北师大八年级数学：平行四边形辅助线的作法

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龙文教育网站： 1 龙文个性化辅导讲义

（2011 ~ 2012 学年 第 1学期）

任教科目：数学

授课题目：菱形、矩形、正方形

年 级：八年级

任课教师：***

龙文师资培训部编制

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龙文教育网站： 2 主任签名：_________

日 期：__________

龙文个性化辅导教案

授课教师 杜九玲 授课对象 虞嘉雯

授课时间 2011-10-29 授课题目 菱形、矩形、正方形

课 型 综合 使用教具

教学目标 掌握菱形、矩形、正方形的性质。

菱形、矩形、正方形的判别方法。

菱形、矩形、正方形在平行四边形中的特殊性。

教学重点和难点 菱形、矩形、正方形的判别方法。

菱形、矩形、正方形在平行四边形中的特殊性。

参考教材

平行四边形的性质和判别

一、基础知识回顾

1．平行四边形的定义：（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

（2）表示：平行四边形用符号“ ”来表示。

2．平行四边形性质：（1）边：两组对边分别平行且相等；

（2）角：对角相等、邻角互补；

（3）对角线：对角线互相平分。 龙文学校-----您值得信赖的专业个性化辅导学校

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龙文教育网站： 3

二、重点、难点

（一）菱形

1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2、菱形的性质：

第六章 平行四边形

一、平行四边形的性质

1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质

（1）平行四边形的对边平行且相等。

（2）平行四边形的邻角互补

（3）平行四边形的对角相等

（4）平行四边形的对角线互相平分。

二、平行四边形的判定

1、平行四边形的判定

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（3）定理2：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

（4）定理3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

2、两条平行线的距离

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

平行线间的距离处处相等。

3、平行四边形的面积：S平行四边形=底×高=ah

三、三角形的中位线

1、概念：连接三角两边中点的线段叫做三角的中位线（共三条中位线）

2、三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半

四、多边形的内角和与外角和

1、多边形的内角和定理：n边形的内角和等于•)2(n180°；

多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。

2、正多边形的每个内角都等于nn0180)2(•

解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法

——形成精准思维模式，快速解题

◆类型一 利用“三线合一”作辅助线

一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，则BC＝________.

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.

3．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC，连接EB.求证：EB⊥AB.

二、构造等腰三角形 4．如图，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为(

)

A．3 B．4 C．5 D．6

5．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.

◆类型二 巧用等腰直角三角形构造全等

6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上．求证：DE＝DF.

◆类型三 等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC＝AB＋CD.

8．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连接PQ交AC于点D.

(1)求证：PD＝DQ；

(2)若△ABC的边长为1，求DE的长．【方法8】

参考答案与解析

1．4

2．证明：连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD.在△AED和△AFD中，AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△AED≌△AFD，∴DE＝DF.

3．证明：过点E作EF⊥AC于点F.∵EA＝EC，∴AF＝FC＝12AC.∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(SAS)，∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB.

解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法

——形成精准思维模式，快速解题

◆类型一 利用“三线合一”作辅助线

一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，则BC＝________.

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.

3．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC，连接EB.求证：EB⊥AB.

二、构造等腰三角形

4．如图，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为(

)

A．3 B．4 C．5 D．6

5．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.

◆类型二 巧用等腰直角三角形构造全等

6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上．求证：DE＝DF.

◆类型三 等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC

＝AB＋CD.

8．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连接PQ交AC于点D.

(1)求证：PD＝DQ；

(2)若△ABC的边长为1，求DE的长．【方法8】

参考答案与解析

1．4

2．证明：连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD.在△AED和△AFD

中，AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△AED≌△AFD，∴DE＝DF.

3．证明：过点E作EF⊥AC于点F.∵EA＝EC，∴AF＝FC＝12AC.∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(SAS)，∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB.