．215C ．13D ．8159．用数学归纳法证明某命题时，左式为在验证时，左边所得的代数式为（ ）A ．B ．C ．D ．10．设x 0是函数f （x ）＝lnx+x ﹣4的零点，则x 0所在的区间为（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）11．对于实数x ，符号[x]表示不超过x 的最大整数，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数f （x ）=x ﹣[x]，则下列命题中正确的是①函数f （x ）的最大值为1； ②函数f （x ）的最小值为0； ③方程()()12G x f x =-有无数个根； ④函数f （x ）是增函数． A ．②③B ．①②③C ．②D ．③④12．已知1z ，2z ∈C ．“120z z ==”是“1||z 220z +=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件二、填空题：本题共4小题13．已知平面向量,,a b c 满足21a b a ⋅==，1b c -=，则a c ⋅的最大值是____． 14．若复数是纯虚数(是虚数单位)，为实数，则复数的模为__________．15．已知复数z 满足()1243i z i +=+，则z =_____．16．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,准线与x 轴的交点为,M N 为抛物线上的一点,且满足32NF MN =,则NMF ∠ =_____. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

江苏省扬州中学2019—2020学年度第一学期月考高二数学（试题满分：150分 考试时间：120分钟） 2019.12一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑. 1．等差数列{a n }中，a 3=−6，a 7=a 5+4，则a 1=（ ） A ．−10 B ．2− C ．2 D ．102．方程x 2m−2+y 23−m =1表示焦点在x 轴上的椭圆的一个必要不充分条件是（ ） A ．2＜m ＜3 B ．2＜m ＜52 C ．52＜m ＜3 D ．114＜m ＜33．数列2，43，85，167，329…的一个通项公式a n 等于（ ） A ．2n2n−1B ．2nnC ．2n2n−1D ．2n2n+14．已知△ABC 为等腰直角三角形，其顶点为,,A B C ，若双曲线E 以A,B 焦点，并经过顶点C ，该双曲线E 的离心率是（ ）A ．√2−1B ．√22C ．√2D ．√2+15．《趣味数学·屠夫列传》中有如下问题：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三十日屠讫，问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？” （ ） A ．5×230B ．5×229C ．230−1D ．5×(230−1)6．如图所示，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，设AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，N 是BC 的中点，试用a ，b ⃗ ，c 表示A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A ．−a +b ⃗ +12cB ．−a +b ⃗ +cC ．−a −b ⃗ +12cD ．a −b ⃗ +12c7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n +16a n +3的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2√3−2D ．28．已知F 是双曲线C:x 2−y 28=1的右焦点，P 是C 左支上一点，A(0,6√6)，当ΔAPF 周长最小时，该三角形的面积为（ ） A．B ．4√6 C ．12√6D ．8√6二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共计20分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，有多项是 正确的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．请在答题卡上将正确选项按填涂要求 涂黑.9．下列说法中正确的是（ ）A ．“|x |=2019”是“x =2019”的充分条件B ．“x =−1”的充分不必要条件是“x 2−2x −3=0”C ．“m 是实数”的充分必要条件是“m 是有理数”D ．若b <a <0，则1a <1b 10．已知等比数列{a n }中，满足a 1=1,q =2，则（ ） A ．数列{a 2n }是等比数列 B ．数列{1a n}是递增数列C ．数列{log 2a n }是等差数列D ．数列{a n }中，S 10,S 20,S 30仍成等比数列11．已知三个数1,a,9成等比数列，则圆锥曲线x 2a+y 22=1的离心率为（ ）A ．√5B ．√33C ．2D ．√312．已知点F 是抛物线()220y px p =>的焦点，AB,CD 是经过点F 的弦且AB ⊥CD ，AB 的斜率为k ，且k >0，C,A 两点在x 轴上方.则下列结论中一定成立的是（ ） A ．OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−34p 2 B ．四边形ACBD 面积最小值为16p 2C ．1|AB |+1|CD |=12p D ．若|AF |⋅|BF |=4p 2，则直线CD 的斜率为−√3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题 卡相应位置．13．已知空间向量a =(−√32,12,1)b ⃗ =(−√32,12,0),若空间单位向量c 满足:c ⋅a =c ⋅b⃗ =0，则c =______. 14．己知命题p ：∃m ∈[−1,1]，a 2−5a −3<m +2，且p 是假命题，则实数a 的取值范围是______． 15．已知数列{a n }的通项公式是a n =2n +3(n ∈N ∗)，数列{b n }满足b n+1=a b n (n ∈N ∗)且b 1=a 1，则数列{b n }的通项公式b n =________．16．抛物线x 2=2py(p >0)上一点A(√3,m)(m >1)到抛物线准线的距离为134，点A 关于y 轴的对称点为B ，O 为坐标原点，ΔOAB 的内切圆与OA 切于点M ，点N 为内切圆上任意一点，则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为_______． 四、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）(1)已知x >2，求3x +1x−2的最小值; (2) 已知a >0,b >0,且1a +2b =2，求a +b 的最小值.已知数列{a n}前n项和S n满足S n=2n+1−2(n∈N∗), {b n}是等差数列,且a3=b4−2b1,b6=a4．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{(−1)n b n2}的前2n项和2nT．19.（本小题满分12分）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，边长为2，利用综合法完成以下问题：（1）求点A1到平面ACB1的距离；（2）求二面角A−B1C−A1的余弦值.20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD,AB=2,BC=1，PC=PD=√2，E为PB中点．利用空间向量方法完成以下问题：（1）求二面角E−AC−D的余弦值；（2）在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD？若存在，求PMPD的值；若不存在，说明理由．C1已知正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n2+a n-2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=2n(n−1)na n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n;（3）是否存在实数λ使得T n+2＞λ•S n对n∈N+恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在说明理由．22.（本小题满分12分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，与x轴负半轴交于A(−2,0)，离心率e=12（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，连接AM，AN并延长交直线x=4于E(x3,y3)，F(x4,y4)两点，若1y1+1y2=1y3+1y4，直线MN是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是，请说明理由.。

扬大附中高二年级数学阶段检测一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）1.已知复数z 满足(34)12i z i -=-（i 是虚数单位），则其共轭复数在复平面位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【★答案★】C 【解析】 【分析】先求出z ，再求出其共轭复数，而后根据复数的几何意义作出判断即可. 【详解】(34)12i z i -=-，∴12(12)(34)34682134(34)(34)91655i i i i i z i i i i --+++-====-+--+--， 其共轭复数为：2155z i =--，在复平面内对应点的坐标为21(,)55--，在第三象限. 故选：C.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查共轭复数，考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题. 2.现有甲班,,A B C 三名学生，乙班,D E 两名学生，从这5名学生中选2名学生参加某项活动，则选取的2名学生来自于不同班级的概率是（ ） A.15B.310C.25D.35【★答案★】D 【解析】【详解】解：从这5名学生中选2名学生参加某项活动，基本事件总数n 25C ==10，抽到2名学生来自于同一班级包含的基本事件个数m 2232C C =+=4，∴抽到2名学生来自于不同班级的概率是P 4311105m n =-=-=． 故选D【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.已知一系列样本点(,)i i x y (1,2,3,i =…,)n 的回归直线方程为ˆ2,yx a =+若样本点(,1)r 与(1,)s 的残差相同，则有()A. r s =B. 2s r =C. 23s r =-+D. 21s r =+【★答案★】C 【解析】 【分析】分别求得两个残差，根据残差相同列方程，由此得出正确选项.【详解】样本点(,1)r 的残差为21r a +-，样本点(1,)s 的残差为2a s +-，依题意212r a a s +-=+-，故23s r =-+，所以选C.【点睛】本小题主要考查残差的计算，考查方程的思想，属于基础题.4.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则()12P ξ=等于()A. 101021235()()88C ⋅B. 99211353()()888C ⋅⋅C. 9921153()()88C ⋅D. 9921135()()88C ⋅【★答案★】B 【解析】由题意得:取到红球的概率38P =; 停止时共取了12次球,其中前11次红球出现9次,第12次为红球;由二项分布公式，所以()12P x ==92911353C 888⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=10291135C 88⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 本题选择D 选项.5.随机变量X 的取值为0，1，2，若()104P X ==，()1E X =，则()D X =（ ） A.32B.12C. 14D. 1【★答案★】B 【解析】 【分析】设(1)P X p ==，(2)P X q ==，则由1(0)4P X ==，()1E X =，列出方程组，求出p ，q ，由此能求出()D X ．详解】解：设(1)P X p ==，(2)P X q ==， 1()0214E X p q =⨯++=①，又114p q ++=，② 由①②得，12p =，14q =， 2221111()(01)(11)(21)4242D X ∴=-+-+-=，故选：B ．【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题． 6.若23455012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（ ） A.54B.58C.516D.532【★答案★】C 【解析】 【分析】根据551[(21)1]32x x =-+，再根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】因为551[(21)1]32x x =-+，所以二项式5[(21)1]x -+的展开式的通项公式为：55155(21)1(21)r r r r r r T C x C x --+=⋅-⋅=⋅-，令3r =，所以2235(21)T C x =⋅-，因此有32255111545323232216C C a ⨯=⋅=⋅=⨯=. 故选：C【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式通项公式的应用，考查了数学运算能力7.某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管，其口径误差（单位：微米）服从正态分布()21,3N ，从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间()4,7内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.27%P μσξμσ-<<+=，()2295.45%P μσξμσ-<<+=）A. 31.74%B. 27.18%C. 13.59%D. 4.56%【★答案★】C 【解析】【分析】根据已知可得1,3,2,4,25,27μσμσμσμσμσ==-=-+=-=-+=，结合正态分布的对称性，即可求解. 【详解】()()()14757242P P P ξξξ<<=-<<--<<⎡⎤⎣⎦ ()10.95450.68270.13592=⨯-=. 故选：C【点睛】本题考查正态分布中两个量μ和σ的应用，以及正态分布的对称性，属于基础题.8.若函数()sin 2f x x a x =+在0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A. 1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. [1,)-+∞C. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【★答案★】C 【解析】 【分析】求出导函数'()12cos 2f x a x =+，则题意说明不等式'()0f x ≥在[0,)4π上恒成立，注意到此时0cos21x <≤，因此不等式可变形为12cos 2a x -≥，从而只要再求得1cos 2x-的最大值即可求得a 的范围．【详解】解：根据题意，函数()sin 2f x x a x =+，其导数'()12cos 2f x a x =+， 若函数()sin 2f x x a x =+在[0,)4π上单调递增，则'()12cos 20f x a x =+≥在[0,)4π上恒成立，又由x [0,)4π∈，则有0cos21x <≤，则'()12cos 20f x a x =+≥⇒12cos 2a x-≥，又由0cos21x <≤，则11cos 2x -≤-，即1cos 2x-有最大值-1，若'()12cos 20f x a x =+≥在[0,)4π上恒成立，则12a ≥-，即a 的取值范围为1[,)2-+∞，故选C ．【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，解决不等式恒成立求参数取值范围这类问题的常用方法是分离参数法，转化为求函数的最值．二、多选题：(本大题共4小题，每小题5分，共计20分) 9.复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. |z |5=B. z 的共轭复数为3122i + C. z 的实部与虚部之和为2 D. z 在复平面内的对应点位于第一象限【★答案★】CD 【解析】 【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得. 【详解】由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得221310||()()222z =+=，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面. 10.下列说法正确的是( )A. 在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B. 在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好C. 线性回归方程对应的直线ˆˆˆybx a =+至少经过其样本数据点中的一个点 D. 在回归分析中，相关指数2R 越大，模拟的效果越好 【★答案★】ABD 【解析】 【分析】利用独立性检验和线性回归的相关知识逐一判断即可.【详解】对于A ，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确； 对于B ，残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好，正确；对于C ，线性回归方程对应的直线ˆˆˆybx a =+过样本中心点，不一定过样本数据中的点， 故C 错误；对于D ，回归分析中，相关指数R 2越大，其模拟的效果就越好，正确. 故选：ABD【点睛】本题考查的是独立性检验和线性回归，考查了学生对基本概念的掌握情况，属于基础题. 11.给出下列命题，其中正确的命题有( ) A. 若a R ∈，则()1a i +是纯虚数 B. 随机变量()2~3,2X N ，若23X η=+，则()1D η=C. 公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有510种D. 回归方程为0.8585.71y x =-中，变量y 与x 具有正的线性相关关系 【★答案★】BD 【解析】 【分析】对于A ，当1a =-时，()10a i +=是实数，对于B ，()()114D D X η==，对于C ，乘客下车的可能方式有105种，对于D ，由ˆ0.850b=>可得D 正确. 【详解】对于A ，当1a =-时，()10a i +=是实数，故A 错； 对于B ，23X η=+∴1322X η=-可得()()14D D X η= 又()4D X =，∴()()114D D X η==，故B 正确；对于C ，汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有105种，故C 错误；对于D ，回归方程为0.8585.71y x =-，由ˆ0.850b=>，可得变量y 与x 具有正的线性相关关系，故D 正确； 综上所述正确的是：BD【点睛】本题考查了复数的概率、正态分布的方差、分步乘法计数原理和线性回归，属于基础题.12.设函数()ln xe f x x=，则下列说法正确的是（ ）A. ()f x 定义域（0，+∞）B. x ∈（0，1）时，()f x 图象位于x 轴下方C. ()f x 存在单调递增区间D. ()f x 有且仅有两个极值点【★答案★】BC 【解析】 【分析】 根据0ln 0x x >⎧⎨≠⎩可得定义域，即可判断A ；通过当()0,1x ∈时，()0f x <可判断B ；【详解】由题意函数()ln xe f x x =满足0ln 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠，所以函数()ln xe f x x =的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，所以A 不正确；由()ln xe f x x=，当(0,1)x ∈时，ln 0x <，∴()0f x <，所以()f x 在(0,1)上的图象都在轴的下方，所以B 正确；∵()()21ln ln x e x x f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=，设()1ln g x x x=-，()211.(0)g x x x x '=+> 所以()0g x '>，函数()g x 单调增，()110g e e =->，()22120g e e=->， 所以()0f x '>在定义域上有解，所以函数()f x 存在单调递增区间，所以C 是正确的；则函数()0f x '=只有一个根0x ，使得0()0f x '=，当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，函数单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D 不正确； 故选：BC .【点睛】本题主要考考查了求函数的定义域以及符号，利用导数研究函数的性质，属于中档题. 三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.已知复数1z ，2z 满足12121z z z z ==+=，则12z z -=__________． 【★答案★】3 【解析】分析：根据复数的模都为1，可求得a b 、 及、c d 间的关系，根据方程，得221ab cd +=-；表示出2222122z z a b c d ab acd -=+++--，代入即可求值．详解：设12,z a bi z c di =+=+因为12121z z z z ==+= 所以()()222222111a b c d a b c d +=+=+++=即()()222222111a b c d a b c d +=+=+++=化简得221ab cd +=-()()12z z a bi c di -=+-+()()22a cb d =-+-222222a b c d ab cd =+++--3=点睛：本题主要考查了复数模的定义及其相关运算，运算过程中注意熟练运用解题的技巧，属于基础题．14.一盒子装有只产品，其中有只一等品，只二等品．从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样．设事件为“第一次取到的是一等品”，事件为“第二次取到的是一等品”，则条件概率 ．【★答案★】【解析】 试题分析：表示在第一次取出的是一等品的情况下，第二次取出的是一等品的概率．第一取出一等品的概率为，然后还有个一等品和个二等品，所以第二次取出的是一等品的概率为，则条件概率为.考点：条件概率.【易错点睛】本题主要考查的是条件概率的计算，要熟记相关概念即计算公式．条件概率为事件发生的前提下在发生事件的概率，用公式可表示为，容易与且事件的概率计算混淆，且事件概率为事件的概率与事件的概率直接相乘.15.若6260126(21)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++⋅⋅⋅++，则012345623456a a a a a a a ++++++=________.【★答案★】13 【解析】 【分析】由导函数的应用得：设6()(21)f x x =+，260126()(1)(1)(1)g x a a x a x a x =+++++⋯++，所以5()12(21)f x x '=+，5126()2(1)6(1)g x a a x a x '=+++⋯++，又()()f x g x =，所以()()f x g x '='，即5512612(21)2(1)6(1)x a a x a x +=+++⋯++，由二项式定理：令0x =得：12345623456a a a a a a +++++，再由(0)(0)g f =，求出0a ，从而得到012345623456a a a a a a a ++++++的值；【详解】解：设6()(21)f x x =+，260126()(1)(1)(1)g x a a x a x a x =+++++⋯++， 所以5()12(21)f x x '=+，5126()2(1)6(1)g x a a x a x '=+++⋯++， 又()()f x g x =，所以()()f x g x '='， 即5512612(21)2(1)6(1)x a a x a x +=+++⋯++， 取0x =得：1234562345612a a a a a a +++++=， 又(0)(0)g f =， 所以01a =，故01234562345611213a a a a a a a ++++++=+=， 故★答案★为：13【点睛】本题考查了导函数的应用、二项式定理，属于中档题 16.若函数()()23ln f x x a x x =+++在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围为________. 【★答案★】15(,6]2-- 【解析】 【分析】求导得到()()1'230f x x a x =+++=，123a x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，设()123g x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据单调性得到★答案★.【详解】()()23ln f x x a x x =+++，则()()1'230f x x a x =+++=，即123a x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，设()123g x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，则函数在12,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭上单调递减. 162g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1522g =-， 函数在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一的极值点，故15,62a ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦.故★答案★为：15,62⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了极值点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 四、解答题：（本大题共6小题，共计70分）17.已知复数z 满足|z |5=，z 的实部、虚部均为整数，且z 在复平面内对应的点位于第四象限. （1）求复数z ；（2）若()22m m n i z --=，求实数m ，n 的值. 【★答案★】(1) 12z i =-或2i z =-. (2) 3m =±，5n =. 【解析】 【分析】（1）利用已知条件，设出复数z ，通过225(,)a b a b +=∈Z 及所对点所在位置求出即可复数z ； （2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m ，n 的值【详解】（1）设(,)z a bi a b =+∈Z ，则225(,)a b a b +=∈Z ， 因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a >，0b <， 所以12a b =⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=-⎩，所以12z i =-或2i z =-.（2）由（1）知12z i =-或2i z =-，当12z i =-时，234z i =--；当2i z =-时234z i =-.因为()22m m n i z --=，所以234m m n =±⎧⎨-=⎩，解得3m =±，5n =.【点睛】本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题 18.已知8件不同的产品中有3件次品，现对它们一一进行测试，直至找到所有次品．(1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第6次测试时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？(2)若至多测试5次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试方法？ 【★答案★】（1）840；（2）936. 【解析】 【分析】（1）若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第6次才找到最后一件次品，则第2次，第6次，与第3至第5次选出1次，在这三个位置进行次品全排列，剩下的三个位置再对正品进行全排列，即可得★答案★.；（2）分检测3次可测出3件次品，检测4次可测出3件次品，检测5次测出3件次品，对检测5次时再分为两类：一类是恰好第5次测到次品，一类是前5次测到都是正品，即可得★答案★. 【详解】（1）若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第6次才找到最后一件次品，则第2次，第6次，与第3至第5次选出1次，在这三个位置进行次品全排列，剩下的三个位置再对正品进行全排列，所以共有：1333351080N C A A =⋅⋅=．（2）检测3次可测出3件次品，不同的测试方法有336A =种，检测4次可测出3件次品，不同的测试方法有13253390C A A =种；检测5次测出3件次品，分为两类：一类是恰好第5次测到次品，一类是前5次测到都是正品，不同的测试方法共有52353245840C A A A +=种．∴满足条件的不同测试方法的种数为690840936++=．【点睛】本题考查分步计数问题，考查排列组合的实际应用，考查用排列组合数表示方法数，是中档题．19.随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走人大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷，某公司随机抽取1000人对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的1000人中的性别以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：男女总计认为共享产品对生活有益 400 b n认为共享产品对生活无益 c200300 总计 500m1000（1）求出表格中c b m n,,,的值，并根据表中的数据，判断能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系？（2）现按照分层抽样从认为共享产品对生活无益的人员中随机抽取6人，再从6人中随机抽取2人赠送超市购物券作为答谢，求恰有1人是女性的概率.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.()20P K k ≥ 0.100 0.0500.010 0.001 0k2.7063.8416.63510.828【★答案★】（1）100300500700c b m n ====,,,；能（2）815【解析】 【分析】（1）由总数为1000，可求m ，n ，进而分别求出b ，c ，利用题目所给公式计算出2K ，与表格中数据进行对比，得出检验结果；（2）由分层抽样的结果知道抽出的6人中，4名女性，2名男性，则可将其全部列举出来最后求得相应概率.【详解】解：（1）依题意，100300500700c b m n ====，，，. 在本次的实验中，2K的观测值2K21000(400200300100)47.61910.828700300500500⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.∴在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系；（2）依题意，应该从认为共享产品对生活无益的女性中抽取4人，记为A B C D ，，，，从认为共享产品对生活无益的男性中抽取2人，记为a ，b . 从以上6人中随机抽取2人，所有的情况为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A C A D A a A b B C B D (),B a ，(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)B b C D C a C b D a D b a b ，共15种，其中满足条件的为(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A a A b B a B b C a C b D a D b 共8种情况，故所求概率815P =； 【点睛】本题考查了学生运用表格求相应统计数据的能力，会运用独立性检验处理实际问题中的关联性问题，考查了分层抽样结果，以及求简单随机事件的概率，可以列举法处理，属于中档题. 20.“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号，某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(),(1,2,3,4,5,6)i i x y i =，如表所示： 试销单价x （元） 4 5 6 7 8 9 产品销量y （件） 90 8483807568（1）已知变量x ，y 具有线性相关关系，求产品销量y （件）关于试销单价x （元）的线性回归方程ˆˆy bxa =+； （2）用ˆi y表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的产品销量的估计值.当销售数据(),i i x y 对应的残差的绝对值ˆ1i i yy -≤时，则将销售数据(),i i x y 称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数ξ的分布列和数学期望()E ξ.（参考公式：1221ˆˆ,ni ii nii x y nxyba y bx xnx ==-==--∑∑；参考数据：662113050;271i i ii i x y x ====∑∑） 【★答案★】（1）ˆ4106y x =-+；（2）分布列见解析，32. 【解析】 【分析】（1）根据公式直接计算即可；（2）利用（1）中所求的线性回归方程求出对应的估计值，然后得出“好数据”的个数，然后可得ξ的所有可能取值，然后求出对应的概率，然后即可得到分布列和算出期望.【详解】（1）因为611806i i y y ===∑，611 6.56i i x x ===∑所以()61622130506 6.580704271253.517.5ˆi i i i i x y nxybx n x ==--⨯⨯===-=---∑∑，ˆˆ804 6.5106ay bx =-=+⨯=，所以所求的线性回归方程为ˆ4106y x =-+. （2）利用（1）中所求的线性回归方程ˆ4106yx =-+可得，当14x =时，1ˆ90y =； 当25x =时，2ˆ86y=；当36x =时，3ˆ82y =；当47x =时，4ˆ78y =； 当58x =时，5ˆ74y=；当69x =时，6ˆ70y =. 与销售数据对比可知满足ˆ1i i y y -≤（i =1,2，…，6）的共有3个“好数据”：()4,90、()6,83、()8,75.于是ξ的所有可能取值为0，1，2，3.()33361020C P C ξ===；()1233369120C C P C ξ===； ()2133369220C C P C ξ===；()33361320C P C ξ===，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P120 920 920 120于是()199130123202020202E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了线性回归和离散型随机变量的分布列和期望，考查了学生的计算能力，属于基础题.21.已知函数*()(1),nf x x n N =+∈. （1）当8n =时，求展开式中系数的最大项；（2）化简01122312222n n n n n n n n C C C C ----++++；（3）定义：121nin i aa a a ==+++∑，化简：1(1)nin i i C =+∑.【★答案★】（1）470x ；（2）32n ；（3）()1221n n -+-【解析】 【分析】（1）根据题意展开式中系数的最大项就是二项式系数最大的项，8n =，中间项为第5项，其系数最大（2）根据()()0122111nn n n nn n n n n f x x C C x C x C x C x --=+=++++，令2x =，即可求值(3)原式添加0n C ，利用倒序相加，化简即可. 【详解】（1）()()81f x x =+∴系数最大的项即为二项式系数最大的项4445870T C x x ==（2）()()0122111nn n n nn n n n n f x x C C x C x C x C x --=+=++++∴原式()()01122113222212222n nn n n n n n n nC C C C --=++++=+= （3）()11ni ni i C=+∑ ()121231n n n n n n C C nC n C -=++++ ①()11nini i C=+∑ ()121132nn n nn n n C nC C C -=++++ ②在①、②添加0n C ，则得 1+()11nini i C=+∑ ()0121231n n n n n n n C C C nC n C -=+++++ ③1+()11nini i C=+∑ ()12101321nn n nn n n n C nC C C C -=+++++ ④③+④得： 2（1+()11nini i C=+∑）()()()0121222n n n n n n n n n C C C C C n -=++++++=+∴ ()11ni n i i C =+∑=()1221n n -+-【点睛】本题主要考查了二项式定理，二项式系数，倒序相加法，赋值法，属于中档题. 22.已知函数()ln f x x ax a =-+，()2xg x xe x =-.（1）若3x =是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （2）求函数()y f x =的单调区间；（3）已知1a =，当()0,x ∈+∞，试比较()f x 与()g x 的大小，并给予证明. 【★答案★】（1）2320x y --=；（2）详见解析；（3）()()f x g x ≤，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据极值点定义可构造方程求得a ，根据导数几何意义可求得结果；（2）分别在0a ≤和0a >两种情况下，根据导函数的正负得到原函数的单调区间； （3）令()()()F x g x f x =-，可求得()()11xx F x xe x+'=-；令()()10x h x xe x =->，利用导数和零点存在定理可确定()h x ，即()F x '的正负，从而得到()F x 的单调性和最值，通过最值可知()0F x ≥，进而得到大小关系.【详解】（1）由题意得：()1f x a x'=-， 3x =是()f x 的极值点，()1303f a '∴=-=，解得：13a =()121133f '∴=-=，又()10f =，∴所求切线方程为()2013y x -=-，即2320x y --=.（2）由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()()110axf x a x x x-'=-=>，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x ∴的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当0a >时，令()0f x '=，解得：1x a=， ∴当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；()f x ∴的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （3）令()()()()ln 10xF x g x f x xe x x x =-=--->，则()()1111xxxx F x xe e xe x x+'=+--=-， 令()()10xh x xe x =->，则()()10xh x x e '=+>，∴函数()h x 在()0,∞+上单调递增，又()00h <，()10h >，()h x ∴存在唯一零点()0,1c ∈，使得()0h c =∴当()0,x c ∈时，()0h x <；当(),x c ∈+∞时，()0h x >； ∴当()0,x c ∈时，()0F x '<；当(),x c ∈+∞时，()0F x '>；∴函数()F x 在()0,c 上单调递减，在(),c +∞上单调递增，()()ln 1c F x F c ce c c ∴≥=---，又()10ch c ce =-=，即1c ce =，ln 0c c ∴+=，()()0F x F c ∴≥=，()()f x g x ∴≤在()0,∞+上恒成立.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据极值求解参数值、求解曲线在某一点处的切线方程、讨论含参数函数的单调性、比较函数大小关系的问题；比较函数大小关系的关键是能够通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。