江苏省响水中学高考数学一轮复习 第3536课时 圆与圆的位置关系学案 文

圆和圆的位置关系教案圆和圆的位置关系（一）一、教学目标：（1）知识与技能目标：了解圆和圆之间的几种位置关系，理解两圆位置与两圆圆心距、半径的联系。

（2）过程与方法目标：观察两圆相对运动的过程，培养以运动变化的观点来观察问题，分析问题，解决问题的能力。

（3）情感态度与价值观目标：通过探索圆和圆的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维能力，体验数学活动的探索精神，感受数学的严谨性以及数学结论的确定。

二、教学重点和难点教学重点：：理解两圆位置与两圆圆心距、半径的联系。

教学难点：通过学生动手操作和互相交流探索出圆和圆之间的几种位置关系；及其两圆圆心距d，半径R和r数量关系的过程。

三、教材的处理和教法：圆和圆的位置关系主要讲和圆的位置关系，从直线和圆的位置关系为基础引入，，学生从实践中入手，采用观察、猜想、概括的方法直观地探索得到圆和圆的五种位置关系，从而实现从感性认识到理性认识的逐步深化当前素质教育的主流就是培养学生的能力，使学生学会学习，学会解决实际问题。

本节课以生活实例为中心，让学生亲自尝试，接受问题的挑战，充分展示自己的观点和见解，给学生创设一个宽松愉快的学习氛围，让学生体验成功的快乐，为终身学习和发展打下坚实的基础。

四、教学过程：本节课设计了六个活动：知识回顾、情景引入、探索新知、知识运用、课堂小结、布置作业。

活动一·知识回顾复习点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系。

（多媒体出示问题）教师提问：1：点与圆有哪几种位置关系?2：确定直线与圆的位置关系的方法是什么？请学生回答问题，教师补充总结。

为下一步运用类比的思想探索圆和圆的位置关系做好铺垫。

活动二·情景引入1：多媒体展示生活中反映圆与圆的位置关系的实例。

2：请学生再举出一些反映圆与圆的位置关系的实例。

让学生充分感受生活离不开圆，感受圆的美丽与神奇。

然后引入课题。

活动三·探究新知1：学生动手操作:让学生拿出课前准备好的两张半径不同的圆形纸片，把两张纸叠合在一起，固定其中一张而移动另一张，让学生在动手操作过程，观察圆与圆有哪几种位置关系?然后教师提问：（1）你能画出几种位置关系吗？每种位置关系中两圆有几个公共点？（2）你能否根据两圆公共点的个数类比直线和圆的位置关系定义，给出两圆的位置关系？教师展示学生们发现的两圆的不同位置关系的图形，借助多媒体师生共同讨论给出两圆的几种位置关系定义，并让学生根据两圆公共点个数进行分类。

第45课 直线与圆的位置关系(2)1. 能利用直线与圆的方程及其相关性质，解决直线与圆的简单综合问题.2. 掌握处理直线与圆的综合性问题的基本方法.3. 领悟并基本掌握“等价转化”“数形结合”等数学思想方法，会选择并掌握合理简捷的运算途径.1. 阅读：必修2第115～117页.2. 解悟：①进一步熟悉直线方程与圆的方程及其相互关系；②过圆上一点作圆的切线，有几条？能否写出圆的切线方程？若是过圆外一点呢？③研究直线与圆的位置关系，一般有哪些方法？④定点、定值问题有哪些基本方法？3. 践习：在教材空白处，完成必修2第128页复习题第12、14题，第129页复习题第26题.基础诊断1. 由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为7 .解析：由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，当直线上的点到圆心的距离最小，即圆心到直线的距离最小时，切线长也最小.因为圆心到直线的距离为|3＋1|2＝22，所以切线长最小为（22）2－1＝7.2. 过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为 1或177Ｗ.解析：将圆的方程化为标准方程得(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心为(1，1)，半径为r ＝1.又因为弦长为2，所以圆心到直线l 的距离d ＝1－⎝⎛⎭⎫222＝22.因为直线l 的斜率存在，设为k ，所以直线l ：y ＋2＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，所以|2k －3|k 2＋1＝22，解得k ＝1或k ＝177，故直线l 的斜率为1或177.3. 已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝⎛⎭⎫0<θ<π2，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则实数k ＝ 4 Ｗ.解析：因为圆O ：x 2＋y 2＝5，所以圆心O(0，0)，半径r ＝ 5.因为圆心O 到直线l 的距离d ＝1cos 2θ＋sin 2θ＝1<5，且r －d ＝5－1>1，所以圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为4，即k ＝4.4. 已知曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，点A(－2，0)，B(3，a)，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是 (－∞，－524)∪(524，＋∞) . 解析：由题意知过点A 的圆的切线方程的斜率存在，则设切线方程为y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，则圆心到切线的距离d ＝|3k|k 2＋1＝1，解得k ＝±24，所以过点A 的圆的切线方程为y ＝±24(x ＋2).当x ＝3时，y ＝±524，所以所求的a 的取值范围为(－∞，－524)∪(524，＋∞). 范例导航考向❶ 直线与圆相交的弦的问题例1 已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P(2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点.(1) 当直线l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2) 当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程； (3) 当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长.解析：(1) 因为圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C(1，0)，直线l 经过两点P ，C ， 所以直线l 的斜率为k ＝2－02－1＝2，所以直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2) 当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y－6＝0.(3) 当直线l 的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0， 则圆心C(1，0)到直线l 的距离为12.又圆的半径为3，所以弦AB ＝34.已知圆x 2＋y 2＝8内一点P(－1，2)，过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A ，B 两点.(1) 若α＝3π4，则AB ＝30 ；(2) 若弦AB 被点P 平分时，则直线l 的方程为 x －2y ＋5＝0 Ｗ.解析：(1) 因为α＝3π4，所以k AB ＝－1，所以直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y－1＝0，所以圆心O(0，0)到AB 的距离d ＝|0＋0－1|2＝22，则AB ＝28－12＝30. 解析：(2) 因为弦AB 被点P 平分，所以OP ⊥AB.又因为k OP ＝－2，所以k AB ＝12，所以直线l ：y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.考向❷ 定点、定值问题例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－3，4)，B(9，0)，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC ＝BD.(1) 若AC ＝4，求直线CD 的方程；(2) 求证：△OCD 的外接圆恒过定点.(异于原点O)解析：(1) 因为A(－3，4)， 所以OA ＝（－3）2＋42＝5.因为AC ＝4，所以OC ＝1，所以C ⎝⎛⎭⎫－35，45. 由BD ＝4，得D(5，0)，所以直线CD 的斜率为0－455－⎝⎛⎭⎫－35＝－17， 所以直线CD 的方程为y ＝－17(x －5)，即x ＋7y －5＝0.(2) 设C(－3m ，4m)(0<m ≤1)，则OC ＝5m ， 则AC ＝OA －OC ＝5－5m.因为AC ＝BD ，所以OD ＝OB －BD ＝5m ＋4， 所以点D 的坐标为(5m ＋4，0).又设△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则有⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，9m 2＋16m 2－3mD ＋4mE ＋F ＝0，（5m ＋4）2＋（5m ＋4）D ＋F ＝0，解得D ＝－(5m ＋4)，F ＝0，E ＝－10m －3，所以△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2－(5m ＋4)x －(10m ＋3)y ＝0， 整理得x 2＋y 2－4x －3y －5m(x ＋2y)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －3y ＝0，x ＋2y ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1， 所以△OCD 的外接圆恒过定点(2，－1).已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点.(1) 求证：△OAB 的面积为定值；(2) 设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程. 解析：(1) 由题意知圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t2， 化简得x 2－2tx ＋y 2－4ty ＝0.当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t ，0)； 当x ＝0时，y ＝0或4t ，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t ， 所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×|2t |×⎪⎪⎪⎪4t ＝4， 所以△OAB 的面积为定值. (2) 因为OM ＝ON ，CM ＝CN ， 所以OC 垂直平分MN . 因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12，所以k OC ＝12＝2t t ＝2t2，所以t ＝±2.当t ＝2时，圆心C (2，1)，半径r ＝OC ＝5， 此时点C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝55<5， 所以圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点；当t ＝－2时，圆心C (－2，－1)，半径r ＝OC ＝5， 此时点C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＝955>5，所以圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交，所以t ＝－2不符题意. 综上，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝ 5. 考向❸ 隐圆问题例3 如图，已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A(－5，0)，直线l ：3x －4y ＝0.(1) 求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；(2) 在直线OA 上(O 为坐标原点)，是否存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C 上任意一点P ，都有PBPA 为一常数.若存在，求出所有满足条件的点B 的坐标；若不存在，请说明理由.解析：(1) 由题意可设所求直线方程为4x ＋3y －b ＝0. 因为直线与圆相切， 所以|－b|42＋32＝3，得b ＝±15，所以所求直线方程为4x ＋3y ＋15＝0或4x ＋3y －15＝0. (2) 方法一：假设存在这样的点B(t ，0). 当点P 为圆C 与x 轴的左交点(－3，0)时， PB PA ＝|t ＋3|2； 当点P 为圆C 与x 轴的右交点(3，0)时， PB PA ＝|t －3|8. 依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得t ＝－5(舍去)或t ＝－95.下面证明点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任意一点P ，都有PBPA 为一常数. 设P(x ，y)，则y 2＝9－x 2，所以PB 2PA 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋952＋y 2（x ＋5）2＋y 2＝x 2＋185x ＋9－x 2＋8125x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝1825（5x ＋17）2（5x ＋17）＝925，所以PB PA ＝35为常数.方法二：假设存在这样的点B(t ，0)，使得PBPA 为常数λ，则PB 2＝λ2PA 2，设P(x ，y)，所以(x －t)2＋y 2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入，得x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)，即2(5λ2＋t)x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3，3]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0，解得⎩⎨⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－5(舍去)， 故存在点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任意一点P ，都有PB PA ＝35.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(0，3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1) 若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2) 若圆C 上存在点M ，使得MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解析：(1) 由题意知，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在.设过点A(0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3. 由题意得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2) 因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以设圆心C(a ，2a －4)，所以圆C 的方程为(x －a)2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M(x ，y)，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2， 化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0， 即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上. 由题意得点M(x ，y)也在圆C 上， 所以圆C 与圆D 有公共点，则2－1≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3. 整理，得－8≤5a 2－12a ≤0. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125， 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125. 自测反馈1. 过点(2，3)且与圆(x －3)2＋y 2＝1相切的直线方程为 x ＝2或4x ＋3y －17＝0 Ｗ. 解析：当切线的斜率不存在时，切线的方程为x ＝2，满足题意；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k ，则切线的方程为y －3＝k(x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0，由圆心(3，0)到切线的距离等于半径得|k ＋3|k 2＋1＝1，所以k ＝－43，切线方程为4x ＋3y －17＝0.综上，所求切线方程为x ＝2或4x ＋3y －17＝0.2. 若直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则实数k ＝ 1 .解析：由题意得圆C ：(x －1)2＋y 2＝4，因为直线l 过点M(0，1)，且被圆C 截得的弦最短，所以直线l 与直线CM 垂直，又k CM ＝－1，所以k ＝1.3. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a)2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是 －1 .解析：圆(x －1)2＋(y －a)2＝16的圆心坐标为C(1，a)，半径r ＝4，直线ax ＋y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －a)2＝16相交于A 、B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则圆心C 到直线ax ＋y －2＝0的距离为22，所以d ＝|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1.4. 在平面直角坐标系xOy 中，A(－12，0)，B(0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上.若PA →·PB →≤20，则点P 横坐标的取值范围是 [－52，1] .解析：设点P 坐标为(x ，y)，则PA →＝(－12－x ，－y)，PB →＝(－x ，6－y)，则PA →·PB →＝x 2＋y 2＋12x －6y ≤20.又因为x 2＋y 2＝50，所以PA →·PB →－20＝x 2＋y 2＋12x －6y －20＝50＋12x －6y －20≤0，即2x －y ＋5≤0，则点P 表示的轨迹在直线2x －y ＋5＝0的上方.又因为点P 在圆x 2＋y 2＝50上，由图易知，点P 的横坐标的取值范围是[x C ，x D ].由题意得x C ＝－52，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋5＝0，x 2＋y 2＝50，消去y 得x 2＋4x －5＝0，解得x 1＝－5，x 2＝1，即x D ＝1，所以点P 的横坐标的取值范围是[－52，1].1. 研究直线与圆的问题时，一般采用两种方法：一是利用几何特征转化为代数问题求解；二是利用方程组求解，前者是常用方法.2. 题中所给某些条件中往往隐含着重要的几何关系或几何性质，要注意挖掘和运用.3. 你还有哪些体悟，写下来：。

探究发现与新课讲授1、将学生的发现展示给大家后，教师让学生相互分析点评。

老师进行点拔。

2、老师用微机将两圆位置关系的动画与学生的发现进行对比。

（教师给予恰当的点评）3、让学生将两圆的五种位置关系进行分类，并让学生思考分类标准。

从而引导学生确定两圆位置关系的一种方法（交点个数）。

探究一圆与圆的位置关系问题1 圆与圆的位置关系与圆的哪些几何特征有关？问题2 在直角坐标系内，能否尝试画出几类圆与圆的位置关系，并探索圆的方程之间的关系？1、学生展示自己的成果，将自己的成果与他人的成果进行对比并互相点评。

2=学生分小组讨论在不给出图形的前题下，识别两圆位置关系的方法。

在经历“观察──猜测探索──验证──用”的过程.例题分析学生解答问题，板书展示促进学生对所学知识理解，同时为学生灵活应用所学内容做下了铺垫课堂练1．圆2220x y x+-＝和22+40x y y+=的位置关系是（）A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切2、学生根据题意自己培养学生分析问《圆与圆的位置关系》高中生学情分析我们教师的教学对象主体就是学生，所以对学情的分析，尤为重要，就像医生给病人看病一样，要了解病情，对症下药才，有良好的医疗效果。

下面就我选的这一课，进行以下几方面的学情分析。

学生对于圆与圆的位置关系有了感性的认识，也知道可以利用圆心距离d与两圆半径的关系判断圆与圆的位置关系.在初中学习时，圆与圆的位置关系是以结论性的形式呈现，在高中要求学生利用圆与圆的方程定量进行判断，解决问题的主要方是解析法,通过直线与圆位置关系的学习，对学生而言，学起来不会太困难。

学生刚刚学过直线和圆的位置关系，已具有一定的探究能力和探究经验。

高一的学生已经具有一定的逻辑思维能力，能够较独立地通过观察、实验、讨论研究解决一定的数学问题，但思维的抽象性、严谨性还有待提高，在代数法探究圆心距与两圆半径之间的数量关系时结论可能不太完整。

当然，学情的分析，还包括学生个人情绪，性格等方面的判断分析，教师要灵活的驾驭课堂，新课标要求以人为本，作为教师，当作为学生学习知识的指导者，引导他们以探究的方式去发现各种问题，研究解决自己发现的问题。

2019-2020年高考数学一轮复习圆与圆的位置关系教学案直线方程。

二、知识要点：2．设两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C ，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是 3．圆系方程①以点为圆心的圆系方程为 ②过圆0:22=++++F Ey Dx y x C 和直线的交点的圆系方程为③过两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C 的交点的圆系方程为 （ ） 三、课前热身：1．若圆042222=-+-+m mx y x 与圆08442222=-+-++m my x y x 相切，则实数的取值集合是 .2．两圆C 1：x 2+y 2+4x-4y+7=0与C 2：x 2+y 2-4x-10y+13=0的公切线有 条3．若圆1)()(222+=-+-b b y a x 始终平分圆的周长,则实数应满足的关系是 4．过点且与圆22:10100C x y x y +++=切于原点的圆的方程为 ． 四、典型例题：例1：两圆22221(4)()25x y x y a +=++-=和相切，试确定常数的值。

例2：已知一个圆经过直线与圆的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程．例3：已知圆221:2280C x y x y +++-=与222:210240C x y x y +-+-=相交于两点。

（1）求公共弦所在的直线方程；（2）求圆心在直线上，且经过两点的圆的方程； （3）求经过两点且面积最小的圆的方程。

例4：已知P (m ,n )（m ·n ≠0）是圆O ：和圆C ：外一点．（1）过点P 作圆O 的两切线PA 、PB ，如图①，试用m ，n 表示直线AB 的斜率； （2）过点P 分别向圆O ，圆C 引两条切线PA ，PB 和PM ，PN ，其中A ，B ，M ，N 为切点如图②，试在直线上求一点P ，使．五、课堂小结：六、感悟反思：1．已知圆：x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0与圆：x 2＋y 2＋2x －13＝0相交于P,Q 两点，则直线PQ 的方程为 ，公共弦PQ 的长为2．已知圆x 2+y 2+x+2y=和圆(x-sin)2+(y-1)2=, 其中0900, 则两圆的位置关系是 3．一个圆经过圆和圆的两个交点，且圆心在直线上，求该圆的方程．七、千思百练：1．设集合A={（x,y)|x 2＋y 2≤4},B={(x,y)|(x－1)2＋(y －1)2≤r 2(r ＞0)},当A∩B=B 时，r 的取值范围是2．已知圆与圆关于直线对称 ，则直线的方程是 .图①3．如果圆22222240x y ax ay a +--+-=与圆总相交，则实数的取值范 围4．过圆054222=--++y x y x 和直线的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_ 5．点P 在圆x 2+y 2-8x-4y+11=0上，点Q 在圆：x 2+y 2+4x+2y+1=0上，则|PQ|的最小值是 ；最大值是6．经过点，且与圆22:2650C x y x y ++-+=相切于点的圆的方程为 ．7．已知两圆(x －1)2+(y －1)2＝r 2和(x +2)2+(y +2)2＝R 2相交于P ,Q 两点，若点P 坐标为(1,2)，则点Q 的坐标为8．已知两圆相交于两点,两圆圆心都在直线上,则的值是9．若⊙与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是10．设有一组圆224*:(1)(3)2()k C x k y k k k -++-=∈N ．下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切 ②存在一条定直线与所有的圆均相交 ③存在一条定直线与所有的圆均不．相交 ④所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）11．已知两圆C 1：x 2+y 2+4x-4y-5=0，C 2：x 2+y 2-8x+4y+7=0。

4.2.2 圆与圆的位置关系整体设计教学分析本节课研究圆与圆的位置关系，重点是研究两圆位置关系的判断方法，并应用这些方法解决有关的实际问题.教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上结合前面学习的点与圆、直线与圆的位置关系，得到圆与圆的位置关系的几何方法，用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓，是平面几何问题的深化，它将是以后处理圆锥曲线的常用方法.因此，增加了用代数方法来分析位置关系，这样有利于培养学生数形结合、经历几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力，其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义.根据学生的基础，学习的自觉性和主动性，自主学习和探究学习能力，平时的学习养成的善于观察、分析和思考的习惯，同时由于本节课从内容结构与思维方法上与直线与圆的位置关系相似，学生对上节课内容掌握较好，从而本节课从学生学习的角度来看不会存在太多的障碍，因而教学方法可以是引导学生从类比直线与圆位置关系来自主研究圆与圆的位置关系.三维目标使学生理解并掌握圆和圆的位置关系及其判定方法.培养学生自主探究的能力.通过用代数的方法分析圆与圆的位置关系，使学生体验几何问题代数化的思想，深入了解解析几何的本质，同时培养学生分析问题、解决问题的能力，并进一步体会数形结合的思想.重点难点教学重点：求弦长问题，判断圆和圆的位置关系.教学难点:判断圆和圆的位置关系.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.平面几何中，圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下:第一步：计算两圆的半径R，r；第二步：计算两圆的圆心距O1O2，即d；第三步：根据d与R，r之间的关系，判断两圆的位置关系.两圆的位置关系：在解析几何中，我们用代数的方法如何判断圆与圆之间的位置关系呢？这就是我们本堂课研究的课题，教师板书课题圆与圆的位置关系.思路2.前面我们学习了点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，那么，圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？教师板书课题:圆与圆的位置关系.推进新课新知探究提出问题①初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几种？②判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？③你能在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？④根据你所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系.如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？⑤如何判断两个圆的位置关系呢？⑥若将两个圆的方程相减，你发现了什么？⑦两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢？活动：教师引导学生回顾学过的知识、举例，并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时，可互相交流.教师引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解答学生疑难，并引导学生自己总结解题的方法.学生观察图形并思考，发表自己的解题方法.教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求解，对这些学生应该给予表扬.同时强调，解析几何是一门数与形结合的学科.启发学生利用图形的特征，用代数的方法来解决几何问题.教师指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置.学生互相探讨、交流，寻找解决问题的方法，并能通过图形的直观性，利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径.讨论结果：①初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有五类，分别是外离、外切、相交、内切、内含.②判断两圆的位置关系，我们可以类比直线与圆的位置关系的判定，目前我们只有初中学过的几何法，利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.③略.④根据所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系.用几何的方法说就是圆心距(d)与两圆半径(r，R)的和与差之间的关系.⑤判断两个圆的位置关系.一是可以利用几何法，即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置关系.设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：1°当d＞R+r时，圆C1与圆C2外离；2°当d=R+r时，圆C1与圆C2外切；3°当|R－r|＜d＜R+r时，圆C1与圆C2相交；4°当d=|R－r|时，圆C1与圆C2内切；5°当d＜|R－r|时，圆C1与圆C2内含；二是看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况，解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离.总结比较两种方法的优缺点.几何方法：直观，容易理解，但不能求出交点坐标.代数方法：1°只能判断交点，并不能准确的判断位置关系(有一个交点时不能判断内切还是外切，无交点时不能判断内含还是外离).2°优点是可以求出公共点.⑥若将两个圆的方程相减，得到一个一元一次方程，既直线方程，由于它过两圆的交点，所以它是相交两圆的公共弦的方程.⑦两个圆的公共点的问题可以化归为这条公共直线与两个圆中的一个圆的公共点的判定问题.由点到直线的距离公式来判断.应用示例思路1例1 已知圆C1：x2+y2+2x+8y－8=0，圆C2：x2+y2－4x－4y－2=0，判断两圆的位置关系.活动:学生思考交流，教师引导提示，判断两圆的位置关系有两种基本的方法，要合理使用.方法一看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况，方法二利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.解:方法一:圆C 1与圆C 2的方程联立得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---+=-+++)2(.0244)1(,08822222y x y x y x y x①－②得x +2y －1=0，③由③得y =21x +，把上式代入①并整理得x 2－2x －3=0. ④ 方程④的判别式Δ=(－2)2－4×1×(－3)=16＞0，所以方程④有两个不等的实数根，即圆C 1与圆C 2相交.方法二:把圆C 1:x 2+y 2+2x +8y －8=0，圆C 2:x 2+y 2－4x －4y －2=0，化为标准方程，得(x +1)2+(y +4)2=25与(x －2)2+(y －2)2=10.圆C 1的圆心是点(－1，－4)，半径长r 1=5;圆C 2的圆心是点(2，2)，半径长r 2=10.圆C 1与圆C 2的连心线的长为22)24()21(--+--=35，圆C 1与圆C 2的半径长之和为r 1+r 2=5+10，半径长之差为r 1－r 2=5－10.而5－10＜35＜5+10，即r 1－r 2＜35＜r 1+r 2，所以圆C 1与圆C 2相交，它们有两个公共点A 、B.点评:判断两圆的位置关系，一般情况下，先化为标准方程，利用几何法判断较为准确直观. 变式训练判断下列两圆的位置关系，如果两圆相交，请求出公共弦的方程.(1)(x +2)2+(y －2)2=1与(x －2)2+(y －5)2=16，(2)x 2+y 2+6x －7=0与x 2+y 2+6y －27=0.解:(1)根据题意，得两圆的半径分别为r 1=1和r 2=4，两圆的圆心距d =22)25()2(2[-+--=5.因为d =r 1+r 2，所以两圆外切.(2)将两圆的方程化为标准方程，得(x +3)2+y 2=16，x 2+(y +3)2=36.故两圆的半径分别为r 1=4和r 2=6，两圆的圆心距d =23)03()30(22=-+-.因为|r 1－r 2|＜d ＜r 1+r 2，所以两圆相交.例2 已知圆C 1:x 2+y 2+2x －6y +1=0，圆C 2:x 2+y 2－4x +2y －11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.活动：学生审题，思考并交流，探讨解题的思路，教师及时提示引导，因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去x 2项、y 2项，即得两圆的两个交点所在的直线方程，利用勾股定理可求出两圆公共弦长.解:设两圆交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则A 、B 两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=+-++)2(.01124)1(,01622222y x y x y x y x①－②，得3x －4y +6=0.因为A 、B 两点坐标都满足此方程，所以3x －4y +6=0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C 1的圆心(－1，3)，半径r =3.又点C 1到直线的距离为d =22)4(3|63431|-++⨯-⨯-=59. 所以AB =2524)59(322222=-=-d r ，即两圆的公共弦长为524. 点评:处理圆有关的问题，利用圆的几何性质往往比较简单，要注意体会和应用.思路2例1 求过点A (0，6)且与圆C :x 2+y 2+10x +10y =0切于原点的圆的方程.活动:学生思考交流，回顾圆的方程的求法，教师引导学生注意题目的条件，灵活处理.所求圆经过原点和A (0，6)，且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上.根据这三个条件可确定圆的方程.解:将圆C 化为标准方程，得(x +5)2+(y +5)2=50，则圆心为C (－5，－5)，半径为52.所以经过此圆心和原点的直线方程为x －y =0.设所求圆的方程为(x －a )2+(y －b )2=r 2.由题意，知O (0，0)，A (0，6)在此圆上，且圆心M (a ，b )在直线x －y =0上，则有 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+-=-+-,0,)6()0(,)0()0(222222b a r b a r b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===.23,3,3r b a于是所求圆的方程是(x －3)2+(y －3)2=18.点评:求圆的方程，一般可从圆的标准方程和一般方程入手，至于选择哪一种方程形式更恰当，要根据题目的条件而定，总之要让所选择的方程形式使解题过程简单.例2 已知⊙O 方程为x 2+y 2=4，定点A (4，0)，求过点A 且和⊙O 相切的动圆圆心的轨迹方程.活动：教师引导学生回顾学过的知识，两圆外切，连心线长等于两圆半径之和，两圆内切，连心线长等于两圆半径之差，由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件，然后将这个几何条件坐标化，即得到它的轨迹方程.解法一：设动圆圆心为P (x ，y )，因为动圆过定点A ，所以|P A |即为动圆半径.当动圆P 与⊙O 外切时，|PO |=|P A |+2；当动圆P 与⊙O 内切时，|PO |=|P A |－2.综合这两种情况，得||PO |－|P A ||=2.将此关系式坐标化，得 |2222)4(y x y x +--+|=2.化简可得(x －2)2－32y =1. 解法二：由解法一可得动点P 满足几何关系||OP |－|P A ||=2，即P 点到两定点O 、A 的距离差的绝对值为定值2，所以P 点轨迹是以O 、A 为焦点，2为实轴长的双曲线，中心在OA 中点(2，0)，实半轴长a =1，半焦距c =2，虚半轴长b =322=-a c ，所以轨迹方程为(x －2)2－32y =1. 点评：解题的过程就是实现条件向结论转化的过程，对于圆与圆，要综合平面几何知识、解析几何、代数知识，将条件转化成我们熟悉的形式，利用常规思路去解，求点的轨迹更要注意平面几何的知识运用.知能训练课堂练习P141练习题课堂小结本节课主要学习了圆与圆的位置关系，判断方法：几何方法和代数方法. 作业习题4.2 A组8、9、10、11.。

第4课时-直线与圆、圆与圆的位置关系【课标解读】【课程标准】1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.【核心素养】数学抽象、数学运算、逻辑推理.【命题说明】考向考法直线与圆、圆与圆的位置关系是高考的热点内容之一,其中直线与圆相切及直线与圆相交是重点考查的内容,多以选择题或填空题的形式出现.预测预计2025年高考直线与圆、圆的位置关系仍会出题,一般在选择题或填空题中出现.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r)位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ=0Δ>0几何观点d>r d=r d<r微点拨判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法.微思考当某直线所过定点A在圆上时,该直线与圆有何位置关系?提示:直线与圆相交或相切.2.圆与圆的位置关系设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=12(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=22(r2>0).位置关系方法公切线条数几何法:圆心距d与r1,r2的关系代数法:联立两圆方程组成方程组的解的情况外离d>r1+r2无解4外切d=r1+r2一组实数解3相交|r1-r2|<d<r1+r2两组不同的实数解2内切d=|r1-r2|(r1≠r2)一组实数解1内含0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)无解03.直线被圆截得的弦长(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2 2- 2.(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,代入,消去y,得关于x的一元二次方程,则|MN|=1+ 2·( + )2-4 .常用结论1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆内切时,两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线.3.两圆相交时公共弦的性质圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(12+ 12-4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(22+ 22-4F2>0)相交时:(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).基础诊断·自测类型辨析改编易错高考题号12,3541.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交或相切.(√)提示:(1)直线与圆有一个公共点,则直线与圆相切,有两个公共点,则直线与圆相交,故(1)正确;(2)若两圆没有公共点,则两圆一定外离.(×)提示:(2)两圆没有公共点,则两圆外离或内含,故(2)错误;(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.(×)提示:(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;若两圆有且只有一个公共点,则两圆外切或内切,故(3)错误;(4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.(√)提示:(4)若两圆有公共点,则两圆外切或相交或内切,所以|r1-r2|≤d≤r1+r2,故(4)正确.2.(选择性必修第一册人AP96例5变条件)圆O1:x2+y2-4y+3=0和圆O2:x2+y2-16y=0的位置关系是()A.外离B.相交C.相切D.内含【解析】选D.O1:x2+(y-2)2=1,O2:x2+(y-8)2=64,所以O1(0,2),r1=1,O2(0,8),r2=8, 1 2=(0-0)2+(2-8)2=6,则 1 2=6<r2-r1=7,所以两圆内含.3.(选择性必修第一册人AP93练习T3变条件)直线x-y+3=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长等于()A.62B.3C.23D.6【解析】选D.圆心(-2,2)到直线x-y+3=0的距离d=22,圆的半径r=2,解直角三角形得,半弦长为62,所以弦长等于6.4.(2022·天津高考)若直线x-y+m=0(m>0)与圆(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦长为m,则m=__________.【解析】因为圆心C(1,1)到直线x-y+m=0(m>0)的距离d又直线与圆相交所得的弦长为m,所以m=2 2- 2,所以m2=4(3- 22),解得m=2.答案:25.(忽视直线斜率不存在的情形致误)过点P(2,2)的圆C:x2+(y-1)2=2的切线方程为______________________.【解析】由圆C方程知:圆心C(0,1),半径r=2;当过P的直线斜率不存在,即直线方程为x=2时,直线与圆C相切;设过P点且斜率存在的圆C的切线方程为y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0,则圆心C到直线的距离d=2,即k=-24,所以该切线方程为-24x-y+52=0,即x+22y-52=0;综上所述:所求切线方程为x=2或x+22y-52=0.答案:x=2或x+22y-52=0【核心考点·分类突破】考点一直线与圆的位置关系考情提示直线与圆相切求切线方程以及直线与圆相交求弦长是高考的重点,正确利用圆心到直线的距离与半径之间的关系是解决此类问题的关键.角度1直线与圆的位置关系的判断[例1](1)(一题多法)已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0和直线l:kx-y+3-4k=0的位置关系是()A.相交、相切或相离B.相交或相切C.相交D.相切【解析】选C.圆C:x2+y2-6x-8y+21=0,即(x-3)2+(y-4)2=22,圆心为C(3,4),半径为r=2.方法一直线l:kx-y+3-4k=0,即k(x-4)-y+3=0,所以直线l过定点B(4,3).(4-3)2+(3-4)2=2<4,所以点B(4,3)在圆C内,所以直线l与圆C相交.方法二圆心C(3,4)到直线l:kx-y+3-4k=0的距离为≤2<4,所以直线与圆相交.(2)(多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是()A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切【解析】选ABD.圆心C(0,0)到直线l的距离d若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以dr,则直线l与圆C相切,故A正确;若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2<r2,所以dr,则直线l与圆C相离,故B正确;若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以dr,则直线l与圆C相交,故C错误;若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以dr,则直线l与圆C相切,故D正确.解题技法判断直线与圆的位置关系的一般方法(1)几何法:圆心到直线的距离与圆半径比较大小,特点是计算量较小;(2)代数法:将直线方程与圆方程联立方程组,通过解的情况判断,适合于判断直线与圆的位置关系.角度2弦长问题[例2](2024·昆明模拟)已知直线y=2x与圆(x-2)2+(y-2)2=1交于A,B两点,则 =()A.55B.255C.355D.455【解析】选B.因为圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=1,所以圆心坐标为(2,2),半径r=1,则圆心(2,2)到直线y=2x的距离d=255,所以弦长 =2 2- 2=2=255.解题技法直线和圆相交弦长的两种求法(1)代数法:将直线和圆的方程联立方程组,根据弦长公式求弦长.(2)几何法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长l=2 2- 2.根据弦长求直线方程时要注意验证斜率不存在的情况.角度3切线问题[例3]已知点P(2+1,2-2),点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过点P的圆C的切线方程;【解析】由题意得圆心C(1,2),半径r=2.(1)因为(2+1-1)2+(2-2-2)2=4,所以点P在圆C上.又k PC-2-所以切线的斜率k=-1 =1.所以过点P的圆C的切线方程是y-(2-2)=x-(2+1),即x-y+1-22=0.(2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.【解析】(2)因为(3-1)2+(1-2)2=5>4,所以点M在圆C外部.当过点M的直线斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0.又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r,即此时满足题意,所以直线x=3是圆的切线.当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,则圆心C到切线的距离dr=2,解得k=34.所以切线方程为y-1=34(x-3),即3x-4y-5=0.综上可得,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0.因为|MC|=(3-1)2+(1-2)2=5,所以过点M的圆C的切线长为| |2- 2=5-4=1.解题技法1.过一点求圆的切线方程的两种求法(1)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k.注意斜率不存在的情况.(2)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k.注意斜率不存在的情况.特别地,当点在圆上时,可直接利用圆心与切点的连线的斜率及切线的性质求切线方程.2.过圆外一点P引圆的切线,求切线长时,常利用点P、圆心、切点构成的直角三角形求解.对点训练1.(2024·南京模拟)直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是()A.过圆心B.相切C.相离D.相交但不过圆心【解析】选D.由题意知,圆(x-1)2+(y+1)2=9的圆心为(1,-1),半径r=3,则圆心到直线3x+4y+12=0的距离d=115,因为0<d<r,所以直线与圆相交但不过圆心.2.过点(-33,0)且倾斜角为π3的直线l交圆x2+y2-6y=0于A,B两点,则弦AB的长为()A.42B.22C.210D.10【解析】选A.过点(-33,0)且倾斜角为π3的直线l的方程为y=3(x+33),即3x-y+1=0,又圆x2+y2-6y=0即x2+(y-3)2=9,所以圆心(0,3),半径r=3,则圆心(0,3)到直线l的距离d=|-3+1|2=1,所以直线被圆截得的弦AB=232-12=42.3.(2024·东城模拟)已知点M(1,3)在圆C:x2+y2=m上,过M作圆C的切线l,则l的倾斜角为()A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选D.由题意得m=1+3=4,当l的斜率不存在时,此时直线方程为x=1,与圆C:x2+y2=4相交,不符合题意;当l的斜率存在时,设切线l的方程为y-3=k(x-1),-3|解得k=-33,因为l的倾斜角为0°≤θ<180°,故l的倾斜角为150°.【加练备选】(2024·宜春模拟)已知圆C经过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2).(1)求圆C的方程;【解析】(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由圆C经过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2),得 =02+ + + =0 20+4 +2 + =0,解得 =-8 =6 =0,所以圆C的方程为x2+y2-8x+6y=0.(2)经过点M(1,-4)的直线l被圆C所截得的弦长为45,求直线l的方程.【解析】(2)由(1)知圆C:(x-4)2+(y+3)2=25,即圆心C(4,-3),半径为5,由直线l被圆C所截得的弦长为45,得圆心C到直线l的距离d=52-(25)2=5,而直线l经过点M(1,-4),显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y+4=k(x-1),即kx-y-4-k=0,于是d=5,得k=2或k=-12,所以直线l的方程为2x-y-6=0或x+2y+7=0.考点二圆与圆的位置关系[例4](1)已知圆E的圆心在y轴上,且与圆x2+y2-2x=0的公共弦所在直线的方程为x-3y=0,则圆E的方程为()A.x2+(y-3)2=2B.x2+(y+3)2=2C.x2+(y-3)2=3D.x2+(y+3)2=3【解析】选C.两圆圆心连线与公共弦垂直,不妨设所求圆心的坐标为(0,a),半径为r.又圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1,故 -1×解得a=3.故所求圆心为(0,3).点(1,0)到直线x-3y=0=12,所以x2+y2-2x=0截直线x-3y=0所得弦长为3,圆心(0,3)到直线x-3y=0的距离为32,所以圆截直线x-3y=0所得弦长为=3,解得r=3.故圆心坐标为(0,3),半径为3.得圆E的方程为x2+(y-3)2=3.(2)已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0.①判断两圆公切线的条数;【解析】①两圆的标准方程分别为C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10,则圆C1的圆心为(1,-5),半径r1=52;圆C2的圆心为(-1,-1),半径r2=10.又|C1C2|=25,r1+r2=52+10,r1-r2=52-10,所以r1-r2<|C1C2|<r1+r2,所以两圆相交,所以两圆有两条公切线.②求公共弦所在的直线方程以及公共弦的长度.【解析】②将两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为x-2y+4=0.圆心C1到直线x-2y+4=0的距离d =35,设公共弦长为2l,由勾股定理得r2=d2+l2,得50=45+l2,解得l=5,所以公共弦长2l=25.一题多变[变式1]本例(2)中,若两圆相交于A,B两点,不求交点,则线段C1C2(C1,C2分别为两个圆的圆心)的垂直平分线所在的直线方程为______________.【解析】由圆C1的圆心坐标为(1,-5),圆C2的圆心坐标为(-1,-1),可知 1 2=-5-(-1)1-(-1)=-2,则k AB=12,C1C2的中点坐标为(0,-3),因此线段C1C2的垂直平分线所在的直线方程为y+3=12x,即x-2y-6=0.答案:x-2y-6=0[变式2]本例(2)中的两圆若相交于两点A,B,则经过两点A,B且圆心在直线x+y=0上的圆的方程为______________.【解析】设所求的圆的方程为x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1),整理可得(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2λ-2)x+(2λ+10)y-8λ-24=0,因此圆的圆心坐标为(1- 1+ ,- +51+ ),由于圆心在x+y=0上,则1- 1+ +(- +51+ )=0,解得λ=-2,因此所求的圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.答案:x2+y2+6x-6y+8=0解题技法圆与圆的位置关系问题的解题策略(1)判断两圆位置关系常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断.(2)两圆相交时,两圆的公共弦所在直线的方程,可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.(3)求两圆公共弦长,常选其中一圆,由弦心距d、半弦长 2、半径r构成直角三角形,利用勾股定理求解.考点三与圆有关的最值、范围问题[例5](2024·沈阳模拟)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:(1) 的取值范围;【解析】(1)由圆的一般方程可得:圆心为(2,0),半径r=3;因为02+02-4×0+1=1>0,所以原点在圆x2+y2-4x+1=0的外部,设 =k,则kx-y=0(x≠0)与圆x2+y2-4x+1=0有公共点,所以圆心(2,0)到kx-y=0(x≠0)的距离d≤3,解得-3≤k≤3,即 的取值范围为-3,3.(2)y-x的取值范围;【解析】(2)设y-x=m,则直线x-y+m=0与圆x2+y2-4x+1=0有公共点,所以圆心(2,0)到x-y+m=0的距离d ≤3,解得-6-2≤m≤6-2,即y-x的取值范围为-6-2,6-2.(3)x2+y2的取值范围.【解析】(3)由(1)知:原点在圆x2+y2-4x+1=0的外部,则可设x2+y2=r2(r>0),则圆x2+y2=r2(r>0)与圆x2+y2-4x+1=0有公共点,因为两圆圆心距d=(0-2)2+(0-0)2=2,所以r-3≤2≤r+3,解得2-3≤r≤2+3,所以7-43≤r2≤7+43,即x2+y2的取值范围为7-43,7+43.解题技法关于圆上点(x,y)有关代数式的最值问题的解法代数式特征求解方法u=y-b x-a转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值t=ax+by转化为动直线的截距的最值(x-a)2+(y-b)2转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离平方的最值对点训练(多选题)(2024·盐城模拟)已知实数x,y满足曲线C的方程x2+y2-2x-2=0,则下列选项正确的是()A.x2+y2的最大值是3+1B. +1 +1的最大值是2+6C.|x-y+3|的最小值是22-3D.过点(0,2)作曲线C的切线,则切线方程为x-2y+2=0【解析】选BD.由圆C:x2+y2-2x-2=0可化为(x-1)2+y2=3,可得圆心(1,0),半径r=3,对于A,由x2+y2表示圆C上的点到定点(0,0)的距离的平方,所以它的最大值为[(1-0)2+02+3]2=4+23,所以A错误;对于B, +1 +1表示圆上的点与点(-1,-1)的斜率,设 +1 +1=k,即y+1=k(x+1),由圆心(1,0)到直线y+1=k(x+1)的距离d≤3,解得2-6≤k≤2+6,所以 +1 +1的最大值为2+6,所以B正确;对于C,由 - +3表示圆上任意一点到直线x-y+3=0的距离的2倍,圆心到直线的距离d =22,所以其最小值为2(22-3)=4-6,所以C错误;对于D,因为点(0,2)满足圆C的方程,即点(0,2)在圆C上,则该点与圆心连线的斜率为k1=-2,根据圆的性质,可得过点(0,2)作圆C的切线的斜率为k=-1 1=22,所以切线方程为y-2=22(x-0),即x-2y+2=0,所以D正确.【加练备选】已知点P(x,y)在圆:x2+(y-1)2=1上运动.试求:(1)(x+3)2+y2的最值;【解析】(1)设圆x2+(y-1)2=1的圆心为A(0,1),半径r=1,点P(x,y)在圆上,所以(x+3)2+y2表示P(x,y)到定点E(-3,0)的距离的平方,因为|AE|=(3)2+12=2,所以|AE|-r≤|PE|≤|AE|+r,即1≤|PE|≤3,所以1≤(x+3)2+y2≤9,即(x+3)2+y2的最大值为9,最小值为1;(2) -1 -2的最值.【解析】(2)点P(x,y)在圆上,则 -1 -2表示圆上的点P与点B(2,1)连线的斜率,根据题意画出图形,当P与C(或D)重合时,直线BC(BD)与圆A相切,设直线BC的解析式为y-1=k(x-2),即kx-y-2k+1=0,所以圆心(0,1)到直线BC的距离d=r,解得k=±33,所以-33≤ -1 -2≤33,所以 -1 -2的最大值为33,最小值为-33.。

（完整版）《高三数学一轮复习课-直线与圆的位置关系优质课比赛教学设计》直线与圆的位置关系(1)课型：高三数学一轮复习课课题：直线与圆的位置关系课时：第一课时教材：苏教版对教材内容的理解分析：１、本节内容在全书及章节的地位：直线与圆的位置关系是高中数学新教材“圆的方程”的综合课．２、本节课的复习内容：本节课的主要内容是直线与圆的位置关系及判定方法，它是高考中的热点内容之一．３、教材的地位与作用：本节课是平面解析几何学的基础知识，它既复习了前面刚学过的直线与圆的方程，又为今后学习直线与圆锥曲线的位置关系奠定基础．它虽然是解析几何中较为简单的内容，但有着广泛的应用，也具有较强的综合性，有利于培养学生分析问题和解决问题的能力．教学反思：1、通过小组合作学习，组织学生对问题进行讨论，激发学生的求知欲望，使大部分学生在学习过程中始终处于积极思考、探索的状态，真正成为主动学习的主体．2、利用计算机辅助教学，显示了事物从静态到动态的运动过程，培养学生用运动变化这一辩证唯物主义观点分析问题、解决问题的能力．用几何画板可以很好地体现数形结合的思想，使较为复杂的问题明了化．教案的简介：直线与圆的位置关系(1)，高三数学一轮复习课、扬州市优秀公开课，并获一等奖．关键字：位置关系、广义几何法、狭义几何法、代数法．参赛者简介：扬州市特级教师，扬州市学科带头人，扬州市优秀班主任，高邮市中青年专家，高邮市劳动模范等．[教学目标]知识目标:了解代数法和几何法解决直线与圆位置关系的差异，明确几何法在直线与圆的位置关系的判定中的地位，并能应用几何法解决问题．能力目标:让学生在解决问题的过程中体会到数形结合、转化、化归等数学思想，注重培养学生的分析、计算、总结归纳等能力．情感态度价值观目标:培养学生合作交流,善于思考的良好品质,激发学生学习数学的积极性．[重点难点]重点:几何法在直线与圆的位置关系的判定中的应用．难点: 通过对圆上的点到直线的距离变化的分析诠释数形结合的魅力．[教学方法] 启发式、自主探究相结合．[教具资料]三角板、圆规、多媒体课件导入语:大家知道数学来源于生活,又服务于生活.下面有一道生活问题,你能用学过哪方面的知识求解? 问题情境:在一个特定的时间内,以O 为中心的5米范围内(不包括边界)被设为危险区域,某人在O 点的南偏西θ(其中135sin =θ)的方向上,且距O 点13米的A 地,若他向东北方向直行,会进入危险区域吗? （8分钟）一分钟后,提问学生:A,你谈谈思路?(生说时教师写出点坐标,圆方程,直线方程) 你能用数学化的语言刻化一下,如何判定此人是否会进入危险区域?问题数学化：直线07=--y x 与圆C: 2522=+y x 的位置关系为________．直线07=--y x 上是否存在点P 在圆C: 2522=+y x 内? （即OP 〈5有解？也就是OP min 〈5?其本质就是OP min =d ）两种思路都可以解释为 d 与 r 的大小比较问题两类方法：几何法（利用平几直接求解或用d 与r 的关系）、代数法（判别式法、定义法）引出课题:直线与圆的位置关系(1) 提问学生B ：回顾直线与圆的位置关系的定义、判定方法你能选择恰当的方法解决下面问题吗？问题一:（8分钟）已知圆C:(x-1)2+(y+1)2=1,直线l 过点P(-2,-2)，求l 与圆C 有公共点时斜率k 的范围提问学生C ：如何求斜率k 的范围？答：写出圆心和半径、设出直线方程、利用点与直线的距离公式将d 用k 表示、利用d 与r 关系列出关于k 的不等式、求斜率k 的范围注意事项：“有公共点”的含义,“与斜率k 有关的问题求解”,不必考虑斜率不存在之情. (提问学生D)师:(学生思考时)画图(学生回答时)板演法一：平几性质加三角公式求解．（广义几何法）法二：利用d 与r 关系列出关于k 的不等式．（狭义几何法）法三：投影，比较各方法的优劣．（代数法）解题回顾:处理解析几何问题时，若能结合平面几何图形的性质，可使解答简捷明快，本题用“圆心到直线距离与半径比较”来探讨直线和圆的位置关系便是典型体现. 方法总结: (提问学生E) 一、解题步骤：（1）设直线方程并化为一般式（2）求圆心到直线距离（3）比较弦心距与半径的大小二、解题体会：1、几何法比代数法运算量少，简便．代数法比几何法通用，主要用于直线与圆锥曲线位置关系问题，具有运用的广泛性．2、在解决有关圆的问题时,一般不用代数法而用几何法（8分钟）变式1：过点P(-2,-2)作圆C:(x-1)2+(y+1)2=1的切线l ,则切线l 的方程为_____________ 分析：本题是问题一的临界状态，斜率已求，切线易得．02=+y 和0243=--y x (提问学生F)变式2：已知x,y 满足条件 (x-1)2+(y+1)2=1，则代数式22++x y 的取值范围___________430≤≤k 分析：本题是问题一的不同形式的表示，既可以理解为斜率，直接数形结合又可以转化为直线方程的一般式（少一点），从而化归为问题一，当然也可以化为三角函数求解． (提问学生G) 解题回顾:直线与圆的位置关系问题一般有下列几种题型（1）给定两者方程判定位置关系（如问题情境）（2）给定两者位置关系，求解参数范围或切线方程（如问题一及变式一）（3）给定圆的方程，求圆上点表示的目标函数范围（如问题一及变式二）方法总结:完整直线与圆位置关系方面的题目常用d 与r 关系求解直线与圆局部图形位置关系方面的题目常用数形结合求解问题二: （5分钟）求证:直线021)1()2(:=---++m y m x m l 与圆C: 4)2()1(22=++-y x 有两个不同的公共点． (提问学生H)分析：法一 0)12()2(:=-++--y x m y x l 过定点P(1,-1),且定点P 在圆内法二 C(1,-2), r=2 , 22)1()2(|1|m m m d -++-=与2比较大小解题回顾:如果直线过定点,只要先确定定点与圆的位置关系,就能得知直线与圆相应的位置关系.就不必用利用d 与r 关系来判定了.方法总结:观察直线是否过定点,优先考虑直线与圆的可能关系,优化解题过程. (提问学生I) （5分钟）变式1：已知}02|),{(22=-+=y y x y x A ,}1|),{(+-==k kx y y x B , 则B A I 中的元素个数是________1学生思考时,教师画图,并对学生的回答加以说明 (提问学生J)变式2：已知}02|),{(22=-+=y y x y x A ,}11|),{(k x y y x B =--=, 则B A I 中的元素个数是________2 师:你能注意到它们之间的差异吗? 课堂练习：（8分钟）1.过点)4,4(P 作圆0422=-+x y x 的切线,求圆的切线方程. 板演(学生K) 3x －4y ＋4＝0或x ＝4对策:首先考虑斜率不存在之情或先定解的个数,解不足时补上斜率不存在之情变式:圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程是______________(提问学生L) 023=+-y x解题回顾：求过定点的圆的切线方程，一定要判定点的位置，若在圆上，可简化过程．若在圆外，一般有两条切线，容易遗漏斜率不存在的那一条.2.(教材P106 e2)如果直线ax ＋by ＝4与圆有两个不同的交点, 则P(a,b)与圆的位置关系是 ____________(填上以下正确结论的序号)(1)P 在圆外 (2)P 在圆上 (3)P 在圆内 (4)不确定 (提问学生M)师同时板演过程改变2中两个不同的交点的条件,同学们能提出类似的结论吗？(提问学生N) 下面这个问题结论是什么?若点P(a,b) 在圆x 2+y 2=1外，则直线ax ＋by ＝1 与 x 2+y 2=1的位置关系是_______(相交) 本节课回顾总结: （3分钟）（1）本节课我们复习了哪些内容你能用流程图表示出来吗? (提问学生O 、P) （2）直线与圆的位置关系的判定方法有哪些？它们各自有什么优点？(提问学生姜杰)答：两类方法：几何法（广义——利用平几直接求解或狭义——用d 与r 的关系）、代数法直接——判别式法或间接的定义法几何法比代数法简洁，代数法比几何法通用（3）今天我们所遇到的情形各自用哪种方法更简便？为什么？各自又有什么注意事项？ (提问学生Q)（4）本节课主要用到了哪些数学思想？用得最多的是哪个？最少的是哪个？（5）点与圆的位置关系与过此点的直线与圆的位置关系有何联系？思考:已知圆M:1)sin ()cos (22=-++θθy x ,直线kx y l =:,下面四个命题 (1)对任意实数k 与θ,直线l 和圆M 相切 (2)对任意实数k 与θ,直线l 和圆M 有公共点(3)对任意实数θ,必存在实数k ,使得直线l 和圆M 相切 (4) 对任意实数k ,必存在实数θ,使得直线l 和圆M 相切所有真命题的序号是_____________板书设计课题注：从右向左书写注：先中间再右边最后左边。

与圆有关的位置关系复习课教案[5篇范例]第一篇：与圆有关的位置关系复习课教案课题：与圆有关的位置关系复习课教案教学目标：1. 知识与能力：巩固点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，明确其性质和判定方法。

2. 过程与方法：培养数形结合分析问题的能力，学习归纳和类比。

3. 情感、态度和价值观：树立学数学、用数学的思想意识。

重点和难点：1.巩固相应位置关系的概念和数量关系，理解它们的对应。

2.能够明确图形中的位置和数量关系，利用数形结合的思想方法，解决实际问题。

教学过程：一、导入：1、情境导入：近期，中国航天科技有了重大突破，神八顺利升空，并且和先期升空的天宫一号成功对接，分离之后，神八按照原计划回顾地球。

欣赏以下图片，体会作为中国人的骄傲，明确我们以后的学习目标，观察圆在航天科技的广泛应用。

2、出示学习目标，限时阅读理解，明确学习的方向。

二、讲解：1、回忆、巩固以前学习的知识。

（以表格的形式展示，引导学生通过填空，结合图形，理解、记忆相关位置关系的名称，所对应的数量关系，找出一定的规律。

)2、例题解析：例题一：已知:P是非⊙O上的一点,P点到⊙O的最大距离是d,最小距离是a. 求⊙O的半径r.解析：点P可能的位置有几种？作出正确的图形，通过图形解决这个问题。

（限时4分钟，解决这个问题。

完成后，教师检查，并且展示一个同学的解题过程，指出出现的问题。

）例题二：已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则⊙A 与X轴的位置关系是_____,⊙A与Y轴的位置关系是______。

解析：通过直径，求出半径；作出平面直角坐标系，标出圆心的正确位置，作出正确的图形，问题即可以得到正确的解决。

（限时3分钟）演示解题过程，引导同学们纠正失误。

例题三：两个圆的半径的比为2 : 3 ,内切时圆心距等于 8cm,那么这两圆相交时,圆心距d的取值范围是多少?解析：利用方程的思想，合理设未知数，正确列出方程，先解决半径的问题。

第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．『梳理自测』一、直线与圆的位置关系1．(教材改编)已知圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．相交过圆心 D ．相离2．(教材精选题)圆x 2＋y 2＝4在点P(1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B .3x ＋y －2＝0 C ．x ＋3y －4＝0 D .3x ＋y －4＝03．直线x －y ＋2＝0被圆x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0截得的弦长等于________． 『答案』1.B 2.C 3.214 ◆以上题目主要考查了以下内容：直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离． 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： (1)代数法：――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ＜0⇔相离Ｗ.(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d ＜r ⇔相交，d ＝r ⇔相切，d ＞r ⇔相离．二、圆与圆的位置关系1．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有() A．1条B．2条C．3条D．4条2．若圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝m2相外切，则m＝________．『答案』1.B 2.±(5－2)◆以上题目主要考查了以下内容：设⊙C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)，⊙C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0)，则有：|C1C2|＞r1＋r2⇔⊙C1与⊙C2外离；|C1C2|＝r1＋r2⇔⊙C1与⊙C2外切；|r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2⇔⊙C1与⊙C2相交；|C1C2|＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔⊙C1与⊙C2内切；|C1C2|＜|r1－r2|⇔⊙C1与⊙C2内含．『指点迷津』1．一个直角三角形直线与圆相交，弦心距d，圆的半径r，及半弦长l2之间构成直角三角形，r2＝d2＋(l2)2.2．二种方法直线和圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合．(1)从思路来看，代数法侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质．(2)从适用类型来看，代数法可以求出具体的交点坐标，而几何法更适合定性比较和较为简单的运算．3．五种切线条数外离⇔4条、外切⇔三条、相交⇔二条、内切⇔一条、内含⇔0条考向一直线与圆位置关系判定及应用(1)(2012·高考重庆卷)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心(2)若经过点A(4，0)的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为________．『审题视点』 (1)利用d 与r 的大小关系或者分析直线所过的定点与圆的关系． (2)斜率是存在的直线，利用d≤r ，待定斜率k.『典例精讲』 (1)x 2＋y 2＝2的圆心(0，0)到直线y ＝kx ＋1的距离d ＝|0－0＋1|1＋k 2＝11＋k 2≤1，又∵r ＝2，∴0＜d ＜r.∴直线与圆相交但直线不过圆心．另法：直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，在圆内圆心为(0，0)不在直线上，故选C . (2)由题可设直线方程为y ＝k(x －4)，即：kx －y －4k ＝0，因为直线与圆有公共点，所以，圆心到直线的距离小于或等于半径，即：d ＝|2k －0－4k|k 2＋1≤1，解得：－33≤k≤33.『答案』 (1)C (2)『－33，33』 『类题通法』 (1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．(2)解决直线与圆的位置关系的应用问题，常常借助几何性质结合数形结合思想解题．1．(2014·成都模拟)直线l ：mx ＋(m －1)y －1＝0(m 为常数)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝4，则下列说法正确的是( )A ．当m 变化时，直线l 恒过定点(－1，1)B ．直线l 与圆C 有可能无公共点C ．对任意实数m ，圆C 上都不存在关于直线l 对称的两点D ．若直线l 与圆C 有两个不同交点M 、N ，则线段MN 的长的最小值为23『解析』选D .直线l 可化为m(x ＋y)－(y ＋1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴l 过定点(1，－1)，故A 错；又(1－1)2＋(－1)2＝1＜4，∴点(1，－1)在⊙C 内部，∴l 与⊙C 恒相交，故B 错；当l 过圆心C(1，0)，即m ＝1时，圆心上存在关于直线l 对称的两点，故C 错．故选D .考向二 圆的切线、弦长问题已知点M(3，1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值． 『审题视点』 点M 在圆外，其切线有两条，待定斜率或数形结合，用圆心到直线的距离，及直角三角形等求解．『典例精讲』 (1)圆心C(1，2)，半径为r ＝2， 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝3.由圆心C(1，2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知， 此时，直线与圆相切．当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k(x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0.由题意知|k －2＋1－3k|k 2＋1＝2，解得k ＝34.∴直线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上所述，过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43.(3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为|a ＋2|a 2＋1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋2|a 2＋12＋⎝⎛⎭⎫2322＝4，解得a ＝－34.『类题通法』 (1)求过其点的圆的切线方程，一般设为点斜式方程．首先判断点是否在圆上，如果过圆上一点，则有且只有一条切线，如果过圆外一点，则有且只有两条切线．若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条，则需结合图形把斜率不存在的那条切线补上．(2)求解与圆的弦长有关的计算问题，常利用圆的半径R ，弦长l ，弦心距d 之间的关系：R 2＝d 2＋l 24，一般不用代数法求解．2．(2013·高考安徽卷)直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( )A ．1B ．2C ．4D ．46『解析』选C .先把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，再在圆中构造直角三角形，利用勾股定理求弦长．圆的方程可化为C ：(x －1)2＋(y －2)2＝5，其圆心为C(1，2)，半径R ＝ 5.如图所示，取弦AB的中点P，连接CP，则CP⊥AB，圆心C到直线AB的距离d＝|CP|＝|1＋4－5＋5|12＋22＝1.在Rt△ACP中，|AP|＝R2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.考向三圆与圆的位置关系已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圆C1与圆C2相切，则实数m＝________．『审题视点』判断两圆的位置关系，要通过配方分别求出两圆的圆心和半径，再利用两点间距离公式求出圆心距，与两圆对应的半径加以比较分析，从而判断其位置关系，这里要注意两圆相切分为内切与外切两种情况．『典例精讲』对圆C1和圆C2的方程配方，得圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，则C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，圆C1与圆C2相切包括两种情况：两圆外切与两圆内切．(1)当圆C1与圆C2相外切时，有|C1C2|＝r1＋r2，即（m＋1）2＋（m＋2）2＝5，整理，得m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2；(2)当圆C1与圆C2相内切时，有|C1C2|＝|r1－r2|，即（m＋1）2＋（m＋2）2＝1，整理，得m2＋3m＋2＝0，解得m＝－1或m＝－2.综上所述，当m＝－5或m＝－1或m＝±2时，圆C1与圆C2相切．故填±2或－5或－1.『答案』±2或－5或－1『类题通法』(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为23，则a＝________．『解析』两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇒y＝1a，又a＞0，结合图象，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－（3）2＝1⇒a ＝1.『答案』1直线、圆的综合知识应用规范答题(12分)(2014·福州调研)已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB|＝423，求|MQ|、Q 点的坐标以及直线MQ 的方程； (2)求证：直线AB 恒过定点．『审题视点』 第(1)问利用平面几何的知识解决；第(2)问设点Q 的坐标，从而确定点A 、B 的坐标与AB 的直线方程．『思维流程』解Rt △MAP ，求MP. 解Rt △MAQ ，求MQ. 待定Q 点坐标及MQ 方程． 求AB 所在直线方程． 确定AB 的定点．『解答过程』 (1)设直线MQ 交AB 于点P ， 则|AP|＝232，又|AM|＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ， 得|MP|＝12－89＝13，2分又∵|MQ|＝|MA|2|MP|，∴|MQ|＝3.4分设Q(x ，0)，而点M(0，2)，由x 2＋22＝3，得x ＝±5， 则Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0).6分从而直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.8分(2)证明：设点Q(q ，0)，由几何性质，可知A 、B 两点在以QM 为直径的圆上，此圆的方程为x(x －q)＋y(y －2)＝0，10分而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，即为qx －2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点⎝⎛⎭⎫0，32.12分『规范建议』 ①直线与圆的相交、相切，从图形上看，主要利用两个直角三角形． ②两切点所在的直线方程转化为两圆的公共弦．其中，圆心C 、两切点及圆外点Q 是四点共圆，此圆以MQ 为直径，这是解题技巧方法．1．(2013·高考天津卷)已知过点P(2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12 B ．1C ．2D .12『解析』选C .由圆的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，设切线方程为x ＋ay ＋c ＝0，再代入点(2，2)，结合圆心到切线的距离等于圆的半径，求出a 的值．由题意知圆心为(1，0)，由圆的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x ＋ay ＋c ＝0，由切线x ＋ay ＋c ＝0过点P(2，2)，∴c ＝－2－2a ，∴|1－2－2a|1＋a 2＝5，解得a＝2.2．(2013·高考山东卷)过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0『解析』选A .利用圆的几何性质，将题目转化为求两圆的公共弦方程．设P(3，1)，圆心C(1，0)，切点为A 、B ，则P 、A 、C 、B 四点共圆，且PC 为圆的直径，∴四边形PACB的外接圆方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝54①，圆C ：(x －1)2＋y 2＝1②，①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．3．(2013·高考重庆卷)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A ．52－4B .17－1C ．6－2 2D .17『解析』选A .先求出圆心坐标和半径，再结合对称性求解最小值．设P(x ，0)，设C 1(2，3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝（2－3）2＋（－3－4）2＝5 2.而|PM|＝|PC 1|－1，|PN|＝|PC 2|－3， ∴|PM|＋|PN|＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.4．(2013·高考浙江卷)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．『解析』先求弦心距，再求弦长．圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3，4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，所以弦长为2r 2－d 2＝2×25－5＝220＝4 5.『答案』45。

学案57 圆与圆的位置关系一、课前准备： 【自主梳理】1．圆与圆的位置关系有 、 、 、 、 ．2．已知两圆212121)()(r b y a x =-+-与222222)()(r b y a x =-+-的圆心距为d ，则 ⇔两圆外离； ⇔两圆外切； ⇔两圆相交； ⇔两圆内切； ⇔两圆内含【自我检测】1. 圆1)2()3(22=++-y x 与圆36)1()7(22=-+-y x 的位置关系是 2. 圆1)2()2(22=-++y x 与圆16)5()2(22=-+-y x 的位置关系是 3. 圆6422=+y x 与圆02213022=+-+x y x 的公切线条数是 条4. 圆3622=+y x 与圆06822=--+y x y x 的公共弦所在直线方程是 5.圆m y x =+22与圆0118622=--++y x y x 相交，则实数m 的取值范围是二、课堂活动： 【例1】填空题：（1）圆6422=+y x 与圆0422=++x y x 的位置关系是（2）若圆228x y +=和圆22440x y x y ++-=关于直线l 对称，则直线l 的方程为（3）两圆0822,0241022222=-+++=-+-+y x y x y x y x 的公共弦长为（4）圆012:,012:22222221=+--+=+-++m mx y x C m my y x C 外切，则=m【例2】求过点(0,6)A 且与圆22:10100C x y x y +++=切于原点的圆的方程【例3】例4．求过两圆22640x y x ++-=和226280x y y ++-=的交点，且圆心在直线40x y --=上的圆的方程．课堂小结三、课后作业1．圆522=+y x 与圆03222=-++x y x 的交点坐标是 ．2．圆05222=--+x y x 与圆044222=--++y x y x 的交点为B A ,，则线段AB 的垂直平分线的方程为 ．3．以为)3,4(-C 圆心的圆与圆122=+y x 相切，则圆C 的方程是4． 已知两圆0822:,024102:222221=-+++=-+-+y x y x C y x y x C ，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是5．设集合{}{})0()1()1(),(,4),(22222>≤-+-=≤+=r r y x y x N y x y x M ， 当N N M = 时，实数r 的取值范围是6．圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ay y x 的公共弦长为32，则a 的值为7．与直线02=-+y x 和圆054121222=+--+y x y x 都相切的半径最小的圆的方程是 ．8．如果圆4)()(22=-+-a y a x 上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围 是9．已知圆2221:2450C x y mx y m +-++-=，圆2222:2230C x y x my m ++-+-=，m 为何值时，(1)圆1C 与圆2C 相外切；(2)圆1C 与圆2C 内含．10．求与圆2220x y x +-=外切，且与直线0x +=相切于点(3,的圆的方程．学案57 圆与圆的位置关系一、课前准备： 【自主梳理】1．外离 、 外切 、 相交 、 内切 、 内含 ．2． 21r r d +>；21r r d +=；2121r r d r r +<<-；21r r d -=；21r r d -< 【自我检测】1.内切2.外切3. 44. 01834=-+y x5. )121,1( 二、课堂活动： 【例1】填空题：（1）内含 （2）02=+-y x （3）52 （4）=m 2±【例2】解：圆:C 22(5)(5)50x y +++=，则圆心为(5,5)C --，半径为 所以经过此圆心和原点的直线方程为0x y -=． 设所求圆的方程为222()()x a y br -+-=．则有222222(0)(0)3(0)(6)30a b r a a b r b a b r ⎧-+-=⎧=⎪⎪-+-=⇒=⎨⎨⎪⎪-==⎩⎩，于是所求圆的方程是22(3)(3)18x y -+-=．思考：本题还有其他解法吗？(圆心在以()()0,0,0,6为端点的线段的中垂线上)【例3】解：(法一)可求得两圆连心线所在直线的方程为30x y ++=．由4030x y x y --=⎧⎨++=⎩得圆心17(,)22-．同例3可求得公共弦长d=，所以，圆半径22289()22d r =+=⎝⎭． 所以，所求圆方程为221789()()222x y -++=，即227320x y x y +-+-=．(法二)设所求圆的方程为222264(628)0x y x x y y λ++-+++-=，即22664280111x y x y λλλλλ++++-=+++．故此圆的圆心为33(,)11λλλ--++，它在直线40x y --=上，所以334011λλλ--+-=++，所以7λ=-．所以所求圆方程为227320x y x y +-+-=．三、课后作业1． )2,1)(2,1(---． 2． 01=-+y x ．3． 16)3()4(22=-++y x 或36)3()4(22=-++y x ． 4． 5)1()2(22=-++y x 5． ]22,0(- 6． 17．2)2()2(22=-+-y x 8．)223,22()22,223( --． 9．已知圆2221:2450C x y mx y m +-++-=，圆2222:2230C x y x my m ++-+-=，m 为何值时，(1)圆1C 与圆2C 相外切；(2)圆1C 与圆2C 内含． 10．解：设所求圆的方程为()()222x a y b r -+-=，1r=+，由圆与直线0x +=相切于点(3,得13r⎛-=-⎪⎝⎭，解得，4,0,2a b r ===或0,6a b r ==-=，故所求圆的方程为()2244x y -+=或(2236x y ++=．。

总课 题圆与方程 总课时 第36课时 分 课 题 圆与圆的位置关系 分课时 第 2 课时 教学目标 掌握圆心距和半径的大小关系；判断圆和圆的位置关系．重点难点 根据两圆的方程判断两圆的位置关系，会求相交两圆的公共弦所在直线方程及弦长．引入新课圆与圆有哪些位置关系？怎样进行判断呢？需要哪些步骤呢？第一步：第二步：第三步： 外离 外切 相交 内切内含例1 判断下列两圆的位置关系：（1）1)3()2(22=-++y x 与16)5()2(22=-+-y x ； （2）07622=-++x y x 与027622=-++y y x ．例2 求过点)60( ，A 且与圆01010:22=+++y x y x C 切于原点的圆的方程．变式训练：求过点)14(- ，A 且与圆0562:22=+-++y x y x C 切于点)21( ，Q 的 圆的方程．例3 已知两圆4)2(22=+-y x 与1)4(22=+-y x ：（1）判断两圆的位置关系； （2）求两圆的公切线．巩固练习1．判断下列两圆的位置关系：（1）1)2()3(22=++-y x 与36)1()7(22=-+-y x ；（2）0232222=+-+y x y x 与03322=---+y x y x ．2．已知圆m y x =+22与圆0118622=--++y x y x 相交，求实数m 的取值范围．3．已知以)34( -，C 为圆心的圆与圆122=+y x 相切，求圆C 的方程．4．已知一圆经过直线042:=++y x l 与圆0142:22=+-++y x y x C 的两个 交点，并且有最小面积，求此圆的方程．课堂小结利用圆心距和半径的大小关系判断圆和圆的位置关系．根据两圆的方程判断两圆的位置关系，会求相交两圆是公共弦所在的直线方程及弦长．课后训练班级：高二（ ）班 姓名：____________一 基础题1．圆0122:221=+-++y x y x C 与圆0442:222=-+-+y x y x C 的位置关 系是 ．2．圆5:221=+y x C 和与圆032:222=-++x y x C 的交点坐标为 ．3．圆0124:221=-++y y x C 与圆04:222=-+x y x C 的公共弦所在直线方 程为 ．4．已知动圆0264222=-+--+m my mx y x 恒过定点P ，则点P 的坐标是 ．二 提高题5．求圆心在直线04=--y x 上，且经过圆046:221=-++x y x C 与圆222:y x C +0286=-+y 交点的圆的方程．6．求圆053:221=+-+y x y x C 与圆042:222=--++y x y x C 的公共弦所在 直线方程．三 能力题7．已知一圆经过圆098:221=--+x y x C 与圆0158:222=+-+y y x C 的两个交 点，且圆心在直线012=--y x 上，求该圆的方程．。

2.2.3 圆与圆的位置关系学习目标1.掌握圆心距和半径的大小关系；2.判断圆和圆的位置关系．学习过程一 学生活动圆与圆有哪些位置关系？怎样进行判断呢？需要哪些步骤呢？第一步：第二步：第三步：二 建构知识外离 外切 相交 内切内含三 知识运用例题例1 判断下列两圆的位置关系：（1）1)3()2(22=-++y x 与16)5()2(22=-+-y x ； （2）07622=-++x y x 与027622=-++y y x ．例2 求过点)60( ，A 且与圆01010:22=+++y x y x C 切于原点的圆的方程．变式训练：求过点)14(- ，A 且与圆0562:22=+-++y x y x C 切于点)21( ，Q 的圆的方程．例3 已知两圆4)2(22=+-y x 与1)4(22=+-y x ：（1）判断两圆的位置关系； （2）求两圆的公切线．巩固练习1．判断下列两圆的位置关系：（1）1)2()3(22=++-y x 与36)1()7(22=-+-y x ；（2）0232222=+-+y x y x 与03322=---+y x y x ．2．已知圆m y x =+22与圆0118622=--++y x y x 相交，求实数m 的取值范围．3．已知以)34( -，C 为圆心的圆与圆122=+y x 相切，求圆C 的方程．4．已知一圆经过直线042:=++y x l 与圆0142:22=+-++y x y x C 的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程．四 回顾小结利用圆心距和半径的大小关系判断圆和圆的位置关系．根据两圆的方程判断两圆的位置关系，会求相交两圆是公共弦所在的直线方程及弦长．五 学习评价双基训练1．圆x 2+y 2+6x-7=0和圆x 2+y 2+6y-27=0的位置关系是_____________.2．若圆x 2+y 2=4和圆x 2+y 2+4x-4y+4=0关于直线l 对称，则直线l 的方程是______________. 3．已知圆x 2+y 2+x+2y=6116和圆(x-a)2+(y-1)2=116, 其中0<a<1, 则两圆的位置关系是________.4．圆x 2+y 2-ax+2y+1=0关于直线x-y=1对称的圆的方程为x 2+y 2=1, 则实数a 的值为____________.圆x 2+y 2+2kx+k 2-1=0与x 2+y 2+2(k+1)y+k 2+2k=0的圆心之间的最短距离是______________.5．若a 2+b 2=4, 则两圆(x-a)2+y 2=1和x 2+(y-b)2=1的位置关系是____________．6．过点(0,6)且与圆C: x 2+y 2+10x+10y=0切于原点的圆的方程是___________．7．求圆053:221=+-+y x y x C 与圆042:222=--++y x y x C 的公共弦所在直线方程．拓展延伸8．求圆心在直线04=--y x 上，且经过圆046:221=-++x y x C 与圆222:y x C +0286=-+y 交点的圆的方程．9．求与已知圆x 2+y 2-7y+10=0相交，所得公共弦平行于已知直线2x-3y-1=0且过点（-2，3），（1，4）的圆的方程．2.2.3 圆与圆的位置关系（略）2.3.1 空间直角坐标系1～4.略；5.在空间直角坐标系中，yOz 坐标平面与x 轴垂直，xOz 坐标平面与y 轴垂直，xOy 坐标平面与z 轴垂直；6.在空间直角坐标系中，落在x 轴上的点的纵坐标和竖坐标都是0，如（2，0，0），（-3，0，0），（5，0，0）；xOy 坐标平面内的点的竖坐标为0，如（1，1，0），（-1，2，0），（1，2，0）；7.（2，3，0），（0，3，4），（2，0，4）；（2，0，0），（0，3，0），（0，0，4）；8.（-1，-3，5）；（1，-3，5）；9.若两点坐标分别为111(,,)x y z 和222(,,)x y z ， 则过这两点的直线方程为111212121x x y y z z x x y y z z ---==---121212(,,)x x y y z z ≠≠≠。

芯衣州星海市涌泉学校响水中学2021届高三数学文科一轮复习教学案第35-36课时：圆与圆的位置关系一．复习要求：1、能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系〔外离、外切、相交、内切、内含〕。

2、进一步培养学生用坐标法解决几何问题的才能和数形结合的思想二．根底知识：1．圆与圆的位置关系有、、、、.2.圆与圆的位置关系的判断(1)几何法：设两圆的半径分别为R 和r(R≥r)，圆心距为d ，那么两圆的位置关系满足以下条件：外离⇔d>R ＋r 外切⇔相交⇔内切⇔内含⇔(2)代数法：解两圆的方程所组成的二元二次方程组.假设方程组有两组不同的实数解，那么两圆；假设方程组有两组一样的实数解，那么两圆；假设方程组无实数解，那么两圆.三．根底训练：1．圆C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0，圆C2：x2+y2+2x-2my+m2-3=0(1)当m=时，C1与C2外切；(2)当m=时，C1与C2内切；(3)当m∈时，C1与C2内含；(4)当m∈时，C1与C2外离.2．集合A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=r2}，其中r>0，假设A ⋂B 中有且仅有一个元素，那么r 的值是3.圆122=+y x 与圆1)1()1(22=-+-y x 的公一一共弦所在直线方程是.4．两圆(x+1)2+(y －1)2=r2和(x －2)2+(y+2)2=R2相交于P,Q 两点．假设点P 的坐标为(1，2)，那么点Q 的坐标为______________.5.方程()2222220x y ax a y +-+-+=表示的圆〔其中a≠1,且a∈R〕恒过定点．6.两圆x2+y2-6x+16y-48=0与x2+y2+4x-8y-44=0的公切线条数为.四．例题讲解：例1.圆1C 的方程是：2222450xy mx y m +-++-=， 圆2C 的方程是：2222230x y x my m ++-+-=，问m 为何值时两圆(1)相切；(2)相交；(3)相离；(4)内含。

听课随笔第二章平面解析几何初步第二节圆与方程第14课时圆与圆的位置关系2．了解用代数法研究圆的关系的优点；3．了解算法思想．自学评价1．圆与圆之间有，，，，五种位置关系．,r r，圆心距为d，2.设两圆的半径分别为12当时，两圆外离，当时，两圆外切，当时，两圆相交，当时，两圆内切，当时，两圆内含．3.思考：用代数方法，通过联立方程组，用判别式法可以判断两个圆的位置关系吗？为什么？【精典范例】例1：判断下列两圆的位置关系：2222++-=-+-=与x y x y(1)(2)(2)1(2)(5)162222（）与x y x x y y++-=++-=26706270【解】例2：求过点(0,6)A 且与圆22:10100C x y x y +++=切于原点的圆的方程．【解】追踪训练一1.判断下列两个圆的位置关系：2222(1)(3)(2)1(7)(1)36x y x y -++=-+-=与；2222(2)2232030x y x y x y x y +-+=+--=与3．2. 若圆22x y m +=与圆2268x y x y ++- 110-=相交，求实数m 的取值范围．【选修延伸】例3: 已知圆221:2610C x y x y ++-+=，圆222:42110C x y x y +-+-=，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．【解】例5：求过两圆22640x y x ++-=和 226280x y y ++-=的交点，且圆心在直线40x y --=上的圆的方程．【解】思维点拔：解题时要充分利用两圆位置关系的几何性质．追踪训练二1．一个圆经过圆221:890C x y x +--=和圆222:8150C x y y +-+=的两个交点，且圆心在直线210x y --=上，求该圆的方程．听课随笔2．已知一个圆经过直线240x y ++=与圆222410x y x y ++-+=的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程．。

第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系[最新考纲] 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)三种位置关系：相交、相切、相离． (2)两种研究方法：⎩⎨⎧d ＜r ⇔相交，弦长l ＝2r 2－d 2d ＝r ⇔相切d ＞r ⇔相离2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)．位置关系 几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离 d >r 1＋r 2 无解 外切 d ＝r 1＋r 2一组实数解 相交 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2两组不同的实数解 内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)一组实数解 内含 0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解[常用结论]1．当两圆相交(切)时，两圆方程(x 2，y 2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．2．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，那么两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，那么两圆外切．( )(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，那么两圆相交．( )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，那么O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材改编1．假设直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，那么实数a的取值X围是( ) A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C[由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋－12≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.]2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )A．内切B．相交C．外切D．相离B[两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋12＝17. ∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．]3．圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为．x －3y ＋2＝0 [因为点P (1，3)是圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0上的一点，故在点P 处的切线方程为x －3y ＋2＝0.]4．圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为．22[由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.由于x 2＋y 2－4＝0的圆心为(0,0)，半径r ＝2，且圆心(0,0)到直线x －y ＋2＝0的距离d ＝|0－0＋2|2＝2，所以公共弦长为2r 2－d 2＝24－2＝2 2.]考点1 直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：假设直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交，上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．(1)[一题多解]直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定(2)假设直线x ＋my ＝2＋m 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相交，那么实数m 的取值X 围为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)(3)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (1)A (2)D (3)C [(1)法一：(代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋y －12＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0， 因为Δ＝16m 2＋20>0，所以直线l 与圆相交．法二：(几何法)∵圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1< 5.故直线l 与圆相交．法三：(点与圆的位置关系法)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部，∴直线l 与圆C 相交．(2)圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心C (1,1)，半径r ＝1.因为直线与圆相交，所以d ＝|1＋m －2－m |1＋m2<r ＝1.解得m >0或m <0.应选D. (3)如下图，因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个．](1)直线与圆的位置关系求参数值或取值X 围，就是利用d ＝r ，d >r 或d <r 建立关于参数的等式或不等式求解；(2)圆上的点到直线距离为定值的动点个数问题多借助数形结合，转化为点到直线的距离求解．1.点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，那么直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定B [因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b 2＜1.所以直线与圆相交．]2．假设直线l ：x ＋y ＝m 与曲线C ：y ＝1－x 2有且只有两个公共点，那么m 的取值X 围是．[1，2) [画出图象如图，当直线l 经过点A ，B 时，m ＝1，此时直线l 与曲线y ＝1－x2有两个公共点；当直线l 与曲线相切时，m ＝2，因此当1≤m <2时，直线l ：x ＋y ＝m 与曲线y ＝1－x 2有且只有两个公共点．]考点2 圆与圆的位置关系 几何法判断圆与圆的位置步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长．(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d 和r 1＋r 2，|r 1－r 2|的值． (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．两圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0.(1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．[解](1)证明：圆C 1的圆心为C 1(1,3)，半径r 1＝11，圆C 2的圆心为C 2(5,6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4，|r 1－r 2|＝4－11，∴|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2， ∴圆C 1和圆C 2相交．(2)圆C 1和圆C 2的方程左、右两边分别相减，得4x ＋3y －23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离为|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 构成直角三角形，利用勾股定理求解．1.圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，那么圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离B [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋－a 2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4， 圆心M (0,2)，半径r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝0－12＋2－12＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交．]2．假设圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，那么m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9D ．－11C [圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m ＜25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，应选C.]考点3 直线、圆的综合问题切线问题过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法：当斜率存在时，设为k ，那么切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程；当斜率不存在时，要加以验证．点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． [解] 由题意得圆心C (1,2)，半径r ＝2. (1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4， ∴点P 在圆C 上． 又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，∴切线的斜率k ＝－1k PC＝1.∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝x －(2＋1)，即x －y ＋1－22＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴点M 在圆C 外部．当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3， 即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ， 即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线． 当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0，那么圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. ∵|MC |＝3－12＋1－22＝5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1. 当切线为x ＝3时，切线长为1.(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题；(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，假设仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．由直线y ＝x ＋1上的动点P 向圆C ：(x －3)2＋y 2＝1引切线，那么切线长的最小值为( )A ．1B ．2 2 C.7D ．3C [如图，切线长|PM |＝|PC |2－1，显然当|PC |为C 到直线y ＝x ＋1的距离即3＋12＝22时|PM |最小为7，应选C.]弦长问题弦长的2种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：假设弦心距为d ，圆的半径长为r ，那么弦长l ＝2r 2－d 2.(1)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B两点，假设|AB |＝23，那么直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0(2)(2018·全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，那么|AB |＝. (1)B (2)22 [(1)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1－3或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1＋3，∴|AB |＝23，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，即(x －1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为C (1,1)，圆的半径r ＝2，圆心C (1,1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，∵d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝r 2，∴k ＋22k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0.应选B.(2)由题意知圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，那么圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝|1＋1|2＝2，所以|AB |＝222－22＝2 2.]求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．提醒：对于弦长求直线方程的问题，常因漏掉直线斜率不存在的情形致误，如本例(1)．(2019·某某一模)在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215D [将圆的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心坐标为F (2，－1)，半径r＝5，如图，显然过点E 的最长弦为过点E 的直径，即|AC |＝25，而过点E 的最短弦为垂直于EF 的弦，|EF |＝2－12＋－1－02＝2，|BD |＝2r 2－|EF |2＝23，∴S 四边形ABCD ＝12|AC |×|BD |＝215.]直线与圆的综合问题直线与圆的综合问题的求解策略(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决．(2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用．直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？假设存在，请求出点N 的坐标；假设不存在，请说明理由．[解](1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a >－52，那么|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C ：x2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4y ＝k x －1 得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.假设x 轴平分∠ANB ，那么k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0⇒k x 1－1x 1－t ＋k x 2－1x 2－t＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2k 2－4k 2＋1－2k 2t ＋1k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．本例是探索性问题，求解的关键是把几何问题代数化，即先把条件“x 轴平分∠ANB 〞等价转化为“直线斜率的关系：k AN ＝－k BN 〞，然后借助方程思想求解．[教师备选例题]如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程． [解](1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6,7)，半径r ＝5， 由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b >0)． 且6－62＋b －72＝b ＋5.解得b ＝1，∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)∵k OA ＝2，∴可设l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0. 又BC ＝OA ＝22＋42＝2 5.由题意，圆M 的圆心M (6,7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝25－5＝2 5.即|2×6－7＋m |22＋－12＝25，解得m ＝5或m ＝－15.∴直线l 的方程为y ＝2x ＋5或y ＝2x －15.]过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值X 围；(2)假设OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. [解](1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，word - 11 - / 11 所以|2k －3＋1|1＋k2<1， 解得4－73<k <4＋73. 所以k 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝41＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k 1＋k 1＋k2＋8. 由题设可得4k 1＋k 1＋k 2＋8＝12， 解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.。