冀教版九年级数学上册《圆的概念及性质》

冀教版九年级圆的知识点总结归纳圆是几何中的重要概念之一，它广泛应用于几何、物理等领域。

在冀教版九年级数学教材中，关于圆的知识点和性质进行了详细的介绍和探究。

本文将对冀教版九年级数学教材中关于圆的知识点进行总结和归纳，以帮助同学们更好地掌握和理解圆的概念和性质。

一、圆的定义与相关概念在学习圆之前，我们首先要了解圆的定义和相关概念。

1. 圆的定义：圆是平面上到一定点距离相等的点的集合。

2. 圆的元素：圆心、半径、弧、弦、直径等。

3. 相关概念：直径、半径、弧长、弦长、圆心角、圆周角等。

二、圆的性质及相关定理1. 圆的性质：(1) 圆上任意两点与圆心连线的长度相等；(2) 圆的半径相等；(3) 圆上的任意弧都小于或等于半圆；(4) 圆上的任意弧所对的圆心角相等；(5) 圆上的任意弧所对的弧长与圆心角大小成正比。

2. 相关定理：(1) 弧长定理：圆的弧长与圆心角的大小成正比；(2) 弧度制与角度制的转换关系：1弧度= 180° / π ；(3) 圆心角定理：位于同一个圆上的两个弧所对的圆心角相等；(4) 弦切定理：切线与弦的关系。

三、圆的应用1. 圆的面积计算：圆的面积公式为：S = πr²，其中S为圆的面积，r为圆的半径。

2. 相关应用题：(1) 已知圆的半径，如何求圆的周长和面积；(2) 如何判断一个点在圆内或外；(3) 如何判断两个圆的位置关系。

四、圆的构造1. 构造圆的方法：(1) 已知圆心和半径，可以利用圆规和直尺来画出一个圆；(2) 已知圆上的三个点，可以通过连线构造出圆。

2. 相关构造题：(1) 如何通过点和直线构造圆；(2) 如何通过两个不同的点构造圆。

五、圆的证明题在九年级数学教材中，我们还会遇到一些关于圆的定理的证明题，如三角形内切圆和外接圆的性质证明等。

对于这类题目，我们需要灵活运用所学知识，利用图形特点和定理推理，进行证明。

综上所述，圆是数学中一个重要且广泛应用的几何概念，掌握圆的相关知识点和性质对于我们理解几何学和应用数学非常重要。

【文库独家】圆的知识点总结（一）圆的有关性质［知识归纳］1. 圆的有关概念：圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。

2. 圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性。

3. 圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆。

4. 垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。

5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。

推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

6. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

28.1圆的概念及性质圆是初中几何中重要的内容之一.本节建立圆的概念，认识圆的轴对称性与中心对称性及圆的有关概念。

讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验.。

数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题.利用现代多媒体帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。

1）通过观察、操作、归纳等理解圆的定义，能在圆形中准确识别圆心、半径、弦、圆弧、等圆、等弧等相关概念；认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形和圆的旋转不变形。

2）采用多媒体和教具相结合，学生自主学习和小组合作相结合的教学方法，让学生理解圆的不同定义，感受圆和实际生活的联系，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。

3）体会“从一般到特殊”的数学思想方法及在解决问题的过程中与他人合作的重要性。

重点：圆的定义及相关概念和性质学习。

难点：圆的定义。

多媒体，圆规，直尺，绳子，橡皮筋。

【教学环节安排】教学环节教师活动学生活动设计意图活动一创设情境引入新课教师出示屏幕上的图片并提出问题：你还能举出生活中与圆有关的例子吗？学生观察图片，感悟并思考圆在生活中的广泛应用。

让学生从实际出发，充分发现教学与实际的联系，激发学生的积极性。

自主学习认识概念教师在屏幕出示问题：①什么叫做弦、弧、等圆、等弧？②等圆的半径有什么关系？③长度相等的弧是等弧吗？学生带着问题自学教材认识圆的有关概念。

并把学习困惑在全班交流。

培养学生自学能力，发现问题、解决问题的能力。

活动二民主讨论以小组为单位请同学们利用绳子、橡皮筋、等工具画圆。

教师巡视指导。

最后，出示课件得到圆的动态定义。

学生画圆，同时思考：圆的形成过程及元素。

并交流困惑。

动手操作为学生架起由感性认识到理性认识的桥梁，在操作中探究，在实践中建构新知。

活动三个性展示教师在屏幕出示问题：①在圆上任取3个点，量一量，它们到圆心的距离相等吗？②平面内到点O的距离等于半径OA的点都在圆上吗？③请试着归纳出圆的定义。

九年级上册数学冀教版圆的知识点圆是数学中的一个基础概念，也是九年级上册数学冀教版中的一个重要知识点。

本文将为大家详细介绍圆的定义、性质以及一些相关定理，以帮助大家更好地理解和应用圆的知识。

一、圆的定义圆是平面上一组与一个固定点的距离都相等的点构成的集合。

这个固定点叫做圆心，到圆心的距离叫做半径。

圆可以用符号“O” 表示。

二、圆的性质1. 圆的半径相等的两条弦相等。

证明：对于圆O，假设弦AB和弦CD的长度相等，即AB=CD。

连接AO、BO、CO、DO。

由圆的定义可知，AO=BO=CO=DO，所以△AOB≌△COD。

根据三角形的性质可知 AB=CD。

2. 相等弧所对的圆心角相等。

证明：设圆弧AB和圆弧CD等长，即 AB=CD，连接AO、BO、CO、DO。

根据圆的性质可知 AO=BO=CO=DO，同时根据圆的定义可知 AO=CO，BO=DO。

故有△AOB≌△COD，所以∠AOB=∠COD。

3. 在同一个圆中，离圆心较远的弧所对的圆心角比离圆心较近的弧所对的圆心角大。

证明：设弧AB较长，弧CD较短，连接AO、BO、CO、DO。

根据圆的性质可知AO=BO=CO=DO，但由于CD<AB，所以∠COD<∠AOB。

三、相关定理1. 直径定理直径是圆上任意两点之间的最长线段，也是通过圆心的两条弦之一。

直径是圆上最特殊的一条弦，有一个重要的定理与之对应：圆上的任意弦若与直径垂直，则该弦是直径。

证明：设弦AC与直径BD垂直，连接BC和AD。

根据圆的性质可知AB=CD，并且∠BAC=∠BDC=90°，所以△ABC≌△CBD。

由此可知AC=BD，即弦AC与直径BD相等，所以弦AC是直径。

2. 弦割定理在同一个圆内，若有两条弦AB和CD相交于点E，则AE·EB=CE·ED。

证明：连接OA、OB、OC、OD。

根据圆的性质可知OA=OC，OB=OD，所以△OAE≌△OCE，△ABE≌△CDE。

九年级数学第二十七章第1节圆的基本概念和性质冀教版【本讲教育信息】一、教学内容：圆的基本概念和性质1. 理解圆、圆心、半径、弦、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等有关概念；2. 理解圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；3. 掌握在同圆或等圆中，弧与弦的相等关系；4. 理解垂直于弦的直径的性质定理及其推论.二、知识要点：1. 圆的基本概念（1）平面上到定点O的距离等于定长（OA的长）的所有点组成的图形叫做圆，定点O叫做圆心，线段AO叫做圆的半径. 以O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.确定一个圆需要两个要素：一是位置，二是大小. 圆心确定其位置，半径确定其大小. 只有圆心没有半径，虽然圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径没有圆心，虽然圆的大小确定，但圆心的位置不定，因而圆也不确定，只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定.（2）连结⊙O上任意两点A、B的线段叫做⊙O的弦. 过圆心的弦叫做圆的直径. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 以A、B为端点的弧用“︵AB”表示，读作“弧AB”. 圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.（3）能够重合的两个圆叫做等圆，能够重合的两条弧叫做等弧. 显然，半径相等的两个圆是等圆.2. 圆的基本性质（1）圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴. 圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心.（2）在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等.D（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.（4）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧.三、重点难点：圆的基本概念和性质、垂直于弦的直径的性质定理及其推论是本讲的重点，也是本讲的难点.四、考点分析：本节知识是中考命题的重要内容，主要考查垂直于弦的直径的性质及其推论、弧与弦之间的关系进行有关的计算与证明，出现在填空题、选择题及各类中、高档题中，其中几何应用题也常以此为背景.【典型例题】例1. 如图所示，圆中有__________条直径，__________条非直径的弦，圆中以A 为端点的优弧有__________条，劣弧有__________条.A分析：直径：过圆心的弦. 非直径的弦：不过圆心的弦. 优弧：大于半圆的弧，通常用三个字母表示，例如：︵ADC ，︵ADF ，︵AFE ，︵AFD. 劣弧：小于半圆的弧，通常用两个字母表示，例如：︵AD ，︵AE ，︵AF ，︵AC.解：1 2 4 4例2. 如图所示，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，OD ⊥AB 于M ，则可得出AM ＝BM ，︵AC ＝︵BC 等结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论：__________.D分析：由垂直于弦的直径的性质知⎩⎪⎨⎪⎧DC 是直径，OD ⊥AB ⇒AM ＝BM ，︵AC ＝︵BC ，︵AD ＝︵BD. 由圆的有关性质知，在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等. ∵︵AC ＝︵BC ，∴AC ＝BC. 又∵OD ⊥AB ，∴∠ACM ＝∠BCM ，∴∠A ＝∠B.解：︵AD ＝︵BD ，AC ＝BC 等.评析：垂直于弦的直径的性质及其推论可概括为：如果一条直线具有①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧这5个结论中的任意2个，就可推出其余3个，但应注意“经过圆心，平分弦”作为题设时，必须是非直径的弦.例3. 如图所示，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 的半径长为__________cm .分析：欲求半径长，可连接OB ，由垂直于弦的直径的性质，可得BC ＝AC ＝12AB ＝12×8＝4（cm ）. 在R t △OCB 中，OB ＝OC 2＋BC 2＝32＋42＝5（cm ），即⊙O 的半径长为5cm .解：5 评析：（1）垂直于弦的直径的性质的应用常与勾股定理相联系；（2）连接半径是圆中常见的一种辅助线的做法，通过连接半径可构造出直角三角形，利用勾股定理求相关线段的长度.例4. 如图所示，已知弦AB ＝CD ，求证：︵AC ＝︵BD.A分析：据弧与弦的关系定理可得：AB ＝CD ，∴AB －︵BC ＝︵CD －︵BC ，即︵AC ＝︵BD. 证明：在⊙O 中，∵AB ＝CD ， ∴︵AB ＝︵CD ，∴︵AB －︵BC ＝︵CD －︵BC ，即︵AC ＝︵BD. 评析：（1）在运用弧与弦的关系定理时应注意其成立的条件“同圆或等圆中”；（2）它也是证明弧相等和弦相等的常用方法.例5. 某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一个竹排运送一货箱欲从桥下经过，已知货箱长10米，宽3米，高2米，则货箱能否顺利通过该桥？分析：如图所示，︵AB 表示拱桥，AB ＝7.2米，CD ＝2.4米，EF ＝3米，D 为AB 、EF 的中点，且CD 、ME 、NF 均垂直于AB ，货箱能否通过这座拱桥，关键是看货箱顶部两角是否会被拱桥挡住，即当竹排位于桥下正中位置EF 时，两角高度是否小于FN ，因此题目转化为求FN 的长.BC解：如图所示，设圆心为Ｏ，连结OA 、OB 、ON ，作OD ⊥AB 于D 交⊙O 于C ，交MN 于H ，则D 为AB 中点，设OA ＝r ，则OD ＝OC －DC ＝r －2.4，AD ＝12AB ＝3.6，在R t △OAD 中，OA 2＝AD 2＋OD 2， 即r 22＋（r －2.4）2，∴r ＝3.9. 在R t △ONH 中，OH ＝ON 2－NH 2＝2－2＝3.6.∴FN ＝DH ＝OH －OD ＝3.6－（3.9－2.4）＝2.1＞2. 故货箱能顺利通过这座拱桥. 评析：这是一道实际问题，可以将它转化为数学问题来解决，把圆弧形拱桥抽象成弓形，从而变成解决弓形的问题.例6. 已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB ∥CD ，且AB ＝6cm ，CD ＝8cm ，求AB 和CD 的距离.解：根据题意画出图形，如图所示.过点O 作OF ⊥AB 于F ，交CD 于E ，连结OA 、OC. ∵AB ∥CD ，∴OE ⊥CD.由垂直于弦的直径的性质得AF ＝FB ＝12AB ＝3cm ，CE ＝DE ＝12CD ＝4cm .再由勾股定理得OF ＝OA 2－AF 2＝52－32＝4（cm ）. OE ＝OC 2－CE 2＝52－42＝3（cm ）. ∴EF ＝OF －OE ＝4－3＝1（cm ）.分析：上述解题过程不完整，产生错误的原因在于考虑问题不全面，本题有两种情况，错解只考虑了AB 、CD 在圆心O 的同侧的情况，而忽略了另外一种情况，即AB 、CD 在圆心O 的异侧.正解：除上述情况外，还有另一种情况，如图所示.过点O 作OF ⊥AB 于F ，反向延长线交CD 于E ，连结OA 、OC. ∵AB ∥CD ，∴OE ⊥CD.同理可得：OF ＝4cm ，OE ＝3cm .当AB 、CD 在圆心O 异侧时，EF ＝OF ＋OE ＝4＋3＝7（cm ）. ∴AB 、CD 的距离为1cm 或7cm .【方法总结】1. 本节解决问题的主要思想方法是数形结合思想，通过图形把垂直于弦的直径的性质及推论和弧、弦之间的相等关系展现出来，将几何问题代数化.2.3. 垂直于弦的直径的性质及推论是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据. 在理解其性质的前提下要注意运用，把它和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径、圆心到弦的距离、弦长及弓形的高（弧的中点到弦的距离）之间的关系式.【预习导学案】圆心角和圆周角、过三点的圆一. 预习前知1. 线段的垂直平分线有什么性质？画出三角形三边的垂直平分线，它们交于同一点吗？2. 直角三角形中斜边中线有什么性质？二. 预习导学1. 观察下列各图，用数学语言描述其中的角的顶点和两边与圆之间的关系？2. 如图所示。

冀教版数学九年级上册28.1《圆的概念及性质》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册第28.1节《圆的概念及性质》是本册教材中的重要内容，主要介绍了圆的定义、圆的性质、以及圆的方程。

这部分内容是学生进一步学习圆的计算和应用的基础，对于培养学生的空间想象能力和抽象思维能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本数学知识，具备了一定的逻辑思维和空间想象能力。

但是对于圆的概念和性质的理解还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，需要注重学生的参与和实践，通过操作活动和思考问题，引导学生理解和掌握圆的概念和性质。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解圆的定义，掌握圆的基本性质，并能运用圆的性质解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考等活动，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。

四. 教学重难点1.圆的定义和性质的理解。

2.圆的方程的推导和应用。

五. 教学方法1.引导发现法：通过提问和引导学生思考，激发学生的探究欲望，引导学生自主发现圆的性质。

2.操作实践法：通过学生的实际操作，培养学生的动手能力和空间想象能力。

3.讨论交流法：通过小组讨论和全班交流，培养学生的合作意识和表达能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，帮助学生直观地理解圆的概念和性质。

2.学习素材：准备一些关于圆的图片和实例，供学生在课堂上观察和思考。

3.圆规和直尺：准备一些圆规和直尺，供学生在课堂上操作和实践。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些与圆相关的图片和生活实例，引导学生对圆的概念产生兴趣，激发学生的探究欲望。

2.呈现（10分钟）教师通过课件呈现圆的定义和性质，引导学生观察和思考，引导学生自主发现圆的性质。

3.操练（10分钟）教师学生进行实际的操作活动，使用圆规和直尺画圆，测量圆的直径和半径，引导学生运用圆的性质解决实际问题。

《圆的概念及性质》教案学习目标1、感受并发现圆的有关特征，理解圆的圆心、半径和直径等概念．2、进一步积累认识图形的学习经验，培养学生的观察能力、动手操作能力、抽象概括能力和合作交流能力，增强空间观念，发展数学思考．3、体验圆与生活的联系，从数学的角度感受圆的美，激发学生数学学习的热情和兴趣．教学过程（一）情境引入前段时间我们学习了图形的旋转，图形的旋转创造了生活中的许多美．思考：圆绕其圆心旋转任何度数都能和自身重合吗？圆是一种基本的几何图形，圆形物体在生活中随处可见．展示图片（生活中的圆）这一节课我们一起学习“圆”．（二）学生自学组织学生自学，并要求学生完成自学提纲里的问题．自学提纲为：请同学们阅读课本练习前的内容，并思考：1．①观察画圆的过程，你能概括出圆的定义吗？②圆的图形符号怎样来表示？③确定一个圆需要哪两个要素？2．①从集合的角度怎样定义圆？②车轮为什么做成圆形的？3．①理解圆的相关概念：弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧．②注意区别优弧和劣弧．（三）检查自学效果请学生回答自学提纲中的问题，检测学生是否真正理解这些知识点，再组织学生进行评价并纠错，在学生回答的过程中老师把主要知识点在黑板上予以呈现，部分答案利用多媒体展示．（四）学以致用想一想：通过七道题，先让学生独立思考，然后请学生汇报结果，再请学生评价并纠错，最后归纳解题方法．老师适时做以引导，方法上的总结．1、判断下列说法的正误（1）弦是直径；（）（2）半圆是弧；（）（3）过圆心的线段是直径；（ ）（4）过圆心的直线是直径；（ ）（5）半圆是最长的弧；（ ）（6）直径是最长的弦；（ ）（7）圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆；（ ）（8）半径相等的两个圆是等圆．（ ）2、圆中最长的弦长为12cm ，则该圆的半径为________．3、下列说法错误的有（ ）个．①经过P 点的圆有无数个．②以P 为圆心的圆有无数个．③半径为3cm 且经过P 点的圆有无数个．④以P 为圆心，以3cm 为半径的圆有无数个．A 、1B 、2C 、3D 、44、如图，若∠AOB =60°，则△AOB 是_____三角形．5、如图，弦有：______________在圆中有长度不等的弦，直径是圆中最长的弦． 6、如图，弧有：______________ 7、劣弧有：______________ 优弧有：______________判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆．（ ）课堂小结通过本节课的学习你学会了什么知识和方法？先请学生进行自主小结，再由老师概括总结，形成知识体系． ● OBC A。