高中数学 课时跟踪检测(三)相似三角形的判定 新人教A版选修41

2016-2017学年高中数学 第1讲 相似三角形的判定及有关性质 第4节 直角三角形的射影定理课后练习 新人教A 版选修4-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，下列不能判定△ABC 为直角三角形的是( ) A ．AC ＝2，AB ＝22，CD ＝ 2 B ．AC ＝3，AD ＝2，BD ＝3 C ．AC ＝3，BC ＝4，CD ＝125D ．AC ＝7，BD ＝4，CD ＝2 3解析： 根据勾股定理可知A 、C 正确，根据射影定理的逆定理知D 正确． 答案： B2．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D ．若BC ＝m ，∠B ＝α，则AD 长为( ) A ．m sin 2α B ．m cos 2α C ．m sin αcos α D ．m sin αtan α解析： 由射影定理，得AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝CD ·BC ，即m 2cos 2α＝BD ·m ，m 2sin 2α＝CD ·m ，即BD ＝m cos 2α，CD ＝m sin 2α. 又∵AD 2＝BD ·DC ＝m 2cos 2αsin 2α， ∴AD ＝m cos αsin α，故选C ． 答案： C3．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，下列条件中，一定能确定△ABC 为直角三角形的个数为( )①∠1＝∠A ②CD AD ＝DB CD； ③∠B ＋∠2＝90°； ④BC ∶AC ∶AB ＝3∶4∶5. A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析： ①能．∵∠1＋∠B ＝90°，若∠1＝∠A ，则∠A ＋∠B ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．②能．若CD AD ＝DBCD，则CD 2＝AD ·BD ，∴AB 2＝(AD ＋BD )2＝AD 2＋BD 2＋2AD ·BD ＝AD 2＋BD 2＋2CD 2＝(AD 2＋CD 2)＋(BD 2＋CD 2)＝AC 2＋BC 2，∴△ABC 为直角三角形．③不能．∠B ＋∠2＝90°，又∠B ＋∠1＝90°，则∠1＝∠2，并不能得到△ABC 为直角三角形．④能．设BC ＝3x ，AC ＝4x ，AB ＝5x ，则AB 2＝BC 2＋AC 2，△ABC 为直角三角形． 答案： C4．已知△ABC 中，AD 是高，且AD 2＝BD ·DC ，则∠BAC ( ) A ．大于90° B ．等于90° C ．小于90° D ．不能确定答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．CD 是Rt △ACB 斜边AB 上的高，则cos A 用线段的比表示为________或________或________.答案：AD AC AC AB CD BC6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AD ＝4，sin ∠ACD ＝45，则CD＝________.解析： 在Rt △ADC 中，AD ＝4，sin ∠ACD ＝45，由sin ∠ACD ＝AD AC ，得AC ＝AD sin ∠ACD ＝445＝5，又由射影定理AC 2＝AD ·AB ，得AB ＝AC 2AD ＝254.∴BD ＝AB －AD ＝254－4＝94，由射影定理CD 2＝AD ·BD ＝4×94＝9，∴CD ＝3. 答案： 3三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知直角三角形周长为48 cm ，一锐角平分线分对边为3∶5两部分． (1)求直角三角形的三边长； (2)求两直角边在斜边上的射影的长． 解析： (1)如图，设CD ＝3x ，BD ＝5x ， 由BC ＝8x ， 过D 作DE ⊥AB ， 由题意可得，DE ＝3x ，BE ＝4x ，∴AE ＋AC ＋12x ＝48. 又AE ＝AC ，∴AC ＝24－6x ，AB ＝24－2x ， ∴(24－6x )2＋(8x )2＝(24－2x )2， 解得：x 1＝0(舍去)，x 2＝2， ∴AB ＝20，AC ＝12，BC ＝16， ∴三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CF ⊥AB 于F ， ∴AC 2＝AF ·AB ，∴AF ＝AC 2AB ＝12220＝365(cm)．同理：BF ＝BC 2AB ＝16220＝645(cm)．∴两直角边在斜边上的射影长分别为365cm ，645cm.8．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，EF ⊥BC 于F ，且BD ·CF 2＝CD ·EF 2.求证：EF ∶DF ＝BC ∶AC ．证明： ∵AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∴EF ∥AD ．∴EF AD ＝CF CD ，∴EF 2CF 2＝AD 2CD2. 又∵BD ·CF 2＝CD ·EF 2，∴EF 2CF 2＝BD CD.∴AD 2CD 2＝BD CD，即AD 2＝BD ·CD ． ∴∠BAC ＝90°. ∴AC 2＝BC ·CD ．∵BE 平分∠ABC ，EA ⊥AB ，EF ⊥BC ， ∴AE ＝EF .又EF ∥AD ，∴AE DF ＝ACDC. ∴EF DF ＝AC DC ＝AC ·BC AC 2＝BCAC，即EF ∶DF ＝BC ∶AC ．尖子生题库☆☆☆9．(10分)在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，CE ∶EB ＝4∶5，CD ＝24，求AD ∶DB 及S △ABC ．解析： ∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ，∴AC 2BC 2＝AD BD. 而AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AD BD ＝AC 2AB 2－AC 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫AB AC 2－1， 又AE 平分∠BAC ，∴AB AC ＝BE CE ＝54， ∴AD BD ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫542－1＝169， 设AD ＝16a ，BD ＝9a ，∴CD 2＝BD ·AD ，即242＝16a ·9a ，解得a ＝2， ∴AB ＝16a ＋9a ＝50.∴S △ABC ＝12AB ·CD ＝12×50×24＝600.。

三 相似三角形的判定及性质庖丁巧解牛知识·巧学一、三角形相似的预备定理在初中，我们已经学过相似三角形的知识，其定义是如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么称这两个三角形相似.对于三角形相似，其中对应边的比值叫做相似比(或相似系数).利用上一节所学的平行线分线段成比例定理，可得预备定理:平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形和原三角形相似.其原理如下:如图1-3-2，△ABC 中，DE∥BC，则由平行线分线段成比例定理，有BCDEAC AE AB AD ==，而由DE∥BC，易得∠D=∠B,∠E=∠C，又∠A 是公共角，所以△ABC 与△ADE 具备相似的条件，即△ABC 中，若DE∥BC，则△ABC∽△ADE.图1-3-2二、相似三角形的判定方法 判定两个三角形相似的方法有:(1)定义法，即对应边成比例，对应角相等的三角形是相似三角形.当然有了判定定理后，就不用定义判定了，这是因为定义中的条件太多，实际上并不需要.(2)平行法，即平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.这就是预备定理.最常用的是判定定理，即①判定定理1:两角对应相等，两三角形相似；②判定定理2:两边对应成比例、夹角相等,两三角形相似；③判定定理3:三边对应成比例,两三角形相似.方法点拨 在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，即两角对应相等，两三角形相似.因为它的条件最容易寻求，实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角.在连续两次证明相似时，在第二次使用判定定理2的情况较多.辨析比较 对于直角三角形相似的判定，除以上方法外，还有其他特殊的方法: (1)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似；(2)如果一个直角三角形的一条直角边和斜边与另外一个直角三角形的直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似. 在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用. 三、相似三角形的性质如果两个三角形相似，那么它们的形状相同，只在大小上有所区别，这两个三角形的对应元素之间有很重要的关系，分别是:(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例；(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；(3)相似三角形的周长比等于相似比；(4)相似三角形的面积比等于相似比的平方；(5)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方.利用这些关系，可以进行各种各样的求值和证明.问题·探究问题在初中，我们已经学过全等三角形，两个全等三角形的大小、形状是完全一样的，相似三角形是形状相同但大小不一样的三角形，显然，当两个相似三角形的相似比为1的时候，相似三角形就成了全等三角形，那么，这两者之间有哪些联系和差别呢？思路:鉴于相似三角形和全等三角形的类似点，在学习相似三角形的性质时，可以类比全等三角形的性质来研究.们研究相似三角形的性质的时候，切记从相似比入手即可，涉及到线段的比均等于相似比，只有面积的比是相似比的平方.典题·热题例1如图1-3-3，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则下列结论正确的是（）图1-3-3A.△AED∽△ACBB.△AEB∽△ACDC.△BAE∽△ACED.△AEC∽△DAC思路分析：本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，用排除法结合条件易选出正确选项.答案：C深化升华判定三角形相似，首先考虑两角对应相等，特别是当图形中只有角的关系时，常常通过角的转换实现角的相等关系，还应该多注意公共角这一隐含条件的使用.例2如图1-3-4所示，已知D是△ABC中AB边上的一点，DE∥BC且交AC于E，EF∥AB且交BC于F，且S△ADE=1，S△EFC=4，则四边形BFED的面积等于（）图1-3-4A.2B.4C.5D.9思路分析：由题易得△ADE∽△EFC，S△ADE∶S△EFC=1∶4，∴AE∶EC＝1∶2，AE∶AC＝1∶3.∴S△ADE∶S△ABC=1∶9.∴S BFED=5.答案：C例3如图1-3-5，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AD 2=DC·AC.图1-3-5思路分析：有一个角是36°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线， ∴∠CBD=36°，则可推出△ABC∽△BCD，进而由相似三角形的对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明：∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=72°. 又∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°.∴AD=BD=BC，且△ABC∽△BCD.∴BC∶AB=CD∶BC.∴BC 2=AB·CD.∴AD 2=AC·CD.深化升华 (1)有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边.(2)要说明线段的乘积式ab=cd 或平方式a 2=bc ，一般都是先证明比例式b dc a =或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式.例4如图1-3-6，已知在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AD=AC ，DE⊥BC，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F.图1-3-6(1)求证:△ABC∽△FCD；(2)若S △FCD =5，BC ＝10，求DE 的长.思路分析：第(1)问,∵AD=AC，∴∠ACB=∠CDF.又D 是BC 中点，ED⊥BC， ∴∠B=∠ECD.∴△ABC∽△FCD.第(2)问利用相似三角形的性质，作AM⊥BC 于M ，易知S △ABC =4S △FCD . ∴S △ABC =20，AM=4.又∵AM∥ED，∴BMBDAM ED =，再根据等腰三角形的性质及中点，可以求出DE.也可运用△ABC∽△FCD，由相似比为2，证出F 是AD 的中点，通过“两三角形等底等高，则面积相等”，求出S △ABC =20.(1)证明：∵DE⊥BC，D 是BC 中点，∴EB=EC.∴∠B=∠1. 又∵AD=AC，∴∠2=∠ACB.∴△ABC∽△FCD. (2)解法一：过点A 作AM⊥BC，垂足为点M. ∵△ABC∽△FCD，BC=2CD ，∴)(CDBC S S FCD ABC =∆∆ 2=4. 又∵S △FCD =5，∴S △ABC =20.∵S △ABC =21BC·AM，BC=10，∴20=21×10×AM.∴AM=4. 又∵DE∥AM，∴BMBDAM ED =. ∵DM=21DC=25，BM=BD ＋DM ，BD=21BC=5，∴25554+=DE ∴DE=38. 解法二：作FH⊥BC，垂足为点H.图1-3-7∵S △FCD =21DC·FH，又∵S △FCD =5，DC=21BC=5， ∴5=21×5×FH.∴FH=2. 过点A 作AM⊥BC，垂足为点M ，∵△ABC∽△FCD，∴BC DC AM FH ==21.∴AM=4. 又∵FH∥AM，∴AM FH DM DH ==42=21. ∴点H 是DM 的中点.又∵FH∥DE，∴DCHCDE FH =. ∵HC=HM＋MC=415，∴54152=DE .∴DE=38.例5如图1-3-8，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m ，已知小明的身高是1.6 m ，他的影长是2 m.图1-3-8(1)图中△ABC 与△ADE 是否相似?为什么? (2)求古塔的高度.思路分析：由题意,知△ABC 与△ADE 相似，这是因为两个三角形均为直角三角形，并且这两个三角形有一个公共角，由判定定理可得相似，利用对应边成比例，可以获得塔高.解：(1)△ABC∽△ADE.理由如下：∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB＝∠AED＝90°. ∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE. (2)由(1)得△ABC∽△ADE,∴DEBCAE AC =. ∵AC＝2 m ，AE ＝2＋18＝20(m)，BC ＝1.6 m. ∴DE6.1202=.∴DE=16. 答:古塔的高度为16 m.例6一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图1-3-9(1)、(2)所示.那么哪位同学的加工方法符合要求？说说你的理由(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留).(1) (2)图1-3-9思路分析：两个图形中均有相似三角形，图(1)中CB CD AB DE =，即225.1xx -=，可得正方形的边长，图(2)中可运用相似比等于对应高的比列出等式，进而求出正方形的边长.解：由AB=1.5米，S △ABC =1.5平方米，得BC=2米.如图1-3-9(1)，若设甲加工的桌面边长为x 米，由DE∥AB，推出Rt△CDE∽Rt△CBA，可求出x=76米. 如图1-3-9(2)，过点B 作Rt△ABC 斜边上的高BH ，交DE 于P ，交AC 于H. 由AB=1.5米，BC=2米，S △ABC =1.5平方米，得AC=2.5米，BH=1.2米. 设乙加工的桌面边长为y 米， ∵DE∥AC，∴Rt△BDE∽Rt△BAC. ∴AC DE BH BP =,即5.22.12.1y y =-.解之，得y=3730353076>=,即x>y,x 2>y 2, ∴甲同学的加工方法符合要求.深化升华 在三角形中有平行于一边的直线时，通常考虑三角形相似，利用比值获得线段的长或三角形的面积.。

2016-2017学年高中数学 第1讲 相似三角形的判定及有关性质 第1节 平行线等分线段定理课后练习 新人教A 版选修4-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．如图，A 、B 、C 、D 把OE 五等分．且AA ′∥BB ′∥CC ′∥DD ′∥EE ′，如果OE ′＝20 cm ，那么B ′D ′等于( )A ．12 cmB ．10 cmC ．6 cmD ．8 cm解析： 由平行线等分线段定理知当OE ′＝20 cm 时，OA ′＝A ′B ′＝B ′C ′＝C ′D ′＝D ′E ′＝4 cm ， 故B ′D ′＝8 cm. 答案： D2．如图，在△ABC 中，AH ⊥BC 于H ，E 是AB 的中点，EF ⊥BC 于F ，若HC ＝14BH ，则FC＝________BF ( )A ．52B ．23 C ．12D ．32解析： 由AH ⊥BC ，EF ⊥BC 知EF ∥AH ， 又∵AE ＝EB ，∴BF ＝FH ， ∴HC ＝14BH ＝12BF ，∴FC ＝32BF .答案： D3.如图，l 1∥l 2，OE ＝EF ，则下列结论成立的是( )A ．AB ＝EF ＝CDB ．OC ＝CD ，OA ＝AB C ．DF ＝BF ，CE ＝AE D ．OA ＝OE ＝OC解析： 由平行线等分线段定理的推论1知，在△OBD 中及△OFD 中OC ＝CD ，OA ＝AB ． 答案： B4.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为BC 中点，且AE ∥DC ，AE 交BD 于点F ，过点F 的直线交AD 的延长线于点M ，交CB 的延长线于点N ，则FM 与FN 的关系为( )A ．FM ＞FNB ．FM ＜FNC ．FM ＝FND ．不能确定解析： 由AD ∥BC ，AE ∥DC 知▱AECD 为平行四边形， 故AD ＝EC ，又由BE ＝EC 知BE ＝AD ，由平行线等分线段定理推论2知，FM ＝FN . 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图，AD ∥EG ∥FH ∥BC ，E 、F 三等分AB ，AD ＝4，BC ＝13，则EG ＝________，FH ＝________.解析： 由梯形中位线定理知2EG ＝AD ＋FH,2FH ＝EG ＋BC ，又AD ＝4，BC ＝13，易解得EG ＝7，FH ＝10.答案： 7 106．如图，已知a ∥b ∥c ，直线m 、n 分别与直线a 、b 、c 交于点A 、B 、C 和点A ′、B ′、C ′，如果AB ＝BC ＝1，A ′B ′＝32，则B ′C ′＝________.解析： 直接利用平行线等分线段定理． 答案： 32三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图，在▱ABCD 中，E 和F 分别是边BC 和AD 的中点，BF 和DE 分别交AC 于P 、Q 两点．求证：AP ＝PQ ＝QC ．证明： ∵四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是BC 、AD 边上的中点， ∴DF 綊BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形． ∵在△ADQ 中，F 是AD 的中点，FP ∥DQ ， ∴P 是AQ 的中点，∴AP ＝PQ .∵在△CPB 中，E 是BC 的中点，EQ ∥BP ， ∴Q 是CP 的中点，∴CQ ＝PQ ，∴AP ＝PQ ＝QC ．8．如图，已知在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AE ⊥CD 于E ，EF ∥BC 交AB 于F .求证：AF ＝BF .证明： 延长AE 交BC 于M .∵CD 是∠ACB 的平分线，AE ⊥CE 于E ， ∴在△AEC 和△MEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEC ＝∠MEC ，EC ＝CE ，∠ACD ＝∠MCD .∴△AEC ≌△MEC ，∴AE ＝EM ，∴E 是AM 的中点． 又在△ABM 中，EF ∥BM ，∴点F 是AB 边的中点，∴AF ＝BF . 尖子生题库☆☆☆9．(10分)如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝12 cm ，AC 交梯形中位线EG 于点F ，若EF ＝4 cm ，FG ＝10 cm.求此梯形的面积． 解析： 作高DM 、CN ，则四边形DMNC 为矩形． ∵EG 是梯形ABCD 的中位线， ∴EG ∥DC ∥AB ．∴F 是AC 的中点． ∴DC ＝2EF ＝8，AB ＝2FG ＝20，MN ＝DC ＝8. 在Rt △ADM 和Rt △BCN 中，AD ＝BC ，∠DAM ＝∠CBN ，∠AMD ＝∠BNC ，∴△ADM ≌△BCN . ∴AM ＝BN ＝12(20－8)＝6.∴DM ＝AD 2－AM 2＝122－62＝6 3. 又EG ＝EF ＋FG ＝4＋10＝14.∴S 梯形＝EG ·DM ＝14×63＝843(cm 2)．。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 学业分层测评4 相似三角形的性质 新人教A 版选修4-1(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图1­3­32，D ，E ，F 是△ABC 的三边中点，设△DEF 的面积为14，△ABC 的周长为9，则△DEF 的周长与△ABC 的面积分别是( )图1­3­32A.92，1 B ．9,4 C.92，8 D.94，16 【解析】 ∵D ，E ，F 分别为△ABC 三边的中点， ∴EF 綊12BC ，DE 綊12AC ，DF 綊12AB.∴△DFE ∽△ABC ，且EF BC ＝12，∴l △DEF l △ABC ＝EF BC ＝12.又∵l △ABC ＝9，∴l △DEF ＝92.又∵S △DEF S △ABC ＝EF 2BC 2＝14，S △DEF ＝14，∴S △ABC ＝1，故选A. 【答案】 A2．如图1­3­33，在▱ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF ∽△CDE ，则BF 的长是( )图1­3­33A ．5B ．8.2C ．6.4D ．1.8【解析】 由△CBF ∽△CDE ，得BF DE ＝CB CD， 又点E 是AD 的中点，AB ＝CD ＝10，AD ＝BC ＝6，∴DE ＝3，即BF 3＝610，∴BF ＝1.8.【答案】 D3．如图1­3­34所示，D 是△ABC 的AB 边上一点，过D 作DE ∥BC 交AC 于E .已知AD ∶DB ＝1∶3，则△ADE 与四边形BCED 的面积比为( )图1­3­34A ．1∶3B ．1∶9C ．1∶15D ．1∶16【解析】 因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC . 又因为AD ∶DB ＝1∶3.所以AD ∶AB ＝1∶4，其面积比为1∶16， 则所求两部分面积比为1∶15. 【答案】 C4．某同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图1­3­35所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm ，幻灯片到屏幕的距离是1.5 m ，幻灯片上小树的高度是10 cm ，则屏幕上小树的高度是( ) 【导学号：07370017】图1­3­35A ．50 cmB ．500 cmC ．60 cmD ．600 cm【解析】 设屏幕上小树的高度为x cm ，则10x ＝3030＋150，解得x ＝60(cm)．【答案】 C5．如图1­3­36，△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于D ，E ，S △ADE ＝2S △DCE ，则S △ADES △ABC＝( )图1­3­36A.14B.12C.23D.49【解析】 ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，由S △ADE ＝2S △DCE ，得AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49.【答案】 D 二、填空题6．如图1­3­37，在△ABC 中，D 为AC 边上的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝10，则AE 的长为________．图1­3­37【解析】 ∵AE ∥BC ，∴△BGF ∽△AGE ，∴BF AE ＝BG GA ＝31， ∵D 为AC 中点，∴AE CF ＝AD DC＝1，∴AE ＝CF ， ∴BC ∶AE ＝2∶1，∵BC ＝10，∴AE ＝5. 【答案】 57．如图1­3­38，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.图1­3­38【解析】 因为PE ∥BC ，所以∠C ＝∠PED .又因为∠C ＝∠A ，所以∠A ＝∠PED .又∠P ＝∠P ，所以△PDE ∽△PEA ，则PD PE ＝PE PA，即PE 2＝PD ·PA ＝2×3＝6，故PE ＝ 6. 【答案】68．(2016·湛江高三调研)如图1­3­39，在△ABC 中，已知DE ∥BC ，△ADE 的面积是a 2，梯形DBCE 的面积是8a 2，则ADAB＝________.图1­3­39【解析】 ∵S △ADE ＝a 2，S DBCE ＝8a 2，∴S △ABC ＝S △ADE ＋S BDCE ＝a 2＋8a 2＝9a 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫AD AB 2＝S △ADE S △ABC ＝a 29a 2＝19，∴AD AB ＝13. 【答案】 13三、解答题9．如图1­3­40，已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与 AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .图1­3­40(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．【解】 (1)证明：∵DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，∴EB ＝EC ，∴∠B ＝∠1， 又∵AD ＝AC ， ∴∠2＝∠ACB. ∴△ABC ∽△FCD .(2)过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M . ∵△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ， ∴S △ABC S △FCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BC CD 2＝4.又∵S △FCD ＝5，∴S △ABC ＝20. ∵S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，∴20＝12×10×AM ，∴AM ＝4.又∵DE ∥AM ，∴DE AM ＝BDBM. ∵DM ＝12DC ＝14BC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，BD ＝12BC ＝5，∴DE 4＝55＋52，∴DE ＝83.10．如图1­3­41，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝200 mm ，高AD ＝300 mm ，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，求这个矩形零件的边长．图1­3­41【解】 设矩形EFGH 为加工成的矩形零件，边FG 在BC 上，则点E ，H 分别在AB ，AC 上，△ABC 的高AD 与边EH 相交于点P ，设矩形的边EH 的长为x mm.∵EH ∥BC ，∴△AEH ∽△ABC ，∴AP AD ＝EH BC ，∴300－2x 300＝x 200， 解得x ＝6007 (mm)，2x ＝1 2007(mm)．答：加工成的矩形零件的边长分别为6007mm 和1 2007mm.[能力提升]1．如图1­3­42所示，已知在△ABC 中，∠C ＝90°，正方形DEFG 内接于△ABC ，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AC ＝1，BC ＝2，则AF ∶FC 等于( )图1­3­42A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶2D ．2∶3【解析】 设正方形边长为x ，则由△AFE ∽△ACB ，可得AF ∶AC ＝FE ∶CB ，即x 2＝1－x1，所以x ＝23，于是AF FC ＝12.【答案】 C2．如图1­3­43，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，DC ＝80，那么EF 的值是( )图1­3­43A ．10B ．12C ．16D ．18【解析】 ∵AB ∥EF ∥CD ， ∴AE EC ＝AB DC ＝2080＝14，∴EF AB ＝EC AC ＝45， ∴EF ＝45AB ＝45×20＝16.【答案】 C3．在△ABC 中，如图1­3­44所示，BC ＝m ，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于E ，D 两点，且S △ADE ＝S 四边形BCDE ，则DE ＝________. 【导学号：07370018】图1­3­44【解析】 ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ACB.又∵S △ADE ＋S 四边形BCDE ＝S △ABC ；S △ADE ＝S 四边形BCDE ， ∴S △ADE ＝12S △ABC ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫DE BC 2＝12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫DE m 2＝12， ∴DE ＝22m . 【答案】22m 4．某生活小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块上、下两底分别为10 cm 、20 cm 的梯形空地上种植花木．(1)他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花，单价为8元/m 2，当△AMD 地带种满花后(如图1­3­45阴影部分)共花了160元，请计算种满△BMC 地带所需的费用；图1­3­45(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m 2和10元/m 2，应选择种哪种花木可以刚好用完所筹集的资金？【解】 (1)∵四边形ABCD 是梯形，∴AD ∥BC ， ∴△AMD ∽△CMB ，∴S △AMD S △CMB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD BC 2＝14. ∵种植△AMD 地带花费160元，∴S △AMD ＝1608＝20 (m 2)，∴S △CMB ＝80 (m 2)．∴△BMC 地带的花费为80×8＝640(元)．(2)设△AMD ，△BMC 的高分别为h 1，h 2，梯形ABCD 的高为h ， ∵S △AMD ＝12×10h 1＝20，∴h 1＝4(m)．又∵h 1h 2＝12，∴h 2＝8(m)．∴h ＝h 1＋h 2＝12(m)．∴S 梯形ABCD ＝12(AD ＋BC )h ＝12×30×12＝180 (m 2)，∴S △AMB ＋S △DMC ＝180－20－80＝80 (m 2)．∴160＋640＋80×12＝1 760(元)，160＋640＋80×10＝1 600(元)．∴应种植茉莉花刚好用完所筹资金．。

四 直角三角形的射影定理更上一层楼基础·巩固1下列命题正确的是（ ）A.所有的直角三角形都相似B.所有的等腰三角形都相似C.所有的等腰直角三角形都相似D.所有的有一个角为30°的等腰三角形都相似思路解析:此题容易混淆的是D ，D 中所有的有一个角是30°的等腰三角形，若一个是顶角为30°,而另一个是底角为30°，那么这两个等腰三角形不相似，即条件中30°角的位置不明确.答案：C2如图1-4-9，已知△ABC∽△ADE，且∠ADE=∠B，则下列比例式中正确的是（ ）图1-4-9 A.DCAD BE AE = B.AC AD AB AE = C.BC DE AC AD = D.BCDE AC AE = 思路解析:本题的关键是找准对应边，∠ADE=∠B，那么∠ADE 的对边AE 与∠B 的对边AC 是对应边，DE 与BC 是对应边，所以D 正确.答案：D3如图1-4-10，在中，F 是BC 边上的点，延长DF 与AB 的延长线相交于G ，则相似三角形有…（ ）图1-4-10A.3对B.4对C.5对D.6对思路解析:若包括全等三角形在内，有6对相似三角形，其中上、下看：△GBF∽△GAD，△EFC∽△EDA；左、右看：△GFB∽△DFC，△GAE∽△DCE，△GAD∽△DFC.又因为DC∥AG，所以△ABC≌△CDA，于是共有6对三角形相似.答案：D4如图1-4-11，ABCD 是矩形,∠BEF=90°，①、②、③、④这四个三角形能相似的是（ ）图1-4-11A.①与②B.①与③C.②与③D.②与④思路解析:∵∠BEC=90°，∴∠1与∠2互余.又∠3与∠2互余，∴∠1=∠3且有直角相等.∴图①与图③相似.答案：B5如图1-4-12,已知CD 是Rt△ABC 的斜边AB 上的高线，求证:CD·AC=BC·AD.图1-4-12思路分析:分别在三个直角三角形Rt△ABC、Rt△ADC、Rt△BDC 中运用射影定理，有CD 2=BD·AD,BC 2=BD·AB,AC 2=AD·AB.将第一个式子和第三个式子相乘，就有CD 2·AC 2=BD·AB·AD 2，将BD·AB 换成BC 2，然后两边开方即得.证明：∵CD 是Rt△ABC 的斜边AB 上的高线，∴CD 2=BD·AD,BC 2=BD·AB,AC 2=AD·AB.∴CD 2·AC 2=BD·AB·AD 2,CD·AC=BC·AD.∴CD 2·AC 2=BC 2·AD 2.∴CD·AC=BC·AD.6如图1-4-13，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD 是AB 上的高.已知BD=4，AB=29，试求出图中其他未知线段的长.图1-4-13思路分析:本题应利用直角三角形的射影定理进行计算，根据条件直接计算可得结论. 解由已知，BD=4，AB=29，BC 2=BD·AB， ∴BC=292294=⨯=∙AB BD ∴AD=A B-BD=29-4=25. ∵AC 2=AD·AB，∴AC=2952925=⨯=∙AB AD . ∵CD 2=AD·BD，∴CD=10425=⨯=∙BD AD .综合·应用7如图1-4-14，已知BC 2=BD·AB，能否推出CD⊥AB？如果认为不能推出，那么试加一个条件，并推出CD⊥AB.图1-4-14思路分析:根据已知条件，只能得到△BCD 和△BAC 相似，但不能断定CD⊥AB.必须再附加其他条件.解：根据已知条件，不能推出CD⊥AB.可以添加条件∠BCA 是直角.8暑假里，方程帮母亲到鱼店去买鱼，鱼店里有一种“竹夹鱼”，个个都长得非常相似，现有两种大小不同的“竹夹鱼”,价钱也不同，如图1-4-15所示，鱼长10 cm 的每条10元；鱼长13 cm 的每条15元.方程不知道买哪种更好些，你看怎么办？图1-4-15思路分析:由相似形可知，两个相似图形的大小的比等于相似比，两个相似图形的面积的比是相似比的平方，而体积的比则应是相似比的立方.此题是判断两种鱼的体积之比，再看价格之比，决定买哪种鱼好.解：设两条相似的鱼A 、B 的长分别为10 cm 和13 cm ，即B 与A 的长度之比为1013，则体积之比为10002197101333 =2.197；又B 与A 的价格之比为1015，这里B 种鱼的体积是A 种鱼的体积的2.197倍，而价格只是1.5倍，显然，买B 种鱼比买A 种鱼更划算.。

三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定1．相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比或(相似系数)．(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简述为：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．(3)判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简述为：三边对应成比例，两三角形相似．在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，即两角对应相等，两三角形相似．因为它的条件最容易寻求．在实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理2则常见于连续两次证明相似时，在证明时第二次使用此定理的情况较多．3．直角三角形相似的判定定理(1)定理：①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．(2)定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．对于直角三角形相似的判定，除了以上方法外，还有其他特殊的方法，如直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用．相似三角形的判定如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，证明：△ABC∽△BCD.已知AB＝AC，∠A＝36°，所以∠ABC＝∠C＝72°，而BD是角平分线，因此，可以考虑使用判定定理1.∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°.∴∠A＝∠CBD.又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BCD.判定两三角形相似，可按下面顺序进行：(1)有平行截线，用预备定理；(2)有一对等角时，①找另一对等角，②找夹这个角的两边对应成比例；(3)有两对应边成比例时，①找夹角相等，②找第三边对应成比例，③找一对直角．1.如图，D，E分别是AB，AC上的两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是( )A．∠B＝∠C B．∠ADC＝∠AEBC．BE＝CD，AB＝AC D．AD∶AC＝AE∶AB解析：选C 在选项A、B的条件下，两三角形有两组对应角相等，所以两三角形相似，在D项的条件下，两三角形有两边对应成比例且夹角相等．故选项A、B、D都能推出两三角形相似．在C项的条件下推不出两三角形相似．2．如图，在四边形ABCD中，AEEB＝AFFD，BGGC＝DHHC，EH，FG相交于点O.求证：△OEF∽△OHG.证明：如图，连接BD.∵AEEB＝AFFD，∴EF∥BD.又∵BG GC ＝DH HC， ∴GH ∥BD . ∴EF ∥GH .∴∠EFO ＝∠HGO ，∠OHG ＝∠OEF . ∴△OEF ∽△OHG .3.如图，正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且CF ∶BC ＝1∶4，求证：AE EF ＝ADEC.证明：设正方形ABCD 的边长为4a ， 则AD ＝BC ＝4a ，DE ＝EC ＝2a . 因为CF ∶BC ＝1∶4，所以CF ＝a ， 所以AD EC ＝4a 2a ＝2，DE CF ＝2aa ＝2， 所以AD EC ＝DE CF. 又因为∠D ＝∠C ＝90°， 所以△ADE ∽△ECF . 所以AE EF ＝AD EC. 相似三角形的应用如图，D 为△ABC 的边AB 上一点，过D 点作DE ∥BC ，DF ∥AC ，AF 交DE 于G ，BE 交DF 于H ，连接GH .求证：GH ∥AB .根据此图形的特点可先证比例式GE DE ＝EHEB成立，再证△EGH ∽△EDB ，由相似三角形的定义得∠EHG ＝∠EBD 即可．∵DE ∥BC ， ∴GE FC ＝AG AF ＝DG FB ，即GE DG ＝CFFB.又∵DF ∥AC ，∴EH HB ＝CFFB. ∴GE DG ＝EH HB .∴GE ED ＝EHEB.又∠GEH ＝∠DEB ，∴△EGH ∽△EDB . ∴∠EHG ＝∠EBD .∴GH∥AB.不仅可以由平行线得到比例式，也可以根据比例式的成立确定两直线的平行关系．有时用它来证明角与角之间的数量关系、线段之间的数量关系．4.如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E.(1)求证：△CDE∽△FAE；(2)当E是AD的中点，且BC＝2CD时，求证：∠F＝∠BCF.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.又∵点F在BA的延长线上，∴∠DCF＝∠F，∠D＝∠FAE.∴△CDE∽△FAE.(2)∵E是AD的中点，∴AE＝DE.由△CDE∽△FAE，得CDFA ＝DE AE.∴CD＝FA.∴AB＝CD＝AF.∴BF＝2CD.又∵BC＝2CD，∴BC＝BF.∴∠F＝∠BCF.5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，点E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：ABAC ＝DF AF.证明：∵E是Rt△ADC斜边AC上的中点，∴AE＝EC＝ED. ∴∠EDC＝∠C＝∠BDF.又∵AD⊥BC且∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠C.∴∠BAD＝∠BDF.又∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF，∴DBAD＝DFAF.又在Rt △ABD 与Rt △CBA 中，AB AC ＝DB AD， ∴AB AC ＝DFAF.课时跟踪检测(三)一、选择题1．如图所示，点E 是▱ABCD 的边BC 延长线上的一点，AE 与CD 相交于点F ，则图中相似三角形共有( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对解析：选B 有3对，因为∠ABC ＝∠ADF ，∠AEB ＝∠EAD ，所以△ABE ∽△FDA ， 因为∠ABC ＝∠DCE ，∠E 为公共角， 所以△BAE ∽△CFE .因为∠AFD ＝∠EFC ，∠DAF ＝∠AEC ， 所以△ADF ∽△ECF .2．三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，则这个三角形是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D 等腰三角形底边上的高或直角三角形斜边上的高分得的两个三角形分别相似．3．如图，要使△ACD ∽△BCA ，下列各式中必须成立的是( ) A.AC AB ＝ADBC B.AD CD ＝AC BCC ．AC 2＝CD ·CB D ．CD 2＝AC ·AB解析：选C ∠C ＝∠C ，只有AC CD ＝CB AC，即AC 2＝CD ·CB 时，才能使△ACD ∽△BCA .4．如图，在等边三角形ABC 中，E 为AB 的中点，点D 在AC 上，使得AD AC ＝13，则有( )A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD解析：选B 因为∠A＝∠C，BCAE ＝CDAD＝2，所以△AED∽△CBD.二、填空题5．如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC＝∠ADC，AC ＝8，BC＝16，那么CD＝________.解析：∵∠BAC＝∠ADC，又∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC.∴ACCD＝BCAC.又∵AC＝8，BC＝16.∴CD＝4.答案：46．如图所示，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，则AD＝________，BD＝________.解析：由题设可求得AB＝5，∵Rt△ABC∽Rt△ACD，∴ABAC＝ACAD.∴AD＝AC2AB＝165.又∵Rt△ABC∽Rt△CBD，∴ABCB＝BCBD.∴BD＝BC2AB＝95.答案：165957．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF与AD交于点E，与BC 的延长线交于点F，若CF＝4，BC＝5，则DF＝________.解析：连接AF . ∵EF ⊥AD ，AE ＝ED ， ∴AF ＝DF ， ∠FAD ＝∠FDA .又∵∠FAD ＝∠DAC ＋∠CAF ， ∠FDA ＝∠BAD ＋∠B ， 且∠DAC ＝∠BAD ，∴∠CAF ＝∠B .而∠CFA ＝∠AFB ， ∴△AFC ∽△BFA . ∴AF CF ＝BFAF.∴AF 2＝CF ·BF ＝4×(4＋5)＝36. ∴AF ＝6，即DF ＝6. 答案：6 三、解答题8.如图，D 在AB 上，且DE ∥BC 交AC 于点E ，F 在AD 上，且AD 2＝AF ·AB . 求证：△AEF ∽△ACD . 证明：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AEAC. ∵AD 2＝AF ·AB ，∴AD AB ＝AF AD. ∴AE AC ＝AFAD.又∠A ＝∠A ，∴△AEF ∽△ACD .9.如图，直线EF 交AB ，AC 于点F ，E ，交BC 的延长线于点D ，AC ⊥BC ，且AB ·CD ＝DE ·AC .求证：AE ·CE ＝DE ·EF . 证明：∵AB ·CD ＝DE ·AC ∴AB DE ＝ACCD.∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°. ∴△ACB ∽△DCE .∴∠A＝∠D.又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF∽△DEC.∴AEDE＝EFCE.∴AE·CE＝DE·EF.10.如图，在△ABC中，EF∥CD，∠AFE＝∠B，AE＝6，ED＝3，AF＝8.(1)求AC的长；(2)求CD2BC2的值．解：(1)∵EF∥CD，∴AEAD＝AFAC.∵AE＝6，ED＝3，AF＝8，∴66＋3＝8AC.∴AC＝12.(2)∵EF∥DC，∴∠AFE＝∠ACD，又∠AFE＝∠B，∴∠ACD＝∠B. 又∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.∴CDBC＝ADAC＝6＋312＝34.∴CD2BC2＝916.。