高中数学 第一章 相似三角形定理与圆幂定理 1.3.1 圆

1．1.1 相似三角形判定定理[对应学生用书P1][读教材·填要点]1．相似三角形的定义及相关概念如果在两个三角形中，对应角相等、对应边成比例，则这两个三角形叫做相似三角形．设相似三角形对应边的比值为k，则k叫做相似比(或相似系数)．2．相似三角形判定定理(1)判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似．(2)判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似．(3)判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．[小问题·大思维]1．两个三角形“相似”与两个三角形“全等”之间有什么关系？提示：两个三角形全等是两个三角形相似的一种特殊情况．相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，当两个相似三角形的相似比为1时，两个三角形全等．2．如果两个三角形的两边对应成比例，且有一角相等，那么这两个三角形相似吗？提示：不一定．只有当这个角是对应成比例的两边的夹角时，这两个三角形才相似．[对应学生用书P1][例1] 如图，若O是△ABC内任一点，D，E，F分别是OA，OB，OC的靠近O的三等分点．求证：△DEF∽△ABC.[思路点拨] 本题考查相似三角形判定定理2的应用．解答此题需要根据已知条件，寻找三角形相似的条件．利用三等分点找出对应边成比例即可．[精解详析] ∵D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 靠近点O 的三等分点，∴DE ＝13AB ，EF ＝13BC ，FD ＝13CA .∴DE AB ＝EF BC ＝FD CA ＝13.由三角形相似的判定定理得△DEF ∽△ABC .在相似三角形的判定中，应用最多的是判定定理1，因为它的条件最容易寻求，实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理2、3则常见于连续两次证明相似时，在第二次使用的情况较多．1．已知△ABC 中，BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，BF 和CE 相交于点P ，求证： (1)△BPE ∽△CPF ； (2)△EFP ∽△BCP .证明：(1)∵BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，∴∠BFC ＝∠CEB . 又∵∠CPF ＝∠BPE ， ∴△CPF ∽△BPE .(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ， ∴EP BP ＝FP CP.又∵∠EPF ＝∠BPC ，∴△EFP ∽△BCP .[例2] 如图所示，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，求当BD与a ，b 之间满足怎样的关系时，△ABC 与△CDB 相似？[思路点拨] 由于△ABC 与△CDB 相似且都是直角三角形，因此，只要对应边成比例即可．而斜边肯定是三角形的最大边，所以AC 一定与BC 对应，这里要注意分类讨论的运用．[精解详析] ∵∠ABC ＝∠CDB ＝90°，斜边AC 与BC 为对应边，以下分两种情况讨论．①当AC BC ＝BC BD 时，△ABC ∽△CDB ，即a b ＝bBD. ∴BD ＝b 2a时，△ABC ∽△CDB .②当AC BC ＝AB BD 时，△ABC ∽△BDC ，即a b ＝a 2－b 2BD .∴当BD ＝b a 2－b 2a 时，△ABC ∽△BDC .故当BD ＝b 2a 或BD ＝b a 2－b 2a时，△ABC 与△CDB 相似．(1)在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的应用． (2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．2．如图，BD 、CE 是△ABC 的高． 求证：△ADE ∽△ABC .证明：∵BD 、CE 是△ABC 的高， ∴∠AEC ＝∠ADB ＝90°. 又∵∠A ＝∠A ， ∴△AEC ∽△ADB . ∴AD AB ＝AEAC. 又∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC .[例3] 如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，CF ∥BA ，BF 交AD 于点P ，交AC 于点E .求证：BP 2＝PE ·PF .[思路点拨] 本题考查相似三角形的判定及其应用，解答本题需要注意AD 是等腰△ABC 底边上的高，所以PB ＝PC ，从而将所求证的结论转化为PC 2＝PE ·PF .进而可以证明△PCE ∽△PFC 来解决问题．[精解详析] 连接PC ，在△ABC 中， 因为AB ＝AC ，D 为BC 中点， 所以AD 垂直平分BC .所以PB ＝PC ，∠1＝∠2. 因为AB ＝AC ， 所以∠ABC ＝∠ACB ，所以∠ABC －∠1＝∠ACB －∠2， 即∠3＝∠4. 因为CF ∥AB ，所以∠3＝∠F ，所以∠4＝∠F . 又因为∠EPC ＝∠CPF ， 所以△PCE ∽△PFC ，所以PC PE ＝PFPC，所以PC 2＝PE ·PF . 因为PC ＝PB ， 所以PB 2＝PE ·PF .(1)有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．(2)要说明线段的乘积式ab ＝cd ，或平方式a 2＝bc ，一般都是证明比例式a c ＝d b 或b a ＝a c，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．3．如图所示，正方形ABCD 的边长为1，P 是CD 边的中点，点Q 在线段BC 上，当△ADP 与△QCP 相似时，求BQ 的值．解：由题知∠D ＝∠C ＝90°， ①当△ADP ∽△PCQ 时，AD PC ＝DP CQ，∴112＝12CQ ，∴CQ ＝14，∴BQ ＝1－14＝34. ②当△ADP ∽△QCP 时，AD QC ＝DP CP ，∴1QC ＝1212，∴CQ ＝1，∴BQ ＝0.综上可知，当△ADP 与△QCP 相似时，BQ ＝0或34.[对应学生用书P3]一、选择题1．如图，锐角三角形ABC 的高CD 和BE 相交于点O ，图中与△ODB 相似的三角形的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴△ODB ，△ABE ，△ADC ，△OCE 都是直角三角形． 又∵∠DBO ＝∠EBA ，∠A ＝∠A ，∠DOB ＝∠EOC ， ∴△ODB ∽△AEB ∽△ADC ，△ODB ∽△OEC . ∴与△ODB 相似的三角形有3个． 答案：C2．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，图形中共有x 个三角形与△ABC 相似，则x 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题意知，△ACD与△CBD与△ABC相似，故x＝2.答案：B3．三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，则这个三角形是( )A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：等腰三角形底边上的高或直角三角形斜边上的高分得的两个三角形分别相似．答案：D4．如图所示，∠AOD＝90°，OA＝OB＝BC＝CD，则下列结论正确的是( )A．△DAB∽△OCAB．△OAB∽△ODAC．△BAC∽△BDAD．△OAC∽△ABD解析：设OA＝OB＝BC＝CD＝a，则AB＝2a，BD＝2a.∴ABBD＝22，BCAB＝a2a＝22.∴ABBD＝BCAB，且∠ABC＝∠DBA.∴△BAC∽△BDA.答案：C二、填空题5．如图，已知△ABC，△DEF均为正三角形，D，E分别在AB，BC上，与△DBE相似的三角形的个数为________．解析：在△DBE与△ECH中，∵∠B＝∠C＝60°，∠BDE ＋∠BED ＝120°，∠BED ＋∠CEH ＝120°， ∴∠BDE ＝∠CEH .∴△DBE ∽△ECH .同理可证△ADG 和△FHG 也都和△BED 相似． 答案：36．如图所示，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，那么CD ＝________.解析：先根据已知条件和隐含条件证明△ABC ∽△DAC .再根据相似建立比例式，根据给出的线段易求出未知线段．答案：47．如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________.解析：∵∠ACD ＝∠AEB ＝90°，∠B ＝∠D ， ∴△ABE ∽△ADC ，∴AB AD ＝AEAC. 又AC ＝4，AD ＝12，AB ＝6， ∴AE ＝AB ·AC AD ＝6×412＝2. 答案：28．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为________． 解析：∵DE ∥BC ，EF ∥CD ，∴∠FDE ＝∠DBC ，∠DFE ＝∠BDC .∴△FDE ∽△DBC ∴FD DB ＝DE BC ，即BD ＝32.由AE AC ＝DE BC ＝23，得AE EC ＝2＝AFFD. ∴AF ＝2，AB ＝92.答案：92三、解答题9．如图，已知：D 是△ABC 内的一点，在△ABC 外取一点E ，使∠CBE ＝∠ABD ，∠BCE ＝∠BAD .求证：△ABC ∽△DBE . 证明：∵∠CBE ＝∠ABD ， ∠BCE ＝∠BAD ，∴△ABD ∽△CBE ，∠ABC ＝∠DBE . ∴AB BC ＝BD BE ，即AB BD ＝BCBE，∴△ABC ∽△DBE .10．如图，已知▱ABCD 中，G 是DC 延长线上一点，AG 分别交BD 和BC 于E ，F 两点．证明：AF ·AD ＝AG ·BF .证明：因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以AB ∥DC ，AD ∥BC .所以△ABF ∽△GCF ，△GCF ∽△GDA . 所以△ABF ∽△GDA . 从而有AF AG ＝BF AD， 即AF ·AD ＝AG ·BF .11．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝α.且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ，(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；(2)连接FG ，如果α＝45°，AB ＝42，AF ＝3，求FG 的长． 解：(1)△AMF ∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM . 以下证明：△AMF ∽△BGM .∵∠AFM ＝∠DME ＋∠E ＝∠A ＋∠E ＝∠BMG ，∠A ＝∠B ， ∴△AMF ∽△BGM .(2)当α＝45°时，可得AC ⊥BC 且AC ＝BC . ∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM ＝2 2. 又∴△AMF ∽△BGM ， ∴AF AM ＝BM BG. ∴BG ＝AM ·BM AF ＝22×223＝83. 又AC ＝BC ＝42×sin 45°＝4， ∴CG ＝4－83＝43，CF ＝4－3＝1.∴FG ＝CF 2＋CG 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53.。

1.1.1 相似三角形判定定理(建议用时：40分钟)[学业达标] 一、选择题(每小题5分，共20分)1.如图1­1­11，每个大正方形均由边长为1的小正方形组成，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )图1­1­11【解析】 △ABC 中，AB ＝2，BC ＝2，∠ABC ＝135°.选项A 的三角形，有一个内角为135°，且该角的两边长分别为1和2，根据相似三角形的判定定理知，两三角形相似，故选A. 【答案】A2.如图1­1­12，在△ABC 中，M 在BC 上，N 在AM 上，CM ＝CN ，且AM AN ＝BM CN ，下列结论中正确的是( )图1­1­12A.△ABM ∽△ACBB.△ANC ∽△AMBC.△ANC ∽△ACMD.△CMN ∽△BCA【解析】 ∵CM ＝CN ，∴∠CMN ＝∠CNM ， ∵∠AMB ＝∠CNM ＋∠MCN ， ∠ANC ＝∠CMN ＋∠MCN ， ∴∠AMB ＝∠ANC .又AM AN ＝BM CN ，∴△ANC ∽△AMB . 【答案】B3.如图1­1­13，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，则AO DO 等于( )图1­1­13 A.255B.13C.23 D.12 【解析】 ∵AF ⊥DE ， ∴Rt △DAO ∽Rt △DEA ，∴AO DO ＝AE DA ＝12. 【答案】D4.如图1­1­14所示，已知点E 、F 分别是△ABC 中AC 、AB 边的中点，BE 、CF 相交于点G ，FG ＝2，则CF 的长为( )图1­1­14 A.4 B.4.5 C.5D.6 【解析】 ∵E 、F 分别是△ABC 中AC 、AB 边的中点，∴FE ∥BC ，由平行线的性质，得△FEG ∽△CBG ， ∴FG GC ＝EF BC ＝12. 又FG ＝2，∴GC ＝4，∴CF ＝6. 【答案】D 二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图1­1­15所示，∠BAC ＝∠DCB ，∠CDB ＝∠ABC ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b .则BD ＝________(用a ，b 表示).。

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1.3。

1 圆幂定理（建议用时：40分钟）［学业达标]一、选择题(每小题5分，共20分)1。

PT切⊙O于T，割线PAB经过点O交⊙O于A、B,若PT＝4,PA＝2，则cos∠BPT＝（) A。

错误! B。

错误! C.错误! D.错误!【解析】如图所示，连接OT，根据切割线定理，可得PT2＝PA·PB，即42＝2×PB，∴PB＝8,∴AB＝PB－PA＝6,∴OT＝r＝3，PO＝PA＋r＝5，∴cos∠BPT＝错误!＝错误!.【答案】A2。

如图1­3。

13，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB于P，EF是过点P的弦，已知AB＝10,PA ＝2，PE＝5，则CD和EF分别为（）图1。

3。

13A.8和7 B。

7和错误!C.7和8D.8和41 5【解析】∵PA·PB＝PC2,∴PC2＝16，PC＝4，∴CD＝8。

∵PE·PF＝PC2，∴PF＝错误!，∴EF＝165＋5＝错误!。

【答案】D3。

如图1。

3­14，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4,BC＝3.以BC上一点O为圆心作⊙O 与AC、AB都相切，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为（)图1。