湖南省2020年高考数学第二轮复习 专题一 常以客观题形式考查的几个问题第2讲 平面向量、复数、框图及合情推

高三理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.3117 14.F+V －E=2 15.(,1]-∞三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、解：（1）∵ 2222cos 4c a b ab C =+-= ∴ 2c = 故ABC ∆的周长为5. ……………………………………………………………………………… 6分（2） ∵1c o s 4C =且C 为ABC ∆的内角 ∴ sin C =由正弦定理sin sin a c A C =得sin A = ∴ 7c o s 8A =∴11cos()cos cos sin sin 16A C A C A C -=+=…………………………………………………………………………12分 18、解：(1）依题知21()2n n n S a a =+ ……………………………………………………………………………………………………① ∴ 21111()2a a a =+， 又0n a > ∴11a = 21111(a a ),n 22n n n S ---=+≥……………………………………………………………………………………………② 由①-②得22111()2n n n n n a a a a a --=-+-∴22111,0n n n n n a a a a a ---+=-->n 且a ,则11n n a a --=∴{}n a 是等差数列，∴1(1)1n a n n =+-⨯=…………………………………………………………………………6分 (2) ∵ 11()()22nnn n b a n ==， ∴2311112()3()222n T n =⨯++⨯+⋅⋅⋅+⨯n 1（）2，∴23411111()2()3()2222n T n =⨯++⨯+⋅⋅⋅+⨯n+11（）2，两式相减得123111111()()()-()22222n n T n +=+++⋅⋅⋅+⨯n1（）2，∴11()112()2(2)()12212nn n n T n n -=-=-+-.…………………………………………………………………………12分 19．解：（1）证明：在梯形ABCD 中，因为0//,1,60AB CD AD DC CB ABC ===∠=，所以2AB =，所以22202cos 603AC AB BC AB BC =+-=，所以222AB AC BC =+，所以BC AC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE平面ABCD AC =，因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE ．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）可建立分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令(0FM λλ=≤≤，则())()()0,0,0,,0,1,0,M ,0,1C AB λ，∴()()3,1,0,,1,1AB BM λ=-=-， 设()1,,n x y z =为平面MAB 的一个法向量， 由1100n AB n BM ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x=，则()11,3,n λ=，．．．．．．．．．．．7分 ∵()21,0,0n =是平面FCB 的一个法向量．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∴1212cos 1n n n n θ===+．．．．．．．．．．．．．．10分∵0λ≤≤，∴当0λ=时，cos θ，当λ=cos θ有最大值12． ∴1cos 2θ⎤∈⎥⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20..解：(1)当l 1与x 轴重合时，k 1＋k 2＝k 3＋k 4＝0，即k 3＝－k 4， ∴l 2垂直于x 轴，得|AB |＝2a ＝23，|CD |＝2b 2a ＝433，得a ＝3，b ＝2，∴椭圆E 的方程为x 23＋y 22＝1. --------------------------------------------------------- 4分(2)焦点F 1，F 2坐标分别为(－1，0)，(1，0)，当直线l 1或l 2斜率不存在时，P 点坐标为(－1，0)或(1，0)， ------------------------------------------- 5分 当直线l 1，l 2斜率存在时，设斜率分别为m 1，m 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝m 1（x ＋1），得(2＋3m 21)x 2＋6m 21x ＋3m 21－6＝0，∴x 1＋x 2＝－6m 212＋3m 21，x 1x 2＝3m 21－62＋3m 21， k 1＋k 2＝y 1x 1＋y 2x 2＝m 1⎝⎛⎭⎫x 1＋1x 1＋x 2＋1x 2＝m 1⎝⎛⎭⎫2＋x 1＋x 2x 1x 2＝m 1⎝⎛⎭⎫2－2m 21m 21－2＝－4m 1m 21－2， ------------------ 7分 同理k 3＋k 4＝－4m 2m 22－2， -------------------------------------------------------------------------------------------- 8分∵k 1＋k 2＝k 3＋k 4，∴－4m 1m 21－2＝－4m 2m 22－2，即(m 1m 2＋2)(m 2－m 1)＝0，由题意知m 1≠m 2，∴m 1m 2＋2＝0 --------------------------------------------------------------------------------- 9分 设P (x ，y )，则y x ＋1·y x －1＋2＝0，即y 22＋x 2＝1(x ≠±1)， --------------------------------------------------- 10分又当直线l 1或l 2斜率不存在时，P 点坐标为(－1，0)或(1，0)也满足此方程， ∴点P (x ，y )在椭圆y 22＋x 2＝1上，存在点M (0，－1)和点N (0，1)，使得|PM |＋|PN |为定值，定值为2 2. ------------------------------ 12分 21、解（1）10,(),x f x a x'>=-………………………………………………………………………1分 ()0,()0+f x f x '>∞若a<0,在（，）上单调递增,3)0,0(),ae x f x =->→→-∞3且f(e 时，此时，f(x)存在唯一零点；………………3分10,x a'==1-ax 若a>0,f (x)=x 11(0,),(),(,),()x f x x f x a a∈∈+∞ m a x1()()l n 4f x f a a∴==-- -4ln 40,a>e a --<当即时，f(x)无零点； -4当-lna-4=0,即a=e 时，f(x)有一个零点；-4当-lna-4>0,即0<a<e 时，f(x)有两个零点。

卜人入州八九几市潮王学校专题一常以客观题形式考察的几个问题第2讲平面向量、复数、框图及合情推理真题试做1．(2021·高考，理1)假设复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，那么z为()．A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i2．(2021·高考，理3)如下列图，程序框图(算法流程图)的输出结果是()．A．3B．4 C．5D．83．(2021·高考，理11)假设(1＋i)(2＋i)＝a＋b i，其中a，b R，i为虚数单位，那么a＋b＝__________.4．(2021·高考，理11)观察以下不等式1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，……照此规律，第五个不等式为____________________．5．(2021·高考，理7)△ABC为等边三角形，ABP，Q满足AP＝λAB，AQ＝(1－λ)AC，λR.＝－，那么λ＝()．假设BQ CPA.B.C.D.考向分析本局部内容在高考中通常以选择题、填空题的形式出现，属容易题或者中档题，对平面向量的考察重点是应用或者与其他知识的简单综合，出题频率较高；对复数的考察主要是复数概念、复数四那么运算和复数的几何意义；对框图的考察主要以循环构造的程序框图为载体考察学生对算法的理解；对合情推理的考察以归纳推理为主，考察学生的观察、归纳和类比才能．热点例析热点一平面向量的运算及应用(1)(2021·高考，理14)假设平面向量a，b满足|2a－b|≤3，那么a·b的最小值是__________．(2)向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．假设a－2b与c一共线，那么k＝__________.规律方法1.平面向量主要考察：(1)平行、垂直的充要条件；(2)数量积及向量夹角；(3)向量的模．2．解决此类问题的方法主要有：(1)利用平面向量根本定理及定义；(2)通过建立坐标系进展坐标运算．变式训练1在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，那么 的最小值为__________．PA PB3热点二复数的概念与运算(1)(2021·高考，理1)复数z满足(z－i)(2－i)＝5，那么z＝()．A．－2－2iB．－2＋2iC．2－2iD．2＋2i(2)复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限规律方法1.处理有关复数的问题，首先要整理出实部、虚部，即写出复数的代数形式，然后根据定义解题；2．掌握复数的四那么运算规律及i n(n N*)的结果．变式训练2＝b＋i(a，b R)，其中i为虚数单位，那么a＋b＝()．A．－1B．1 C．2D．3热点三算法与程序框图(2021·石景山一模)执行下面的程序框图，假设输入的N是6，那么输出p的值是()．A．120B．720 C．1440D．5040规律方法对本局部内容，首先搞清框图的运算功能，然后根据条件依次执行，找出变化规律，最终得出结果或者将框图补充完好．变式训练3如图给出的是计算＋＋＋…＋的值的一个程序框图，那么空白框内应填入的条件是()．A．i>10B．i<10C．i>20D．i<20热点四合情推理的应用设函数f(x)＝(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f(f3(x))＝，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝__________.规律方法运用归纳推理得出一般结论时，要注意从等式、不等式的项数、次数、系数等多个方面进展综合分析，归纳发现其一般结论，假设已给出的式子较少，规律不明显时，可多写出几个式子，发现其中的一般结论．变式训练4在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类比以上结论有：在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示__________．思想浸透转化与化归思想的含义转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．本专题用到的转化与化归思想方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为根本定理、根本公式或者根本图形问题．(2)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．(3)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定．【典型例题】如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，假设＝m，＝n(m，n>0)，那么＋的最小值为()．A．2B．4 C.D．9解析：连接AO，那么1111,222AB ACMO AO AM AB AB ACm m+⎛⎫=-=-=-+⎪⎝⎭同理11122NO AC ABn⎛⎫=-+⎪⎝⎭.因为M，O，N三点一共线，所以1111112222AB AC AC AB m nλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即1110 2222AB ACm nλλλ⎛⎫⎛⎫--+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由于,AB AC不一共线，根据平面向量根本定理，得－－＝0，且－＋＝0，消掉λ，即得m＋n＝2，故＋＝(m＋n)＝≥×(5＋4)＝，当且仅当n＝2m时，取等号．应选C.答案：C1．复数(i是虚数单位)的虚部是()．A.B.iC.D.i2．设a，ba＝－b，那么|a|＝|b)．A．假设a≠－b，那么|a|≠|b|B．假设a＝－b，那么|a|≠|b|C．假设|a|≠|b|，那么a≠－b D．假设|a|＝|b|，那么a＝－bQ为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“假设a，b R，那么a－b＝0a＝b〞类比推出“假设a，b C，那么a－b＝0a＝b〞；②“假设a，b，c，d R，那么复数a＋b i＝c＋d i a＝c，b＝d〞类比推出“假设a，b，c，d Q，那么a＋b＝c＋d a＝c，b＝d〞；③“假设a，b R，那么a－b>0a>b〞类比推出“假设a，b C，那么a－b>0a>b〞．其中类比得到的正确结论的个数是()．A．0B．1 C．2D．34．(2021·高考，理8)在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)．将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，那么点Q的坐标是()．A．(－7，－)B．(－7，)C．(－4，－2)D．(－4，2)参考答案真题试做1．A解析：设z＝a＋b i，a，b∈R，那么z(2－i)＝(a＋b i)(2－i)＝(2a＋b)＋(2b－a)i，所以解得所以z＝3＋5i，应选A.2．B解析：由程序框图依次可得，x＝1，y＝1→x＝2，y＝2→x＝4，y＝3→x＝8，y＝4→输出y＝4.3．4解析：(1＋i)(2＋i)＝1＋3i＝a＋b i，所以a＝1，b＝3，a＋b＝4.4．1＋＋＋＋＋＜解析：由前几个不等式可知1＋＋＋＋…＋＜.所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋＜.5.A解析：设AB＝a，AC＝b，那么|a|＝|b|＝2，且〈a，b〉＝.=-＝λa－b.=-＝(1－λ)b－a，CP AP ACBQ AQ AB⋅＝［(1－λ)b－a］·(λa－b)BQ CP＝［λ(1－λ)＋1］a·b－λa2－(1－λ)b2＝(λ－λ2＋1)×2－4λ－4(1－λ)＝－2λ2＋2λ－2＝－.即(2λ－1)2＝0，∴λ＝.精要例析·聚焦热点热点例析【例1】(1)－解析：∵|2a－b|≤3，∴4a2＋b2≤9＋4a·b.∵4a2＋b2≥4|a||b|≥－4a·b，∴9＋4a·b≥－4a·b.∴a·b≥－.(2)1解析：由于a＝(，1)，b＝(0，－1)，∴a－2b＝(，3)，而c＝(k，)，且(a－2b)∥c，∴有×＝3×k，解得k＝1.【变式训练1】5解析：如图，设PC＝x，PD＝y.∴＝＝－xy＋2，因此＝由于∠ADC ＝∠BCD ＝90°，从而PA ＝，PB ＝.又,.PA PD DA PB PC CB =+=+，∴()()PA PB PD DA PC CB ⋅=+⋅+ ＝PD PC PD CB DA PC DA CB ⋅+⋅+⋅+⋅＝－xy ＋2， 因此()233PA PB PA PB +=+ 2269PA PA PB PB +⋅+＝＝ ＝≥5，当且仅当3x ＝y 时取最小值5.【例2】(1)D 解析：由题意可得，z －i ＝＝＝2＋i ，∴z ＝2＋2i.(2)D 解析：∵z ＝＝＝＝－i ，∴复数z 在复平面内对应的点在第四象限．【变式训练2】B 解析：∵＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝－1＋b i.∴a ＝－1，b ＝2.∴a ＋b ＝1.【例3】B 解析：当k ＝1，p ＝1时，p ＝p ·k ＝1,1<6，满足；当k ＝2，p ＝1时，p ＝p ·k ＝2,2<6，满足；当k ＝3，p ＝2时，p ＝p ·k ＝6,3<6，满足；当k ＝4，p ＝6时，p ＝p ·k ＝24,4<6，满足；当k ＝5，p ＝24时，p ＝p ·k ＝120,5<6，满足；当k ＝6，p ＝120时，p ＝p ·k ＝720,6<6，不满足，输出p 为720.【变式训练3】A 解析：由表达式＋＋＋…＋的最后一项的分母为20可知，流程图中循环体退出循环时的n 的值应当为22，i 的值是11，其循环体一共循环了10次，即判断框内可填的条件可以为n >20？或者i >10？，故应选A.【例4】解析：由于f 1(x )＝，f 2(x )＝，f 3(x )＝，f 4(x )＝，还可求得f 5(x )＝，由以上结果可以发现：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )的表达式都是分式的形式，分子上都是x ，分母上都是x 的一次式，其中常数项依次为2,4,8,16,32，…，可知其规律是2n 的形式，而x 的一次项的系数比常数项都小1，因此可得f n (x )＝(n ∈N *且n ≥2)．【变式训练4】过原点的平面创新模拟·预测演练1．C 解析：＝＝＝＋，所以虚部为，选C.2．D 解析：假设p 那么qq 那么p .应选D.3．C 解析：①②正确，③错误．4．A 解析：设OP 与x 轴正半轴的夹角为θ，那么cos θ＝，sin θ＝，那么由三角函数定义可得，33cos ,sin 44OQ OP OP ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ∵3cos 4OP πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝×＝10×＝－7，＝×＝10×＝－，∴OQ ＝(－7，－)，即点Q 的坐标为(－7，－)．。

题型强化练1 客观题8+4+4标准练(A )一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020天津滨海新区联考,1)设集合U={x|x ≥-1},A={1,3,5,7},B={x|x>5},则A ∩∁U B=( ) A.{1,3,5} B.{3,5}C.{1,3}D.{1,3,5,7}2.(2020山东日照二模,2)在复平面内,已知复数z 对应的点与复数1+i 对应的点关于实轴对称,则z i=( )A.1+iB.-1+iC.-1-iD.1-i 3.(2020北京西城二模,6)设a=30.2,b=log 32,c=log 0.23,则 ( )A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c4.(2020山东日照一模,3)南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上提出祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.其含义是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等,如图,夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1,V 2,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S 1,S 2,则“S 1,S 2总相等”是“V 1,V 2相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2019广东深圳适应性考试,文8)已知△ABC 是边长为1的等边三角形,D ,E 分别是边AB ,BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE=2EF ,则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( ) A.-58 B.118C.14D.186.(2020广东东莞一模,8)函数y=cos x ·2x +12x -1的部分图象大致为( )7.(2020河北石家庄5月检测,8)若双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+y2-4y+2=0所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为()A.√3B.2√33C.2D.√28.(2020山东聊城一模,8)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,为了纪念数学家高斯,人们把函数y=[x],x∈R称为高斯函数,其中[x]表示不超过x的最大整数.设{x}=x-[x],则函数f(x)=2x{x}-x-1的所有零点之和为()A.-1B.0C.1D.2二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(2020海南线上诊断测试,9)如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图,则下列判断正确的是()A.1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13B.1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C.2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D.2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率10.(2020山东德州一模,10)1970年4月24日,我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”,从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时,其运行速度是变化的,速度的变化服从面积守恒规律,即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ,2c ,下列结论正确的是( )A.卫星向径的取值范围是[a-c ,a+c ]B.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大,椭圆轨道越扁平D.卫星运行速度在近地点时最大,在远地点时最小11.(2020山东淄博一模,10)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P ,Q 分别为棱BC 和棱CC 1的中点,则下列说法正确的是( ) A.BC 1∥平面AQPB.平面APQ 截正方体所得截面为等腰梯形C.A 1D ⊥平面AQPD.异面直线QP 与A 1C 1所成的角为60°12.(2020海南海南中学月考,12)已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在x=1处取得最大值,且最小正周期为2,则下列说法正确的有( ) A.函数f (x-1)是奇函数B.函数f (x+1)是偶函数C.函数f (x+2)在[0,1]上单调递增D.函数f (x+3)是周期函数三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2020山东泰安考前模拟,14)(x -1x )(1-x )4的展开式中x 3的系数为 .14.《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则该竹子最上面一节的容积为 升. 15.(2019四川攀枝花统考,文16)已知函数f (x )=(x -b )2-lnx x (b ∈R ).若存在x ∈[1,2],使得f (x )+xf'(x )>0,则实数b 的取值范围是 .16.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的表面上,AB=3,异面直线AC 1与BC 所成角的余弦值为310,则球O 的表面积为 .题型强化练题型强化练1 客观题8+4+4标准练(A )1.A 解析 由题意∁U B={x|-1≤x ≤5},∴A ∩∁U B={1,3,5}. 2.C 解析 由题意得z=1-i,所以zi =1-ii =i+1-1=-1-i .3.B 解析 指数函数y=3x 为R 上的增函数,则a=30.2>30=1;对数函数y=log 3x 为(0,+∞)内的增函数,则log 31<log 32<log 33,即0<b<1;对数函数y=log 0.2x 为(0,+∞)内的减函数,则c=log 0.23<log 0.21=0.故a>b>c.4.A 解析 根据祖暅原理,当S 1,S 2总相等时,V 1,V 2相等,所以充分性成立;当两个完全相同的四棱台,一正一反的放在两个平面之间时,此时体积固然相等但截得的面积未必相等,所以必要性不成立.所以“S 1,S 2总相等”是“V 1,V 2相等”的充分不必要条件.5.D 解析 由DE=2EF ,可得DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DE ⃗⃗⃗⃗⃗ .如图所示,连接AE ,则AE ⊥BC ,所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0+12·|DE ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos π3=0+12×12×1×12=18.故选D .6.A 解析 令f (x )=y=cos x ·2x+12x -1(x ≠0),则f (-x )=cos(-x )·2-x+12-x -1=cos x ·12x +112x -1=cos x ·2x +11-2x =-f (x ),所以函数f (x )为奇函数,可排除B,D; 当x ∈(0,π2)时,cos x>0,2x +12x -1>0,所以f (x )>0,故排除C.7.C 解析 双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±ba x ,由对称性,不妨取y=ba x ,即bx-ay=0.圆x 2+y 2-4y+2=0可化为x 2+(y-2)2=2,其圆心的坐标为(0,2),半径为√2. 圆心(0,2)到渐近线的距离d=√(√2)2-12=1. 由点到直线的距离公式,可得√b +a 2=2a c =2e =d=1,所以e=2.8.A 解析 由题意知,当x=0时,f (x )=-1,所以0不是函数f (x )的零点.当x ≠0时,由f (x )=2x {x }-x-1=0可得,2{x }=1x +1,令y 1=2{x }=2x-2[x ],y 2=1x +1,作出函数y 1=2{x }=2x-2[x ],y 2=1x +1的图象如图所示, 由图象可知,除点(-1,0)外,函数y 1=2{x }=2x-2[x ],y 2=1x +1图象其余交点关于(0,1)中心对称,所以横坐标互为相反数.由函数零点的定义知,函数f (x )=2x {x }-x-1的所有零点之和为-1.9.ABC 解析 1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例,其中西安32例,所以西安所占比例为3287>13,故A 正确;由曲线图可知,1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势,故B 正确;2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了213-116=97(例),故C 正确;2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率为98-8888=544,2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例的增长率为88-7474=737,显然737>544,故D 错误.10.ABD解析根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a-c,a+c],故A正确;当卫星在左半椭圆弧运行时,对应的面积更大,根据面积守恒规律,速度应更慢,故B 正确;a-c a+c =1-e1+e=21+e-1,比值越大,则e越小,椭圆轨道越接近于圆,故C错误.根据面积守恒规律,卫星在近地点时向径最小,故速度最大,在远地点时向径最大,故速度最小,故D正确.11.ABD解析如图,因为P,Q分别为棱BC和棱CC1的中点,所以PQ∥BC1, 又因为BC1⊄平面AQP,PQ⊂平面AQP,由线面平行的判定定理,知BC1∥平面AQP,故A正确;由AD1∥PQ,知平面APQ截正方体所得截面为四边形APQD1,又因为PQ≠AD1,所以四边形APQD1是等腰梯形,故B正确;若A1D⊥平面AQP,则A1D⊥AP,又因为AA1⊥AP,AA1∩A1D=A1,所以AP⊥平面A1AD,而AB⊥平面A1AD,这与垂直于同一平面的两条直线平行矛盾,故C不正确;异面直线QP与A1C1所成的角为∠A1C1B,而△A1C1B为等边三角形,故D正确. 12.BCD解析因为f(x)=A sin(ωx+φ)的最小正周期为2,所以2=2πω,所以ω=π.又因为f(x)=A sin(ωx+φ)在x=1处取得最大值,所以ω+φ=2kπ+π2(k∈Z).所以φ=2kπ-π2(k∈Z).所以f(x)=A sin(ωx+φ)=-A cos πx.设g(x)=f(x-1)=-A cos [π(x-1)]=A cos πx,因为g(-x)=A cos [π(-x)]=A cos πx=g(x),所以g(x)=f(x-1)是偶函数,故A不正确;设h (x )=f (x+1)=-A cos [π(x+1)]=A cos πx ,因为h (-x )=A cos [π(-x )]=A cos πx=h (x ),所以h (x )=f (x+1)是偶函数,故B 正确; 设m (x )=f (x+2)=-A cos [π(x+2)]=-A cos πx ,因为x ∈[0,1],所以πx ∈[0,π],又因为A>0,所以函数m (x )=f (x+2)在[0,1]上单调递增,故C 正确; 设n (x )=f (x+3)=-A cos [π(x+3)]=A cos πx ,函数n (x )最小正周期为2ππ=2,故D 正确.13.5 解析 (1-x )4的通项为T r+1=C 4r 14-r (-x )r =(-1)r C 4r x r ,令r=2,此时x 3的系数为(-1)2C 42=6,令r=4,此时x 3的系数为-(-1)4C 44=-1,则x 3的系数为6-1=5.14.1322 解析 设竹子自上而下各节的容积分别为a 1,a 2,…,a 9,且为等差数列,根据题意得{a 1+a 2+a 3+a 4=3,a 7+a 8+a 9=4,即{4a 1+6d =3,3a 1+21d =4,解得a 1=1322,故最上面一节的容积为1322升.15.-∞,74解析 ∵f (x )=(x -b )2-lnx x ,x>0,∴f'(x )=2x (x -b )-1-(x -b )2+lnxx 2,∴f (x )+xf'(x )=(x -b )2-lnx x +2x (x -b )-1-(x -b )2+lnxx=2x (x -b )-1x. 存在x ∈[1,2],使得f (x )+xf'(x )>0,即2x (x-b )-1>0,∴b<x-12x 在[1,2]上有解. 设g (x )=x-12x (1≤x ≤2),∴b<g (x )max .g (x )=x-12x 在[1,2]上为增函数, 故g (x )max =g (2)=74,∴b<74. 故实数b 的取值范围是-∞,74. 16.28π 解析 由题意BC ∥B 1C 1,所以∠AC 1B 1或其补角为异面直线AC 1与BC 所成的角.设AA 1=b ,在△AC 1B 1中,AB 1=AC 1,则cos ∠AC 1B 1=12B 1C 1AC 1=12·√32+b =310,所以AA 1=b=4.设外接球的半径为R ,底面外接圆的半径为r ,则R 2=r 2+(b 2)2.因为底面为等边三角形,所以2r=3sin π3,即r=√3,所以R 2=3+4=7,所以球O 的表面积为4π×7=28π.。

2019-2020年高考数学二轮复习专题1 高考客观题常考知识第3讲不等式与线性规划理不等式的解法1.设f(x)=则不等式f(x)<2的解集为( B )(A)(,+∞) (B)(-∞,1)∪[2,)(C)(1,2]∪(,+∞) (D)(1,)解析:原不等式等价于或即或解得2≤x<或x<1.故选B.2.(xx山东卷)若函数f(x)=是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为( C )(A)(-∞,-1) (B)(-1,0)(C)(0,1) (D)(1,+∞)解析:f(-x)==,由f(-x)=-f(x)得=-,即1-a·2x=-2x+a,化简得a·(1+2x)=1+2x,所以a=1.f(x)=.由f(x)>3,得0<x<1,故选C.3.(xx陕西西安市模拟)关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=12,则实数a的值等于.解析:因为关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),所以x1+x2=2a,x1·x2=-3a2,又x2-x1=12,(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1·x2,所以144=4a2+12a2=16a2,解得a=±3,因为a<0,所以a=-3.答案:-3简单的线性规划问题4.(xx北京卷)若x,y满足,则z=x+2y的最大值为( D )(A)0 (B)1 (C) (D)2解析:由x,y的约束条件可画出可行域(如图所示),其中A（,）,B(0,1),易知直线x+2y-z=0经过点B(0,1)时,z取最大值2,故选D.5.(xx浙江温州市第二次适应测试)若实数x,y满足不等式组且z=y-2x的最小值等于-2,则实数m的值等于( A )(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2解析:由z=y-2x,得y=2x+z,作出不等式对应的可行域,平移直线y=2x+z,由平移可知当直线y=2x+z经过点A时,直线y=2x+z的截距最小,此时z取得最小值为-2, 即y-2x=-2,由解得即A(1,0),点A也在直线x+y+m=0上,则m=-1.故选A.6.(xx贵州遵义市第二次联考)若则目标函数z=的取值范围是( A )(A)[2,5] (B)[1,5] (C)[,2] (D)[2,6]解析:z==1+2,可理解为求斜率的最值问题,画出可行域如图阴影部分,可知k=在(1,2)点处最大,最大为2;在(2,1)点处最小,最小为,所以z的取值范围为[2,5].故选A.7.(xx河南开封市模拟)设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是.解析:作出区域D的图象,联系指数函数y=a x的图象,能够看出,当图象经过区域的边界点C(2,9)时,a可以取到最大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点.则a的取值范围是1<a≤3.答案:(1,3]基本不等式的应用8.(xx甘肃省河西五地市高三第一次联考)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A 在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则+的最小值为( B )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1),又点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,所以m+n=1,所以+=(m+n)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当m=n=时取等号.故选B.9.(xx河南郑州市第一次质量预测)某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则xy的最大值为( C )(A)32 (B)32 (C)64 (D)64解析:设该三棱锥的高为h,由三视图知,两式相减并整理得x2+y2=128.又因为xy≤==64(仅当x=y时取等号).10.(xx广东深圳市第一次调研考试)已知向量a=(-1,1),b=(1,)(x>0,y>0),若a⊥b,则x+4y的最小值为.解析:由a⊥b得-1+=0,+=1,(x+4y)·(+)=5++≥2+5=9.（当且仅当=时取等号）答案:9一、选择题1.(xx四川资阳市三模)已知loa<lob,则下列不等式一定成立的是( A )(A)（）a<()b (B)>(C)ln(a-b)>0 (D)3a-b<1解析:因为y=lox是定义域上的减函数,且loa<lob,所以a>b>0.又因为y=()x是定义域R上的减函数,所以()a<()b;又因为y=x b在(0,+∞)上是增函数,所以（）b<（）b;所以（）a<（）b,选项A正确.2.(xx湖南卷)若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为( A )(A)-7 (B)-1 (C)1 (D)2解析:画出可行域如图所示.当直线y=3x-z过点C(-2,1)时,z取最小值,故z min=3×(-2)-1=-7.故选A.3.(xx广西柳州市、北海市、钦州市1月份模拟)设变量x,y满足约束条件则z=2x×的最小值为( B )(A) (B) (C) (D)解析:可得z=2x-2y,设m=x-2y,不等式组表示的平面区域如图阴影部分,平移直线l:y=x,由图象可知直线l经过点A时,其截距最大,m最小,z最小,解方程组得A(2,2),则z最小=.4.(xx江西南昌市第一次模拟)已知实数x,y满足若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2,则实数m的值为( C )(A)4 (B)3 (C)2 (D)-解析:作出可行域如图,根据目标函数的几何意义可转化为直线y=-2x+z的截距,可知在N点z取最小值,在M点z取最大值.因为N(m-1,m),M(4-m,m),所以z M-z N=2(4-m)+m-2(m-1)-m=10-4m=2,所以m=2.5.(xx甘肃省河西五地市高三第一次联考)已知集合{(x,y)|}表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取一点P(x,y),则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为( D )(A) (B) (C) (D)解析:作出不等式组对应的平面区域如图,则对应的区域为△AOB.由解得即B(4,-4).由解得即A（,）.直线2x+y-4=0与x轴的交点坐标为(2,0),则△OAB的面积S=×2×+×2×4=.点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=×π×()2=,由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=.故选D.6.(xx陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( D )甲乙原料限额A(吨) 3 2 12B(吨) 1 2 8解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,每天获得的利润为z万元,则有z=3x+4y,由题意得x,y满足不等式组表示的可行域是以O(0,0),A(4,0),B(2,3),C(0,4)为顶点的四边形及其内部.根据线性规划的有关知识,知当直线3x+4y-z=0过点B(2,3)时,z取最大值18,故该企业每天可获得最大利润为18万元.故选D.7.设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f(),r=[f(a)+f(b)],则下列关系式中正确的是( C )(A)q=r<p (B)q=r>p(C)p=r<q (D)p=r>q解析:由题意得p=ln ,q=ln ,r=(ln a+ln b)=ln =p,因为0<a<b,所以>,所以ln >ln ,所以p=r<q.故选C.8.(xx四川南充市第一次高考适应性考试)若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)满足约束条件且最大值为40,则+的最小值为( B )(A) (B) (C)1 (D)4解析:不等式表示的平面区域为如图阴影部分,当直线z=ax+by(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线2x-y-6=0的交点(8,10)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值40,即8a+10b=40,即4a+5b=20,而+=(+)=+(+)≥+1=.故选B.9.(xx山东卷)已知x,y满足约束条件当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时, a2+b2的最小值为( B )(A)5 (B)4 (C) (D)2解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A(2,1)处取得最小值,故2a+b=2.法一将2a+b=2两边分别平方得4a2+b2+4ab=20,而4ab=2×a×2b≤a2+4b2,当且仅当a=2b, 即a=,b=时取等号.所以20≤4a2+b2+a2+4b2=5(a2+b2),所以a2+b2≥4,即a2+b2的最小值为4.故选B.法二将2a+b=2看作平面直角坐标系aOb中的直线,则a2+b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方,故其最小值为坐标原点到直线2a+b=2距离的平方,即()2=4.故选B.10.(xx重庆卷)若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为( B )(A)-3 (B)1 (C) (D)3解析:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则m>-1.由解得即A(1-m,1+m).由解得即B(-m,+m).因为S△ABC=S△ADC-S△BDC=(2+2m)[(1+m)-(+m)]=(m+1)2=,所以m=1或m=-3(舍去),故选B.11.(xx四川宜宾市二诊)已知集合A={x∈R|x4+mx-2=0},满足a∈A的所有点M(a,)均在直线y=x的同侧,则实数m的取值范围是( A )(A)(-∞,-)∪(,+∞)(B)(-,-1)∪(1,)(C)(-5,-)∪(,6)(D)(-∞,-6)∪(6,+∞)解析:因为集合A={x∈R|x4+mx-2=0},所以方程的根显然x≠0,原方程等价于x3+m=,原方程的实根是曲线y=x3+m与曲线y=的交点的横坐标,而曲线y=x3+m是由曲线y=x3向上或向下平移|m|个单位而得到的,若交点(x i,)(i=1,2)均在直线y=x的同侧,因直线y=x与y=交点为(-,-),(,);所以结合图象可得或解得m>或m<-.故选A.12.已知函数f(x)=x+sin x(x∈R),且f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,则当y≥1时,的取值范围是( A )(A)[,] (B)[0,] (C)[,] (D)[0,]解析:因为f(-x)=-x+sin(-x)=-f(x),且f′(x)=1+cos x≥0,所以函数f(x)为奇函数,且在R上是增函数.所以由f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,得f(y2-2y+3)≤f(-x2+4x-1),所以y2-2y+3≤-x2+4x-1,即(x-2)2+(y-1)2≤1,其表示圆(x-2)2+(y-1)2=1及其内部.表示满足的点P与定点A(-1,0)连线的斜率.结合图形分析可知,直线AC的斜率=最小,切线AB的斜率tan∠BAX=tan 2∠PAX===最大.故选A.二、填空题13.(xx江苏卷)不等式<4的解集为.解析:不等式<4可转化为<22,由指数函数y=2x为增函数知x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集为(-1,2).答案:(-1,2)14.(xx新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是.解析:由题意,得函数f(x)的草图如图所示.因为f(x-1)>0,所以|x-1|<2,所以-2<x-1<2,所以-1<x<3.答案:(-1,3)15.(xx合肥八中段考)若正数a,b满足a+2b=3,且使不等式+-m>0恒成立,则实数m的取值范围是.解析:不等式+-m>0恒成立,即3(+)>3m恒成立.又正数a,b满足a+2b=3,(a+2b)(+)=+++2≥,当且仅当a=b=1时取“=”,所以实数m的取值范围是(-∞,).答案:(-∞,)16.(xx浙江卷)已知函数f(x)=则f(f(-3))= ,f(x)的最小值是.解析:因为-3<1,所以f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg 10=1,所以f(f(-3))=f(1)=1+-3=0.当x≥1时,f(x)=x+-3≥2-3(当且仅当x=时,取“=”),当x<1时,x2+1≥1,所以f(x)=lg(x2+1)≥0,又因为2-3<0,所以f(x)min=2-3.答案:0 2-3。

复数考点三一、选择题在复平2i，则复数z)已知i是虚数单位，复数i·z＝1－(2019·1．湖南衡阳三模)(面内对应的点位于．第二象限BA．第一象限．第四象限DC．第三象限C答案1－2i，i·解析∵复数z＝，－i，∴－i·i·z＝－i(1－2i)z＝－2C. 位于第三象限．故选，－1)则复数z在复平面内对应的点(－2i2＋) ＝5月三模)设复数z 满足i，则|z|＝((2019·2．山东潍坊z5 ．A．1 B5 3 ．D．CB答案i2＋i2＋2i2，故选＝5，∴＋＝解析∵＝i，∴z＝＋1＝1＝1－2i|z|4＝1＋2 iiziB.1z＋) 则下列说法正确的是)3．(2019·安徽芜湖5月模拟设复数z满足＝i，(z1i 的虚部为－．为纯虚数z BzA．2211－D．z－C．z＝i ||＝222D答案11121－＋z＝－，的虚部为－z，||，i－＝－z，z1z解析∵＋＝i∴∴z＝复数222221D.，故选i2，z1＝i|z|满足设复数)全国卷Ⅰ．4(2019·z－，)y，(在复平面内对应的点为x)(则．22221 1)＝＋y1 B．(A．(x＋1)x＋y－＝22221y＋1)＝D．x．x＋(y－1)1 ＝＋(CC答案i. y＝解析由已知条件，可得zx＋－i|＝1，y－∵|zi|＝1，∴|x＋i22C. ＝1.∴x 故选＋(y－1)2i|＋|1) 5．复数z)的共轭复数是＝((i为虚数单位i1＋i3－i＋3 ．A．B225555iD－．C．＋i 2222C答案?i15?－|1＋2i|55555－故＋，∴z＝i.＝由题意，得解析z＝＝＝i－22222i＋11＋iC.选a＋i(a∈zi6．已知为虚数单位，若复数＝R)的实部与虚部互为相反数，1－2i)则a＝(B5 ．－A．－151D．－C．－33D答案a?1＋2i?2a＋5aaa解析z＝＋i＝＋i＝＋i，∵复数z＝＋i(a∈R)552i?1－2i??1＋1－2i?2i1－的实部与虚部互为相反数，2a＋55a∴－＝，解得a＝－.故选D.3557．若复数z，z在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z＝2＋i，i为虚数单112位，则zz＝()21A．－5 B．5i－4．－Di＋4．－C．答案A解析因为z＝2＋i在复平面内的对应点(2,1)关于虚轴(y轴)的对称点为(－12－4＝－5.z＝i故选A.2,1)，因此z＝－2＋i，z2212(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则|za＋i)|＝() 8．若复数z＝(A．1 B．3D．2 ．4CC答案222，在复平面内对应的点在虚轴上，知a0－1z＝(a＋i)＝a＝－1＋2ai由解析C.，故|z|＝2，故选即a＝±1，所以z＝±2i 二、填空题表示．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z9z ________，则复数z．的共轭复数是复数2i－1答案－i2＋ii－2i2＋z解析复＝i，其共轭复数为－i.2i－2i2i1－11－2019i－110．(2019·湖北部分重点中学联考)＝________.i－1答案i201932?＋i＋i－i?1－i1112i解析＝＝＝＝＝i.2?＋ii?1－1－??i1－i1－1i ix＝cosx＋isinx(i11．欧拉公式：e为虚数单位)，由瑞士数学家欧拉发明，它建πi22立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，(e)＝________.答案－1πiππ2??i2x22isin＋cos??＝－)(ex＋cose解析由＝xisin得＝i1.＝22??．a＝－1＋bi，其中a，b12．已知是实数，则复数a－bi在复平面内对应的i －1点位于第________象限．答案二a＝－1＋bi，得a＝(－1＋bi)(1－i)解析由＝(b－1)＋(b＋1)i，∴i1－，＝0b＋1??在复平面内对应的点的坐＋ii＝－2b＝－1，∴复数a－b即a＝－2，，－1a＝b? 2,1)，位于第二象限．标为(－三、解答题，试4i，－2＋，C分别表示0,3＋2i13．如图，平行四边形OABC，顶点O，A 求：Array→→表示的复数；BC(1)AO表示的复数，→表示的复数．(2)对角线CA→→，解＝－OA(1)∵AO→表示的复数为－3－2i，∴AO→→→表示的复数为－3－2i. ，∴BC∵＝AOBC→→→，(2)－OC∵＝OACA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ∴CA51214．已知z＝cosα＋isinα，z＝cosβ－isinβ，且z－z＝＋i，求cos(α＋β)21121313的值．解∵z＝cosα＋isinα，z＝cosβ－isinβ，21512∴z－z＝(cosα－cosβ)＋i(sin α＋sinβ)＝＋i.211313．5?①，α－cosβ＝cos?13?∴12??②β＝.sinα＋sin1322，得2－2cos(α＋β由①)＋②＝1.1∴cos(α＋β)＝.2一、选择题1．(2019·安徽合肥第三次教学质量检测)已知i是虚数单位，复数z满足z＋z·i ＝3＋i，则复数z的共轭复数为()A．1＋2i B．1－2ii－2＋i 2．DC．C答案2i41333＋i＋i?＋i??－i?－zi.2＝＝＝＝z3·i＝＋i可化为＝－∴z，∵z解析z＋2?i－1??i＋1?i＋1i＋1－C.i2的共轭复数为z＝＋，故选，若向量，的坐标分别为Z已知点四川双流中学一模．2(2019·)Z，(1,0)(0,1)21→)对应的点位于，则复数zz(对应复数ZZ21B．第二象限A．第一象限．第四象限D C．第三象限B答案→z因为点解析Z＝Z，所以(0,1)，的坐标分别为Z，(1,0)Z(1,1)，即复数－2112B.对应点位于第二象限，故选在复平面)(2019·．3山东栖霞高考模拟已知复数为虚数单位－＋a(z＝i)(1i)(i))上，则实数x2y内对应的点在直线＝a(的值为1 AB．0 ．－1 D．－1 ．C3D答案．解析因为z＝(a＋i)(1－i)＝a＋1＋(1－a)i，对应的点为(a＋1,1－a)，因为点1在直线y＝2x上，所以1－a＝2(a＋1)，解得a＝－.故选D.3z34－z是其共轭复数，若＝a＋i，＋4．(2019·河南十所名校测试七)设复数z ＝55－zi，则实数a＝()A．4 B．3D．C．2 1C答案34a43a4z3??－－??a＋＋＝＋，则i＋＝ai，∴解析∵z＝a＋iiz＝a－i，又，∴555555??－z2.＝在a＋(1＋i)(i)a为实数为虚数单位，z(2019·5．北京昌平二模)已知复数＝－1)(复平面内对应的点位于第二象限，则复数z的虚部可以是11i ．Bi A．－2211 ．C．－D22D答案，－1<0a??，故选0<a<1i＋(i)(1＝－因为解析z1＋a＋＝a－1)a，所以即，>0a?D.6．设有下面四个命题：1 ∈z R；，则∈满足p：若复数z R1z2R z R z∈，则∈；满足：若复数pz2－，z：若复数pz；＝，则∈zz满足R zz2212311－. z R z：若复数p∈，则∈R4) (其中的真命题为，p，ppA．p．B4131．p．CD ，，ppp4232．B答案对．R)i(a，b∈b，∈R)，z＝a＋b设z＝a＋bi(a，b∈R)，z＝a＋bi(a解析2121122112iba－11为真命p R，所以bi＝a∈，则b＝0?z＝a＋于p，若∈R，即＝∈R2211zbb＋ia＋a2222时，0b≠a＝0，∈R，则ab＝，即(a＋bi)0.＝aab＋2i－b当题．对于p，若z∈R2＝bi)bi)(a＋zz∈R，即(a＋R z＝a＋bi＝bi，所以p为假命题．对于p，若∈/21132221－i－bi＝＝az，即a＋b＝＋ab)i∈R，则ab＋ab0.而za(a－bb)＋(ab221112112211221221为假命题．对，所以pb＝－b/ a＝a，＝－，bb.因为ab＋ab＝0??a＝a3112222111212－为真命题，故p∈R，所以a－bi＝bi∈R，则b＝0?az＝于p，若z∈R，即a＋44选B. ．下面四个命题中，7 ；a，bb∈R)的实部、虚部分别是①复数z＝a＋bi(a，对应的点构成一条直线；，则z＝|z －2i|z②复数满足|z＋1|2222 z|z|a|；＝a＝，可类比得到复数z的性质a③由向量的性质|202021. i＋i＝＋…＋④i为虚数单位，则1＋i) (正确命题的个数是B．0 1 A．3．2 ．DCD答案a)的实部为a，虚部为b，故正确；②设z＝解析①复数z＝a＋bi(a，b∈R，i(aa＋bb2i|计算得2a＋4－3＝0，故正确；③设z＝z)＋bi(a，b∈R，由|z＋1|＝|－2020222＝＋不成立，故错误；④1i＋i1＋…＋z R b∈)，当b≠0时，||i＝z，故正确．zP与M．已知复平面内，定点与复数m＝1＋2i(i为虚数单位)对应，动点8)m|＝2的点P的轨迹方程为(y＝x＋i对应，那么满足|z－22224 ＝2)＋(＋(y－2)y ＝2 －1)x．B(－xA．(－1)22224 ＋C．(x1)(＋y＋2)＝2 ＝2)＋y(＋1)＋x(．DB答案，|．－，－(mz由题意，解析知在复平面内，－对应的点为x1y2)则由z＝2|－m2222B.，故选4＝2)－y(＋1)－x(，即2＝?2－y?＋?1－x?得．二、填空题－－其中i)4(z(2019·广东韶关4月模拟)已知＝z是z的共轭复数，且满足(1＋9．________.＝|z|)i是虚数单位，则22答案?－i4?14－－－222＝2i，∴|z|＝|2z|＋解析由(1＋i)zz＝4，得，＝＝＝2－?1－i1＋??i?1＋i2.2＝的虚Im(z)表示复数z．(2019·天津北辰模拟)用Re(z)表示复数z的实部，用10－－)z)＋，其中Im(z是复数z的共轭复数，则Re(z部，若已知复数z满足z(1－i)＝7＋3i________.＝3－答案10i＋?43i＋?7＋3i??1＋i7－，则5i2－＝＝2＋5i，∴z＝解析由题意得，z＝＝2?ii?1－i??11－＋3.5＝－＋Im(z)＝2－Re(z)2＝bc＋bx＋c＝0－11．若2i是关于x的实系数方程x的一个复数根，则________.20－答案2－3＋2b＋c－i)＋b(2－i)＋c＝0，即2解析把复数根－i代入方程中，得(2，b＝－43＋2b＋c＝0，????20. bc(4＋b)i＝0，所以解得＝－故，5＋4b＝0，c＝??|z|z|＋|21zz@z＝(等式右边为普通运算)．若复数12．定义复数的一种新运算212－．z的最小值为＋y满足xy＝________22，则z@，i＋＝xyi，为虚数单位，且实数x2答案－|＋|z|z||2|z－22. ＋x＝yz＝解析@zz＝＝||22－2，4＋?2－x? z，所以＝＋由于xy22z@＝2－2. z2＝x故时，z@取最小值三、解答题．－10|. ＋3|13．设虚数z满足|2z＋15|z＝的值；z|(1)计算|az 若不存在，说明理由．(2)是否存在实数a，使＋∈R？若存在，求出a的值；za－R且b≠0)，则，z＝a－bia解(1)设z＝a＋bi(，b∈－∵|2z＋15|10|＝3|，z＋i|＋2bi|，＝3|(a ＋10)－b∴|(2a＋15)2222＋＝b3?a＋10?，∴?2a＋15?2＋?b?22223. b5＝75，∴|z|＝a∴a＝＋b＋az. a，使＋∈R(2)假设存在实数za d≠0)，，c＋di(cd∈R且设z＝?c－dic＋dia?dcaza ＋＋i＋则有＝＋＝22azaaadc＋d＋icdadacc??－??R＝＋＋，i∈2222ad＋cadc＋??add ，－∴＝022adc ＋22±c，＋a∵d≠0，∴＝d2253.＝±53由(1)知c ，∴＋da＝2＋mx＋n＝0，mz＋1为关于x的方程x，n14．(2019·辽宁省鞍山一中一模)设∈R的虚根，i为虚数单位．(1)当z＝－1＋i时，求m，n的值；(2)若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2＋4i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．解(1)因为z＝－1＋i，所以z＋1＝i，，＝0m?2?＝0，易得i则＋mi＋n1.n＝?(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，2，0＝1＋i)b＋1＋a(m＋i)b＋1＋a(则．22①0，1a＋1?＋＝＋?a＋1?－bm???于是②，b?＋mb＝02?a＋1?22，其＝＋b1＋2(a1)，代入①得，(a＋1)m因为b不恒为零，所以由②得＝－4i＋P是圆上任意一点．又复数2－几何意义是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，即22＋1＝6，4|PQ|的最小值为4.?＋?PQ，所以对应的点为Q||的最大值为21＋所以|PQ|的取值范围是[4,6]．。

2020届湖南长郡中学高三第二次调研考试数学试卷（理）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{1,1},A =-2{|20,}B x x x x Z =+-<∈，则U A B =A. {1}-B. {1,1}-C. {1,0,1}-D. {1,0,1,2}-2．复数21ii-在复平面内对应的点为 A ．(1,1)-- B ．(1,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1)3．已知角α的终边经过点(P -，则sin2α的值为A.B. C. 12-D. 4．下列函数中，既是奇函数，又在区间()0,+∞上单调递增的函数是A ．()x xf x e e -=- B ．()tan f x x = C.1()+f x x x= D ．()f x x =5．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计)共织390尺．问：每天多织多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，估算出每天多织的布约有 A ．0.55尺 B ．0.53尺 C ．0.52尺 D ．0.5尺 6．的展开式中常数项为 A.B.C.D.7．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，若,m n αβ⊥⊥，则“m n ⊥”是“αβ⊥”的A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．如图，图中的大、小三角形分别为全等的等腰直角三角形，向图中任意投掷一飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为 A ．14B ．13C ．25D ．129．执行如图所示的程序框图，输出的结果为A ．122019-B ．222019-C ．122020-D ．222020- 10．将函数sin(2)3y x π=+的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为()f x ，则函数()f x 的单调递增区间为 A.7[,]()1212k k k Z ππππ++∈ B.[,]()63k k k Z ππππ-+∈ C.5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ D.[,]()36k k k Z ππππ-+∈11．已知抛物线28y x =的准线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若OAB △的面积等于83，则双曲线的离心率为A ．3B ．22C ．13D ．412．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧+≤-=0,2120,1)(2>x ax x x e x f x ，若函数)(x f 与直线x y =有2个交点，则实数a 的取值范围为A.( - ∞,l]B.[2 ,+ ∞)C.(-∞,2)D.(0, +∞)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若满足约束条件102100x y x y x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2xz y =-+的最小值为_______________．14．已知向量(2,2),1a b =-=r r ，且,a b r r 的夹角为4π，则2a b -=r r _______________．15．知()f x 为奇函数，当0x ≤时，()23f x x x =-，则曲线()y f x =在点()1,4-处的切线斜率为____________．16． 数列{}n a 且21,2πsin ,4n n n na n n ⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2018S =______．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，D 是BC 的边上的点，35cos ,cos 55BAD ADC ∠=∠=-. （1）求sin B 的值；（2）若22BD DC ==，求AC 的长.18．（本小题满分12分）某市第三中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示；（1）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图补充完整； （2）根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（3）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，设选出的2个成绩中含甲的成绩的个数为X ，求X 的分布列及数学期望.19．（本小题满分12分）已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2,1AB AF ==，点M 在线段EF 上. （1）若M 为EF 的中点，求证：AM P 平面BDE ； （2）求二面角A BF D --的余弦值. 20．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x yE a b a b +=>>经过点13,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且右焦点)23,0F ．（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与椭圆E 交于A ，B 两点，当AB 最大时，求直线l 的方程． 21．（本小题满分12分）设函数)0()(≠=k xe x f kx .(1) 求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； (2) 讨论函数)(x f 的单调性；(3) 设42)(2+-=bx x x g ,当1=k 时,若对任意的R x ∈1，存在[]2,12∈x ，使得)(1x f ≥)(2x g ，求实数b 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为)为参数ϕϕϕ,0(sin 1cos 3>⎩⎨⎧+=+=r r y r x ，以坐标原点O 为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1)3sin(=-πθρ，若直线l 与曲线C 相切．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)在曲线C 上取两点N M ,与原点O 构成MON ∆，且满足6π=∠MON ，求MON∆面积的最大值．ABCDEFM23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0,0,1a b a b >>+=.设1aa b+的最小值为m . （1）求m 的值；（2）解不等式13x x m +--<.理科数学答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 1.C 2.B 3.B 4.A 5.A 6.D 7.C 8.B 9.D 10.B 11.C 12.C 13.1- 14.2 15.5- 16.30282019三.解答题17.（本小题满分12分）解：(1)∵()cos cos cos ADB ADC ADC π∠=-∠=-∠=,()0,ADB π∠∈，∴sin ADB ∠=， ……………………2' ∵()3cos ,0,5BAD BAD π∠=∠∈，∴4sin 5BAD ∠=. ……………………4' ∴()()sin sin sin B BAD ADB BAD ADB π=-∠+∠=∠+∠⎡⎤⎣⎦，43sin cos cos sin 55555BAD ADB BAD ADB =∠∠+∠∠=⨯+⨯=.………………………6'(2)在ABD ∆中,由正弦定理得：sin sin AD BD B BAD =∠245=，∴AD =……………9'在ADC ∆中，由余弦定理得：2222cos 512185AC AD DC AD DC ADC =+-⋅⋅∠=++⨯=，∴AC =………21'18.（本小题满分12分）（1）甲的中位数是119，乙的中位数是128；图如下 ……………………4分 （2）乙的平均数大于甲的，乙的成绩比甲的更稳定； ……………………6分（3）甲乙不低于140分的成绩共5个， 则X 的取值为0,1,2103)0(2523===C C X P ； ……7分106)1(252312===C C C X P ；……………………8分101)2(2522===C C X P ……………………9分所以X 的分布列为……………………11分P12X103 106 1018.0108101210611030)(==⨯+⨯+⨯=x E ……………………12分 19. （本小题满分12分） （1）设=AC BD O I ，连结OE ， 因为 正方形ABCD ，所以O 为AC 中点 又 矩形ACEF ,M 为EF 的中点所以 //,EM OA 且EM OA = ……………………………..2分 所以OAME 为平行四边形所以 //AM OE ……………………………..4分 又 AM ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE所以 AM P 平面BDE ……………………………5分 （2）以C 为原点，分别以,,CD CB CE 为,,x y z 轴建立坐标系C -xyz 则(2,2,0),(0,2,0),(2,0,0),(2,2,1)A B D F(2,2,0),(0,2,1)DB DF =-=u u u r u u u r设平面BDF 的法向量为(,,)n x y z =r，由00DB n DF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r得22020x y y z -+=⎧⎨+=⎩ 则(1,1,2)n =-r……………9分 易知 平面ABF 的法向量(0,1,0)m =u r……………10分cos ,n m n m n m⋅<>===⋅r u rr u r r u r 由图可知 二面角A BF D --为锐角 所以 二面角A BF D --……………12分20.（本小题满分12分）解:（1）设椭圆E的左焦点()1F ，则12242a PF PF a =+=⇒=，又2221c b a c =⇒=-=，所以椭圆E 的方程为2214x y +=．……………………4分（2）由()2222144044y kx k x x y ⎧⎪⎨⎪=⇒+++=+=⎩，设()11,A x y ，()22,B x y ，由()2221128161404Δk k k =-+>⇒>，且1214x x k +=+，122414x x k=+，……………………8分AB ==设2114t k =+，则10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，AB =，当112t =，即2k =±时，AB :2l y x =±12分21.（本小题满分12分）解：(1) 解:kx e kx x f )1()('+=, 因为0)0(=f 且1)0('=f ,所以曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为x y = ……………………4分(2) 解:函数)(x f 的定义域为R ,令0)1()('>+=kx e kx x f ，由0>kx e ，知01>+kx 讨论:①当0>k 时，k x 1->，此时)(x f 在)1,(k --∞上单调递减，在),1(+∞-k上单调递增. ②当0<k 时，kx 1-<，此时)(x f 在)1,(k --∞上单调递增，在),1(+∞-k 上单调递减 ……………………8分(3) 解:由(Ⅱ)知，当1=k 时，)(x f 在)1,(--∞上单调递减，在),1(+∞-上单调递增. 则对任意的R x ∈1，有)(1x f ≥e f 1)1(-=-，即ex f 1)(min 1-=.又已知存在[]2,12∈x ,使得)(1x f ≥)(2x g ,所以e 1-≥[]2,1),(22∈x x g ，即存在[]2,1∈x ，使得42)(2+-=bx x x g ≤e1-， 即b 2≥x e x 14-++.因为[]2,1∈x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∈++-e e x e x 15,21441， 所以b 2≥e 214+，即b ≥e412+.所以实数b 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+,412e . ……………………12分 22.（本小题满分10分）解：(1)由题意可知直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋2,曲线C 是圆心为()3，1，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：r ＝||3·3－1＋22＝2；可知曲线C 的方程为()x －32＋()y －12＝4,所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－2ρsin θ＝0，即ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3.(5分)(2)由(Ⅰ)不妨设M(ρ1，θ)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π6，(ρ1>0，ρ2>0)，S △MON ＝12sin π6，＝14ρ1·ρ2＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝2sin θcos θ＋23cos 2θ＝sin 2θ＋3cos 2θ＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＋3，当θ＝π12时， S △MON ＝2＋3，所以△MON 面积的最大值为2＋ 3.(10分)23 （本小题满分10分） 解：（Ⅰ）11a a b a b aa b a b a b++=+=++. ∵,a b R +∈，∴,b aR a b+∈，∴2b a a b +≥=,当且仅当1b aa b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即12a b ==时取等号，∴b a a b +最小值为2，∴3m =.…………5'(Ⅱ)133x x +--<.当1x ≤-时，原不等式化为()()133x x -++-<，解得1x ≤-； 当13x -<≤时，原不等式化为133x x ++-<，解得512x -<<； 当3x >时，原不等式化为1(3)3x x +--<，无解.综上，原不等式的解集为5|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭. ………………10'。