山东省泰安市肥城市第三中学高考数学一轮复习 函数与方程教案
学习内容 学习指导
即时感悟
学习目标：
1、结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程的联系，判断一元二次方程根的存在性和根的个数。
2、根据函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解。
3、体会数形结合、函数与方程、分类讨论的数学思想。
学习重点：函数的零点与方程的联系，用二分法求相应方程的近似解。
学习难点：理解函数的零点与方程的联系，用二分法求相应方程的近似解。
回顾﹒预习
1．函数的零点(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使 成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 有交点⇔函数y＝f(x)有 ．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
⊿>0 ⊿=0 ⊿<0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像
与x轴的交点
零点个数
3.二分法
(1)二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
(2)用二分法求函数零点近似值的步骤：
课前自测
1．若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零 点是 ( C )
A．0 B．－1 C．0，－1 D．0,1
高考数学一轮复习---函数与方程知识点与题型
一、基础知识
1．函数的零点
(1)零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.
2．函数的零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
3．二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
二、常用结论
有关函数零点的结论：
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
三、考点解析
考点一 函数零点个数、所在区间
例、(1)已知函数f(x)＝ x2－2x，x≤0，1＋1x，x>0，则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)设函数f(x)＝13x－ln x，则函数y＝f(x)( ) A．在区间(1，e)内均有零点 B．在区间1,1e，(1，e)内均无零点
微专题1 函数的零点
方法指导·识技巧
函数作为高中数学的基础内容之一，在各个知识间起到了“中枢”的作用，其概念与性质在高考中都有所考查，函数的应用则体现了新高考考查应用的理念，在高考中对函数应用的考查主要体现在函数的零点问题上，是高考考查的热点、重点．
函数的零点与方程的解、函数的图象等问题密切相关，该部分的重点主要包括以下几个方面：函数零点的判断与求解、与函数零点相关的含参问题、与二次函数相关的零点问题．
处理函数零点问题的常用方法：(1)解方程，令f(x)＝0，求解；(2)零点存在性定理，要求函数在区间上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定；(3)数形结合，转化为两个函数的图象的交点的个数问题．
函数的零点问题主要涉及了转化思想，如方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数的值域问题．
在解决函数的零点问题需要注意以下几点：(1)函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标；(2)函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件，判零点个数还是要根据函数的单调性、对称性或者结合函数的图象.
典型示例·提能力
一、函数零点的判断与求解
判断函数零点个数的方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．
(2)利用零点存在性定理求：利用该定理不仅要求函数在上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(3)数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图象的情况，常通过分解转化为两个函数图象，然后利用数形结合，看其交点有几个．其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
例1
(1)已知函数f(x)＝lnx－(12)x－2的零点为x0，且x0所在的区间是(k，k＋1)(k∈Z)，则k＝________.
1 / 6 课时作业(十三) 函数与方程
1．下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是( )
A．y＝log12 x B．y＝2x－1
C．y＝x2－12 D．y＝－x3
B [函数y＝log12 x在定义域上单调递减，y＝x2－12 在(－1，1)上不是单调函数，y＝－x3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝2x－1，当x＝0∈(－1，1)时，y＝0且y＝2x－1在R上单调递增．故选B.]
2．(2020·重庆模拟)函数f(x)＝(12 )x－15 x的零点位于区间( )
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
B [函数f(x)在R上为减函数，其图像为一条不间断的曲线．
∵f(1)＝12 －15 ＝310 >0，f(2)＝14 －25 ＝－320 <0，
∴f(1)·f(2)<0，∴由零点存在性定理可知，函数f(x)的零点位于区间(1，2).故选B.]
3．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B [(数形结合法)∵a>0，∴a2＋1>1.
而y＝|x2－2x|的图像如图，
∴y＝|x2－2x|的图像与y＝a2＋1的图像总有两个交点．
即方程有2个解．]
4. (多选)已知f(x)是定义域为R的偶函数，在(－∞，0)上单调递减，且f(－3)·f(6)<0，那么下列结论中正确的是( )
A．f(x)可能有三个零点 B．f(3)·f(－4)≥0
C．f(－4)
AC [因为f(x)是定义域为R的偶函数，又f(－3)·f(6)<0，所以f(3)·f(6)<0.又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，且f(3)<0，f(6)>0，所以函数f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两个零点．但是f(0)的值没有确定，所以函数f(x)可能有三个零点，故A正确；2 / 6 又f(－4)＝f(4)，4∈(3，6)，所以f(－4)的符号不确定，故B不正确；C项显然正确；由于f(0)的值没有确定，所以f(0)与f(－6)的大小关系不确定，所以D不正确．故选AC.]
