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有理数的乘方1．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；（3）a 2是重要的非负数，即a 2≥0；若a 2+|b|=0 ⇔ a=0,b=0；（4）据规律 ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===100101101.01.0222底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位. 2.乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a-b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n. （2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
3．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数（其中101<≤a ， n 是正整数），这种记数法叫科学记数法.4.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.5.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.6.做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：（1）.先乘方，再乘除，最后加减；（2）.同级运算，从左到右进行；（3）.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
注意：不省过程，不跳步骤。
7.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.常用于填空，选择。
一、填空题1.算式(－3)×(－3)×(－3)×(－3)用幂的形式可表示为 ，其值为 .2.在今年的“两会”上，温家宝总理在政府工作报告中提出，要在5年之内，在全国逐步取消农业税，减轻农民负担.目前我国农民每年交纳的农业税约为300亿远，用科学记数法表示为（结果保留3个有效数字） .3. 计算332)3()31()1(-⨯---的结果为 .4.圆周率=3.141592653…，如果取近似数3.142，它精确到 位，有效数字是 .5 .(1）542= （2）3216520.3-⨯-+=（） （3）－(－2)3(－0.5)4. . 6.若()2120070a b ++-=，则b a =__________。
有理数的乘方公式完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)完全立方公式：(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³有理数的乘方：求相同因数的积叫做乘方，乘方运算的结果叫幂。
正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。
有理数的乘方法则：同底数幂法则同底数幂相乘除，原来的底数作底数，指数的和或差作指数。
a^m×a^n=a^(m+n)或a^m÷a^n=a^(m-n)（m、n均为自然数）幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(a^m)^n=a^(m×n)积的乘方积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。
(a×b)^n=a^n×b^n有理数的乘方运算：1、负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
2、正数的任何次幂都是正数，零的任何正数次幂都是零。
3、零的零次幂无意义。
4、由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。
5、1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1，奇次幂是-1。
6、0的任何正整数次幂都得0.有理数的乘法运算1、同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
2、任何数与零相乘，都得零。
3、几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。
4、几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。
5、几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后后把绝对值相乘。
有理数的乘方
有理数的乘方是数学中一个基本的概念。
有理数可以表示为两
个整数之间的比例，形如a/b，其中a和b均为整数，b不等于0。
乘方运算就是将一个有理数以自身为底，乘以自身本身几次。
有理数的乘方可以按照以下规则进行计算：
1. 当指数为正整数时，乘方的结果是底数连续乘以自身，乘方
次数等于指数。
例如，2^3 = 2 * 2 * 2 = 8。
2. 当指数为0时，任何有理数的0次方等于1。
例如，3^0 = 1。
3. 当指数为负整数时，乘方的结果是底数的倒数连续乘以自身，乘方次数等于指数的绝对值。
例如，2^-3 = 1 / (2 * 2 * 2) = 1/8。
4. 当指数为分数时，可以将其化简为整数的形式，进行相应的
计算。
例如，2^(1/2)可以化简为根号2，即√2。
有理数的乘方有一些特殊的性质：
1. 任何数的1次方都等于其本身。
2. 任何数的0次方都等于1。
3. 任何非零数的负整数次方都等于其倒数的相应正整数次方。
4. 乘方满足指数法则，即(a^m)^n = a^(m*n)。
在计算有理数的乘方时，可以利用这些性质进行简化和转化，使计算过程更加简便和高效。
总结起来，有理数的乘方是一种基本的数学运算，其结果可以根据指数的正负、整数或分数进行计算。
通过利用乘方的特殊性质和指数法则，可以简化和转化计算过程，提高计算的效率。
有理数乘方的定义
有理数乘方是指一种由有理数和次幂组成的表示方式，例如4的3次方，表示为4，其中4是有理数，3是次幂，这样的组合叫做有
理数乘方。
有理数乘方的定义
有理数乘方的定义是有理数和次幂的组合，它可隐含在运算式中，形式如下：a，其中a是有理数，n是次幂。
有理数乘方可以用来表
示多项式，因为多项式中的每个变量都可以用有理数乘方的形式表示。
有理数乘方的概念
有理数乘方的最基本概念是，如果有一个数值a，把其乘以a本身n次，就可以得到a的n次幂。
即可以用下面的公式描述：
a=a×a×a×……×a (n个a)
有理数乘方的运算
有理数乘方的运算可以分为乘方少的方法和乘方多的方法，乘方少的方法是指乘方小于等于2的情况，一般可以直接算出，比如：a=a ×a，a=a×a×a，a=a×a×a×a等等。
乘方多的方法则有很多种，
如乘方展开式、乘方公式、积和减、型积分等，这些方法都可以用来求解有理数乘方的值。
有理数乘方的应用
有理数乘方可以用来表示多项式，可以用来解题，并求出多项式的根。
此外，有理数乘方也可以用来解决有关函数、微分方程、概率等问题。
另外，根据有理数乘方的定义，可以很容易地将变量代入相
应的公式中，从而轻松解决问题。
结论
有理数乘方是一种表示方式，由有理数和次幂组成，可以用来表示多项式，并用来解题、解决函数、微分方程和概率问题等。
有理数的乘方有理数乘方 1． 求n 个相同因数的积的运算叫做乘方。
2．乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数。
一般地，在n a 中，a 取任意有理数，n 取正整数。
应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果。
当n a 看作a 的n 次方的结果时，也可以读作a 的n 次幂。
3． 我们知道，乘方和加、减、乘、除一样，也是一种运算，n a 就是表示n 个a 相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算。
n a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅例1 计算：（1）32； （2）()32-； (3)()42-； (4)()52-； ☆注：2就是12，指数1通常不写。
观察、比较、分析这几组计算题中，底数、指数和幂之间有什么关系？ （1） 横向观察正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶数幂是正数；零的任何次幂都是零。
（2） 纵向观察互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等。
（3） 任何一个数的偶次幂是什么数？任何一个数的偶次幂都是非负数。
你能把上述的结论用数学符号语言表示吗？ 当0a >时，0n a >（n 是正整数）； 当0a =时，0n a =（n 是正整数）. （以上为有理数乘方运算的符号法则）底数幂()22nn a a =-（n 是正整数）； ()2121n n a a --=--（n 是正整数）20n a ≥（a 是有理数，n 是正整数）例2 计算（1）()234⨯-； （2）()()3432-⨯-； （3）()()4326423-÷-÷；（4）()()()2212009111n n +---+-（n 为正整数）。
例3 计算：（1）()23-， ()33-， 5[(3)]--（2）23-， 33-， ()53--；（3）()24--， ()35--， 34()3--， 234-；（4）2223()3-⨯-， 2[(2)(3)]-⨯-， 23(3)⨯-；引导学生纵向观察第（1）题和第（2）题的形式和计算结果，让学生自己体会到，()na -的底数是a -，表示n 个()a -相乘，n a -是n a 的相反数，这是()na -和n a -的区别。
引导学生横向观察第（3）题的形式和计算结果，让学生自己体会到，写分数的乘方时要加括号，不然就是另一种计算了。
课堂练习 计算：（1）()33-， ()()4422-÷-, ()2244-⨯-；(2) ()20091-, 232⨯， ()3322-÷-；(3) ()11n--(n 为偶数) ()35-， ()23223⎛⎫-+- ⎪⎝⎭；（4）21115⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()3455÷-；例3．已知：221342,13593+==++==，21357164+++==，213579255++++==，...，根据前面的各式规律，猜测1357++++ (21)n ++的结果（其中n 为自然数）。
随堂练习1.当3,5,4a b c =-=-=时，求下列各代数式的值： （1）()2a b -； （2）222a b c -+；（3）()2a b -+； （4）222a ab b ++。
2．当a 是负数时，判断下列各式是否成立。
（1）()22a a =-； （2）()33a a =-；重点2.科学记数法 例 计算510100000=， 6101000000=， 101010000000000=，左边用10的n 次幂表示简洁明了，且不易出错，右边有许多零，很容易发生写错的情况，读的时候也是左易右难，这就是我们想到用10的n 次幂表示较大的数，比如一亿，一百亿等等。
但是像太阳的半径大约是696 000千米，光速大约是300 000 000米每秒，中国人口大约13亿等等，我们如何能简单明了地表示它们呢？这就是本节课我们要学习的内容科学记数法。
1. 10n 的特征观察下题1234101010,10100,101000,1010000,1010000000000=====。
提问：10n 中的n 表示n 个10相乘，它与运算结果中0的个数有什么关系？与运算结果的数位有什么关系？练习（1）把下面各数写成10的幂的形式。
1000， 100000000， 100000000000。
练习（2）指出下列各数是几位数。
310， 510， 1210， 10010。
2．科学记数法（1）任何一个数都可以表示成整数数位是一位数的数乘以10的n 次幂的形式。
如：21001100110=⨯=⨯，3600061000610=⨯=⨯，375007.510007.510=⨯=⨯。
第一个等号是我们在小学里就学习过的关于小数点移动的知识，我们现在要做的就是把100,1000，变成10的n 次幂的形式就行了。
（2）科学记数法定义根据上面的例子，我们把大于10的数记成10n a ⨯的形式，其中a 是正数数位只有一位的数，你是自然数，这种计数法叫做科学记数法。
现在我们只学习绝对值大于10的数的科学记数法，以后我们还要学习其他一些数的科学记数法。
说它科学，因为它简单明了，易读易记易判断大小，在自然科学中经常运用。
用字母N 表示数，则10(1||10,)n N a a n =⨯≤<为整数，这就是科学记数法。
例1． 用科学记数法表示下列各数：（1）1 000 000； （2）57 000 000； （3）696 000；（4）300 000 000； （5）-78 000； （6）12 000 000 000。
解：（1）1 000 000=610；（2）57 000 000=75.710000000 5.710⨯=⨯；（3）696 000=56.96100000 6.9610⨯=⨯； （4）300 000 000=83100000000310⨯=⨯； （5）-78 000=47.8100007.810-⨯=-⨯；（6）12 000 000 000=101.210000000000 1.210⨯=⨯。
如果每次都按解的步骤去做又显得有点繁，那么利用n 与数位的关系去做，试一试：（1）1 000 000是7位数，所以n=6，即610。
（2）57 000 000是8位数，n=7，所以57 000 000=75.710⨯。
（3）696 000是6位数，n=5，所以696 000=56.9610⨯。
（4）300 000 000是9位数，n=8，所以300 000 000=8310=⨯。
随堂练习1．用科学记数法记出下列各数：8000000； 5600000； 7400000002．用科学记数法记出下列各数：（1）7 000 000； （2）92 000； （3）63 000 000； （4）304 000；（5）8 700 000； （6）500 900 000；（7）374.2 （8）7000.5例2．下列用科学记数法记出的数，原来各是什么数?(1)6210⨯; (2) 59.610⨯; (3) 77.5810⨯; (4) 54.3110⨯;(5) 86.0310⨯ (6) 75.00210⨯; (7) 25.01610⨯; (8) 47.710510⨯.3.巧算：首同末和10（1）已知：215225=可写成10011125⨯⨯++（） 225625=可写成()10022125⨯⨯++2351225=可写成()10033125⨯⨯++则2755625=可写成 ，2857225=可写成 。
（2）请归纳猜想得：()2105n + 。
（3）根据上面的归纳猜想，计算出21995= 。
4．给出依次排列的一列数：-1，2，-4,8，-16，32…… （1）写出32后面的三项数 。
（2）按照此规律，第n 个数为 。
例. 比较20082007和20072008的大小.为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较1n n +和()1nn +大小（n 为正整数），然后我们从分析n=1,2,3…，这些简单情形入手，从中发现规律。
如（1）21 12；32 23；43 34；54 45；65 56。
猜想（2）1n n +和()1nn +的大小关系是 。
结论（3）20082007 20072008。
小结让学生回忆，做出小结：1．乘方的有关概念、乘方的符号法则和括号的作用。
2．强调什么是科学记数法，以及为什么学习科学记数法。
3．突出科学记数法中字母a 的规定及10的幂指数与原整数位数的关系。
课后作业A. 基础演练1．填空 （1）平方得1649的数是 ，立方得6427-的数是 ；（2）()24- ，24- ； （3）45-的底数是 ，它表示 ；（4）20.1- ，30.6- ，()43- ；（5）已知42(2)(4)a b ++-=0，则32a b -+ ；（6）若50a <，则32a b 0；（7）若21a a =，则a= ；（8）在()()5555112323⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，中，最大的数是 ；（9）瑞士中学教师巴尔末成功从光谱数据9162536,,,,5122132…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请你按照这种规律写出第七个数据是 ； （10）1234533,39,327,381,3243=====…那么20053的个位数字是 。
2．选择题（1）已知()2120m n -++=，则m+n 的值为（ ） A.-1 B.-3 C.3 D.不确定（2）一个数的平方是4，这个数的立方是（ ） A ．8 B.-8 C.8或-8 D.4或-4(3)若a,b 为有理数,下列判断:①22(1)a b ++总是正数;②221a b ++总是正数；③29()a b +-的最小值为9；④()211ab -+的最大值是0，其中错误的有（ ） A ．1 B.2 C.3 D.4 3．计算:(1)()()3223-⨯-; (2)31313⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭; (3)()322233--+-;(4)()2432--; (5)()()5255-÷-; (6)()22003718⎛⎫--+- ⎪⎝⎭;(7)()222121423⎛⎫⎛⎫-⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (8)22255⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭.B. 综合测试1.用科学记数法记出下列各数: (1)地球离太阳约有一亿五千万千米;(2)地球上煤的储量估计为15万亿吨以上;(3)月球的质量约为7 340 000 000 000 000万吨;(4)银河系中的恒星数约为160 000 000 000个;(5)地球绕太阳公转的轨道半径约是149 000 000千米;(6)31cm 的空气中约有25 000 000 000 000 000 000个分子.2.一天有48.6410⨯秒,一年如果按365天计算,一年有多少秒?(用科学记数法表示)3．地球绕太阳转动(即地球的公转)每小时约通过51.110⨯千米,声音在空气中传播,每小时约通过31.210⨯千米.地球公转的速度与声音的速度哪个大?4.10m 长的绳子,第一次剪去一半,第二次减去剩下的一半,如此剪下去,第5次后剩下的绳子有多长?5.已知:a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 的绝对值等于2，试求220092009()()()x a b cd x a b cd -++⋅+++-的值.C. 探究升级1.回答下列问题:(1)看一看,下面两组算式:()235⨯与2235⨯,2142⎡⎤⎛⎫-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦与22142⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭,每组两个算式的计算结果是否相等?(2)想一想,()3ab 等于什么?(3)猜一猜,当n 为正整数时, ()n ab 等于什么?试证明结论的正确性.2．你喜欢吃拉面吗?拉面馆的师傅用一根很粗的面条,把两头捏合在一起拉伸,在捏合,在拉伸,反复几次,就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条,这样捏合到第 次后可拉出128根面条.3．平方得9的数有几个?是什么?有没有平方得-9的有理数?为什么?4．若()2120a b ++-=,求20083a b ·的值.近似数和有效数字一.选择题1、1.449精确到十分位的近似数是（ ）A.1.5B.1.45C.1.4D.2.02、由四舍五入法得到的近似数0.002030的有效数字的个数是（ ）A.3B.4C.5D.63、用四舍五入法，分别按要求取0.06018的近似值，下列四个结果中错误的是（ ）A.0.1（精确到0.1）B.0.06（精确到0.001）C. 0.06（精确到0.01）D.0.0602（精确到0.0001）4、有效数字的个数是（ ）A.从右边第一个不是零的数字算起B. 从左边第一个不是零的数字算起C.从小数点后第一个数字算起D. 从小数点前第一个数字算起5、下列数据中，准确数是（ ）A.王敏体重40.2千克B.初一（3）班有47名学生C.珠穆朗玛峰高出海平面8848.13米 D .太平洋最深处低于海平面11023米 6、12.30万精确到（ ）A.千位B.百分位C.万位D.百位7、20000保留三个有效数字近似数是（ ）A.200B.520010⨯C.4210⨯D.42.0010⨯8、208031精确到万位的近似数是（ ）A. 5210⨯B. 52.110⨯C. 42110⨯D. 2.08万9、43.1010⨯的有效数字是（ ）A.3，1B.3，1，0C.3，1，0，0，0D.3，1，0，1，010、由四舍五入法得到的近似数53.2010⨯，下列说法中正确的是（ ）A.有3个有效数字，精确到百位B.有6个有效数字，精确到个位C.有2个有效数字，精确到万位D. 有3个有效数字，精确到千位11、下列说法中正确的是（ ）A.近似数3.50是精确到个位的数，它的有效数字是3、5两个B. 近似数35.0是精确到十分位的数，它的有效数字是3、5、0三个C.近似数六百和近似数600的精确度是相同的D.近似数1.7和1.70是一样的12、近似数2.60所表示的精确值x 的取值范围是（ ）A.2.595 2.605x ≤<B. 2.50 2.70x ≤<C. 2.595 2.605x <≤D. 2.600 2.605x <≤二.填空题1、1.90精确到 位，有 个有效数字，分别是 。
