全国版高考数学第三章三角函数解三角形3.5.1两角和差及倍角公式课时提升作业理

2019届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第五节两角和与差的正、余弦和正切公式课时作业编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第五节两角和与差的正、余弦和正切公式课时作业）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第五节两角和与差的正、余弦和正切公式课时作业A组——基础对点练1．设sin（π－θ）＝错误!,则cos 2θ＝（）A．±错误!B。

错误!C．－错误!D．－错误!解析：因为sin（π－θ)＝sin θ＝错误!，所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝错误!,故选B.答案：B2．计算错误!的值为( ）A．－错误!B．错误!C.错误!D．－错误!解析:错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：B3．若tan α＝13，tan（α＋β）＝错误!，则tan β＝（)A.错误!B．错误!C.错误!D．错误!解析：tan(α＋β）＝错误!＝错误!＝错误!,解得tan β＝错误!.答案：A4．（2018·西安质量检测）sin 45°cos 15°＋cos 225°·sin 165°＝（）A．1 B．错误!C。

错误!D．－错误!解析:sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°cos 15°＋（－cos 45°)·sin 15°＝sin(45°－15°）＝sin 30°＝错误!.答案：B5．已知cos错误!＝－错误!，则sin错误!的值为( )A 。

第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式1．(2015年重庆)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( ) A.17B.16C.57D.562．(2016年新课标Ⅱ)若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )(导学号 58940270) A.725 B.15C ．－15 D ．－7253．4cos 50°－tan 40°＝( ) A.2B.2＋32 C.3D ．2 2－14．已知函数f (x )＝2sin 2x ，为了得到函数g (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向右平移π4个单位长度B ．向左平移π4个单位长度 C ．向右平移π8个单位长度 D ．向左平移π8个单位长度 5．(2015年上海)已知点A 的坐标为(4 3，1)，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )A.3 32B.5 32C.112D.1326．(2014年新课标Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．(导学号 58940271)7．(2016年新课标Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移______个单位长度得到．(导学号 58940272)8．(2016年上海)若函数f (x )＝4sin x ＋a cos x 的最大值为5，则常数a ＝________.9．(2016年上海)方程3sin x ＝1＋cos 2x 在区间[0,2π]上的解为__________．10．(2015年浙江)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________，单调递减区间是________．11．(2014年江苏)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值．12．(2014年福建)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式1．A 解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17.故选A. 2．D 解析：cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝2·⎝⎛⎭⎫352－1＝－725，且cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－2α＝sin 2α.故选D.3．C 解析：(1)原式＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4cos 40°sin 40°－sin 40°cos 40° ＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (120°－40°)－sin 40°cos 40°＝3cos 40°＋sin 40°－sin 40°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝ 3.故选C. 4．D 解析：g (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，将函数f (x )＝2sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度即可． 5．D 解析：设直线OA 的倾斜角为α，B (m ，n )(m ＞0，n ＞0)，则直线OB 的倾斜角为π3＋α，因为A (43，1)，所以tan α＝14 3，tan ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝n m ，n m ＝3＋14 31－3·14 3＝133 3，即m 2＝27169n 2，因为m 2＋n 2＝(4 3)2＋12＝49，所以n 2＋27169n 2＝49.所以n ＝132，或n ＝－132(舍去)．所以点B 的纵坐标为132. 6．1 解析：f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2cos x sin φ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，最大值为1.7.π3解析：因为y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，所以函数y ＝sin x －3cos x 的的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移π3个单位长度得到． 8．±3 解析：试题分析：f (x )＝16＋a 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝a 4，故函数f (x )的最大值为16＋a 2，由已知，16＋a 2＝5，解得a ＝±3.9.π6或5π6解析：3sin x ＝1＋cos 2x ，即3sin x ＝2－2sin 2x ，所以2sin 2x ＋3sin x －2＝0，解得sin x ＝12或sin x ＝－2(舍去)，所以在区间[0,2π]上的解为π6或5π6. 10．π 3－22⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z 解析：f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＋1＝12sin 2x －12cos 2x ＋32＝22·sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，所以T ＝2π2＝π；f (x )min ＝32－22.单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z .11．解：(1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－2 55. 故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2 55＋22×55＝－1010. (2)由(1)，得sin 2α＝2sin αcos α＝－45，cos 2α＝2cos 2α－1＝35. 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－3 3＋410. 12．解：f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )＝2cos x sin x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×5π4＋π4＋1＝2×22＋1＝2. (2)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 若f (x )单调递增，则2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .。

第三节两角和与差及二倍角三角函数公式1 A.— B. 21 3 C.2 D .兀 答案:4,「. si n 2 0 = ?故选 D.1.计算 1-2sin 222.5 22.故选B.答案：B22.设 tan ( a + 3 )=5，tan 3 —A 3r 3A.—B.— 18 221313C^T D .- _ — 18 22解析： tann a + — 4 =tan ( a + 答案： B1 4，则 tan 7tna + —的值是（322.n cos^2— sin 12 n cos^2 + sin 12 =(4.右 tan=4，贝U sin 2 0 =(tan 0A.1B.1 C.3 D. 解析: 由tan0+tan 01= 4 得, sin 0 2 2sin 0 + cos 0cos cos 0 sin 0 sin 0 cos 04,即12sin 2解析: 原式=cos 45 O7t4卩）7t 7t3.求值:答案：Dsin 47 —sin 17 cos 30cos 17 °A.sin 47 ° —sin 17 ° cos 30cos 17 °sin (17°+ 30°)—sin 17 ° cos 30 cos 17 °sin 17° cos 30 ° + cos 17 ° sin 30 ° —sin 17 ° cos 30C.* 1 *D. _32解析:6.已知a,316 13A. —B. —65 6556 33C. lD. —65 65解析：••■ cos2cos 2 a725 cos(5 小a + 3) = 13，则sin 3=()• •• cos a = 5,sin a =厂・5■/ cos( a+ 3 ) 5 12=13 ,•( a + 3 )为锐角，Si n( a +3 )= 13.• sin 3 = sin [(a + 3 )—a ] = sin( a + 3)COS a —COS(a + 3 )sin12 3 5 4 16丄，丄—x x _ .故选A.13 5 13 5 65答案：A7. (2013 •上海卷)若cos xcos y + sin xsin y解析：cos x cos y+ sin x sin y = cos( x —y)=1 小=贝U cos(2x —2y) = ____________13，所以cos 2( x—y) = 2cos (x—y)—8. sin a-,cos 3 = 5，其中2a = 2cos a25'3 4又a为锐角,解析：0, n33a ,3€2 ， sina= 5,cos3= 5,44• •• cos asin53 =5.• •• cos(a + 3) = c os a cos 3--sin as in 3 = 0.n故nT a , 3 € 0, p,• • 0va + 3 Vn,a + 3= 2答案：n22sin a+ 1 sin 2 a13答案：兀 x 匹谑2 10.y 2 答案：冇n（1）求f 6的值;2(2) f (x ) = cos x + sin x cos x 1 + cos 2 x 1= 2+ 小sin 2 x 21 1=一+一 (sin 2 2 2x + cos 2 x ) 1 + 2 =2 + 2sinn 2x + 4 ,9.已知tan a=2,则2” _ 2sin a +1 3sin 解析：. sin 2 a 2si n a 2 2 2 2a + cos a 3tan a + 13X2+ 1 132X2 = 4.cos a 2tan a 10.已知a 为锐角，且 cosa + — = 5，贝U sin 4 57t解析：因为 a 为锐角，所以因为cos n 3+ —= 4 5,所以sin n a ------4贝U sin a = sinn n+4 — 4 =sin acos n一—cos4na+ 4 sin22- 311.已知函数f （x ） =cos 2x + sin xcos xR.⑵若sin a35, n且a€7t7tn解析：（1） f 6= cos 2p+ sin6n6 cos 67t1 — cos 2a n 1 2 .f 2 +24 = 2 +2 sinn n +12+4=+ 22sinsin1-2 + cos因为sin 35,n ，所以cos a一一7t所以f 2+24= 2+3 1—X———X5 2 52012.已知函数f(x) = sin > 0）的最小正周期为n(1)求3的值;na€ 0，g，3€1 5nf 23 + P1213，求sin ( a+ 3 )的值.解析: (1) V 函数f(x) = sin 3Xn+E的最小正周期为2n3 =n，(2)由(1)得f(x) = sinn 2x + —x +6 ，1 n• f -2a +6 = sin2 - ；a +=sin na = cosno, 2,• sin a =叮1 —cos45.=sinn . 1212 + 6 =sin( n+ 3 )= —sin 3=—13,• sin12 3 13•/ 3€7t…cos —\/1 —sin23 = 13'• sin( oc+3 ) = sin a cos 3 + cos a sin 34 =-X 53 12+5 X13= 65'1613cos 17 °1=sin 30 ° =故选 C.答案：C13。

高中数学第三章三角恒等变换3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课时提升作业2 新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章三角恒等变换3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课时提升作业2 新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章三角恒等变换3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课时提升作业2 新人教A版必修4的全部内容。

二倍角的正弦、余弦、正切公式一、选择题（每小题3分,共18分）1。

(2013·江西高考)若sin=，则cosα= ( ）A.—B.-C. D。

【解析】选C.cosα=1—2sin2=1—=。

【变式训练】已知cosθ=，则cos2θ的值为（）A。

B.— C.-D。

【解析】选B。

cos2θ=2cos2θ-1=2×-1=-.2。

已知sin=，cos=-，则角α所在的象限是( )A。

第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C。

因为sinα=2sin cos=2××=—〈0，cosα=cos2-sin2=-=—<0，所以α是第三象限角.3。

已知tanα=，则等于( )A。

3 B.6 C.12 D.【解析】选A。

==2+2tanα=3。

故选A。

4.tanA+=m，则sin2A= （)A。

B。

C。

2m D。

【解析】选D。

由tanA+=m，得+=m,所以sinAcosA=，所以sin2A=2sinAcosA=。

5。

(2014·成都高一检测）在△ABC中，若|｜=2sin15°，||=4cos15°，且∠ABC=30°，则·的值为（)A。

高考数学总复习第三章三角函数解三角形课时作业21两角和差及倍角公式文含解析新人教A 版课时作业21 两角和、差及倍角公式1．(2019·新疆乌鲁木齐一诊)2cos10°－sin20°sin70°的值是( C )A ．12B ．32C ． 3D ． 2解析：原式＝2cos 30°－20°－sin20°sin70°＝2cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3.2．(2019·山西五校联考)若cos θ＝23，θ为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值为( B ) A ．2＋106 B ．22＋106C ．2－106D ．22－106解析：由cos θ＝23，θ为第四象限角，得sin θ＝－53， 故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22(cos θ－sin θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋53＝22＋106.故选B ． 3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin2α的值为( C )A ．－118B ．118 C ．－1718D ．1718解析：由3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α可得 3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)， 又由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22， 所以1＋2sin α·cos α＝118，故sin2α＝－1718.故选C ．4．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( B )A ．α＜π4＜βB ．β＜π4＜αC ．π4＜α＜βD ．π4＜β＜α解析：∵α为锐角，sin α－cos α＝16＞0，∴π4＜α＜π2. 又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α＞π4，∴β＜π4＜α.5．在△ABC 中，sin A ＝513，cos B ＝35，则cos C ＝( A )A ．－1665B ．－5665C ．±1665D ．±5665解析：∵B 为三角形的内角，cos B ＝35＞0，∴B 为锐角，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45，又sin A ＝513，∴sin B ＞sin A ，∴A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1213， ∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－1213×35＋513×45＝－1665. 6．(2019·福州质检)已知m ＝tan α＋β＋γtan α－β＋γ，若sin[2(α＋γ)]＝3sin2β，则m＝( D )A ．12B ．34C ．32D ．2解析：设A ＝α＋β＋γ，B ＝α－β＋γ， 则2(α＋γ)＝A ＋B,2β＝A －B ， 因为sin[2(α＋γ)]＝3sin2β， 所以sin(A ＋B )＝3sin(A －B )，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝3(sin A cos B －cos A sin B )， 即2cos A sin B ＝sin A cos B ， 所以tan A ＝2tan B ， 所以m ＝tan Atan B＝2，故选D ．7．(1＋tan20°)(1＋tan21°)(1＋tan24°)(1＋tan25°)＝4.解析：(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝1＋tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－ta n20°tan25°)＋tan20°·tan25°＝2，同理可得(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝2，所以原式＝4.8．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C ＝22. 解析：由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1， 可得tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，又A ＋B ∈(0，π)， 所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.9．(2019·运城模拟)已知α为锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝26＋16.解析：∵α为锐角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，∴0＜α－π6＜π3，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝223，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝223×32＋13×12＝26＋16. 10．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为58.解析：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝⎝⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos2θ＝14. 所以cos2θ＝12.故sin 4θ＋cos 4θ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－cos2θ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos2θ22＝116＋916＝58.11．已知函数f (x )＝(1＋3tan x )cos 2x . (1)若α是第二象限角，且sin α＝63，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的定义域和值域． 解：(1)因为α是第二象限角，且sin α＝63， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－33， 所以tan α＝sin αcos α＝－2，所以f (α)＝(1－3×2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－332＝1－63. (2)函数f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z. 易得f (x )＝(1＋3tan x )cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin x cos x cos 2x ＝cos 2x ＋3sin x cos x ＝1＋cos2x 2＋32sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12.因为x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z ，所以2x ＋π6≠2k π＋7π6，k ∈Z ，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≠－12，但当2x ＋π6＝2k π－π6，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－1,1]，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32，所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32.12．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．解：(1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝－12×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×32＝12.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π， 又由(1)知sin2α＝12，∴cos2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝2 3.13．(2019·河南洛阳一模)设a ＝cos50°cos127°＋cos40°·sin127°，b ＝22(sin56°－cos56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( D ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．a ＞c ＞b解析：a ＝sin40°cos127°＋cos40°sin127°＝sin(40°＋127°)＝sin167°＝sin13°，b ＝22(sin56°－cos56°)＝22sin56°－22cos56°＝sin(56°－45°)＝sin11°， c ＝cos 239°－sin 239°cos 239°sin 239°＋cos 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos78°＝sin12°， ∵sin13°＞sin12°＞sin11°，∴a ＞c ＞B ．14．(2019·江西南昌模拟)已知tan2α＝－22，且满足π4＜α＜π2，则2cos2α2－sin α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值是( C )A ． 2B ．－ 2C ．－3＋2 2D ．3－2 2解析：tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－22，整理可得2tan 2α－tan α－2＝0， 解得tan α＝－22或tan α＝ 2. 因为π4＜α＜π2，所以tan α＝ 2.则2cos 2α2－sin α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos α－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos α＋cos π4sin α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝cos α－sin αcos αcos α＋sin αcos α ＝1－tan α1＋tan α＝1－21＋2＝22－3.故选C ．15．(2019·武汉调研)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1,1]．解析：由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1， 又α，β∈[0，π]，∴α－β＝π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，即π2≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin(α－2β) ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4. ∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤5π4， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，即取值范围为[－1,1]．16．(2019·合肥模拟)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin2x ＋12cos4x .(1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间； (2)若α∈(0，π)，且f ⎝⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．解：(1)f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x＝cos2x sin2x ＋12cos4x＝12(sin4x ＋cos4x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4， ∴f (x )的最小正周期T ＝π2.令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z . ∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z . (2)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.∵α∈(0，π)，－π4＜α－π4＜3π4，∴α－π4＝π2，故α＝3π4.因此tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan 3π4＋tanπ31－tan 3π4tanπ3＝－1＋31＋3＝2－ 3.。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)(15分钟30分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.cos(-15°)的值为( )A. B.C. D.-【解析】选C.cos(-15°)=cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=³+³=.2.sinα=，α∈，则cos的值为( )A.-B.-C.-D.-【解析】选B.由sinα=，α∈，得cosα=-，故cos=cos cosα+sin sinα=³+³=-.3.设α，β为钝角，且sinα=，cosβ=-，则α+β的值为( )A. B. C. D.或【解析】选C.由α，β为钝角，即α，β∈，且sinα=，cosβ=-，得cosα=-=-，sinβ==，所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-³-³=>0，又α，β∈，所以α+β∈(π，2π)，因此α+β=.二、填空题(每小题4分，共8分)4.已知cos=，则cosα+sinα的值为________.【解析】cos=cos cosα+sin sinα=cosα+sinα=(cosα+sinα)=，故cosα+sinα=.答案：5.sin(α+30°)cosα+cos(α+30°)sin(-α)=________.【解题指南】本题解题关键是将cosα改写成cos(-α).【解析】sin(α+30°)cosα+cos(α+30°)sin(-α)=sin(α+30°)cos(-α)+cos(α+30°)sin(-α)=sin[(α+30°)+(-α)]=sin30°=.答案：三、解答题6.(10分)(2015²揭阳高一检测)已知函数f(x)=2sin(x-)，x∈R.(1)求f的值.(2)设α，β∈，f=，f(3β+2π)=，求cos(α+β)的值. 【解析】(1)f=2sin=2sin=2³=.(2)f=，所以2sin=，所以sinα=，又因为f(3β+2π)=，所以2sin=，所以cosβ=，因为α，β∈，所以cosα=，sinβ=，所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=³-³=.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015²三亚高一检测)化简cosx-sinx的结果是( )A.2cosB.2sinC.2sinD.2cos【解析】选D.cosx-sinx=2(cos cosx-sin sinx)=2cos.【一题多解】本题还可以采用以下方法cosx-sinx=2=2sin=2cos=2cos【拓展提升】辅助角公式asinα+bcosα=sin(α+φ).(1)作用：将形如asinα+bcosα(a，b不同时为零)的三角函数式化为一个角的一种三角函数式，有利于三角函数式的化简，更是研究三角函数性质的常用工具.(2)记住形如asinα+bcosα的常用形式：sinα±cosα=sin，sinα±cosα=2sin，sinα±cosα=2sin.2.(2015²重庆高考)若tanα=2tan，则=( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.======，因为tanα=2tan，所以上式==3.二、填空题(每小题5分，共10分)3.已知0<α<<β<π，sinα=，cos(α-β)=，则β的值为________.【解析】因为0<α<，sinα=，所以cosα=，因为cos(α-β)=，又<β<π，所以-π<-β<-，α-β∈(-π，0)，所以sin(α-β)=-，所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=³+³=-<0，所以β=.答案：4.在△ABC中，3sinA-4sinB=6，4cosB+3cosA=1，则C的大小为__________.【解题指南】根据题意，把已知的两等式两边平方后，左右相加，然后利用同角三角函数间的基本关系、两角和的正弦公式及诱导公式化简后即可得到sinC的值，利用特殊角的三角函数值及角C的范围即可求出C的度数.【解析】因为3sinA-4sinB=6，4cosB+3cosA=1，两式平方相加，可得9+16+24cos(A+B)=37，所以cos(A+B)=.因为A+B+C=π，所以cos(A+B)=-cosC，则cosC=-，0°<C<180°，故C=120°.答案：120°三、解答题5.(10分)若sin=，cos=，且0<α<<β<，求cos(α+β)的值.【解析】因为0<α<<β<，所以<+α<π，-<-β<0，又已知sin=，cos=，所以cos=-，sin=-.所以cos(α+β)=sin=sin=sin cos-cos sin=³-³=-.【补偿训练】已知a=(cosα，sinβ)，b=(cosβ，sinα)，0<β<α<，且a²b=，求证α=+β. 【证明】a²b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=，又0<β<α<，所以0<α-β<，所以α-β=，即α=+β.。

第三章 三角函数、解三角形授课提示：对应学生用书第269页〖A 组 基础保分练〗1．(2021·南昌模拟)已知角α的终边经过点P (sin 47°，cos 47°)，则sin(α－13°)＝( ) A.12 B ．32 C ．－12D ．－32〖答 案〗A2．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知sin θ＋sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1，则sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝( ) A.12 B ．33 C.23 D ．22 〖答 案〗B3.3cos 15°－4sin 2 15°cos 15°＝( ) A.12 B ．22 C ．1 D ． 2〖答 案〗D4．(2021·成都诊断性检测)已知tan α＝34，α∈(0，π)，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值为( ) A.43－310B ．43＋310C.4－3310D ．33－410〖答 案〗A5．(2021·济南模拟)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin A 的值为( ) A.35 B ．45C.35或45D ．34〖解 析〗∵A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，∴A ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，∴cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＜0， 且cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210， ∴sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4·sin π4＝45. 〖答 案〗B6．(2021·信阳模拟)函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋4cos 2x 2(x ∈R )的最大值等于( )A ．5B ．92C.52D ．2〖解 析〗由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x 2＝32sin x ＋2cos x ＋2 ＝52sin(x ＋φ)＋2⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝43， 又因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为92.〖答 案〗B7．化简：2cos 4α－2cos 2α＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________.〖答 案〗12cos 2α8．(2021·厦门模拟)若sin(α＋β)＝15，sin(α－β)＝35，则tan αtan β＝________.〖解 析〗∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝15，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝35，由上面两式，解得sin αcos β＝25，cos αsin β＝－15，则tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝－2. 〖答 案〗－29．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 〖解 析〗(1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255，故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4·sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2 α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－4＋3310.〖B 组 能力提升练〗1.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( )A.12 B ．32C. 3 D ． 2〖答 案〗C2．若cos α＝35，0＜α＜π，则1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( )A.25 B ．75C.145 D ．－25〖答 案〗C3．(2021·江西八所重点中学联考)若点(θ，0)是函数f (x )＝sin x ＋2cos x 图象的一个对称中心，则cos 2θ＋sin θcos θ＝( )A.1110 B ．－1110C ．1D ．－1〖答 案〗D4．(多选题)已知α，β，γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列结论正确的是( ) A ．cos(β－α)＝12B ．cos(β－α)＝－12C ．β－α＝π3D ．β－α＝－π3〖解 析〗由已知得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β. 两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1， ∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝12，∴A 正确，B 错误．∵α，β，γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin γ＝sin β－sin α＞0，∴β ＞α，∴β－α＝π3，∴C 正确，D 错误．〖答 案〗AC5．化简：sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)＝________.〖答 案〗－tan(α－β)6．已知0<α<π2，且sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋5π4＝________，sin 2 α＋sin 2αcos 2 α＋cos 2α＝________.〖解 析〗因为0<α<π2，且sin α＝35，所以cos α＝1－sin 2 α＝45，所以tan α＝sin αcos α＝34，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋5π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝7.sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2 α＝tan 2α＋2tan α2－tan 2α＝916＋642－916＝3323.〖答 案〗733237．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45. (1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．〖解 析〗(1)由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45得sin α＝－45， 所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45得cos α＝－35， 由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.8．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫a ＋2cos 2x 2·cos(x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)． (1)求a ，θ的值；(2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，f ⎝⎛⎭⎫α2＋π8＋25cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α＝0，求cos α－sin α的值． 〖解 析〗(1)因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫a ＋2cos 2x2 cos(x ＋θ)是奇函数，所以⎝⎛⎭⎫a ＋2cos 2x 2cos(x ＋θ)＝－⎝⎛⎭⎫a ＋2cos 2x2·cos ()－x ＋θ， 化简、整理得，cos x cos θ＝0，则有cos θ＝0， 由θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin x ·⎝⎛⎭⎫a ＋2cos 2x 2.由f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1. (2)由(1)知f (x )＝－12sin 2x ，f ⎝⎛⎭⎫α2＋π8＋25cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α＝0⇒ sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α， 因为cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝85cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4. 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝0或 cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝58. 由sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝0⇒α＝3π4所以cos α－sin α＝cos 3π4－sin 3π4＝－2；由cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝58，3π4＜α＋π4＜5π4， 得cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－522⇒12(cos α－sin α)＝－522⇒cos α－sin α＝－52. 综上，cos α－sin α＝－2或cos α－sin α＝－52. 〖C 组 创新应用练〗如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A ，B 两点，x 轴正半轴与单位圆交于点M ，已知S △OAM ＝55，点B 的纵坐标是210.(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．〖解 析〗(1)由题意，OA ＝OM ＝1， 因为S △OAM ＝55，α为锐角， 所以sin α＝255，cos α＝55.又点B 的纵坐标是210. 所以sin β＝210，cos β＝－7210， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝55×⎝⎛⎭⎫－7210＋255×210＝－1010. (2)因为cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35，sin 2α＝2sin α·cos α＝2×255×55＝45，所以2α∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 因为β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以2α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. 因为sin(2α－β)＝sin 2α·cos β－cos 2α·sin β＝－22， 所以2α－β＝－π4.。

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课时分层作业二十二两角和、差及倍角公式一、选择题（每小题5分，共35分）1。

（2018·成都模拟)计算:sin 20°cos10°-cos 160°·sin 10°=（)A. B.-C。

—D。

【解析】选D。

原式=sin 20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=。

2.已知sin=，则sin 2θ= ( )A。

-B。

- C.D。

【解析】选A.因为sin=,所以(sin θ+cosθ)=，两边平方得(1+sin 2θ）=，解得sin 2θ=-。

3.(2018·大庆模拟)已知α,β都是锐角,且sin αcosβ=cosα（1+sin β),则（)A.3α—β=B。

2α-β=C。

3α+β=D.2α+β=【解析】选B。

因为sin αcos β=cos α(1+sin β），所以sin(α—β）=cos α=sin,所以α—β=—α，即2α-β=。