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数值计算方法教案第一章：数值计算概述1.1 数值计算的定义与特点引言：介绍数值计算的定义和基本概念数值计算的特点：离散化、近似解、误差分析1.2 数值计算方法分类直接方法：高斯消元法、LU分解法等迭代方法：雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代等1.3 数值计算的应用领域科学计算：物理、化学、生物学等领域工程计算：结构分析、流体力学、电路模拟等第二章：误差与稳定性分析2.1 误差的概念与来源绝对误差、相对误差和有效数字误差来源：舍入误差、截断误差等2.2 数值方法的稳定性分析线性稳定性分析：特征值分析、李雅普诺夫方法非线性稳定性分析：李模型、指数稳定性分析2.3 提高数值计算精度的方法改进算法：雅可比法、共轭梯度法等增加计算精度：闰塞法、理查森外推法等第三章：线性方程组的数值解法3.1 高斯消元法算法原理与步骤高斯消元法的优缺点3.2 LU分解法LU分解的步骤与实现LU分解法的应用与优势3.3 迭代法雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法迭代法的选择与收敛性分析第四章：非线性方程和方程组的数值解法4.1 非线性方程的迭代解法牛顿法、弦截法等收敛性条件与改进方法4.2 非线性方程组的数值解法高斯-赛德尔法、共轭梯度法等方程组解的存在性与唯一性4.3 非线性最小二乘问题的数值解法最小二乘法的原理与方法非线性最小二乘问题的算法实现第五章：插值与逼近方法5.1 插值方法拉格朗日插值、牛顿插值等插值公式的构造与性质5.2 逼近方法最佳逼近问题的定义与方法最小二乘逼近、正交逼近等5.3 数值微积分数值求导与数值积分的方法数值微积分的应用与误差分析第六章：常微分方程的数值解法6.1 初值问题的数值解法欧拉法、改进的欧拉法龙格-库塔法（包括单步和多步法）6.2 边界值问题的数值解法有限差分法、有限元法谱方法与辛普森法6.3 常微分方程组与延迟微分方程的数值解法解耦与耦合方程组的处理方法延迟微分方程的特殊考虑第七章：偏微分方程的数值解法7.1 偏微分方程的弱形式介绍偏微分方程的弱形式应用实例：拉普拉斯方程、波动方程等7.2 有限差分法显式和隐式差分格式稳定性分析与收敛性7.3 有限元法离散化过程与元素形状函数数值求解与误差估计第八章：优化问题的数值方法8.1 优化问题概述引言与基本概念常见优化问题类型8.2 梯度法与共轭梯度法梯度法的基本原理共轭梯度法的实现与特点8.3 序列二次规划法与内点法序列二次规划法的步骤内点法的原理与应用第九章：数值模拟与随机数值方法9.1 蒙特卡洛方法随机数与重要性采样应用实例：黑箱模型、金融衍生品定价等9.2 有限元模拟离散化与求解过程应用实例：结构分析、热传导问题等9.3 分子动力学模拟基本原理与算法应用实例：材料科学、生物物理学等第十章：数值计算软件与应用10.1 常用数值计算软件介绍MATLAB、Python、Mathematica等软件功能与使用方法10.2 数值计算在实际应用中的案例分析工程设计中的数值分析科学研究中的数值模拟10.3 数值计算的展望与挑战高性能计算的发展趋势复杂问题与多尺度模拟的挑战重点解析本教案涵盖了数值计算方法的基本概念、误差分析、线性方程组和非线性方程组的数值解法、插值与逼近方法、常微分方程和偏微分方程的数值解法、优化问题的数值方法、数值模拟与随机数值方法以及数值计算软件与应用等多个方面。
计算机数值方法教案第一章：数值方法概述1.1 引言介绍数值方法的定义和重要性解释数值方法与解析方法的区别1.2 数值方法的分类描述直接方法和迭代方法的区别和应用场景讨论数值逼近、数值积分和数值解微分方程等常见数值方法1.3 误差分析介绍误差的定义和来源解释绝对误差、相对误差和机器误差的概念探讨误差估计和误差控制的方法第二章：插值与逼近2.1 插值方法介绍插值的定义和应用场景讨论线性插值、二次插值和样条插值等方法解释插值多项式的构造和性质2.2 逼近方法介绍逼近的定义和目标讨论最佳逼近问题和worst-case 逼近误差的概念探讨常用的逼近算法，如切比雪夫逼近和傅里叶逼近第三章：数值积分3.1 数值积分概述介绍数值积分的定义和重要性解释数值积分与解析积分的关系3.2 梯形规则和辛普森规则介绍梯形规则和辛普森规则的原理和实现探讨误差估计和收敛性分析3.3 高斯求积法介绍高斯求积法的原理和应用场景讨论高斯求积公式的构造和选择第四章：常微分方程的数值解4.1 微分方程的数值解概述介绍微分方程数值解的定义和重要性解释数值解与解析解的区别4.2 初值问题的数值解法讨论Euler法、改进的Euler法和Runge-Kutta法等常见数值解法解释数值解的精度和稳定性4.3 边界值问题的数值解法介绍有限差分法和有限元法等常见数值解法探讨边界条件处理和误差估计第五章：线性代数的数值方法5.1 线性方程组的数值解法介绍高斯消元法、LU分解法和迭代法等常见数值解法解释数值解的收敛性和条件数的概念5.2 特征值问题的数值解法讨论幂法和QR算法等特征值求解方法探讨特征值问题的对称性和奇异性处理5.3 稀疏矩阵和迭代法介绍稀疏矩阵的概念和存储方法讨论迭代法的原理和应用场景，如Jacobi法、Gauss-Seidel法和SOR法第六章：非线性方程和系统的数值解6.1 非线性方程的数值解法介绍牛顿法、弦截法和迭代法等常见数值解法解释数值解的收敛性和局部性条件6.2 非线性系统的数值解法讨论迭代法、牛顿法和拟牛顿法等常见数值解法探讨系统方程的性质和求解策略第七章：最优化问题的数值方法7.1 最优化问题概述介绍最优化问题的定义和目标解释无约束和有约束最优化问题的区别7.2 无约束最优化问题的数值解法讨论梯度下降法、牛顿法和共轭梯度法等常见数值解法探讨最速下降法的收敛性和改进策略7.3 有约束最优化问题的数值解法介绍惩罚函数法、约束梯度法和内点法等常见数值解法探讨约束条件的处理和求解策略第八章：数值模拟和蒙特卡洛方法8.1 数值模拟概述介绍数值模拟的定义和应用场景解释模拟与解析方法的区别和优势8.2 蒙特卡洛方法介绍蒙特卡洛方法的原理和步骤讨论随机数、收敛性分析和误差估计等问题8.3 蒙特卡洛方法的应用探讨蒙特卡洛方法在金融、物理和工程等领域中的应用案例第九章：并行数值方法和计算性能评估9.1 并行数值方法概述介绍并行数值方法的定义和目标解释并行计算的优势和挑战9.2 并行数值计算模型讨论数据并行、任务并行和混合并行等常见并行计算模型探讨并行计算的调度和负载均衡问题9.3 计算性能评估和优化介绍性能评估指标和评估方法探讨性能优化技术和策略，如并行化和向量化等第十章：数值方法的应用案例10.1 数值方法在工程领域的应用讨论数值方法在结构分析、流体力学和电磁场分析等领域的应用案例10.2 数值方法在物理科学领域的应用介绍数值方法在量子力学、分子动力学和宇宙模拟等领域的应用案例10.3 数值方法在数据分析和经济领域的应用探讨数值方法在数据拟合、图像处理和经济预测等领域的应用案例重点和难点解析重点环节1：数值方法与解析方法的区别数值方法依赖于计算机实现，适用于解决复杂或无法解析求解的问题。
数值计算方法教学大纲第一部分：使用说明一、课程编号：10322016二、课程性质与特点：数值计算方法是理工科本科或大专各专业的选修课程。
本课程主要介绍计算机上常用的数值计算方法的基本原理及计算过程，包括非线性方程求根，线性方程组的直接法和迭代法，多项式插值逼近，最小二乘拟合，数值微分和数值积分等内容。
学习和掌握计算机上常用的数值计算方法已成为现代科学教育的重要内容。
三、在专业教学计划中的地位和作用：本课程为高等学校非师范专业学生的一门选修课，是为适应数学教育改革和新形势的发展而开设的一门新课程。
主要培养学生基本的数值计算思想及常用数值方法使用，强调学生的学习知识与计算机的结合能力的培养。
四、教学目的：数值计算方法是物理学的新的非常重要的分支，它与理论物理和实验物理一起构成现代物理学的整体。
本课程作为物理系本科四年级的课程是非常重要的。
通过该课程的学习，使学生掌握到计算物理学中常用的计算方法，并紧密结合物理学理论，在计算机上进行数值实验，从而培养学生通过数值计算解决物理问题的能力，增强用程序设计语言进行编程的能力，培养学生的独立工作能力。
五、学时与学分：本课程授课45学时，利用课余时间指导学生上机实验10学时，3学分，每周3学时。
六、教学方法：1、课堂讲授重点讲述数值计算的基本概念，基本方法，介绍数值计算的数学和工程应用，对重点和难点详细分析和深入讨论，讲清解决问题的思路和关键方法，并布置一定的课外作业，强化训练，加强理论与实践的结合。
2、上机编程为加深学生对课程的认识，课程包含10学时的上机实验，通过上机实验，学生自己编写程序，进行数值计算。
培养学生自主学习的能力，使学生通过实践活动掌握综合运用所学的知识独立解决实际物理、数学数值计算基本问题的能力。
3、课外作业和资料阅读将习题和讨论学习与利用参考书和资料通过自学进行主动学习及实践结合起来，培养学生自己阅读和学习的能力，调动学生的积极因素。
七、考核方式：考查课程。
河北联合大学第2012-2013-1学期《数值计算方法》教学大纲依据我校章程，特制定了适合我校理工科各专业本科生的《数值计算方法》教学大纲。
一、课程计划课程名称：数值计算方法Numerical Calculation Methods开课单位：理学院课程类型：专业必修课开设学期：第五学期讲授学时：共15周，每周4学时，共60学时学时安排：课堂教学44学时+实验教学16学时适用专业：信科、数学、统计理科专业本科生教学方式：讲授（多媒体为主）+上机考核方式：闭卷40% +上机实验20%+课程报告20% +平时成绩10%学分：4学分与其它课程的联系预修课程：数学分析、高等代数、常微分方程、计算机高级语言等。
后继课程：偏微分方程数值解及其它专业课程。
二、课程介绍数值计算方法也称为数值分析，是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科。
随着计算科学与技术的进步和发展，科学计算已经与理论研究、科学实验并列成为进行科学活动的三大基本手段，作为一门综合性的新科学，科学计算已经成为了人们进行科学活动必不可少的科学方法和工具。
数值计算方法是科学计算的核心内容，它既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际实验的高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程。
主要介绍数值计算的误差、插值法、函数逼近与曲线拟合、线性方程组迭代解法、数值积分与数值微分、非线性方程组解法、矩阵特征值与特征向量数值计算以及常微分方程数值解，并特别加强实验环节的训练以提高学生动手能力。
通过本课程的学习，不仅能使学生初步掌握数值计算方法的基本理论知识，了解算法设计及数学建模思想，而且能使学生具备一定的科学计算能力和分析与解决问题的能力，不仅为学习后继课程打下良好的理论基础，也为将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。
教学与实验教学课堂教学实验教学论文报告机动课内学时课外学时学时数44 16 8 2 60 10三、重点难点课程重点：理解各种常用数值计算方法的数学原理和理论分析过程，掌握各种数值计算方法的示范性上机程序，学会设计数值算法的基本思路、一般原理和各种数值算法的程序实现。
五邑大学校级教改项目摘要数值计算方法是继理论方法和实验方法之后的科学研究的第三种基本手段。
数值计算方法课程的研究对象主要来自微积分，线性代数，常微分方程等许多领域中，它的主要内容包括：求解线性方程组的直接法和迭代法、插值法和最小二乘拟合、数值微分和数值积分、常微分方程数值解法、非线性方程的迭代解法和矩阵特征值问题的计算等。
本项目利用Matlab科学计算软件, 编写出数值计算课程的实验教材和电子教案。
关键词：数值计算；Matlab；插值法；最小二乘拟合；线性方程组；直接法；迭代法；矩阵特征值问题；数值积分；数值微分《数值计算方法》实验课程教学研究AbsractNumerical calculation is the third basic means of scientific research following up with the theoretical methods and experimental methods. The research objection of numerical calculation arises from mathematics problems such as differential and integral calculus, linear algebra, ordinary differential equations and so on. The main contents of this subject are as follows: the direct approach and iterative approach of system of linear equations, interpolation and least square problems, numerical differentiation and integration, numerical ordinary differential equations, and algebraic eigenvalue problems.Using Matlab scientific computation software, this project presents experimental teaching materials and electronic lesson plans.Key words: numerical calculation, Matlab, interpolation and least squares problems,direct approach, iterative approach, system of linear equations, matrix eigenvalues problems，numerical differentiation，numerical integration目录摘要 ..........................................................................................................错误！未定义书签。
数值计算方法教案第一章：数值计算概述1.1 数值计算的定义与意义介绍数值计算的概念解释数值计算在科学研究与工程应用中的重要性1.2 数值计算方法分类介绍数值逼近、数值积分、数值微分、数值解方程等基本方法分析各种方法的适用范围和特点1.3 误差与稳定性解释误差的概念及来源讨论数值计算中误差的控制与减小方法介绍稳定性的概念及判断方法第二章：插值与逼近2.1 插值法的基本概念介绍插值的概念及意义解释插值函数的性质和条件2.2 常用的插值方法介绍线性插值、二次插值、三次插值等方法分析各种插值方法的优缺点及适用范围2.3 逼近方法介绍切比雪夫逼近、傅里叶逼近等方法解释逼近的基本原理及应用场景第三章：数值积分与数值微分3.1 数值积分的基本概念介绍数值积分的概念及意义解释数值积分的原理和方法3.2 常用的数值积分方法介绍梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式等方法分析各种数值积分方法的适用范围和精度3.3 数值微分的基本概念与方法介绍数值微分的概念及意义解释数值微分的原理和方法第四章：线性方程组的数值解法4.1 线性方程组数值解法的基本概念介绍线性方程组数值解法的概念及意义解释线性方程组数值解法的原理和方法4.2 常用的线性方程组数值解法介绍高斯消元法、LU分解法、迭代法等方法分析各种线性方程组数值解法的优缺点及适用范围4.3 稀疏矩阵技术解释稀疏矩阵的概念及意义介绍稀疏矩阵的存储和运算方法第五章：非线性方程和方程组的数值解法5.1 非线性方程数值解法的基本概念介绍非线性方程数值解法的概念及意义解释非线性方程数值解法的原理和方法5.2 常用的非线性方程数值解法介绍迭代法、牛顿法、弦截法等方法分析各种非线性方程数值解法的优缺点及适用范围5.3 非线性方程组数值解法介绍消元法、迭代法等方法讨论非线性方程组数值解法的特点和挑战第六章：常微分方程的数值解法6.1 常微分方程数值解法的基本概念介绍常微分方程数值解法的概念及意义解释常微分方程数值解法的原理和方法6.2 初值问题的数值解法介绍欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等方法分析各种初值问题数值解法的适用范围和精度6.3 边界值问题的数值解法介绍有限差分法、有限元法、谱方法等方法讨论边界值问题数值解法的特点和挑战第七章：偏微分方程的数值解法7.1 偏微分方程数值解法的基本概念介绍偏微分方程数值解法的概念及意义解释偏微分方程数值解法的原理和方法7.2 偏微分方程的有限差分法介绍显式差分法、隐式差分法、交错差分法等方法分析各种有限差分法的适用范围和精度7.3 偏微分方程的有限元法介绍有限元法的原理和步骤讨论有限元法的适用范围和优势第八章：数值模拟与计算可视化8.1 数值模拟的基本概念介绍数值模拟的概念及意义解释数值模拟的原理和方法8.2 计算可视化技术介绍计算可视化的概念及意义解释计算可视化的原理和方法8.3 数值模拟与计算可视化的应用讨论数值模拟与计算可视化在科学研究与工程应用中的重要作用第九章：数值计算软件与应用9.1 数值计算软件的基本概念介绍数值计算软件的概念及意义解释数值计算软件的原理和方法9.2 常用的数值计算软件介绍MATLAB、Mathematica、Python等软件的特点和应用领域9.3 数值计算软件的应用案例分析数值计算软件在科学研究与工程应用中的典型应用案例第十章：数值计算方法的改进与新发展10.1 数值计算方法的改进讨论现有数值计算方法的局限性介绍改进数值计算方法的研究现状和发展趋势10.2 新的数值计算方法介绍近年来发展起来的新型数值计算方法分析新型数值计算方法的优势和应用前景10.3 数值计算方法的未来发展探讨数值计算方法在未来可能的发展方向和挑战重点和难点解析一、数值计算概述难点解析：对数值计算概念的理解，误差来源及控制方法的掌握。
《数值计算方法》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标数值计算方法是大规模科学模拟计算领域的一门重要的基础课，具有很强的应用性。
通过对本课程的学习及上机实习，使学生掌握掌握数值计算的基本概念、基本方法及其原理，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力。
具体能力目标如下：具有应用计算机进行科学与工程计算的能力；具有算法设计和理论分析能力；熟练掌握并使用数学软件，处理海量数据，进行大型数值计算的能力。
三、教学学时分配《数值计算方法》课程理论教学学时分配表《数值计算方法》课程实验内容设置与教学要求一览表四、教学内容和教学要求第一章数值分析与科学计算引论（4学时）（一）教学要求1.了解误差的来源以及舍入误差、截断误差的定义；2.理解并掌握绝对误差、相对误差、误差限和有效数字的定义和相互关系；3.了解函数计算的误差估计，误差传播、积累带来的危害和提高计算稳定性的一般规律。
（二）教学重点与难点教学重点：误差理论的基本概念教学难点：误差限和有效数字的相互关系，误差在近似值运算中的传播（三）教学内容第一节数值分析的对象、作用与特点1．数学科学与数值分析2．计算数学与科学计算3. 计算方法与计算机4. 数值问题与算法第二节数值计算的误差1．误差的来源与分类2．误差与有效数字3. 数值运算的误差估计第三节误差定性分析与避免误差危害1．算法的数值稳定2．病态问题与条件数3. 避免误差危害第四节数值计算中算法设计的技术1．多项式求值的秦九韶算法2．迭代法与开方求值本章习题要点：要求学生完成作业10-15题。
其中概念题15%，证明题5%，计算题60%，上机题20%第二章插值法（12学时）（一）教学要求1.掌握插值多项式存在唯一性条件；2.熟练掌握Lagrange插值多项式及其余项表达式，掌握基函数及其性质；3.能熟练使用均差表和差分表构造Newton插值公式；4.能理解高次插值的不稳定性并熟练掌握各种分段插值中插值点和分段的对应关系；5.熟练掌握三次样条插值的条件并能构造第一和第二边界条件下的三次样条插值。
数值积分教案教学目标：1. 理解数值积分的概念和意义；2. 掌握数值积分的基本方法和原理；3. 能够运用数值积分解决实际问题。
教学内容：1. 数值积分的概念和意义；2. 数值积分的基本方法：梯形法、辛普森法、高斯法等；3. 数值积分的原理：数值积分近似解的误差估计；4. 数值积分的应用：解决实际问题，如物理、工程等领域中的积分计算。
教学方法：1. 讲授法：讲解数值积分的概念、方法和应用；2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用数值积分解决；3. 练习法：让学生通过练习题巩固所学知识。
教学准备：1. 教案、PPT、教学视频等教学资源；2. 计算器、电脑等教学工具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入数值积分的重要性，例如在物理、工程等领域中的应用；2. 引导学生思考如何利用数值方法近似计算积分值。
二、数值积分的概念和意义（10分钟）1. 讲解数值积分的定义；2. 解释数值积分的意义和作用；3. 举例说明数值积分在实际问题中的应用。
三、数值积分的基本方法（10分钟）1. 介绍梯形法、辛普森法和高斯法等基本方法；2. 讲解各种方法的原理和步骤；3. 通过实例演示数值积分的计算过程。
四、数值积分的原理（10分钟）1. 介绍数值积分近似解的误差估计；2. 解释误差估计的原理和意义；3. 引导学生思考如何选择合适的数值积分方法以减小误差。
五、数值积分的应用（10分钟）1. 分析实际问题，引导学生运用数值积分解决；2. 让学生通过练习题巩固所学知识；3. 引导学生思考数值积分在实际工程中的应用和限制。
教学评价：1. 课堂问答：检查学生对数值积分的概念和方法的理解；2. 练习题：评估学生对数值积分的应用能力；3. 课后作业：巩固学生对数值积分的掌握程度。
数值积分教案数值积分(有添加哦)六、梯形法的改进与应用（10分钟）1. 分析梯形法的局限性，如计算量大、精度低等问题；2. 介绍梯形法的改进方法，如自适应梯形法、辛普森法与梯形法的组合等；3. 通过实例讲解改进方法的原理和应用。
《计算方法》教案课程名称：计算方法适用专业：医学信息技术适用年级：二年级任课教师：***编写时间：2011年 8月新疆医科大学工程学院张利萍教案目录《计算方法》教学大纲 (4)一、课程的性质与任务 (4)二、课程的教学内容、基本要求及学时分配 (4)三、课程改革与特色 (5)四、推荐教材及参考书 (5)《计算方法》教学日历..................................... 错误!未定义书签。
第一章绪论 .. (6)第1讲绪论有效数字 (6)第2讲误差………………………………………………………………………………第二章线性方程组的直接法 (14)第3讲直接法、高斯消去法 (14)第4讲高斯列主元消去法 (22)第5讲平方根法、追赶法 (29)第三章插值法与最小二乘法 (31)第6讲机械求积、插值型求积公式 (32)第7讲牛顿柯特斯公式、复化求积公式 (37)第8讲高斯公式、数值微分 (42)第9讲第10讲第12讲第四章数值积分与数值微分 (48)第11讲欧拉公式、改进的欧拉公式 (48)第12讲龙格库塔方法、亚当姆斯方法 (52)第13讲收敛性与稳定性、方程组与高阶方程 (56)第14讲第15讲第五章微分常微分方程的差分方法 (59)第16讲迭代收敛性与迭代加速 (60)第17讲牛顿法、弦截法 (64)第18讲第19讲第20讲第六章线性方程组的迭代法 (67)第21讲迭代公式的建立 (68)第22讲第23讲第24讲向量范数、迭代收敛性 (71)第25讲《计算方法》教学大纲课程名称：计算方法/Computer Numerical Analysis B学时/学分：54/4先修课程：高等数学、线性代数、高级语言程序设计（如：Matlab语言）适用专业：计算机科学与技术、信息管理与信息系统开课学院（部）、系(教研室)：医学工程技术学院、医学信息技术专业一、课程的性质与任务计算方法是一门专业必修课。
计算方法课程中学习数值积分内容的心得和体会
计算方法又称“数值分析”。
是为各种数学问题的数值解答研究提供最有效的算法。
主要内容为函数逼近论，数值微分，数值积分，误差分析等。
常用方法有迭代法、差分法、插值法、有限元素法等。
现代的计算方法还要求适应电子计算机的特点。
数值分析即“计算方法”.下面来谈谈学习了计算方法中学习数值积分内容的心得与体会。
首先了解一下数值积分的内容：
（1）针对定积分()b
a
I f x dx =⎰
，若()5
f x x =,a=0,b=1，即有1
61
500
1
6
6
x I x dx ==
=⎰，但当()sin x
f x x
=
，()2sin f x x =，……，时，很难找到其原函数。
（2）被积函数并没有具体的解析形式，即()f x 仅为一数表。
定积分()b
a I f x dx =⎰的几何意义为，在平面坐标系中I 的值即为四条曲线所围图形的面
积，这四条曲线分别是()y f x =，y=0，x=a ，x=b 。
a
b
y=f(x)
x
y
()()2b a a b I f x dx b a f +⎛⎫=≈- ⎪⎝⎭
⎰； 其几何意义为用以下矩形面积替代曲边梯形面积
a
b
y=f(x)
x
y
a+b
2
以及梯形公式 ()()()2
b a b a
I f x dx f a f b -=≈+⎡⎤⎣⎦⎰ 梯形公式的几何意义是，用以下梯形面积替代曲边梯形的面积：
a
b
y=f(x)
x
y
再来是辛普森公式 ()()()462b
a b a a b I f x dx f a f f b -⎡+⎤⎛⎫
=≈
++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎰ 辛普生公式的几何意义为，阴影部分的面积为抛物线曲边梯形，该抛物线由
()(),(),,,,()22a b
a b a f a f b f b ⎛++⎫⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
三点构成。
a
b
y=f(x)
x
y
a+b 2
从而到处其一般公式为()()0
n
b
k k a
k f x dx A f x =≈∑⎰，其中k x 称为节点，k A 称为求积系数，或
权。
衡量一个积分公式的好坏，要用具体的函数来衡量，寻找怎样的函数来衡量呢？简单的多项式函数是一个理想的标准。
若某积分公式对于()0,1,,k x k m = 均能准确成立，但对于1m x +不能准确成立。
则称该公式具有m 次代数精度。
代数精度只是衡量积分公式好坏的1种标准。
***研究中矩形公式()()2b a
a b f x dx b a f +⎛⎫
≈- ⎪⎝⎭
⎰的代数精度及几何意义。
【解】当()01f x x ==时，公式左边()1b b
a
a
f x dx dx b a ===-⎰⎰，公式右边b a =-，左=
右；
当()1
f x x =时，公式左边()2222
2
b
b
b
a a
a
x b a f x dx x dx -===
=⎰⎰
，
公式右边()22
22a b b a
b a +-⎛⎫=-=
⎪⎝⎭
，左=右； 当()2f x x =时，公式左边()3332
33
b
b b
a
a
a x
b a f x dx x dx -====⎰⎰
，
公式右边()2
2a b b a +⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，左≠右；
故中矩形公式具有1次代数精度。
从定积分的几何意义可以看出，当被积函数为一条直线时，中矩形公式是严格成立的，中矩形面积与梯形面积相等，如下图所示。
a
b
y=a+bx
x
y
a+b
2
其次是研究几种计算方法： 首先是待定系数法。
例1.构造一个至少具有一次代数精度的积分公式。
分析：构造一次代数精度的公式，即当()1f x =及()f x x =时，公式严格成立，故有2个约束条件，于是可以确定具有2个参数的积分公式。
解：设积分公式为：()()()01b
a f x dx A f a A f
b ≈+⎰。
针对()1f x =及()f x x =，代入积分公式的左边和右边，有：
()0122
0112
b a A A b a A a Ab -=+⎧
⎪
⎨-=+⎪⎩，解得()012A b a =-，()112A b a =- 于是有积分公式：()()()22
b
a
b a b a f x dx f a f b --≈
+⎰。
该公式即为梯形求积公式。
例2.构造一个至少具有2次代数精度的求积公式。
解：设积分公式为()()()0122b a
a b f x dx A f a A f A f b +⎛⎫
≈++ ⎪⎝⎭
⎰。
针对()1f x =，()f x x =及()2f x x =，代入积分公式的左边和右边，有：
()()01222
012
2
3
322
01212213
2b a A A A a b b a A a A A b a b b a A a A A b
⎧⎪-=++⎪
⎪+-=++⎨⎪
⎪+⎛⎫-=++⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得：()016A b a =-，()123A b a =-，()216A b a =- 积分公式为：()()()462b
a
b a a b I f x dx f a f f b -⎡
+⎤⎛⎫
=≈
++ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎰ 该公式即为辛普生公式，需要注意的是，该公式的代数精度并不是2次，而是3次的。
方法二，插值法（插值型求积公式），即过函数f(x)的n+1节点x0，x1，……，xn ，作n 次多项式函数()n P x ，根据拉格朗日公式：()()()0n
n k k k P
x l x f x ==∑，则有 ()()()()()00
n
n b b
b
n k k k k a
a
a k k f x dx P x dx l x dx f x A f x ==⎡⎤≈==⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰
⎰，其中，()b k k a A l x dx =⎰ 代数精度的分析：若被积函数()f x 是次数小于n 的多项式函数，那么由其曲线上的n+1节点构成的n 次多项式函数()n P x 即是被积函数()f x 本身。
则：插值型积分公式具有至少n 次代数精度。
若()f x 是一条直线，那么过其曲线上3个点构造的抛物线()2
2012P x a a x a x =++，
其中必有20a =，即()()2P x f x =；
同理，若()f x 是一条抛物线，那么过其曲线上4个点构造的3次多项式函数
()23
30123P x a a x a x a x =+++，其中必有30a =，即()()3P x f x =。
再来是牛顿-柯特斯公式：
()()2b a a b I f x dx b a f +⎛⎫
=≈- ⎪⎝⎭
⎰； 几何意义为，用以下矩形面积替代曲边梯形面积。
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