2017年春季学期新版新人教版八年级数学下学期16.2、二次根式的乘除课件31

36 8 -2 6 =6 -2 8 6=-12 48
4 4 9 16=4 9 16=4 3=12
16
16
解答过程
解答（2）正确（1）（3）（4）不正确
1因为 -4与 -9无意义，又因为-4 -9=4 9 所以1 (4) (9)= 4 9= 36=6
36 8 -2 6 =6-2 8 6=-12 42 3=-48 3
2、32
20
-
5
-
1 3
48
3 2
ab
ab2
-
3 2
a3b 1 3
a
b
解答过程
4、计算
解1- 3
2
6
-
1 3
48
= =
1 2
-
3 2
62
1 -3 2
6642
=6 2
问题解答
解2、32
20
-
5
-
1 3
48
=
3 2
-1
-
1 3
42 52 22 3
=1 452 3 2
计算：
1 3 24 2 6
4
3
提高练习
2
-
2 3
42
-6
56
3
3 2
20
- 15
-
1 3
48
4 2
b
ab2
-
3 2
a3b 3
a
b
精讲指导
解：1 3 24 2 6 = 3 2 24 6 = 1 4 62 =6
4
3
43
2解2来自-2 342
-6
56
=
-
2 3
-6

解：当 d＝20 米，f＝1.2 时，v＝16 df＝16× 20×1.2＝16 24＝32 6≈ 78.38(千米/时)．答：肇事汽车的车速大约是 78.38 千米/时．
16.2 二次根式的乘 除 第1课时 二次根式 的乘法
ab 1．二次根式的乘法：如果 a≥0，b≥0，则 a· b＝_______.
a· b ． 2．积的算术平方根：如果 a≥0，b≥0，则 ab＝__________
1．(2 分)计算 8× 2的结果是( A. 10 B．4 C. 6 D．2 2．(3 分)下列各等式成立的是(
9 2 cm2 ． 3 6 cm，那么这个三角形的面积为__________
5．(8 分)计算下列各题： (1) 3× 5； (2) 1 2× 32；
解：(1)原式＝ 15
(2)原式＝ 16＝4
1 y.
(3)6 8×(－3 2);
(4)4 xy·
解：(3)原式＝－72
(4)原式＝4 x
6．(3 分)化简二次根式 （－3）2×5的结果为( B ) A．－3 5 B．3 5 C．±3 5 D. 45 7．(3 分)下列各式正确的是( D ) A. （－4）×（－9）＝ －4× －9 B. C. 9 16＋4＝ 16× 4 49＝ 4× 4 9 9 4
解：(4)原式＝40 10
19 ． (8 分 ) 我 们 赋 予 “※” 一 个 实 际 含 义 ， 规 定 a※b ＝ a＋b· a－b(a＞b)，试求 5※3.
解：5※3＝ 5＋3× 5－3＝ 8× 2＝ 16＝4.
20．(12 分)交通警察根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的 速度，所用的经验公式是 v＝16 df，其 v 表示车速(单位：千米/时)， d 表示刹车后车轮滑过的距离(单位：米)，f 表示摩擦因数，在某次交 通事故调查中，测得 d＝20 米，f＝1.2，肇事汽车的车速大约是多少？ (结果精确到 0.01 千米/时)

拓展提高
例7 分母有理化：
3 1 ( 3+1)( 3+1) (1) 2 3 3 1 ( 3 1)( 3 1)
1 3 2 1( 3+ 2 ) (2) 3 2 3 2 ( 3 2)( 3 2) 3 2
拓展提高
例8 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a,b.已知
人教版数学八年级下册
16.2二次根式的乘除 （2）
新知导入
二次根式的乘法：
a b ab ( a 0, b 0)
ab a （ b a 0， b 0）
现在我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算， 那么，两个二次根式能否进行除法运算呢？
24
3 = _____ ； 2 3
1 = _____ ． 18
新知讲解
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规
律？
2 = （1 ） 3 ； ９ _______
16
４
2 4 = 3 9 _______ ；
4 16 4 = = （2 ） 5 5 ； 25 _______ ； 25 _______ 6 6 36 = = （3 ） 7 ； 49 _______ 7 49 _______ ．
b2 b2 b (3) 3 6 6 81a 9a 81a
64a 2 (4) 2 4 49 x y
8a 2 2 4 7 xy 49 x y
64a 2
新知讲解
例4
1
3 5
2
3 2
3
8 2a
3 3 5 15 15 （1） = = = 2= 解： 5 5 5 5 5 5 3
新知讲解
小试牛刀 化简：

22
35
3 4
32 3 4 4
2
3
2
巩固练习
连接中考
（2019•株洲） 2 8 ＝（ B ）
A．4 2
B．4
C．10
D．2 2
课堂检测
基础巩固题
1.下面计算结果正确的是 ( D )
A. 4 5 2 5 8 5
B. 5 3 4 2 20 5
C. 4 3 3 2 7 5
人教版 数学 八年级 下册
16.2二次根式的乘除
第一课时 第二课时
第一课时
二次根式的乘法
返回
导入新知
如何计算 5 3？
苹果ios手持操作系统的图标为圆角矩形，长为 5 cm， 宽为 3cm，则它的面积是多少呢？
素养目标
2. 会运用二次根式的乘法法则和积的算术平 方根的性质进行简单运算. 1. 掌握二次根式乘法法则.
不成立！
- 4、- 9 没有意义！
因此被开方数a，b需要满足什么条件？
a，b是非负数，即a≥0,b≥0
探究新知
二次根式的乘法法则是:
在本章中， 如果没有特 别说明，所 有的字母都 表示正数．
二次根式相乘，_根__指__数___不变，被__开__方__数__相乘.
语言表述： 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
探究新知
方法点拨
比较两个二次根式大小的方法： (1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内， 当两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大．
(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式 都是正数时，平方大的二次根式大． (3)计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的 近似值，再进行比较．

求证： a b a b a 0,b 0.
证明：根据积的乘方法则，有 ( a b)2 ( a)2 ( b)2 ab.
∴ a b 就是ab算术平方根.
又∵ ab 表示ab算术平方根， ∴ a b ab (a 0,b 0.)
知识归纳
二次根式乘法法则：
例8 设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.
反之： ab = a b （a≥0，b≥0 ）． （a≥0，b≥0 ）．
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
解：(2)∵
，
(1)
___×___=____;
（a≥0，b≥0 ）．
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
2 7= ？
精典例题
例1 计算：
（1） 16 81 ；（2） 12 ；（3） 4a2b3 ． 解：（1） 16 81=36；
（3） 3x 1 xy = 3x 1 xy =x y.
3
3
目标导学三：二次根式的除法
我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，那 么，两个二次根式能否进行除法运算呢？
24 = _____ ； 3 1 = _____ ．
3
2 18
合作探究
问题 计算下列各式，观察计算结果，你能发现 什么规律？
（1） ４ = ９
特殊化，从能开得尽方的 二次根式乘法运算开始思考！
2 7= ？
目标导学一：二次根式的乘法 计算下列各式:
(1) 4 9= __2_×_3__=__6__; 4 9 =___3_6___6__;
(2) 16 25 __4_×_5__=__2_0_; 16 25 =__4_0_0___2_0_; (3) 25 36=__5_×_6__=__3_0_; 25 36 =__9_0_0___3_0_.

3 2

6


2 5

3


6 5
.
如果根号前有系数，就 把系数相除，作为 商的系数.
最简二次根式
上述几个例题中运算的最后结果，都有如下两个特点： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
说明：二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最 简二次根式，并且分母中不含二次根式.
6 52 2 65 2
30 2；
含系数的二次根 式相乘，将系数 相乘作为积的系 数，被开方数相 乘作为积的被开
方数.
（3） 3x 1 xy 3x 1 xy x2 y
3
3
x2 y x y .
本章中二次根式相 乘时，如没有特别 说明，所有的字母
都表示正数.
归纳
（1） 16 81； （2） 4a2b3 .
这样运算的作用： 化简二次根式
. 解：（1）16 81 16 81 4 9 36 ；
（2） 4a2b3 4 a 2 b3
2a b2 b 2ab b .
a2 a可以看作公式 ab a b 在 a b 时
2 2 3 6.
3 3 3 3
利用第（1）题中解 法2的方法去掉分 母中的根号.
（3） 8 8 2a 4 a 2 a .
2a 2a 2a 2a a
二次根式的运算中， 最后结果分母一般 不含二次根式.
应用（2）
例4 计算： （1） 4 1 7 ；
5 10
（2） 2
的算术平方根.
有何作用？

解： ( 思考】乘法法则是如何得出的?二次根式的除法该怎样算呢2 除法有没有类似的法则?
学习 目标 3. 理解最简二次根式的概念，能熟练地将二 次根式化为最简二次根式。
2. 会运用除法法则及商的算术平方根进行简 单运算.
1. 掌 握二次根式的除法法则，会用法则进行计算.
探究新知 知识点1
二次根式的除法
探究新知
归纳总结 二次根式的乘法法则的推广： ①多个二次根式相乘时此法则也适用，即
√a·√b .....√n=√ab...n(a≥0,b≥0....n≥0)
②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号 外的因数(式),被开方数的积作为被开方数，即
化简：
(1)√ 16×81;(2)√4a²b³(a≥0,b≥0).
解：(1)√ 16×81
(2)√4a²b³
(2 ) 中4 ²ab³ 含有 像 4 a²,b²,, 这
= √16×√81
=√4O√a²O√b³
样开的尽方的因 数或因式，把它
=4×9
=36;
=2OaO√b²Ob
们开方后移到根 号外.
巩固练习
计算：
(1)
(2)
●
解： (1) (2)
提示：像(2)中除式是分数或分(1)
(2)
(3)
●
解：(1)
探究新知
考点② 利用二次根式的除法法则计算根号外因数不是1的 二次根式
计算： (1) 解：(1)
假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.
巩固练习 计算，看谁算的既对又快.
重
探究新知
方法点拨
化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数);

想一想：
化简：（1） 1 2 -1
（2） 2 2 3
13
小结 课件在线
1.二次根式的除法利用公式:
a aa 0,b 0
bb
2.最简二次根式:
a b
a a 0,b 0
b
(1).被开方数不含分母;
(2).被开方数不含能开得尽方的因 数或因式.
3.在二次根式的运算中，对最后结果的要求。
14
比一比，看谁最棒
2 3
,
2.
16 49
4 7
,
(3) 2 ＝ 2 33
4 9
2 3
4 4 99
16 49
4 7
16 49
16 49
2＝ 2
55
规律:
a a
b
b
a 0,b 0
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的
被开方数 6
课件在线
二次根式的除法公式的应用：
例4： 计算1 24 ，
3
2 3 1
2 18
（3） 8 2a
课件在线 10
课件在线
做一做：教材第10页练习第1、2、3题.
11
课件在线
应用新知 例： 设长方形的面积为S，相邻两边长分别 为a，b.已知S= 2 3，b= 10,求a.
解：因为S= ab, 所以
a S 2 3 2 3 10 30 . b 10 10 10 5
12
课件在线
课件在线
（1）4 3 a 3 8 3 ( 2) a2 b 5 x3 y a b 2 0
a
xy
(3 ) 18 2 x3 3 3 x y (4) 3ab 6 b
3a
15
课件在线

1 计算： (1) 2 5 ；(2) 3 12 ；
(3) 2 6
解：(1) (2)
1 1 ；(4) 288 . 2 72 2 5 2 5 10;
3 12 3 12 36 6; 1 1 (3)2 6 2 6 2 3; 2 2 1 1 (4) 288 288 4 2. 72 72 （来自《教材》）
数时，应留负号在根号外，然后再平方后移到根号内.
第十六章
二次根式
16.2
二次根式的乘除
第 1 课时
二次根式的
乘法
1
课堂讲解
二次根式的乘法法则 积的算术平方根的性质
2
课时流程
逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升
复习提问 1.什么叫二次根式？
形如 a (a≥ 0)的式子叫做二次根式 . 2.两个基本性质:
a
a
2
2
=a (a≥ 0) a (a≥ 0) =∣a∣ = －a (a＜0)
知1－导
知识点
探究
1
二次根式的乘法法则
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ (1) 4 9 =_______, 4 9 =_______; (2) 16 25 =_______, 16 25 =_______; (3) 25 36 =_______,
25 36 =_______.
知1－讲
法则： 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指 数不变， 即： a b ab (a≥0，b≥0)．
知1－讲
例1 计算： (1)
3 5 ；(2)
1 27. 3
解：(1) 3 5 15;
(2)

问题7 观察下列各式，把不是最简二次根式的化
把一个二次根式化为最简二次根式的依据是二
被开方数不含分母；
径的比是______________.
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算下面式子的值．
被开方数不含分母；
应用概念
个电视塔的高分别是h1 km，h2 km，那么它们的传播半
问题4 把下列二次根式化成最简二次根式． 2 二次根式的混合运算
．
问题2 观察上面各小题计算的最后结果并思考：
（2）这些结果有什么共同特点，你认为一个二次根式
把二次根式化简到最简二次根式．
（1） （2） （3） （4）
2 二次根式的混合运算
个电视塔的高分别是h1 km，h2 km，那么它们的传播半
本课是在学习了二次根式的乘除运算法则和用法则
本课是在学习了二次根式的乘除运算法则和用法则
（1） （2） （3）
（1） （2） （3） （4）
被开方数不含分母；
a，b．已知S = ，b = ，求a .
2 二次根式的混合运算
作业：教科书第10页练习第3题；
习题16.
应用概念
问题5 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为 a，b．已知S = 2 3 ，b = 1 0 ，求a .
应用概念
问题6 现在我们来看本章引言中的问题：如果两 个电视塔的高分别是h1 km，h2 km，那么它们的传播半 径的比是______________.
5
27
2a
解：（1）
3= 3= 35= 15= 15； 5 5 55 52 5
（2） 3 2=3 27
2= 32 3
2= 3
6； 3
（3）
8= 23 2a=4a=2a． 2a 2a 2a 2a a

正确解法： (4)(9) 49 6.
巩固新知 深化理解
1.下列运算正确的是（ D ） A.2 18 3 5 6 80 B. 52 32 52 32 5 3 2 C. (4)(16) 4 16 (2)(4) 8 D. 52 32 52 32 53 15
用你发现的规律填空：
(1) 2 3 = 23; (2) 3 5 = 35.
（1） 4 9 = 4 9； （2） 16 25= 16 25； （3） 25 36 = 25 36.
实战演练 运用新知
例1 计算:
(1) 3 5; (2) 1 27; 3
(3) 2 3 5.
是 3 x5 .
巩固新知 深化理解
5.设长方形的面积为S，相邻两边分别为 a ，b . (1)已知 a 8 , b 12 ，求S；
解：由题意得：
S = *b = 8 12
= 8 12 = 42 23
= 4 6.
（2）已知 a 2 50 , b 3 32 ，求S.
4 2.
合作探究 获取新知 分母有理化
把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就
叫做分母有理化.
化简: （1） 3 ; 5
解:（1） 3 3 5 5 5 5
（2） 1 . 3 2
（2） 1
1（ 3+ 2）
3 2 （ 3 2）（ 3+ 2）
15 . 5
归纳 有理化因式确定方法:形如
合作探究 获取新知 归纳总结
想一想：3 5 2 2 如何计算呢？ 解：3 5 2 2=（3 2）（ 5 2）=6 10.
二次根式的乘法扩充法则： m a n b =mn ab（a 0,b 0)

解：4a2b3 22a2b2b 22 a2 b2 b2ab b
解：x4 x2y2 x2(x2 y2) x2 x2 y2 x x2 y2
练习2：计算（这里的字母都是非负数）
(1)3 bc 16ab2c3 2
(2) 2x3y 18xy3
6bc2 ab
6x2y2
16 16 4
49 497
例5:计算
25x5 6 xy
9 y3
Hale Waihona Puke 解 : 2 5 x 5 6 x y 2 5 x 5 5 2 x 45 2 6 x 4 5 x
9 y 3
9 y 3 6 x y 9 6 y 4 1 8 2 y 4 1 8 y
练习：计算
16b2c a2
0.9ba4c
解 :1 6 a b 2 2 c 0 .9 b a 4 c 1 9 6 a 1 2 b 0 a b 4 2 c c 1 6 9 1 a 0 6 b 3 4 a 3
16.2二次根式的乘除
探讨1
4 9 36 62 6 6
1625 40 0 20 2 220 0
4 9 23
16 25
4 9 49 16 25 1625
请同学们根据以上例子讨论、归纳总结出一般 规律
二次根式相乘:
abab(a0,b0)
把被开方数的积作为积的被开方数
44
请大家从观察被开
9
方数，想一想？
解:原式=
4 4 22
9
3
正确解法：
44 9
总结：遇到被开方数是带分数， 化带分数为假分数
解：原式=
练习：
40 40
9
9
4 10 3

解：2
-4a
b 0，a＞0
b
∴b＜0
（-b）2=b2
-4a = -4ab =- 2 -ab b bb b
拓展应用
1、计算
1 x-y
x+ y
2
24
-2
3 4
-3
5
3
a+b a-b =a 2 -b2
乘除混合运算从左到右
解1
x-y
x-y
=
=
x-y
x- y
x + y x + y
4a2 =2a
精讲精炼 因为 a a a 0,b＞0
bb
反过来 a a a 0,b＞0这个公式可以对
bb 二次根式进行化简吗？
放手一试吧
例题精讲
例2化简
1 3
100
解：1 3 = 3 = 3
100 100 10
解2
75 = 27
52 32
3 3
=
52 = 5 32 3
2
75 27
巩固训练2
第十六章 二次根式
16.2二次根式的乘除
第一课时 二次根式的乘法 第二课时 二次根式的除法
动手做一做
一、复习导入： 我们知道二次根式 2、3…… （a a 0）都是实数，
那么这些实数运算满足怎样的运算法则呢？下面 同学们动手做一做：
1 4 9= 6 2 16 25= 20
49= 6 16 25=20
2 Rh 2
解 2Rh1 = 2R h1 = h1 = h1 h2 = h1h2 2Rh2 2R h2 h2 h2 h2 h2
由此可得传播半径比只与高度有关
能力提升
1、在

例3 化简
1 3 2 3 2
5
27
3 8 ( 4 ) 0 .1
2a
0 .2
解 解 2 3 解 思原 原 法法 考12::原 ：原 ： 式 你式 3 式 式 3 能2 4 3 2 用原 530 0 3.. 2 1 哪 a 2 1 1 些5353 2 式 ＝ 方0 0 552 法a 1 2 15＝ 3 2 去 ＝ 12 掉551 2 2 a 分3 3 2 2 ＝ 母12a 55中a 2 3 2 6的 512 根5a 号a？ 5 5 5 注意：要进行根式化简， 关键是要搞清楚分式的 分子和分母都乘什么， 有时还要先对分母进行 化简。
10
＝
10
20 ＝ 2 5 ＝ 5
60
60 30
注意：要进行根式化简，关键是要搞清楚分 式的分子和分母都乘什么，有时还要先对分 母进行化简。
最简二次根式
1、被开方数不含分母； 2、被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式。 我们把满足上述两个条件的二次根 式 式二一，次般叫根要做式写最的成运简最算二简中次二，次根最根式后式。的的结形果式中。的二次根
1 3252 32 523515
正确解法： 32 52 32 52 3 5 15
248 412 212 2 4 3 4 3
48 163 42 3 4 3
3 4 a 2 b 24 a 2b 2 2 a b ～～～～～ 性质错用
二次根式的除法法则：
a a(a≥0，b0) bb
解：1 9a3b
32•a2•a•b
3a ab
2 4b212 ab 2
4b213a
2b 13a
一般步骤： ①先把被开方式分解成平方 因子和其它因子相乘的形式。
②再根据积的算术平方根的 性质和a2 a(a 0) 把平方因 子移到根号外。