2019届高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第6讲对数与对数函数配套练习文北师大版

第6讲对数与对数函数,)1．对数概念如果a x＝N(a〉0,a≠1），那么数x叫做以a 为底N的对数，记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0底数的对数是1：log a a＝1对数恒等式：a log a N＝N运算性质log a（M·N)＝log a M＋log a N a>0，且a≠1, log a错误!＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M（n∈R)M >0,N〉0 2.对数函数的图象与性质a〉10<a<1图象性质定义域：（0，＋∞）值域:R过定点（1，0）当x〉1时，y〉0当0〈x〈1时,y<0当x〉1时，y〈0当0<x<1时，y〉在（0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞）上是减函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称．1．辨明三个易误点（1）在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1。

（2)对公式要熟记，防止混用．（3）对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0〈a 〈1和a〉1分类讨论，否则易出错．2．对数函数图象的两个基本点（1）当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a〈1时，对数函数的图象“下降”．(2)对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点(a，1），错误!，函数图象只在第一、四象限．3．换底公式及其推论(1）log a b＝错误!(a，c均大于0且不等于1，b〉0）；(2）log a b·log b a＝1，即log a b＝错误!（a，b均大于0且不等于1)；（3)log am b n＝错误!log a b（a〉0且a≠1，b>0，m≠0,n∈R）；(4)log a b·log b c·log c d＝log a d（a，b，c均大于0且不等于1,d>0）．1．函数y＝错误!ln(1－x）的定义域为（)A．(0，1) B．D．B 因为y＝错误!ln(1－x）,所以错误!解得0≤x〈1.2.错误!(log29）·（log34)＝（)A．错误!B．错误!C．2 D．4D原式＝错误!·错误!＝4。

2019版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.6对数与对数函数教师用书 文 北师大版1．对数的概念如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中 a 叫作对数的底数， N 叫作真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；log m n a M ④＝nm log a M (m ，n ∈R 且m ≠0)．(2)对数的性质log a N a ①＝ N ；②log a a N ＝ N (a >0，且a ≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b >0，a ，b ≠1，N >0)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图像与性质4.反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图像关于直线 y ＝x 对称．【知识拓展】1．换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a； (2)log log .m n a a nb b m＝其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，m ，n ∈R . 2．对数函数的图像与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数．故0<c <d <1<a <b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( × )(3)函数y ＝log 2x 及13log 3y x =都是对数函数．( × )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图像过定点(1,0)且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图像只在第一、四象限．( √ )1．(2016·江西吉安一中期中)log 225·log 34·log 59的值为( ) A ．6 B ．8 C ．15 D ．30 答案 B解析 log 225·log 34·log 59＝2log 25·2log 23·2log 23log 25＝8. 2．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图像是( )答案 B解析 由函数f (x )＝lg(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R .又当x >1时，函数是增加的，所以只有选项B 正确． 3．已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5a b c ＝，＝，＝，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b答案 C解析 3310log log 0.331()5,5c == ∵log 3103>log 33＝1且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x为增函数，32410log log 3.4log 3.63555.∴>>即324log 0.3log 3.4log 3.615()55>>，故a >c >b . 4．(2016·成都模拟)函数y ＝log 0.5x －的定义域为 ．答案 (34，1]解析 由log 0.5(4x －3)≥0且4x －3>0，得34<x ≤1.5．(教材改编)若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是 ．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞).题型一 对数的运算例1 (1)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n＝ .(2)计算：－log 62＋log 62·log 618log 64＝ .答案 (1)12 (2)1解析 (1)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n＝3， ∴a2m ＋n＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.(2)原式 ＝1－2log 63＋62＋log 663·log 6log 64＝1－2log 63＋62＋－log 6＋log 6log 64＝1－2log 63＋62＋1－62log 64＝－log 62log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华 对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．(1)若a ＝log 43，则2a ＋2－a＝ .(2)(2016·济南模拟)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋22－lg 2＋1＝ .答案 (1)433(2)1解析 (1)∵a ＝log 43＝log 223＝12log 23＝log 23，log log 2222a a --∴+=+log 2=＝3＋33＝433. (2)原式＝2×(12lg 2)2＋12lg 2×lg 5＋2－2＝12lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－12lg 2 ＝12lg 2＋1－12lg 2＝1. 题型二 对数函数的图像及应用例2 (1)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <1(2)(2016·合肥模拟)当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是( )A ．(0，22) B ．(22，1) C ．(1，2) D ．(2，2)答案 (1)D (2)B解析 (1)由该函数的图像通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a <1，∵图像与x 轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图像是由函数y ＝log a x 的图像向左平移不到1个单位后得到的，∴0<c <1.(2)构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在(0，12]上的图像，可知f (12)<g (12)，即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为(22，1)．思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．(1)若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )(2)(2016·新疆乌鲁木齐一诊)设f (x )＝|ln(x ＋1)|，已知f (a )＝f (b )(a <b )，则( ) A ．a ＋b >0 B ．a ＋b >1 C ．2a ＋b >0 D ．2a ＋b >1答案 (1)B (2)A解析 (1)由题意y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图像过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x＝(13)x ，显然图像错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图像性质可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图像不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图像与y ＝log 3x 的图像关于y轴对称，显然不符，故选B.(2)作出函数f (x )＝|ln(x ＋1)|的图像如图所示，由f (a )＝f (b )，得－ln(a ＋1)＝ln(b ＋1)，即ab ＋a ＋b ＝0,0＝ab ＋a ＋b <a ＋b24＋a ＋b ，即(a ＋b )(a ＋b ＋4)>0，显然－1<a <0，b >0， ∴a ＋b ＋4>0，∴a ＋b >0，故选A. 题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 比较对数值的大小例 3 (2015·天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a答案 C 解析 由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数可知m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1. 所以()0.52log 3log 30.5log 321212a f ＝＝－＝－＝，()22log 5log 52log 521214b f ＝＝－＝－＝，c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a <b .命题点2 解对数不等式例4 (1)若log a 23<1，则a 的取值范围是 ．(2)(2016·北京东城区模拟)已知函数1133(0)()log (0)x x f x x x +⎧⎪=⎨⎪⎩≤，＞，则不等式f (x )>1的解集为 ．答案 (1)(0，23)∪(1，＋∞) (2)(－1，13)解析 (1)当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内为增函数，所以log a 23<log a a 总成立．当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数， 由log a 23<log a a ，得a <23，故0<a <23.综上，a 的取值范围为(0，23)∪(1，＋∞)．(2)若x ≤0，则不等式f (x )>1可转化为3x ＋1>1⇒x ＋1>0⇒x >－1，∴－1<x ≤0；若x >0，则不等式f (x )>1可转化为log 13x >1⇒x <13，∴0<x <13.综上，不等式f (x )>1的解集是(－1，13)．命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3>0，得－1<x <3， 函数f (x )的定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增， 所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)， 单调递减区间是(1,3)．(2)假设存在实数a ，使f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －1a＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值为0.思维升华 (1)对数值大小比较的主要方法 ①化同底数后利用函数的单调性；②化同真数后利用图像比较；③借用中间量(0或1等)进行估值比较．(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．(1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．[0,2] C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 (1)D (2)A 解析 (1)当x ≤1时，21－x≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2， 解得x ≥12，所以x >1.综上可知x ≥0.(2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)，故选A.3．比较指数式、对数式的大小考点分析 比较大小问题是每年高考必考内容之一：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1. 典例 (1)(2016·全国乙卷)若a >b >0,0<c <1，则( ) A ．log a c <log b c B ．log c a <log c b C ．a c <b cD ．c a>c b(2)(2016·河南八市质检)若a ＝20.3，b ＝log π3，c ＝log 4cos 100，则( ) A ．b >c >aB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >a >b(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中不可能成立的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <aD ．a <c <b解析 (1)对A ：log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，因为0<c <1，所以lg c <0， 而a >b >0，所以lg a >lg b ， 但不能确定lg a 、lg b 的正负， 所以它们的大小不能确定，所以A 错； 对B ：log c a ＝lg a lg c ，log c b ＝lg blg c，而lg a >lg b ，两边同乘以一个负数1lg c 改变不等号方向，所以B 正确；对C ：由y ＝x c在第一象限内是增函数， 即可得到a c >b c，所以C 错； 对D ：由y ＝c x在R 上为减函数， 得c a <c b，所以D 错．故选B.(2)因为20.3>20＝1,0＝log π1<log π3<log ππ＝1， log 4cos 100<log 41＝0，所以a >b >c ，故选C.(3)由log a 2<log b 2<log c 2的大小关系，可知a ，b ，c 有如下四种可能：①1<c <b <a ；②0<a <1<c <b ；③0<b <a <1<c ；④0<c <b <a <1.对照选项可知A 中关系不可能成立． 答案 (1)B (2)C (3)A1．函数y ＝x ＋x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)答案 C 解析 要使x ＋x －1有意义，需满足x ＋1>0且x －1≠0，得x >－1且x ≠1.2．设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <aD ．a <c <b答案 B解析 ∵a ＝log 37，∴1<a <2.∵b ＝21.1，∴b >2.∵c ＝0.83.1，∴0<c <1.即c <a <b ，故选B.3．函数y ＝2log 4(1－x )的图像大致是( )答案 C解析 函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内是减少的，排除D.故选C.4．(2016·吉林模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2－x ，x ≤1，f x －＋1，x >1，则f (2 018)等于( )A ．2 019B ．2 018C ．2 017D ．2 016答案 A 解析 由已知f (2 018)＝f (2 017)＋1＝f (2 016)＋2＝f (2 015)＋3＝…＝f (1)＋2 017＝log 2(5－1)＋2 017＝2 019.5．(2016·太原模拟)设f (x )＝lg(21－x＋a )是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( ) A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 A解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，即21－0＋a ＝1， ∴a ＝－1.∴f (x )＝lg x ＋11－x ，由f (x )<0，得0<x ＋11－x<1， ∴－1<x <0.6．若函数f (x )＝log a (x 2＋32x )(a >0，a ≠1)在区间(12， ＋∞)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(12，＋∞) 答案 A解析 令M ＝x 2＋32x ，当x ∈(12，＋∞)时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝(x ＋34)2－916，因此M 的单调递增区间为(－34，＋∞)． 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32， 所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．7．(2016·渭南模拟)若x ∈(e－1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则a ，b ，c 的大小关系为 ．答案 b <a <c解析 ∵e －1<x <1，∴－1<ln x <0，∴2ln x <ln x <ln 3x ，即b <a <c .8．函数2()log )f x x =的最小值为 ． 答案 －14解析 2()log )f x x =＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (1＋log 2x )． 设t ＝log 2x (t ∈R )，则原函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝(t ＋12)2－14(t ∈R )，故该函数的最小值为－14， 故f (x )的最小值为－14.9．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间[12，23]上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是 ． 答案 (13，1) 解析 当0<a <1时，函数f (x )在区间[12，23]上是减函数， 所以log a (43－a )>0，即0<43－a <1， 解得13<a <43，故13<a <1； 当a >1时，函数f (x )在区间[12，23]上是增函数， 所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是(13，1)． 10.(2016·南昌模拟)关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R )有下列命题： ①函数y ＝f (x )的图像关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y ＝f (x )是减函数；③函数f (x )的最小值为lg 2；④在区间(1，＋∞)上，函数f (x )是增函数．其中是真命题的序号为 ．答案 ①③④解析 ∵函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R )，显然f (－x )＝f (x )， 即函数f (x )为偶函数，图像关于y 轴对称，故①正确；当x >0时，f (x )＝lg x 2＋1|x |＝lg x 2＋1x ＝lg(x ＋1x )，令t (x )＝x ＋1x ，x >0，则t ′(x )＝1－1x 2，可知当x ∈(0,1)时，t ′(x )<0，t (x )是减少的，当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x )>0，t (x )是增加的，即在x ＝1处取得最小值为2.由偶函数的图像关于y 轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④.11．已知函数f (x )＝ln x1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是 ． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b ＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14， 又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14<14. 12.设f (x )＝loga (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值． 解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 13.(2016·厦门模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝lnx ＋1x －1>ln m x －－x 恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln－x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln(x ＋1x －1)－1 ＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )，∴f (x )＝ln x ＋1x －1是奇函数． (2)由于x ∈[2,6]时，f (x )＝lnx ＋1x －1>ln m x －－x 恒成立， ∴x ＋1x －1>m x －－x >0，∵x ∈[2,6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2,6]上恒成立． 令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2,6]， 由二次函数的性质可知，x ∈[2,3]时函数g (x )单调递增， x ∈[3,6]时函数g (x )是减少的，即x ∈[2,6]时，g (x )min ＝g (6)＝7，∴0<m <7.。

§2.6　对数与对数函数最新考纲考情考向分析1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的对数函数的1213图象．3.体会对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数.以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型一般为选择、填空题，中低档难度.1．对数的概念如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a ＝log a M －log a N ；MN ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(2)对数的性质①＝N ；②log a a N ＝N (a >0，且a ≠1)．log a Na(3)对数的换底公式log a b ＝(a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．log cblog ca 3．对数函数的图像与性质y ＝log a xa >10<a <1图像定义域(1)(0，＋∞)值域(2)R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0(5)当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0性质(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称．知识拓展1．换底公式的两个重要结论(1)log a b ＝；1log ba (2)＝log a b .log m na b nm 其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，m ，n ∈R .2．对数函数的图像与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0<c <d <1<a <b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .(　×　)(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　×　)(3)函数y ＝ln 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．(　√　)1＋x1－x (4)对数函数y ＝log ax (a >0且a ≠1)的图像过定点(1,0)且过点(a,1)，，函数图像只在(1a ，－1)第一、四象限．(　√　)题组二　教材改编2．lg －lg ＋lg 7＝________.4272385答案　12解析　原式＝lg 4＋lg 2－lg 7－lg 8＋lg 7＋lg 5122312＝2lg 2＋(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝.12123．已知a ＝，b ＝log 2，c ＝，则a ，b ，c 的大小关系为________．132－1312log 13答案　c >a >b解析　∵0<a <1，b <0，c ＝＝log 23>1.12log 13∴c >a >b .4．函数y ______．答案　(12，1]解析　由log (2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.23log 23∴<x ≤1.12∴函数y .(12，1]5．已知b>0，log5b＝a，lg b＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( ) A．d＝ac B．a＝cdC．c＝ad D．d＝a＋c答案　B6．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <1答案　D解析　由该函数的图像通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a <1，∵图像与x 轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图像是由函数y ＝log a x 的图像向左平移不到1个单位后得到的，∴0<c <1.7．若log a <1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________________．34答案　∪(1，＋∞)(0，34)解析　当0<a <1时，log a <log a a ＝1，∴0<a <；3434当a >1时，log a <log a a ＝1，∴a >1.34∴实数a 的取值范围是∪(1，＋∞)．(0，34)题型一　对数的运算1．设2a ＝5b ＝m ，且＋＝2，则m 等于( )1a 1b A.B ．1010C ．20 D ．100答案　A解析　由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则＋＝＋＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.1a 1b 1log2m 1log5m 解得m ＝.102．计算：÷100＝________.(lg 14－lg 25)12－答案　－20解析　原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg ×1012(122×52)＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.3．计算：＝________.(1－log63)2＋log62·log618log64答案　1解析　原式＝1－2log63＋(log63)2＋log663·log6(6×3)log64＝1－2log63＋(log63)2＋1－(log63)2log64＝＝＝＝1.2(1－log63)2log62log66－log63log62log62log62思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．题型二　对数函数的图像及应用典例 (1)若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )答案　B解析　由题意y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图像过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝x ，显然图像错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图像性质可知正确；选项C 中，(13)y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图像不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图像与y ＝log 3x 的图像关于y 轴对称，显然不符，故选B.(2)当0<x ≤时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )12A.B.(0，22)(22，1)C ．(1，)D ．(，2)22答案　B解析　由题意得，当0<a <1时，要使得4x <log a x，即当0<x ≤时，函数y ＝4x(0<x ≤12)12的图像在函数y ＝log a x 图像的下方．又当x ＝时，＝2，即函数y ＝4x 的图像过点.12124(12，2)把点代入y ＝log ax ，得a ＝.若函数y ＝4x的图像在函数y ＝log ax 图像的下方，则需(12，2)22<a <1(如图所示)．22当a >1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值范围是.(22，1)引申探究　若本例(2)变为方程4x ＝log a x 在上有解，则实数a 的取值范围为__________．(0，12]答案　(0，22]解析　若方程4x ＝log a x 在上有解，则函数y ＝4x和函数y ＝log ax 在上有交点，(0，12](0，12]由图像知Error!解得0<a ≤.22思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．跟踪训练(1)函数y＝2log4(1－x)的图像大致是( )答案　C解析　函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.故选C.(2)(2017·衡水调研)已知函数f(x)＝Error!且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．答案　(1，＋∞)解析　如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图像，其中a表示直线在y 轴上的截距．由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．题型三　对数函数的性质及应用命题点1　对数函数的单调性典例(1)若a>b>0,0<c<1，则( )A．log a c<log b c B．log c a<log c bC．a c<b c D．c a>c b答案　B解析　当0<c<1时，y＝log c x是减函数，∴log c a<log c b，故选B.(2)(2017·江西九江七校联考)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－4,4]C ．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D ．[－4,4)答案　D解析　由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上是减少的，则≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)，故选D.a2命题点2　和对数函数有关的复合函数典例已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a >0且a ≠1)．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解　(1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0.∴a <.32又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围为(0,1)∪.(1，32)(2)假设存在这样的实数a .t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数．∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴Error!即Error!故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.思维升华 (1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响．(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．跟踪训练 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b答案　D解析　a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1.又c ＝log 23>log 22＝1，所以c 最大．由1<log 23<log 25，得>，即a >b ，1log231log25所以c >a >b .(2)已知函数f (x )＝ln 的定义域是(1，＋∞)，则实数a 的值为________．(1－a2x )答案　2解析　由题意，得不等式1－>0的解集是(1，＋∞)，由1－>0，可得2x >a ，故a 2x a2x x >log 2a ，由log 2a ＝1，得a ＝2.比较指数式、对数式的大小考点分析比较大小问题是每年高考的必考内容之一．(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <a B ．a <b <c C ．b <a <cD ．a <c <b(2)(2017·新乡二模)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <c <a(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中不可能成立的是( )A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <aD ．a <c <b(4)(2017·石家庄一模)已知函数y ＝f (x ＋2)的图像关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝f ，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是( )(14)A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析　(1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1.所以b <a <c .(2)∵a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .故选B.(3)由log a 2<log b 2<log c 2的大小关系，可知a ，b ，c 有如下四种可能：①1<c <b <a ；②0<a <1<c <b ；③0<b <a <1<c ；④0<c <b <a <1.对照选项可知A 中关系不可能成立．(4)易知y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝f ＝|log 2x |，且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )(1x )＝log 2x 是增加的，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ＝f (4)，所以b >a >c .(14)答案　(1)C (2)B (3)A (4)B1．设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( )A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b答案　B解析　∵a ＝log 37，∴1<a <2.∵b ＝21.1，∴b >2.∵c ＝0.83.1，∴0<c <1.即c <a <b ，故选B.2．(2017·孝义模拟)函数y ＝ln sin x (0<x <π)的大致图像是( )答案　C解析　因为0<x <π，所以0<sin x ≤1，所以ln sin x ≤0，故选C.3．已知偶函数f (x )，当x ∈[0,2)时，f (x )＝2sinx ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f＋f (4)等于( )(－π3)A ．－＋2B ．13C ．3 D.＋23答案　D解析　因为f＝f ＝2sin ＝，(－π3)(π3)π33f (4)＝log 24＝2，所以f ＋f (4)＝＋2，故选D.(－π3)34．(2017·北京)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与最接近的是( )MN (参考数据：lg 3≈0.48)A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093答案　D解析　由题意，lg ＝lg ＝lg 3361－lg 1080MN 33611080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，故与最接近的是1093.MN 故选D.5．(2017·江西红色七校二模)已知函数f (x )＝ln，若e xe －xf ＋f ＋…＋f ＝503(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( )(e 2 013)(2e2 013)(2 012e2 013)A ．6B ．8C ．9D ．12答案　B解析　∵f (x )＋f (e －x )＝2，∴f ＋f ＋…＋f ＝2 012，(e 2 013)(2e2 013)(2 012e2 013)∴503(a ＋b )＝2 012，∴a ＋b ＝4.∴a 2＋b 2≥＝8，(a ＋b )22当且仅当a ＝b ＝2时取等号．6．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上是减少的，则a 的取值范围为( )A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞)答案　A解析　令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上是减少的，则有Error!即Error!解得1≤a <2，即a ∈[1,2)，故选A.7．若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________.答案　433解析　∵a ＝log 43＝3＝log 23＝log 2，22log 123∴2a ＋2－a ＝log 2log 2＝＋33log 2＝＋＝.3334338．设函数f (x )＝Error!则满足f (x )≤2的x 的取值范围是__________．答案　[0，＋∞)解析　当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥，所以x >1.12综上可知x ≥0.9．(2017·南昌模拟)设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________．答案　(0,1)解析　由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图像和直线y ＝c 有两个不同交点，∴ab ＝1,0<c <lg 10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1)．10．函数f (x )＝log 2·x )的最小值为________．x答案　－14解析　f (x )＝log 2·(2x )＝log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (1＋log 2x )．设t ＝log 2x (t ∈R )，则原x12函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝2－(t ∈R )，故该函数的最小值为－.故f (x )的最小值为－.(t ＋12)14141411．已知函数f (x )＝log a(2x －a )在区间上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是[12，23]________．答案　(13，1)解析　当0<a <1时，函数f (x )在区间上是减函数，所以log a >0，即0<－a <1，[12，23](43－a)43又2×－a >0，解得<a <，且a <1，故<a <1；12134313当a >1时，函数f (x )在区间上是增函数，[12，23]所以log a (1－a )>0，即1－a >1，且2×－a >0，12解得a <0，且a <1，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是.(13，1)12．(2018·长沙模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log x .12(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解　(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝(－x )．12log 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以x <0时，f (x )＝log (－x )，12所以函数f (x )的解析式为f (x )＝Error!(2)因为f (4)＝4＝－2，f (x )是偶函数，12log 所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，55所以0<|x2－1|<4，解得－<x<且x≠±1，又当x2－1＝0时，f(0)＝0>－2成立，5555所以－<x<.即不等式的解集为(－，)．13．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上是增加的，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2) B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2) D ．不能确定答案　A解析　由已知得0<a <1，所以1<a ＋1<2，根据函数f (x )为偶函数，可以判断f (x )在(0，＋∞)上是减少的，所以f (a ＋1)>f (2)．14．已知函数f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝x －m ，若对任意x 1∈[0,3]，存在x 2∈[1,2]，使得(12)f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )A. B.[14，＋∞)(－∞，14]C.D.[12，＋∞)(－∞，－12]答案　A解析　当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝－m ，由题意可知原14条件等价于f (x )min ≥g (x )min ，即0≥－m ，所以m ≥，故选A.141415．已知函数f (x )＝ln ，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________．x1－x 答案　(0，14)解析　由题意可知ln ＋ln ＝0，a1－a b 1－b 即ln ＝0，从而×＝1，(a1－a×b1－b )a1－a b1－b 化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－2＋，(a －12)14又0<a <b <1，∴0<a <，故0<－2＋<.12(a －12)141416．(2017·厦门月考)已知函数f (x )＝ln .x ＋1x －1(1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝ln >ln 恒成立，求实数m 的取值范围．x ＋1x －1m(x －1)(7－x )解　(1)由>0，解得x <－1或x >1，x ＋1x －1∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln ＝ln －x ＋1－x －1x －1x ＋1＝ln －1＝－ln ＝－f (x )，(x ＋1x －1)x ＋1x －1∴f (x )＝ln 是奇函数．x ＋1x －1(2)∵x ∈[2,6]时，f (x )＝ln >ln 恒成立，∴>>0，x ＋1x －1m(x －1)(7－x )x ＋1x －1m(x －1)(7－x )∵x ∈[2,6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在[2,6]上恒成立．令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2,6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2,3]时函数g (x )是增加的，x ∈[3,6]时函数g (x )是减少的，∴当x ∈[2,6]时，g (x )min ＝g (6)＝7，∴0<m <7.。

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第6讲对数与对数函数一、选择题1．函数f(x)＝错误!的定义域为( )A．错误!B．（2，＋∞）C．错误!∪（2，＋∞）D．错误!∪[2,＋∞）解析：选C.要使函数有意义，(log2x)2－1〉0,即log2x>1或log2x<－1,所以x>2或0〈x<12，即函数f(x）的定义域为(0，错误!)∪（2，＋∞）．2．设函数f(x）＝log a｜x|在(－∞，0）上单调递增，则f（a＋1）与f （2)的大小关系是( ）A．f（a＋1)〉f(2) B．f（a＋1)〈f(2）C．f（a＋1）＝f（2）D．不能确定解析：选A.由已知得0<a〈1,所以1〈a＋1<2,又易知函数f(x）为偶函数，故可以判断f(x）在（0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)>f（2)．3．设a＝log510，b＝log612，c＝log714，则（）A．c>b>a B．b>c〉aC．a>c>b D．a>b>c解析：选D。

因为a＝log510＝1＋log52，b＝log612＝1＋log62，c＝log714＝1＋log72,又0〈log25<log26〈log27，所以log52>log62〉log72>0，所以a>b〉c，故选D。