数学建模作业答案
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一、教材76页第1章习题1第7题（来自高中数学课本的数学探究问题，满分10分）
表1.17是某地一年中10天的白昼时间（单位：小时），请选择合适的函数模型，并进行数据拟合.
表1.17 某地一年中10天的白昼时间
日期 1月1日 2月28日 3月21日 4月27日 5月6日
白昼时间 5.59 10.23 12.38 16.39
17.26
日期 6月21日 8月14日 9月23日 10月25日 11月21日
白昼时间 19.40 16.34 12.01 8.48 6.13
一、解：根据地理常识，某地的白昼时间是以一年为周期而变化的，以日期在一年中的序号为自变量x，以白昼时间为因变量y,则根据表1.17的数据可知在一年（一个周期）内，随着x的增加，y先增后减，y大约在6月21日（夏至）达到最大值，在12月21日（冬至）达到最小值，在3月21日（春分）或9月21日（秋分）达到中间值。选择正弦函数sin(2/365)yAxb作为函数模型。根据表1.17的数据，推测,Ab和的值，作非线性拟合得26.9022sin(1.3712)12.385365yx，预测该地12月21日的白昼时间为5.49小时。
二、教材100页第2章习题2第1题（满分10分）
继续考虑第2.2节“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？
二、解：“两秒准则”表明亲厚车距D与车速v成正比例关系2DKv，其中22Ks。对于小型汽车，“一车长度准则”与“两秒准则”不一致。由221[()]dDvkvKk可以计算得到当212()/54.428/vKkkkmh时有dD，“两秒准则”足够安全，或者把刹车距离实测数据和“两秒准则”画在同一幅图中，根据图形指出“两秒准则”足够安全的车速范围。
用最大刹车距离除以车速，得到最大刹车距离所需要的尾随时间，并以尾随时间为依据，提出更安全的准则，如“3秒准则”，“4秒准则”或“t秒准则”（见下图） 三、教材100页第2章习题2第3题（满分10分）
继续考虑第2.3节“生猪出售时机”案例，做灵敏度分析，分别考虑农场每天投入的资金对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响.
三、解：(,)2,(,)4dtcdQxStcSQcdctdcQ
四、教材143页第3章习题3第2题（满分10分）
某种山猫在较好、中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别为1.68%、0.55%和-4.5%. 假设开始时有100只山猫，按以下情况分别讨论山猫数量逐年变化的过程及趋势：
(1) 三种自然环境下25年的变化过程，结果要列表并图示；
(2) 如果每年捕获3只，山猫数量将如何变化？会灭绝吗？如果每年只捕获1只呢？
(3) 在较差的自然环境下，如果要使山猫数量稳定在60只左右，每年要人工繁殖多少只？
解：（1）设第k年山猫的数量为kx，列式得1(1)(0,1,2,kkxrxk…），用循环语句计算，并列表和作图。
（2）设第k年山猫的数量为kx，列式得1(1)(0,1,2,kkxrxbk…），用循环语句计算，并列表和作图。根据第1题的分类讨论结果，解释数值计算结果。
（3）3b
五、教材143页第3章习题3第4题（满分10分）
某成功人士向学院捐献20万元设立优秀本科生奖学金，学院领导打算将这笔捐款以整存整取一年定期的形式存入银行，第二年一到期就支取，取出一部分作为当年的奖学金，剩下的继续以整存整取一年定期的形式存入银行„„请你研究这个问题，并向学院领导写一份报告.
五、解：记第k年取出当年度奖学金之后，继续存在银行的捐款账户余额为kx万元，则列式得1(1)(0,1,2,kkxrxbk…）。根据平衡点的性质给出kx增加、不变与减少的条件。并根据具体描述kx的变化趋势。可去r和b的具体数值，编程计算kx的具体变化过程，并绘图。
六、教材143页第3章习题3第5题（满分10分）
有一位老人60岁时将养老金10万元以整存零取方式（指本金一次存入，分次支取本金的一种储蓄）存入，从第一个月开始每月支取1000元，银行每月初按月利率0.3%把上月结余额孳生的利息自动存入养老金. 请你计算老人多少岁时将把养老金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？
六、解：记养老金第k月末银行庄户余额为kx元，则列式得1(1)(0,1,2,kkxrxbk…）。根据平衡点的性质以及参数的值解释kx的变化趋势。由0kx可以解得养老金在第120个月恰好用完，也可以用条件语句按差分方程迭代计算直到0kx停止。如果养老金想用到80岁，即2400x，那么0170908x元。
七、教材302页第7章习题7第1题（满分10分）
对于不允许缺货的确定性静态库存模型，做灵敏度分析，讨论参数1p、2p和r的微小变化对最优订货策略的影响.
1122(,)(,)0.5,(,)(,)0.5,,(,)0.5,(,)0.5STpSQpSTpSQpSTrSQr解：
八、教材302页第7章习题7第2题（满分10分）
习题7第2题. 某配件厂为装配线生产若干种部件. 每次轮换生产不同的部件时，因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关）. 同一部件的产量大于需求时，因积压资金、占用仓库要付库存费. 今已知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000元，库存费每日每件1元. 如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，请制定最优生产计划.
八、解：用EOQ公式计算得最优生产周期T=10天，每次生产Q=1000件。
九、教材303页第7章习题7第3题（满分10分）
某商场把销售所剩的空纸皮箱压缩并打成包准备回收，每天能产生5包，在商场后院存放的费用是每包每天10元. 另一家公司负责将这些纸包运送到回收站，要收取固定费用1000元租装卸车，外加运输费每包100元. 请制定运送纸包到回收站的最优策略.
九、解：每6天运30包纸包到回收站。
十、教材303页第7章习题7第4题（满分10分）
某旅馆把毛巾送到外面的清洗店去洗. 旅馆每天有600条脏毛巾要洗，清洗店定期上门来收取这些脏毛巾，并换成洗好的干净毛巾. 清洗店清洗毛巾的标准收费每条2元，但是如果旅馆一次给清洗店至少2500条毛巾，清洗店清洗毛巾的收费为每条1.9元. 清洗店每一次取送服务都要收取上门费250元. 旅馆存放脏毛巾的费用是每天每条0.1元. 旅店应该如何使用的清洗店的取送服务呢？
十、解：用列表法或图示法，解得每5天试用一次清洗店的取送服务，每天平均费用为1340元，达到最小值。
