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《一元二次方程》教案教学内容1．一元二次方程根的概念；2．根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．教学目标了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．重难点关键1．重点：判定一个数是否是方程的根；2．难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．教学过程一、复习引入学生活动：请同学独立完成下列问题．问题1．前面有关“执竿进屋”的问题中，我们列得方程x2-8x+20=0列表：……问题2x 2+7x-44=0即x 2+7x=44列表： 老师点评(略)二、探索新知 提问：(1)问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？(2)如果抛开实际问题，问题2中还有其它解吗？老师点评：(1)问题1中x=2与x=10是x 2-8x+20=0的解，问题2中，x=4是x 2+7x-44=0的解.(2)如果抛开实际问题，问题2中还有x=-11的解．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．回过头来看：x 2-8x+20=0有两个根，一个是2，另一个是10，都满足题意；但是，问题2中的x=-11的根不满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．例1．下面哪些数是方程2x 2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，……所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．例2．学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到9.8万册，求这两年的年平均增长率？练习：关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根为0，则求a的值．点拨：如果一个数是方程的根，那么把该数代入方程，一定能使左右两边相等，这种解决问题的思维方法经常用到，同学们要深刻理解．例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？(1)x2-64=0(2)3x2-6=0(3)x2-3x=0分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．解：略三、巩固练习教材P7练习1、2．四、应用拓展例4．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？设长为xcm，则宽为(x-5)cm列方程x(x-5)=150，即x2-5x-150=0请根据列方程回答以下问题：(1)x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．(2)完成下表：…(3)你分析：x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根．解：(1)x不可能小于5．理由：如果x<5，则宽(x-5)<0，不合题意．x不可能等于10．理由：如果x=10，则面积x2-5x-150=-100，也不可能．(2)(3)五、归纳小结(学生归纳，老师点评)本节课应掌握：(1)一元二次方程根的概念；(2)要会判断一个数是否是一元二次方程的根；(3)要会用一些方法求一元二次方程的根．(“夹逼”方法：平方根的意义)六、布置作业教材P36习题A组.。
冀教版数学九年级上册《回顾与反思》教学设计4一. 教材分析冀教版数学九年级上册《回顾与反思》教学设计4主要涉及了本册书中的几个重点章节，包括二次函数、几何综合题、概率和统计等。
这部分内容是整个九年级数学知识体系的总结和提升，旨在让学生通过复习和反思，形成对数学知识系统的认识，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生经过两年的数学学习，已经掌握了大部分的数学知识，对于二次函数、几何综合题、概率和统计等知识点也有了一定的了解。
但是，由于知识点的繁多和复杂，学生在复习过程中可能会出现混淆、遗忘等问题。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生对知识点进行梳理和总结，提高学生的学习效果。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数、几何综合题、概率和统计等知识点的基本概念和方法。
2.过程与方法：通过复习和反思，提高学生解决问题的能力，培养学生的逻辑思维和归纳总结能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数、几何综合题、概率和统计等知识点的复习和总结。
2.难点：如何引导学生对知识点进行梳理和总结，提高学生的学习效果。
五. 教学方法1.讲授法：教师对知识点进行讲解和梳理，帮助学生形成知识体系。
2.案例分析法：通过分析典型例题，使学生掌握解题方法和技巧。
3.小组讨论法：引导学生进行小组讨论，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
4.归纳总结法：教师引导学生对知识点进行归纳总结，形成知识体系。
六. 教学准备1.教材：冀教版数学九年级上册。
2.教案：详细的教学设计文档。
3.PPT：教学过程中的多媒体演示。
4.练习题：用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过简单的数学问题引入本节课的主题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师利用PPT展示本节课要复习的知识点，包括二次函数、几何综合题、概率和统计等。
冀教版数学九年级上册《回顾与反思》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册的《回顾与反思》一章，是对整个九年级上册数学知识的总结和回顾。
这一章节通过回顾前面所学的知识，帮助学生巩固和提高，为接下来九年级下册的学习打下坚实的基础。
本章内容主要包括数的开方与平方根、实数与不等式、整式与分式、函数与方程、几何图形等知识点。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了基本的数学知识，对于本章的内容也有了一定的了解。
但是，由于本章是对前面知识的回顾与反思，所以需要学生具备较强的逻辑思维能力和总结能力。
同时，学生应该具备扎实的数学基础，能够灵活运用所学知识解决问题。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生回顾和巩固九年级上册所学的数学知识，提高学生的知识掌握程度。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生总结和归纳的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学的美妙。
四. 说教学重难点1.教学重点：回顾和巩固九年级上册的数学知识，使学生能够熟练掌握和运用。
2.教学难点：如何引导学生自主总结和归纳，提高学生的逻辑思维能力。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师讲解相结合的方式进行教学。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，以及网络资源进行教学。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对数学知识的思考，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习：学生根据教材和教师的引导，回顾和总结九年级上册的数学知识。
3.合作交流：学生分组讨论，分享自己的总结和心得，互相学习和提高。
4.教师讲解：教师针对学生的总结和讨论，进行点评和讲解，引导学生深入理解。
5.练习巩固：学生进行课后练习，巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出本节课的重点和难点。
可以采用流程图、思维导图等形式，帮助学生理解和记忆。
八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、课后练习和总结报告来进行。
冀教版数学九年级上册《回顾与反思》教学设计2一. 教材分析冀教版数学九年级上册《回顾与反思》教学设计2主要包括了本册书前几个单元的重要知识点和考查点。
这些知识点和考查点是学生在整个九年级数学学习过程中的重要组成部分，是学生对之前所学知识的巩固和提高。
通过本节课的教学，使学生对之前所学知识有一个清晰的认识，提高学生的综合运用能力。
二. 学情分析九年级的学生在经历了之前的学习，对于数学的知识点和方法技巧已经有了一定的了解和掌握。
但是，对于一些较难的知识点和题目，仍然存在理解不清楚、掌握不牢固的情况。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，针对不同层次的学生进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.知识与技能：通过本节课的学习，使学生对之前所学的重要知识点和考查点有一个清晰的认识，提高学生的综合运用能力。
2.过程与方法：通过小组合作、讨论交流等方式，培养学生团队合作精神和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学的价值和魅力。
四. 教学重难点1.重点：对本册书前几个单元的重要知识点和考查点进行回顾和总结。
2.难点：对于一些较难的知识点和题目，帮助学生理解和掌握，提高学生的综合运用能力。
五. 教学方法1.自主学习：鼓励学生自主对所学知识进行回顾和总结，提高学生的自主学习能力。
2.小组合作：学生进行小组合作，共同讨论和解决问题，培养学生的团队合作精神。
3.启发式教学：教师通过提问、引导等方式，激发学生的思考，帮助学生理解和掌握知识点。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要对教材进行深入的研究，了解每个知识点的内涵和外延，准备相应的教学资源和材料。
2.学生准备：学生需要对之前所学知识进行回顾和总结，准备好相应的笔记本和学具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，激发学生的兴趣和思考。
2.呈现（10分钟）教师引导学生对之前所学的重要知识点和考查点进行回顾和总结，呈现相应的PPT或黑板，帮助学生清晰地理解和掌握。
冀教版数学九年级上册《回顾与反思》教学设计3一. 教材分析冀教版数学九年级上册《回顾与反思》教学设计3，主要是对整个九年级上册数学知识的回顾与反思。
教材内容包括数的开方与乘方、实数、方程、不等式、函数、几何初步知识、三角形、四边形、圆、统计与概率等。
这部分内容是整个初中数学的基础，对于学生来说，既是知识的总结，也是为中考做准备的重要阶段。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了大部分的数学知识，对于数的开方与乘方、实数、方程、不等式、函数、几何初步知识、三角形、四边形、圆、统计与概率等知识点都有所了解。
但是，部分学生可能对这些知识点的理解不够深入，需要在复习过程中加强。
此外，九年级的学生面临中考的压力，学习态度和动力是影响教学效果的重要因素。
三. 教学目标1.使学生掌握九年级上册数学知识，提高学生的数学素养。
2.通过回顾与反思，使学生对数学知识有更深入的理解，提高学生的数学思维能力。
3.培养学生自主学习、合作学习、探究学习的能力，为高中数学学习打下基础。
4.提高学生的应试能力，为中考做好充分准备。
四. 教学重难点1.重点：数的开方与乘方、实数、方程、不等式、函数、几何初步知识、三角形、四边形、圆、统计与概率等知识的回顾与反思。
2.难点：对数的开方与乘方、实数、方程、不等式、函数、几何初步知识、三角形、四边形、圆、统计与概率等知识点的深入理解与应用。
五. 教学方法1.自主学习法：学生通过自主学习，回顾与反思九年级上册数学知识，提高自主学习能力。
2.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养合作意识与团队精神。
3.探究学习法：学生通过探究实践，对数的开方与乘方、实数、方程、不等式、函数、几何初步知识、三角形、四边形、圆、统计与概率等知识点进行深入理解与应用。
4.讲授法：教师针对重难点进行讲解，帮助学生突破难点。
六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生学情，制定合理的教学计划。
2.学生准备：回顾九年级上册数学知识，准备相关问题与疑问。
冀教版数学九年级上册《回顾与反思》教学设计2一. 教材分析冀教版数学九年级上册《回顾与反思》教学设计2，是对整个九年级上册数学知识的回顾与总结。
这部分内容既包含了本册所学的基本概念、公式、定理，也涵盖了各种数学问题的解决方法。
通过本节课的学习，使学生对整个九年级上册的数学知识有一个全面、系统的了解，提高他们的数学素养，为今后的学习打下坚实的基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对数学知识有一定的认识和理解。
但同时也存在一些问题，如部分学生对一些基本概念、公式、定理记忆不牢，对一些数学问题的解决方法掌握不透彻。
因此，在教学过程中，要针对学生的实际情况，有的放矢地进行教学。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生对九年级上册的数学知识有一个全面、系统的了解，提高他们的数学素养。
2.过程与方法：通过回顾与反思，使学生掌握各种数学问题的解决方法，提高他们的数学解题能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极、主动学习数学的态度。
四. 说教学重难点1.重点：九年级上册的数学知识点全面、系统的回顾与总结。
2.难点：对各种数学问题的解决方法的掌握。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用讲解、讨论、实践相结合的方法，引导学生主动参与、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件，直观展示数学知识，提高学生的学习兴趣。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对九年级上册数学知识的回忆，激发他们的学习兴趣。
2.回顾与总结：按照章节顺序，引导学生回顾每个章节的主要知识点，总结各种数学问题的解决方法。
3.实践与提高：给出一些典型题目，让学生运用所学的知识进行解答，提高他们的数学解题能力。
4.讨论与交流：学生之间互相讨论，分享自己的解题心得，教师进行指导与总结。
5.总结与反思：对整个九年级上册的数学知识进行总结，引导学生对自己的学习进行反思，找出不足，确定今后的学习目标。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，突出重点，便于学生理解和记忆。
冀教版数学九年级上册《回顾与反思》教学设计8一. 教材分析冀教版数学九年级上册《回顾与反思》教学设计8，主要是对整个九年级上册数学知识的回顾与反思。
内容包括数的运算、代数的初步知识、几何初步知识、概率初步知识以及数学的应用等。
本节课的教学目的是使学生对整个九年级上册的数学知识有一个清晰的认识，提高学生的数学思维能力，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了大量的数学知识，对数的运算、代数、几何、概率等基本概念和基本公式有一定的了解。
但是，由于知识点较多，学生在学习过程中可能存在对某些知识点的理解不够深入，或者对某些知识点的记忆不够牢固的问题。
因此，在教学过程中，教师需要针对学生的实际情况，引导学生对所学知识进行回顾和反思，加深对知识点的理解，提高学生的数学素养。
三. 教学目标1.使学生对整个九年级上册的数学知识有一个清晰的认识，形成完整的知识体系。
2.提高学生的数学思维能力，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.通过对本节课的学习，使学生对数学产生浓厚的兴趣，提高学生的数学学习积极性。
四. 教学重难点1.教学重点：对整个九年级上册数学知识的回顾与反思。
2.教学难点：如何引导学生对所学知识进行深入理解，提高学生的数学思维能力。
五. 教学方法1.采用讲解法，教师对重点知识点进行讲解，帮助学生深入理解。
2.采用案例分析法，教师通过具体的案例，引导学生运用数学知识解决实际问题。
3.采用小组讨论法，学生分组讨论，共同完成对所学知识的回顾与反思。
六. 教学准备1.教师准备PPT，包括教学内容、案例分析等。
2.教师准备相关教材、辅导资料等。
3.学生准备笔记本，用于记录重要知识点和思考。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生对九年级上册数学知识进行回顾，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT呈现九年级上册数学知识点，包括数的运算、代数的初步知识、几何初步知识、概率初步知识以及数学的应用等。
冀教版数学九年级上册《回顾与反思》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册《回顾与反思》单元，主要是对整个学期的数学知识进行回顾与总结，让学生在复习的过程中，加深对知识点的理解，提高解题能力。
本单元主要包括数的开方与平方根、实数与字母表示数、方程（一元一次方程、一元二次方程）、不等式（一元一次不等式、一元二次不等式）、函数（一次函数、二次函数）等知识点。
二. 学情分析学生在学习本单元之前，已经掌握了数的开方与平方根、实数与字母表示数、方程（一元一次方程、一元二次方程）、不等式（一元一次不等式、一元二次不等式）、函数（一次函数、二次函数）等知识点。
但部分学生对一些概念、定理的理解还不够深入，解题技巧和方法有待提高。
此外，学生的学习兴趣、学习习惯和学习能力存在差异，因此在教学过程中，要关注全体学生，注重个体差异。
三. 教学目标1.知识与技能目标：通过复习，使学生掌握数的开方与平方根、实数与字母表示数、方程（一元一次方程、一元二次方程）、不等式（一元一次不等式、一元二次不等式）、函数（一次函数、二次函数）等基本概念、性质和运算方法。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流等环节，提高学生的数学思维能力、分析问题和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生热爱数学、勇于探究的科学精神，增强学生的团队协作意识。
四. 教学重难点1.重点：数的开方与平方根、实数与字母表示数、方程（一元一次方程、一元二次方程）、不等式（一元一次不等式、一元二次不等式）、函数（一次函数、二次函数）等知识点的理解和运用。
2.难点：对一些概念、定理的深入理解和灵活运用，以及解题技巧和方法的掌握。
五. 教学方法1.自主学习：引导学生独立思考，自主探究，提高学生的自主学习能力。
2.合作交流：学生进行小组讨论，分享学习心得，培养学生团队协作精神。
3.启发引导：教师通过提问、设疑，激发学生思考，引导学生掌握知识点。
4.案例分析：结合典型例题，分析解题思路，提高学生的解题能力。
冀教版数学九年级上册《回顾与反思》教学设计5一. 教材分析冀教版数学九年级上册《回顾与反思》教学设计5主要包括了全册内容的回顾与反思。
在全册内容的回顾中，涉及了代数、几何、统计与概率等多个模块的内容。
在反思部分，主要是对学生在学习过程中遇到的困难和问题进行梳理和分析，以便于学生在复习过程中能够更好地掌握知识。
二. 学情分析学生在学习九年级数学的过程中，已经掌握了一定的代数和几何知识，但在统计与概率方面可能还存在一些困惑。
通过对学生的学习情况进行分析，发现学生在学习过程中主要存在以下问题：1. 对于一些概念和公式的理解不够深入；2. 在解题过程中，缺乏良好的解题思路和方法；3. 对于一些综合性的问题，不知道如何入手。
三. 教学目标通过本节课的教学，希望学生能够达到以下目标：1. 对全册内容进行全面的回顾和总结，形成知识体系；2. 对于学习过程中遇到的问题和困难，能够进行深入的反思和分析；3. 掌握良好的解题思路和方法，提高解决问题的能力。
四. 教学重难点本节课的重点是帮助学生对全册内容进行回顾和总结，难点在于让学生能够对学习过程中的问题进行深入的反思和分析。
五. 教学方法采用讲解法、问答法、讨论法等教学方法，引导学生对全册内容进行回顾和总结，并对学习过程中的问题进行反思和分析。
六. 教学准备教师准备全册内容的PPT，以便于引导学生回顾和总结；同时准备一些典型的问题和案例，用于引导学生进行反思和分析。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问的方式，引导学生对全册内容进行回顾，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现全册内容，引导学生对各个模块的知识进行总结和梳理。
3.操练（15分钟）教师提出一些典型的问题，让学生进行解答，以此检验学生对知识的掌握情况。
4.巩固（10分钟）教师针对学生在操练过程中遇到的问题，进行讲解和解答，帮助学生巩固知识。
5.拓展（10分钟）教师提出一些综合性的问题，引导学生进行思考和讨论，提高学生的解决问题的能力。
第二十四章一元二次方程投我以桃，报之以李。
《诗经·大雅·抑》原创不容易，【关注】，不迷路！24．1一元二次方程1．理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式；（重点、难点）2．会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题；（重点）3．在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识．一、情境导入参加一次集会，如果有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念【类型一】一元二次方程的识别下列选项中，是关于x的一元二次方程的是( )A．x2＋1x2＝1B．3x2－2xy－5y2＝0C．(x－1)(x－2)＝3D．ax2＋bx＋c＝0解析：选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次程；选项B中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当a＝0时，选项D中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程；排除A、B、D，故选C．方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2．上述三个条件必须同时满足，缺一不可．【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数若关于x 的方程(k ＋1)x |k －1|＋kx ＋1＝0是一元二次方，则k 的值为________．解析：由题意得⎩⎨⎧|k －1|＝2，k ＋1≠0，∴⎩⎨⎧k ＝3或k ＝－1，k ≠－1.∴k ＝3． 方法总结：由一元二次方程概念满足的条件：未知最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．探究点二：一元二次方程的一般形式将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)3x 2－2＝5x ；(2)9x 2＝16；(3)2x (3x ＋1)＝17(4)(3x －5)(x ＋1)＝7x －2．解析：先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称．解：(1)方程化为一般形式为3x 2－5x －2＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2；(2)方程化为一般形式为9x 2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16；(3)方程化为一般形式为6x 2＋2x －17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17；(4)方程化为一般形式为3x 2－9x －3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－3．方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项包括前面的符号．探究点三：一元二次方程的解【类型一】判断一元二次方程的解方程x 2－2x ＝0的解为( )A ．x 1＝1，x 2＝2B ．x 1＝0，x 2＝1C ．x 1＝0，x 2＝2D ．x 1＝12，x 2＝2 解析：把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C 中的x 1＝0，x 2＝2都能使方程x 2－2x＝0的左右两边相等，故选C ． 方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解．【类型二】利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值已知1是关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋1＝0的一个根，则m 的值是( )A ．1B ．－1C ．0D ．无法确定解析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次方程，所以二次项系数不能等于0．由此得，(m －1)＋1＋1＝0，解得m ＝－1，此时m －1＝－2≠0，∴m ＝－1．故选B ．方法总结：方程的根（解）是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题．探究点四：列一元二次方程在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m2．已知床单的长是2m ，宽是1.4m ，求花边的宽度．请根据题意列出方程．解：设花边的宽度为x m ，则由图可知剩下部分的长为(2－2x )m ，剩下部分的宽为(1.4－2x )m ．∵剩下部分面积为1.6m2，∴可列方程为(2－2x )(1.4－2x )＝1.6．方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法．24．2解一元二次方程第1课时配方法1．学习用直接开平方法解形如x²＝p或（mx＋n）²＝p（p≥0）的方程；（重点）2．了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤；（重点）3．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题．（难点）一、情境导入一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度)和下落时间x(s)大致有如下关系：)2＝n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解．（2）先把方程二次项的系数化为1，再配方成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，最后开平方即可．解：（1）移项，得x2－4x＝－1．配方，得x2－4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2，即(x －2)2＝3．解得x－2＝±3．∴x1＝2＋3，x2＝2－3；（2）二次项系数化为1，得x2－x＝12．配方，得x2﹣x＋14＝12＋14，即（x﹣12）2＝34．解得x﹣12＝±2．∴x1＝12，x2＝12．方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需的形式． 【类型三】用配方解决求值问题已知：x 2＋4x ＋y 2－6y ＋13＝0，求x －2y x 2＋y 2的值． 解：原方程可化为(x ＋2)2＋(y －3)2＝0，∴(x ＋2)2＝0，且(y －3)2＝0．∴x ＝－2，且y ＝3．∴原式＝－2－613＝－813． 【类型四】用配方解决证明问题(1)用配方法证明2x 2－4x ＋7的值恒大于零；(2)由第(1)题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式．(1)证明：2x 2－4x ＋7＝2(x 2－2x )＋7＝2(x 2－2x ＋1－1)＋7＝2(x －1)2－2＋7＝2(x －1)2＋5．∵2(x －1)2≥0，∴2(x －1)2＋5≥5，即2x 2－4x ＋7≥5．故2x 2－4x ＋7的值恒大于零．（2）解：x 2－2x ＋3；2x 2－2x ＋5；3x 2＋6x ＋8等．【类型五】利用配方法解决一些简单的实际问题如图，一块矩形土地，长是48m ，宽是24m ，现要在它的中央划一块矩形草地，四周铺上花砖路，路面宽都相解析：若设花砖路面宽为x m ，则草地的长与宽分别为(48－2x )m 及(24－2x )m ，根据等量关系：矩形草地的面积＝59×矩形土地的面积，即可列一元二次方程求解． 解：设花砖路面的宽为x m ．根据题意，得(48－2x )(24－2x )＝59×48×24． 整理，得x 2－36x ＝－128．配方，得x 2－36x ＋(－18)2＝－128＋(－18)2，即(x －18)2＝196．两边开平方，得x －18＝±14．即x －18＝14，或x －18＝－14．所以x 1＝32(不合题意，舍去)，x 2＝4．故花砖路面的宽为4m ．方法总结：列一元二次方程解决实际问题时，一定要检验方程的根，这些根虽然满足所列的一元二次方程，但未必符合实际问题，因此，求出一元二次方程的解之后，要把不符合实际问题的解舍去．三、板书设计教学过程中，通过观察，思考，对比获得一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法，领会降次——转化的数学思想．强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程．因此需熟练掌握完全平方式的形式．培养学生从不同角度进行探究的习惯和能力，使学生在数学活动中形成实事求是的态度以及独立思考的习惯．等，草地面积占矩形土地面积的59，求花砖路面的宽． 第2课时公式法1．知道一元二次方程根的判别式的概念；（重点）2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围；（重点）3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程．（难点）一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况 【类型一】判断一元二次方程根的情况不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)2x 2＋3x －4＝0；(2)x 2－x ＋14＝0； (3)x 2－x ＋1＝0．解析：根据根的判别式我们可以知道当b 2－4ac ≥0时，方程才有实数根，而b 2－4ac 2B ．a 0，此时方程有两实数根．则a ＝－1．故选D ．方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根之和、两根之积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件b 2－4ac ≥0，导致解答不全面． 【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用已知x 1、x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．解：(1)存在．由题意得判别式为(2a )2－4a (a －6)＝24a ≥0．解得a ≥0．又∵a －6≠0，∴a ≥0，且a ≠6．由一元二次方程根与系数关系得x 1＋x 2＝－2a a －6，x 1x 2＝a a －6．由－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2得x 1＋x 2＋4＝x 1x 2，∴－2a a －6＋4＝a a －6，解得a ＝24．经检验a ＝24是方程－2a a －6＋4＝a a －6的解．∴存在a ＝24，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立；(2)原式＝x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝－2a a －6＋a a －6＋1＝66－a．∵其为负整数，且a 为整数，∴6－a ＝－1，－2，－3或－6．∴a ＝7或8，9，12． 三、板书设计教学过程中，强调一元二次方程根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住b2－4ac≥0这个前提条件．24．4一元二次方程的应用第1课时面积问题第2课时1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；（重点、难点）2．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力．一、情境导入如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，你能求出所截去小正方形的边长吗？二、合作探究探究点：用一元二次方程解决图形面积问题【类型一】利用面积构造一元二次方程模型用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )A．x(5＋x)＝6B．x(5－x)＝6C．x(10－x)＝6D．x(10－2x)＝6解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5－x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程为x(5－x)＝6．故选B．方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程．现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm 的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长．解析：设小正方形的边长为x cm，则长方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列出方程．解：设小正方形的边长为x cm，则可得这个长方体盒子的底面的长是(80－2x)cm，宽是(60－2x)cm，由题意得(80－2x)(60－2x)＝1500，整理得x2－70x＋825＝0，解得x1＝55，x2＝15．又60－2x>0，∴x＝55不合题意，舍去．∴小正方形的边长为15cm．方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可．【类型二】整体法构造一元二次方程模型如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为．解析：解法一：如图，把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x的代数式表示草坪的长为(22－x)米，宽为(17－x)米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程为(22－x)(17－x)＝300．解法二：根据面积的和差可列方程：22×17－22x－17x＋x2＝300．方法总结：解答与边框、甬道有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解．【类型三】利用一元二次方程解决动点问题如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2？(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．解析：这是一道动态问题，可设出未知数，表示出PC 与CQ 的长，根据面积公式建立方程求解．解：(1)设x s 后，可使△PCQ 的面积为8cm2，则AP ＝x cm ，PC ＝(6－x )cm ，CQ ＝2x cm ．根据题意，得12(6－x )·2x ＝8．整理，得x 2－6x ＋8＝0．解得x 1＝2，x 2＝4．∴P 、Q 同时出发，2s 或4s 后可使△PCQ 的面积为8cm2．(2)不存在．理由如下：设点P 出发x s 后，△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半．根据题意，得12(6－x )·2x ＝12×12×6×8．整理，得x 2－6x ＋12＝0．∵b 2－4ac ＝－12＜0，此方程没有实数根，∴不存在使△PCQ 的面积等于△ABC 的面积一半的时刻．三、板书设计与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好．第2课时增长率问题1．会列一元二次方程解决有关平均变化率的实际问题；（重点）2．进一步经历“问题情境－－－建立模型－－－求解－－－－解释与应用”的过程，获得更多地运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，进一步掌握解决实际问题的步骤和关键．（难点）一、情境导入向阳村2017年的人均收入为12000元，2019年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率．二、合作探究探究点：用一元二次方程解决增长率问题【类型一】下降率问题近年来随着中央坚持“房住不炒”的原则，某四线城市商品房的价格开始呈现下降趋势，2017年某楼盘平均售价为5000元/平方米，2019年该楼盘平均售价为4050元/平方米．如果该楼盘2018年和2019年楼价平均下降率相同，求楼价2018年到2019年的下降率．解析：设2018年、2019年的年下降率为x，那么2018年的楼价为5000（1－x）元/平方米，2019年的楼价为5000（1－x）2元/平方米，即为4050元/平方米．解：设楼价2017年到2019年的年平均下降率为x．根据题意，得5000（1－x）2＝4050，则（1－x）2＝0．81，解得x1＝0．1＝10%，x2＝1．9（不合题意，舍去）．故楼价2017年到2019年的年下降率为10%．方法总结：解决平均增长率（或降低率）问题的关键是明确基础量和变化后的量．如果设基础量为a，变化后的量为b，平均每年的增长率（或降低率）为x，则两年后的值为a（1±x）2．由此列出方程a（1±x）2＝b，求出所需要的量．【类型二】增长率问题某工厂一种产品2018年的产量是100万件，计划2020年产量达到121万件．假设2018年到2020年这种产品产量的年增长率相同．(1)求2018年到2020年这种产品产量的年增长率；(2)2019年这种产品的产量应达到多少万件？解析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入2019年产量的表达式即可解决．解：(1)设这种产品产量的年增长率为x，根据题意，得100(1＋x)2＝121，解得x1＝0．1，x2＝－2．1(舍去)．答：这种产品产量的年增长率为10%；(2)100×(1＋10%)＝110(万件)．答：2019年这种产品的产量应达到110万件．方法总结：增长率问题中可以设基数为a，平均变化率为x（x＞0），增长的次数为n，则增长后的结果为a(1＋x)n；而增长率为负数，即实际所求为下降率时，降低后的结果为a(1－x)n．探究点二：用一元二次方程解决累计增长率问题某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元；从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．(1)求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；(2)购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费)解析：(1)设2月、3月生产收入的月增长率为x，根据题意建立等量关系，即3个月的收入之和为364万元，解方程时要对结果进行合理取舍；(2)根据题意，建立不等关系：前三个月的生产收入＋以后几个月的收入－一次性支付640万元≥旧设备几个月的生产收入－每个月的维护费，然后解不等式．解：(1)设2月、3月生产收入的月增长率为x，根据题意有100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2＝364，即25x2＋75x－16＝0，解得x1＝－3.2(舍)，x2＝0.2．∴2月、3月生产收入的月增长率为20%；(2)设m个月后（m＞3），使用新设备所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据题意有364＋100(1＋20%)2(m－3)－640≥90m－5m，解得m≥12．∴使用新设备12个月后所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润．方法总结：根据实际问题中的数量关系或是题目中给出的数量关系得到方程，通过解方程解决实际问题，当方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解．三、板书设计一元二次方程解决平均变化率问题：1．平均增长率（下降率）问题：平均增长率问题中的数量关系+==⎧⎪⎨⎪⎩增长次数减少次数原来（1增长率）现在，原来（1-增长率）现在 2．增长率问题的综合运用教学过程中，强调解决有关增长率问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍．通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣．第3课时球赛问题、营销问题1．会用列一元二次方程的方法解决球赛问题、营销问题；（重点、难点）2．进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识．一、情境导入某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0．3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0．1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？二、合作探究探究点一：球赛问题九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x 个班，根据题意列出的方程是（ ） A ．x （x －1）＝28B．12x （x －1）＝28 C ．2x （x －1）＝28D ．12x （x ＋1）＝28 解析：赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），x 个班比赛总场数＝x （x －1）÷2，即可列方程求解．故选B ．方法总结：单循环比赛的场数＝队伍数量×（队伍数量－1）÷2，类似的问题有握手问题、打电话问题、数线段问题等．注意相互之间是否有重复，再考虑是否除以2，如互赠礼物时候不用除以2．探究点二：营销问题某超市将进价为40元/件的商品按定价50元/件出售时，能卖500件．已知该商品每件每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？解析：销售利润＝（每件售价－每件进价）×销售件数．若设每件涨价x元，则售价为（50＋x）元，销售量为（500－10x）件，根据等量关系列方程即可．解：设每件商品涨价x元，根据题意，得（50＋x－40）（500－10x）＝8000，即x2－40x＋300＝0．解得x1＝10，x2＝30．当x＝10时，售价为10＋50＝60（元/件），销售量为500－10×10＝400（件）．当x＝30时，售价为30＋50＝80（元/件），销售量为500－10×30＝200（件）．∵要尽量减少库存，∴售价应为60元/件．方法总结：理解商品销售量与商品价格的关系是解答本题的关键，另外，“尽量减少库存”不能忽视，它是取舍答案的一个重要依据．探究点三：其他问题【类型一】传播问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少个人；(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意可知，在第一轮，有x个人被传染，此时，共有(1＋x)人患了流感；到了第二轮，患流感的(1＋x)人作为“传染源”，每个人又传染给了x个人，这样，在第二轮中新增加的患了流感的人有x(1＋x)人，根据等量关系可列一元二次方程解答．解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意，得1＋x＋x(1＋x)＝121，解得x1＝10，x2＝－12(不合题意，舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了10个人；(2)10×121＝1210(人)．答：如果不及时控制，第三轮将又有1210人被传染．方法总结：建立数学模型，利用一元二次方程来解决实际问题．读懂题意，正确的列出方程是解题的关键．【类型二】分裂增长问题月季生长速度很快，开花鲜艳诱人，且枝繁叶茂．现有一棵月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73．求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，根据题意得：1＋x＋x2＝73，解得x1＝8，x2＝－9(不合题意，舍去)．答：每个支干长出8个小分支．三、板书设计1．球赛问题（单循环问题）2．营销问题总价＝单价×数量利润＝售价－进价3．其他问题（传播问题、分裂增长问题）本节的学习过程中，所提供的素材都与生活密切相关，且具有一定的思考和探索的空间．而列方程解应用题，往往对于学生来说是一个颇感困难的地方．关键点在于教师通过引导与互动，一步一步将问题抽丝剥茧，引导学生综合已有知识分析问题，鼓励学生通过数学语言、有条理地表述自己的思考过程．让学生积极参与课堂，从不同角度思考问题．【素材积累】不要叹人生苦短，若把人一生的足迹连接起来，也是一条长长的路；若把人一生的光阴装订起来，也是一本厚厚的书。
第二十三章数据分析1.经历收集、整理、描述和分析数据的活动,了解数据处理的过程,能用计算器处理较为复杂的数据.2.进一步理解平均数、中位数和众数等统计量的意义.3.会计算加权平均数,理解“权”的意义,能选择适当的统计量表示数据的集中趋势.4.体会刻画数据离散程度的意义,会计算简单数据的方差.5.体会样本和总体的关系,知道可以通过样本平均数、样本方差估计总体平均数和总体方差.6.能对统计结果进行合理的解释,进而进行简单的判断和预测,并能进行交流,清晰地表达自己的观点,体会统计对决策的作用.1.在实际问题情境中理解平均数、加权平均数、众数、中位数、方差的意义,体会数学与生活的密切联系,培养学生的应用意识和实践能力.2.经过进一步数据处理的过程,发展数据分析观念和数据分析处理能力,增强统计意识,提高统计能力.3.通过观察、理解、讨论、合作交流,体会如何探究问题,培养学生用数学知识解决生活中实际问题的能力.4.通过解决实际问题的过程,区分刻画“平均水平”的三个表示集中趋势的数据代表,让学生获得一定的评判能力,进一步发展其数学应用能力.5.通过小组合作活动,培养学生的合作意识和交流能力,激发学生学习兴趣,让学生体验成功的快乐.6.通过解决具体的实际问题进一步学习用样本估计总体的方法,认识统计在社会生活及科学领域中的应用,并能解决一些简单的实际问题.1.通过解决实际问题,体会数学与自然及人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心.2.通过小组合作活动,培养学生自主探索和合作交流的意识和能力,激发学生学习兴趣,体验成功的快乐.3.将知识的学习放在解决问题的情境中,通过数据分析与处理,培养学生求真的科学态度.4.通过计算器的使用,了解科学在人们日常生活中的重要作用,激励学生热爱科学、学好文化知识.【重点】1.平均数、加权平均数、中位数、众数、方差的概念、意义及计算.2.能根据平均数、中位数、众数、方差的概念解决实际问题.3.在实际问题中,能选择恰当的数据代表值描述一组数据的特征,并根据恰当的统计量进行决策.4.能用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差.【难点】1.利用平均数、中位数、众数、方差的概念解决实际问题.2.在实际问题中,能选择恰当的数据代表值描述一组数据的特征,并根据恰当的统计量做出决策.3.体会用样本估计总体的思想.1.现阶段的统计学习,是从实际问题出发,经历收集数据、整理数据、表示数据、分析数据和做出判断的过程,在解决问题的过程中,要理解相关概念,体会统计的基本思想,掌握简单的分析数据的方法,逐步建立数据分析的概念.在教学中多创造贴近学生生活实际的情境,让学生感受统计与实际生活的密切联系,以及统计在解决现实问题中的作用.2.统计观念反映的是由一组数据所引发的想法、能推测到的可能结果以及自觉地想到用统计的方法解决问题等,是在亲身经历统计活动的过程中培养出来的一种感觉,在教学中多采用学生活动的方式进行教学,在教学活动中教师应引导学生独立思考,明确具体任务,提出解决问题的设想和策略,然后对数据进行不同分析、不同解释,进而进行小组内合作交流,通过比较得到恰当的结论.3.在统计活动中,我们大多面对的是样本数据,由不同的样本数据计算得出的“统计量”可能不同,这反映了统计结果的不确定性.对有些问题,可以采用小组分工合作的方式,对不同的样本数据进行分析,通过交流和比较,体会统计结果既有不确定性,又有其规律性.4.统计教学的核心目标是培养学生的数据分析概念,应当把渗透统计思想、掌握数据分析的方法、理解“统计量”的意义和作用作为重点.避免将学生的主要精力引到复杂的计算中,在理解算法的基础上,尽量使用计算器处理复杂的数据.23.1平均数与加权平均数3课时23.2中位数和众数2课时23.3方差2课时23.4用样本估计总体1课时回顾与反思1课时23.1平均数与加权平均数1.理解平均数的意义,会计算一组数据的算术平均数.2.会用计算器计算一组数据的平均数.3.理解加权平均数的意义,了解“权”的含义,会计算一组数据的加权平均数.4.能说出算术平均数和加权平均数的联系和区别,并能利用它们解决一些实际问题.5.了解在实际生活中用样本平均数估计总体平均数.1.在实际问题情境中理解平均数、加权平均数的意义,体会数学与生活之间的密切联系.2.经历数据收集和处理的过程,发展学生初步的统计意识和数据处理的能力.3.通过观察、理解、讨论、合作交流,体会如何探究问题,培养学生用数学知识解决生活中实际问题的能力.4.通过探索算术平均数和加权平均数的联系和区别,发展求同和求异思维.5.通过用估测的方法解决实际问题,提高学生的应用意识,发展学生数学应用能力.1.让学生体会数学来源于生活,培养学生学数学、用数学的习惯.2.通过小组合作,培养学生的合作意识,激发学生学习兴趣,体验成功的快乐.3.通过计算器的使用,了解科学在人们日常生活中的重要作用,激励学生热爱科学、学好文化知识.4.通过解决实际问题,体会数学与自然及人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心.5.通过参与数学活动,增强学生的实践能力,让学生体验学习带来的快乐.【重点】平均数、加权平均数的概念及计算.【难点】平均数、加权平均数在实际生活中的应用.第课时1.理解平均数的意义.2.会计算一组数据的算术平均数.3.会用计算器计算一组数据的平均数.1.在实际问题情境中理解平均数的意义,体会数学与生活的密切联系.2.经历数据收集和处理的过程,发展学生初步的统计意识和数据处理的能力.3.通过观察、理解、讨论、合作交流,体会如何探究问题,培养学生用数学知识解决生活中实际问题的能力.1.让学生体会数学来源于生活,培养学生学数学、用数学的习惯.2.通过小组合作活动,培养学生的合作意识,激发学生学习兴趣,体验成功的快乐.3.通过计算器的使用,了解科学在人们日常生活中的重要作用,激励学生热爱科学、学好文化知识.【重点】算术平均数的计算.【难点】平均数在不同情境中的应用.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P2~4.导入一:【课件展示】张老师乘公交车上班,从家到学校有A,B两条路线可选择.对每条路线,各记录了10次路上花费的时间,依据数据绘制的统计图如图所示.根据图形提供的信息,你能判断哪条路线平均用时较少,哪条路线用时的波动较大吗?如何定量地描述平均用时及数据的波动情况?【师生活动】教师展示课件,学生观察图形,直观上得到结论,教师导入本章课题.[导入语]我们通过直观上观察得到路线A平均用时较少,路线B波动较小,那么我们如何通过定量计算描述平均用时和波动大小呢?通过本章的学习将得到解决.导入二:【课件展示】欣赏篮球比赛图片.【问题】怎样衡量哪支球队的身材更为高大?【师生活动】学生思考回答,师生共同导出本节课课题——平均数.导入三:复习提问:1.什么是平均数?2.如何求一组数据的平均数?【师生活动】学生思考回答,教师点评,导出本节课课题并板书.[设计意图]通过实际问题情境导出本章课题,再通过学生感兴趣的篮球赛实际问题导出本节课课题,激发学生的学习兴趣和探究本节课知识的欲望,感受生活与数学的密切联系.通过复习小学学过的平均数的概念和计算,做好新旧知识的衔接,为本节课的学习做好铺垫.[过渡语]在小学,我们对平均数已经有了一定的认识.现在,我们一起来探究平均数的意义和平均数在解决实际问题中的作用.共同探究一实际问题中平均数的计算【课件展示】某农科院为了寻找适合本地的优质高产小麦品种,将一块长方形试验田分成面积相等的9块,每块100 m2,在土壤肥力、施肥、管理等都相同的条件下试种A,B两个品种的小麦.小麦产量如下表:(1)观察下图,哪个品种小麦的产量更高些?(2)以100 m2为单位,如何比较A,B两个小麦品种的单位面积产量?(3)如果只考虑产量这个因素,哪个品种更适合本地种植?思路一教师引导分析:1.通过直观观察,你能得到哪个品种小麦的产量更高些吗?2.要比较哪个品种的产量高,我们通常通过计算什么值定量比较?3.如何求一组数据的平均值?4.你能求出A,B两个小麦品种的单位面积产量吗?5.通过计算,你认为哪个品种更适合本地种植?【师生活动】学生思考回答,独立完成解答过程,小组内交流答案,学生展示结果后,教师点评,并归纳得出结论:由于同一品种在不同试验田上的产量有差异,要比较两个品种哪个产量高,通常情况下是比较它们的平均产量.【课件展示】解:A品种小麦的平均产量:×(95+93+82+90+100)=92(kg),B品种小麦的平均产量:×(94+100+105+85)=96(kg).就试验结果来看,B品种小麦比A品种小麦的平均产量高,B品种更适合本地种植.思路二【师生活动】教师引导学生直观观察哪个品种的小麦的产量高,然后学生独立思考如何计算验证自己的结论是否正确,给学生足够的时间小组内合作交流,完成计算过程,小组代表展示,教师点评并进行归纳.【课件展示】解:A品种小麦的平均产量:×(95+93+82+90+100)=92(kg),B品种小麦的平均产量:×(94+100+105+85)=96(kg).就试验结果来看,B品种小麦比A品种小麦的平均产量高,B品种更适合本地种植.[设计意图]教师引导学生观察统计图,培养学生的读图能力和直观思维,再通过小组合作交流完成计算,提高学生的计算能力,为归纳概括算术平均数的概念做好铺垫,问题情境的引入,有利于学生对平均数的意义和作用进行深入理解.归纳概念教师引导思考:1.如果有n个数x1,x2,…,x n,你如何求它们的平均数?2.每个数与平均数的差的和是多少?(一组数据中,每个数据与平均数的偏差总和为0)【师生活动】学生思考回答,教师点评.师生共同归纳并课件展示算术平均数的概念.【课件展示】一般地,我们把n个数x1,x2,…,x n的和与n的比,叫做这n 个数的算术平均数,简称平均数,记作,读作“x拔”,即(x1+…+x n).因为(x1-)+…+(x n-)=0,所以取平均数可以抵消各数据之间的差异.因此,平均数是一组数据的代表值,它反映了数据的“一般水平”.[设计意图]学生通过回答问题,与教师共同归纳出平均数的概念,并体会平均数反映了一组数据的平均水平,进一步理解平均数的意义,同时培养学生归纳总结能力及数学理解能力.做一做【课件展示】从一批鸭蛋中任意取出20个,分别称得质量如下:8085707585858080758585807585807585708075(1)整理数据,填写统计表.质量/g 70 75 80 85频数(2)求这20个鸭蛋的平均质量.思路一【师生活动】学生思考后独立完成解答过程,小组内交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,并观察学生计算时的易错点,在点评小组代表的展示时强调易错点,课件展示正确解答过程.【课件展示】解:(1)质量70 75 80 85/g频数 2 5 6 7(2)×(70×2+75×5+80×6+85×7)=79.5(g).即这20个鸭蛋的平均质量是79.5 g.追问:当一组数据中某个数重复出现多次时,我们常怎样计算这组数据的平均数?(先整理数据,列出频数分布表,用简单方法计算平均数)思路二【师生活动】学生独立思考后,教师课件展示小明和小亮的计算方法,小组合作交流,判断他们谁的计算方法正确,并说明理由,教师对学生的展示进行点评,并总结相同的数重复出现多次的时候,计算平均数的方法.【课件展示】小明和小亮分别是这样计算平均数的.小明的计算结果:×(70+75+80+85)=77.5(g).小亮的计算结果:×(70×2+75×5+80×6+85×7)=79.5(g).你认为他们谁的计算方法正确?请和同学交流你的看法.(小亮的计算方法是正确的.由于70,75,80,85出现的频数不同,它们对平均数的影响也不同,所以,频数对平均数起着权衡轻重的作用)归纳:一组数据中某个数重复出现多次时,先整理数据,列出频数分布表,再用简单方法计算平均数.[设计意图]通过小组合作交流,探讨一组数据中某个数重复出现多次时的平均数的计算方法,加深对算术平均数的意义的理解,为下节课学习加权平均数做好铺垫.共同探究二用计算器求平均数【师生活动】学生自主学习课本中内容,然后小组内合作交流,共同归纳用计算器求平均数的方法,并互相出题用计算器求平均数,学生代表展示,教师点评,师生共同归纳用计算器求平均数的一般步骤.【课件展示】求“做一做”中20个数据的平均数的步骤如下(用A型计算器):步骤按键显示选择统计模式,进入一元统计状态MODE 2Stat x输入第1个数据70,频数27 0 , 2 DATA n=2输入第2个数据7 5 , 5 DATA n=775,频数5输入第3个数据8 0 , 6 DATA n=1380,频数6输入第4个数据8 5 , 7 DATA n=2085,频数7显示统计Rcl =79.5结果[设计意图]学生阅读计算器说明书后,小组合作交流操作方法,归纳操作步骤,培养学生自主学习能力和合作交流能力,同时培养学生归纳总结能力.[知识拓展]若要了解一组数据的平均水平,可计算这组数据的算术平均数,算术平均数与一组数据的每一个数据都有关系,当一个数据发生变化时,会影响整组数据的平均数,所以算术平均数的缺点是容易受个别特殊值的影响,有时不能代表一组数据的集中趋势.1.统计学是一门与数据打交道的学科,应用十分广泛.本章将要学习的是统计学的初步知识.2.求n个数据的平均数的公式.3.平均数的简化计算公式.4.用计算器求一组数据的平均数的步骤.1.2015年5月某日我国部分城市的最高气温统计如下表所示:城市武汉成都北京上海海南南京拉萨深圳气温/℃27 27 24 25 28 28 23 26这组数据的平均数是()A.24 ℃B.25 ℃C.26 ℃D.27 ℃解析:(27+27+24+25+28+28+23+26)÷8=208÷8=26(℃).故选C.2.在一次青年歌手大奖赛上,七位评委为某位歌手打出的分数如下(单位:分):9.5,9.4,9.6,9.9,9.3,9.7,9.0,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数是()A.9.2分B.9.3分C.9.4分D.9.5分解析:去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据是9.5,9.4,9.6,9.3,9.7,所以平均数是=9.5(分).故选D.3.若8个数的平均数是11,还有12个数的平均数是12,则这20个数的平均数是.解析:这些数之和为8×11+12×12=232,故这些数的平均数是=11.6.故填11.6.4.某老师为了了解学生周末利用网络进行学习的时间,在所任教班级随机调查了10名学生,其统计数据如表:时间/小时 4 3 2 1 0人数/名 2 4 2 1 1求这10名学生周末利用网络进行学习的平均时间.解:(4×2+3×4+2×2+1×1+0×1)=2.5(小时).即这10名学生周末利用网络进行学习的平均时间是2.5小时.第1课时共同探究一实际问题中平均数的计算做一做共同探究二用计算器求平均数一、教材作业【必做题】教材第5页习题A组第1,2题.【选做题】教材第5页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.数据a,a,b,c,a,c,d的平均数是()A. B.C. D.2.有m个数的平均数是x,n个数的平均数是y,则这m+n个数的平均数为()A. B.C. D.3.如果一组数据x1,x2,x3,x4的平均数是,那么另一组数据x1,x2+1,x3+2,x4+3的平均数是 ()A. B.+1C.+1.5D.+64.某次考试,5名学生的平均分是82,除学生甲外,其余4名学生的平均分是80,那么学生甲的得分是()A.84B.86C.88D.905.如果一组数据5,x,3,4的平均数是5,那么x=.6.一次数学测验,小红和小明的平均成绩是92分,小红和小芳的平均成绩是93分,三人的平均成绩是93分,则小明和小芳的平均成绩是分.7.一组数据1,2,3,x,y,z的平均数是4.(1)求x,y,z的平均数;(2)求4x+5,4y+6,4z+7的平均数.8.从甲、乙、丙三个厂家生产的同一产品中,各抽出8件产品,对其使用寿命进行跟踪调查,结果如下:(单位:年)甲:3,4,5,6,8,8,8,10;乙:4,6,6,6,8,9,12,13;丙:3,3,4,7,9,10,11,13.试计算三个厂这三批灯泡的平均寿命并比较哪个厂生产的产品寿命最长.【能力提升】9.将一组数据中的每一个数减去50后,所得新的一组数据的平均数是2,则原来那组数据的平均数是()A.50B.52C.48D.210.若数据3,2,m,5,9,n的平均数为3,则m和n的平均数是.【拓展探究】11.某班在一次语文考试中,平均成绩是78分,男、女生各自平均成绩分别是81分、75.5分,求该班男、女生人数之比.【答案与解析】1.B(解析:根据平均数的定义可得这组数据的平均数为.故选B.)2.C(解析:m个数的平均数是x,则这m个数的和是mx,n个数的平均数是y则这n 个数的和是ny,则这m+n个数的和是mx+ny,根据平均数的定义,得这m+n个数的平均数是.故选C.)3.C(解析:由题意可得,则x1+x2+x3+x4=4,所以x1,x2+1,x3+2,x4+3的平均数是+1.5.故选C.)4.D(解析:设学生甲的得分为x,则x+4×80=5×82,解得x=90.故选D.)5.8(解析:根据平均数的计算公式可得5+x+3+4=4×5,解得x=8.故填8.)6.94(解析:设小红,小明和小芳的成绩分别为x分,y分,z分,根据题意可得x+y=2×92,x+z=2×93,x+y+z=3×93,解得x=91,y=93,z=95,所以小明和小芳的平均成绩是(93+95)÷2=94(分).故填94.)7.解:(1)由题意可得1+2+3+x+y+z=4×6,∴x+y+z=18,∴x,y,z的平均数为=6.(2)4x+5,4y+6,4z+7的平均数为=30.8.解:=6.5(年),=8(年),=7.5(年),∴乙厂生产的产品寿命最长.9.B(解析:设原来的数据为x1,x2,…,x n.由题意知新的一组数据的平均数=[(x1-50)+(x2-50)+…+(x n-50)]=[(x1+x2+…+x n)-50n]=2,∴(x1+x2+…+x n)-50=2,∴(x1+x2+…+x n)=52,即原来的那组数据的平均数为52.故选B.) 10.-0.5(解析:由题意知数据有6个,则有(3+2+m+5+9+n)=3,∴m+n=18-3-2-5-9=-1,∴m,n的平均数为-0.5.故填-0.5.) 11.解:设男生人数为m,女生人数为n,则有(m+n)×78=m×81+n×75.5,即78m+78n=81m+75.5n,∴3m=2.5n,∴m∶n=2.5∶3=5∶6.即该班男、女生人数之比为5∶6.本节课的重点是平均数的意义和作用,通过复习小学学过的平均数的概念及运算,为本节课的学习做好铺垫.平均数是反映数据集中趋势的量,在实际生活中应用广泛,通过比较两个不同品种小麦的单位面积产量,引出平均数的概念,在教学过程中学生通过自主学习、合作交流等活动获得新知,培养学生的读图能力,体会数形结合思想,让学生感受数学与实际生活的密切联系,提高应用意识.在“做一做”这一教学环节,让学生独立完成,小组内交流答案,由于出现相同的数据,所以教师先引导学生完成统计表,既复习了统计的知识,又为下节课学习加权平均数打下基础.整节课以教师引导、突出学生主体为主要形式,提高学生的学习能力.在教学过程中对平均数的意义的探索,由于小学已经熟悉平均数的计算,学生积极参与,课堂气氛活跃,在教师的引导下,学生顺利完成概念的形成及解决实际问题,但在用计算器计算的教学环节中,学生对计算器的应用不熟悉,对计算器的应用的学习没有足够的热情,教师给学生交流的时间也较短,所以完成效果不太好,在以后的教学中,教师应激发学生应用现代科技解决数学问题的兴趣.本节课是在小学对平均数有了初步认识的基础上,继续研究平均数的概念及计算,以生活实例导入新课,激发学生的学习兴趣,感受平均数在实际生活中的应用.以教材中比较两个不同品种的农作物的单位面积产量为问题情境,教师引导学生进行观察图形、独立思考、小组合作交流等数学活动,完成平均数概念的形成,不仅培养学生的读图能力,而且提高学生统计思想,使学生更深入地理解平均数的意义.在完成对平均数概念的认识后,通过“做一做”,让学生体会数据中有相同数据时计算平均数的方法,为学习加权平均数做好铺垫.在课堂上要重视学生学习能力的培养,突出以学生为主体的课堂.练习(教材第4页)2.解:(1)6名队员的平均身高是185 cm. (2)每名运动员身高与平均身高差的和是0.习题(教材第5页)A组1.解:(1)A厂电池连续使用时间的平均数为(40+48+40+42+43+45)=43(h);B厂电池连续使用时间的平均数为(40+50+45+46+46+52)=46.5(h). (2)B厂生产的电池质量可能更好些.2.解:全年级学生的平均分为≈82.1(分).B组1.解:(1)∵(12.8+12.4+12.2+13.1+12.7)≈12.6(s),(12.2+13.4+12.3+13.5+13.3+12.4+13.0)≈12.9(s).(2)∵12.6<12.9,∴从平均成绩的方面看,甲的实力更强一些.∵甲、乙的最好成绩都是12.2 s,∴从最好成绩方面看,两人的实力相当.2.解:∵(6×5+7×7+8×15+9×25+10×20)≈8.7(环),且8.7>8.4,∴乙的排名领先.关注统计与生活的密切联系统计与现实生活的联系是非常紧密的,这一领域的内容对学生来说应该是充满趣味性和吸引力的,在教学设计时要特别注意将统计的学习与实际问题紧密结合,选择典型的、学生感兴趣的和富有时代气息的现实问题作为例子,在解决这些实际问题的过程中,学习数据处理的方法,理解统计的概念和原理.课标的宏观理念的指导及教材具体素材的活泼灵动,为我们实施教学提供了理论与资源的支持.要通过丰富多彩的教学活动,使学生在解决实际问题的过程中,学会有关的统计知识和方法,体会统计的思想,同时也使学生感受到统计与实际生活的密切联系,以及统计在解决现实问题中的作用.让学生感受“现实的数学、有用的数学”.本节课先从学生熟悉的现实背景抽象出算术平均数的概念,然后在理解概念的基础上,解决有关平均数的实际问题,培养学生应用数学解决实际问题的能力.(1)求下列各组数据的平均数.A.1,2,3,4,5;B.11,12,13,14,15;C.10,20,30,40,50;D.3,5,7,9,11.(2)比较A与B,C,D的计算结果,你能发现什么规律?(3)若一组数据x1,x2,x3,…,x n的平均数为,那么另一组数据3x1-2,3x2-2,3x3-2,…,3x n-2的平均数为.解:(1)=3,=13,=30,=7.(2)A与B比较,B组中各数据比A组中对应各数据多10,所以+10=13.A与C比较,C组中各数据是A组中对应各数据的10倍,所以=10=30.A与D比较,D组中各数据是A组中对应各数据的2倍多1,所以=2+1=7.规律:若一组数据的每一个数都扩大为原来的k倍,则平均数扩大为原来的k 倍;若一组数据的每个数都加或减a,则平均数加或减a.(3)3-2第课时1.理解加权平均数的意义,了解“权”的含义.2.会计算一组数据的加权平均数.3.能说出算术平均数和加权平均数的联系和区别,并能利用它们解决一些现实问题.1.在实际问题情境中理解加权平均数的意义,体会数学与生活之间的密切联系.2.通过利用平均数解决实际问题,发展数学应用能力.3.通过探索算术平均数和加权平均数的联系和区别,发展求同和求异思维.1.通过解决实际问题,体会数学与自然及人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心.2.通过小组合作活动,培养学生的合作意识,激发学生学习兴趣,体验成功的快乐.【重点】加权平均数的计算及算术平均数与加权平均数的区别和联系.【难点】探索算术平均数和加权平均数的联系和区别.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P6~8.导入一:复习提问:1.什么叫算术平均数?。
