动态电路分析方法

第四章 动态电路分析方法 ·1·

第四章 动态电路分析方法..................................................................................66

4.1 一阶电路的分析.............................................................................................66

4.1.1 一阶电路的零输入响应........................................................................66

4.1.2 一阶电路的零状态响应......................................................................70

4.1.3 一阶电路的完全响应..........................................................................74

4.2 二阶电路的分析.............................................................................................79

4.2.1 LC电路中的自由振荡........................................................................79

4.2.2 二阶电路的零输入响应描述..............................................................81

4.2.3 二阶电路的零输入响应—非振荡情况..............................................83

4.2.4 二阶电路的零输入响应—振荡情况..................................................86

习 题..................................................................................................................89 ·66· 第一篇 电路分析基础

第四章 动态电路分析方法

前面介绍了线性电阻电路的分析方法。由于电阻元件的伏安特性为代数关系，所以

在分析电阻电路时，只需求解一组代数方程，如网孔分析法、节点分析法等。但在本章

所讨论的电路中，除了含有电源和电阻以外，还将含有电容和电感元件。电容和电感元

件的伏安特性为微分或积分关系，故称为动态元件（dynamic element）（参见1.4.3）。

包含动态元件的电路叫做动态电路。动态电路在任一时刻的响应与激励的全部过去

历史有关，这是和电阻性电路完全不同的。例如，一个动态电路，尽管输入已不再作用

了，但仍然可以有输出，因为输入曾经作用过。因此，动态电路是具有“记忆”（memory）

的特点，这完全是由动态元件的性能所决定的。

4.1 一阶电路的分析

不论是电阻性电路还是动态电路，各支路电流与各支路电压都受到基尔霍夫定律的

约束，只是在动态电路中，来自元件性质的约束，除了电阻元件的欧姆定律，还有电容、

电感的电压、电流关系，这些关系已在1.4.3中讨论过，需要微分（或积分）的形式来表

示。因此，线性动态电路不能用线性代数方程，而需用线性微分方程来描述。用解析方

法求解动态电路的问题就是求解微分方程的问题。

在实际工作中经常遇到只包含一个动态元件的线性电路，这种电路是用线性常系数

一阶常微分方程来描述的，故称一阶电路或一阶网络（first order network）。本节讨论这

类网络的解法。以电容元件为例，这类网络可以用图4-1(a)来概括，图中所示的方框部

分只有电阻和电源组成电路，可以用戴维南等效电路或诺顿等效电路来代替。因此，这

类网络的分析问题可归结为图4-1(b)或(c)所示电路的分析问题。本节着重分析的也就是

这种简单的RC和RL电路。

R + + + us(t) uc(t) is(t) R uc(t) C - - - (a) (b) (c) 图4-1 (a)单一动态元件网络；(b)用戴维南定理简化；(c)用诺顿定理简化 含源电

阻网络

4.1.1 一阶电路的零输入响应

动态网络中包含贮能元件，因此，图4-1所示网络的响应，例如电容电压uc(t)等，

不仅取决于R、C的数值和输入us(t)或is(t)的形式，而且还取决于激励刚作用瞬间电容中

的贮能情况——初始状态。电路的响应与后一因素有关是一个新的概念，以前学过的电

阻性网络只是对输入信号有响应。因此，在分析动态网络时将区分：（1）零输入响应

（zero-input response）——无信号作用，由初始时刻的贮能所产生的响应；（2）零状态 第四章 动态电路分析方法 ·67·

响应（zero-state response）——初始时刻无贮能，由初始时刻施加于网络的输入信号所

产生响应。

下面对零输入响应进行描述：图4-2所示的

电路中电容已被电压源充电到电压U0。在t=0时，

开关K1打开时，开关K2同时闭合。这样通过换

路，在t=0时，被充电的电容就与电压源脱离而

与电阻相联接。由于电容电压不能跃变，此时电

容虽与电压源脱离，但仍具有初始电压U0，这也

就是电阻R两端的电压。因此在换路瞬间电流将

由零一跃而为U0/R。在换路后，电容通过R放电，电压逐渐减小，最后为零，电流也相

应从U0/R值逐渐下降，最后也为零。在这个过程中，初始时刻电容由于具有U0的电压

而贮存的电场能量逐渐为电阻所消耗，转化为热能。因此，在t≥0时，电路中并无电源

作用，电路中的物理过程是由非零初始状态产生的，这就是零输入响应的一个例子。

K1 K2 i(t) uc(0)=U0 C R Us=U0 图4-2 已充电的电容与电阻相联接

下面对一阶零输入响应进行数学分析。为了分析的方便，将t≥0时的RC电路重绘

如图4-3所示。根据基尔霍夫电压定律可得

00≥=−tuuRC i(t) + + uc(0)=UC uc(t) uR(t) - - 图4-3 RC电路uc(0)=U0 又

RiuR=

0)0(UudtduCiCC=−=及

电容关系式中出现负号是因为i与uC的参考方向不一致。应注意的还有电容电压的

初始值也要一起写上，否则电容状态的说明就不完全。

在以上的三个方程中包含三个未知量i、uC、uR，所以可以利用此三个方程解出任何

一个未知量。如我们求解电容电压uC(t)，则从以上三个式子可得

00≥=+tdtduRCuCC （4-1）

及 uC(0)=Uo (4-2)

∫−=dtRCudu

CC1∫ (4-3)

解此方程得

tRCCketu1)(−=

这里的k是满足初始条件的常数，即当t=0时有

00)0(UkkeuC=== ·68· 第一篇 电路分析基础

故得

0)(1

0≥=−teUtutRCC （4-4）

注意，在t=0时，即在开关换路时，uC是连续的，没有跃变。

uC求得后，电流可以立即求得为

0)(10≥=−=−teRU

dtduCtitRCC （4-5）

uC(t) U0 0.0184U00.368U0 0 τ 2τ 3τ 4τ t(s) 图4-4 RC电路电容放电时uC随时间变化曲线 i U0 R 0 t

图4-5 RC电路电容放电时 电流随时间变化的曲线

注意，在t=0时，电流由零跃变而为U0/R，这正是由电容电压不能跃变所决定的。

由此可见，RC电路的零输入响应是随时间衰减的指数曲线。当C用法拉、R用欧

姆为单位时，RC的单位为秒，这是因为：欧·法=欧·库/伏=欧·安·秒/伏=欧·秒/欧

=秒。因此（-t/RC）是无量纲的，令τ=RC，我们称之为时间常数(time constant)。电压、

电流衰减的快慢，取决于时间常数τ的大小。以电压为例，当t=τ时，

uC(τ)=U0e-1=0.368U0；当t=4τ时，uC(4τ)=U0e-4=0.0184U0，经过4个时间常数，电容

电压下降到原电压的1.8%，一般可认为已衰减到零（从理论上说，t→∞时，才衰减到

零）。因此，时间常数τ越小，电压电流衰减越快；反之，则越慢。RC电路的零输入响

应由电容的初始电压U0和时间常数τ=RC所确定。 a K1b K2 c Is=I0 L R 图4-6 具有初始值I0的电感与电阻联接 + + uL(t) L R uR(t) iL - - 图4-7 RL电路，iL=I0

另一种典型的一阶电路是RL电路。现在来讨论它的零输入响应。设在t<0时电路

如图4-6所示，开关K1与b端连接，K2打开，电感L由电流源I0供电。设在t=0时，

K1迅速投向c端，K2同时闭合。这样电感L便与电阻相连接，由于电感电流不能跃变，

电感虽已与电流源脱离，但仍具有初始电流I0，这电流将在RL回路中逐渐下降，最后 第四章 动态电路分析方法 ·69·

为零。在这一过程中，初始时刻电感由于具有I0的电流而贮存的磁场能量逐渐为电阻所

消耗，转化为热能。

为求得零输入响应，我们把t≥0时的电路重绘如图4-7所示，并列出

00≥=+tRidtdiLLL （4-6）

及 i0)0(IL= （4-7）

解得

（4-8） 0)(/0≥=−teItitLτ

其中τ=L/R为电路时间常数。电感电压uL则为

0)/(0≥−==−teRIdtdiLutLRLL （4-9）

电流iL及电压uL的波形图如图4-8所示，它们是随时间衰减的指数曲线。

iL I0 uL 0.368I0 0 τ=L/R t 0 t -I0R 图4-8 图4-7所示R-L电路iL及uL随时间变化的曲线

从以上分析可知：零输入响应是在零输入时由非零初始状态产生的，它取决于电路

的初始状态和电路特性。因此，在求解这一响应时，首先必须掌握电容电压或电感电流

的初始值。至于电路的特性，对一阶电路来说，则是通过时间常数τ来体现的。不论是

RC电路还是RL电路，零输入响应都是随时间按指数规律衰减的，这是因为在没有外施

电源的条件下，原有的贮能总是要衰减到零的。在RC电路中，电容电压uC总是由初始

值uC(0)单调地衰减到零的，其时间常数τ=RC；在RL电路中，电感电流iL总是由初始

值iL(0)单调地衰减到零的，其时间常数τ=L/R。掌握了uC(t)、iL(t)后，根据电路中电压、

电流的约束关系就可以进一步求出其他各个电压和电流。注意：电路中所有的电压和电

流都是随时间按指数规律衰减的，具有相同的时间常数，只是初始值各不相同而已。这

是因为各元件的电压和电流或者是受代数关系的约束（电阻），或者是受微分、积分关系

的约束（电感和电容），而一个指数函数ke-t/τ的导数或积分仍然是一个指数函数k’e-t/τ，

其中k’等于-k/τ或-τk。

时间常数体现了电路的固有性质。由于时间倒数具有频率的量纲，因此把-1/τ（即