第一章 概论
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1.4 条件概率一、条件概率与乘法定理二、全概率公式与贝叶斯公式设两台车床加工同一种零件共100个如下例1项目合格品数次品数合计第一台车床加工的零件数35540第二台车床加工的零件数51960合计8614100从这100个零件中任取一个(1)求取出的零件是合格品的概率;(2)若已知取出的零件是由第一台车床加工的,求它是合格品的概率.A 发生的条件下事件B 发生的概率,这种概率叫做条件概率,记作P (B |A )解(1)取出的零件是合格品的概率为(2)若已知取出的零件是由第一台车床加工的,86.010086==p 875.00435==p 如在例1(2)中,若用A 表示取出的零件是由第一台车床加工的,用B 表示取出的零件是合格品,则(2)中所求的概率便是条件概率P (B |A ),这时则它是合格品的概率为)()(A P AB P =(这正是条件概率的一般结论)0435)|(=A B P定理1设在试验E 中,事件A 的概率P (A )>0,则事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率为(条件概率计算公式))()()|(A P AB P A B P =定理2(乘法定理)二事件积的概率等于其中一事件的概率与该事件发生的条件下另一事件发生的条件概率的乘积,即)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P ==(乘法公式))|()|()()(12112121-=n n n A A A A P A A P A P A A A P 推广:ΩAB()()A B B P A B P A B P A B B P )()()()()5(212121-+= )|(1)( )4(A B P A B P -=则是两两不相容的事件设可加性, , ,: )3(21 B B ∑∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11)(i i i i A B P A B P 条件概率也是概率,它具有概率的一切性质1)(0: )1(≤≤A B P 有界性0)(1)(:)2(=∅=|A P ,A ΩP 规范性条件概率的性质:一盒子装有10张彩票,其中有2张一等奖,每次从中任取一张,作不放回抽样.求:(1)第3次能抽到一等奖的概率;(2)若已知前2次均未抽到一等奖,求第3次能抽到一等奖的概率;(3)第3次才抽到一等奖的概率.例2解设A i 表示事件“第i 次抽到一等奖”,则有(1)由抽签原理知所求概率是2.010/2)(P 3==A (2)这是一条件概率25.08/2)|(213==A A A P (3)==)(321A A A P p )|()|()(213121A A A P A A P A P 8297108⋅⋅=156.0=某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?设A 表示“能活20岁以上”的事件;B 表示“能活25岁以上”的事件,则所求概率为,8.0)(=A P 因为)()()(A P AB P A B P =4.0)()(==B P AB P5.0218.04.0===)()()(A P AB P A B P =所以解例3)(A B ⊂.,,, ,, ,2 12121的一个划分为样本空间则称事件且的一组两两互不相容的验为试的样本空间为试验设ΩΩΩB BB BEBBE++=定义1二、全概率公式与贝叶斯公式事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.A1B 2B3Bn B全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂Ω则的任一事件是的一个划分为的样本空间为试验设 ,,,,,21E A B B E ΩΩ 定理3)|()()(1i i i B A P B P A P ∑∞==知由 ++=21B B ΩA1B 2B 3BnB 证)()(ΩA P A P =)|()(1i i i B A P B P ∑∞==)(1∑∞==i i AB P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∞=)(1i i AB P (全概率公式)3则的任一事件是的一个划分为的样本空间为试验设 ,,,,,21E A B B E ΩΩ 定理4)|()()(1i i i B A P B P A P ∑∞==证由)()|()(A P B A P B P i i =(全概率公式)0)(>A P 且即知)()()|(A P AB P A B P i i =∑∞==1)|()()|()()|(i iii i i B A P B P B A P B P A B P (贝叶斯公式)增加条件条件概率计算公式代入贝叶斯资料有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生产的占20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件A 为“任取一件为次品”,B i 为“任取一解例4112233()()()()()()()P A P B P A B P B P A B P B P A B =++件为i 厂生产的”,则由全概率公式有013.001.02.001.05.002.03.0=⨯+⨯+⨯=例5问题1:你的生日是否在7月1日之前?调查方法:同学们只需回答其中一个问题.至于回答哪一个问题由均匀默念数字的规则确定.老师喊停时,数到奇数的同学回答问题1,数到偶数的同学回答问题2,同学们无论回答问题1还是问题2,只需回答是或否(是打√,否打×),然后由各班班长收齐并统计.最后用我们所学的方法求出考试作弊率p问题2:你是否在考试时作过弊?学生的考试作弊率调查敏感性问题的调查作弊问题求解当有较多的人参加调查后,就可以得到回答“是”和“否”的统计数据.按上述调查规则,这里回答“是”有两种情况:一种是数到“奇”数后回答问题1的“是”,这类“是”出现的比率是“生日在7月1日之前”的概率,它一个条件概率,一般可认为P(“是”|“奇”)=1/2.另一种是数到“偶”数后回答问题2的“是”,这类“是”出现的比率正是考试作弊率,它就是条件概率P(“是”|“偶”)=p,我们有)"|""(")"(")"|""(")"(")"("偶是偶奇是奇是P P P P P +=由此可获得感兴趣的学生作弊率)"(")"|""(")"(")"(")"|""("偶奇是奇是偶是P P P P P p -==2)/(1)2/1)(2/1(112)/(77-=p %5.87=根据全概率公式则偶奇是如果,2/1)"(")"(",112/77)"("===P P P 于是问题得到了圆满地解决例6某工厂生产的产品以100个为一批.在进行抽样检查时,只从每批中抽取10个来检查,如果发现其中有次品,则认为这批产品不合格,不能通过检查.假定每一批产品中的次品最多不超过4个,并且其中恰有0,1,2,3,4个次品的概率分别为0.1,0.2,0.4,0.2,0.1,求(1)每批产品能通过检查的概率;(2)求检查通过的每批产品中恰好有i个次品的概率(i=0,1,2,3,4).1)|(,1.0)(00==B A P B P 解9.0CC)|(,2.0)(10100109911===B A P B P 设事件B i 表示在一批产品中恰好有i 个次品(i =0,1,2,3,4),事件A 表示这批产品能通过检查(即抽样检查的10个产品都是合格产品).则我们有980.0C C )|(,4.0)(10100109822===B A P B P 727.0CC)|(,2.0)(10100109733===B A P B P 652.0CC)|(,1.0)(10100109644===B A P B P(1)由全概率公式可得每批产品能通过检查的概率为0044()()()()()0.8142P A P B P A B P B P A B =++= (2) 由条件概率公式或贝叶斯公式可求得231.08142.011.0)()()()(000=⨯==A P B A P B P A B P 221.08142.09.02.0)()()()(111=⨯==A P B A P B P A B P 397.08142.0809.04.0)()()()(222=⨯==A P B A P B P A B P 179.08142.0727.02.0)()()()(333=⨯==A P B A P B P A B P 080.08142.0652.01.0)()()()(444=⨯==A P B A P B P A B P从上述结果不难发现,若检查通过了,则产品中恰有i个次品的概率发生了变化(如下表)次品数01234检查以前的经验概率0.1000.2000.4000.2000.100检查通过的条件概率0.1230.2210.3970.1790.080概率的增加量0.0230.021-0.003-0.021-0.020有了后验概率我们对产品的质量就有了进一步的了解先验概率后验概率临床诊断记录表明,利用某种试验检查癌例7症具有如下的效果:对癌症患者进行试验的结果呈阳性反应者占95﹪,对非癌症患者进行试验的结果呈阴性反应者占96﹪,现在用这种试验对某市居民进行癌症普查,假如该市的癌症患者数约占居民总数的0.4﹪,求:(1) 试验结果呈阳性反应者确实患有癌症的概率;(2) 试验结果呈阴性反应者确实未患癌症的概率.设事件A 表示试验结果呈阳性反应,事件B 表示被检查者患有癌症. 则有于是由贝叶斯公式得()()(1)()()()()()P B P A B P B A P B P A B P B P A B =+0.040.9960.95004.00.95004.0⨯+⨯⨯=即:试验结果呈阴性反应者未患癌症的可能性极大96.0)|(,95.0)|(,004.0)(===B A P B A P B P 解04.0)|(,50.0)|(,996.0)(===B A P B A P B P ()()(2)()()()()()P B P A B P B A P B P A B P B P A B =+9998.0=即:试验结果呈阳性反应者患癌症的可能性不大1087.0=0.040.9960.95004.00.040.996⨯+⨯⨯=。