2019-2020高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1-1-2相似三角形的性质学案新人教B版选修4_1

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高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.1.1相似三角形判定定理b41b高二41数学

为点E,则图中与Rt△ADE相似的三角形个数为(
)
A.1
B.2
C.3 D.4
解析:题图中Rt△CBA,Rt△CAD,Rt△ABD,Rt△DBE均与Rt△ADE
相似,故有4个.
答案:D
12/13/2021
1
2
3
4
3.如图,∠BAC=∠DCB,∠CDB=∠ABC=90°,AC=a,BC=b,则BD=
(用a,b表示).
在△ABD 和△ACB 中,∠A=∠A,∠DBA=∠C,
∴△ABD∽△ACB.

∴ = .
∴ = .
12/13/2021
题型一
题型二
题型三
反思证明线段成比例,常把等式中的四条线段分别看成两个三角
形的两条边,再证明这两个三角形相似即可,若这四条线段不能分
别看成两个三角形的两边,则利用相等线段进行转化,如本题中把
∴BC2=AB·CD.
又BC=AD,AB=AC,
∴AD2=AC·CD.
12/13/2021
12/13/2021
例.
3.相似三角形对应顶点的字母必须写在相应的位置上,这一点与
全等三角形是一致的.例如△ABC和△DEF相似,若点A与点E对应,
点B与点F对应,点C与点D对应,则记为△ABC∽△EFD.
12/13/2021
【做一做1】已知△ABC∽△A'B'C',下列选项中的式子,不一定成
立的是(
)
A.∠B=∠B'

答案:

12/13/2021
3.直角三角形相似的判定方法
(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似.

高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.1.2相似三角形的性质课件新人教B版选修4_1

3.一条河的两岸是平行的,在河的这一岸每隔5 m有一棵树,在河的
对岸每隔50 m有一根电线杆,在这岸离岸边25 m处看对岸,看到对
岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之
间还有两棵树,则河的宽度为
m.
解析:如图,A,B是相邻两电线杆的底部,F,G中间还有两棵树,则
AB=50 m,FG=3×5=15(m),EC=25 m,CD⊥AB,AB∥FG,
��'��'
=
54,则△ABC
和△A'B'C'的内切圆的直径的比等于(
)
A.45
B.59
C.94
D.54
解析:△ABC和△A'B'C'对应角平分线的比等于它们内切圆直径的
比,故选D.
答案:D
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
1234 5
4.如图,在▱ABCD中,AE∶EB=1∶2,△AEF的面积为6,则△ADF的面
积为
.
解析:∵AE∥DC,AE∶EB=1∶2,
∴△AEF∽△CDF,
且相似比��
��
随堂演练
UITANGYANLIAN
【做一做 3】已知△ABC∽△A'B'C',��'��' = 23,△ABC 外接圆的直径为 4,则△A'B'C'外接圆的直径等于( )

高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.1.2相似三角形的性质b41b高二41数学

UBIAODAOHANG
题型一
题型二
HISHI SHULI
HONGNAN JVJIAO
D典例透析 S随堂演练
IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
题型三
解:由题意得 AD=AB-BD=30-18=12(m),且 DE∥BC,则△ADE∽

2
△ABC,且相似比为 = 5.
△
则
原有一块三角形绿化地ABC,由于马路拓宽,绿化地被削去了一个角,变成了
一个面积为84 m2,周长为48 m的梯形BCED,原绿化地一边AB的长由原来的30
m缩短成18 m.则被削去的部分面积有多大?
分析利用相似三角形的性质,列方程进行求解即可.
12/9/2021
第十三页，共二十二页。
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UBIAODAOHANG
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
3
4
HISHI SHULI
HONGNAN JVJIAO
D典例透析 S随堂演练
IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
5
5.如图,已知D是△ABC中AB边上一点,DE∥BC,且交AC于点E,EF∥AB,且交BC
于点F,且S△ADE=1,S△EFC=4,则四边形BFED的面积等于多少?
△
=
2

=
2 2
5
=
4
△
,即
25
△ +
四边形
=
4
,又
25
S 四边形
m2,解得 S△ADE=16 m2.
故被削去部分的面积为 16 m2.
BCED=84

高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1_2_2圆周角定理课件新人教B版选修4-1

三、解答题 9.如图，已知在⊙O中，直径AB为10 cm，弦
AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求 BC、AD和BD的长．解：因为AB为直径．所以∠ACB＝∠ADB＝90°. 在Rt△ABC中， BC＝ AB2－AC2＝ 102－62＝8(cm)．因为CD平分∠ACB，
所以 AD＝ DB，所以△ADB为等腰直角三角形．
∴ AE ＝ BE ， AF ＝CF .
又∵∠FPC＝∠ACE＋∠PEC＝
1 2
(
AE
＋
CF )的度数，∠FPC＝∠APQ，
∴∠APQ的度数＝12( AE ＋CF )的度数，
同理∠AQP的度数＝12( AF ＋ BE )的度数，
∴∠APQ＝∠AQP.∴△APQ是等腰三角形．
(1)在圆中，只要有弧，就存在着所对的圆周角．同弧所对的圆周角相等，而相等的角为几何命题的推理提供了条件，要注意此种意识的应用．
那么∠AOD＝
()
A．16°
B．32°
C．48°
D．64°
解析：∵AB∥CD，∴ AD＝BC .
又∵∠BAC＝32°，∴BC 的度数为64°.
∴∠AOD＝64°.
答案：D
3.如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝30°，AB
＝2，则⊙O的半径为
()
A. 3
B．2
C．2 3
D．4
解析：连接AO并延长交⊙O于D，连接BD. ∠D＝∠C＝30°，在Rt△ABD中，AD＝2AB ＝4，∴半径为2.
二、填空题 5．如图，A，E是半圆周上的两个三等分
点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D， BE与AD相交于点F，则AF的长为 ______．
解析：如图，连接AB，AC，CE，由A，E

高中数学第1章相似三角形定理与圆幂定理1.1.2相似三角形的性质课件新人教B版选修4_1

图 1-1-22
【解】 ∵AACE＝AADB＝35， ∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC，∴SS△△AADBCE＝(AACE)2＝295. 又∵S△ABC＝100cm2， ∴S1△0A0DE＝295，∴S△ADE＝36cm2， ∴S 四边形 BCDE＝S△ABC－S△ADE ＝100－36＝64cm2.
[再练一题] 2.如图 1-1-24，在矩形 ABCD 中，E 是 DC 的中点，BE⊥AC 交 AC 于 F，过 F 作 FG∥AB 交 AE 于 G.
求证：AG2＝AF·FC.
图 1-1-24
【证明】 ∵E 为矩形 ABCD 的边 DC 的中点， ∴AE＝BE. 又∵GF∥AB，∴EG＝EF，∴AG＝BF. ∵BE⊥AC 于 F， ∴Rt△ABF∽Rt△BCF， ∴CBFF＝ABFF，∴BF2＝AF·FC， ∴AG2＝AF·FC.
【尝试解答】 ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴SS△△AADBCE＝(AADB)2，又∵SS△ △BAFBCC＝BAFB且 S△BFC＝S△ADE， ∴AADB22＝ABBF. ∴AD2＝AB·BF.
1.解答本题的关键是把△BFC 与△ABC 的面积比转化为边长之比. 2.要证明线段相等、角相等、比例式成立等结论，有时需化归到相似三角形中加以证明，若不存在相似三角形，可添加辅助线，构造相似三角形，最终得到结论.
【答案】 65°或 115°编后语• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
[真题链接赏析] (教材 P6 练习 T5) 如图 1-1-27，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC，BD 相交于 O，AO＝2 cm， AC＝8 cm，且 S△BCD＝6 cm2，求 S△AOD.

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(3)如果直线l分别与边AD，AB相交于E，G.
当直线l把矩形分成的两部分的面积之比为1∶6时，求AE的长是多少？
提示：相似三角形内切圆的直径比、周长比等于相似比，内切圆的面积比等于相似比的平方．
利用性质1求边长或面积
[例1] 如图，梯形ABCD，AB∥CD，E是对角线AC和BD的交点，S△DEC∶S△DBC＝1∶3，
求：的值．
[思路点拨] 本题考查相似三角形的判定及性质的应用．解答本题需要利用相似三角形的性质求得之比，进而求得的值，最后求得的值．
∴DE＝16 m.
答：古塔的高度为16 m.
相似三角形性质的综合应用
[例3] 如图，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P是AD边上的一动点(P异于A、D)，Q是BC边上的任意一点．连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.
(1)求证：△APE∽△ADQ；
(2)设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？
(2)性质定理2：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
[小问题·大思维]
1．两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？
提示：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．
2．两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比与相似比之间又有什么关系？
(3)当Q在何处时，△ADQ的周长最小？(必须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明)
[思路点拨] 本题考查相似三角形的判定及性质的综合应用．解答问题(1)只需证明△APE和△ADQ中有两个角对应相等即可；解答问题(2)要注意△ADQ的面积为定值，且S△PEF＝ (S△ADQ－S△APE－S△PDF)；解答问题(3)可作点A关于直线BC的对称点A′，利用三点共线解决．
因为PD＝3－x，所以S△PDF＝ (3－x)2.
因为PE∥DQ，PF∥AQ，
所以四边形PEQF是平行四边形．
所以S△PEF＝ S▱PEQF
＝ (S△ADQ－S△APE－S△PDF)
＝－ x2＋x＝－ 2＋ .
所以当x＝时，即P是AD的中点时，
S△PEF取得最大值，最大值为 .
(3)作A关于直线BC的对称点A′，连接DA′交BC于Q，则这个Q点就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点．
其中正确的个数为( )
A．1B．2
C．3D．4
解析：由相似三角形的性质知4个命题均正确，故选D.
答案：D
利用相似三角形的性质解决实际问题
[例2] 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝200 mm，高AD＝300 mm，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个矩形零件的边长．
[精解详析]∵S△DEC∶S△DBC＝1∶3，
∴DE∶DB＝1∶3，即DE∶EB＝1∶2.
又∵DC∥AB，
∴△DEC∽△BEA.
∴S△DEC∶S△BEA＝1∶4.
又∵DE∶EB＝CE∶EA＝1∶2，
∴S△DEC∶S△DEA＝1∶2.
∴S△DEC∶S△ABD＝1∶6.
即＝ .
相似三角形的性质把相似三角形对应边上的高、中线，以及周长、面积都与相似三角形的对应边的比(相似比)联系起来，利用相似三角形的性质可得到线段的比例，线段的平方比或角相等，有时还可用来计算三角形的面积、周长和边长．
[精解详析] (1)证明：因为PE∥DQ，
所以∠APE＝∠ADQ，∠AEP＝∠AQD，
所以△APE∽△ADQ.
(2)因为△APE∽△ADQ，所以＝ 2.
因为AD∥BC，所以△ADQ的高等于AB.
所以S△ADQ＝3.所以S△APE＝ x2.
同理，由PF∥AQ，可证得△PDF∽△ADQ，
所以＝ 2.
[思路点拨] 本题考查相似三角形性质的应用．解答本题需要设出所求矩形零件的某一边长，然后借助△AEH∽△ABC求解．
[精解详析] 设矩形EFGH为加工成的矩形零件，边FG在BC上，则点E、H分别在AB、AC上，△ABC的高AD与边EH相交于点P，设矩形的边EH的长为xmm.
因为EH∥BC，所以△AEH∽△ABC.
在三角形中有平行于一边的直线时，通常考虑三角形相似，利用比值获得线段的长或三角形的面积．
3．如图(1)，已知矩形ABCD中，AB＝1，点M在对角线AC上，AM＝ AC，直线l过点M且与AC垂直，与边AD相交于点E.
(1)如果AD＝，求证点B在直线l上；
(2)如图(2)，如果直线l与边BC相交于点H，直线l把矩形分成的两部分的面积之比为2∶7，求AD的长；
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时间：__________________
1．1.2 相似三角形的性质
[读教材·填要点]
相似三角形的性质定理
(1)性质定理1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比．
(1)图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？
(2)求古塔的高度．
解：(1)△ABC∽△ADE.
∵BC⊥AE，DE⊥AE，
∴∠ACB＝∠AED＝90°.
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADE.
(2)由(1)得△ABC∽△ADE，
∴ ＝ .
∵AC＝2 m，AE＝2＋18＝20 m，BC＝1.6 m.
∴ ＝，
1．△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且AD∶A′D′＝7∶3，下面给出四个结论：
①BC∶B′C′＝7∶3；
②△ABC的周长与△A′B′C′的周长之比为7∶3；
③△ABC与△A′B′C′的对应高之比为7∶3；
④△ABC与△A′B′C′的对应中线之比为7∶3.
所以＝ .
所以＝，
解得x＝ (mm)，2x＝ (mm)．
答：加工成的矩形零件的边长分别为 mm和 mm.
将实际问题转化为平面几何问题是解决此题的关键，要注意相似三角形的性质在实际问题中的作用．
2．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m.