五年级数的整除

u-math Thought training Mr Hu优数思维训练数的整除性一、知识概述1、整除的概念及性质如果整数a除以整数b（b≠0）,所得的商是整数而没有余数，我们就说数a能被数b整除。

▶▷▷如果两个整数a、b（a＞b）都能被c整除，那么a与b的和与差也能被c整除。

▶▷▷如果两个整数a、b都不能被c整除．那么a与b的和（或差）能或不能被c整除．这是一个不肯定的结论。

▶▷▷如果a、b、c这三个数中，a能被b整除，b又能被c整除，那么a一定能被c整除（这是整除的传递性）。

▶▷▷一个数同时被a、b整除，且a、b互质，则这个数能被a与b的积整除。

2、能被（2、3、5、7、9、11、13、……）整除的数的特征：①如果一个整数的个位数字是0、2、4、6、8，那么这个整数能被2整除；②如果一个整数的个位数字是0、5，那么这个整数能被5整除；③如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么这个整数能被3（或9）整除；④如果一个整数的末尾两位数能被4（或25）整除，那么这个整数能被4（或25）整除；⑤如果一个整数的末尾三位数能被8（或125）整除，那么这个整数能被8（或125）整除；⑥如果一个整数的末尾四位数能被16（或625）整除，那么这个整数能被16（或625）整除；⑦如果一个整数的奇位上的数字和与偶位上的数字和的差能被11整除，那么这个整数能被11整除；⑧如果一个整数的末三位与末三位数以前的数字组成的数的差能被7（或13）整除，那么这个整数能被7（或13）整除；二、例题精学1、217□是一个四位数，使得它能被3整除，那么填入□中的数字最多有种情况。

2、四位数841□能被2和3整除，□中应该填。

3、五位数73□28能被9整除，□里应该填几？4、四位数7a2b能被2、3、5整除，求a、b的值。

5、被2、3、5整除的三位数最大是多少？最小是多少？6、已知整数1χ2χ3χ4χ5能被11整除，求所有满足这个条件的整数。

数的整除月日姓名【知识要点】1．整除概念：一个整数除以另一个整数，得到的商也是一个整数，叫做整除。

2．较常见数的整除特征：（一）能被2、5、4、25、8、125整除的数的特征：①末一位能被2或5整除；②末两位能被4或25整除；③末三位能被8或125整除。

（二）能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。

（三）能被6整除数的特征：既能被2整除又能被3整除。

3．能同时被2、5、3、9整除的数满足。

①末尾是0。

②各个数位上的数字之和能被9整除。

【典型例题】例1 谁能又快又好的写出下面的答案.（千万不要落下一个噢）26□4能被2整除. 259□能被5整除2□93能被3整除 6□93能被9整除51□4能被4整除 63□□能被25整除61□6能被8整除 98□□□能被125整除例2 5□4□（1）能同时被5和9整除（2）能被45整除呢？例3ab25这个四位数，能同时被2，3，5，9整除，则此四位数是_________.例 4 一位马虎的采购员买了72只桶,洗衣服时将购货票,洗坏了,只能看到:72只桶.共□67.9□元,请你帮他算一下这次采购一共用了多少钱?随堂小测月日姓名 1.下列数中12、25、100、36、18、99、111、250能被2整除的有（）.能被3整除的有（）.能被6整除的有（）.能被9整除的有（）.能被25整除的有（）.2．四位数BA18能同时被5、6整除，这个四位数是_________.3．7□11□能被12整除，则此5位数是__________.4 AB45这个四位数，同时能被2，3，4，5，9整除，求此四位数。

课后作业月日姓名1．填出所有的情况下的数。

762□能被2整除870□能被5整除93□76能被2整除9□391能被9整除87□4能被4整除81□5能被25整除7312□能被8整除73□25能被地125整除2．四位数392□能被6整除的所有符合条件的数。

3．五位数7□36□同时能被2.5和9整除，则此五位数是_________.。

数的整除一、整除的概念：a÷b=c，整数a除以整数b(b≠0),除得的商正好是整数而没有余数（或者余数为零）就叫做a能被b整除，或者说b能整除a，a是b的倍数，b是a的因数二、整除的性质（1）如果数a是b的倍数，c是整数，那么积ac也是b的倍数例：24是8的倍数，5是整数，5×24的积也是8的倍数（2）如果数a和b都是c的倍数，那么（a+b）与（a-b）也是c的倍数例：24和30都是6的倍数，那么（24+30）与（30—24）也是6的倍数（3）如果a是b的倍数，b又是c的倍数，那么a也是c的倍数例：24是12的倍数，12又是6的倍数，那么24也是6的倍数（4）如果a同时是b、c的倍数，而且b和c是互质数，那么a一定是bc的倍数例：24是2、3的倍数，2、3互质，24也是2×3的倍数（5）如果数b是a的因数，或者a含有因数b,那么a就是b的倍数例：60含有因数15，那么60就是15的倍数三、整除的特征（1）4或25的倍数的特征：如果一个自然数的末两位的数字所组成的数能被4、25整除，那么这个数就是4或25的倍数例：58372的末两位是72, 72是4的倍数，那么58372就是4的倍数57325的末两位是25,25是25的倍数，那么58325就是25的倍数（2）8或125的倍数特征：如果一个自然数的末三位的数字所组成的数能被8、125整除，那么这个数就是8或125的倍数例：58272的末三位是272, 272是8的倍数，那么58272就是8的倍数57375的末三位是375,375是125的倍数，那么58375就是125的倍数（3）7,11,13的倍数的特征：如果一个自然数的末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差（大减小）能被7,11,13整除，那么这个数就是7,11,13的倍数例：1059282是否是7的倍数：把1059282分成1059和282两个数，因为1059-282=777，又777能整除7，所以1059282是7的倍数若一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11整除，那么这个数就是11,的倍数例：123456789的奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25，偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20，因为25—20=5，因为5不能被11整除，所以123456789不能被11整除1.判断3546725能否被13整除？2.一个四位数9（）2（）既有因数2，又是3的倍数，同时又能被5整除，这四个数最大是多少？3.378287、ABCABC这两个数能否被7，11,13整除？4.一个六位数（）6879（）首尾不祥，只知道这个六位数能被72整除，这个六位数是多少？5.一个整数能被13整除，这个数的最后三位数是339，那么这样的整数中最小的是多少？6.同时被3、4、5整除的最大四位数是多少？7.从1到9这九个数字中任选六个数字组成36的倍数，这样的六位数中最大的数是多少？最小的数是多少？8.已知A是一个自然数，并且它的各数位上的数字只有0和8两数，已知这个数是6 的倍数，A最小是多少？9.在257后面补上三个数字组成一个各数位上的数字都不相同的六位数，使它能被60整除，这样的六位数中最小的是多少？10.3（）6（）5是一个五位数，且是75的倍数，若想使3（）6（）5无重复数字，这个五位数是多少？答案：1.能 2.9720 3. 78287不能能 4.468729 5.1339 6.9960 7.987652 123768 8.8088 9.257160 10.30625 38675 39675。

五年级数的整除问题基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作b a。

举例2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

举例性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

举例性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

举例性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

举例3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

举例②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

举例③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

举例④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

举例⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

举例⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

判断123456789这九位数能否被11整除？解：再例如：判断13574是否是11的倍数？解：⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

五年级上册数的整除在我们五年级上册的数学学习中，“数的整除”可是一个非常重要的知识板块。

它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开数学世界里一扇又一扇神秘的大门。

什么是数的整除呢？简单来说，就是一个整数除以另一个整数，如果商是整数且没有余数，我们就说第一个整数能被第二个整数整除。

比如说，12÷3 ＝ 4，商 4 是整数，没有余数，所以 12 能被 3 整除。

整除有很多有趣的性质和规律。

首先，能被 2 整除的数，个位上一定是 0、2、4、6、8。

比如 10、12、14 等等。

那能被 5 整除的数呢？个位上一定是 0 或 5，像 15、20 都能被 5 整除。

能被 3 整除的数就有点特别啦。

它不是看个位，而是要看这个数各个数位上的数字之和。

如果数字之和能被 3 整除，那么这个数就能被 3 整除。

比如 123，1 ＋ 2 ＋ 3 ＝ 6，6 能被 3 整除，所以 123 也能被 3 整除。

还有能被 9 整除的数，也是看各个数位上的数字之和。

如果数字之和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除。

在数的整除中，还有一些重要的概念，比如因数和倍数。

如果 a×b ＝ c（a、b、c 都是非 0 的整数），那么 a 和 b 就是 c 的因数，c 就是 a 和 b 的倍数。

比如 2×3 ＝ 6，2 和 3 是 6 的因数，6 是 2 和 3 的倍数。

一个数的因数是有限的，其中最大的因数就是它本身；而一个数的倍数是无限的，其中最小的倍数也是它本身。

质数和合数也是数的整除中很关键的概念。

一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数。

像 2、3、5、7 都是质数。

一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。

比如 4、6、8、9 都是合数。

1 既不是质数也不是合数，这是个很特殊的存在，一定要记住哦。

了解了这些知识，我们在解决数学问题时就会更加得心应手。

比如，要判断一个数能不能被另一个数整除，或者找出一个数的因数和倍数，再或者判断一个数是质数还是合数。

五年级学生在学习整数的除法时，会遇到一些特殊的情况，即整除的特征。

整除是指除法中的商是整数，没有余数。

在五年级，学生需要理解整除的概念以及找出整除的规律。

首先，学生要明确整除的概念。

整除是指能够被整数整除的数，也就是说，除法中没有余数。

例如，6除以3等于2，没有余数，所以6能够整除3、但是如果我们计算7除以3，得到的商是2余1，即7不能整除3接下来，我们来探讨一下五年级整除的特征。

最简单的整除特征是能够整除1和自身的数。

这些数叫做质数。

质数的特点是只能被1和自身整除，例如2、3、5、7等。

这些数都没有其他因数。

其次，我们来看看其他整除的特征。

当一个数能够被2整除时，我们称其为偶数。

所有的偶数都可以被2整除，例如4、6、8、10等。

因为偶数一定能够被2整除，所以偶数的个位数一定是0、2、4、6、8中的一个。

当一个数能够被5整除时，个位数必定是0或者5、因为5的倍数只能在个位数上是0或者5，例如5、10、15、20等。

当一个数能够被10整除时，个位数必定是0。

因为10的倍数的个位数一定是0，例如10、20、30、40等。

当一个数能够被9整除时，我们可以用其各位数字之和能否被9整除来判断。

例如，36是9的倍数，因为3+6=9，9能够被9整除；而42不是9的倍数，因为4+2=6，6不能被9整除。

当一个数能够被3整除时，我们同样可以用其各位数字之和能否被3整除来判断。

例如，27是3的倍数，因为2+7=9，9能够被3整除；而31不是3的倍数，因为3+1=4，4不能被3整除。

当一个数能够被6整除时，它必须同时满足能够被2和3整除的条件。

例如12、18、24等都能够被6整除，因为它们都是2和3的倍数。

当一个数能够被4整除时，我们可以观察该数的末尾两位数字组成的数能否被4整除。

例如，148能够被4整除，因为48是4的倍数；而127不能被4整除，因为27不是4的倍数。

当一个数能够被8整除时，我们观察该数的末尾三位数字组成的数能否被8整除。

五年级数学思维训练因数和倍数（数的整除）姓名知识要点1、整除的概念如果自然数a除以非零自然数b，商是自然数c且余数为0，则称a能被b整除，或b能整除a，其中a和c叫做b的倍数，b叫做a和c的因数。

2、数的整除的特征（1）一个数的个位上是0、2、4、6、8中的某个数，这个整数能被2整除。

（2）一个整数各位数上数字的和能被3或9整除，那么这个整数就能被3或9整除。

（3）一个整数的末两位数能被4或25整除，那么这个数能被4或25整除。

（4）一个整数的末三位数能被8或125整除，那么这个数能被8或125整除。

（5）一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数，那么这个数就是11的倍数。

（6）一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7（11或13）整除，那么这个数能被7（11或13）整除。

例题精选例1、一个三位数能被3整除，去掉它的末位数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几？例2、如果两数和为64，两数积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？例3、在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽可能的小。

例4、已知四位数 abcd是11的倍数，且有b+c=a。

bc 为完全平方数，求此四位数。

例5、三个连续的自然数介于100到200之间，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除。

试写出所有这样的三个自然数。

强化训练 A组1、从0、3、5、7这四个数字中任选3个数，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这样的三位数有多少？2、一个无重复数字的五位数3□6□5，千位与十位数字看不清了，但知这个数是75的倍数，问这种五位数有哪几个？3、六位数□1993□能被33整除，这样的六位数是多少？4、在一个两位数的两个数字之间加一个0，所得三位数比原数大8倍。

求这个两位数。

5、三个自然数，每一个数都不能被另两个数整除，而其中任意两个数的积都能被第三个数整除，那么，这三个数的和的最小值是几？6、一个两位数，将它的十位数字与个位数字互换所成的两位数与原数的乘积是3154，求原数。

第一讲整除特征（1）【知识提要】1、整除概念：若整数a 除以大于0的整数b，商为整数而没有余数（或余数为零），我们就说a能被b整除（或说b 能整除a），记作b|a，否则称a不能被b整除（或说b不能整除a），记作b|a。

2、因数与倍数：如果整数a能被整数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b叫做a的因数。

如：6÷2=3，我们就说6能被2整除，记作2|6。

我们就说6是2的倍数，2是6的因数。

3、数的整除特征：2系列5系列被2整除的数：。

被5整除的数：。

被4整除的数：。

被25整除的数：。

被8整除的数：。

被125整除的数：。

【基础训练】1.下面各组数中那一组的第一个数能被第二个数整除？91和13；140和4；210和4；51和3；57和19；65和13；121和11；5.6和82.下列各组数试说明哪一个是另一个的因数哪一个是另一个的倍数？35和17；35和140；50和1000；117和393.写出18，27，36，48的因数各有哪些？18的因数：。

27的因数：。

36的因数：。

48的因数：。

4.写出5和8的倍数各有哪些？5的倍数：。

8的倍数：。

小结：①一个数的因数个数是，倍数的个数是。

②一个数最小的因数是，最大的因数是。

③一个数最小的倍数是，最大的倍数。

5. 在空格内填上合适的数，使它能被同时被10整除。

31□，42□，364□归纳得出结论：同时被2和5整除的数。

6.在空格内填上合适的数，使它能被同时被100整除。

67□□，154□□，2364□□归纳得出结论：同时被4和25整除的数。

7.在空格内填上合适的数，使它能被同时被1000整除。

3□□□，42□□□，183□□□归纳得出结论：同时被8和125整除的数。

8.在1278,4632,54684,119375,93648,87615,1548764中，能被2整除的数有：能被5整除的数有：能被4整除的数有：能被25整除的数有：能被8整除的数有：能被125整除的数有：9.讲这些整数填入合适的方框内：320,412,525,625,2000,1200,3375,2520。

整除知识点精讲整除的性质（1）末尾判断：2、5末位数字能被2、5整除；4、25末两位数字组成的两位数能被4、25整除；8、125末三位数字组成的三位数能被8、125整除.（2）截断求和：9（或3），一位截断后，各段之和能被9（或3）整除；99（或11、33），两位截断后，各段之和能被99（或11、33）整除；9（或3），乱切后，各段之和能被9（或3）整除.这种方法又叫乱切法.（3）截断作差法：11，一位截断后，奇数位之和与偶数位之和的差能被11整除；101，两位截断后，奇数段之和与偶数段之和的差能被101整除；1001（或7、11、13），三维截断后，奇数段之和与偶数段之和的差能被1001（或7、11、13）整除.课堂例题与练习<珍惜有限，创造无限>一、整除1.判断306371能否被7整除？能否被13整除？2.已知10□8971能被13整除，求□中的数．3.在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除．4.现有四个数：76550，76551，76552，76554．能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？5.在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？6. 求满足下面条件的整数a 、b ：1）8|375a a 2）72|761a b 3）99|14758a b7.如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是 。

8.设六位数N=y x 3795，又知N 是4的倍数，且被11除余3，那么x +y 等于几？9. 有0~9十个数字组成的十位数成为“十全数”． 那么：（1）能被11整除的最小十全数为 ；（2）能被11整除的最大十全数为 。

10. 将自然数1，2，3，……，依次写下去形成一个多位数“12345678910111213…”．当写到某个数N 时，所形成的多位数恰好第一次被45整除．请问：N 是多少？课后复习与检测课后总结：练习题A B．1.求无重复数字，能被75整除的五位数3652.将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1993位数，试问这个数能否被3整除？x y同时是11与25的倍数，求这个五位数．3.一个五位数4754.（1）一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字0．如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？（2）一个多位数，它的各位数字之和为13，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？5.在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？思考题6.黑板上写有两个多位数123457和14569，如果从两个数中个取出一个数字并且将它们对调位置，可以使得新的两个数中有一个是9的倍数而另一个是11的倍数，请写出调换后的两位数。

第四讲：数论初步（二）——整除问题一、训练目标知识传递：掌握和拓展数的整除特征，根据整除特征灵活应用。

能力强化：分析能力、观察能力、综合能力、判断能力、推算能力。

思想方法：假设思想、对应思想、排除思想、尝试思想、重叠思想。

二、知识与方法归纳1、熟悉并掌握2、3、5、9的倍数的特征。

2、一个数的末两位数能4或25整除，这个数就一定能被4或25整除。

（4×25=100）。

（8×125=1000。

）3、一个数的末三位数能被8或125整除。

那么这个数就能被8或25整除。

4、一个数的末三位数与末三位以前的数字组成的数的差分别能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除。

另外，一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（差（7×11×13=1001。

）（很常用，请牢记。

）等于0比较常见）能被11整除，这个数就能被11整除。

5、如果两个数都能被同一个数整除，那么这两个数的和或差也能被这个数整除。

即如果ca，c︱b，则c︱（a+b）或c︱（a-b）。

6、如果一个数能被另一个数整除，那么这个数的整倍数也一定能被另一个数整除。

即如果c︱a，b是整数，则c︱ab。

7、如果一个数能被第二个数整除，第二个数又能被第三个数整除，那么，第一个数也能被第三个数整除。

即如果a︱b，b︱c，则a︱c。

8、如果一个数能同时被另外两个数整除，而且这两个数互质，那么这一个数一寂能被另外两个数的积整除。

即如果a︱c，b︱c，且a、b互质，则ab︱c。

三、经典例题例1、七位数83□534□能被88整除，两个□中所填数字之和是。

解：答：。

例2、在358后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？解：答：。

体验训练1六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是多少？解：答：。

例3、要使六位数15□□□6能被36整除而且所得的商最大，□□□内应填多少？解：答：。

五年级数学第3讲数的整除答疑导入1、整数a除以整数b(b≠0)，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除(也可以说b能整除a)。

那么a是b的倍数，b 是a的因数。

他们是相互依存的。

2、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。

3、一个数如果只有1和它本身两个因数，叫做质数。

4、一个数，如果除了1和它本身，还有别的因数，叫做合数。

5、数的整除特征☆①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8 的整数。

☆②能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

③能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

☆④能被5整除的数的特征：个位数字是0或5。

⑥能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

⑦能被11整除的数的特征：这个整数的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

例题分析1、在1到10之间10个数中，( )和( )这两个数既是合数，又是互质数；( )和( )这两个数都是奇数又是互质数；( )和( )这两个数都是质数又是互质数；( )和( )两个数一个是质数，一个是合数，它们是互质数。

2、347至少增加( )才能被3整除，至少减少( )才有约数5，最少增加( )才是2的倍数。

3、与6互质的最小合数是( )。

4、一个三位数，既是6的倍数，又能被5整除，这个数最小是( )。

5、把下列数按要求填入方框中。

2，13，88，9，17，11，76，277，63，91，86，39，160。

6、按要求在里填上适当的数字。

（1）4的倍数：305□ 8□4 62□2 （2）15的倍数：4□3□□68□ 7□08□（3）72的倍数：□679□ 9□32□ 8□27□（4）11的倍数：25□79 3□46 52□197、如果一个五位数6aa27，它是9的倍数，那么a代表的数字是多少？8、在43的右边补上3个数字，组成一个五位数，使这个五位数同时是3、4、5的倍数，并且尽可能小，这个五位数是多少？9、5.一个五位数，各个数位上的数字之和是43，且这个五位数还是11的倍数，这个数可能是多少？（请写出两个符合要求的数）温故知新一．选择题（共8小题）1．下列各式是分解质因数的是（）A．20＝2×2×5×1B．12＝3×4C．15＝3×5D．18＝7+132．下面每组中的两个数有因数和倍数关系的是（）A．2和5B．7和49C．10和2.5D．12和283．2和3是12的（）A．因数B．公因数C．最大公因数D．质数4．相邻两个自然数的和一定是（）A．奇数B．偶数C．合数D．质数5．20以内既是奇数又是质数的数共有（）个。

第一讲 数的整除一、学法指导数的整除特性：（1）能被2（或5）、3(或9)整除的数的特征（自己回忆整理）。

（2）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。

（3）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个数的末三位能被8（或125）整除这个数就能被（或）125整除。

（4）能被11整除的数的特征：如果一个整数奇数位数字与偶数位数字和的差能被11整除，那么这个数就能被11整除。

（5）能被7、11、13整除的数的特征：一个整数末三位与末三位以前的数的差（大减小）能被7（11或13）整除，那么这个数就能被7（11或13）整除。

补充结论： 1.abcabc 能被7、11、13整除。

2.如果数a 能同时被数b 、c 整除，而且b 、c 互质，那么a 就能被b 、c 的乘积整除。

举例：比如能被72整除的数的特征，就是这个数能同时被8、9整除。

因为72=8×9，而8、9互质，根据上面的结论，一个数能否被72整除，我们只要分析这个数能否同时被8和9整除就可以了。

有了这个结论，我们研究整除特性的范围就被大大地扩展，很多很多我们没学过的数的整除特征，都可以据此找到规律了。

如能被20，26，28，45，91，99整除的数的特征等。

我们研究整除特性有了有利的工具。

二、例题：例1、 整数6427B A 能被72整除，这个数有那些可能？例2、 四位数Y X 47能被18整除，要使这个四位数尽可能小，那么这个四位数是多少？例3、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被2、3、5、7整除，这个七位数最小是多少？例4、一个六位数BA1997，能被99整除，A和B各是多少？例5、在532后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，这样的六位数中最小的是□□□□□□。

例6、已知45|YX1993,求所有满足条件的六位数？三、练习A卷、基本能力训练154能被72整除，求X+Y是多少？1、XY2、1997□□□能被4、5、6整除，那么这个七位数最小是多少？3、一个能被11整除的最小四位数，去掉它的千位上和个位上的数字以后，是一个同时能被2、3、5整除的最大的两位数。

数的整除一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a ，且d｜c ，那么bd｜ac；1. 2和5例：把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？解：乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对2和5乘积末尾就有一个零．由于相邻两个自然数中必定有一个是2的倍数，而相邻5个数中才有一个5的倍数，所以我们只要观察因数5的个数就可以了．，，发现只有25、50、75、100、……这样的数中才会出现多个因数5，乘到55时共出现个因数5，所以至少应当写到55。

第三讲数的整除（学生版）★1、六位数A4273B，能被72整除，求A与B的值。

A4273能被8与9整除，b＝6∴A=5.解：72=8×9，因此B2、四位数841□能被2和3整除，口中应填什么数？解：2，8。

提示：把□用x表示，则8＋4＋1＋x =13＋x，x可取0、2、4、6、8，且13＋x能被3整除，经试验可知x可取2或8。

3、能被4、5、6整除的最大三位数是多少？解：960。

4、从3、5、0、1这四个数字中任选出三个组成没有重复数字且同时能被3、5整除的三位数有多少个？★★5、李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9口．2口元．已知口处数字相同，请问每支钢笔多少元?解：∵9口．2口=9口2口分28=4×7∴根据整除“性质2”可知4和7均能整除9口2口4|2口，可知口处只能填0或4或8。

因为 7 9020， 7 9424，所以口处不能填0和4；因为 7|9828，所以口处应该填8．又∵9828分=98.28元98.28÷28=3.51(元)答：每支钢笔3.51元．6、求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。

7、一个三位数能同时被4、5、7整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一列，中间的一个是多少？（北京市第一届“迎春杯”刊赛第12题）解：这样的三位数最小是4×5×7=140最大是140×7=980中间的一个是（140＋980）÷2=560.8、在五位数中，能被11整除且各位数字之和为43的数有哪些？ 9、051997199719971997个N 能被45整除，自然数N 最小是多少？10、三位数的百位、十位、个位的数字分别是5、a 、b ，将它接连重复写99次成为：abab ab ab 599555个如果此数能被91整除，这个三位数ab 5是多少？★★★11、求一个四位数，它等于抹去它的首位数字之后剩下的三位数的3倍与46的差。

数的整除如果整除a除以不为零数b，所得的商为整数而余数为0，我们就说a能被b整除，或叫b能整除a。

如果a能被b整除，那么，b叫做a的约数，a叫做b的倍数。

数的整除的特征：（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被2整除。

（2）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除，那么这个整数一定能被3（或9）整除。

（3）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就一定能被4（或25）整除。

（4）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么这个整数一定能被5整除。

（5）能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除，那么这个数就一定能被6整除。

（6）能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数，这个数就能被7（或11或13）整除。

（7）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就一定能被8（或125）整除。

（8）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。

一、例题与方法指导例1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.思路导航：一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能或又 23056088=2620238568÷88=2711所以,本题的答案是2620或2711.例2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.思路导航：因为36=9⨯4,所以这个十一位数既能被9整除,又能被4整除.因为1+2+…+9=45，由能被9整除的数的特征，（可知□+□之和是0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数,可知□□是00,04,…，36，…，72，…96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.所以,这个数的个位上的数最小是0.例3. 下面一个1983位数33…3□…4中间漏写了一个数字(方框),已 991个 991个知这个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_____.思路导航：33...3□44 (4)991个个=33...3⨯10993+3□4⨯10990+44 (4)990个 990个因为111111能被7整除，所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要个个3□4能被7整除，原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.例4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.思路导航：三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有当和为33时,三个数是10,11,12；当和为66时,三个数是21,22,23；当和为99时,三个数是32,33,34.所以，答案为 10,11,12或21,22,23或32,33,34。

五年级数的整除
1、有三根铁丝，分别长12厘米、18厘米、54厘米。

要把它们都截成同样长的小段不许剩余，每段最长是多少厘米？一共能截多少段？
2、五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育锻炼，要把它们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱。

最多每组多少人？每班各分多少组？
3、一张长方形纸长112厘米，宽80厘米，把它剪成若干个同样大小的正方形，使边长是
整厘米且不能有剩余，最少能剪多少个？
4、用长16厘米，宽14厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用这样的木板多
少块？
5、张妮有若干张画片，7张一数还余4张，5张一数又少3张，3张一数正好。

问：张妮
至少有多少张画片？
6、五年级两个班的学生一起排队去做操，如果9人排一队，多出一人；如果10人排一队，同样多出一个人。

这两个班最少共有多少人？
7、有一篮鸡蛋，每按4个一堆分多一个；按5个一堆分多1个；按每6个一堆分也多1个。

这篮鸡蛋至少有多少个？
8、一个四位数9□2□既有约数2，又是3的倍数，同时又能被5整除。

这个四位数最大是什么？
9、六位数“568□□□”能同时被2、3、5整除。

求这样的六位数中最小的一个是多少？。