课时2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

§4.3 简单的三角恒等变换

考试要求 1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．

第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

两角和与差的余弦、正弦、正切公式

(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；

(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；

(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；

(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；

(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β；

(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.

微思考

1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？

2．两角和与差的公式的常用变形有哪些？

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )

(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．( )

(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( ) (4)3sin α＋cos α＝2sinα＋π3.( )

题组二 教材改编

2．若cos α＝－45，α是第三象限角，则sinα＋π4等于( )

asin 日 + bcosT = Ja1 2 +b2 sin® a= cos—b

■. a2 b2 a2 b2 二，a2 b2 sin v

其中 cos 9 = a ,

Ja2 +b2 sin

Ma2 +b2

或 asin r bcos 二 a2 b2 cos 丁 -:，其中 cos = sin =

(2)求证: 叱 2cos「「也；

sin ： sin : 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (第1课时)30 **学习目标**

1 •能用诱导公式推导两角和与差的正弦公式；

2.进一步熟悉化角技巧，初步掌握合一变换；

3 •能对公式正用、逆用、活用，解决化简、求值、证明题的同时初步掌握有关三角函数性 质的题的解法.

**要点精讲**

1 .两角差的正弦公式： sin「- - - sin cos'-cos〉sin ；

2.两角和的余弦公式： sin ： ： = sin ： cos^ cos：

3 .对于a sin v - bcosv可作如下变换:

我们把上述变换称为合一变换，它实质上是两角和与差的正余公式的逆用.

**范例分析**

例 1.求值：(1) sin 75： ； ( 2) sin x 60〃 2sin x -60〃 -、：3cos 120 -x

2 b2 例 3. (1)化简：、、2cosx - sin x

(2)求函数 f(x) =sin(x ) - sin x的周期、值域、单调区间。 3

例 4. (1)在 LABC 中，已知 2cosBcosC =1 -cosA， 2sin BcosC = 1 sin B - C ， 试判断此三角形的形状.

(2)在 ABC 中，如果 4sin A 2cosB =1, 4cos A 2sin B =3、3，则.C 等于( )

A. 30 B. 150 C. 30 或 150 D. 60；或 120；

**规律总结**

1. 在例2中，观察角之间的联系：2 -

§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）

学习目标：⒈掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导过程．

⒉能灵活应用公式进行简单三角函数式的化简．

教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式．

教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用．

教学方法：讨论式．

教具准备：多媒体投影．

教学过程：

（Ⅰ）复习引入：

师：上节课，我们利用向量方法得到了差角的余弦公式．请默写公式．

生：cos()coscossinsin．

师：有了这个公式以后，我们就可以以此为基础，利用同角三角函数的基本关系和诱导公式得出其它一些公式．

这是我们本节课的任务．

（Ⅱ）讲授新课：

师：请由差角的余弦公式推导出和角的余弦公式，即用任意角、的正弦、余弦值表示角的余弦值．

生：cos()cos[()]

coscos()sinsin()

coscossinsin．

师：这样我们就得到了和角的余弦公式，简记作()C．

cos()coscossinsin．

要注意它与差角的余弦公式之间的差别．

师：我们知道，利用诱导公式可以实现正弦、余弦的互化．请用诱导公式与和（差）角的余弦公式推导和（差）角的正弦公式．

生：sin(α＋β)＝cos[2－(α＋β)]＝cos[(2－α)－β]

＝cos(2－α)cosβ＋sin(2－α)sinβ

＝sinαcosβ＋cosαsinβ．

∴ sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ．

sin[α＋(－β)]＝sinαcos(－β)＋cosαsin(－β)

＝sinαcosβ－cosαsinβ，

即： sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ．

师：这两个公式称为两角和（差）的正弦公式，分别简记作()S、()S

sin()sincoscossin，sin()sincoscossin．

§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考试要求 1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用． 知识梳理

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式

(1)公式C(α－β)：

cos(α－β)＝cos

αcos

β＋sin

αsin

β； (2)公式C(α＋β)：

cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；

(3)公式S(α－β)：

sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；

(4)公式S(α＋β)：

sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；

(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β；

(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.

2．辅助角公式

asin α＋bcos α＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中sin φ＝ba2＋b2，cos φ＝aa2＋b2.

知识拓展

两角和与差的公式的常用变形：

(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.

(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.

(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．

tan αtan β＝1－tan α＋tan βtanα＋β＝tan α－tan βtanα－β－1.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )

(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．( × ) (3)公式tan(α＋β)＝tan

α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan

α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )