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6.1 二次函数课件(苏科版九下)

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九年级数学下册 6.1二次函数(1)课件 苏科版

九年级数学下册 6.1二次函数(1)课件 苏科版

5、二次函数y=ax2+bx+c的图象如以下图,以下结论中
正确个数为
()
A
① a+b+c＜0;②a-b+c＞0; ③ abc＞0； ④b=2a
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
当x= 1时,y=a+b+c 当x=-1时,y=a-b+c
a <0,b <0,c>0
x=- b/2a=-1
第十三页，编辑于星期五：十三点 四十三分。
(1)y=2x2
(2)8, 24.5
10
10
(3)５秒
1.gsp
I
第十七页，编辑于星期五：十三点 四十三分。
1.二次函数的图象有着丰富的内涵,解决二次函 数的题目应尽可能地画出大致的抛物线图象,结 合图形,解决问题.利用a、b、c的值可判断二次 函数的大致位置情况；反之，假设二次函数的大 致位置，也可以判断出一些特殊关系式或a、b、 c的取值范围等.
6.假设抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两
个交点，那么a的取值范围是(D )
A.a＞0
B.a＞- 4/9
C.a﹤9/4 D.a＜9/4且a≠0
抛物线y=ax2+3x+1与x轴交点个数问题 与一元二次方程ax2+3x+1=0的根的个数 问题紧密联系.
32-4a﹥0且a≠0即a﹤9/4且a≠0
第十四页，编辑于星期五：十三点 四十三分。
第一页，编辑于星期五：十三点 四十三分。
第二页，编辑于星期五：十三点 四十三分。
第三页，编辑于星期五：十三点 四十三分。
第四页，编辑于星期五：十三点 四十三分。
第五页，编辑于星期五：十三点 四十三分。

苏科版初中九年级下册数学：二次函数的图像和性质_课件1

苏科版初中九年级下册数学：二次函数的图像和性质_课件1

(3)
函数y=ax2-a与y=
a x
(a

0)
在同一直角坐标系中的图像可能是 （A ）
(4) 一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线
y 1 x2 3.5 5
运行，然后准确落入蓝筐内，已知蓝筐的中心离地面的
距离为3.05m。
1、球在空中运行的最大高度是多少米？
2、如果运动员跳投时，球出手离地面的高度 为2.25m ，
向上平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图像。
（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4x2+3 。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
10
y
8
y=x2+1
6
4
y y=-x2+3
2
4 y=x2
2
-10
-5
O
5
x
10
当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 k 。
y=ax2+k (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上
a<0 向下
(0 ,k) y轴
(0 ,k) y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
20 y 8
12 14
25
y=x2+1
…… ……
观察表中
6
的数据，
你发现？
4
函数y=x2+1的图
像与y=x2的图像

苏科版九年级下册61二次函数ppt课件

苏科版九年级下册61二次函数ppt课件

THANK YOU
感谢聆听
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式是描述函数与自变量之间关系的数学式子 。
详细描述
二次函数的表达式是用来描述函数与自变量之间关系的数学式 子。对于一般的二次函数，其表达式为$y=ax^2+bx+c$，其 中$a$、$b$、$c$是常数，且$a neq 0$。这个表达式可以用 来计算任意自变量值对应的函数值。
详细描述
二次函数的顶点坐标可以通过公式(-b/2a, c-b^2/4a)计算得出。其中，b和a是二次函数的一般形式 y=ax^2+bx+c中的系数。顶点是抛物线的最低点或最高点，也是抛物线与对称轴的交点。
二次函数的对称轴
总结词
对称轴的方程是x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程是x=-b/2a。对称轴是抛物线与x轴平行的线，它 穿过抛物线的顶点，并且将抛物线平分为两个对称的部分。
04
习题与练习
基础习题
基础习题1
已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(1,0)$，且$a + b + c = 0$，求证： 这个二次函数的图象必与$x$轴相交于两点。
基础习题2
已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0,2)$，且$a - b + c = 0$，求证： 这个二次函数的图象必与$x$轴相交于一点。
矩形面积问题
在二次函数图像上选择合适的点 作为矩形的顶点，可以计算出矩 形的面积。
利用二次函数解决实际问题
抛物线拱桥问题
在实际生活中，抛物线拱桥的形状可 以通过二次函数来描述，从而解决与 拱桥相关的问题。

6.1二次函数

6.1二次函数
（4）x的取值范围是 任意实数 。
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项. 1 __ (1) y=3(x-1)² +1 (2) y=x+ x (3) s=3-2t² (4) y=(x+3)² -x² 1 __ (5)y= -x (6) v=10π r² x²
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式 表示的
2、定义：一般地，形如 y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫 做x的二次函数。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的 整式
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有 一次项和常数项，但不能没有二次项。
2
m2 m
1、下列函数中，（x是自变量），是二次函数 的为( C )
A y=ax2+bx+c
C y=x2
B y2=x2-4x+1
D y=2+ √x2+1
)
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( C A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0 C m,n是常数,且m≠n D m,n为任何实数
2
(7)y＝ x4＋2x2－1
(8)y＝ax2＋bx＋c
2 +k k 例2．当k为何值时，函数y=(k-1)x 为二次函数？
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
a是二次项系数 b是一次项系数 C是常数项
二次函数的特殊形式： 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2

初中数学苏教版九年级下册《二次函数》课件PPT模板

初中数学苏教版九年级下册《二次函数》课件PPT模板
其中，x是自变量，y是x的函数．
某商场销售一种计算器，成本价30元.根据市场调查： 在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是1000个 ，而销售单价每上涨1元，销售量就会减少10个.
判断下列函数是否是二次函数． (1) y＝2x3－x2 ; (2) y＝－ 12x2－23 x+1; (3) y＝x(x＋1)－x2 ;
2.某矩形相框长26cm，宽20cm，其四周相框边（图 中阴影部分）的宽度相同，则相框内部的面积y(cm2) 与四周边的宽度x(cm)之间的函数关系式.
写出下列两个变量之间的函数表达式， 并判断是否为二次函数．
3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40 元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措 施．经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均 每天可多售出2件．则商场通过销售这批衬衫每天的利润y（元） 与衬衫下降的单价x（元/件）之间的函数关系．
生活中有许多二次函数的实例, 你还能举出一些吗？
如图，矩形ABCD的两边长AB=14cm，AD=4cm，点P、Q 同时从B点出发，P在边AB上沿BA方向以每秒2cm的速度匀速 运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运 动的时间为t(秒)．
D
C
E
Q
A
P
B
拓展延伸
学校准备将一块长20 m、宽14 m的矩形绿地扩建.若矩形的长 、宽都增加相同的长度.
二次 函 数
苏教版数学九年级下册课件
目录
1 学习目标 3 课堂练习
2 新知导入 4 拓展延伸
学习目标
水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆.
不断扩大的圆面积S与半径r 之间有怎样的函数关系？

二次函数全章复习课件(苏科版九年级下)

二次函数全章复习课件(苏科版九年级下)

的位置: ab<0 Δ<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
b x=- 2a y
(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0 c=0 c<0
b x=- 2a x
0
(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0
的位置: ab<0 Δ<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
返回
的位置: ab<0 Δ<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
例 1：
1 2 3 已知二次函数y=— x +x— 2 2 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解
•
及对称点 ④连线
• • • (-1,-2)
•
3 (0,-– 2)
例 1：
解
1 2 3 已知二次函数y=— x +x— 2 2 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ y ：（4）由对称性可知 MA=MB=√22+22=2√2 B(1,0) x A(-3,0) D AB=|x1-x2|=4 ∴ ΔMAB的周长=2MA+AB 0 =2 √2×2+4=4 √2+4 3 1 C(0,-–) ΔMAB的面积=— AB × MD 2 2 1 M(-1,-2) =— 2 ×4×2=4

九下数学课件二次函数(课件)

九下数学课件二次函数(课件)
12

解：S＝x 2 －x，


2
即 S＝－x ＋6x(0＜x＜6)．
能力提升
(2)若要求设计的广告牌的各边长均为整数，请你填写下
表，并探究当x取何值时，广告牌的设计费最多．
解：填表如下：
由表格可得，当x＝3时，广告牌的设计费最多．
完成备作业。
总结反思
二次函数的定义要理解三点：
(1)函数关系式必须是整式，自变量的取值是全体实数；而在
实际应用中，自变量的取值必须符合实际意义．
(2)确定二次函数的各项系数及常数项时，要把函数关系式化
为一般形式．
(3)二次项系数不为0.
能力提升
【1】如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点
知识点一 二次函数的识别
【例 1】下面的函数是二次函数的是( B )
A．y＝3x＋1
B．y＝x2＋2x
x
C．y＝
2
2
D．y＝ 2
x －2x－1
【归纳总结】判断二次函数的方法：
判断一个函数是不是二次函数，不能只看形式，如果函数表达
式给出的形式比较复杂，必须将其化成一般形式，再根据下面
的三个方面考虑：
意实数_．
l
概念归纳：
二次函数的一般形式：y＝ax2＋bx＋c，a，b，c分别是函
数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．
二次函数的特殊形式：
1. 只含二次项，即：y=ax2(b=0，c=0)；
2. 不含一次项，即：y = ax2+ c (b = 0，c≠0)；
3. 不含常数项，即：y=ax2+bx(b ≠ 0，c=0).
y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为

苏科版数学九年级下册二次函数与一元二次方程课件

苏科版数学九年级下册二次函数与一元二次方程课件

随堂练习
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3
B. y=－2 x2 + 3
C. y= －x2 – 3x D. y=－2(x+1)2 －3
2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图
象与x轴交点情况是（ C ）
A. 无交点
B. 只有一个交点
C. 有两个交点 D. 不能确定
解：（1）当 h = 15 时， 20 t – 5 t 2 = 15 t 2 － 4 t ＋3 = 0 t 1 = 1，t 2 = 3
当球飞行 1s 和 3s 时，它的高度为 15m .
15 m
1s
3s
20 m
2s
（2）当 h = 20 时， 20 t – 5 t 2 = 20 t 2 － 4 t ＋4 = 0 t1=t2=2 当球飞行 2s 时，它的高度为 20m .
所以方程 x2 2x 2 0的实数根为
x1 0.7, x2 2.7
x=2时，y<0 x=3时，y>0 ∴根在2到3之间
12
3
已知x=3,y>0 x=2.5时,y<0 ∴根在2.5到3之间
2.5
12
3
已知x=2.5时,y<0 x=2.75时,y>0
∴根在2.5到2.75之间
2.75
2.5
第二章 二次函数
二次函数与一元二次方程
回顾旧知
二次函数的一般式：
y ax2 bx c （a≠0）
___x___是自变量，__y__是__x__的函数。
当 y = 0 时， ax²+ bx + c = 0

二次函数的图像和性质(第4课时)课件-九年级数学下册同步精品课件(苏科版)

二次函数的图像和性质(第4课时)课件-九年级数学下册同步精品课件(苏科版)
x＞－m时，y随x的增大而增大. x＜－m时，y随x的增大而增大.
|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大
新知巩固
1.二次函数y=2(x+5)2的图像由抛物线y=2x2向 左_平移 5 个单位得到的.
4
2.二次函数y=-3(x-4)2的图像是由抛物线y=-3x2向__平移__个单位得到的.
右
y=2(x-3)2
3.将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后就得到函数 ________的图像.
4.将二次函数y=-3(x-2)2的图像向左平移3个单位后就得到函数__________的图像.
y=-3(x+1)2
新知巩固
2-2的图像，
5. 将函数y=2x2的图像向___平移___个单位就得到函数y=2x
2
下
2的图像．
归纳总结
二次函数y=a(x＋m)2（a ≠ 0）的性质：
y＝a(x＋m)2
a>0
a<0
开口方向
向上
向下
顶点坐标
(－m，0)
(－m，0)
对称轴
直线x＝－m
直线x＝－m
最值
增减性
开口大小
当x=－m时，y最小值=0
当x=－m时，y最大值=0
当x＜－m时，y随x的增大而减小；当x＞－m时，y随x的增大而减小；
将函数的图像向___平移___个单位就得到函数y=2(x-3)
右
3
6. 二次函数y=-3(x+4)2的图像开口_____，顶点坐标是________，是由
向下
（-4，0）
抛物线y=-3x2向____平移____个单位得到的，对称轴是________，当
4

苏科版九下数学课件二次函数的图象与性质③

苏科版九下数学课件二次函数的图象与性质③
2.二次函数的y 图 象4 x的2 开3 口方向______，对称轴是 _____，顶点坐标3 ______ 当x____时，y有最__值，这个最___值是______ 当x____时，y随x的增大而增大； 当x____时，y随x的增大而减小；
3.二次函数的y 图 象14 x2向下平移2个单位得到函数 ______的图象
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
y ax2 k(a 0, 0)
在同一平面直角坐标系中画出函数 y x2
y x2 1
的图象并说明，这两个函数图象有什么关系？
函数
y ax2 k(a 0)
图像特征
函数性质
开口 对称 方向 轴
顶点 坐标
函数 最值
增减性
二次函数的图y 象 12怎x2样平移得到二次函数的 图象? y 1 x2 2
2
二次函数的图y 象 12怎x2样平移得到二次函数的 图象? y 1 x2 3
2
讨论函数和y 的 图1 象x2 特 2征和性y 质 1 x2 3
2
2
函数
y 1 x2 2 2
y 1 x2 3 2
图像特征
函数性质
开口 对称 方向 轴
顶点 坐标
函数 最值
4.二次函数的y 图 43象x2是 2由二次函数的图象向__y_平 43移x2 ___个单位得到
5.如图，抛物线的y 顶2点x2是 2C，与x轴交于A，B两点， 求△ABC的面积
C
A
B
增减性
函数
y ax2 k(a 0) y ax2 k(a＜0)
图像特征
函数性质
开口 对称 方向 轴
顶点 坐标

苏科版数学九年级下课件：二次函数的图象与性质②

苏科版数学九年级下课件：二次函数的图象与性质②
y ax2(a 0)
画出二次函数 y 2x2 的图象并填表
函数
图象特征
函数性质
开口 方向
对称 轴
顶点 坐标
最值
增减 性
y ax2(a＞0)
y ax2(a＜0)
1.说出函数 y 3x2 的图象特征及函数的性质
2.说出函数
y


1 3
x2
的图象特征及函数的性质
1.二次函数 y ax2(a 0) 的图象过 点 (2, 1) ，则其解析式为_______
2
2.二次函数 y ax2(a 0) 的图象如图 ， 则其解析式为_______
yo6来自x83.已知二次函数y1 ax2与直线 y2 kx b 的图象交点 坐标为A(-1，1),B(3，4),若y1＜y2 ，则自变量x的取 值范围是________
y
A(-1,1) O
B(3,4) x
y
y 2x2
C
A O
D B
y2
x
4.二次函数y ax2 的图象与直线 y 2x 1 交于
点 P（2，b）
①求a，b的值
②写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y 随x的增大而减小
5.如图，抛物线的解析式为 y 2x2 ， AB∥CD∥x轴，AB到x轴的距离为2（即直 线AB为y=2），CD=4,求梯形ABDC的面积
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ห้องสมุดไป่ตู้ 2．通过实例，归纳二次函数的定义
正方体的棱长为 x ，那么正方体的表面积 y 与 x 之 间有什么关系？
y 6 x2
2．通过实例，归纳二次函数的定义
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．比 赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
1 2 1 m n n 2 2
2．通过实例，归纳二次函数的定义
3．练习、巩固二次函数的定义
解：（1）由题意，得 2 x 2 y 18，y 9 x． ∵ x＞y＞0， 9 ∴ x 的取值范围是 ＜x＜9， 2 ∴ S矩形 = xy = x（9 - x）= -x2+9x．
3．练习、巩固二次函数的定义
（2）当矩形面积 S矩形 = 18 时，即 - x 2 + 9x = 18， 解得 x1 = 3，x2 = 6． 当 x = 3 时，y = 9 - 3 = 6，但 y＞x ，不合题意，舍 去． 当 x = 6 时，y = 9 - 6 = 3． 所以当绿地面积为 18 m 2 时，矩形的长为 6 m ，宽 为 3 m．
4．小结
（1）一个函数是否为二次函数的关键是什么？ （2）实际问题中列二次函数解析式需要考虑什么？
某种产品现在的年产量是 20 t ，计划今后两年增加 产量．如果每一年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两 年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定， y 与 x 之间的关系应该怎样表示？
y 20 x2 40 x 20
2．通过实例，归纳二次函数的定义
这三个函数关系式有什么共同点？
3．练习、巩固二次函数的定义
例 某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的长为 x m，宽为 y m，面积为 S m 2（x＞y）． （1）如果用 18 m 的建筑材料来修建绿地的边缘 （即周长），求 S 与 x 的函数关系，并求出 x 的取值范 围． （2）根据小区的规划要求， 所修建的绿地面积必 须是 18 m 2，在满足（1）的条件下，矩形的长和宽各 为多少 m ？
3．练习、巩固二次函数的定义
练习1 函数 y= （ m-2） x 2 + mx - 3（m 为常数）．
（1）当 m ______ ≠ 2 时，这个函数为二次函数； （2）当 m ______ = 2 时，这个函数为一次函数．
3．练习、巩固二次函数的定义
练习2 填空： （1）一个圆柱的高等于底面半径，则它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式是_________ S = 4πr 2 ； （2） n 支球队参加比赛，每两队之间进行两场比 赛，则比赛场次数 m 与球队数 n 之间的关系式是 ________________ （n - 1 ） ． m =n
y 6x
2
1 2 1 m n n 2 2
y 20 x2 40 x 20
2．通过实例，归纳二次函数的定义
二次函数的定义：一般地，形如 y ax2 bx c （a ，b ，c 是常数，a≠0） 的函数，叫做二次函数．其中， x 是自变量，a， b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项 系数和常数项．
九年级
下册
6.1 二次函数
课件说明
• 本课是在学生已经学习了一次函数的基础上，继续进 行函数的学习，学习二次函数的定义，这是对函数知 识的完善与提高．
课件说明
• 学习目标： 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义． • 学习重点： 理解二次函数的定义．
1．由实际生活引入二次函数
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它 们的形状是怎样画出来的？