最优控制方法在直线二级倒立摆中的应用
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二级倒立摆系统的最优控制
J= 1 T T ∫ [ x (t )Qx(t ) + u (t ) Ru(t )]dt 20
∞
ut
+
B
+
1 /S
x
C
y
A
R-1BT
P
五、仿真分析
将某二级倒立摆系统模型各参数代入式1-8，得出系数矩阵 设, 写出Matlab程序如下：
A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1; 0,-2.57163,0.164291,-16.6674,0.0124145,0.005; 0,29.9499,-15.1957,40.3167,-0.204856,0.17380; 0,29.9499,65.4455,-49.3949,0.463474,-0.59148]; B=[0;0;0;8.64636;-20.9146;25.9146]; C=[1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0];D=[0;0;0]; %求开环特征值 r1=eig(A) %加入最优反馈器 q1=100;q2=10;q3=5000;q4=0;q5=0;q6=0; Q=[q1 0 0 0 0 0;0 q2 0 0 0 0;0 0 q3 0 0 0;0 0 0 q4 0 0;0 0 0 0 q5 0;0 0 0 0 0 q6];R=1; %求最优增益矩阵、黎卡提方程的解、闭环特征值 [K,P,r2]=lqr(A,B,Q,R) Ac=[(A-B*K)];Bc=[B];Cc=[C];Dc=[D]; T=0:0.02:20;U=zeros(size(T)); x0=[0;-0.05;0.1;0;0;0]; [Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T,x0); %绘制下摆偏离垂直方向的角度变化曲线 figure(1);plot(T,Y(:,1)); xlabel('Time/sec');ylabel('01/rad');grid; %绘制上下摆角度之差的曲线 figure(2);plot(T,Y(:,2)); xlabel('Time/sec');ylabel('02-01/rad');grid; %绘制小车位移曲线 figure(3);plot(T,Y(:,3)) xlabel('Time/sec');ylabel('x(小车)/m');grid;
∞
ut
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A
R-1BT
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五、仿真分析
将某二级倒立摆系统模型各参数代入式1-8，得出系数矩阵 设, 写出Matlab程序如下：
A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1; 0,-2.57163,0.164291,-16.6674,0.0124145,0.005; 0,29.9499,-15.1957,40.3167,-0.204856,0.17380; 0,29.9499,65.4455,-49.3949,0.463474,-0.59148]; B=[0;0;0;8.64636;-20.9146;25.9146]; C=[1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0];D=[0;0;0]; %求开环特征值 r1=eig(A) %加入最优反馈器 q1=100;q2=10;q3=5000;q4=0;q5=0;q6=0; Q=[q1 0 0 0 0 0;0 q2 0 0 0 0;0 0 q3 0 0 0;0 0 0 q4 0 0;0 0 0 0 q5 0;0 0 0 0 0 q6];R=1; %求最优增益矩阵、黎卡提方程的解、闭环特征值 [K,P,r2]=lqr(A,B,Q,R) Ac=[(A-B*K)];Bc=[B];Cc=[C];Dc=[D]; T=0:0.02:20;U=zeros(size(T)); x0=[0;-0.05;0.1;0;0;0]; [Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T,x0); %绘制下摆偏离垂直方向的角度变化曲线 figure(1);plot(T,Y(:,1)); xlabel('Time/sec');ylabel('01/rad');grid; %绘制上下摆角度之差的曲线 figure(2);plot(T,Y(:,2)); xlabel('Time/sec');ylabel('02-01/rad');grid; %绘制小车位移曲线 figure(3);plot(T,Y(:,3)) xlabel('Time/sec');ylabel('x(小车)/m');grid;
针对二级倒立摆的LQR控制系统设计
目录0. 前言 (1)1. 倒立摆 (2)1.1倒立摆的结构和工作原理 (2)1.2 倒立摆的特性 (3)1.3控制方法 (3)1.4课设目的 (4)2. 直线二级倒立摆的数学模型的建立与分析 (4)2.1建立数学模型 (4)2.2 系统的能控能观测性分析 (8)3. LQR控制器的设计 (9)3.1关于二次型最优控制（LQR） (9)3.2 LQR的基本原理 (10)3.3加权阵Q和R的选择 (11)4. LQR控制器参数的调试与仿真 (12)5. 总结与体会 (17)参考文献 (18).课设题目针对直线二级倒立摆的LQR控制系统设计金万福沈阳航空航天大学自动化学院摘要：倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的高阶不稳定系统，它是检验各种新的控制理论和方法有效性的典型理想模型。
在其控制过程中，能有效地反映诸如镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等许多关键问题。
本文主要研究二级倒立摆LQR控制方法。
首先建立了二级倒立摆的数学模型，然后对二级倒立摆的数学模型进行控制设计，应用遗传算法确定系统性能指标函数中的加权阵Q，R得到系统状态反馈控制矩阵。
最后，用MATLAB进行了系统仿真。
在几次凑试Q矩阵值后系统的响应结果都不尽如人意，于是采用遗传算法对Q矩阵优化。
仿真结果证明：经过遗传算法优化后的系统响应能更加满足设计要求。
关键词：二级倒立摆；LQR控制；遗传算法0. 前言随着现代科学技术的快速发展，控制工程所面临的问题越来越复杂。
许多系统具有严重非线性、模型不确定、大滞后等特点。
倒立摆就是这样的复杂系统，对它的研究具有一般性。
倒立摆源于火箭发射器，最初的研究开始于二十世纪50 年代，由美国麻省理工学院的控制理论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。
倒立摆的控制技巧同杂技运动员倒立平衡表演有异曲同工之处，这表明一个不稳定的被控对象，通过人的直觉、采取定性的手段，可以使之具有良好的稳定性。
基于LQR最优调节器的二级倒立摆控制系统
分 依 赖 人 类 直 接 控 制 被 控 对 象 的 经 验 。文 献 【 ， ］ 出 了倒 立 摆 拟 人 控 制 方 法 ， 统 的 稳 定 范 围大 ， 棒 ３ ４提 系 鲁 性 好 ， 控 制 率 从 定 性 到 定 量 的 转 化 较 复 杂 。本 文 采 用 基 于 状 态 空 间 设 计 法 的 Ｌ 但 ＱＲ 最 优 调 节 器 ， 好 较 地 兼 顾 了 系 统 的 鲁 棒 稳 定 性 和 快 速 性 ， 究 应 用 实 例 说 明 了该 方 法 的有 效 性 。 研
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２ ｏ 年 ５月 Ｏ７
安度师范学院学报 （自熊科学版）
Ｊ ｕ ｌ ｆ ｎ ｉ ｅ ｃ ｅｓＣ ｌ ｇ （ ａ ｒ ｃ ｎ ｅＥ ｉ ｎ ｏ ｍａ ｏ Ａ ｑ ｇＴ ａ ｈ ｒ ｏ ｅ ｅ Ｎ ｔ ａ Ｓ ｉ ｃ ｄ ｉ ） ｎ ｌ ｕ ｌ ｅ ｔ ｏ
收 稿 日期 ： ０６ ０ — ８ ２ ０ — ７ ２
作者简 介： 吴文进 （ ９５ ， ， １７ 一） 男 安徽安庆人 ， 安庆师范学 院物理 与电气工程学院教 师， 硕士 ， 主要研究现代控制理论及其应用 。
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锁 良： 基于 Ｌ Ｒ最优调节器的二级倒立摆控制系统 Ｑ 得
摘 要： 倒立摆是一个典 型的快速、 多变量 、 非线性 、 绝对不稳定系统 。 对倒立摆 系统 的稳定性研究在理论
上和方法上具有深远的意义。本文建立了二级倒立摆 的数学模型 。 并推导 出模型的状态空间表达式， 分析了系
统 的稳定性 ， 能控性和能观性 。 利用 了线性 二次 型最优调节器 （ ＱＲ） Ｌ 方法实现对二级倒立摆的最优控制 ， ＭＡ Ｌ Ｂ Ｔ Ａ 仿真结果表明了该方法的有效性 。 关键词 ： 二级倒立摆； 最优调节器； 最优控制
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２ ｏ 年 ５月 Ｏ７
安度师范学院学报 （自熊科学版）
Ｊ ｕ ｌ ｆ ｎ ｉ ｅ ｃ ｅｓＣ ｌ ｇ （ ａ ｒ ｃ ｎ ｅＥ ｉ ｎ ｏ ｍａ ｏ Ａ ｑ ｇＴ ａ ｈ ｒ ｏ ｅ ｅ Ｎ ｔ ａ Ｓ ｉ ｃ ｄ ｉ ） ｎ ｌ ｕ ｌ ｅ ｔ ｏ
收 稿 日期 ： ０６ ０ — ８ ２ ０ — ７ ２
作者简 介： 吴文进 （ ９５ ， ， １７ 一） 男 安徽安庆人 ， 安庆师范学 院物理 与电气工程学院教 师， 硕士 ， 主要研究现代控制理论及其应用 。
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锁 良： 基于 Ｌ Ｒ最优调节器的二级倒立摆控制系统 Ｑ 得
摘 要： 倒立摆是一个典 型的快速、 多变量 、 非线性 、 绝对不稳定系统 。 对倒立摆 系统 的稳定性研究在理论
上和方法上具有深远的意义。本文建立了二级倒立摆 的数学模型 。 并推导 出模型的状态空间表达式， 分析了系
统 的稳定性 ， 能控性和能观性 。 利用 了线性 二次 型最优调节器 （ ＱＲ） Ｌ 方法实现对二级倒立摆的最优控制 ， ＭＡ Ｌ Ｂ Ｔ Ａ 仿真结果表明了该方法的有效性 。 关键词 ： 二级倒立摆； 最优调节器； 最优控制
二阶倒立摆的稳定性控制
二阶倒立摆的稳定性控制摘要:本文研究了二阶倒立摆系统的控制方法,采用极点配置、LQR最优控制设计了控制器,通过仿真,分析指出各种方法的优缺点。
在极点配置法中,通过仿真实验寻优,得到具有较好稳定性的初始值。
在LQR最优控制器的设计中,采用仿真结果表明:该控制策略能满足系统的控制要求,系统具有良好的动态性能。
关键词:二阶倒立摆极点配置LQR最优控制倒立摆系统是应用于自动控制理论的经典实验装置,是一个复杂的多变量、高度非线性、强耦合和快速运动的绝对不稳定系统,对于倒立摆的稳定性控制,不仅有重要的理论意义,而且还有很重要的工程意义。
一方面倒立摆系统成本低廉,结构简单,物理参数和结构容易调整的优点,在实验条件下容易实现。
对于倒立摆的控制会涉及控制中的许多关键问题,如镇定问题、跟踪问题、随动问题、非线性问题、及鲁棒性问题。
另一方面,任何重心在上,支点在下的控制问题都可以近似于倒立摆系统,如机器人行走的平衡问题,火箭发射的垂直控制和卫星飞行中的姿态控制等。
1 二阶倒立摆系统二阶倒立摆系统的机械部分主要由小车、摆杆1,2、导轨、皮带轮、传动皮带等组成,电气部分由电机、功率放大器、PWM、传感器、驱动电路以及保护电路组成。
1.1 二阶倒立摆的数学模型[1]假设:摆杆及小车为刚体;皮带轮及皮带间无相对滑动,皮带无伸长;小车的驱动力与直流放大器的输入成正比,且无滞后;忽略电极电枢绕组中的电感、库仑摩擦、动摩擦。
系统各参数如下。
M(小车质量)为1.32kg;m1(摆杆1质量)为0.04kg;m2(摆杆2质量)为0.132kg;m3(质量快的质量)为0.208kg;l1(摆杆1转动中心到杆心的距离)为0.09m;l2(摆杆2转动中心到杆心的距离)为0.27m;(摆杆1与垂直方向的夹角);(摆杆2与垂直方向的夹角);F(作用在系统上的外力);g(重力加速度)为9.8。
2 控制设计及仿真2.1 用极点配置设计伺服系统设计要求:二阶倒立摆尽可能的保持倒立垂直()。
直线二级倒立摆的控制问题的研究和matlab仿真毕业设计说明书 精品推荐
直线二级倒立摆的控制问题的研究和matlab仿真摘要倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的高阶不稳定系统，它是检验各种新型控制理论和方法有效性的典型装置。
近年来，许多学者对倒立摆系统进行广泛地研究。
本文研究了直线二级倒立摆的控制问题。
首先阐述了倒立摆系统控制的研究发展过程和现状，接着介绍了倒立摆系统的结构并详细推导了二级倒立摆的数学模型。
本文分别用极点配置、LQR最优控制设计了不同的控制器，通过比较和MATLAB仿真，验证了所设计的控制器的有效性、稳定性和抗干扰性。
关键词: 倒立摆；极点配置；最优控制； MATLAB；仿真ABSTRACTInverted pendulum is a typical multi-variable, non-linear, strong coupling and rapid movement of high-end system instability, It is testing various new control theory and methods of the effectiveness of the typical devices. In recent years, many scholars of the inverted pendulum extensive study.In this paper, a straight two inverted pendulum control problem.First on the inverted pendulum control of the development process and the status quo, then introduced the inverted pendulum system and the detailed structure of the two inverted pendulum is derived a mathematical model. In this paper, with pole placement, LQR optimal control design a different controller, By comparing and MATLAB simulation, verified the effectiveness ,stability and anti-jamming of the controller.Key words：Inverted pendulum；Pole Assignment；Optimal Control；MATLAB；Simulation目录摘要 (1)ABSTRACT (2)第一章绪论 (5)1.1 控制理论的发展 (5)1.2 倒立摆系统简介及其研究意义 (5)1.3 倒立摆研究的发展现状及其主要控制方法 (7)1.4 本人所做工作 (8)第二章直线二级倒立摆数学模型的建立 (10)2.1 倒立摆系统的物理结构及特性分析 (10)2.2 系统的数学建模 (11)2.2.1 两种数学建模方法的比较 (11)2.2.2 系统数学建模参数的设定 (12)2.2.3 直线二级倒立摆的拉格朗日方程建模 (13)2.2.4 二级倒立摆系统数学模型的线性化 (17)2.3 系统参数的设定 (19)2.4 倒立摆系统的初步运动分析 (20)第三章直线二级倒立摆控制方案的设计 (22)3.1极点配置控制方案的设计 (22)3.1.1 极点配置理论 (22)3.1.2 极点配置算法 (23)3.2 线性二次型最优控制(LQR)方案的设计 (24)3.2.1 线性二次型最优控制原理 (24)3.2.2 Q, R阵的选择 (26)第四章控制系统的MATLAB仿真 (27)4.1 仿真软件的介绍 (27)4.1.1 MATLAB简介 (27)4.1.2 MATLAB7.0简介 (28)4.1.3 Simulink 6.0仿真工具箱简介 (29)4.2 无干扰控制系统的仿真 (30)4.2.1 极点配置控制方案的仿真 (32)4.2.2 线性二次型最优控制(LQR)方案的仿真 (36)4.3 干扰条件下控制系统的仿真 (40)4.3.1 极点配置控制方案的仿真 (42)4.3.2 线性二次型最优控制(LQR)方案的仿真 (45)结论 (50)致谢 (52)参考文献 (53)第一章绪论1.1 控制理论的发展控制理论发展至今已有100多年的历史，随着现代科学技术的发展，它的应用也越来越广泛。
倒立摆研究报告(DOC)
基于LQR控制的二级倒立摆系统研究作者：牛娟031210308王晨琳031210307王鹤彬031210312 学院：自动化指导老师：王晶、陆宁云摘要倒立摆系统是一种高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的系统，是进行控制理论研究的典型实验平台。
本文采用最优控制的方法设计二级倒立摆系统的控制器。
首先简要介绍了倒立摆以及倒立摆的几种常见控制方法，着重介绍了最优控制理论，其次对二级倒立摆系统进行了数学建模，最后对线性二次型最优控制原理进行了分析并使用MATLAB进行了仿真。
关键词：二级倒立摆，最优控制目录一、绪论 (3)1.1、倒立摆系统简介 (3)1.2、倒立摆系统的控制算法 (3)1.3、小结 (4)二、直线倒立摆的建模 (4)2.1、直线二级倒立摆的建模 (4)2.2、直线二级倒立摆的定性分析 (6)三、基于MATLAB的LQR仿真 (9)3.1、最优控制（LQR）简介 (9)3.2、线性二次型最有调节器原理 (9)3.3、MATLAB仿真 (10)3.4、SIMULINK仿真 (11)四、结束语 (13)4.1、小结 (13)4.2、未解决问题展望 (13)五、附录 (13)一、绪论1.1、倒立摆系统简介倒立摆系统是一种高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的系统，是进行控制理论研究的典型实验平台。
许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来。
在控制理论发展的过程中，某种控制理论的正确性及可行性需要通过设计一个控制器去控制一个典型的控制对象去加以验证。
倒立摆系统正是这样一种比较典型的控制对象。
最简单的倒立摆可由一个可在水平轨道上自由移动的小车和倒置摆铰链组成。
倒立摆的种类繁多，分类方法也多种多样：按结构来分有直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆；按级数来分有一级摆，二级摆，三级摆乃至更高级摆；按运动轨道来分有水平轨道倒立摆，倾斜轨道倒立摆；按控制电机数目来分有单电机倒立摆，多电机倒立摆。
线性二次型最优控制在倒立摆系统中的应用
中图分类号 ：Ｄ ５ Ｔ ８７
Ａ ｐ ｃｔ ｎｏ ＱＲ ｎ ｅｔｄＰ ｎ ｕｕ Ｓ ｓ ｍ ｐ ｆ ａｉ ｆ ｉ ｏ Ｌ ｉ Ｉｖ ｒｅ ｅ ｄ ｌｍ ｙｔ ｎ ｅ
ＸＩ ｉｒ ｎ Ｕ ｅ Ｅ Ｌ —ｏ ｇ． Ｗ ｉ
（ｏ ｅｅｏ Ｅｅｔｃｌ ｎｉ ｅ ｎ ， ｉｉ ｇＵ ｉ ｒｔ， ｒｍ ｉ ３０ ８ ｈ ａ Ｃｌｇ ｌ ｒ ａ Ｅ ｓ ｅｒ ｇ Ｘｎａ ｎ ｅ ｉ Ｕｕ ｑ ８００ ，Ｃｉ ） ｌ ｆ ｃｉ ｎ ｉ ｊｎ ｖ ｓｙ ｎ
有非 常重要 的位 置 ． 由于线 性二 次型 （ Ｑ 性 能指 标 Ｌ）
态特性 等 优 点 ， 性 二 次 型 在 控 制 界 得 到 普 遍 重 线
视． 通过倒立摆 Ｌ Ｒ最优控制系统设计与研究， Ｑ 并 从实时控制效果 出发 ， 找出系统的动态响应与加权
阵 Ｑ和 之 间的变化规律 ， 用于指 导实 践 ． 并
收稿 日期 ；０８ ６ １ ２０ —０ —１ 基金项 目： 新疆维吾尔 自治 区精品课程建设项 目（０ ５３ ； ２０ ４ ）新疆大学 院校联合项 目（７２ １ ． ０００ ） 作者 简介 ： 谢丽蓉 （９ ９ ， ， １６一） 女 讲师 ， 主要从事 自动控制理论 、 系统教 学与研究 ．
ｉ ｅ ｅ ｎ ｕ ｔ ｇｏ ｅｔ Ｔ ｅ ｅ ｈｅ ａ ｉ Ｑ ａｄＲ ａ ￣ ｚ ｒ ｇ ｍｅ ｎｅ ｅ ｎ ｎ ｒ ｄｐ ｄ ｕ ｖｔ ｅ ｌ ｍ ｈ ｏｄｅ ｃ． ｈ ｉ ｔ ｍ ｔｘ ｒ ａ ｙｅ ｔ ｏｈ ｓ ｖｒ ｐ — ｆ ｗ ｇｄ ｒ ｎ ｅｎ ｄ ｈ ｕ ｏ ｉ ｔ ｅ ｄ ｄ ｕ ｘｅｉ ｎ ｅ ｒ ｉｅ ｅＱ ａｄＲ． ｅｂｓ ｗ ａｅｂｅ ｕ ｄｏｔ ｅ ｅｎｔ ｓ ｍ — ｌ ｕ ｅｐ ｒ ｔｔ ｄｔ ｍｎ Ｔ ａｉ ｌ ｓ ｖ ｅｎｆ ｎ ｕ ｂｔ ｅ ｅｓ ｔ ｒ ｍ ｍｅ ｓ ｏ ｅ ｈ ｔ ｎ ｈ ｃａ ｈ ｏ ｗ ｈ ｙｅ ｅ ｓ ｎｅｐｒ ｒ ａｃ ｄ ｔｅｍ ｔｘＱ ａｄ Ｒ．Ｔ ｅｅｐ ｒ ｅ ｔ ｅｕ ｓｓｏ ｅｃｎ ｌ ｉ ｉ ｔａｄ ｅ ｐ ｓ ｆ ｍ ｎ ｅａ ａ ｈ ｘｅ ｍ ｎ ｌｒ ｌ ｈｗ ｔ ｏｃ ｓ ｎｉ ｒ ｅ ｏ ｎ ｈ ｉ ｒ ｎ ｉ ａ ｓｔ ｈ ｕｏ ｓ ｇ ｎ ｈ
直线二级倒立摆控制课程设计指导书
直线两级倒立摆控制课程设计指导书一、课程设计目的学习直线两级倒立摆的数学建模方法，运用现代控制理论知识设计控制器，应用Matlab进行仿真并与实际系统运行结果进行对比分析。
通过本次课程设计，建立理论知识与实体对象之间的联系，加深和巩固所学的控制理论知识，增加工程实践能力。
二、课程设计内容1、应用动力学知识建立直线两级倒立摆的数学模型（微分方程的形式），并转变成状态空间的表达形式。
2、运用现代控制理论知识，按设计要求设计状态反馈控制器。
3、应用Matlab的Simulink建立控制系统的仿真模型，得出仿真结果。
4、将仿真设计所得的状态反馈设计参数应用于实际控制系统中，观察实际控制结果，对比仿真结果与实际输出结果，修正设计值，使之满足设计要求。
三、课程设计参数与要求1、控制对象示意图图1 直线两级倒立摆系统模型图2、对象的参数l摆杆1转动中心到杆质心的距离0.09m M 小车质量1.32 Kg1l摆杆2转动中心到杆质心的距离0.27m m1 摆杆1的质量0.04 Kg2m2 摆杆1的质量0.132 Kg F 作用在系统上的外力m3 质量块的质量0.208 Kg X 小车的位移θ1摆杆1与垂直向上方向的夹角θ2摆杆2与垂直向上方向的夹角注：θ1、θ2取逆时针方向为正方向3、控制要求（系统开始运动到稳定运行时，以及接受扰动时）※小车位置X 和摆杆角度的稳定时间小于5 秒；※小车位置X的波动幅度小于0.3m；※摆杆角度θ1、θ2的波动幅度小于5度※稳态误差小于2% 。
四、课程设计所需提交的内容1、系统建模的详细推导过程和状态反馈控制器的设计过程。
2、给出整个控制系统的Simulink仿真结构图。
3、计算系统引入状态反馈前和引入状态反馈后的极点，并用Matlab绘图功能绘制极点图。
4、应用Matlab绘图功能分别绘制系统在零输入状态（初始状态不为零）、扰动输入（扰动量持续时间≤0.5s）时的系统响应曲线图（只需X、θ1、θ2的响应曲线，在每一输入状态下，此三个量的响应曲线在同一图中体现），并给出给响应曲线的动态响应指标值。
二级倒立摆的LQR和LQY控制
二级倒立摆的LQR 和LQY 控制摘要：本文首先采用小扰动原理将二级倒立摆的非线性模型在其平衡点附近线性化，然后基于该线性化模型，分别采用线性二次状态调节器和输出调节器设计最优性能指标和反馈控制率，最后进行了仿真，并对两者的仿真结果进行了分析和比较。
一． 二级倒立摆非线性数学模型的建立及线性化图1给出了一个二级倒立摆系统的物理结构示意图。
其中r 表示小车在水平位置的位移，1θ表示下摆杆与垂直位置的角度，2θ表示上摆杆与垂直位置的角度。
图 1 二级倒立摆的物理结构示意图为了设计上述二级倒立摆系统的线性控制器，必须先对被控系统进行建模。
另外，为了减小建模的难度，对系统有如下假设：① 每一级摆杆都是刚体。
② 在实验过程中同步带长度保持不变。
③ 驱动力与放大器输入成正比，没有延迟直接施加于小车。
④ 实验过程中的库仑摩擦、动摩擦等所有摩擦力足够小，在建模过程中可忽略不计。
在上述假设的条件下，根据动力学理论，其动力学方程如下：Gu N rF r M ++⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡),(),,,(),(212121212121θθθθθθθθθθθθ （1）其中)cos( cos )cos( cos )( cos cos )( ),(2222122122221221221221111121222112132121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++++++=l M J l L M l M l L M L M l M J l M M l M l M M M M M M θθθθθθθθθθ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+∙--+∙-+-∙∙+-=12112212221221221222211121102121 )sin( 0 )sin( )( 0 sin sin )( ),,,(F F l L M F l L M F F l M L M l M F F θθθθθθθθθθθθθθ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=2221121121sinsin 0 ),(θθθθg l M g L M l M N ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= 0 0 0G G式中个参量的意义及参数值如下表1所示。
二级倒立摆的 LQG 最优控制研究
后， 根据 Ｉ Ｑ（ 的 分离 原理 设计 出控 制器 ， 实 现 了对 噪 声 的有效 抑制 。
１ 系统 建 模
直线 二级 倒立 摆 系统 的模 型结 构 如图 １ 所 示 。图 １中 ， ， 一 为 小车 位移 （ 右 为正 方 向 ） ； ， 分 别 为 下 摆 杆、 上摆 杆 与垂 直方 向的夹 角 （ 顺 时针 为正方 向） 。 为使研 究对 象的 模 型不 过 于 复 杂 ， 简 化 数 学模 型
二级 倒 立摆 的 Ｌ ＱＧ 最优 控 制 研 究 与 电 气工 程 学 院 。 山东 青岛 ２ ６ ６ ５ ９ ０ ）
摘 要 ： 为 实 现 二级 倒 立摆 系统 的稳 摆 控 制 ，应 用 了 线 性 二 次 高 斯 最 优 控 制 。 根 据 Ｌ Ｑ Ｇ 的 分 离 原 理 ． 首 先 利 用 最 优 控制 设 计 控制 律 ，得 到状 态 反馈 ； 由于 系统 状 态 不 能 完全 测 得 ， 而 且 系统 也 不 可避 免地 会 受 到 噪 声 的 影 响 ， 在 详 细 给 出相 应 参 数取 值 规 则 的 基 础 上 ，采 用 了卡 尔 曼滤 波 对 系统 输 出做 出最 优 估 计 。 最 后 的 仿 真 结 果 表 明 ． 设 计 的 控制 器 能 够 较好 地 对 二 级倒 立摆 进 行 稳定 控制 ，且 具 有 抑 制 噪 声 和 抗 干 扰 能 力 。
第 ｌ 期（ 总第 １ ８ ２期 ）
２ Ｏ Ｉ ４年 Ｏ ２月
机 械 工 程 与 自 动 化
ＭＥ ＣＩ ｛ ＡＮＩ ＣＡＬ ＥＮＧＩ ＮＥＥ Ｒｌ ＮＧ ＆ ＡＵＴ（ ） Ｍ ＡＴｌ （ ） Ｎ
Ｎｏ．１ Ｆｅ ｂ．
文章编号 ： ｌ ６ ７ ２ — ６ ４ １ ３ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ｌ 一 ０ １ ５ ０ — ０ ３
１ 系统 建 模
直线 二级 倒立 摆 系统 的模 型结 构 如图 １ 所 示 。图 １中 ， ， 一 为 小车 位移 （ 右 为正 方 向 ） ； ， 分 别 为 下 摆 杆、 上摆 杆 与垂 直方 向的夹 角 （ 顺 时针 为正方 向） 。 为使研 究对 象的 模 型不 过 于 复 杂 ， 简 化 数 学模 型
二级 倒 立摆 的 Ｌ ＱＧ 最优 控 制 研 究 与 电 气工 程 学 院 。 山东 青岛 ２ ６ ６ ５ ９ ０ ）
摘 要 ： 为 实 现 二级 倒 立摆 系统 的稳 摆 控 制 ，应 用 了 线 性 二 次 高 斯 最 优 控 制 。 根 据 Ｌ Ｑ Ｇ 的 分 离 原 理 ． 首 先 利 用 最 优 控制 设 计 控制 律 ，得 到状 态 反馈 ； 由于 系统 状 态 不 能 完全 测 得 ， 而 且 系统 也 不 可避 免地 会 受 到 噪 声 的 影 响 ， 在 详 细 给 出相 应 参 数取 值 规 则 的 基 础 上 ，采 用 了卡 尔 曼滤 波 对 系统 输 出做 出最 优 估 计 。 最 后 的 仿 真 结 果 表 明 ． 设 计 的 控制 器 能 够 较好 地 对 二 级倒 立摆 进 行 稳定 控制 ，且 具 有 抑 制 噪 声 和 抗 干 扰 能 力 。
第 ｌ 期（ 总第 １ ８ ２期 ）
２ Ｏ Ｉ ４年 Ｏ ２月
机 械 工 程 与 自 动 化
ＭＥ ＣＩ ｛ ＡＮＩ ＣＡＬ ＥＮＧＩ ＮＥＥ Ｒｌ ＮＧ ＆ ＡＵＴ（ ） Ｍ ＡＴｌ （ ） Ｎ
Ｎｏ．１ Ｆｅ ｂ．
文章编号 ： ｌ ６ ７ ２ — ６ ４ １ ３ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ｌ 一 ０ １ ５ ０ — ０ ３
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题目最优控制方法在直线二级倒立摆中的应用目录摘要 (1)前言 (3)1倒立摆的研究 (3)1.1 倒立摆的研究背景 (4)1.2倒立摆的控制方法 (3)2 二级倒立摆系统控制机理 (6)2.1系统描述 (6)2.2 二级倒立摆系统强迫运动的描述 (8)2.3 二级倒立摆系统的控制规律 (8)3直线二级倒立摆的建模 (9)3．1 建模条件 (10)3.2 利用力学建模 (11)3.3利用拉格朗日方程建模 (14)4 最优控制器的设计与调节 (18)4.1 最优控制理论概述 (18)4.2 应用软件MATLAB的简介 (21)4.3LQR控制器的设计与调节 (22)4.3.1 LQR控制器的设计 (22)4.3.2 加入增益的LQR控制器的调节 (27)4.4连续系统的离散化仿真设计 (28)5 最优控制法与极点配置法的比较 (31)5.1 极点配置法的基本原理 (31)5.2 配置极点并与最优控制法比较 (33)6总结 (38)致谢 (39)参考文献 (40)附录 (41)最优控制方法在直线二级倒立摆中的应用摘要：倒立摆系统以其自身的不稳定性而难以控制, 也因此成为自动控制实验中验证控制策略优劣的极好的实验装置。
本文介绍了直线二级倒立摆的控制机理，详细的分析了直线二级倒立摆的建模过程。
并且对最优控制理论和MATLAB做了简单的介绍，针对系统设计了最优控制器，并与极点配置法进行了比较。
结果表明最优控制器对于二级倒立摆系统有着很好的控制能力。
关键词：二级倒立摆；LQR；极点配置；MATLABThe application of Optimal Control onDouble Inverted PendulumStudent：QIN Kai-yangSupervisor：Y AN Juan-juan(College of Electrical Engineering &InformationTechnology, China Three Gorges University)Abstract：Inverted pendulum system is difficult to control because of its instability. It becomes the wonderful experiment device to verify how about the control strategy in automatic control experiment. The text introduced the mechanism of the double inverted pendulum. It simply introduced optimal control theory and the software of Matlab. The double inverted pendulum is modeled and the controller is designed by using optimal control theory. The simulating results show that quadratic optimal control has the ability to control the representative nonlinear instability system.Key words：Double Inverted Pendulum；LQR；MATLAB；Pole ConfigurationMethod前言倒立摆系统是一个典型的非线性、不稳定的被控对象，它作为现代控制理论或教学的实验装置是非常典型的。
倒立摆系统的控制问题被公认为控制理论中的一个典型问题，许多新的实时控制理论都通过倒立摆控制实验来加以验证。
对于倒立摆的控制有很多方法，如果把倒立摆的非线性模型线性化处理，设计系统的线性控制器，就是线性理论的控制方法，，但这类方法仅能实现对低级的倒立摆系统的控制，当摆数达三级甚至四级时误差就很大，无法实现控制，此时人们又发展到非线性的多变量控制。
这种控制方法包括预测控制和变结构控制法。
此外还有智能控制方法，它包括：神经网络控制，模糊控制，拟人智能控制，仿人智能控制，云模型控制，鲁棒控制方法。
在如此多的控制方法中，本文将就最优控制方法在直线二级倒立摆中的应用进行探讨。
最优控制理论是现代控制理论中的重要内容，近几十年的研究与应用使最优控制理论成为现代控制论中的一大分支。
由于计算机的发展已使过去认为不能实现的计算成为很容易的事，所以最优控制的思想和方法已在工程技术实践中得到越来越广泛的应用。
应用最优控制理论和方法可以在严密的数学基础上找出满足一定性能优化要求的系统最优控制律，这种控制律可以是时间t的显式函数，也可以是系统状态反馈或系统输出反馈的反馈律。
常用的最优化求解方法有变分法、最大值原理以及动态规划法等。
本文主要采用线性二次型最优设计方法设计直线二级倒立摆的LQR控制器。
LQR控制器性能指标易于分析、处理和计算，而且通过线性二次型最优设计方法得到的倒立摆系统具有较好的动态特性以及能够获得线性反馈结构等优点，因而在实际的倒立摆控制系统设计中得到了广泛的应用。
但是在使用该方法时，最优控制的效果取决于确定的加权矩阵Q 和R，另外为了满足实际需要还应对系统进行进一步调节。
通过直线二级倒立摆LQR 最优控制系统设计与研究，并从实际控制效果出发，确定加权矩阵Q 和R，并加入增益反馈矩阵进行调节，这就是该文的基本观点。
1 倒立摆的研究在控制理论发展的过程中，某一理论的正确性及实际应用中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证。
倒立摆就是这样一个被控制对象倒立摆系统是一个多变量、快速、非线性和自然不稳定系统，在控制过程中能有效地反映控制中的许多关键问题，如非线性问题、系统的鲁棒性问题、随动问题镇定问题及跟踪问题等。
倒立摆系统作为一个实验装置，形象直观，结构简单构件组成参数和形状易于改变，成本低廉。
倒立摆系统的控制效果可以通过其稳定性直观地体现，也可以通过摆杆角度、小车位移和稳定时间直接度量。
其实验效果直观、显著。
当新的控制理论与方法出现后，可以用倒立摆对其正确性和实用性加以物理验证，并对各种方法进行快捷、有效、生动的比较。
早在60 年代人们就开始了对倒立摆系统的研究，1966 年Schaefer Cannon 应用Bang-Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。
在60 年代后期，作为一个典型的不稳定、严重非线性证例提出了倒立摆的概念，并用其检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力受到世界各国许多科学家的重视，从而用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆成为具有挑战性的课题之一。
倒立摆的种类很多，有悬挂式倒立摆平行倒立摆环形倒立摆；平面倒立摆的级数可以是一级、二级、三级、四级乃至多级；倒立摆的运动轨道可以是水平的，还可以是倾斜的(这对实际机器人的步行稳定控制研究更有意义)；控制电机可以是单电机也可以是多级电机。
1.1 倒立摆研究的背景倒立摆的研究具有重要的工程背景：(1) 机器人的站立与行走类似双倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问世至今已有三十年的历史，机器人的关键技术——机器人的行走控制至今仍未能很好解决。
(2) 在火箭等飞行器的飞行过程中，为了保持其正确的姿态，要不断进行实时控制。
(3) 通信卫星在预先计算好的轨道和确定的位置上运行的同时，要保持其稳定的姿态使卫星天线一直指向地球，使它的太阳能电池板一直指向太阳。
(4) 侦察卫星中摄像机的轻微抖动会对摄像的图像质量产生很大的影响，为了提高摄像的质量，必须能自动地保持伺服云台的稳定消除震动。
(5) 为防止单级火箭在拐弯时断裂而诞生的柔性火箭(多级火箭)，其飞行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进行研究。
由于倒立摆系统与双足机器人、火箭飞行控制和各类伺服云台稳定有很大相似性，因此对倒立摆控制机理的研究具有重要的理论和实践意义。
1.2 倒立摆系统的控制方法对倒立摆这样的一个典型被控对象进行研究，无论在理论上和方法上都具有重要意义。
不仅由于其级数增加而产生的控制难度是对人类控制能力的有力挑战，更重要的是实现其控制稳定的过程中不断发现新的控制方法、探索新的控制理论，并进而将新的控制方法应用到更广泛的受控对象中。
各种控制理论和方法都可以在这里得以充分实践，并且可以促成相互间的有机结合。
当前倒立摆的控制方法可分为以下几类：(1) 线性理论控制方法将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型，然后再利用各种线性系统控制器设计方法，得到期望的控制器。
PID 控制、状态反馈控制、LQ 控制算法是其典型代表。
这类方法对一二级的倒立摆(线性化后误差较小模型较简单)控制时，可以解决常规倒立摆的稳定控制问题。
但对于像非线性较强、模型较复杂的多变量系统(三四级以及多级倒立摆)线性系统设计方法的局限性就十分明显，这就要求采用更有效的方法来进行合理的设计。
(2) 预测控制和变结构控制方法由于线性控制理论与倒立摆系统多变量、非线性之间的矛盾使人们意识到针对多变量非线性对象，采用具有非线性特性的多变量控制解决多变量、非线性系统的必由之路。
人们先后开展了预测控制、变结构控制和自适应控制的研究。
预测控制是一种优化控制方法，强调的实模型的功能而不是结构。
变结构控制是一种非连续控制，可将控制对象从任意位置控制到滑动曲面上仍然保持系统的稳定性和鲁棒性,但是系统存在颤抖。
预测控制、变结构控制和自适应控制在理论上有较好的控制效果，但由于控制方法复杂成本也高不易在快速变化的系统上实时实现。
(3) 智能控制方法在倒立摆系统中用到的智能控制方法主要有神经网络控制模糊控制仿人智能控制拟人智能控制和云模型控制等。
1）神经网络控制神经网络能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，NN 能够学习与适应严重不确定性系统的动态特性，所有定量或定性的信息都等势分布贮存于网络内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性；也可将Q 学习算法和BP神经网络有效结合，实现状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制，但是神经网络控制方法存在的主要问题是缺乏一种专门适合于控制问题的动态神经网络，而且多层网络的层数、隐层神经元的数量、激发函数类型的选择缺乏指导性原则等。
2）模糊控制经典的模糊控制器利用模糊集合理论将专家知识或操作人员经验形成的语言规则直接转化为自动控制策略(通常是专家模糊规则查询标)，其设计不依靠对象精确的数学模型，而是利用其语言知识模型进行设计和修正控制算法。
常规的模糊控制器的设计方法有很大的局限性，首先难以建立一组比较完善的多维模糊控制规则，即使能凑成这样一组不完整的粗糙的模糊控制规则，其控制效果也是难以保证的。