小学数学五年级体积应用题解题
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例116 有两个完全相同的长方体恰好拼成了一个正方体，正方体的表面积是30平方厘米.如果把这两个长方体改拼成一个大长方体，那么大长方体的表面积是多少
（北京市西城区） 【分析1】因为正方体有6个相等的面，所以每个面的面积是30÷6=5平方厘米.拼成一个大长方体要减少一个面的面积，同时增加两个面的面积.由此可求大长方体的表面积.
【解法1】30-30÷6+30÷6×2 =30-5+10=35（平方厘米）. 或： 30+30÷6×（2-1） =30+5=35（平方厘米）. 【分析2】因为拼成大长方体后，表面积先减少一个面的面积，同时又增加两个面的面积，实际上增加了一个面的面积.
【解法2】 30+30÷6=30+5=35（平方厘米）. 【分析3】把原来正方体的表面积看作“1”.先求出增加的一个面是原来正方体表面积的几分之几，再运用分数乘法应用题的解法求大长方体的表面积.
【分析4】因为原来正方体的表面积是6个小正方形面积的和，拼成大长方体的表面积是7个小正方形面积的和，所以可先求每个小正方形的面积，再求7个小正方形的面积.
【解法4】30÷6×（6+1） =30÷6×7=35（平方厘米）. 答：大长方体的表面积是35平方厘米. 【评注】比较以上四种解法，解法2和解法3是本题较好的解法. 例117 大正方体棱长是小正方体棱长的2倍，大正方体体积比小正方体的体积多21立方分米，小正方体的体积是多少
（北京市东城区） 【分析1】把小正方体的体积看作“1倍”，那么大正方体的体积是小正方体的2×2×2=8（倍），比小正方体多8-1=7（倍）.由此本题可解.
【解法1】21÷（2×2×2-1） =21÷7=3（立方分米）. 【分析2】把小正方体的棱长看作“ 1”，那么大正方体棱长就是2.
【分析3】先求出大、小正方体的体积比，再求21立方分米的对应份数，最后求出每份的体积即小正方体的体积.
【解法3】大、小正方体的体积比 （2×2×2）∶（1×1×1）=8∶1 小正方体的体积是多少立方分米 21÷（8-1）=3（立方分米） 答：小正方体的体积是3立方分米. 【评注】解法1的思路简单，运算简便. 例118 一个圆锥形麦堆，底面周长是米，高是3米.把这些小麦装入一个底面直径是4米的圆柱形粮囤内正好装满，这个圆柱形粮囤的高是多少米（天津市和平区）
【分析1】由题意可知，麦堆的体积等于圆柱粮囤的体积.所以先求出麦堆的体积，再除以圆柱粮囤的底面积，即得粮囤的高。
【解法1】麦堆的底面半径是多少 ÷÷2=4（米） 麦堆的体积是多少立方米
圆柱粮囤的高是多少米 综合算式： 【分析2】根据麦堆的体积和圆柱粮囤体积相等列方程解. 【解法2】设圆柱粮囤高是h米. 体积，而这个圆柱与粮囤的体积相等，即积一定，根据圆柱体积=πr2h可知，圆柱高h与半径的平方r2成反比例.由此列方程解.
【解法3】设圆柱粮囤高为h米. 麦堆底半径：÷÷2=4（米） 粮囤底半径：4÷2=2（米）
16=4h h＝4 答：这个圆柱形粮国的高是4米. 【评注】解法3的思路最简单、最灵活，运算最简便，是本题的最佳解法. 例119 一个圆锥体的体积是36立方分米，高是9分米，比与它等底的圆柱体的体积小12立方分米，这个圆柱体的高是多少分米（天津市河西区）
【分析1】先求圆锥的底面积即圆柱的底面积，再求圆柱体积，最后求圆柱的高. 【解法1】圆柱底面积是多少 36×3÷9=12（平方分米） 圆柱的体积是多少 36+12=48（立方分米） 圆柱的高是多少 48÷12=4（分米） 综合算式：（36+12）÷（36×3÷9） =48÷12=4（分米）. 【分析2】如果设圆柱高为h，那么它相当于高为3h的等底圆锥，而这的高与圆锥的体积成正比例. 【解法2】设圆柱体的高是h分米. （36+12）∶3h=36∶9
答：这个圆柱体的高是4分米。 【评注】解法2的思路简单明白，运算最为简便，是本题的较好解法.本题还可用方程解，读者试解一下.
例120 如下图，求阴影部分的面积（单位：厘米）. （湖北省武汉市）
【分析1】从图中条件可知，三角形为等腰直角三角形，所以两个锐角都是45°.因此用三角形的面积分别减去三个扇形的面积，即得阴影面积.
【解法1】（10+10）×（10+10）÷2 =20×20÷××25 =（平方米） 【分析2】因为三个空白扇形恰好拼成180°的扇形，所以用三角形的面积减去圆心角是180°的扇形面积，即得阴影部分的面积.
【解法2】（10+10）×（10+10）÷2 =20×20÷×10×10÷2 =200-157=43（平方厘米）. 【分析3】同分析2.用三角形的面积减去半圆的面积，即得阴影部分的面积. 【解法3】（10×2）×（10×2）÷×10×10÷2 =200-157=43（平方厘米）. 答：阴影部分的面积是43平方厘米. 【评注】 比较以上三种解法，解法3的思路较灵活，运算简便，是本题较好解法. 例121 右下图是由若干个1立方厘米的正方体木块摆成的图形，它的体积是多少立方厘米 （广东省广州市越秀区）
【分析1】把此图分为三层，最底层的长是5厘米，宽是4厘米，高是1厘米，由此可求底层的体积.同样可求第一层和第二层的体积，再将三层的体积加起来即得此形体体积.
【解法1】最底层的体积是多少 5×4×1=20（立方厘米） 第一层和第二层的体积共多少 4×2×2=16（立方厘米） 此形体的体积是多少 20+16=36（立方厘米） 综合算式：5×4×1+4×2×2 =20+16=36（立方厘米）. 【分析2】把这个形体切成一个长4厘米、宽3厘米、高1厘米和一个长4厘米、宽2厘米、高3厘米的两个长方体，求其体积和.
【解法2】4×3×1+4×2×3 =12+24=36（立方厘米）. 【分析3】把原形体补充为一个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体，求出它的体积，再减去多补充的体积4×3×2=24（立方厘米），即得原形体的体积.
【解法3】5×4×3-4×3×2 =60-24=36（立方厘米）. 【分析4】因为第一、二层共有4×2×2=16（块），第三层有4×5=20（块），三层共36块，并且每块1立方厘米，由此可求36块多少立方厘米.
【解法4】1×（4×2×2+4×5） =1×（16+20）=36（立方厘米）. 答：它的体积是36立方厘米. 【评注】以上四种解法各有特色，读者可根据自己的实际情况灵活选用. 例122 如图，已知圆的直径是8厘米，求阴影部分的周长和面积. （陕西省西安市新城区）
【分析1】图中阴影部分的周长是大圆半周长与小圆两个半周长的和，它的面积是大半圆的面积与小半圆面积的差，再加小半圆面积的和.
【解法1】 周长：×8÷2+×（8÷2）÷2×2 =÷2+÷2×2 =+=（厘米）
=×4×4÷×2×2÷2+×2×2÷2 =（平方厘米）. 【分析2】由图可知两个小半圆是相等的，因此阴影小半圆恰好补充空白小半圆，那么阴影面积等于大圆面积减去空白大半圆面积；阴影周长是小圆周长与大圆半周长的和.
=+=（厘米） =××8 =×（16-8）=（平方厘米）. 【分析3】因为大圆直径是小圆直径的2倍，所以小圆的周长和大圆的半周长相等，由此可知阴影部分周长恰是大圆的周长.将阴影小半圆移到空白小半圆使其重合，那么阴影部分恰是大半圆.
【解法3】周长：×8=（厘米）
=×16÷2=（平方厘米）. 答：略. 【评注】比较以上三种解法，解法3的思路最直接最灵活，运算最简便，是最佳解法. 例123 如图，求阴影部分的面积（单位：厘米）. （辽宁省大连市中山区）
【分析1】先求出扇形的半径和圆心角的度数，再根据扇形面积公式求阴影的面积. 【解法1】半径：36÷2=18（厘米）圆心角：360°-60°=300°阴影面积：
=（平方厘米）. 【分析2】先求出扇形所在圆的面积，再求阴影部分占圆面积的几分之几，最后运用分数乘法应用题的解法求阴影面积.
=×270=（平方厘米）. 【分析3】先求扇形所在圆的面积，再求空白扇形的面积，用圆面积减去空白扇形面积，即得阴影扇形的面积.
=×18××18×3 =（平方厘米）. 【分析4】把扇形所在圆的面积看作“1”，那么空白扇形的面积占圆 的面积.
=×270=（平方厘米）. 答：阴影部分的面积是平方厘米. 【评注】比较以上四种解法，解法1的思路最简单，运算最简便，是本题最佳解法. 例124 在一个现代化的体育馆里铺设了30块长20米、宽米、厚米的硬塑地板，这个体育馆的面积有多少平方米
（江苏省南京市鼓楼区） 【分析1】先求出每块硬塑板的占地面积，再求30块硬塑板的面积即体育馆占地面积. 【解法1】20××30 =70×30=2100（平方米）. 【分析2】把这30块硬塑板平放成宽20米，长是30个米的长方形，求出这个长方形的面积即体育馆的面积.
【解法2】×30×20 =105×20=2100（平方米）. 【分析3】把这30块硬塑板平放成长是30个20米、宽是米的长方形，求出这个长方形的面积即体育馆的面积.
【解法3】20×30× =600×=2100（平方米）. 答：这个体育馆的面积有2100平方米. 【评注】解法1的思路最直接，解法最佳. 例125 求图中阴影部分的面积（单位：厘米）. （吉林省）
【分析1】先求平行四边形的面积，再求空白三角形的面积，用平行四边形的面积减去三角形的面积，即得阴影部分的面积.
【解法1】8×4-8×4÷2 =32-16=16（平方厘米）. 【分析2】假设AE是6厘米，那么BE的长是8-6=2厘米.由此直接求出两个阴影三角形的面积，再求它们的面积和，即得阴影面积.
【解法2】假设AE长6厘米，那么BE的长是8-6=2厘米.
