泊松过程是和计数有关的一个模型,它是随机过程的一种,是以事件的发生时间来定义的。
1. 泊松过程是一类重要的计数过程。
计数过程有着广泛的应用,只要我们对所观察事件出现的次数感兴趣,就可以使用计数过程来描述。例如,(1),到商场购物的顾客数;(2),超市中等待结账的顾客数;(3),某地区的死亡人数、新生人数;(4),通过某一路口的汽车数量;(5),保险公司接到的索赔次数等。
归纳上述可知:传统的各种服务系统,如银行、医院、车站、广场、机场、高速路、游乐场等,以及新兴的服务系统,如购物网站访问量、快递收件数量、个人视频播放量等,在一段时间内,其“顾客”数都存在着计数过程。
如果说上述的服务系统主要是源于其“吸引作用”而引起的计数过程,则可以归纳出:凡带“吸引”属性的事物,都可以看作产生计数过程的源,这类事物的变化过程都可以泊松过程来描述。如生态学上,沙漠地带的水塘对周边的动物产生的吸引,使得它们不定时到此饮水,则动物数量就是一个计数过程;水草丰茂的某块草地也是吸引食草动物前来的源,食草动物一段时间过来吃草的数量,也符合计数过程。
如果说到“服务窗口”的“顾客”计数过程是被动的计数过程,那么一些主动的“某种渴望”产生的也是“顾客数”,也是计数过程。比如用渔网在大海中捕鱼,一段时间内的捕鱼数量就是计数过程;用磁铁在沙堆上主动吸附铁屑,这种主动的过程也会产生计数过程。所谓生物入侵,无非就是某些外来物种对某地的某个源对有足够的渴望而源源不断的迁徙而来;你身体内某种有害细胞(咱不叫它们癌细胞,那太难听!)的数量增长过程;其他研究,比如种子在一段时间内发芽的粒数,一批种下的小树成材之棵数,一片草地上某种恢复性草籽的成功生长的数目等。
2. 泊松过程是具有独立平稳增量的计数过程
泊松过程是具有独立增量和平稳增量的计数过程,在这个论断中,独立增量比平稳增量更具约束力,当增量不平稳时,可“通过调整时钟”让增量变得平稳,但若增量不独立,则只能增加外约束,使某计数事件的概率增加限定,以期满足计算要求。
1. 一队同学顺次等候体验。设每人体验所需要的时间服从均值为2min的指数分布并且与其他人所需时间是相互独立的，则1h内平均有多少同学接受过体检，在这1h内最多有40名同学接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）？
2. 设某医院专家门诊，从早上8:00开始就已有无数患者等候，而每次专家只能为一名患者服务，服务的平均时间为20min，且每名患者的服务时间是独立的指数分布。问8:00到12:00门诊结束时接受过治疗的患者平均在医院停留了多长时间？
3. 设每天过某路口的车辆数为：早上7:00-8:00，11:00-12:00为平均每分钟2辆，其他时间平均每分钟1辆，则早上7:30到中午11:20平均有多少辆汽车经过此路口，这段时间经过路口的车辆超过500辆的概率是多少？
4. 设今日有雨，则明日也有雨的概率为0.7，今日无雨明日有雨的概率为0.5。求星期一有雨，星期三也有雨的概率？
5. 某人有r把伞用于上下班，如果一天的开始他在家（一天的结束他在办公室）中而且天下雨，只要有伞可取到，他将拿一把到办公室（家）中。如果天不下雨，那么他不带伞，假设每天的开始（结束）下雨的概率为p，且与过去情况独立。
（1）定义一个有r+1个状态的Markov链并确定转移概率；
（2）计算极限分布；
（3）他被淋湿的平均次数所占比率是多少（如果天下雨而全部伞在另一处，那么称他被淋湿）？
6. 将两个红球4个白球分别放入甲乙两个盒子中。每次从两个盒子中各取一球交换，以X(n)记第n次交换后甲盒中的红球数。
（1）说明{X(n), n≥0}是一Markov链并求转移矩阵P；
（2）试证{X(n), n=0,1,2,…}是遍历的；
（3）求它的极限分布。
7. 设有3个盒子装有红白两种颜色球，装球情况如下：
做下面的抽取：在甲盒中随机抽取1个球，记下它的颜色，然后重新放回1个与它不同颜色的球，在乙盒中随机抽取后记下颜色再放回，在丙盒中随机抽取后只记颜色不放回。现在某人随机选中一个盒子，按与此盒相应的抽取方式得到了一个如下记录（红，红，红，红，白），则他最可能选取的是哪一个盒子。 盒子 红球 白球
1、 5.12 If Xi, i = 1,2,3 are independent exponential random
variables with rates i, find P(X1
2、5.20 Consider a two-server system in which a customer is
served first by server 1, then by server 2, and then departs. The
service times at server i are exponential random variables with
rates i, i = 1,2. When you arrive, you find server 1 free and
two customers at server 2——customer A in service and
customer B waiting in line.
(a) Find PA, the probability that A is still in service when you
move over to server 2.
(b) Find PB, the probability that B is still in the system when
you move over to server 2.
© Find E[T], where T is the time that you spend in the system.
3、5.24 There are 2 servers available to process n jobs. Initially,
each server begins work on a job. Whenever a server completes
work on a job, that job leaves the system and the server begins
泊松过程
泊松过程是指一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。泊松过程是由法国著名数学家泊松（1781—1840）证明的。1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。
泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。我们说一个 随机过程 N(t) 是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件：
在两个互斥（不重迭）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。
在区间[t,t + τ]内发生的事件的数目标机率分布为：
其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。所以，如果给定在时间区间[t,t + τ]之中事件发生的数目，则随机变量N(t + τ) − N(t)呈现泊松分布，其参数为λτ。
更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得
在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重迭）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变量是独立的。 在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变量。）
考虑一个泊松过程，我们将第一个事件到达的时间记为T1。此外，对于n>1，以Tn记在第n-1个事件与第n个事件之间用去的时间。序列{Tn,n=1,2,...}称为到达间隔时间列。
Tn(n=1,2,...)是独立同分布的指数随机变量，具有均值1/λ。
泊松过程用数学语言说，满足下列三条件的随机过程X={X(t),t≥0}叫做泊松过程。
