两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时作业

课时作业20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、选择题

1．已知α∈π2，π，sinα＝35，则tan2α＝( )

A.247 B.2425

C．－2425 D．－247

解析：∵α∈π2，π，sinα＝35，∴cosα＝－45，∴tanα＝－34.∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×－341－－342＝－247.

答案：D

2．(2016·新课标全国卷Ⅲ)若tanθ＝－13，则cos2θ＝( )

A．－45 B．－15

C.15 D.45

解析：由tanθ＝－13，得sinθ＝－1010，cosθ＝31010或sinθ＝1010，cosθ＝－31010，所以cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝45，故选D.

答案：D

3．已知cosα＝35，cos(α＋β)＝－513，α，β都是锐角，则cosβ＝( ) A．－6365 B．－3365

C.3365 D.6365

解析：∵α，β是锐角，∴0

答案：C

4．(2017·广东汕头质量检测)已知sinα＋π6＝13，则cos2α－2π3的值是( )

A.79 B.13

C．－13 D．－79

解析：sinα＋π6＝sinπ2－π3－α＝cosπ3－α＝cosα－π3，所以cos2α－2π3＝2cos2α－π3－1＝2×132－1＝－79，故选D.

答案：D

5．已知α、β都是锐角，若sinα＝55，sinβ＝1010，则α＋β等于( )

A.π4 B.3π4

C.π4和3π4 D．－π4和－3π4

解析：由α、β都为锐角，所以cosα＝1－sin2α＝255，cosβ＝1－sin2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ＝22，所以α＋β＝π4.故选A.

答案：A

6．(2017·河北石家庄质检)设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为(

)

A．[－2，1] B．[－1，2]

C．[－1,1] D．[1，2]

解析：∵sinαcosβ－cosαsinβ＝1⇒sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，∴α－β＝π2，

∴ 0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，⇒π2≤α≤π，

∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)

＝sin2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)

＝sinα＋cosα＝2sinα＋π4.

∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤54π，

∴－1≤2sinα＋π4≤1，

即取值范围是[－1,1]，故选C.

答案：C

二、填空题

7．sin15°＋sin75°的值是________．

解析：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝2sin(15°＋45°)＝2×32＝62.

答案：62

8．(2017·吉林东北师大附中等三校联考)函数f(x)＝cos2x－2sinx的值域为________．

解析：f(x)＝cos2x－2sinx＝1－2sin2x－2sinx＝－2sinx＋122＋32，又sinx∈[－1,1]，∴f(x)∈－3，32，函数f(x)的值域为－3，32.

答案：[－3，32]

9．(2017·河北衡水中学一调)若tanα＋1tanα＝103，α∈π4，π2，则sin2α＋π4＋2cosπ4cos2α的值为________．

解析：∵tanα＋1tanα＝103，

∴(tanα－3)(3tanα－1)＝0，∴tanα＝3或13.

∵α∈π4，π2，∴tanα>1，∴tanα＝3，

sin2α＋π4＋2cosπ4cos2α＝22sin2α＋22cos2α＋21＋cos2α2＝22(sin2α＋2cos2α＋1)＝222tanα1＋tan2α＋21－tan2α1＋tan2α＋1

＝22610－1610＋1＝0.

答案：0

10．(2017·广东广州五校联考)函数f(x)＝4cosx·sinx＋π6－1(x∈R)的最大值为________．

解析：∵f(x)＝4cosxsinx＋π6－1

＝4cosx32sinx＋12cosx－1

＝23sinxcosx＋2cos2x－1

＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，

∴f(x)max＝2.

答案：2

三、解答题

11．已知函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx，x∈R.

(1)求fπ6的值；

(2)若sinα＝35，且α∈π2，π，求fα2＋π24.

解：(1)fπ6＝cos2π6＋sinπ6cosπ6

＝322＋12×32＝3＋34.

(2)因为f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝1＋cos2x2＋12sin2x＝12＋12(sin2x＋cos2x)＝12＋22sin2x＋π4，所以fα2＋π24＝12＋22sinα＋π12＋π4＝12＋22sinα＋π3＝12＋2212sinα＋32cosα.

又因为sinα＝35，且α∈π2，π，

所以cosα＝－45，所以fα2＋π24＝12＋2212×35－32×45＝10＋32－4620.

12．已知0

(1)求sin2β的值；

(2)求cosα＋π4的值．

解：(1)解法1：∵cosβ－π4

＝cosπ4cosβ＋sinπ4sinβ

＝22cosβ＋22sinβ＝13，

∴cosβ＋sinβ＝23，∴1＋sin2β＝29，

∴sin2β＝－79.

解法2：sin2β＝cosπ2－2β

＝2cos2β－π4－1＝－79.

(2)∵0

∴π4

∴sinβ－π4>0，cos(α＋β)<0.

∵cosβ－π4＝13，sin(α＋β)＝45，

∴sinβ－π4＝223，cos(α＋β)＝－35， ∴cosα＋π4＝cosα＋β－β－π4

＝cos(α＋β)cosβ－π4＋sin(α＋β)sinβ－π4

＝－35×13＋45×223＝82－315.

1．在斜三角形ABC中，sinA＝－2cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－2，则角A的值为( )

A.π4

B.π3

C.π2 D.3π4

解析：由题意知，sinA＝－2cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－2cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC两边同除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－2，又tan(B＋C)＝tanB＋tanC1－tanBtanC＝－1＝－tanA，即tanA＝1，所以A＝π4.

答案：A

2．(2017·成都一诊)若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是( )

A.7π4

B.9π4

C.5π4或7π4 D.5π4或9π4 解析：因为α∈π4，π，所以2α∈π2，2π，又sin2α＝55，所以2α∈π2，π，α∈π4，π2，故cos2α＝－255.又β∈π，3π2，所以β－α∈π2，5π4，

故cos(β－α)＝－31010.

所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]

＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)

＝－255×－31010－55×1010＝22，

且α＋β∈5π4，2π，故α＋β＝7π4.

答案：A

3．(2016·新课标全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝35，则tanθ－π4＝________.

解析：解法1：因为sin(θ＋π4)＝35，所以cosθ－π4＝sinπ2＋θ－π4＝sin(θ＋π4)＝35，因为θ为第四象限角，所以－π2＋2kπ

解法2：因为θ是第四象限角，且sin(θ＋π4)＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos(θ＋π4)＝45，

所以tan(θ－π4)＝sinθ－π4cosθ－π4

＝－cos[π2＋θ－π4]sin[π2＋θ－π4]＝－cosθ＋π4sinθ＋π4

＝－43.

答案：－43

4．已知函数f(x)＝sinωx＋π4＋cosωx＋5π12(ω>0)的最小正周期T＝4π.

(1)求ω；

(2)设x1，x2∈－π2，π2，求|f(x1)－f(x2)|的最大值．

解：(1)f(x)＝sinωx＋π4＋cosωx＋5π12

＝sinωx＋π4＋cosωx＋π4＋π6

＝sinωx＋π4＋32cosωx＋π4－12sinωx＋π4

＝12sinωx＋π4＋32cosωx＋π4

＝sinωx＋7π12，

∵函数f(x)的最小正周期T＝4π，且ω>0，∴ω＝12.