知识点032 点和圆的位置关系,两圆的位置关系2016A

九年级点与圆的位置关系知识点我们生活中到处都是点和圆，而点与圆之间的位置关系是数学中非常重要的一个知识点。

在九年级的数学课程中，我们将学习点与圆的位置关系，探索它们之间的奥妙。

1. 点在圆内：当一个点位于一个圆的内部时，我们称它为圆的内点。

圆的内点与圆心之间的距离小于半径的长度。

这意味着，无论内点与圆的任何一点相连，线段的长度都小于半径。

这个性质对于我们判断几何图形的位置关系尤为重要。

2. 点在圆外：当一个点位于一个圆的外部时，我们称它为圆的外点。

圆的外点与圆心之间的距离大于半径的长度。

同样地，我们可以利用这个特性来推断几何图形的位置关系。

3. 点在圆上：当一个点位于一个圆上时，我们称它为圆的边点。

边点与圆心之间的距离等于半径的长度。

这意味着边点与圆心之间的连线就是圆的半径。

此外，边点还有一个特殊的性质，就是任何通过边点的直径都可以被边点所分成两段相等的弧。

4. 内切圆和外切圆：在九年级，我们还将学习内切圆和外切圆这两个重要的概念。

内切圆是指一个圆恰好与多边形的边相切，且圆的圆心位于多边形的内部。

外切圆则是指一个圆恰好与多边形的边相切，且圆的圆心位于多边形的外部。

通过这些概念，我们不仅可以研究多边形与圆的位置关系，还能够解决一些实际问题。

例如，我们可以利用内切圆和外切圆来设计最大面积或最小周长的形状。

5. 点与圆的判定问题：在九年级的数学课程中，我们还会学习如何判定一个点与一个已知圆的位置关系。

这需要我们掌握一些重要的定理和方法。

例如，切线定理可以帮助我们判断一个直线与圆的位置关系，弦切角定理则可以用来判断两条弧的位置关系。

此外，我们还可以使用勾股定理和三角形相似性来解决一些点与圆的位置关系问题。

在学习点与圆的位置关系时，我们不仅仅停留在理论层面，更要加强实际应用。

数学在现实生活中的应用非常广泛，点与圆的位置关系也不例外。

例如，我们可以利用圆与点的位置关系来设计游乐场、车辆行驶轨迹等等。

通过深入理解点与圆的位置关系，我们可以更好地认识和应用数学知识。

圆与圆的位置关系(解析版)圆与圆的位置关系（解析版）圆与圆的位置关系是几何学中常见的问题。

在解析几何中，我们可以通过方程和图形的分析来确定两个圆之间的位置关系。

本文将详细介绍圆与圆的位置关系及其解析方法。

I. 两个圆的位置关系当给定两个圆的方程时，我们可以通过以下几种情况来判断它们的位置关系：1. 相离(disjoint)如果两个圆不相交，它们互相分离，也就是说没有公共点。

我们可以通过计算它们的半径之和和两个圆心之间的距离来判断。

如果半径之和小于圆心之间的距离，即 r1 + r2 < d，那么两个圆相离。

2. 外切（tangent exterior）如果两个圆的外部只有一个公共点，我们称它们相切于外部。

这意味着两个圆心之间的距离等于它们的半径之和，并且没有其他公共点。

我们可以通过计算两个圆心之间的距离和两个圆的半径之和来判断。

如果半径之和等于圆心之间的距离，即 r1 + r2 = d，那么两个圆相切于外部。

3. 内切（tangent interior）如果两个圆的内部只有一个公共点，我们称它们相切于内部。

这意味着两个圆的半径之差等于它们的圆心之间的距离，并且没有其他公共点。

我们可以通过计算两个圆的半径之差和两个圆心之间的距离来判断。

如果圆心之间的距离等于半径之差，即 d = |r1 - r2|，那么两个圆相切于内部。

4. 相交（intersect）如果两个圆有两个公共点，我们称它们相交。

这意味着两个圆心之间的距离小于半径之和，并且有两个公共点。

我们可以通过计算两个圆心之间的距离和两个圆的半径之和来判断。

如果半径之和大于圆心之间的距离，即 r1 + r2 > d，那么两个圆相交。

II. 解析方法在解析几何中，我们可以利用两个圆的方程来求解它们的位置关系。

假设第一个圆的方程为(x - h1)^2 + (y - k1)^2 = r1^2，第二个圆的方程为(x - h2)^2 + (y - k2)^2 = r2^2，其中(h1, k1)和(h2, k2)分别代表两个圆的圆心坐标，r1和r2分别代表两个圆的半径。

一、选择题1. (2016浙江衢州，9，3分)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sin ∠E 的值为( ) A.12【答案】A.【逐步提示】要求sin ∠E 的值，可寻求直角三角形，或求得∠E 的大小即可，于是由EC 是⊙O 的切线，此时可连接OC ，得到OE ⊥CE ，即△ECO 是直角三角形，且∠ECO ＝90°，又由OA ＝OC ，∠A ＝30°，得到∠EOC ＝60°，从而有∠E ＝30°，进而求解.【解析】连接OC ，∵EC 是⊙O 的切线，∴OE ⊥CE ，即△ECO 是直角三角形，且∠ECO ＝90°，又∵OA ＝OC ，∠A ＝30°，∴∠EOC ＝60°，即∠E ＝30°，∴sin ∠E ＝sin ∠30°＝12，故选择A . 【解后反思】利用圆的切线性质求得∠E 的大小是求解问题的关键. 【关键词】圆的切线、锐角三角函数(2016浙江台州，10，4分)如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是( ) A ．6 B ．1132 C ．9 D ．332【答案】C【逐步提示】第一步：不在圆上的一个点和圆上的一个点，求最长距离、最短距离的方法都是把不在圆上的那个点和圆心相连接画直线，那么与圆会有两个交点，如图1，PB 的长度就是最短离，PC 的长度就是最长距离.本题中P 、Q 都是动点，通过观察可以判断当P 与B 重合，如图2的位置，PQ 最长，如图3，过点O ，作OP ⊥BC 时，PQ 最短.第二步：在图2中，先求出OB 的长度，作OM ⊥AC ，利用中位线的性质，求出OM 的长度，就求出了圆的半径,由PQ ＝OB ＋OQ 即可算出PQ 的最长长度；在图3中，连接OC ，由等腰三角形三线合一，可以求出BP 的长度，再由勾股定理求出OP 的长度，由PQ ＝OP –OQ 即可算出PQ 的最短长度；把两者相加，就求出了PQ 长的最大值与最小值的和.第10题图1【解析】 如图2，当P 与B 重合时，作射线PO 交半圆于点Q ，则PQ 最长， 作OM ⊥AC ，∵△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6， ∴△ABC 是直角三角形，且∠C ＝90°， ∴OM// BC∵O 是AB 中点， ∴OM ＝3，OB ＝5， ∴最长PQ ＝8，如图3，作OP ⊥BC ，PQ 最短 连接OC ，∵Rt △ABC ，O 是AB 中点，AB ＝10， ∴OC ＝OB ＝5， ∴132BP BC ==∴4OP =， ∴最短PQ ＝OP –OQ ＝4–3＝1， ∴8＋1＝9. 故答案为C .【解后反思】构图能力很重要，只有熟练掌握不在圆上的一个点和圆上的一个点，求最长距离、最短距离的方法，才能想到怎么去画图，这是解这一题的基础，把图想好了，下面的解题都不难了. 【关键词】点和圆的位置关系 ；中位线；等腰三角形的判定与性质；勾股定理； 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.图3(P )图2图3(P )图212. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.二、填空题1. （ 2016山东泰安，22，3分）如图，半径为3的⊙O 与Rt △AOB 的斜边AB 切于点D ，交OB 于点C ，连接CD 交直线OA 于点E ，若∠B ＝30°，则线段AE 的长为 .【逐步提示】本题考查了切线的性质及解直角三角形，解题的关键是利用切线的性质构造直角三角形求解．连接OD ，因为AB 切⊙O 于D ，所以OD ⊥AB ，又知道半径为3，∠B ＝30 °，所以∠DOC ＝60 °，OB ＝2OD，所第22题图以△COD 为等边三角形，∠OCD ＝60 °，然后在Rt △AOB 中利用tan30°＝OAOB求出OA ，在Rt △COE 中利用tan60°＝OEOC求出OE ，OE －OA 即为AE ． 【详细解答】解：连接OD ，∵AB 切⊙O 于D ，∴OD ⊥AB ，∵∠B ＝30 °，OD ＝3，∴OB ＝2OD ＝6，∠DOC ＝60 °，∵OD ＝OC ，∴△COD 为等边三角形，∴∠OCD ＝60 °， 在Rt △AOB ，tan B ＝OA OB 6OA ＝，∴OA＝Rt △COE 中，tan ∠OCE ＝OE OC， 3OE＝，∴OE＝AE ＝OE －OA＝【解后反思】解答本题时易出现以下错误：利用特殊角的锐角三角函数值计算时出现错误，一定要熟记特殊角的【关键词】 切线的性质；特殊角三角函数值的运用．2. （2016山东淄博，17，4分）如图，⊙O 的半径为2，圆心O 到直线l 的距离为4．有一内角为60°的菱形，当菱形的一边在直线l 上，另有两边所在的直线恰好与⊙O 相切，此时菱形的边长为 .【答案】【逐步提示】本题考查切线的性质，菱形，解直角三角形，解题关键是掌握相关图形的性质，并能灵活添加辅助线. 先画出符合题意的图形，再添加辅助线求解即可. 过点O 作直线l 的垂线，交AD 于E ，交BC 于F ，过点A 作AG ⊥l 于G . 根据题意求出EF 的长，得到AG 的长，最后利用三角函数计算即可．【详细解答】解：过点O 作直线l 的垂线，交AD 于E ，交BC 于F ，过点A 作AG ⊥l 于G ，第22题图由题意得，EF =2+4=6.∵四边形AGFE 为矩形，∴AG =EF =6. 在Rt △ABG 中，AB =sin AG B=．故填【解后反思】本题考查切线的性质和菱形的性质，根据题意正确画出图形、灵活运用解直角三角形的知识是解题的关键．【关键词】切线的性质，菱形，解直角三角形.3. （ 2016四川泸州，16，3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A （1,0），B （1-a,0）,C(1+a ，0)(a ＞0)，点P 在以D （4,4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a 的最大值是_______.【答案】6【逐步提示】连接AD 并延长交⊙D 与点P ，则此时a 的值最大.然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，以及勾股定理的知识求出AP 的长，从而求出a 的最大值.【详细解答】解：如图：连接AD 并延长交⊙D 与点P ，过点D 作D E ⊥x 轴，则DE=4，AE=3，所以AD=5，所以AP=6，又因为点A 是BC 的中点，且∠BPC=90°所以AP=AC=AB=6,所以OC=7,又因为点C （1+a ，0），所以1+a=7，所以a=6，故答案为6.【解后反思】确定出点P 在什么位置时a 的值最大是解决本题的关键.由于直接三角形斜边的中线等于斜边的一半，所以当AP 最大时，a 的值最大，从而确定出点P 的位置.【关键词】直角三角形斜边的中线等于斜边的一般；勾股定理；直线和圆的位置关系 4. 5. 6. 7. 8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答题1.．（2016山东东营，21，8分）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD=∠ACB．(1)求证：AB是圆的切线；(2)若点E是BC上一点，已知BE=4，tan∠AEB=53，AB∶BC=2∶3，求圆的直径．【逐步提示】(1)由圆周角定理的推论得出∠ACB+∠DBC=90°，再由∠ABD=∠ACB，等量代换得出AB⊥BC，即AB是圆的切线．(2)在Rt△AEB中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再由AB∶BC=2∶3，求出BC 的长，即圆的直径．【详细解答】解：（1）证明：∵BC是直径，∴∠BDC=90º，∴∠ACB+∠DBC=90º， 又∵∠ABD=∠ACB ， ∴∠ABD+∠DBC=90º，∴AB ⊥BC ， …………………………………………3分 又∵点B 在圆上，∴AB 是圆的切线. ……………………………………………..4分 （2）解：在Rt △AEB 中，tan ∠AEB=53， ∴53AB BE =，即AB=53BE=53×4=203，……………………………………………………6分在Rt △ABC 中，23AB BC =，∴BC=332010223AB =⨯=, …………………………………7分∴圆的直径为10. …………………………………………………………………………….8分【解后反思】解决与圆有关的问题，要充分关注与圆有关的条件带来的结论．常见的有以下几种：【关键词】切线的判定；锐角三角函数2. （2016山东菏泽，21，10分）如图，直角△ABC 内接于⊙O ，点D 是直角△ABC 斜边AB 上的一点，过点D 作AB 的垂线交AC 于E ，过点C 作∠ECP ＝∠AED ，CP 交DE 的延长线于点P ，连结PO 交⊙O 于点F ． （1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）若PC ＝3，PF ＝1，求AB 的长．【逐步提示】（1）由于点C 在⊙O 上，故连结OC ，只需证明OC ⊥PC ，这可通过角的等量转换，借助∠A ＋∠AED =90°得到；（2）在Rt △OCP 中利用勾股定理先求半径OC 的长，进而可得直径AB 的长． 【详细解答】解：（1）证明：如图，连结OC ．∵直角△ABC 内接于⊙O ，∴圆心O 是斜边AB 的中点． ∵OA =OC ，∴∠A =∠OCA ． ∵PD ⊥AB ，∴∠A ＋∠AED =90°．又∵∠ECP =∠AED ，∴∠A ＋∠ECP =90°，∴∠OCA ＋∠ECP =90°，即∠OCP =90°．B∴OC ⊥PC ，∴PC 是⊙O 的切线．（2）解：设⊙O 的半径为r ，由（1）得OC ⊥PC ，在Rt △OCP 中，根据勾股定理，得 OC 2＋PC 2=OP 2，即r 2＋32=( r ＋1)2，解得r =4． ∴直径AB 的长为8． 【解后反思】（1）判定圆的切线的方法有：①直线与圆只有一个公共点；②若已知直线与圆有公共点，则连结过该点的半径，证明这条半径与直线垂直；③若题意没有说明直线与圆有公共点，那么过圆心作该直线的垂线段，证明它等于半径．（2）相似三角形、勾股定理，等腰三角形，特殊四边形，锐角三角形函数等知识常融于圆中进行综合应用，证明角或线段相等以及求值问题，因此，遇到该类问题，多注意探究图形里面所蕴含的相似三角形与直角三角形，利用方程思想，联想相关知识则助于解证思路的沟通．【关键词】切线的判定与性质；勾股定理；等腰三角形的性质；解一元一次方程；方程思想 3. (2016山东威海，22，9)(9分)如图，在△BCE 中，点A 是边BE 上一点，以AB 为直径的⊙O 与CE 相切于点D ，AD ∥OC ，F 为OC 与⊙O 的交点，连接AF. (1)求证：CB 是⊙O 的切线；(2)若∠ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积.第22题图第22题图【逐步提示】(1)连接OD ，可证得∠CBO=∠CDO=90°，则OB ⊥BC ，从而说明CB 是⊙O 的切线；(2)OD 、AF 交于点G ，把图中阴影部分的面积通过“割”、“补”，使其转化规则图形。

点与圆的位置关系知识点总结概述及解释说明1. 引言1.1 概述在数学几何中，点与圆的位置关系是一种基础且重要的概念。

研究点与圆的位置关系可以帮助我们理解圆和其他几何图形之间的互动，进而应用于解决各种实际问题。

本文将总结和解释点与圆的位置关系知识点，包括点在圆内部、点在圆上以及点在圆外部的情况，同时还会介绍圆与圆的位置关系以及圆与直线的位置关系。

1.2 文章结构本文分为五个部分：引言、点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、圆与直线的位置关系以及结论。

下面将逐一介绍这些部分内容。

1.3 目的本文旨在提供一个清晰明了的知识总结和解释，并帮助读者对点与圆的位置关系有更深入和全面的理解。

通过学习这些知识，读者能够掌握各种不同情况下点与圆之间可能存在的几何关系，从而更好地解决相关问题。

此外，文章还将尝试给出一些实际应用场景，并探讨该知识对进一步学习的启示。

2. 点与圆的位置关系:2.1 点在圆内部:当一个点位于圆内部时，它到圆心的距离小于圆的半径。

可以通过以下步骤来判断点是否在圆内部：- 确定点的坐标以及圆心的坐标。

- 计算点与圆心之间的距离，可以使用勾股定理或者距离公式来计算。

- 如果计算得到的距离小于圆的半径，则可以得出结论，该点位于圆内部。

2.2 点在圆上:当一个点位于圆上时，它到圆心的距离等于圆的半径。

同样可以使用以上步骤来判断点是否在圆上：- 确定点的坐标以及圆心的坐标。

- 计算点与圆心之间的距离。

- 如果计算得到的距离等于圆的半径，则可以得出结论，该点位于圆上。

2.3 点在圆外部:当一个点位于圆外部时，它到圆心的距离大于圆的半径。

同样可以使用以上步骤来判断点是否在圈外部：- 确定点的坐标以及园心座標- 计算点与园心距离的值- 如果计算出的距离大于圓半徑，就可以得到结论说這个點在圓外部。

3. 圆与圆的位置关系:3.1 内切、外切和相交关系:在平面几何中，圆与圆之间有三种可能的位置关系。

内切关系：当两个圆恰好相切于一个点时，我们称它们为内切。

中考数学复习：圆和圆的位置关系
1、圆和圆的位置关系
如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

2、圆心距
两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

3、圆和圆位置关系的性质与判定
设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么
两圆外离d>R+r
两圆外切d=R+r
两圆相交R-r<d<R+r（R≥r）
两圆内切d=R-r（R>r）
两圆内含d<R-r（R>r）
4、两圆相切、相交的重要性质
如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

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圆与圆的位置关系知识点圆与圆的位置关系是数学中的一个重要概念，它描述了两个圆之间的相对位置。

在几何学中，我们常常遇到需要判断两个圆是否相交、相切或者相离的问题。

下面将介绍几种常见的圆与圆的位置关系，并给出相应的判定方法。

1. 相交关系：两个圆相交，意味着它们具有共同的交点。

判断两个圆是否相交的方法有多种，其中一种常用的方法是计算两个圆心之间的距离是否小于两个圆的半径之和。

如果两个圆心之间的距离大于半径之和，则两个圆相离；如果两个圆心之间的距离等于半径之和，则两个圆相切；如果两个圆心之间的距离小于半径之和，则两个圆相交。

2. 外切关系：两个圆外切，意味着它们的外切点相同。

判断两个圆是否外切的方法是计算两个圆心之间的距离是否等于两个圆的半径之和。

如果两个圆心之间的距离等于半径之和，则两个圆外切。

3. 内切关系：两个圆内切，意味着它们的内切点相同。

判断两个圆是否内切的方法是计算两个圆心之间的距离是否等于两个圆的半径之差的绝对值。

如果两个圆心之间的距离等于两个圆的半径之差的绝对值，则两个圆内切。

4. 相离关系：两个圆相离，意味着它们没有任何公共点。

判断两个圆是否相离的方法是计算两个圆心之间的距离是否大于两个圆的半径之和。

如果两个圆心之间的距离大于半径之和，则两个圆相离。

除了以上几种常见的圆与圆的位置关系外，还有一些特殊的情况需要特别注意：5. 同心圆：两个圆的圆心重合，这种情况称为同心圆。

同心圆的半径可以相等，也可以不相等。

6. 同径圆：两个圆的半径相等，但圆心不重合，这种情况称为同径圆。

7. 内含关系：一个圆完全包含在另一个圆内部，这种情况称为内含关系。

判断两个圆是否内含的方法是计算两个圆心之间的距离是否小于两个圆的半径之差的绝对值。

如果两个圆心之间的距离小于两个圆的半径之差的绝对值，则一个圆内含在另一个圆内部。

8. 外离关系：两个圆没有任何公共点，并且一个圆不包含在另一个圆内部，这种情况称为外离关系。

两圆位置关系
圆与圆的位置关系：外离、相切(内切和外切)、相交、内含。

在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。

一、设两个圆的半径为r和r，圆心距为d。

则存有以下五种关系：
1、d>r r 两圆外离; 两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。

2、d=r r 两圆外切; 两圆的圆心距离之和等同于两圆的半径之和。

3、d=r-r 两圆内切; 两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之差。

4、d＜r-r 两圆附带;两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之差。

5、d＜r r 两园相交;两圆的.圆心距离之和小于两圆的半径之和。

二、圆和圆的边线关系，还需用有没有公共点去推论：
1、无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。

2、存有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫做外切，在之内叫做内乌。

3、有两个公共点的叫相交。

两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

圆与圆的位置关系课件圆与圆的位置关系圆是几何学中的基本图形之一，它具有许多有趣的性质和特点。

而圆与圆之间的位置关系更是一个引人入胜的话题。

在本文中，我们将探讨圆与圆之间可能的位置关系，并深入研究每一种情况下的性质和特点。

1. 相交首先，我们来讨论两个圆相交的情况。

当两个圆相交时，它们的边界上有一些共同的点。

这些共同的点被称为交点。

两个圆相交的情况可以分为三种：相交于两个点、相交于一个点和相切。

当两个圆相交于两个点时，它们的边界将形成一个弧。

这个弧的长度与两个圆的半径和它们之间的距离有关。

当两个圆的半径相等时，它们的交点将位于它们的中垂线上。

当两个圆相交于一个点时，它们的边界将形成一个切点。

这个切点位于两个圆的公共切线上。

两个圆的切点之间的距离等于它们的半径之差。

当两个圆相切时，它们的边界将有一个共同的切点。

这个切点位于两个圆的公共切线上。

两个圆的切点之间的距离等于它们的半径之和。

2. 不相交接下来，我们来讨论两个圆不相交的情况。

当两个圆不相交时，它们的边界没有交点。

这种情况下，两个圆之间的距离将大于它们的半径之和。

在不相交的情况下，两个圆之间可能存在四种位置关系：内离、外离、内切和外切。

当两个圆内离时，它们的边界之间有一段距离。

这段距离大于两个圆的半径之和。

当两个圆外离时，它们的边界之间也有一段距离。

这段距离大于两个圆的半径之和。

当两个圆内切时，它们的边界之间有一条公共切线。

这条公共切线同时也是两个圆的切线。

当两个圆外切时，它们的边界之间也有一条公共切线。

这条公共切线同时也是两个圆的切线。

3. 包含最后，我们来讨论一个圆包含另一个圆的情况。

当一个圆完全包含另一个圆时，它们的边界之间没有交点。

这种情况下，一个圆的半径必须大于另一个圆的半径，并且它们的圆心之间的距离小于两个圆的半径之差。

在包含的情况下，一个圆将成为另一个圆的内切圆。

内切圆与外切圆有一些特殊的性质，例如内切圆的半径等于两个圆的半径之差。

一、选择题1.（2012广西桂林，7，3分）已知两圆半径为5cm和3cm，圆心距为3cm，则两圆的位置关系是（）A.相交B.内含C.内切D.外切R,与d之间的关系是关键.考点解剖：此题考查的是圆与圆的位置关系；找到r解题思路：已知圆心距和两圆的半径，根据圆心距和半径之间的关系即可判断出两圆的位置关系．解答过程：解：由题意知两圆的圆心距为3cm，两圆的半径分别是5cm和3cm，所以圆心距在两圆半径之和与两圆半径之间，所以两圆相交，故选A．答案：A规律总结：本题主要考查圆与圆的位置关系，当0≤d＜R-r时，两圆内含，当d=R-r时，两圆内切，当R-r＜d＜R+r时，两圆相交，当d=R+r时，两圆外切，当d＞R+r时，两圆外离．关键词：圆与圆的位置关系2.（2012湖南常德，13，3分）若两圆的半径分别为2和4，且圆心距为7，则两圆的位置关系为（）A．外切B．内切C．外离D．相交考点解剖：本题考查了圆与圆的位置关系，明确两圆半径R、r、圆心距d的之间的关系是关键．解题思路：先计算两圆的半径之和，与圆心距比较大小即可．解答过程：因为2＋4＝6，又因为7>6，所以两圆的位置关系为外离．故选C．规律总结：圆与圆的位置关系有5种，外离、外切、相交、内切、内含．具体体现为两圆半径R、r、圆心距d的关系是：（1）两圆外离⇔d＞R＋r；（2）两圆外切⇔d＝R＋r；（3）两圆相交⇔R－r＜d＜R＋r（R≥r）；（4）两圆内切⇔d＝R－r（R＞r）；（5）两圆内含⇔d＜R－r（R＞r）．关键词：圆与圆有关的位置关系圆与圆的位置关系3.（2012江苏宿迁，7，3分）已知⊙O1，⊙O2的半径是r1＝2，r2＝4，圆心距d＝5，则这两圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离考点解剖：本题主要考查两圆之间的位置关系，利用两圆的半径与圆心距之间的数量关系来判断其位置关系，就易解答．解题思路：先计算两半径之和与两圆半径之间，再与圆心距d进行比较，最后根据两圆之间的五种位置关系下的两半径、圆心距之间的数量关系相对照，即可得到答案．解答过程：解：∵⊙O1，⊙O2的半径是r1＝2，r2＝4，圆心距d＝5∴r2－r1＜d＜r1＋r2∴⊙O1与⊙O2相交．∴选B．规律总结：圆与圆的位置关系的判定通常有两种方法，一种是两圆的位置关系的定义，另一种是通过数量关系来判断位置关系，即两圆的半径与两圆圆心距之间的数量关系来判断其位置关系：设⊙O1，⊙O2的半径分别是R、r（R≥r），圆心距是d，则有：两圆内含⇔d＜R－r；两圆内切⇔d＝R－r；两圆相交⇔R－r＜d＜R＋r；两圆外切⇔d＝R＋r；两圆外离⇔d＝R＋r．其中第二种方法可以用数轴法快速记忆如下：R ＋r 外离相交内含关键词：圆与圆的位置关系的判定 半径 圆心距4. （2012烟台，10，3分）如图，⊙O 1，⊙O ，⊙O 2的半径均为2cm ，⊙O 3，⊙O 4的半径均为1cm ，⊙O 与其他4个圆均相外切，图形既关于O 1O 2所在直线对称，又关于O 3O 4所在直线对称，则四边形的面积为A.12cm 2B.24cm 2C.36cm 2D.48cm 2考点解剖：本题主要考查了菱形的面积公式， 相切两圆的连心线必过切点 ，两圆外切时圆心距与两圆半径之间的关系、轴对称图形的性质，解题思路：利用对称性首先得到四边形O 1O 4O 2O 3是菱形，再由两圆的连心线必过切点得出O 1O 2，O 3O 4的长度，再利用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半做出选择.解答过程：连接O 1O 2，O 3O 4则O 1O 2，O 3O 4必过O 点∵图形既关于O 1O 2所在直线对称，又关于O 3O 4所在直线对称，∴四边形为菱形∵O 1O 2＝8cm O 3O 4＝6cm∴S ＝21O 1O 2²O 3O 4＝21³8³6＝24cm ² 故选B 答案：B规律总结：把菱形面积和圆相关知识结合起来，此题涉及到的知识点多，需要全面掌握相关知识.关键词：菱形面积 圆外切 轴对称 圆心距 半径5. （2012成都，7，3分）已知两圆外切，圆心距为5cm ，若其中一个圆的半径是3cm ，则另一个圆的半径是（ ）A ． 8cmB ．5cmC ．3cmD ．2cm考点解剖：本题考查了圆与圆的位置．掌握圆与圆的位置关系与数量关系之间的联系是关键.解题思路：根据两圆外切时圆心距等于两圆的半径的和，建立关于另一个圆的半径的方程.解答过程：解：∵两圆外切时，21r r d +=,3,51==r d ∴2352=-=r ；故选D ．规律总结：圆与圆存在5种位置关系:（第10题图）(1)两圆外切d＝R+r；(2)两圆内切d＝R-r (R＞r);(3)两圆外离d＞R+r；(4)两圆内含d＜R-r(R＞r);(5)两圆相交R-r＜d＜R+r．关键词：圆圆与圆的位置关系6.（2012四川乐山，6，3分）⊙O1的半径为3厘米，⊙O2的半径为2厘米，圆心距O1O2＝5厘米，这两圆的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切考点解剖：本题考查了圆与圆的位置关系. 掌握两圆位置关系的判定，是解决问题的关键.解题思路：根据圆心距与两圆半径和与差之间关系，可确定两圆之间的位置关系.解答过程：解：因为⊙O1的半径为3厘米，⊙O2的半径为2厘米，而圆心距O1O2＝5厘米=⊙O1的半径+⊙O2的半径，所以两圆外切，故选D．规律总结：圆与圆之间通常有5种位置关系，设两圆的半径分别为R，r，圆心距为d．若d＞R+r，则两圆外离；若d=R+r，则两圆外切；若R－r＜d＜R+r，则两圆相交；若d=R－r(R＞r)，则两圆内切；若d＜R－r(R＞r)，则两圆内含．关键词：圆与圆的位置关系．7.（2012四川南充10,3分）如图，平面直角坐标系中，⊙O半径长为1．点P（a，0），⊙P的半径长为2，把⊙P向左平移，当⊙P与⊙O相切时，a的值为（A）3（B）1（C）1，3（D）±1，±3考点解剖：本题考察的是圆和圆的位置关系.解题思路：圆与圆相切分两种情况：外切和内切，当两圆外切时，利用d＝R＋r解决，当两圆内切时，利用d＝R－r（R＞r）解决.解答过程：当两圆外切时，a＝1＋2＝3，∴a＝±3；当两圆内切时，a＝2－1＝1，∴a＝±1．故选D．规律总结：在解决两圆位置关系问题时，运用d、R、r关系是根本，设两个圆的半径分别为R和r，当d＞R+r 时，两圆外离；当d＜R-r时，两圆内含；当d＝R+r时，两圆外切；当d＝R-r时，两圆内切；当R+r＞d＞R-r 时，两圆相交．关键词：圆与圆的位置关系．8.（2012浙江杭州，2，3分）若两圆的半径分别为2cm和6cm，圆心距为4cm，则这两圆的位置关系是( )A.内含B.内切C.外切D.外离考点解剖：本题考查了两圆的位置关系的判定，知道每种位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系的对应关系是思维的切入点.解题思路：先计算两半径之和与两半径之差的绝对值，再与圆心距比较，由数量关系确定位置关系.解答过程：解：∵6－2＝4，∴这两个圆内切.选B．规律总结：设两圆半径分别为R和r,圆心距为d，则：9.（2012浙江温州，7，4分）已知⊙O 1与⊙O 2外切，O 1O 2＝8cm ，⊙O 1的半径为5cm ，则⊙O 2的半径是（ ）A ．13cmB ．8cmC ．6cmD ．3cm考点解剖：圆与圆的位置关系．解题思路：根据两圆半径之和等于圆心距解答．解答过程：∵⊙O 1与⊙O 2外切，∴O 1O 2＝R 1＋R 2,即5＋R 2＝8，解得R 2＝3．故选D ．规律总结：⊙O 1与⊙O 2外离<＝>O 1O 2＞R 1＋R 2；⊙O 1与⊙O 2外切<＝>O 1O 2＝R 1＋R 2；⊙O 1与⊙O 2相交<＝>|R 1－R 2|＜O 1O 2＜R 1＋R 2；⊙O 1与⊙O 2内切<＝>O 1O 2＝|R 1－R 2|；⊙O 1与⊙O 2内含<＝>O 1O 2＜|R 1－R 2|．关键词：圆与圆的位置关系，圆心距．10. （2012福建福州，8，4分）⊙1O 和⊙2O 的半径分别是3c m 和4c m ，如果cm O O 721=，则这两圆的位置关系是（ ）A ．内含B ．相交C ．外切D ．外离考点解剖：本题考查两圆的位置关系，主要是根据两圆的半径和圆心距的数量关系，要判定两圆的位置关系. 关键是熟练掌握两圆的位置关系的判定方法.解题思路：先由两圆的半径及圆心距计算，两圆的半径和是7厘米，两圆的圆心距也是7厘米；再用两圆的数量关系判断两圆的位置关系是外切.解答过程：因为⊙1O 和⊙2O 的半径分别是3c m 和4c m ，cm O O 721=，所以两圆外切，故选C .答案：C规律总结：转化的数学思想，即把两圆的数量关系转化为位置关系，若两圆的半径分别是R 、r ，（R ＞r ）两圆心距为d ，则有：①两圆外离⇔R ＋r ＞d ；②两圆外切⇔R ＋r ＝d ；③两圆相交⇔R －r ＜d ＜R ＋r ；④两圆内切⇔d ＝R －r ；⑤两圆内11. (2012湖北宜昌，8，3分)球和圆柱在水平面上紧靠在一起，组成如图所示的几何体，托尼画出了它的三视图，其中他画的俯视图应该是( )A ．两个相交的圆B ．两个内切的圆C ．两个外切的圆D ．两个外离的圆考点解剖：本题考查了三视图，圆与圆的位置关系，会画几何图形的三视图是解题的关键．解题思路：先画出俯视图，再根据俯视图的特点找对应选项．解答过程：球体的俯视图是一个圆，圆柱的俯视视图也是一个圆，这两个紧靠在一起的几何体的俯视图是两个外切的圆，故选C ．规律总结：三视图包括主视图、左视图和俯视图，主视图主要反映物体的长和高，左视图主要反映物体的宽和高，俯视图主要反映物体的长和宽．圆与圆的位置关系包括五种：外离、外切、相交、内切、内含．关键词：三视图，圆与圆的位置关系12. （2012江苏扬州，4，3分）已知⊙1O 、⊙2O 的半径分别为3 cm 、5 cm ，且它们的圆心距为8 cm ，则⊙1O 与⊙2O 的位置关系是（ ）A ．外切B ．相交C ．内切D ．内含考点解剖：本题考查了用数量关系来确定两圆的位置关系，掌握两圆位置关系与两圆半径和圆心距之间的数量关系是解题关键所在.解题思路：先找到两圆半径的和3+5、半径的差5－3与两圆圆心距8之间的数量关系，再由数量关系判断出位置关系.解答过程：解：∵3,5,8r cm R cm d cm ===，∴d r R =+，∴两圆内切；故选A ．规律总结：两圆的位置关系是由两圆的半径和圆心距之间的数量关系决定的．设两圆的半径为R ，r （R ＞r ），圆心距为d :①两圆外离⇔d ＞R +r ；②两圆外切⇔d ＝R +r ；③两圆相交⇔R －r ＜d ＜R +r ；④两圆内切⇔d ＝R －r ；⑤两圆内含⇔d ＜R －r ．解题时要先找出d 、R +r 、 R －r 三个量，然后再进行比较即可．关键词：圆与圆的位置关系 数形结合思想13. （2012山东省德州，3，3分）如果两圆的半径分别为6和4，圆心距为10，那么这两圆的位置关系是（ ）A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切考点解剖：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握圆与圆的位置关系与数量关系间的联系是解此题的关键． 解题思路：知两圆半径，可求出半径的和与差，再与圆心距作比较，由数量关系来判断位置关系.解答过程：根据⊙O 1与⊙O 2的半径分别为6和4，得出R ＋r ＝10，∵O 1O 2＝10，∴得出⊙O 1与⊙O 2的位置关系是外切．故选：D ．规律总结：两圆位置关系与数量关系间的联系：外离，则P ＞R ＋r ；外切，则P ＝R ＋r ；相交，则R ﹣r ＜P ＜R ＋r ；内切，则P ＝R ﹣r ；内含，则P ＜R ﹣r ．（P 表示圆心距，R ，r 分别表示两圆的半径）．利用此关系，可由R 、r 、P 之间的数量关系来确定位置关系；反过来，由位置关系可确定上面三个量中某个量的值或取值范围. 关键词：圆与圆的位置关系14. （2012上海市，6，4分）如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两圆的关系是( )A .外离B .相切C .相交D .内含【答案】D考点剖析： 本题考察了两圆位置关系的判定，需要学生掌握两圆位置关系的判定才能获得正确答案.解题思路：两圆位置关系的判定：已知大圆半径为R ，小圆半径为r ，圆心距为d⑴ 两圆外离：d R r >+⑵ 两圆外切：d R r =+ ⑶ 两圆相交：R r d R r -<<+⑷ 两圆内切：d R r =- ⑸ 两圆内含：0d R r <<-解答过程： 根据两圆位置关系的判定，∵03624d <=<-= .所以本题选项为D ．规律总结： 判断两圆位置关系，首先考虑计算出两圆的圆心距，两圆半径差和两圆的半径之和．关键词： 两圆位置关系15. （2012四川攀枝花，7，3分）如图2，△ABC ≌ △ADE 且∠ABC=∠ADE, ∠ACB=∠AED,BC、DE 交于点O.则下列四个结论中，①∠1=∠2 ；②BC=DE；③△ABD ∽ △ACE；④A、O 、C 、E 四点在同一个圆上，一定成立的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个考点解剖：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质以及四点共圆的知识．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意找到相似三角形是解此题的关键．解题思路：由△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，根据全等三角形的性质，即可求得BC=DE，∠BAC=∠DAE，继而可得∠1=∠2，则可判定①②正确；由△ABC≌△ADE，可得AB=AD，AC=AE，则可得AB：AC=AD：AE，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，即可判定③正确；易证得△AEF∽△DCF与△AOF∽△CEF，继而可得∠OAC+∠OCE=180°，即可判定A、O、C、E四点在同一个圆上．解答过程：解：∵△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，∴∠BAC=∠DAE，BC=DE，故②正确；∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠1=∠2，故①正确；∵△ABC≌△ADE，∴AB=AD，AC=AE，∴AB ADAC AE=,∵∠1=∠2，∴△ABD∽△ACE，故③正确；∵∠ACB=∠AEF，∠AFE=∠OPC，∴△AFE∽△OFC，∴AF EFOF CF=,∠2=∠FOC，即A F E FO F C F=,∵∠AFO=∠EFC，∴△AFO∽△EFC，∴∠FAO=∠FEC，∴∠EAO+∠ECO=∠2+∠FAO+∠ECO=∠FOC+∠FEC+∠ECO=180°，∴A、O、C、E四点在同一个圆上，故④正确．故选D．规律总结：要判断两个三角形相似，先从图形中感知两个三角形是否形状一样，然后在利用条件证明．关键词：相似三角形数形结合思想点与圆的位置关系16.（2012甘肃兰州，3，4分）已知两圆的直径分别为度2cm和4cm，圆心距为3cm，则这两圆的位置关系是（）A．相交B．外切C．外离D．内含考点解剖：本题考查了两圆的位置关系。

第2讲 与圆有关的位置关系模块一 点和圆的位置关系一、 点和圆的位置关系点和圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设O ⊙的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：点在圆外⇔d r >；点在圆上⇔d r =；点在圆内⇔d r <.二、确定圆的条件：1. 经过已知一个点A 的圆有无数个，且圆心排列无规律。

2. 经过已知两个点A,B 的圆也有无数个，且圆心在连接这两点的线段的垂直平分线上。

3. 经过不在同一条直线上的已知三个点A,B,C 的圆有且只有一个，圆心是连接任意两条线段的垂直平分线的交点。

三、三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．OA OB OC == 注意：锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.OCB A例题1（1）⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．点P在⊙O上或⊙O外（2）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是．练习：一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为．例题2小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块B．C．第③块D．第④块例题3若△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝24cm，则它的外接圆的直径．模块二直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系设O⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：二、切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．“经过圆心”、“经过切点”、“互相垂直”知二推一三、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．四、切线的判定方法1、定义法：圆只有一个公共点的直线是圆的切线；2、距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；3、定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．定义法 距离法 定理法五、切线长和切线长定理切线长：经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.,PA PB OPA OPB =∠=∠六、三角形的内切圆三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的的内心。

《点和圆的位置关系》知识全解课标要求探索并了解点与圆的位置关系.知识结构本节研究点与圆的位置关系，先引出点与圆的三种位置关系：点在圆外、点在圆上、点在圆内.用集合的概念解释圆的内部的点、圆上的点、圆的外部的点，即平面上一个圆将平面上的点分成三类，即圆上的点、圆内的点、圆外的点，这三类点各具有相同的性质.点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是互相对应的，即知道位置关系可确定数量关系，知道数量关系可确定位置关系.对于过三点作圆的问题，关键在于能否找到这样一个圆心，使它与三个已知点的距离相等，把这个问题与过两点作圆的问题联系起来理解.要明确过已知三点是否存在一个圆要看这三点的位置关系，只有当三个点不在同一直线上时，才有确定一个圆.对“经过同一直线上三点不能作圆”的问题，要把握反证法，这是一种间接的证法.内容解析点与圆的位置关系：（1）点P在圆上，点P到圆心的距离等于半径即：d=r；（2）点P 在圆外，点P到圆心的距离大于半径即：d＞r；（3）点P在圆内，点P到圆心的距离小于半径即：d＜r.平面上的点被圆分成了三类：（1）圆上的点；（2）圆外的点；（3）圆内的点.点与圆的位置关系可由点到圆心的位置确定；反过来，点到圆心的距离决定着点与圆的位置关系.点与圆的位置关系与点到圆心的距离时相互对应的.过一个点能作出无数个圆，过两点能作出无数个圆，过在同一直线上的三点不能作出一个圆，过不在同一直线的三点能作出惟一一个圆.重点难点重点是点与圆的三种位置关系及其确定，过不在同一直线上的三点确定一个圆.难点是反证法.教法导引使学生明确数与形之间的关系：数决定着形，形决定着数，数形之间有一一对应的关系.结合图形使学生明确“位置”与“数量”之间的对应关系.学法建议把握数量与位置的对应关系，建立起用位置决定数量，用数量决定位置的思路，举一反三解决问题.。