完整版)高考解三角形大题(30道)

解三角形大题全国卷高考题汇总(11-19)(总11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--解三角形全高考国题汇总一全国1卷(19年1卷）17.的角内A ，B ，C 的分对边别为a ，b ，c ，设．（1）求A ；（2）若，求sin C ．【分析】（1）利用正弦定理化已知角系式可得：简边关，而可整理出从，根据可求得果；（结2）利用正弦定理可得，利用、角和差正弦公式可得于两关和的方程，合同角三角函系解方程可求得果结数关结.【解】（详1）即：由正弦定理可得：（2），由正弦定理得：又，整理可得：解得：或因为所以，故.（2）法二：，由正弦定理得：又，整理可得：，即由，所以.90ADC ∠=，45A ∠= ，（1（2）（1）在ABD ∆中，由正弦定理得：∵90ADB ∠< ,（2∴【2017，17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长【解析】（1）面积．且，，，由正弦定理得，由得．（2）由（1）得，，，，又，，，，由余弦定理得①由正弦定理得，，②由①②得，，即周长为．【2016，17】的内角的对边分别为，已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为，求的周长．【解析】⑴，由正弦定理得：，∵，，∴∴，∵，∴，⑵，，∴，∴，，∴周长为【2013，17】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝，求P A；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得P A2＝，故P A＝.(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα，在△PBA中，由正弦定理得，化简得cos α＝4sin α，所以tan α＝，即tan∠PBA＝.【2012，17】已知，，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，．（1）求A；（2）若，△ABC的面积为，求，．【解析】（1）根据正弦定理，得，，，因为，所以，即，（1）由三角形内角和定理，得，代全（1）式得，化简得，因为，所以，即，而，，从而，解得．（2）若，△ABC的面积为，又由（1）得，则，化简得，从而解得，．二．全国2卷（2017·17）的内角的对边分别为 ,已知．（1）求；（2）若 , 面积为2，求．（2015·17）在∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD面积是∆ADC 面积的2倍．（）求；Ⅰ（）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．Ⅱ（2013·17）在△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.（2012·17）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，.（）求A；Ⅰ（）若a=2，△ABC的面积为，求b，c.Ⅱ2011—平新课标全国卷理科数学试题分类汇编平2017Ⅱ8．三角函数与解三角形（逐题解析版）一、选择题（2016·7）B解析：平移后图像表达式为，令，得对称轴方程：，故选B．（2016·9）D解析：∵，，故选D．（2014·4）B解析：∵，即：，∴，即或．又∵，∴或5，又∵为钝角三角形，∴，即：.（2012·9）A解析：由得，，.（2011·5）B解析：由题知,，故选B.（2011·11）A解析：的最小正周期为π，所以，又，∴f (x)为偶函数，，，故选A.二、填空题（2017·14）【解析】∵，，∴，设，，∴，函数对称轴为，∴．（2016·13）解析：∵，，∴，，，．（2014·14）1 解析：∵∵，∴的最大值为1.（2013·15）解析：由，得tan θ＝，即sin θ＝cos θ. 将其代全sin2θ＋cos2θ＝1，得. 因为θ为第二象限角，所以cos θ＝，sin θ＝，sin θ＋cos θ＝.（2011·16）解析：,，，，，故最大值是.三、解答题（2017·17）的内角的对边分别为 ,已知．（1）求；（2）若 , 面积为2，求．解析：Ⅰ（）【解法1】由题设及，故，上式两边平方，整理得，解得.【解法2】由题设及，所以，又，所以，.（）由，故，又Ⅱ，由余弦定理及得，所以b=2．（2015·17）在∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD面积是∆ADC 面积的2倍．（）求；Ⅰ（）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．Ⅱ解析：（Ⅰ），，因为，，所以，由正弦定理可得.（Ⅱ）因为，，所以，在和中，由余弦定理知，，，故，由（Ⅰ）知，所以.（2013·17）在△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin A＝sin B cos C＋sin C sin B ①，又A＝π-(B+C)，故sin A＝sin(B+C)＝sin B cos C+cos B sin C ②，由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B，又B∈(0，π)，所以.（Ⅱ）△ABC的面积. 由已知及余弦定理得. 又a2＋c2≥2ac，故，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为.（2012·17）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，.（）求A；Ⅰ（）若a=2，△ABC的面积为，求b，c.Ⅱ（）由及正弦定理可得解析：Ⅰ，，，，，，，，，，.（），，，Ⅱ，，，解得.三．全国3卷（17年）17．（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．（1）求c；（2）设为边上一点，且，求的面积．【解析】（1得，即，又，，得由余弦定理.又∵代入并整理得，故.（2）∵，由余弦定理.∵，即为直角三角形，则，得由勾股定理.，则.。

专题19 解三角形一、单选题（本大题共10小题，共50分）1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acosC=b，则△ABC的形状是()A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形2.如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5√3，CD=5，BD=2AD，则AD的长为()A. 4B. 5C. 6D. 73.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是()A. 10√3海里B. 10√63海里 C. 5√2海里 D. 5√6海里4.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若角A、C、B成等差数列，角C的角平分线交AB于点D，且CD=√3，a=3b，则c的值为()A. 3B. 72C. 4√73D. 2√35.如图，要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是π4，在D点测得塔顶A的仰角是π6，水平面上的，则电视塔AB的高度为（）mA. 20B. 30C. 40D. 506.为测出小区的面积，进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积为( )A.B. 3−√64km2C.D. 6−√34km27.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，AB=2√3，D是侧面BCC1B1的中心，球O与该三棱柱的所有面均相切，则直线AD被球O截得的弦长为()A. √1010B. √105C. 3√1010D. 3√1058.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若直线bx+ycos A+cos B=0与ax+ycos B+cos A=0平行，则△ABC一定是()A. 锐角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰或者直角三角形9.海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师．在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，这里p=12(a+b+c)，a，b，c分别为▵ABC的三个角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美．已知▵ABC中，p=12，c=9，cosA=23，则该三角形内切圆半径()A. √2B. √3C. √10D. √510.在ΔABC中，若1sinA +1sinB=2(1tanA+1tanB)，则()A. C的最大值为π3B. C的最大值为2π3C. C的最小值为π3D. C的最小值为π6二、单空题（本大题共4小题，共20分）11.如图，在离地面高200m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15∘、山脚A处的俯角为45∘，已知∠BAC=60∘，则山的高度BC为______m．12. 在四边形ABCD 中，AB =6，BC =CD =4，DA =2，则四边形ABCD 的面积的最大值是______．13. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D ，测得CD =45m ，∠ADB =135∘，∠BDC =∠DCA =15∘，∠ACB =120∘，则AB 两点的距离为______．14. 如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，要测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，若测得CD =4 km ，∠ADB =∠CDB =30°，∠ACD =60°，∠ACB =45°，则A ，B 两点间的距离是_______km ．三、解答题（本大题共4小题，共30分）15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且ccosB +bcosC =3acosB ．(1)求cos B 的值；(2)若|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，△ABC 的面积为2√2，求边b ．16. 在①2acosC +c =2b ，②cos 2B−C 2−cosBcosC =34，③(sinB +sinC)2=sin 2A +3sinBsinC 这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 ． (1)求角A 的大小；(2)若a =2，求△ABC 面积的最大值．17. 设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，m⃗⃗⃗ =(cos C2,sin C2)，n ⃗ =(cos C2,−sin C2)，m ⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角为π3． (1)求角C 的大小；(2)已知c =72，△ABC 的面积S =3√32，求a +b 的值．18. 某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC ，其中斜边BC 的长度为400米，为迎接“五一”观光游，欲在边界BC 上选择一点P ，修建观赏小径PM 、PN ，其中M 、N 分别在边界AB 、AC 上，小径PM 、PN 与边界BC 的夹角都为60°，区域PMB 和区域PNC 内种植郁金香，区域AMPN 内种植月季花．(1)探究：观赏小径PM 与PN 的长度之和是否为定值？请说明理由；(2)为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN，当P点在何处时，三条小径(PM、PN、MN)的长度和最小？专题19 解三角形一、单选题（本大题共10小题，共50分）19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acosC=b，则△ABC的形状是()A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形【答案】C解：∵b=2acosC，∴由正弦定理得sinB=2sinAcosC，∵B=π−(A+C)，∴sin(A+C)=2sinAcosC，则sinAcosC+cosAsinC=2sinAcosC，sinAcosC−cosAsinC=0，即sin(A−C)=0，∵A、C∈(0,π)，∴A−C∈(−π,π)，则A−C=0，∴A=C，∴△ABC是等腰三角形．故选：C．20.如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5√3，CD=5，BD=2AD，则AD的长为()A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】解：设AD=t，可得BD=2t，BC=√4t2−25，在直角三角形BCD中，可得cosB=√4t2−252t，在三角形ABC中，可得cosB=222⋅3t⋅√4t2−25，即为√4t2−252t =222⋅3t⋅√4t2−25，即2(4t2−25)=9t2−75，解得t=5，可得AD=5，故选：B．21.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是()A. 10√3海里B. 10√63海里 C. 5√2海里 D. 5√6海里【答案】D【解析】解：由题意可得，A=60°，B=75°，∠C=180°−60°−75°=45°根据正弦定理可得，BCsin60°=ABsin45°∴BC=10×√32√22=5√6故选D.22.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若角A、C、B成等差数列，角C的角平分线交AB于点D，且CD=√3，a=3b，则c的值为()A. 3B. 72C. 4√73D. 2√3【答案】C【解析】解：由题意，得由S△ABC=S△ACD+S△BCD，得，所以ab=a+b，(b=0舍去)，所以3b2=4b，解得b=43故a=3b=4，故c=√a2+b2−2ab·cosC=4√73故选C．23.如图，要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是π，在D点测得塔顶A4的仰角是π，水平面上的，则电视塔AB的高度为6（）mA. 20B. 30C. 40D. 50【答案】A【解析】解：由题题意，设AB=x，则BD=√3x，BC=x在△DBC中，∠BCD=60°，CD=40，∴根据余弦定理，得BD2=BC2+CD2−2BC⋅CD⋅cos∠DCB即：(√3x)2=(40)2+x2−2×40⋅x⋅cos60°整理得x2+20x−800=0，解之得x=−40(舍去)或x=20即所求电视塔的高度为20米．故选A．24.为测出小区的面积，进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积为( )A.B. 3−√6km24C.D. 6−√34km2【答案】D【解析】解：如图连接AC，根据余弦定理可得AC2=AB2+BC2−2AB×BCcosB=3，即AC=√3，由于AC2+BC2=AB2，所以∠ACB=90°,∠BAC=30°，所以∠DAC=45°−30°=15°，∠DCA=105°−90°=15°，所以∠DAC=∠DCA所以△ADC为等腰三角形，设AD=DC=x，∠D=150°，由余弦定理x2+x2+√3x2=3⇒x2=3(2−√3)，故所求面积为12×1×√3+12×3(2−√3)×12=6−√34．故选D．25.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，AB=2√3，D是侧面BCC1B1的中心，球O与该三棱柱的所有面均相切，则直线AD被球O截得的弦长为()A. √1010B. √105C. 3√1010D. 3√105【答案】D【解析】解：因为球O与直三棱柱ABC−A1B1C1的所有面均相切，且直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，所以球心O为该三棱柱上、下底面三角形重心连线的中点，如图所示，设球O的球心为O，底面三角形ABC的重心为O′，连接OO′，则OO′⊥底面ABC．设BC的中点为E，连接AE，易知点O′在AE上，连接OD、DE，因为D是侧面BB1C1C的中心，所以四边形OO′ED为正方形，设球O的半径为r，则由AB=2√3，可得r=2√3×√32×13=1，易得AD=√3√32)=√10，连接OA，可得OA=√23)=√5，∴cos ∠ADO=DO2+AD2−AO22⋅DO⋅AD =3√1010，故所求弦长为2r⋅cos ∠ADO=3√105．故选D．26.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若直线bx+ycos A+cos B=0与ax+ycos B+cos A=0平行，则△ABC一定是()A. 锐角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰或者直角三角形【答案】C【解析】解：∵直线bx+ycosA+cosB=0与ax+ycosB+cosA=0平行，∴ba =cosAcosB，解得bcosB=acosA，∴利用余弦定理可得：b×a2+c2−b22ac =a×b2+c2−a22bc，整理可得：c2(b2−a2)=(b2+a2)(b2−a2)，∴解得：c2=a2+b2或b=a，而当a=b时，两直线重合，不满足题意；则△ABC是直角三角形．故选C．27.海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师．在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，这里p=12(a+b+c)，a，b，c分别为▵ABC的三个角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美．已知▵ABC中，p=12，c=9，cosA=23，则该三角形内切圆半径()A. √2B. √3C. √10D. √5【答案】D【解析】解：因为p=12(a+b+c)，所以a+b+c=2p，因为p=12，c=9，所以a+b=15，三角形的内切圆半径r=2Sa+b+c，由余弦定理得cos A=b2+c2−a2 2bc =23，所以(b−a)(b+a)+81=12b，即b−5a=−27，所以a=7，b=8，所以S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=√12×(12−7)(12−8)(12−9)=12√5，所以r=√5，故选D28.在ΔABC中，若1sinA +1sinB=2(1tanA+1tanB)，则()A. C的最大值为π3B. C的最大值为2π3C. C的最小值为π3D. C的最小值为π6【答案】A【解析】解：因为1sin A +1sin B=2(1tan A+1tan B)，所以1sin A +1sin B=2(cosAsinA+cosBsin B)，所以sin A+sin Bsin Asin B =2·(sin BcosA+cosBsinA)sin Asin B=2·sin(A+B)sin Asin B =2·sinCsin Asin B，所以sinA+sinB=2sinC，由正弦定理得到：a+b=2c，所以cosC=a2+b2−c22ab =a2+b2−(a+b2)22ab=34a2+34b2−12ab2ab⩾34·2ab−12ab2ab=12，当且仅当a=b时“=”成立，所以，则C的最大值为π3．故选A．二、单空题（本大题共4小题，共20分）29.如图，在离地面高200m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15∘、山脚A处的俯角为45∘，已知∠BAC=60∘，则山的高度BC为______m．【答案】300【解析】解：根据题意，可得Rt△AMD中，∠MAD=45°，MD=200，∴AM=MDsin45°=200√2．∵△MAC中，∠AMC=45°+15°=60°，∠MAC=180°−45°−60°=75°，∴∠MCA=180°−∠AMC−∠MAC=45°，由正弦定理，得AC=MAsin∠AMCsin∠MCA =200√2×√32√22=200√3，在Rt△ABC中，BC=ACsin∠BAC=200√3×√32=300m．故答案为300．30.在四边形ABCD中，AB=6，BC=CD=4，DA=2，则四边形ABCD的面积的最大值是______．【答案】8√3【解析】解：如图所示，AB=6，BC=CD=4，DA=2，设BD=x，在△ABD中，由余弦定理可得x2=22+62−2×2×6cosA=40−24cosA，在△BCD中，由余弦定理可得x2=32−32cosC，联立可得3cosA−4cosC=1，①又四边形ABCD面积S=12×4×4sinC+12×2×6sinA，即4sinC+3sinA=12S，②①2+②2可得9+16+24(sinAsinC−cosAcosC)=1+14S2，化简可得−24cos(A+C)=14S2−24，由于−1≤cos(A+C)≤1，∴−24≤14S2−24≤24，∴0≤S2≤192，解得S≤8√3，当cos(A+C)=−1即A+C=π时取等号，∴S的最大值为8√3．故答案为：8√3．31.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D，测得CD=45m，∠ADB=135∘，∠BDC=∠DCA=15∘，∠ACB=120∘，则AB两点的距离为______．【答案】45√5【解析】解：易知在△ACD中，∠DAC=180°−∠ADB−∠BDC−∠ACD=15°，∴△ACD为等腰三角形，则AD=CD=45，在△BCD中，∠CBD=180°−∠BDC−∠ACD−∠ACB=30°，∠BCD=120°+15°= 135°，所以由正弦定理得，即45sin30°=BDsin135°，得BD=45√2，在△ABD中，由余弦定理得=452+(45√2)2−2×45×45√2×(−√22)=452×5，所以AB=45√5，即A，B两点的距离为45√5，故答案为45√5．32.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD=4km，∠ADB=∠CDB=30°，∠ACD=60°，∠ACB=45°，则A，B两点间的距离是_______km．【答案】2√2【解析】由于CD=4km，∠ADB=∠CDB=30∘，∠ACD=60∘，∠ACB=45∘，所以∠DAC=180°−30°−30°−60°=60°，∠DBC=180°−30°−60°−45°=45°，在三角形ADC 中，由正弦定理得4sin∠DAC =ADsin∠ACD ，所以AD =4sin60°sin60°=4，在三角形BCD 中，由正弦定理得BDsin∠BCD =4sin∠DBC ， 所以BD =4×sin(60°+45°)sin45°=2√3+2，在三角形ABD 中由余弦定理得到AB 2=42+(2√3+2)2−2×4×(2√3+2)cos30°=8， 所以AB =2√2， 故答案为2√2．三、解答题（本大题共4小题，共30分）33. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且ccosB +bcosC =3acosB ．(1)求cos B 的值；(2)若|CA⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，△ABC 的面积为2√2，求边b ． 【答案】解：(1)由正弦定理asinA =bsinB =csinC ， 即ccosB +bcosC =3acosB ，得sinCcosB +sinBcosC =3sinAcosB ，则有3sinAcosB =sin(B +C)=sin(π−A)=sinA ． 又A ∈(0,π)，则sinA >0，则．(2)因为B ∈(0,π)，则sinB >0，．因为|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=c =2，所以S =12acsinB =12a ×2×2√23=2√2，得a =3．由余弦定理，则b =3．34. 在①2acosC +c =2b ，②cos 2B−C 2−cosBcosC =34，③(sinB +sinC)2=sin 2A +3sinBsinC 这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 ． (1)求角A 的大小；(2)若a =2，求△ABC 面积的最大值． 【答案】解：(1)选①，由正弦定理得2sin Acos C +sin C =2sin B ，所以2sin Acos C +sin C =2sin (A +C)=2(sin Acos C +cos Asin C)，即sin C(2cos A −1)=0，又C ∈(0,π)，所以sin C >0，所以cos A =12，又A ∈(0,π)，从而得A =π3． 选②，因为cos 2 B−C 2−cosBcosC =1+cos (B−C )2−cosBcosC=1−cosBcosC+sinBsinC2=1−cos(B+C)2=34，所以cos(B +C)=−12，cosA =−cos(B +C)=12，又因为A ∈(0,π)，所以A =π3． 选③因为(sinB +sinC)2=sin 2A +3sinBsinC ， 所以sin 2B +sin 2C +2sinBsinC =sin 2A +3sinBsinC ， 即sin 2B +sin 2C −sin 2A =sinBsinC ， 所以由正弦定理得b 2+c 2−a 2=bc ，由余弦定理知cosA =b 2+c 2−a 22bc =12，因为A ∈(0,π)，所以A =π3．(2)由(1)得A =π3，又a =2，由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccos A =b 2+c 2−bc ⩾2bc −bc =bc ， 所以bc ⩽4，当且仅当b =c =2时取得等号，，所以△ABC 面积的最大值为√3．35. 设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，m ⃗⃗⃗ =(cos C2,sin C2)，n ⃗ =(cos C2,−sin C2)，m ⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角为π3． (1)求角C 的大小；(2)已知c =72，△ABC 的面积S =3√32，求a +b 的值．【答案】解：(1)由已知，得．又∵|m⃗⃗⃗ |=|n ⃗ |=1， ．又∵0<C <π，∴C =π3．(2)由面积公式，得由余弦定理，得c 2=a 2+b 2−2abcosC ， 即494=a 2+b 2−ab.② ①②联立，解得a +b =112．36. 某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC ，其中斜边BC 的长度为400米，为迎接“五一”观光游，欲在边界BC 上选择一点P ，修建观赏小径PM 、PN ，其中M 、N 分别在边界AB、AC上，小径PM、PN与边界BC的夹角都为60°，区域PMB和区域PNC内种植郁金香，区域AMPN内种植月季花．(1)探究：观赏小径PM与PN的长度之和是否为定值？请说明理由；(2)为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN，当P点在何处时，三条小径(PM、PN、MN)的长度和最小？【答案】解：(1)在三角形BPM中由正弦定理可得：PM sin45∘=PBsin75∘，化简得PM=(√3−1)PB，同理可得PN=(√3−1)PC，∴PM+PN=(√3−1)(PB+PC)=(√3−1)BC=(√3−1)×400为定值．(2)在三角形PMN中，由余弦定理得MN2=PM2+PN2−2PM⋅PNcos60°=(PM+ PN)2−3PM⋅PN=160000(√3−1)2−3PM⋅PN≥160000(√3−1)2−3×(PM+PN2)2=160000(√3−1)2−3×[400(√3−1)2]2=40000(√3−1)2，∴MN≥200(√3−1)，当且仅当PM=PN，即P为BC的中点时，MN取得最小值200(√3−1)，∴P为BC的中点时，三条小径(PM、PN、MN)的长度和最小，且最小值为600(√3−1).。

解三角形高考大题-带答案解三角形高考大题，带答案1. （宁夏17）（本小题满分12分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，CB AC CD ==，所以15CBE =∠． 所以62cos cos(4530)CBE +=-=∠． ··················· 6分（Ⅱ）在ABE △中，2AB =，由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE =-+． 故2sin30cos15AE =12262⨯=+62=-． 12分2. （江苏17）（14分）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。

BC D E（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式；②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式； （2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

【解析】：本小题考查函数的概念、 解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。

（1）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad )，则10cos cos AQ OA BAO θ==∠， 故10cos OB θ= 又1010OP tan θ=-，所以10101010cos cos y OA OB OP tan θθθ=++=++-所求函数关系式为2010sin 10(0)cos 4y θπθθ-=+≤≤②若OP=x (km )，则OQ=10-x ，所以222(10)1020200OA OB x x x ==-+=-+所求函数关系式为2220200(010)y x x x x =+-+≤≤ （2）选择函数模型①，2210cos cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)'cos cos y θθθθθθθ-----== 令'0y =得1sin 2θ= 046ππθθ≤≤∴=当(0,)6πθ∈时'0y <，y 是θ的减函数；当(,)64ππθ∈ BD A O P时'0y >，y 是θ的增函数； 所以当6πθ=时，min12010210103y-⨯=+=此时点O 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边1033km 处。

大题 解三角形(精选30题)1(2024·江苏·一模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知2cos B +1=c a.(1)证明：B =2A ；(2)若sin A =24,b =14，求△ABC 的周长.2(2024·湖南常德·三模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A +sin 2B +sin A sin B =sin 2C ．(1)求角C ；(2)若a ，b ，c 成等差数列，且△ABC 的面积为1534，求△ABC 的周长．3(2024·江苏·一模)在△ABC 中，sin B -A +2sin A =sin C ．(1)求B 的大小；(2)延长BC 至点M ，使得2BC =CM ．若∠CAM =π4，求∠BAC 的大小．4(2024·浙江温州·二模)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知2c sin B=2b．(1)求C；(2)若tan A=tan B+tan C，a=2，求△ABC的面积．5(2024·浙江嘉兴·二模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知2cos A-3cos2A= 3.(1)求cos A的值；(2)若△ABC为锐角三角形，2b=3c，求sin C的值.6(2023·福建福州·模拟预测)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且a sin C=c sin B,C= 2π3．(1)求B；(2)若△ABC面积为334，求BC边上中线的长．7(2024·山东淄博·一模)如图，在△ABC中，∠BAC=2π3,∠BAC的角平分线交BC于P点，AP=2.(1)若BC=8，求△ABC的面积;(2)若CP=4，求BP的长.8(2024·安徽·模拟预测)如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=6．(1)若A=2π3，C=π3，求sin∠BDC的值；(2)若CD=2，cos A=3cos C，求四边形ABCD的面积．9(2024·浙江·一模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知c2b2+c2-a2=sin Csin B．(1)求角A；(2)设边BC的中点为D，若a=7，且△ABC的面积为334，求AD的长．10(2024·湖北·一模)在△ABC中，已知AB=22,AC=23,C=π4．(1)求B的大小；(2)若BC>AC，求函数f x =sin2x-B-sin2x+A+C在-π,π上的单调递增区间．11(2024·福建厦门·二模)定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，△ABC的面积为S，三个内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，且sin C=2Sc2-b2.(1)证明：△ABC是倍角三角形；(2)若c=9，当S取最大值时，求tan B.12(2024·福建漳州·模拟预测)如图，在四边形ABCD中，∠DAB=π2，B=π6，且△ABC的外接圆半径为4.(1)若BC=42，AD=22，求△ACD的面积；(2)若D=2π3，求BC-AD的最大值.13(2024·山东济南·二模)如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AB=BC=2，∠ABC=θ，120°≤θ<180°.(1)若θ=120°，AD=3，求∠ADC的大小；(2)若CD=6，求四边形ABCD面积的最大值.14(2024·湖北武汉·模拟预测)已知锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b2+c2 -(b⋅cos C+c⋅cos B)2=bc，(1)求角A的大小；(2)如果该三角形外接圆的半径为3，求bc的取值范围．15(2024·湖南邵阳·模拟预测)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且△ABC的周长为a sin Bsin A+sin B-sin C．(1)求C；(2)若a=2，b=4，D为边AB上一点，∠BCD=π6，求△BCD的面积．16(2024·广东梅州·二模)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，3a cos B-b sin A= 3c，c=2，(1)求A的大小：(2)点D在BC上，(Ⅰ)当AD⊥AB，且AD=1时，求AC的长；(Ⅱ)当BD=2DC，且AD=1时，求△ABC的面积S△ABC．17(2024·广东广州·一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S.已知S=-34(a2+c2-b2).(1)求B；(2)若点D在边AC上，且∠ABD=π2，AD=2DC=2，求△ABC的周长.18(2024·广东佛山·模拟预测)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，其中a=1，cos A= 2c-12b．(1)求角B的大小；(2)如图，D为△ABC外一点，AB=BD，∠ABC=∠ABD，求sin∠CABsin∠CDB的最大值．19(2024·河北石家庄·二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m=(2sin A,3sin A+3cos A)，n =(cos A,cos A-sin A),f(A)=m ⋅n ,A∈π6,2π3.(1)求函数f A 的最大值;(2)若f(A)=0,a=3,sin B+sin C=62，求△ABC的面积.20(2024·广东·一模)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b-c cos A= 2a cos B cos C．(1)求cos B；(2)若点D在AC上(与A,C不重合)，且C=π4,∠ADB=2∠CBD，求CDAD的值．21(2024·辽宁·二模)在△ABC中，D为BC边上一点，DC=CA=1，且△ACD面积是△ABD面积的2倍．(1)若AB=2AD，求AB的长；(2)求sin∠ADBsin B的取值范围．22(2024·黑龙江齐齐哈尔·一模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=π4,4b cos C=2c+2a.(1)求tan C；(2)若△ABC的面积为32，求BC边上的中线长.23(2024·重庆·模拟预测)如图，某班级学生用皮尺和测角仪(测角仪的高度为1.7m )测量重庆瞰胜楼的高度，测角仪底部A 和瞰胜楼楼底O 在同一水平线上，从测角仪顶点C 处测得楼顶M 的仰角，∠MCE =16.5°(点E 在线段MO 上)．他沿线段AO 向楼前进100m 到达B 点，此时从测角仪顶点D 处测得楼顶M 的仰角∠MDE =48.5°，楼尖MN 的视角∠MDN =3.5°(N 是楼尖底部，在线段MO 上)．(1)求楼高MO 和楼尖MN ；(2)若测角仪底在线段AO 上的F 处时，测角仪顶G 测得楼尖MN 的视角最大，求此时测角仪底到楼底的距离FO ．参考数据：sin16.5°sin48.5°sin32°≈25，tan16.5°≈827，tan48.5°≈87，40×35≈37.4,24(2024·重庆·模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b =2b cos 2π12-A 2 -a sin B 2cos B 2 ．(1)求角A 的大小；(2)若BP =PC ，且b +c =2，求AP 的最小值．25(2024·山西朔州·一模)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，向量m =a +b ,c ,n =sin A -sin C ,sin A -sin B ，且m ⎳n ．(1)求B ；(2)求b 2a 2+c2的最小值．26(2024·河南开封·二模)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos A =2a sin B ．(1)求sin A ；(2)若a =3，再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求△ABC 的面积．条件① ：b =6c ；条件② ：b =6；条件③ ：sin C =13．注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．27(2024·河南·一模)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b 2-a 2=ac .(1)求证：B =2A ；(2)若△ABC 为锐角三角形，求sin (C -A )-sin B sin A的取值范围.28(2023·河南·三模)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a c =a 2+b 2-c 2b2，且a ≠c ．(1)求证：B =2C ；(2)若∠ABC 的平分线交AC 于D ，且a =12，求线段BD 的长度的取值范围．29(2024·湖北·二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c a <b ，c =2a cos A cos B -b cos2A ．(1)求A ；(2)者BD =13BC ，AD =2，求b +c 的取值范围．30(2024·河北·二模)若△ABC 内一点P 满足∠PAB =∠PBC =∠PCA =θ，则称点P 为△ABC 的布洛卡点，θ为△ABC 的布洛卡角．如图，已知△ABC 中，BC =a ，AC =b ，AB =c ，点P 为的布洛卡点，θ为△ABC 的布洛卡角．(1)若b =c ，且满足PB PA=3，求∠ABC 的大小．(2)若△ABC 为锐角三角形．(ⅰ)证明：1tan θ=1tan ∠BAC +1tan ∠ABC +1tan ∠ACB ．(ⅱ)若PB 平分∠ABC ，证明：b 2=ac ．。

解三角形高考大题，带答案1. （宁夏17）（本小题满分12分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，CB AC CD ==，所以15CBE =∠．所以6cos cos(4530)4CBE =-=∠． ···················································· 6分 （Ⅱ）在ABE △中，2AB =， 由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE =-+．故2sin 30cos15AE=124⨯== 12分2. （江苏17）（14分） 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。

（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

(完整版)高考三角函数经典解答题及答案1. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，且 a²+c²-b²=(1) 求 sin²(2A+C)+cos²B 的值；(2) 若 b=2，求△ABC 面积的最大值。

解：(1) 由余弦定理：cosB=(a²+ c²- b²)/(2ac)=4/√115，得sinB=√(1-cos²B)=3√(23)/23。

由正弦定理sin²(2A+C)+cos²B=4sin²B+cos²B=13/23。

2. 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且bcosC=3acosB-ccosB。

(I) 求 cosB 的值；(II) 若 BA·BC=2，且b=√2，求 a 和 c·b 的值。

解：(I) 由正弦定理得 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则 2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即 sin(B+C)=3sinAcosB，可得 sinA=3sinAcosB/sinB。

又sinA≠0，因此 cosB=1/3。

3. 已知向量 m=(sinB,1-cosB)，向量 n=(2,k)，且 m 与 n 所成角为π/3，其中 A、B、C 是△ABC 的内角。

(1) 求角 B 的大小；(2) 求 sinA+sinC 的取值范围。

解：(1) ∠m与∠n所成角为π/3，且 m·n=2sinB+ k(1-cosB)=2√3/2cosB+k√(1-cos²B)，又 m·n=2cosB+k(1-cosB)，解得 k=4/3。

1．（2013大纲）设的内角的对边分别为,.(I)求(II)若,求. 2．（2013四川）在中,角的对边分别为,且. (Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影.3．（2013山东）设△的内角所对的边分别为,且,,. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值.4．（2013湖北）在中,角,,对应的边分别是,,.已知.(I)求角的大小;(II)若的面积,,求的值.5．（2013新课标）△在内角的对边分别为,已知.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,求△面积的最大值.6．（2013新课标1）如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan ∠PBA[7．（2013江西）在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-√3sinA)cosB=0.ABC ∆,,A B C ,,a b c ()()a b c a b c ac ++-+=B sin sin AC =C ABC ∆,,A B C ,,a b c 232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-cosA a =5b =BA BC ABC ,,ABC ,,a b c 6a c +=2b =7cos 9B =,a c sin()A B -ABC ∆A B C a b c ()cos23cos 1A B C -+=A ABC∆S =5b =sin sin B C(1) 求角B 的大小;(2)若a+c=1,求b 的取值范围33．（2013大纲）设的内角的对边分别为,.(I)求(II)若,求. 【答案】4．（2013年高考四川卷（理））在中,角的对边分别为,且. (Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影.【答案】解:由,得 , 即, 则,即 ABC ∆,,A B C ,,a b c ()()a b c a b c ac ++-+=B sin sin AC =C ABC ∆,,A B C ,,a b c 232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-cosA a =5b =BA BC ()I ()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-()3cos 5A B B -+=-3cos 5A =-由,得, 由正弦定理,有,所以,. 由题知,则,故.根据余弦定理,有,解得或(舍去).故向量在方向上的投影为 35．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设△的内角所对的边分别为,且,,. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值.【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理,得,又,,,所以,解得,.(Ⅱ)在△中,,由正弦定理得,因为,所以为锐角,所以因此.36．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数的最小正周期为.()II 3cos ,05A A π=-<<4sin 5A =sin sin a bA B=sin sin 2b A B a ==a b >A B >4B π=(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭1c =7c =-BABC cos BA B =ABC ,,A B C ,,a b c 6a c +=2b =7cos 9B =,a c sin()A B -2222cos b a c ac B =+-()222(1cos )b ac ac B =+-+6a c +=2b =7cos 9B =9ac =3a =3c =ABC sin 9B ==sin sin 3a B A b ==a c=A 1cos 3A ==sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-=()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭π(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)讨论在区间上的单调性.【答案】解:(Ⅰ).所以 (Ⅱ)所以37．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数的周期为,图像的一个对称中心为,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像. (1)求函数与的解析式;(2)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定的个数;若不存在,说明理由(3)求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点. 【答案】解:(Ⅰ)由函数的周期为,,得又曲线的一个对称中心为,故,得,所以将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象,再将的图象向右平移个单位长度后得到函数ϖ()f x []0,22)42sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++=++=+⇒πωωωωωωx x x x x x 122=⇒=⇒ωπωπ1,2)42sin(2)(=++=ωπx x f ；解得，令时，当8242]4,4[)42(]2,0[ππππππππ==++∈+∈x x x x .]28[]8,0[)(上单调递减，上单调递增；在在πππx f y =(Ⅱ)当时,,所以问题转化为方程在内是否有解设,则因为,所以,在内单调递增又,且函数的图象连续不断,故可知函数在内存在唯一零点,即存在唯一的满足题意(Ⅲ)依题意,,令当,即时,,从而不是方程的解,所以方程等价于关于的方程,现研究时方程解的情况令,则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况,令,得或当变化时,和变化情况如下表当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于故当时,直线与曲线在内有无交点,在内有个交点; 当时,直线与曲线在内有个交点,在内无交点;当时,直线与曲线在内有个交点,在内有个交点 由函数的周期性,可知当时,直线与曲线在内总有偶数个交点,从而不存在正整数,使得直线与曲线在内恰有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,由周期性,,所以综上,当,时,函数在内恰有个零点38．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分.已知,. (1)若,求证:;(2)设,若,求的值.【答案】解:(1)∵ ∴ 即,又∵,∴∴∴(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，παβ<<<0||2a b -=a b ⊥(0,1)c =a b c +=βα,2||=-b a 2||2=-b a ()22222=+-=-b b a a b a 1sin cos ||2222=+==ααa a 1sin cos ||2222=+==ββb b 222=-b a 0=b a b ⊥a(2)∵∴即两边分别平方再相加得: ∴ ∴ ∵ ∴ 39．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知函数,.(Ⅰ) 求的值; (Ⅱ) 若,,求.【答案】(Ⅰ); (Ⅱ) 因为,,所以, 所以, 所以. 40．（2013年高考湖南卷（理））已知函数.(I)若是第一象限角,且.求的值; (II)求使成立的x 的取值集合.【答案】解: (I))1,0()sin sin ,cos (cos b a =++=+βαβα⎩⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα⎩⎨⎧-=-=βαβαsin 1sin cos cos βsin 221-=21sin =β21sin =απαβ<<<0πβπα61,65==()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭x ∈R 6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭3cos 5θ=3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3cos 5θ=3,22πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭4sin 5θ=-24sin 22sin cos 25θθθ==-227cos 2cos sin 25θθθ=-=-23f πθ⎛⎫+⎪⎝⎭cos2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭2()sin()cos().()2sin 632x f x x x g x ππ=-+-=α()f α=()g α()()f x g x ≥.(II) 41．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,,. (1)求索道的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?【答案】解:(1)∵, ∴∴,∴ 根据得 533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f 51cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===⇒∈=⇒ααααπααg 且21)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+⇒-≥⇒≥πx x x x x x g x f Z k k k x k k x ∈+∈⇒++∈+⇒],322,2[]652,62[6ππππππππA C A C AB BC A AC min /50m min 2A B B min 1C min /130m AC m 12601312cos =A 53cos =C AB C 31312cos =A 53cos =C ），（、20π∈C A 135sin =A 54sin =C []6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（πsinB sinC AC AB =m C AC AB 1040sin sinB==CBA(2)设乙出发t 分钟后,甲.乙距离为d,则∴ ∵即 ∴时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由正弦定理得(m) 乙从B 出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V ,则∴∴ ∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内法二:解:(1)如图作BD ⊥CA 于点D , 设BD =20k ,则DC =25k ,AD =48k , AB =52k ,由AC =63k =1260m, 知:AB =52k =1040m.(2)设乙出发x 分钟后到达点M , 此时甲到达N 点,如图所示. 则:AM =130x ,AN =50(x +2),由余弦定理得:MN 2=AM 2+AN 2-2 AM ·AN cos A =7400 x 2-14000 x +10000,其中0≤x ≤8,当x =3537(min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由(1)知:BC =500m,甲到C 用时:126050=1265(min).若甲等乙3分钟,则乙到C 用时:1265+3=1415 (min),在BC 上用时:865 (min) .此时乙的速度最小,且为:500÷865=125043m/min. 1312)50100(1302)50100()130(222⨯+⨯⨯-++=t t t t d )507037(20022+-=t t d 13010400≤≤t 80≤≤t 3735=t 3735sinBsinA ACBC =50013565631260sin sinB ===A AC BC min /m 350710500≤-v 3507105003≤-≤-v 14625431250≤≤v C 3⎥⎦⎤⎢⎣⎡14625,431250若乙等甲3分钟,则乙到C 用时:1265-3=1115 (min),在BC 上用时:565 (min) .此时乙的速度最大,且为:500÷565=62514m/min. 故乙步行的速度应控制在[125043,62514]范围内.42．（2013年高考湖北卷（理））在中,角,,对应的边分别是,,.已知.(I)求角的大小;(II)若的面积,,求的值.【答案】解:(I)由已知条件得:,解得,角 (II),由余弦定理得:, 43．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））△在内角的对边分别为,已知.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,求△面积的最大值.【答案】ABC ∆A B C a b c ()cos23cos 1A B C -+=A ABC∆S =5b =sin sin B C cos23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ∴+-=1cos 2A =60A =︒1sin 2S bc A ==4c ⇒=221a =()222228sin a R A ==25sin sin 47bc B C R ∴==CBADMN44．（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan ∠PBA [【答案】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=,∴∠PBA=30o ,在△PBA 中,由余弦定理得==,∴PA=;(Ⅱ)设∠PBA=,由已知得,PB=,在△PBA 中,由正弦定理得,,化简得,,∴=,∴=.45．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分9分.在平面直角坐标系中,点在轴正半轴上,点在轴上,其横坐标为,且 是首项为1、公比为2的等比数列,记,.(1)若,求点的坐标; (2)若点的坐标为,求的最大值及相应的值.[解](1)(2) 【答案】[解](1)设,根据题意,.由,知, 而, 所以,解得或. 故点的坐标为或. (2)由题意,点的坐标为,. 因为所以, xOy A y n P x n x {}n x 1nn n P AP θ+∠=n N *∈31arctan 3θ=A A (0n θn (0 )A t ，12n n x -=31arctan 3θ=31tan 3θ=3443343223443()4tan tan()321x x t x x t t t OAP OAP x x t x x t t tθ--=∠-∠===+⋅++⋅241323t t =+4t =8t =A (0 4)，(0 8)，n P 1(2 0)n -，1tan n n OAP -∠=111212tan tan()12n n n n n n n n OAP OAP θ--+-=∠-∠===2n n ≥tan 4n θ≤=当且仅当,即时等号成立. 易知在上为增函数, 因此,当时,最大,其最大值为. 46．（2013年高考江西卷（理））在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-√3sinA)cosB=0.(1) 求角B 的大小;若a+c=1,求b 的取值范围【答案】解:(1)由已知得 即有因为,所以,又,所以, 又,所以. (2)由余弦定理,有.因为,有. 又,于是有,即有.2nn =4n =0 tan 2n y x πθ<<=，(0 )2π，4n =nθarctan4cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=sin sin cos 0A B A B =sin 0A≠sin 0B B =cos 0B≠tan B =0B π<<3B π=2222cos b a c ac B =+-11,cos 2a c B +==22113()24b a =-+01a <<2114b ≤<112b ≤<。

解三角形高考大题,带答案１、 (宁夏1７）(本小题满分12分)如图,就就是等边三角形,就就是等腰直角三角形，,交于,、(Ⅰ）求得值;(Ⅱ)求、 解:(Ⅰ）因为,， 所以、所以、 ········································································································· ６分(Ⅱ)在中,, 由正弦定理、故、 12分２、 (江苏17）(14分)某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 得顶点A 、B 及ＣD 得中点P 处,已知ＡB ＝20km ，BC=10ｋm ，为了处理三家工厂得污水,现要在矩形ABC Ｄ得区域上(含边界),且Ａ、B 与等距离得一点Ｏ处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道A Ｏ、BO 、OP,设排污管道得总长为ykm 。

2024届新高考数学复习：专项（解三角形的综合运用大题）历年好题练习1．[2023ꞏ新课标Ⅰ卷]已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B.(1)求sin A；(2)设AB＝5，求AB边上的高．2．△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin B sin C.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．3.[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为3，D为BC的中点，且AD＝1.(1)若∠ADC＝π3，求tan B；(2)若b2＋c2＝8，求b，c.4．[2022ꞏ新高考Ⅰ卷，18]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A 1＋sin A＝sin 2B1＋cos 2B.(1)若C＝2π3，求B；(2)求a2＋b2c2的最小值．5.[2023ꞏ全国乙卷(理)]在△ABC 中，已知∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1. (1)求sin ∠ABC ；(2)若D 为BC 上一点，且∠BAD ＝90°，求△ADC 的面积．6．[2023ꞏ河北石家庄模拟]在①cos C ＝217 ，②a sin C ＝c cos ⎝⎛⎭⎫A －π6 ，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答．问题：△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3 ，D 是边BC 上一点，BD ＝5，AD ＝7，且________，试判断CD 和BD 的大小关系________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．7．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C . (1)求A ；(2)若2 a ＋b ＝2c ，求sin C ．8．[2022ꞏ全国乙卷(理)，17]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C sin (A －B )＝sin B sin (C －A ).(1)证明：2a 2＝b 2＋c 2；(2)若a ＝5，cos A ＝2531 ，求△ABC 的周长．参考答案1．答案解析：方法一 (1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，因为A ＋B ＝3C ，所以3C ＝π－C ，所以C ＝π4 . 因为2sin (A －C )＝sin B ，所以2sin (A －π4 )＝sin (3π4 －A )，展开并整理得2 (sin A －cos A )＝22 (cos A ＋sin A )， 得sin A ＝3cos A ，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，且sin A >0，所以sin A ＝31010 .(2)由正弦定理BCsin A ＝AB sin C ，得BC ＝AB sin C ×sin A ＝522×31010 ＝35 ，由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ꞏBC cos C ，得52＝AC 2＋(35 )2－2AC ꞏ35 cos π4 ， 整理得AC 2－310 AC ＋20＝0， 解得AC ＝10 或AC ＝210 ，由(1)得，tan A ＝3>3 ，所以π3 <A <π2 ，又A ＋B ＝3π4 ，所以B >π4 ，即C <B ，所以AB <AC ，所以AC ＝210 ，设AB 边上的高为h ，则12 ×AB ×h ＝12 ×AC ×BC sin C ，即5h ＝210 ×35 ×22 ，解得h ＝6，所以AB 边上的高为6.方法二 (1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，因为A ＋B ＝3C ，所以3C ＝π－C ，所以C ＝π4 . 因为2sin (A －C )＝sin B ，所以2sin (A －C )＝sin [π－(A ＋C )]＝sin (A ＋C )，所以2sin A cos C －2cos A sin C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以sin A cos C ＝3cos A sin C ， 易得cos A cos C ≠0，所以tan A ＝3tan C ＝3tan π4 ＝3，又sin A >0，所以sin A ＝332＋12 ＝31010 . (2)由(1)知sin A ＝31010 ，tan A ＝3>0，所以A 为锐角，所以cos A ＝10，所以sin B ＝sin (3π4 －A )＝22 (cos A ＋sin A )＝22 ×(1010 ＋31010 )＝255 ，由正弦定理AC sin B ＝ABsin C ，得AC ＝AB ꞏsin Bsin C ＝5×25522＝210 ，故AB 边上的高为AC ×sin A ＝210 ×31010 ＝6.2．答案解析：(1)由正弦定理和已知条件得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ꞏAB .① 由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ꞏAB cos A ．②由①②得cos A ＝－12 .因为0<A <π，所以A ＝2π3 .(2)由正弦定理及(1)得AC sin B ＝AB sin C ＝BCsin A ＝23 ，从而AC ＝23 sin B ，AB ＝23 sin (π－A －B )＝3cos B －3 sin B .故BC ＋AC ＋AB ＝3＋3 sin B ＋3cos B ＝3＋23 sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3 . 又0<B <π3 ，所以当B ＝π6 时，△ABC 周长取得最大值3＋23 . 3．答案解析：(1)因为D 为BC 的中点，所以S △ABC ＝2S △ADC ＝2×12 ×AD ×DC sin ∠ADC ＝2×12 ×1×DC ×32 ＝3 ， 解得DC ＝2，所以BD ＝DC ＝2，a ＝4.因为∠ADC ＝π3 ，所以∠ADB ＝2π3 .在△ABD 中，由余弦定理，得c 2＝AD 2＋BD 2－2AD ꞏBD cos ∠ADB ＝1＋4＋2＝7，所以c ＝7 .在△ADC 中，由余弦定理，得b 2＝AD 2＋DC 2－2AD ꞏDC ꞏcos ∠ADC ＝1＋4－2＝3，所以b ＝3 .在△ABC 中，由余弦定理，得cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ＝7＋16－32×4×7＝5714 ，所以sin B ＝1－cos 2B ＝2114 .(2)因为D 为BC 的中点，所以BD ＝DC .因为∠ADB ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ADB ＝－cos ∠ADC ，则在△ABD 与△ADC 中，由余弦定理，得AD 2＋BD 2－c 22AD ꞏBD ＝－AD 2＋DC 2－b 22AD ꞏDC ， 得1＋BD 2－c 2＝－(1＋BD 2－b 2)，所以2BD 2＝b 2＋c 2－2＝6，所以BD ＝3 ，所以a ＝23 .在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝8－122bc ＝－2bc ，所以S △ABC ＝12 bc sin ∠BAC ＝12 bc 1－cos 2∠BAC＝12 bc 1－⎝⎛⎭⎫－2bc 2＝12 b 2c 2－4 ＝3 ，解得bc ＝4.则由⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝4b 2＋c 2＝8 ，解得b ＝c ＝2. 4．答案解析：(1)由已知条件，得sin 2B ＋sin A sin 2B ＝cos A ＋cos A cos 2B .所以sin 2B ＝cos A ＋cos A cos 2B －sin A sin 2B ＝cos A ＋cos (A ＋2B )＝cos [π－(B ＋C )]＋cos [π－(B ＋C )＋2B ]＝－cos (B ＋C )＋cos [π＋(B －C )]＝－2cos B cos C ，所以2sin B cos B ＝－2cos B cos C ， 即(sin B ＋cos C )cos B ＝0.由已知条件，得1＋cos 2B ≠0，则B ≠π2 ，所以cos B ≠0，所以sin B ＝－cos C ＝12 .又0＜B ＜π3 ，所以B ＝π6 .(2)由(1)知sin B ＝－cos C ＞0，则B ＝C －π2 ，所以sin A ＝sin (B ＋C )＝sin (2C －π2 )＝－cos 2C .由正弦定理，得a 2＋b 2c 2 ＝sin 2A ＋sin 2B sin 2C ＝cos 22C ＋cos 2Csin 2C ＝（1－2sin 2C ）2＋（1－sin 2C ）sin 2C ＝2＋4sin 4C －5sin 2C sin 2C＝2sin 2C ＋4sin 2C －5≥22sin 2C ꞏ4sin 2C －5＝42 －5，当且仅当sin 2C ＝22 时，等号成立，所以a 2＋b 2c 2 的最小值为42 －5. 5．答案解析：(1)如图，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ꞏAC ꞏcos ∠BAC ＝22＋12＋2×2×1×12 ＝7，得BC ＝7 .方法一 由正弦定理ACsin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC ，得sin ∠ABC ＝1×327＝2114 .方法二 由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ꞏBC ＝4＋7－12×2×7 ＝5714 ， 所以sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝21 .(2)方法一 由sin ∠ABC ＝2114 ，得tan ∠ABC ＝35 ，又tan ∠ABC ＝DA AB ＝DA 2 ，所以DA ＝235 ，故△ADC 的面积为12 DA ꞏAC ꞏsin (120°－90°)＝12 ×235 ×1×12 ＝3 .方法二 △ABC 的面积为12 AC ꞏAB ꞏsin ∠BAC ＝12 ×1×2×32 ＝32 ，S △ADC S △BAD＝12AC ꞏAD ꞏsin ∠CAD12AB ꞏAD ꞏsin ∠BAD ＝sin 30°2×sin 90° ＝14 ，故△ADC 的面积为15 S △ABC ＝15 ×3 ＝3.6．答案解析：设AB ＝x ，在△ABD 中由余弦定理可得：49＝x 2＋25－2ꞏx ꞏ5ꞏcos π3 ＝x 2＋25－5x ， 即x 2－5x －24＝0，解得x ＝8. 方案一 选条件①.由cos C ＝217 得sin C ＝277 ， ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝sin (B ＋C )＝32 ×217 ＋12 ×277 ＝5714 ，在△ABC 中由正弦定理可得：BC 5714 ＝8277，解得：BC ＝10，∴CD ＝BD ＝5. 方案二 选条件②.由正弦定理可得：a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C ，代入条件a sin C ＝c cos ⎝⎛⎭⎫A －π6 得：sin A sin C ＝sin C ꞏ⎝⎛⎭⎫32cos A ＋12sin A ＝32 cos A sin C ＋12 sin A sin C ，∴12 sin A sin C ＝3cos A sin C ，因为A 为三角形内角，所以tan A ＝3 ，故A ＝π3 ， 所以△ABC 为等边三角形，所以BC ＝8，∴CD ＝3，所以CD <BD .7．答案解析：(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12 . 因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2 sin A ＋sin (120°－C )＝2sin C ，即62 ＋3 cos C ＋12 sin C ＝2sin C ，可得cos (C ＋60°)＝－2.由于0°<C <120°，所以sin (C ＋60°)＝22 ，故 sin C ＝sin (C ＋60°－60°)＝sin (C ＋60°)cos 60°－cos (C ＋60°)sin 60°＝6＋2 .8．答案解析：(1)证明：∵sin C sin (A －B )＝sin B sin (C －A )，∴sin C sin A cos B －sin C cos A sin B ＝sin B sin C cos A －sin B cos C sin A ， ∴sin C sin A cos B ＝2sin B sin C cos A －sin B cos C sin A . 由正弦定理，得ac cos B ＝2bc cos A －ab cos C .由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22 ＝b 2＋c 2－a 2－a 2＋b 2－c 22. 整理，得2a 2＝b 2＋c 2.(2)由(1)知2a 2＝b 2＋c 2.又∵a ＝5，∴b 2＋c 2＝2a 2＝50.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即25＝50－5031 bc ，∴bc ＝312 .∴b ＋c ＝b 2＋c 2＋2bc ＝50＋31 ＝9， ∴a ＋b ＋c ＝14.故△ABC 的周长为14.。

全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A） （B（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ．【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质 三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ． 10.（2016年3卷14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】：熟识两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一样。

解三角形高考大题，带答案1. （宁夏17）（本小题满分12分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，CB AC CD ==，所以15CBE =∠．所以62cos cos(4530)4CBE +=-=∠． ···················································· 6分 （Ⅱ）在ABE △中，2AB =， 由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE=-+．故2sin 30cos15AE =122624⨯=+62=-． 12分2. （江苏17）（14分） 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。

（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

解三角形大题全国卷高考题汇总(11-19)解三角形全国高考题汇总一、全国1卷（2019年）17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(sinB-sinC)²=sin²A-sinBsinC1）求A；2）若2a+b=2c，求sinC。

分析】1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：b²+c²-a²=bc，从而可整理出cosA，根据A∈(0,π)可求得结果；2）利用正弦定理可得2sinA+sinB=2sinC，利用sinB=sin(A+C)、两角和差正弦公式可得关于sinC和cosC的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果。

详解】1）将(sinB-sinC)²=sin²A-sinBsinC化简可得：sin²B+sin²C-sin²A=sinBsinC由正弦定理可得：b²+c²-a²=bccosA=(b²+c²-a²)/(2bc)因为A∈(0,π)，所以A=cos⁻¹[(b²+c²-a²)/(2bc)]2）方法一：由正弦定理可得：2sinA+sinB=2sinC又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，代入上式可得：2sinA+sinAcosC+cosAsinC=2sinC整理可得：3sinC-2sinA=cosCsinA由sin²A+cos²A=1可得cosA=±√(1-sin²A)，代入上式可得：3sinC-2sinA=±cosC√(1-sin²A)整理可得：sinC=(3±2√2)sinA/(2±√2)因为sinA∈(0,1)，所以sinC>(3-2√2)/(2+√2)=1.082，sinC<(3+2√2)/(2-√2)=1.414所以sinC=1.25方法二：由正弦定理可得：2sinA+sinB=2sinC又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，代入上式可得：2sinA+sinAcosC+cosAsinC=2sinC整理可得：3sinC-6=3cosCsinA由sin²A+cos²A=1可得cosA=±√(1-sin²A)，代入上式可得：3sinC-6=±3cosCsinA√(1-sin²A)整理可得：(sinC-2)²=3-sin²C解得：sinC=1.25二、2018全国新课标Ⅰ理在平面四边形ABCD中，∠ADC=90，∠A=45，AB=2，BD=5.1）求cos∠ADB；2）若DC=22，求BC.1）由余弦定理可得：BD²=AB²+AD²-2AB·ADcos∠ADB代入已知条件可得：25=4+AD²-4ADcos∠ADB整理可得：cos∠ADB=(AD²-21)/4AD2）由勾股定理可得：AD=AB√2=2√2由正弦定理可得：DC/√2=sin∠ADC=sin(∠ADB+∠ABC)=sin∠ADB·cos∠ABC+ cos∠ADB·sin∠ABC代入已知条件可得：22/√2=sin∠ADB·(√2/2)+cos∠ADB·(5/2)整理可得：√2sin∠ADB+5cos∠ADB=44/√2将cos∠ADB代入上式可得：√2sin∠ADB+(25-AD²)/2AD=44/√2代入已知条件可得：√2sin∠ADB+(25-8)/4=44/√2解得：sin∠ADB=3/2√2由正弦定理可得：BC/√2=sin∠ABC/sin∠ADB代入已知条件可得：BC/√2=2/(3√2)解得：BC=2/3在三角形ABD中，根据正弦定理得：frac{522}{\sin\angleADB}=\frac{523}{\sin45^{\circ}\sin\angle ADB}$$化XXX：sin\angle ADB=\frac{523}{522\sqrt{2}}$$又因为$\angle ADB<90^{\circ}$，所以根据余弦定理得：cos\angle ADB=1-\sin^2\angle ADB=\frac{1}{2}$$在三角形ABD和BDC中，根据余弦定理和正弦定理得：cos\angle BDC=\cos(-\angle ADB)=\sin\angle ADB$$cos\angle BDC=\frac{DC^2+BD^2-BC^2}{2\cdot BD\cdot DC}=\frac{28+25-BC^2}{2\cdot 5\cdot 2\sqrt{2}}$$化XXX：BC=5$$在三角形ABC中，根据正弦定理和面积公式得：frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2S$$所以：sin B\sin C=\frac{bc}{a}\cdot\sin B\sinC=\frac{2S}{a}\cdot\sin B\sin C$$又因为$S=\frac{1}{2}bc\sin A$，所以：sin B\sin C=\frac{a\sin A}{2bc}=\frac{a}{2c}$$在三角形ABC中，根据余弦定理和面积公式得：a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=4c^2-4S^2/c^2$$所以：cos A=\frac{4c^4-4S^2}{4c^3}=\frac{c^2-S^2}{2c^2}$$ 又因为$\sin A=\frac{2S}{bc}$，所以：sin A=\frac{2S}{bc}=\frac{2S}{2c\sin C}=\frac{S}{c\sin C}=\frac{a\sin A}{c}$$代入$\cos A$的式子中得：cos A=\frac{c^2-S^2}{2c^2}=\frac{a^2-b^2}{2ac}=\frac{a\sin A}{c}$$所以：sin B\sin C=\frac{a}{2c}=\frac{\sin A}{2\cos A}$$又因为$6\cos B\cos C=\frac{3bc}{a^2}=\frac{3}{2S}\cdot bc=\frac{3}{S}\cdot\frac{1}{2}bc=\frac{3}{S}\cdot S\sinA=\frac{3}{\sin A}$，所以：sin B\sin C=\frac{1}{6\cos B\cos C}=\frac{\sin A}{18}$$代入第一个式子中得：frac{a}{\sin A}=\frac{2c\sin B\sin C}{\sin A}=\frac{c}{9}$$又因为$S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}bc\sinC=\frac{1}{2}ab\sin A$，所以：c=2S/a=4$$代入上式中得：a=36$$所以：sin B\sin C=\frac{a}{2c}=\frac{9}{4}$$cos B\cos C=\frac{1}{6\sin B\sin C}=\frac{2}{27}$$根据余弦定理和面积公式得：b^2=c^2+a^2-2ac\cos B=4a^2-4S^2/a=128$$cos B=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{3}{4}$$sin B=\sqrt{1-\cos^2B}=\frac{\sqrt{7}}{4}$$sin C=\frac{a\sin A}{b}=\frac{6}{7\sqrt{7}}$$所以：cos C=\sqrt{1-\sin^2C}=\frac{5\sqrt{3}}{7\sqrt{7}}$$tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{a\sin A}{c^2-S^2}=\frac{36\cdot 6/7\sqrt{7}}{16-36^2/4}=24\sqrt{7}$$tan B=\frac{\sin B}{\cosB}=\frac{\sqrt{7}/4}{3/4}=\frac{\sqrt{7}}{3}$$tan C=\frac{\sin C}{\cosC}=\frac{6/7\sqrt{7}}{5\sqrt{3}/7\sqrt{7}}=\frac{6}{5\sqrt{3}}$ $所以：tan A+\tan B+\tanC=24\sqrt{7}+\frac{\sqrt{7}}{3}+\frac{6}{5\sqrt{3}}$$ 24\sqrt{7}+\frac{5\sqrt{7}}{15}+\frac{6\sqrt{3}}{15}$$ 24\sqrt{7}+\frac{5\sqrt{21}+2\sqrt{3}}{15}$$在三角形ABC中，根据余弦定理和面积公式得：cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{a^2+(a+1)^2-4^2}{2a(a+1)}$$化XXX：2a^3+3a^2-2a-15=0$$因为$a>0$，所以：a=\frac{\sqrt{93}-3}{4}$$代入面积公式$S=\frac{1}{2}ab\sin C$中得：S=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{93}-3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{93}-3}{40}$$ 根据正弦定理得：frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sinC}=\frac{5\sqrt{93}-15}{8}$$所以：b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{a\sin C}{\sin A}=\frac{c\sin B}{\sin C}=\frac{c\sin A}{\sin C}=\frac{a\sin A}{\sinB}=\frac{ac}{b}=\frac{a^2}{b}=\frac{(\sqrt{93}-3)^2}{5\sqrt{93}-15}$$所以：a+b+c=\frac{\sqrt{93}-3}{4}+\frac{(\sqrt{93}-3)^2}{5\sqrt{93}-15}+4=\frac{8\sqrt{93}+12}{5\sqrt{93}-15}$$2015年17题：在三角形ABC中，D是BC边上的点，AD平分∠BAC，且∆ABD的面积是∆ADC的2倍。

解三角形大题经典练习高考大题练习（解三角形1）1、在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知bac B C A -=-2cos cos 2cos ． （1）求A C sin sin 的值； （2）若2,41cos ==b B ，求ABC ∆的面积S ． 2、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知2sin 1cos sin CC C -=+． （1）求C sin 的值；（2）若224()8a b a b +=+-，求边c 的值．3、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,．（1）若A A cos 2)6sin(=+π，求A 的值；（2）若c b A 3,31cos ==，求C sin 的值．4、ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，53cos ,135sin ,33=∠==ADC B BD ，求AD ．高考大题练习（解三角形1、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知41cos ,2,1===C b a ． （1）求ABC ∆的周长； （2）求)cos(C A -的值．2、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,．已知)(sin sin sin R p B p C A ∈=+，且241b ac =．（1）当5,14p b ==时，求c a ,的值； （2）若角B 为锐角，求p 的取值范围．3、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,．且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=． （1）求A 的值； （2）求C B sin sin +的最大值．4、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知412cos -=C ．（1）求C sin 的值； （2）当C A a sin sin 2,2==时，求c b ,的长．高考大题练习（解三角形3）1、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足25cos 32A AB AC =⋅=u u ur u u u r ．1、在ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ．已知()cos23cos 1A B C -+=． (I)求角A 的大小； (II)若ABC ∆的面积53S =，5b =，求sin sin B C 的值．2、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知12cos sin 2sin 2sin 2=+⋅+C C C C ，且5=+b a ，7=c ．（1）求角C 的大小； （2）求ABC ∆的面积．3、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足21)cos sin 3(cos =-⋅A A A ． （1）求角A 的大小； （2）若32,22==∆ABC S a ，求c b ,的长．4、设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+=． （1）求B ； （2）若31sin sin A C -=，求C ．高考大题练习（解三角形6）1、△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C c B =+． (Ⅰ)求B ； (Ⅱ)若2b =，求△ABC 面积的最大值．2、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且bc a c b =-+222． （1）求角A 的大小；（2）若函数2()sin cos cos 222x x xf x =+，当212)(+=B f 时，若3=a ，求b 的值．3、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知3,sin ,335B A b π===． （1）求C sin 的值； （2）求ABC ∆的面积．4、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且B c a C b cos )3(cos -=．（1）求B sin 的值； （2）若2=b ，且c a =，求ABC ∆的面积． （2）高考大题练习（解三角形7）1、已知函数212cos 2cos 2sin 3)(2++=x x x x f ．（1）求)(x f 的单调区间；（2）在锐角三角形ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足A c C a b cos cos )2(⋅=-，求)(A f 的取值范围．2、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，a A b B A a 2cos sin sin 2=+．（1）求ab； （2）若2223a b c +=，求角B ．3、港口A 北偏东︒30方向的C 处有一检查站，港口正东方向的B 处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B 处沿正西方向航行20海里后到达D 处观测站，已知观测站与检查站距离为21海里，问此时轮船离港口A 还有多远？4、某巡逻艇在A 处发现在北偏东︒45距A 处8海里的B 处有一走私船，正沿东偏南︒15的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以312海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇航行方向．高考大题练习（解三角形8）1、如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =o ∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ．2、（辽宁17）在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=． （Ⅰ）若ABC △的面积等于3，求a b ，； （Ⅱ）若sin 2sin B A =，求ABC △的面积．BAC D E3、设ABCa B=，sin4，，，且cos3b A=．，，所对的边长分别为a b c△的内角A B C（Ⅰ）求边长a；（Ⅱ）若ABC△的周长l．△的面积10S=，求ABC4、在△ABC中，a=3，b6，∠B=2∠A．（1）求cos A的值；（2）求c的值．。

解三角形高考大题，带答案1. （宁夏17）（本小题满分12分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求cos CAE ∠值； （Ⅱ）求AE ．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，CB AC CD ==，所以15CBE =∠．所以6cos cos(4530)4CBE =-=∠． ···················································· 6分 （Ⅱ）在ABE △中，2AB =， 由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE =-+．故= 12分2. （江苏17）（14分）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 顶点A 、B 及CD 中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂污水，现要在矩形ABCD 区域上（含边界），且A 、B 及等距离一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道总长为ykm 。

（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 函数关系式； （2）请你选用（1）中一个函数关系式，确定污水处理厂位置，使三条排污管道总长度最短。

解三角形专题（高考题）练习1、在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =设内角B x =,面积为y .(1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值. 2、已知ABC ∆中，1||=AC ，0120=∠ABC ，θ=∠BAC ， 记→→•=BC AB f )(θ，（1）求)(θf 关于θ的表达式； （2）（2）求)(θf 的值域；3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.21222ac b c a =-+ （1）求B CA 2cos 2sin 2++的值； （2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，向量(2sin ,m B =，2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且//m n 。

（I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值。

5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值. 6、在ABC ∆中，cos A =，cos B =. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）设AB =，求ABC ∆的面积.7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =，(sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值.8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。

9、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 23A B ==，且最长ＡＢ Ｃ120°θ边的边长为l.求：（I ）角C 的大小； （II ）△ABC 最短边的长.10、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a+b=5，c =7，且.272cos 2sin 42=-+C B A (1) 求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积. 11、已知△ABC 中，AB=4,AC=2,23ABC S ∆=. （1）求△ABC 外接圆面积. （2）求cos(2B+3π)的值. 12、在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，(2,)b c a =-m ，(cos ,cos )A C =-n ，且⊥m n 。