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经济数学建模作业及答案

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2、如果连续复利时，以什么利率才能使本金在8年

内变成3倍？1、在每半年复利一次的情况下，以8%的利率，需

要经过多长时间才能使现值增到2.5倍？

3、连续收益流量每年按80万元持续5年，若以年利率

5%贴现，其现值应是多少？T=11.68年

r=13.73%

5

5%

0

0S80353.92tedt

8

003SSre

4、某汽车使用寿命为10年，若购买此车需35000元，若租用此车每年租

金为7200元，若资金的年利率为14%，按连续复利计算，问买车与租车

哪一种方式合算。

计算租车资金流量总值的现值，然后与购买费相比。租车租金流量总值的现值为

所以买车比租车合算。002.5SS+2T0.08（1）2

1010

1414

1172003875635000ii

i

iiSee



5、一商家销售某种商品的价格满足关系

xp2.07(万元/吨)，x为销售量(单位：吨)；商

品的成本函数是C=3x+1(万元)。

(1) 若每销售一吨商品，政府要征税t(万元)，求

该商家获最大利润时商品的销售量；

(2) t为何值时，政府税收总额最大。

6、已知某企业生产的商品的需求弹性为1.2，如果该企业

准备明年将价格降低15%，问这种商品的销量预期会增长

多少？总收益会增长多少？2'5(2) 10 02

2TtxttTt

R18%, 3%

RQ

Q令

2(70.2)31(4)0.21PxCTxxxtxtxx

'''5()0,()010

2LxLxxt（1）利润L(x)=7、某消费者打算购买两种商品q

1和q

2，他的预算约束是

240元，两种商品的单价分别是10元和2元,其效用函数为

U=q

1q

2,消费者的最优商品组合是什么？一元钱的边际效

用是多少？

8、效用函数U(q

1,q

2) 应满足的条件是以下的A,B之一：

A. U(q

1,q

2) =c所确定的函数q

2=q

2(q

1)单调减、下凸；

0,0,0,0,0.B

212

2

22

2

12

21











qqU

qU

qU

qU

qU

AB证明：对U(q,q2) =c两端求q1的一阶导和二阶导12102240qq

12

12MUMU

PP

1212,60qq

解建立方程组得

解出一元钱边际效用为6

10、在确定性存贮模型中，在费用中增加购买货物本身

的费用，确定不允许缺货的最优订货周期和订货批量。9、已知消费者的效用函数为

212(),,0Uaqbqab分析消费者的均衡。

2111112

2

222212a =

baqpqpqp

pqpqpbq或

不允许缺货不改变，允许缺货改变。

11、建立不允许缺货的生产销售存储模型：设企业边生产边出售，生产速度

k大于销售速度r（均为常数）。时刻t0以后只销售不生产。设每次生产开

工费为c1，单位时间每件产品的存储费为c2，求最佳生产周期T。

0

0

000) 0tt

() t

()() krt

rTttT

rTkrtrTtt

k

（

q(t)

因为所以

12()

()

2ccrKr

CTT

TK

()0dCT

dT

*1

22

()cK

T

crKr

解、存量为

令

得最小的最佳周期为

oTtq

0t

单位时间总费用每周期的总费用为

222

111()

()()

22ccrKr

CTcTKrtcT

K



13、某仪器厂一年需要另一企业生产的某种配件50000件，

平时对这种配件的使用数量是稳定的。该配件每次订货费

为2000元单价为每件10元，而当一次订货量达到10000件

时，单价可以优惠至每件9.6元，配件的库存费为8元/件

年，试求电器厂每次订该配件多少才最经济？12、商场皮鞋柜销售某品牌女鞋，从厂方每次进货需付订货

费400元，每双鞋的进价(包括运费)为94元，每双鞋在商场

期间的各种花费总数（统称之贮存费）为每月18元,假定这

种女鞋在商场的销售速度均匀144(双/月).试问：为了降低成

本，皮鞋柜承包商应间隔多少时间向厂方进一次货？每次又

应进多少双鞋？

T=5/9月Q=80双

10000件

1.假设人口增长率与成正比；试建立人口模型并

给予评价，这里为最大人口数，a

为常数。a

mxx

)(1

mx模型为

0[1()]

(0)a

mdxx

kx

dtx

xx



令x则11

()a

mmdyxdx

a

dtxxdt得

0(1)

(0)dy

akyy

dt

yy





1()a

my

x

0

01()a

mx

y

x解得0

01(1)kat

katye

y

ye





2.

考察一个渔场，其中鱼量在天然环境下按Logistic规律

增长，给出鱼量的模型。00

001

()1

1(1)1(1)kat

a

katkat

myeyx

xyeye







, t

mxx所以

当模型为

0[1]

(0)mdNN

rN

dtN

NN



0()

1(1)m

mrtmN

NtN

N

e

N



3.传染病模型

21世纪初，传染病经常在世界各地流行，应该建立适

当的数学模型预测传染病高潮的到来。下面是对一个

传染病问题的简化假设，建立这种传染病问题的数学

模型并对求解结果进行简单分析。

（1）设某国家总人数是N,t 时刻健康人数为S(t),病人

人数为I(t), I(0) = ，N=S(t)+I(t)

0I

（2）t时刻单位时间内一个病人能传染的人数与健康人数

成正比，比例系数为K(称为传染系数）。

0[]

(0)dI

kNII

dt

II



模型为0

00()KNt

KNtNIe

It

NIIe



4. 某汽车厂生产三种类型的汽车，已知今年的销

售量与价格如下：

型号1型2型3型

销售量（万辆）5 8 10

价格（万元）20 15 12

若估计价格弹性矩阵为

试计划明年的产量与价格，使销售收入最大。









5.1 0.5 0.30.6 2 0.40.2 0.3 3

E

123,,xxx

123,,PPP

123,,qqq

'(1) 1,2,3

iiiPPxi

3'

11(1) 1,2,3jjiiiqqxj



33''''''

123112233

11(,,)(1)(1)iiiijj

ijRxxxPqPqPqPqxx



0(1,2,3)

iR

i

x



解：设1.2.3车型价格增长分别，设今年价格分别为

产量分别为则明年的价格为

明年的产量为

收入

令

1

2

315.94

13.87

12.3p

p

p



1

2

37.92

9.77

8.57q

q

q



5 设有一个经济系统包括三个部门，在某一

生产周期内，各部门间的直接消耗系数和最终

产品为

求完全消耗系数矩阵和总产量。若在以后的两个周期内,

第一部门最终产品的增长速度是每周期增长10％，第二

部门每周期增长5％，第三部门每周期增长1％；那么各

部门的总产值将平均每周增长多少？0.250.10.1245

A=0.20.20.1,Y=90

0.10.10.2175







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数学建模作业

数学建模作业

数学建模作业

1 郑重声明：

本作业仅供参考，可能会有错误，请自己甄别。

应用运筹学作业

6.某工厂生产A，B，C，D四种产品，加工这些产品一般需要经刨、磨、钻、镗四道工序，每种产品在各工序加工时所需设备台时如表1-18所示，设每月工作25天，每天工作8小时，且该厂有刨床、磨床、钻床、镗床各一台。问：如何安排生产， 才能使月利润最大？又如A，B，C，D四种产品，每月最大的销售量分别为300件、350件、200件和400件，则该问题的线性规划问题又该如何？

表1-18

产 品 A B C D

刨（台时） 0.3 0.5 0.2 0.4

磨（台时） 0.9 0.5 0.7 0.8

钻（台时） 0.7 0.5 0.4 0.6

镗（台时） 0.4 0.5 0.8 0.7

成本（元/件） 150 100 120 200

售价（元/件） 200 130 150 230

解：该问题的目标是使得月利润最大，故设x1,x2,x3,x4分别为生产A，B，C，D四种产品的数量，则得目标函数：

Max=(200−150)x1+(130−100)x2+(150−120)x3+(230−200)x4

=50x1+30x2+30x3+30x4

生产四种产品所用时间：

(0.3+0.9+0.7+0.4)x1+(0.5+0.5+0.5+0.5)x2+(0.2+0.7+0.4+0.8)x3+(0.4+0.8+0.6+0.7)x4≤25×8

即：2.3x1+2.0x2+2.1x3+2.5x4≤200

又产品数量不可能为负，所以：xi≥0(i=1,2,3,4)

综上，该问题的线性规划模型如下：

Max Z=50x1+30x2+30x3+30x4

S.T.{2.3x1+2.0x2+2.1x3+2.5x4≤200xi≥0(i=1,2,3,4)

下求解目标函数的最优解：

数学建模作业 2

数学建模作业 2

1. 某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资,可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收

益如下表所示.按照规定,市政证券的收益可以免税,其它证券的收益需按50%的税率纳税.此外还

有以下限制：

（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；

（2）所购证券的平均信用等级不超过1.49信用等级数字越小,信用程度越高；

（3）所购证券的平均到期年限不超过5年；

证券名称 证券种类 信用等级 到期年限 到期税前收益（%）

A 市政 2 9 4.3

B 代办机构 2 15 5.4

C 政府 1 4 5.0

D 政府 1 3 4.4

E 市政 5 2 4.5

(1) 若该经理有1000万元资金,应如何投资？

（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金,该经理应如何操作?

（3）在1000万元资金情况下,若证券A的税前收益增加为4.5%,投资应否改变?若证券C的税前收益

减少为4.8%,投资应否改变?

问题（1）分析

问题分析 这个优化问题的目标是有价证券回收的利息为最高,要做的决策是投资计划.即应购买的各种证券

的数量的分配.综合考虑：特定证券购买、资金限制、平均信用等级、平均年限这些条件,按照题目所求,将决

策变量、决策目标和约束条件构成的优化模型求解问题便得以解决.

模型建立

决策变量 用X1、X2、X3、X4、X5、分别表示购买A、B、C、D、E证券的数值, 单位：百万元

目标函数 以所给条件下银行经理获利最大为目标.则,由表可得：

MAX Z=0.043X1+0.027X2+0.025X3+0.022X4+0.045X5 （1）

约束条件 为满足题给要求应有：

X2+X3+X4> = 4 (2)

X1+X2+X3+X4+X5K<=10 （3）

6X1+6X2-4X3-4X4+36X5<=0 (4)

4X1+10X2-X3-2X4-3X5<=0 (5)

由LINGO 分析得:

（1）由LINGO求解得：证券A投资2.182百万元，证券C投资7.364百万元，证券E投资0.454百万

数学建模作业 3

数学建模作业 3

共4页第1页 共4页第2页 题目

在5.6节人口预测和控制模型中，总和出育率)(t和生育模式),(trh是两种控制人口增长的手段。试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个孩子、晚婚晚育，以及生育第二胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。

摘 要

针对中国人口的实际特点，建立人口分布函数。收集数据得到中国人口随年份变化的增长率，解决中国人口中短期和长期的人口预测与控制问题。

首先，将人口的预测问题转化为对出生率的预测，通过对数据的分析研究，发现影响人口增长的主要因素可归结为出生率及生育模式的变化，并依次建立不同参数随时间变化的递推数学模型从而讨论各个参数对人口增长的影响。

利用Gamma函数拟合死亡率对年龄的分布，建立人口分布函数模型，由于概率分布是相对稳定的。所以对人口预测而言其结果具有可控性，由此可以为我国的计划生育政策作出贡献。

关键词：人口控制；人口分布函数；生育模式

一、问题重述

在5.6节人口预测和控制模型中，总和出育率)(t和生育模式),(trh是两种控制人口增长的手段。试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个孩子、晚婚晚育，以及生育第二胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。

二、问题分析

据了解，我国人口总数占世界人口总数的22%，居世界第一，虽然在二十世纪八十年代就已经开始控制人口，但人口增长的脚步依然没有停下，人口老年化问题也越来越严重，所以现在开始提倡一对夫妻只能生一个孩子、晚婚晚育以及定下了一些关于第二胎的政策。所以，考虑用微分方程中生育率和生育模式来求解问题。

三、模型假设

1.时刻t年龄小于r的人口

2.在社会安定的局面下和不太长的时间里，死亡率大致与时间无关

数学建模作业7

数学建模作业7

佛山科学技术学院

上 机 报 告

课程名称 数学建模

上机项目 动物繁殖问题

专业班级

一、 问题提出

某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分为三个年龄组：第一组0～5岁；第二组6～10岁；第三组11～15岁。动物从第二个年龄组开始繁殖后代，第二个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代。第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为0.5和0.25。假设农场现有三个年龄段的动物各有1000头。

（1）编程，计算5年后、10年后、15年后、20年后各年龄段动物数量，50年后农场三个年龄段的动物的情况会怎样？

（2）根据有关生物学研究结果，对于足够大的时间值k，有)1(kX≈1)(kX（1是莱斯利矩阵L的唯一正特征值）。请检验这一结果是否正确，如果正确给出适当的k的值。

（3）如果每五年平均向市场供应动物数c＝Tsss，在20年后农场动物不至灭绝的前提下，计算c应取多少为好？

二、问题分析

在初始时刻0～5岁、6～10岁、11～15岁的三个年龄段动物数量分别为：

)0(1x＝1000， )0(2x＝1000， )0(3x＝1000

以五年为一个年龄段，则某一时刻三个年龄段的动物数量可以用一个向量

X＝Txxx][321

表示。以五年为一个时间段，记

)(kX＝Tkkkxxx][)(3)(2)(1

为第k个时段动物数分布向量。当k＝0，1，2，3时，)(kX分别表示现在、五年后、十年

后、十五年后的动物数分布向量。根据第二年龄组和第三年龄组动物的繁殖能力，在第k个时间段，第二年龄组动物在其年龄段平均繁殖4个，第三年龄组动物在其年龄段平均繁殖3个后代。由此得第一年龄组在第k＋1个时间段的数量如下：