沪科版九年级数学上22.3二次函数的图象和性质(第2课时)课件ppt

思考： 观察二次函数y＝2x2－1与y＝2x2+1的图象， 当x＜0时，y随x的增大怎样变化？ 当x＞0呢 ？ 由此你能得到二次函数y=ax2+k有怎样的代数 性质？
知2－导
感悟新知
归纳
知2－讲
代数性质: (1)当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有最大值 k； (2)如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y 随x的增大而增大；如果a<0，当x<0时，y随x的增大而 增大，当x>0时，y随x的增大而减小.
感悟新知
知2－讲
方法 2: 以对应点作中介平移: 观察图中的 两条抛 物线，抛物线y= -x2+1 的顶点是（0，1）， 抛物线 y=-x2-1 的顶点是 （0，-1），因为顶点向下 平移 了2 个单位，所以将 抛物线y=-x2+1 向下平移 2 个 单位可得到抛物线y= -x2-1.
感悟新知
1. 对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是( A. 最小值为2 B. 图象与x轴没有公共点 C. 当x<0时，y随x的增大而增大 D. 图象的对称轴是y轴
函数y=-x2-2的 图象可由y=-x2 的图象沿y轴向 下平移2个单位 长度得到.
图象向上移还是向下移,移多 少个单位长度,有什么规律吗?
知3－导
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k (a≠0)的图象形状
相同 , 只是位置不同；当k>0时, 函数y=ax2+k
的图象可由y=ax2的图象向 上 平移 k 个单位得到,
感悟新知
例1
知2－讲
画出函数y=-x2+1与y=-x2-1 的图象，并根据图象回

初中数学 九年级 第一学期 《二次函数》
26.1 二 次 函 数 的 概 念
上海教育出版社 九年义务教育课本 九年级 第一学期（试用本）
一、情境引入
一、情境引入
消防水枪的喷射路线
一、情境引入
投出的篮球
跳水比赛
一、情境引入
喷水池喷射出的一条水线
一、情境引入
问题1 我们已经学习过哪些函数？
问题2 从哪些方面研究这些函数？
方厘米，那么 y 关于 x 的函数解析式是__________.
问题6 把一根40厘米的铁丝分为两段，再分别把每一段弯折成一个正方形．设
其中一段铁丝长为 x 厘米，两个正方形的面积和为
y 平方厘米，那么 y

= − + . 定义域是_________.
关于 x 的函数解析式是_____________
问题3 如何研究新的函数？
实际问题
概
念
图
像
性
质
实际应用
一、情境引入
抛物线
一、情境引入
问题4 如果正方形的边长是 x 厘米，那么它的面积 y 平方厘米是边长 x 厘米的
函数，y 关于 x 的函数解析式是__________．
问题5 一个边长为4厘米的正方形， 若它的边长增加 x 厘米，则面积随之增加
的函数叫做二次函数． 其定义域为一切实数．
二次函数解析式的特点：
1.关于自变量的整式
2.自变量的最高次数为二次
3.二次项系数不为零
二、新知讲授
问题7 已知函数 y=ax2+bx+c (其中a、b、c是常数)，那么 y 是 x 的什么函数？
(1)当 a≠0 时， y 是 x 的二次函数．

22.4 二次函数与一元二次方程
2与思考
2020沪科版九年级数学上册电子课 本课件【全册】
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22.3 二次函数y=ax2+bx+c的图 像和性质
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信息技术应用
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22.5 二次函数的应用
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第22章 二次函数与反比例函数
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22.1 二次函数
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22.2 二次函数y=ax2的图像和性 质
2020沪科版九年级数学上册电子 课本课件【全册】目录
0002页 0095页 0151页 0230页 0261页 0346页 0388页 0425页 0453页 0487页 0528页 0570页 0820页 0854页 0901页 0944页
第22章 二次函数与反比例函数 22.2 二次函数y=ax2的图像和性质 信息技术应用 阅读与思考 22.6 反比例函数 小结·评价 第23章 相似形 阅读与欣赏 23.3 相似三角形的性质 23.5 位似图形 数学史话 复习题 24.1 锐角的三角函数 24.3 解直角三角形及其应用 课题学习 复习题

2018年8月14日星期二
，
11
2018年8月14日星期二
x2,y=-2x2的图象与函数y=-x2
1 2
1
-3 -2 -1 0 -1
y
1 2 3 x
1 2 y x 2
-2 -3 -4 -5
y x2 |a| 越大，抛物线的开口越小．
y 2 x 2
9
对比抛物线， y=x2和y=－x2.它 们关于x轴对称吗？ 一般地，抛物线 y=ax2和y=－ax2呢？
6
是轴对称图形，对 称轴是y轴
2018年8月14日星期二
抛物线y=ax2 (a>0)的形状是由a来确定的,一般说来, a越大, 抛物线的开口就越小. a越小, 抛物线的开口就越大.
探究
画出函数
1 2 y x , y x , y 2 x 2 2
2
的图象．
2018年8月14日星期二
-０ . ５
-２
-4. 5
-８ …
1
-3 -2 -1 0 -1 -2 -3
y
1 2 3 x
1 2 y x 2
(2) 描点 (3) 连线
-4
yx
2018年8月14日星期二
2
-5
y 2 x
2
8
函数y=(图中蓝线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点? 共同点: 开口都向下; 顶点是原点而且是抛物线 的最高点，对称轴是 y 轴 在对称轴的左侧， y随着x的增大而增大。 在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小。 不同点: 开口大小不同;
…20.5源自0 0.5 2 4.5 8 y 2x2 y y x2 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1

新课导入 问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？ ①列表；②描点；③连线
问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？ 一条直线
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？
这节课我们来学习最简单的二次函数y=ax2的图象.
新课导入
思考
一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象 是什么形状呢？它又有什么性质？
新课讲解
特征
y
函数y = x2的图象开
9
口__向_上___.
6
实际上，每条抛 物线都有对称轴，抛 物线与对称轴的交点
叫做抛物线的顶点.
3
顶点是抛物线的最低
这条抛物线关于y 轴对称，y轴就是 它的对称轴.
-3 O
点或最高点．
3
x
抛物线与对称轴 的交点叫做抛物 线的顶点。
新课讲解
单调性
当x<0 (在对称轴 的左侧)时，y随着 x的增大而减小.
增大
大而减小
最值
当x＝0时，y最小值＝0
当x＝0时，y最大值＝0
新课讲解
典例分析
例
已知函数y＝－ 6 x2，不画图象，回答下列各题．
5
(1)开口方向：__向__下__；
(2)对称轴：__y_轴__； (3)顶点坐标：（__0_, _0_）_； (4)当x＞0时，y随x的增大而_减__小___；
(5)当x_=__0_时，y＝0； (6)当x_=__0_时，函数值y最_大___，是__0_．
|a|越大，开口越小.
开口向下
a<0
拓展与延伸
二次函数与一次函数性质的综合应用 D
如图，直线AB过x轴上的点B（4，0），且与抛物线 y=ax2交于A、C两点，已知A（2，2）.

例3:在同一直角坐标系中，一次函数 y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为
y
y
y
y
O
x
A
x
O
x
O
O
x
B
C
D
答案: B 前进
2021
26
(三)根据函数性质求函数解析式
例4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最 大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并 且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
0
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴
b x=- 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
2021
20
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
y
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解 :(5)
x=-1
当x≤-1时，y随x的增大 而减小;
当x=-1时，y有最小值为 y最小值=-2
•(-3,0) • • (-1,-2)
•(1,0) x
0
• 3 前进 (0,-–2)
例（5：1）求已抛知物二线次开函口数方y=向—12，x2对+x称-—32轴和顶点M的坐标。
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：

10.如图所示的抛物线： 当x=_0_或__-2_时，y=0； 当x<－2或x>0时， y__<___0； 当x在－_2_<__x_<0范围内时，y>0； 当x=___-1__时，y有最大值___3__.
3
11、试分别说明将抛物线的图象通 过怎样的平移得到y=x2的图象：
(1) y=(x-3)2+2 ；
-1 -1.5
-3 -5.5 …
再描点、连线
直线x=－1
(1)抛物线 y1(x1)21
2
的开口方向、对称轴、顶点?
抛物线 y1(x1)21 的开口向下, 2
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1, －1).
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 y1(x1)21
y=ax2
向左(右)平移 y=a(x+h)2
向上(下)平 y=a(x+h)2+k
|h|个单位
移|k|个单位
y=ax2 向上(下)平 y=ax2+k 向左(右)平 y=a(x+h)2+k
移|k|个单位
移|h|个单位
抛物线y=a(x+h)2+k有如下特 点:
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下;
解：∵二次函数图象的顶点是(1,-1)， ∴设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1， ∵其图象过点(0,0)， ∴0= a(0-1)2-1， ∴a=1 ∴y= (x-1)2-1
（2）根据图象回答：
当x x<0或x>2 时，y>0; (0,0) 当x x=0或2 时，y=0;

04:09
17
14
小
结 回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系
1.相同点:
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,
在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.
a<0时,开口向下,
y=ax2+bx+c(a>0)
顶点坐标 对称轴 开口方向
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
向下
增减性 最值
04:09
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2(x2 4x 4) 7 8
a x
b
2
c
b2
2a
4a
a x
b
2
4ac
b2
.
2(x 2)2 1
2a
4a
一半的平 方
整理:前三项 化为平方形 式
化简
9
04:09
函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点
坐标是什么？
例1.y写出a下x2列函b数x 的c开的口对方向称、轴对是称轴:x、顶点b坐标：
04:09
13
达标测评
1、若二次函数y =ax2-4x-6的图象的顶点横坐标 是 2__、-_2抛_，_物_则平线a移=_y______12__x_2_个_3_单x_位25是，由再抛向物_线__y平移- 12_x_2 先_个向 单位得到的。 3、已知抛物线y=x2-4x+h的顶点在直线y =4x-1 上，求抛物线的顶点坐标。

2a
4a
y=ax2+bx+c a( x b )2 4ac b2
2a
4a
b 4ac b2
显然，二次函数y a( x
b
)2
4ac
b2
的顶点坐标为
2a
,
4a
。
2a
4a
二次函数的
对称轴为
x b 2a
。
一般表达式
二次函数的
顶点式
因此，抛物线的对称轴是
x b 2a
，顶点是
b 2a
,
4ac 4a
2
b 2a
2
c
a( x b )2 4ac b2
2a
4a
二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 通过配方可以转化
成y=a(x+h)2+k形式.
知识点2
二次函数y=ax2+bx+c 与的图象与性质
根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质吗？
y=ax2+bx+c a( x b )2 4ac b2
新课导入
问题: 说说画二次函数y=a(x+h)2+k的图象的要点是什么？
例如：y 12（x+1）2 1
y
O
开口方向：向下
-4 -2
-2
对称轴：x =-1 -4
顶点：(-1，-1) -6 怎么画二次函数
y=ax2+bx+c的图象?
2 4x
y
-hO
k
x
y=a(x+h)2+k
抛物线的开口大小由 |a决| 定
-3 -4 -5

2
图象向右平移3个单位得到.
4
（3）当x＞3时，y随x的增大而增大，
2
当x＜3时，y随x的增大而减小，当x=3 时，y有最小值，为0.
-4 -2 O -2
y 12（x-3）2
2 4x
课堂小结
复习y=ax2+k
探索y=a(x+h)2 的图象及性质
图象的画法
描点法 平移法
y=ax2
图象的特征
平移关系
y -12（x+1）2 向右 平移 2 个单位得到.
y - 12（x+1）
y
-
1 2
x2
抛物线y = a(x+h)2 与抛物线y=ax2 有什么关系？
y = a(x+h)2 (h＞0) y y = ax2
结论：
抛 物 线 y=a(x+h)2 的 图 象 相 当 于 把 抛 物 线 y=ax2的图象 向左 （h＞0）或 向右 （h＜0）
3
2
B.y= 3 (x-3)2
C.y= 2 (x+3)2
D.y= 2 (x-3)2
3
3
6.写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点. （1）y=- 1 (x+2)2； （2）y=3(x-1)2.
4
解：（1）开口向下，对称轴为x=-2，顶点为（-2，0）. （2）开口向上，对称轴为x=1，顶点为（1，0）.
x=0时，y最小值=k
向下 y轴（直线x=0）
（0,k） 当x<0时，y随x增大而增大； 当x>0时，y随x增大而减小.
x=0时，y最大值=k
知识点1
推进新课
二次函数y = a(x+h)2 的图象的画法

向上平移 4 个单位，得到二次函数 y＝12(x＋1)2－1 的图象． (1)试确定 a，h，k 的值；
解：由题意，得 a＝12，h＝－1，k＝－5.
能力提升练
(2)指出二次函数 y＝a(x＋h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶 点坐标．
解：∵二次函数表达式为 y＝12(x－1)2－5， ∴图象开口向上，对称轴为直线 x＝1，顶点坐标为(1，－5)．
②对称轴为直线 x＝1； ③顶点坐标为(－1，3)； ④x＞1 时，y 随 x 的增大而减小． 其中正确结论的个数为( C ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
基础巩固练
7．已知二次函数 y＝(x－m)2－1，当 x≤1 时，y 随 x 的增大而减 小，则 m 的取值范围是__m_≥__1___．
(3)当 x 取何值时，函数取最值？并求出此时的最值．
解：当x＝4时，函数取最小值，为－27.
能力提升练
9．[2019·桐城二中月考]如图，抛物线对应的函数表达式为 y＝ －2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是( A ) A．h＞0，k＞0 B．h＜0，k＞0 C．h＞0，k＜0 D．h＜0，k＜0
素养核心练 即－(1－m)2＋m2＋1＝4，解得 m＝2； 当－2≤m≤1 时，∵－2≤x≤1，∴当 x＝m 时，y 取得最大值， 即 m2＋1＝4，解得 m＝－ 3或 3(不合题意，舍去)； 当 m＜－2 时，∵－2≤x≤1， ∴当 x＝－2 时，y 取得最大值，即－(－2－m)2＋m2＋1＝4， 解得 m＝－74(不合题意，舍去)． 综上所述，实数 m 的值为 2 或－ 3.
能力提升练 (2)已知点 M 为 y 轴上的一个动点，当△ABM 为等腰三角形时，
求点 M 的坐标． 解：①当 MA＝MB 时，M(0，0)； ②当 AB＝AM 时，M(0，－3)； ③当 AB＝BM 时，M(0，3＋3 2)或(0，3－3 2)． 所以点 M 的坐标为(0，0)，(0，－3)，(0，3＋3 2)或 (0，3－3 2)．

对于函数y=ax²+k
三：平移； 当k＜0时，是由y=ax²向 下 平移 k 个
单位得到的Байду номын сангаас 当k＞0时，是由y=ax²向 上 平移 k 个
单位得到的。
你可以一句话来总结平移法则吗？
巩固练习
课本P13页2,3题
本课小结
这节课，你学会了什么？
布置作业
九年级 数学 沪科版
21.2.3 二次函数y=ax²+k的图象和性质
黉学英才中学 程航
知识回顾
问题 二次函数 y = ax 2 的图象具 有什么特点？它有什么特殊的性 质？
新课学习
问题: 类比 y = ax 2 的研究内容和研究方 法，画出二次函数y=2x²，y = 2x 2 + 1， y = 2x 2 - 1 的图象，并思考它们的图象有什么相 同与不同．
x
-2 -1 0 1 2
y=2x2
8
2
0
2
8
y=2x2+1
9
3
1
3
9
y=2x2-1 7
1 -1
1
7
y
8
6 4
2
-4 -2 0 2 4 x
-2
自主练习
课本P12页练习1
知识总结
对比刚才我们一起学习的一组图象以及刚 才你们自己画的，请总结 y=ax²+k 的图象的 性质并完成填空。
对于函数y=ax²+k
一：当a＞0时，图象开口 向上 ；对称轴是 y轴（直线x=0）； 当x=0时，函数有最 小 值，最小 值是y= k ；顶点坐标是（ 0 ， k ）； 当x＜ 0 时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y 随x的增大而 增大 。

及最值.（重点） 3.会根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象.
第三页，共二十页。
新课导入
前面我们已经学习了二次函数y=ax2的图象和性质，同 学们能说出二次函数y=ax2的图象的开口方向、大小、对称轴、
顶点坐标、最值、以及增减性吗？今天我们将学习只有二次项和
常数项的二次函数y=ax2+k的图象和性质.
随x的增大而增大，因为x1= >0，x2=2>0，x1<x2，所以y1<y2，又
所以点C(
，y3)到对称轴的距离大于点B(2，y2)到对称轴的距离
，所以y2<y3，所以y3>y2>y1.
第十五页，共二十页。
课堂小结 二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与系数a,b,c及b2-4ac的符号之间的关系:
y=ax2+bx+c (a≠0)
配方试试
二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 通过配方可以转化成 y=a(x+h)2+k形式.
第九页，共二十页。
新课讲解
结论
几何性质：
（1）抛物线y＝ax2＋k开口方向由a决定，当a>0时
，开口向上，当a<0时，开口向下；
（2）对称轴是y轴；
（3）顶点坐标是（0，k）；
（4） 决定了抛物线的开口大小.
a
第十页，共二十页。
新课讲解
练一练
1 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交点的个数
是( ) C
A．3
B．2
C．1
D．0
第十一页，共二十页。
新课讲解
知识点2 二次函数y=ax2+k的性质 思考： 观察二次函数y＝2x2－1与y＝2x2+1的图象，当x＜0

1．(4 分)抛物线 y＝21(x＋2)2 的开口向_上___， 对称轴是___x_＝__－__2___，顶点坐标是_(4 分)将抛物线 y＝2(x－1)2 向左平移 1 个单位后得到的新抛物线 的关系式为_y__＝__2_x_2 __．
3．(4 分)把抛物线 y＝x2 向右平移 1 个单位，所得抛物线的函数表
8．(4 分)在平面直角坐标系中，函数 y＝－x＋1 与 y＝－32(x－ 1)2 的图象大致是( D )
9．(8 分)已知抛物线 y＝a(x－h)2 的对称轴为 x＝－2，且过点(1，－3)． (1)求抛物线的解析式； (2)画出函数的图象； (3)从图象上观察，当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？当 x 取何值时， 函数有最大值(或最小值)? 解：(1)y＝－13(x＋2)2 (2)略 (3)当 x＜－2 时，y 随 x 的增大而增大， 当 x＝－2 时函数有最大值 0
x___＜__－__h___ 时，y随x的增大而减小，当x＝_－__h_时，y最___小__值___＝__0__；当a＜0时，抛物
线的开口向__下__，当x___＜__－__h__时，y随x的增大而增大，当x__＞__－__h__时，y 随x的增大而减小，当x＝_－__h_时，y最_大__值___＝__0__．
21.2.2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
第2课时 二次函数y＝a(x＋h)2的图象和性质
1．抛物线y＝a(x＋h)2的对称轴是__x_＝__－__h__，顶点坐标是__(－__h_，__0_)_，当a ＞0时，抛物线的开口向上____，当x___＞__－__h___时，y随x的增大而增大；当
谢谢观赏
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我们，还在路上……