江苏省南通市高考数学全真模拟试题及参考答案

1 江苏南通高考数学全真模拟试卷

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.

1.已知集合{0,1,2}A，则A的子集个数为 ．

2.已知复数12iza,22iz（其中0a，i为虚数单位）.若12||||zz，则a的值为 ．

3.执行如图所示的流程图，则输出的结果S ．

4.若直线1eyxb（e是自然对数的底数）是曲线lnyx的一条切线，则实数b的值是 ．

5.某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 ．

6.已知数据12,,,nxxx的方差为3，若数据1axb，2axb，…，naxb(,)abR的方差为12，则a的值为 ．

7.我们知道，以正三角形的三边的中点为顶点的三角形与原正三角形的面积之比为1:4，类比该命题得到：以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原正四面体的体积之比为 ．

8.在平面直角坐标系中，如果双曲线22221(0,0)xyabab的焦距为2(0)cc，那么当,ab任意变化时，abc的最大值是 ．

2 9.已知函数21,0()(1),0xxfxfxx，若方程()log(2)(01)afxxa有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为 ．

10.已知函数()2cosfxxx，数列{}na是公差为8的等差数列，若123()()()fafafa4()fa5()5fa，则2315[()]faaa ．

11.在平面直角坐标系中，若直线l与圆221:1Cxy和圆222:(52)(52)49Cxy都相切，且两个圆的圆心均在直线l的下方，则直线l的斜率为 ．

12.已知实数6n，若关于x的不等式2(2)80xmxn对任意的[4,2]x都成立，则443mnmn的最小值为 ．

13.已知角,满足tan7tan13，若2sin()3，则sin()的值为 ．

14.将圆的六个等分点分成相同的两组，它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星.如图所示的正六角星的中心为点O，其中,xy分别为点O到两个顶点的向量.若将点O到正六角星12个顶点的向量都写成axby的形式，则ab的最大值为 ．

3 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.在平面直角坐标系中，已知点(0,0)A，(4,3)B，若,,ABC三点按顺时针方向排列构成等边三角形ABC，且直线BC与x轴交于点D.

（1）求cosCAD的值；

（2）求点C的坐标.

16.如图，在四棱柱1111ABCDABCD中，平面11AABB底面ABCD，且2ABC.

（1） 求证：//BC平面11ABC；

（2）求证：平面11AABB平面11ABC.

4 17. 已知城A和城B相距20km，现计划以AB为直径的半圆上选择一点C（不与点A，B重合）建造垃圾处理厂.垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与城B的影响度之和.记点到C城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比例关系，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比例关系，比例系数为k.当垃圾处理厂建在AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.

（1）将y表示成x的函数.

（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断在AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，请说明理由.

18. 已知椭圆:C2231mxmy(0)m的长轴长为26，O为坐标原点.

（1）求椭圆C的方程和离心率.

（2）设点(3,0)A，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且点P在y轴的右侧.若BABP，求四边形OPAB面积的最小值.

5 19. 已知函数32()fxaxbxcxba(0)a.

（1）设0c.

①若ab，曲线()yfx在0xx处的切线过点(1,0)，求0x的值；

②若ab，求()fx在区间[0,1]上的最大值.

（2） 设()fx在1xx，2xx两处取得极值，求证：11()fxx，22()fxx不同时成立.

20. 若数列{}na和{}nb的项数均为m，则将数列{}na和{}nb的距离定义为1||miiiab.

（1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离.

（2）记A为满足递推关系111nnnaaa的所有数列{}na的集合，数列{}nb和{}nc为A中的两个元素，且项数均为m.若12b，13c，数列{}nb和{}nc的距离小于2016，求m的最大值.

（3）记S是所有7项数列{}na（其中17n，0na或1）的集合，TS，且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T中的元素个数小于或等于16.

6 （附加题）

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.[选修4-1：几何证明选讲]

如图，ABBC，分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且2ACAD，求证：2BCOD.

B.[选修4-2：矩阵与变换]

在平面直角坐标系中，已知点(0,0)A，(2,0)B，(2,2)C，(0,2)D，先将正方形ABCD绕原点A逆时针旋转90°，再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半、横坐标不变，求连续两次变换所对应的矩阵M.

7 C.[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为cos1sinxy（为参数）.现以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程.

D.[选修4-5：不等式选讲]

已知,ab为互不相等的正实数，求证：3334()()abab.

【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}M中，抽取三个不同的元素构成子集123{,,}aaa.

（1）求对任意的ij满足||2ijaa的概率；

8 （2）若123,,aaa成等差数列，设其公差为(0)，求随机变量的分布列与数学期望.

23.已知数列{}na的前n项和为nS，通项公式为1nan，且221,1(),2nnnSnfnSSn.

（1）计算(1)(2)(3)fff，，的值；

（2）比较()fn与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.

9 参考答案

一、填空题

1. 8 2. 1 3. 12 4. 0 5. 14 6. 2 7. 1:27

8. 2 9. 11[,)32 10. 21316 11. 7 12. 803 13. 15 14. 5

二、解答题

15.解：（1）设BAD，CAD，

由三角函数的定义得4cos5，3sin5，

故coscos(60)°13433cossin2210，

即433cos10CAD.

（2）设点(,)Cxy.

由（1）知sinsin(60)°31433cossin2210，

因为5ACAB，

所以4335cos2x，3435sin2y，

故点433343(,)22C.

16.证明：（1）在四棱柱1111ABCDABCD中，11//BCBC.

因为BC平面11ABC，11BC平面11ABC，

所以//BC平面11ABC.

（2）因为平面11AABB底面ABCD，平面11AABB∩底面ABCDAB，BC底面ABCD，

且由2ABC知ABBC，

10 所以BC平面11AABB.

又11//BCBC，

故11BC平面11AABB.

而11BC平面11ABC，

所以平面11AABB平面11ABC.

17. 解：（1）由题意知ACBC，ACx，20AB，

则22400BCx，

所以224400kyxx(020)x.

因为当102x时，0.065y，

代入表达式解得9k，

所以2249400yxx(020)x.

（2）因为2249400yxx，

所以32289(2)'(400)xyxx422322188(400)(400)xxxx.

令'0y，得422188(400)xx，

所以2160x，即410x.

当0410x时，'0y，所以函数2249400yxx为减函数；

当41020x时，'0y，所以函数2249400yxx为增函数.

所以当410x，即点C到城A的距离为410km时，函数2249400yxx(020)x有最小值.

18. 解：（1）由题意知椭圆:C221113xymm，

所以21am，213bm，