【数学】河南省洛阳市2017-2018学年高三第三次统考数学(文)试卷 扫描版含答案

洛阳市2017-2018学年高中三年级期中考试数学试卷（文） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}|15U x N x =∈-<<，集合{}13A =，，则集合U C A 的子集的个数是（ ） A ．16 B ．8 C ．7 D ．42. 已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()1,1和()2,1-，则21z z =（ ） A ．1322i + B ．1322i -+ C ．1322i - D ．1322i -- 3.设m R ∈，是 “2m =”是“1,,4m 为等比数列”的（ ） A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4. 已知函数()[][]2,0,1,0,1x f x x x ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩，若()()2f f x =，则x 取值的集合为（ ）A ．∅B ． {}|01x x ≤≤ C. {}2 D ．{}|2x x x =≤≤或01 5.设,a b 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（ ） A ．若,,a b a b αα⊥⊥⊄，则//b α B ．若//,a ααβ⊥，则αβ⊥ C. 若a β⊥，αβ⊥，则//a α D ．若,,a b a b αβ⊥⊥⊥，则a β⊥6. 设等差数列{}n a 满足3835a a =，且10a >，n S 为其前n 项和，则数列{}n S 的最大项为（ ）A ．15SB ．16S C. 29S D ．30S7. 等比数列{}n a 中，1102,4a a ==，函数()()()()1210f x x x a x a x a =---L ，则()0f '=（ ）A ．62 B ．92 C. 122 D ．1528. 已知函数()sin 01y a bx b b =+>≠且的图象如图所示，那么函数()log b y x a =+的图象可能是（ ）A ．B ．C. D ．9.某几何体的三视图如图所示，图中小方格的长度为1，则该几何体的体积为（ ）A ．60B ．48 C. 24 D ．2010.已知函数()()sin cos sin f x x x x =+，则下列说法不正确的为（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．()f x 在37,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减 C. ()f x 的图象关于直线8x π=-对称D ．将()f x 的图象向右平移8π，再向下平移12个单位长度后会得到一个奇函数的图象11.在平面直角坐标系xoy 中，已知点()()()2,3,3,2,1,1A B C ，点(),P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，设(),,OP mAB nCA m n R =-∈uu u r uu u r uu r，则2m n +的最大值为 （ ）A ．-1B ．1 C. 2 D ．312. 已知定义在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()f x ，满足()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当[]1,x π∈时()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ． 1,ln e ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ． {}ln ,ln 0ππππ⎛⎤⎥⎝⎦U C. []0,ln ππ D ．{}1,ln 0e ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦U第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.已知()()2,2,1,0a b =-=r r ，若向量()1,2c =r 与a b λ+r r共线，则λ= ．14.若函数()212xxk f x k -=+g 在定义域上为奇函数，则实数k = ． 15.已知()11sin 22f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，数列{}n a 满足()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，则2017a = ． 16.已知菱形ABCD 边长为2，060A =，将ABD ∆沿对角线BD 翻折形成四面体ABCD ，当四面体ABCD 的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设函数()21cos sin 22f x x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭． （1）求()f x 的单调递减区间； （2）当,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最值． 18.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前三项和为6，且248,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使1415n S <的n 的最大值．19.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()()2,,cos ,cos m c b a n A C =-=u r r，且m n ⊥u r r ．（1）求角A 的大小；（2）若3a b c =+=，求ABC ∆的面积． 20. 已知函数()()32,,f x x ax bx c a b c R =+++∈．（1）若函数()f x 在1x =-和2x =处取得极值，求,a b 的值；（2）在（1）的条件下，当[]2,3x ∈-时，()2f x c >恒成立，求c 的取值范围．21. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是直角梯形，090ADC ∠=，ADP ∆是边长为2的等边三角形，Q 是AD 的中点，M 是棱PC的中点，1,BC CD PB ==（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求三棱锥B PQM -的体积．22. 已知函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()xf x ae =，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为20ebx y a -+-=． （1）求,a b 的值；；（2）若存在实数m ，对任意的[]()1,1x k k ∈>，都有()2f x m ex +≤，求整数k 的最小值．试卷答案一、选择题1-5:BCADC 6-10: ADDCD 11、12：BD 二、填空题13. 3 14. 1± 15. 1009 16. 203π三、解答题17.解：（1）()211cos 21cos sin cos 2222xf x x x x x x π+⎛⎫=+-=-⎪⎝⎭g gcos 22cos 223x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭． 由222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，得222233k x k ππππ-≤≤+， ∴63k x k ππππ-≤≤+，所以()f x 的单调递减区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． （2）∵34x ππ-≤≤， ∴52336x πππ-≤+≤， 当()20,cos 21,33x x f x ππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭取到最大值1，此时6x π=-；当()52,cos 23632x x f x πππ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭取得最小值4x π=． 18.（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意有12324286a a a a a a ++=⎧⎨=⎩， 即1212a d d a d +=⎧⎨-=⎩， 由0d ≠，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以n a n =． （2）由（1）可得()11111n b n n n n ==-++， 所以()111111122311n S n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭L ． 解1141115n -<+，得14n <， 所以n 的最大值为13．19.（1）由m n ⊥u r r，得0m n =u r r g ，即()2cos cos 0c b A a C -+=，由正弦定理，得()sin 2sin cos sin cos 0C B A A C -+=， 所以2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+， ()2sin cos sin B A A C =+g ，2sin cos sin B A B =，因为0B π<<，所以sin 0B ≠， 所以1cos 2A =．因为0A π<<，所以3A π=．（2）在ABC ∆中，由余弦定理，得()22222cos 33a b c bc b c bc π=+-=+-，又3a b c =+=，所以393bc =-，解得2bc =， 所以ABC ∆的面积11sin 2232S bc π==⨯=． 20.（1）由题可得 ，()232f x x ax b '=++， ∵函数()f x 在1x =-和2x =处取得极值， ∴1,2-是方程2320x ax b -+=的两根，∴2123123a b ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩， ∴326a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩；（2）由（1）知()32362f x x x x c =--+，()2336f x x x '=--， 当x 变化时，()(),f x f x '随x 的变化如下表：∴当[]2,3x ∈-时，()f x 的最小值为10c -， 要使()2f x c >恒成立，只要102c c ->即可， ∴10c <-，∴c 的取值范围为(),10-∞-． 21.（1）证明：∵底面四边形ABCD 是直角梯形，Q 是AD 的中点， ∴1,//BC QD AD BC ==，∴四边形BCDQ 为平行四边形， ∴//CD BQ ， ∵090ADC ∠=， ∴QB AD ⊥，又22,PA PD AD Q ===，是AD 的中点，故PQ ，又QB CD PB ==∴222PB PQ QB =+，由勾股定理可知PQ QB ⊥， 又PQ AD Q =I ， ∴BQ ⊥平面PAD ， 又BQ ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）解：连接CQ ， ∵2PA PD ==，Q 是AD 的中点， ∴PQ AD ⊥， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD I 平面ABCD AD =， ∴PQ ⊥平面ABCD ，又M 是棱PC 的中点， 故1122B PQM P BQC M BQC P DQC P BQC P BQC V V V V V V ------=-=-=，而1122BQC PQ S ==⨯=，∴111332P BQC BQC V S PQ -∆===g ，∴111224B PQM V -=⨯=． 22.（1）0x >时，()()(),1,1x f x ae f ae f ae ''===，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()()111y f f x '-=-， 即y aex =．又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为20ebx y a ++-=， 所以2a b ==．（2）因为()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()x f x ae =， 那么()2xf x e =，由()2f x m ex +≤得22x meex +≤，两边取以e 为底的对数得ln 1x m x +≤+，所以ln 1ln 1x x m x x ---≤≤-++在[]1,k 上恒成立， 设()ln 1g x x x =-++， 则()1110x g x x x-'=-+=≤（因为[]1,x k ∈） 所以()()min ln 1g x g k k k ==-++，设()ln 1h x x x =---，易知()h x 在[]1,k 上单调递减， 所以()()max 12h x h ==-， 故2ln 1m k k -≤≤-++，若实数m 存在，必有ln 3k k -+≥-，又1k >， 所以2k =满足要求，故所求的最小正整数k 为2．。

河南省洛阳市2017-2018学年高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数z满足（1+i）z=3+i，则复数z在复平面内所对应的点的坐标是( )A．（1，﹣2）B．（﹣2，1）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）2．设集合A={x|x2﹣6x+8＜0}，B={x|2＜2x＜8}，则A∪B=( )A．{x|2＜x＜3} B．{x|1＜x＜3} C．{x|1＜x＜4} D．{x|3＜x＜4}3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是( )A．f（x）=﹣x3B．f（x）=C．f（x）=﹣tanx D．f（x）=4．“等式sin（α+γ）=sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的( )A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件5．设F1、F2分别是椭圆+=1的左、焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|=3，则P点到椭圆左焦点的距离为( )A．2 B．3 C．4 D．56．执行如图所示的程序框，输出的T=( )A．17 B．29 C．44 D．527．为了得到函数y=cos2x的图象，可以把函数y=sin（2x+）的图象上所有的点( )A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位8．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列正确的是( ) A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥a，则n∥αD．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β9．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且=，点O在线段CD上（点O与点C，D不重合），若=x+y，则x的取值范围是( )A．（﹣1，0）B．（0，）C．（0，1）D．（﹣，0）10．已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若a m，a n满足=8a1，则+的最小值为( )A．2 B．4 C．6 D．811．一个几何体的侧视图是边长为2的正三角形，正视图与俯视图的尺寸如图所示，则此几何体的体积为( )A．12+2+3πB．12+3πC．π+2D．+212．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=10，设椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1+e2的取值范围是( )A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．则f（f（2））的值为__________．14．已知变量x，y满足条件，若z=y﹣x的最小值为﹣3，则z=y﹣x的最大值为__________．15．在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为m，n，则使得函数f（x）=x3+mx2﹣（n2﹣π）x+1有极值点的概率为__________．16．对于函数f（x）=te x﹣x，若存在实数a，b（a＜b），使得f（x）≤0的解集为[a，b]，则实数t的取值范围是__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，点（a，b）在直线x（sinA﹣sinB）+ysinB=csinC上．（1）求C的大小；（2）若c=7，求△ABC的周长的取值范围．18．某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（Ⅰ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小：（Ⅱ）从乙比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到恰好有1场得分不足10分的概率．19．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点，如图2，将△ABE沿AE折起，使面BAE⊥面AECD，连接BC，BD，P是棱BC上的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AB=2，求三棱锥B﹣AEP的体积．20．如图，已知椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的离心率e=，短轴右端点为A，M（1，0）为线段OA的中点．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆Γ相交于两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM=∠QNM，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=lnx，h（x）=f（x）+mf′（x）．（1）求函数h（x）单调区间；（2）当m=e（e为自然对数的底数）时，若h（n）﹣h（x）＜对∀x＞0恒成立，求实数n 的取值范围．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AD是△ABC的对角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA 交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC．（1）求证：FB=FC；（2）若FA=2，AD=6，求FB的长．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若点P是曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值，并求出P点的坐标．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x+l|+|x﹣2|，g（x）=|x+1|﹣|x﹣a|+a（a∈R）．（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．河南省洛阳市2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数z满足（1+i）z=3+i，则复数z在复平面内所对应的点的坐标是( )A．（1，﹣2）B．（﹣2，1）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：由（1+i）z=3+i，得，∴复数z在复平面内所对应的点的坐标是（2，﹣1）．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．设集合A={x|x2﹣6x+8＜0}，B={x|2＜2x＜8}，则A∪B=( )A．{x|2＜x＜3} B．{x|1＜x＜3} C．{x|1＜x＜4} D．{x|3＜x＜4}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：把集合A，B分别解出来，根据并集的概念求解即可．解答：解：（Ⅰ）∵A={x|x2﹣6x+8＜0}={x|2＜x＜4}，B={x|2＜2x＜8}={x|1＜x＜3}，∴A∪B={x|1＜x＜4}，故选：C．点评：本题考查一元二次不等式的解法，集合间运算，属于基础题．3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是( )A．f（x）=﹣x3B．f（x）=C．f（x）=﹣tanx D．f（x）=考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性的定义，单调性的定义判断：①f（x）=﹣x3是奇函数又是减函数；②f（x）=，定义域（﹣∞，0]不是奇函数；③f（x）=﹣tanx在定义域上不是减函数；④f（x）=在定义域上不是减函数；即可判断f（x）=﹣x3是奇函数又是减函数，从而可得答案．解答：解：①∵f（x）=﹣x3，定义域为（﹣∞，+∞），∴f（﹣x）=﹣f（x），x1＜x2，则﹣x13，∴f（x）=﹣x3是奇函数又是减函数，②∵f（x）=，定义域（﹣∞，0]∴f（x）=不是奇函数，③f（x）=﹣tanx在定义域上不是减函数，④f（x）=在定义域上不是减函数，故选；A点评：本题考查了常见函数的单调性，奇偶性，注意定义域，单调区间的定义，属于中档题．4．“等式sin（α+γ）=sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的( )A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：由正弦函数的图象及周期性：当sinα=sinβ时，α=β+2kπ或α+β=π+2kπ，k∈Z，而不是α=β．解答：解：若等式sin（α+γ）=sin2β成立，则α+γ=kπ+（﹣1）k•2β，此时α、β、γ不一定成等差数列，若α、β、γ成等差数列，则2β=α+γ，等式sin（α+γ）=sin2β成立，所以“等式sin（α+γ）=sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的．必要而不充分条件．故选A．点评：本题考查充要条件的判断和三角函数的有关知识，属基本题．5．设F1、F2分别是椭圆+=1的左、焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|=3，则P点到椭圆左焦点的距离为( )A．2 B．3 C．4 D．5考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意知，OM是三角形PF1F2的中位线，由|OM|=3，可得|PF2|=6，再由椭圆的定义求出|PF1|的值．解答：解：如图，则OM是三角形PF1F2的中位线，∵|OM|=3，∴|PF2|=6，又|PF1|+|PF2|=2a=10，∴|PF1|=4，故选：C．点评：本题考查椭圆的定义，以及椭圆的简单性质的应用，判断OM是三角形PF1F2的中位线是解题的关键，是中档题．6．执行如图所示的程序框，输出的T=( )A．17 B．29 C．44 D．52考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n，T的值，当S=12，T=29时满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=3，n=1，T=2不满足条件T＞2S，S=6，n=2，T=8不满足条件T＞2S，S=9，n=3，T=17不满足条件T＞2S，S=12，n=4，T=29满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的S，n，T的值是解题的关键，属于基础题．7．为了得到函数y=cos2x的图象，可以把函数y=sin（2x+）的图象上所有的点( )A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解答：解：把函数y=sin（2x+）的图象上所有的点向左平移个单位，可得函数y=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x的图象，故选：C．点评：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．8．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列正确的是( ) A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥a，则n∥α D．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：用具体事物比如教室作为长方体，再根据面面平行的判定定理及线面平行的性质定理判断．解答：解：A不正确，比如教室的一角三个面相互垂直；B不正确，由面面平行的判定定理知m与n必须是相交直线；C不正确，由线面平行的性质定理知可能n⊂α；D正确，由m∥n，m⊥a得n⊥α，因n⊥β，得α∥β故选D．点评：本题考查了线面平行的性质定理和面面平行的判定定理，利用具体的事物可培养立体感．9．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且=，点O在线段CD上（点O与点C，D不重合），若=x+y，则x的取值范围是( )A．（﹣1，0）B．（0，）C．（0，1）D．（﹣，0）考点：向量数乘的运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：由已知O，B，C三点共线，所以得到x+y=1，又由=，点O在线段CD上（点O与点C，D不重合），利用共面向量基本定理即可得出解答：解：由已知O，B，C三点共线，所以得到x+y=1，所以=x+y=x+（1﹣x）=x（）+=x+，点D在线段BC的延长线上，且=，点O在线段CD上（点O与点C，D不重合），所以x的取值范围为﹣1＜x＜0；故选：A．点评：本题考查了向量的三角形法则、共线向量定理、共面向量基本定理，考查了推理能力，属于基础题．10．已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若a m，a n满足=8a1，则+的最小值为( )A．2 B．4 C．6 D．8考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由等比数列的性质易得m+n=8，可得+=（+）（m+n）=（10++），由基本不等式求最值可得．解答：解：∵正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，∴q2a5=qa5+2a5，即q2﹣q﹣2=0，解得公比q=2，或q=﹣1（舍去）又∵a m，a n满足=8a1，∴a m a n=64a12，∴q m+n﹣2a12=64a12，∴q m+n﹣2=64，∴m+n﹣2=6，即m+n=8，∴+=（+）（m+n）=（10++）≥（10+2）=2当且仅当=即m=2且n=6时取等号，故选：A．点评：本题考查基本不等式求最值，涉及等比数列的通项公式，属基础题．11．一个几何体的侧视图是边长为2的正三角形，正视图与俯视图的尺寸如图所示，则此几何体的体积为( )A．12+2+3πB．12+3πC．π+2D．+2考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图得到圆几何体，然后由圆锥和三棱锥体积公式得答案．解答：解：由几何体的三视图可得原几何体如图，则几何体为两个半圆锥及中间一个平放的三棱柱的组合体，∵左视图EAD为边长为2的正三角形，∴圆锥的高EP=，∴两个半圆锥的体积和为；中间三棱柱的体积为．∴几何体的体积为．故选：D．点评：本题考查空间几何体的三视图，关键是由三视图得到原几何体，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．12．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=10，设椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1+e2的取值范围是( )A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．解答：解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，即有a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞10，可得c＞，即有＜c＜5．由离心率公式可得e1+e2=+=+==，∵f（x）=在（，5）上是减函数，∴0=＜＜=，∴=＜＜+∞，故选：B．点评：本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．则f（f（2））的值为2．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．专题：计算题．分析：本题是一个分段函数，且是一个复合函数求值型的，故求解本题应先求内层的f（2），再以之作为外层的函数值求复合函数的函数值，求解过程中应注意自变量的范围选择相应的解析式求值．解答：解：由题意，自变量为2，故内层函数f（2）=log3（22﹣1）=1＜2，故有f（1）=2×e1﹣1=2，即f（f（2））=f（1）=2×e1﹣1=2，故答案为 2点评：本题的考点分段函数，考查复合函数求值，由于对应法则是分段型的，故求解时应根据自变量的范围选择合适的解析式，此是分段函数求值的特点．14．已知变量x，y满足条件，若z=y﹣x的最小值为﹣3，则z=y﹣x的最大值为．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，先求出m的值，然后通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=y﹣x得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点C时，直线y=x+z的截距最小，此时z最小，为﹣3，即z=y﹣x=﹣3，由，解得，即C（2，﹣1），C也在直线x+y=m上，∴m=2﹣1=1，即直线方程为x+y=1，当直线y=x+z经过点B时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（，），此时z=y﹣x=﹣=，故答案为：．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．15．在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为m，n，则使得函数f（x）=x3+mx2﹣（n2﹣π）x+1有极值点的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据f（x）有极值，得到f'（x）=0有两个不同的根，求出a、b的关系式，利用几何概型的概率公式即可的得到结论解答：解：在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为m，n，则使得函数f（x）=x3+mx2﹣（n2﹣π）x+1有极值点则f′（x）=x2+2mx﹣（n2﹣π）=0有两个不同的根，即判别式△=4m2+4（n2﹣π）＞0，即m2+n2＞π对应区域的面积为4π2﹣π2．如图∴由几何概型的概率公式可得对应的概率P=．故答案为：．点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，利用函数取得极值的条件求出对应a的取值范围是解决本题的关键16．对于函数f（x）=te x﹣x，若存在实数a，b（a＜b），使得f（x）≤0的解集为[a，b]，则实数t的取值范围是（0，）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：转化te x≤x，为t的不等式，求出表达式的最大值，以及单调区间，即可得到t的取值范围．解答：解：te x≤x（e是自然对数的底数），转化为t≤，令y=，则y′=，令y′=0，可得x=1，当x＞1时，y′＜0，函数y递减；当x＜1时，y′＞0，函数y递增．则当x=1时函数y取得最大值，由于存在实数a、b，使得f（x）≤0的解集为[a，b]，则由右边函数y=的图象可得t的取值范围为（0，）．故答案为（0，）．点评：本题考查函数的导数的最值的应用，考查转化思想与计算能力．属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，点（a，b）在直线x（sinA﹣sinB）+ysinB=csinC上．（1）求C的大小；（2）若c=7，求△ABC的周长的取值范围．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）把点（a，b）代入直线方程，利用正弦定理进行化简后求出cosC的值，由内角的范围即可求出C；（2）利用余弦定理和基本不等式化简，求出a+b的范围，再由三边的关系求出△ABC周长的取值范围．解答：解：（1）由题意得，点（a，b）在直线x（sinA﹣sinB）+ysinB=csinC上，∴a（sinA﹣sinB）+bsinB=csinC，根据正弦定理得，a（a﹣b）+b2=c2，整理得，ab=a2+b2﹣c2，则cosC=，由0＜C＜π得，C=；（2）由（1）和余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab则49=（a+b）2﹣3ab≥，∴（a+b）2≤4×49，则a+b≤14（当且仅当a=b时等号成立），∵a+b＞7，c=7，∴△ABC的周长的取值范围是（14，21]．点评：本题考查了正弦、余弦定理，三角形三边关系，以及基本不等式的综合应用，属于中档题．18．某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（Ⅰ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小：（Ⅱ）从乙比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到恰好有1场得分不足10分的概率．考点：等可能事件的概率；茎叶图．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据茎叶图的数据，由平均数、方差的计算公式，可得甲、乙两人得分的平均数与方差；（Ⅱ）根据题意，可得乙在6场比赛中的得分，用数组（x，y）表示抽出2场比赛的得分情况，列举（x，y）的全部情况，分析可得其中恰好有1场得分在10以下的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：（Ⅰ）根据题意，甲=（7+9+11+13+13+16+23+28）=15，\overline{x}乙=（7+8+10+15+17+19+21+23）=15，s2甲=[（﹣8）2+（﹣6）2+（﹣4）2+（﹣2）2+（﹣2）2+12+82+132]=44.75，s2乙=[（﹣8）2+（﹣7）2+（﹣5）2+02+22+42+62+82]=32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等，甲的方差较大；（Ⅱ）根据题意，乙在6场比赛中的得分为：7，8，10，15，17，19；从中随机抽取2场，用（x，y）表示这2场比赛的得分情况，有（7，8），（7，10），（7，15），（7，17），（7，19），（8，10），（8，15），（8，17），（8，19），（10，15），（10，17），（10，19），（15，17），（15，19），（17，19），共15种情况，其中恰好有1场得分在10以下的情况有：（7，10），（7，15），（7，17），（7，19），（8，10），（8，15），（8，17），（8，19），共8种，所求概率P=．点评：本题考查等可能事件的概率，涉及列举法的运用，注意列举时，按一定的顺序，做到不重不漏．19．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点，如图2，将△ABE沿AE折起，使面BAE⊥面AECD，连接BC，BD，P是棱BC上的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AB=2，求三棱锥B﹣AEP的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）连接BD，取AE中点M，连接BM，DM，根据等边三角形可知BM⊥AE，DM⊥AE，BM∩DM=M，BM，DM⊂平面BDM，满足线面垂直的判定定理则AE⊥平面BDM，而BD⊂平面BDM，得到AE⊥BD．（2）利用V B﹣AEP=V P﹣AEB=V C﹣AEB，即可求出三棱锥B﹣AEP的体积．解答：（1）证明：设AE中点为M，连接BM，∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点，∴△ABE与△ADE都是等边三角形．∴BM⊥AE，DM⊥AE．∵BM∩DM=M，BM、DM⊂平面BDM，∴AE⊥平面BDM．∵BD⊂平面BDM，∴AE⊥BD；（2）∵面BAE⊥面AECD，面BAE∩面AECD=AE，DM⊥AE，∴DM⊥面AECD，∵AB=2，∴AE=2，∴BM=DM=，∴V B﹣AEP=V P﹣AEB=V C﹣AEB==．点评：本题考查线面垂直，考查三棱锥B﹣AEP的体积，解题的关键是掌握线面垂直，三棱锥体积的计算方法，属于中档题．20．如图，已知椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的离心率e=，短轴右端点为A，M（1，0）为线段OA的中点．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆Γ相交于两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM=∠QNM，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）根据离心率，短轴右端点为A，M（1，0）为线段OA的中点，求出几何量，即可求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）分类讨论，设PQ的方程为：y=k（x﹣1），代入椭圆方程化简，若∠PNM=∠QNM，则k PN+k QN=0，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）由已知，b=2，又，即，解得，所以椭圆方程为．…（Ⅱ）假设存在点N（x0，0）满足题设条件．当PQ⊥x轴时，由椭圆的对称性可知恒有∠PNM=∠QNM，即x0∈R；…当PQ与x轴不垂直时，设PQ的方程为：y=k（x﹣1），代入椭圆方程化简得：（k2+2）x2﹣2k2x+k2﹣8=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则则==…若∠PNM=∠QNM，则k PN+k QN=0即=0，整理得4k（x0﹣4）=0因为k∈R，所以x0=4综上在x轴上存在定点N（4，0），使得∠PNM=∠QNM…点评：本题考查椭圆的几何性质与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21．设函数f（x）=lnx，h（x）=f（x）+mf′（x）．（1）求函数h（x）单调区间；（2）当m=e（e为自然对数的底数）时，若h（n）﹣h（x）＜对∀x＞0恒成立，求实数n 的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）由题意先求函数h（x）的定义域，再求导h′（x），从而讨论导数的正负以确定函数的单调性；（2）由h（n）﹣h（x）＜转化为，即成立，利用导数求出在（0，e）上的最小值即可．解答：解：（1），h（x）=，定义域为（0，+∞）=当m≤0时，在（0，+∞）上h′（x）＞0，此时h（x）在（0，+∞）单调递增，当m＞0时，在（0，m）上h′（x）＜0，此时h（x）在（0，m）单调递减，在（m，+∞）上h′（x）＞0，h（x）在（m，+∞）上单调递增，综上：当m≤0时，h（x）在（0，+∞）单调递增，当m＞0时，h（x）在（0，m）单调递减，在（m，+∞）上单调递增；（2）当m=e时，，不等式为即只需由（1）知，在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，∴当x=m时，g min（x）=g（e）=2故lnn＜2，可得0＜n＜e2∴n的取值范围为（0，e2）．点评：本题考查了，利用导数求函数的单调区间，运用了等价转换等数学思想，是一道导数的综合题，难度中等．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AD是△ABC的对角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA 交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC．（1）求证：FB=FC；（2）若FA=2，AD=6，求FB的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：（1）欲证FB=FC，可证∠FBC=∠FCB．由A、C、B、F四点共圆可知∠FBC=∠CAD，又同弧所对的圆周角相等，则∠FCB=∠FAB，而∠FAB=∠EAD，则∠FCB=∠EAD，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，得∠CAD=∠EAD，故∠FBC=∠FCB；（2）由（1）知，求FB的长，即可以转化为求FC的长，联系已知条件：告诉FA与AD的长度，即可证△FAC∽△FCD．解答：（1）证明：∵A、C、B、F四点共圆∴∠FBC=∠DAC又∵AD平分∠EAC∴∠EAD=∠DAC又∵∠FCB=∠FAB（同弧所对的圆周角相等），∠FAB=∠EAD∴∠FBC=∠FCB∴FB=FC；（2）解：∵∠BAC=∠BFC，∠FAB=∠FCB=∠FBC∴∠FCD=∠BFC+∠FBC=∠BAC+∠FAB=∠FAC∵∠AFC=∠CFD，∴△FAC∽△FCD∴FA：FC=FC：FD∴FB2=FC2=FA•FD=16，∴FB=4．点评：本题主要考查了圆周角定理及相似三角形的判定．在圆中，经常利用同弧或者等弧所对的圆周角相等来实现角度的等量转化．还要善于将已知条件与所要求的问题集中到两个三角形中，运用三角形相似来解决问题．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若点P是曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值，并求出P点的坐标．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：本题（1）可以先消参数，求出直线l的普通方程，再利用公式将曲线C的极坐标方程化成平面直角坐标方程，（2）利用点到直线的距离公式，求出P到直线l的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出P点的坐标，得到本题结论．解答：解：（1）∵，∴x﹣y=1．∴直线的极坐标方程为：ρcosθ﹣ρsinθ=1．即，即．∵，∴，∴ρcos2θ=sinθ，∴（ρcosθ）2=ρsinθ即曲线C的普通方程为y=x2．（2）设P（x0，y0），，∴P到直线的距离：．∴当时，，∴此时，∴当P点为时，P到直线的距离最小，最小值为．点评：本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为平面直角坐标方程、点到直线的距离公式，本题难度不大，属于基础题．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x+l|+|x﹣2|，g（x）=|x+1|﹣|x﹣a|+a（a∈R）．（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）f（x）=|x+l|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1和2对应点的距离之和，而﹣2 对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，3对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，从而得到不等式f（x）≤5的解集．（Ⅱ）由题意可得|x﹣2|+|x﹣a|≥a 恒成立，而|x﹣2|+|x﹣a|的最小值为|2﹣a|=|a﹣2|，故有|a ﹣2|≥a，由此求得a的范围．解答：解：（Ⅰ）f（x）=|x+l|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1和2对应点的距离之和，而﹣2 对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，3对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f（x）≤5的解集为[﹣2，3]．（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，即|x﹣2|+|x﹣a|≥a 恒成立．而|x﹣2|+|x﹣a|的最小值为|2﹣a|=|a﹣2|，∴|a﹣2|≥a，∴（2﹣a）2≥a2，解得a≤1，故a的范围（﹣∞，1]．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化数学思想，属于中档题．。

12020尖子生数学试卷（文）1102一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 为虚数单位，则复数2i1＋在复平面内所对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{1，m}．若B ⊆A ，则实数m 的值是A ．0B ．2C ．0或2D ．0或1或2 3．下列函数为奇函数的是A ．y ＝3x ＋32x B ．y ＝2x x e e －＋ C ．y ＝2log xx3－3＋ D ．y ＝xsinx4．已知平面向量a r ＝（2，－1），b r ＝（1，1），c r ＝（－5，1），若（a r ＋k b r ）∥c r，则实数k 的值为A ．－114 B ．12C ．2D ．114 5．已知双曲线22214x yb－＝（b ＞0）的右焦点与抛物线2y ＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 AB ．3C ．5D ．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．233 B ．152C ．476D ．87．已知x ，y 满足约束条件5040250y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩－≤＋－≥－－≥，则z ＝2x ＋y 的最小值为A ．1B ．3C ．5D ．7 8．定义[x]表示不超过x 的最大整数，例如[0．6]＝0，[2]＝2，[3．6]＝3．右面的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》．执行该程序框图，则输出a ＝A ．9B ．16C ．23D ．309．下列叙述中正确的个数是①将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变；②命题p ：x ∀∈[0，1]，xe ≥1，命题q ：0x ∃∈R ，20x ＋0x ＋1＜0，则p ∧q 为真命题；③“cos α≠0”是“α≠2k π＋2π（k ∈Z ）”的必要而不充分条件； ④将函数y ＝sin2x 的图象向左平移512π个单位长度得到函数y ＝sin （6π－2x ）的图象．A ．1B ．2C ．3D ．4 10．函数y ＝12log (sin 2coscos 2sin )44x x ππ－的单调递减区间是 A ．（k π＋8π，k π＋58π），k ∈Z B ．（k π＋8π，k π＋38π]，k ∈ZC ．[k π－8π，k π＋38π]，k ∈Z D ．[k π＋38π，k π＋58π），k ∈Z11．已知函数f （x）＝30x ax b x ⎪⎩，≥＋，＜满足条件：对于1x ∀∈R ，且x 1≠0，存在唯一的x 2∈R 且x 1≠x 2，使得f （x 1）＝f （x 2）．当f （2a ）＝f （3b ）成立时，a ＋b ＝ A3 BC3 D12．已知椭圆22221x y a b＋＝（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 A．2B ．2C2 D第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P （3，4），则sin cos sin cos αααα＋2－＝___________．14．关于x 的方程xlnx －kx ＋1＝0在区间[1e，e]上有两个不等实根，则实数k 的取值范围是_____________． 15．在正三棱锥S －ABC 中，ABM 是SC 的中点，AM ⊥SB ，则正三棱锥S －ABC 外接球的表面积为___________． 16．在△ABC 中，D 是AB 的中点，∠ACD 与∠CBD 互为余角，AD ＝2，AC ＝3，则sinA 的值为__________． 三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设正项数列{n a }的前n 项和n S 满足n a ＋1． （1）求数列{n a }的通项公式； （2）设n b ＝11n n a a ⋅＋，数列{n b }的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围．218．（本小题满分12分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里?”这个问题时，从河南的高中生中，随机抽取了55人，从上海的高中生中随机抽取了45人进行答题．河南高中生答题情况是：选择家的占25、选择朋友聚集的地方的占310、选择个人空间的占310．上海高中生答题情况是：选择朋友聚集的地方的占35、选择家的占15、选择个人空间的占15． （1）请根据以上调查结果将下面2×2列联表补充完整，并判断能否有95％的把握认为“恋家（在家里感到最幸福）”与城市有关；（2）从被调查的不“恋家”的上海学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，从被选出的4人中随机抽取2人到河南交流学习，求这2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率．19．（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，M 是AB 的中点，AC ＝CB ＝CC 1＝2． （1）求证：平面A 1CM ⊥平面ABB 1A 1； （2）求点M 到平面A 1CB 1的距离．20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，A 为抛物线C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交抛物线C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有｜FA ｜＝｜FD ｜．当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形． （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 1∥l ，且l 1和抛物线C 有且只有一个公共点E ，试问直线AE 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．2l ．（本小题满分12分）已知函数f（x ）＝（x －1）xe －22t x ，其中t ∈R ． （1）函数f （x ）的图象能否与x 轴相切?若能，求出实数t ，若不能，请说明理由； （2）讨论函数f （x ）的单调性．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知直线l 的极坐标方程为ρsin （θ＋4π）＝O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C 1的参数方程为12cos 2sin x y ϕϕ⎧⎨⎩＝－＋＝－2＋（ϕ为参数）。

洛阳市2016-2017学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合{}{}|110,,|A x x x N B x x a A =<<∈==∈，则A B =（ ）A ．{1,2,3}B ．{}|13x x <<C ．{2,3}D ．{|1x x << 2. 欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位，x R ∈）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.它在复变函数论里有极其重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若3iz e π=，则复数2z 在复平面中所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知命题p ：x R ∀∈，都有23x x<；命题q ：0x R ∃∈，使得32001x x =-，则下列复合命题正确的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ． p q ∧⌝D ． p q ⌝∧⌝4.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，则C 的两条渐近线的方程为（ ）A ．y =B ．y x = C.2y x =± D ．12y x =±5.已知等比数列{}n a 满足12851,232a a a a ==+，则9a =（ ） A ．12-B ．98 C.648 D ．186.如图，在正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+的值为（ ）A ．B ． C.1 D ．-1 7.若实数,x y 满足条件211x x y x ⎧≥-⎨≤+⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．-1B ．12-C.5 D ．7 8.利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆2225x y +=内的个数为（ ）A ．2B ．3 C.4 D ．59.已知函数()()221xxf x ax a R =+∈+，若()ln33f =，则1ln 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．-2 B ．-3 C.0 D ．110.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．56π B ．53π C. 13π+ D ．213π+ 11.将函数()y f x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到()sin 2g x x =的图象，当12,x x 满足()()122f x g x -=时，12min3x x π-=，则ϕ的值为（ ）A ．512π B ．3π C.4π D ．6π 12.若对任意实数[]0,1m ∈，总存在唯一实数[]1,1x ∈-，使得20xm x e a +-=成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]1,e B ．1(1,]e e +C.(0,]e D ．1[1,]e e+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.“15a =”是“直线()2120ax a y +-+=与直线()1330a x ay +++=垂直”的 条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选取一个填入）.14.已知函数()ln2f x a x bx =+在1x =处取得最大值ln 21-，则a = ，b = ．15.已知P 是抛物线24y x =上的动点，Q 在圆()()22:331C x y ++-=上，R 是P 在y 轴上的射影，则PQ PR +的最小值是 ． 16.如图，四边形ABCD 为直角梯形，90,//,10,20ABC CB DA AB DA CB ∠=︒===，若AB 边上有一点P ，使C P D ∠最大，则AP = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足11313,1n n n a a a a +-==+. （1）证明；数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）令12n n b a a a =，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .18.在四棱柱1111ABCD A BC D -中，四边形ABCD 是平行四边形，1A A ⊥平面ABCD ，60BAD ∠=︒，12,1,AB BC AA ===，E 为11A B 中点.（1）求证：平面1A BD ⊥平面1A AD ； （2）求多面体1A E ABCD -的体积.19. 某销售公司为了解员工的月工资水平，从1000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：（1）试由此图估计该公司员工的月平均工资；（2）该公司工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于450。

洛阳市2017--2018 学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2.）A．0 B．2 C．0或2 D．0或1或23.下列函数为奇函数的是（）A B．4.，（）A B C. 2 D5.点到其渐近线的距离等于（）A B．3 C.5 D6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．87.）A.1B.3 C，5 D.78.下面的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》.执行该程序框图.）A.9B.16C.23D.309.下列叙述中正确的个数是（）①将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变；.A.1 B，2 C.3 D，410.）A B11.）A12.）A第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.14.是．15.外接球的表面积为．16.的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1（2.18. 高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里?”这个问题时，从洛阳的高中生中，随机抽取了55人，从上海的高中生中随机抽取了45人进行答题.（1）“恋家（在家里感到最幸福）”与城市有关：（2） 从被调查的不“恋家”的上海学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，从被选出的4 人中随机抽取2人到洛阳交流学习，求这2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率.19.（1（2.20.过的横坐标为3.（1（2若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.21.（1?（2.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.（1（2.23.选修4-5：不等式选讲（1（2.试卷答案一、选择题1-5： DCCBA 6-10：ADCBB 11、12：AD 二、填空题三、解答题17.解：（11为首项，2为公差的等差数列. （2(22n+18.解：（1）由已知得，.（2）用分层抽样的方法抽出4 人.其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人，在“个人空间”感到幸福的有119.（1（211A CBS=11A MB=由（13h=1111A MBA CBSS20.解：（1，（2）由（121.解：（1显然此方程无解.. （2..22.解：（1（2..23.解：（1.（2.所以{|y y=-31|x+|(3≥由（1。

河南省洛阳市2017届高三数学第三次统一考试（5月）试题文（扫描版，无答案）
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第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. {1,2,3}B.C. {2,3}D.【答案】C【解析】，，所以，故选C.2. 欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.它在复变函数论里有极其重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若，则复数在复平面中所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B3. 已知命题：，都有；命题：，使得，则下列复合命题正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，，所以命题是假命题；和有交点，所以命题是真命题，那么复合以后是真命题，故选B.4. 已知双曲线的离心率为2，则的两条渐近线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以，那么双曲线的渐近线方程是，故选A.5. 已知等比数列满足，则（）A. B. C. 648 D. 18【答案】D6. 如图，在正方形中，分别是的中点，若，则的值为（）A. B. C. 1 D. -1【答案】A【解析】设正方形的边长为2，以点为原点，分别为轴，建立平面直角坐标系，，所以，，所以，解得，所以，故选A.7. 若实数满足条件，则的最大值为（）A. -1B.C. 5D. 7【答案】C8. 利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆内的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】时，打印点不在圆内，，是；打印点不在圆内，，是；打印点在圆内，，是；打印点在圆内，，是；打印点在圆内，，是；打印点在圆内，，否，结束，所以共4个点在圆内，故选C.9. 已知函数，若，则（）A. -2B. -3C. 0D. 1【答案】A10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】此几何体是由四分之一球和三棱锥组合而成，球的半径是1，三棱锥的底面是等腰直角三角形，斜边为2，三棱锥的高是1，则，故选C.11. 将函数的图象向左平移个单位后得到的图象，当满足时，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】向右平移个单位后，得到函数，，即中其中一个是最大值，另一个是最小值，不妨设，即，，两式相减得到，即，当时，的最小值是，因为，所以，故选D.点睛：的图象和图象变换以及函数的性质函数考察的重点，综合性强，而本题题干非常新颖，本题也可这么想，首先函数的周期是，所以最大值和最小值之间横坐标的差值是，函数向左平移个单位，最值点也向左平行个单位，根据图象可得，最大值和最小值之间的横坐标的差值的最小值是，这样就会简单很多，但对识图的要求比较高.12. 若对任意实数，总存在唯一实数，使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B点睛：本题考查了函数的单调性，不等式的恒成立和存在问题，属于中档题型，，，使，即函数的值域是值域的子集，若使，即说明的最小值大于函数的最小值，就转化求两个函数最值的问题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. “”是“直线与直线垂直”的_________条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选取一个填入）.【答案】充分不必要【解析】若两条直线垂直，则，解得：或，所以“” 是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.14. 已知函数在处取得最大值，则__________，__________．【答案】(1). (2).【解析】，时，，当时，函数取得最大值，即，解得 .15. 已知是抛物线上的动点，在圆上，是在轴上的射影，则的最小值是__________．【答案】3点睛：本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题，考查了转化与化归能力，圆外的点和圆上的点最小值是点与圆心的距离减半径，最大值是距离加半径，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，这样转化后为抛物线上的点到两个定点的距离和的最小值，即三点共线时距离最小.16. 如图，四边形为直角梯形，，若边上有一点，使最大，则__________．【答案】点睛：本题考查了利用所学知识解决平面几何中的角的最值问题，考查了转化与化归能力，以及计算能力，如果直接用内的边表示，得到的式子会比较麻烦，而利用和它相关的直角三角形表示会比较简单，或是建立坐标系，以点为原点建立坐标系，表示，所以的最大值是，而此时，这样做会更简单.学%三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列满足.（1）证明；数列是等差数列，并求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据已知条件构造出（常数），根据等差数列求的通项公式，再求的通项公式；（2）由（1）可知，，而，根据裂项相消法求和.试题解析：解（1）∵，∴.∴.∴.点睛：数列求和的一些方法：（1）分组转化法，，而数列可以直接求和，那就用分钟转化法求和，举例；（2）裂项相消法，能够将数列列为的形式，再用累加法求和，举例，，或是等；（3）错位相加法，，而是等差数列，是等比数列，适用于错位相减法求和，举例；（4）倒序相加法，，而，两个式子相加得到一个常数列，即可求得数列的和，举例，满足;(6)其他方法.18. 在四棱柱中，四边形是平行四边形，平面，，，为中点.（1）求证：平面平面；（2）求多面体的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）根据余弦定理求，底面满足勾股定理，所以，又可证明，所以平面，即证明面面垂直；（2）取的中点，分别连接，这样多面体可分割为三棱柱和三棱锥，所以分别求体积.试题解析：（2）设的中点分别为，连接，∵分别为的中点，∴多面体为三棱柱.∵平面，∴为三棱柱的高.，三棱柱体积为.在四棱锥中，. ∴底面.，四棱锥的体积为，∴多面体的体积为.19. 某销售公司为了解员工的月工资水平，从1000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：（1）试由此图估计该公司员工的月平均工资；（2）该公司工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于4500。

洛阳市2017-2018学年高中三年级期中考试数 学 试 卷（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题，共60分)注意事项：1．必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}23≥-≤∈=m m Z m A 或，{}31＜n N n B ≤-∈=，则=)(A C Z （ ）A ．}2,1,0{ B.}1,0,1{- C ．}1,0{ D ．}2,1,0,1{-2．在复平面内O 为极坐标原点，复数i 21+-与i 31+分别为对应向量OA 和OB ，=（ ）A ．3B ．17C ．5D ．5 3．把函数)62sin(π-=x y 的图像向右平移6π个单位后，所得函数图像的一条对称轴为（ ）A ．0=xB ．6π=x C ．12π-=x D ．4π=x4．已知等比数列{}n a 的前10项的积为32，则下列为真的是（ ）A ．数列{}n a 的各项均为正数B ．数列{}n a 中必有小于2的项C ．数列{}n a 的公比必是正数D ．数列{}n a 的首项和公比中必有一个大于1．5．若21cos sin cos sin =+-αααα，则α2tan 的值为（ ）A ．43B ．53C ．43- D ．36．函数)sin sin ln(xx xx y +-=的图像大致是（ ）7．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则)(+⨯的最小值是（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 8．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+且在]6,5[上是增函数，βα,是锐角三角形的两个内角，则（ ）A ．)(cos )(sin βαf f ＞B ．)(cos )(sin βαf f ＞C ．)(cos )(sin βαf f ＜D ．)(cos )(cos βαf f ＞9．在四面体S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝120°，SA ＝AC ＝2，AB ＝1，则该四面体的外接球的表面积为（ ） A ．π11 B ．328π C ．310π D ．340π10．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--=2,132,12)(x x x x f x ＞，若方程0)(=-a x f 有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1) 11．n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，28=S ，1424=S ,则=2016S （ ）A ．22252- B ．22253- C ．221008- D ．222016-12．设点Q P ,分别是曲线xxe y -=(e 是自然对数的底数)和直线3+=x y 上的动点，则QP ,两点间距离的最小值为 （ ）A ．22)14(-eB ．22)14(+eC ．223D ．22第Ⅱ卷(非选择题，共90分)注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡题目所指示的答题区域内作答。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知i 为虚数单位，则复数21+i在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：∵21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1−i ，∴复数21+i在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣1），在第四象限．故选：D ．2．（5分）已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{1，m }．若B ⊆A ，则实数m 的值是（ ） A ．0B ．2C ．0或2D ．0或1或2【解答】解：∵集合A ＝{0，1，2}，B ＝{1，m }，B ⊆A ， ∴m ＝0或m ＝2． ∴实数m 的值是0或2． 故选：C ．3．（5分）下列函数为奇函数的是（ ） A ．y ＝x 3+3x 2B ．y =e x +e −x2C ．y =log 23−x3+xD ．y ＝x sin x【解答】解：A ．不满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），不是奇函数； B ．满足f （﹣x ）＝f （x ），∴该函数是偶函数，不是奇函数； C .f(−x)=log 23+x 3−x =−log 23−x3+x =−f(x)； ∴该函数是奇函数，即C 正确；D ．f （﹣x ）＝﹣x sin （﹣x ）＝x sin x ＝f （x ）； ∴该函数为偶函数，不是奇函数． 故选：C ．4．（5分）已知平面向量a →=(2，−1)，b →=(1，1)，c →=(−5，1)，若(a →+kb →)∥c →，则实数k 的值为（ ） A ．−114B ．12C ．2D ．114【解答】解：∵平面向量a →=(2，−1)，b →=(1，1)，c →=(−5，1)，∴a →+kb →=（2+k ，﹣1+k ）， ∵(a →+kb →)∥c →， ∴2+k −5=−1+k 1，解得k =12． ∴实数k 的值为12．故选：B ． 5．（5分）已知双曲线x 24−y 2b 2=1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ） A ．√5B ．4√2C ．3D ．5【解答】解：抛物线y 2＝12x 的焦点坐标为（3，0） ∵双曲线x 24−y 2b 2=1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合∴4+b 2＝9 ∴b 2＝5∴双曲线的一条渐近线方程为y =√52x ，即√5x −2y =0 ∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于|3√5−0|3=√5故选：A ．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．233B ．152C ．476D ．8【解答】解：根据几何体的三视图，及其数据得出：正方体的棱长为2，截去的三棱锥的底面直角边长为：1，几何体是正方体截去一个角，如图：∴该几何体的体积为2×2×2−13×12×1×1×2=233． 故选：A ．7．（5分）已知x ，y 满足约束条件{y −5≤0x +y −4≥02x −y −5≥0，则z ＝2x +y 的最小值为（ ）A ．.1B ．.3C ．，5D ．.7【解答】解：画出不等式组{y −5≤0x +y −4≥02x −y −5≥0表示的可行域，如图所示；目标函数z ＝2x +y 在点A 处取得最小值， 由{x +y −4=02x −y −5=0，解得点A （3，1）， 代入目标函数z ＝2x +y ，求得最小值为2×3+1＝7． 故选：D ．8．（5分）定义[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[0.6]＝0，[2]＝2，[3.6]＝3．下面的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》．执行该程序框图．则输出a ＝（ ）A ．9B ．16C ．23D ．30【解答】解：当k ＝1时，第1次执行循环体后，a ＝9，不满足a ﹣3•[a 3]＝2，k ＝2； 当k ＝2时，第1次执行循环体后，a ＝16，不满足a ﹣3•[a3]＝2，k ＝3；当k ＝3时，第1次执行循环体后，a ＝23，满足a ﹣3•[a 3]＝2，满足a ﹣5•[a5]＝3；故输出的a 值为23， 故选：C ．9．（5分）下列叙述中正确的个数是（ ）①将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变；②命题p ：∀x ∈[0，1]，e x ≥1，命题q ：∃x 0∈R ，x 02+x 0+1＜0，则p ∧q 为真命题； ③“cos α≠0”是“α≠2kπ+π2(k ∈Z)的必要而不充分条件； ④将函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个单位长度得到函数y =sin(π6−2x)的图象．A ．.1B ．，2C ．.3D ．，4【解答】解：对于①，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数，数据的稳定性不变，即方差不变，①正确，对于②，命题p ：∀x ∈[0，1]，e x ≥1为真命题，方程x 2+x +1＝0的判别式△＝1﹣4＝﹣3＜0，命题q ：∃x 0∈R ，x 02+x 0+1＜0为假命题． 则p ∧q 为假命题．故②错误；对于③，由cos α≠0，可得α≠2kπ+π2(k ∈Z)，反之，由α≠2kπ+π2(k ∈Z)，cos α＝0可能成立，则“cos α≠0”是“α≠2kπ+π2(k ∈Z)的充分不必要，故③错误； 对于④，将函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个单位长度得到函数y ＝sin2（x +5π12）＝sin （2x +5π6），即y =sin(π6−2x)的图象，故④正确． ∴正确的个数是2个． 故选：B ．10．（5分）函数y =log 12（sin2x cos π4−cos2x sin π4）的单调递减区间是（ ）A ．（k π+π8，k π+5π8），k ∈Z B ．（k π+π8，k π+3π8），k ∈Z C ．（k π−π8，k π+3π8），k ∈Z D ．（k π+3π8，k π+5π8），k ∈Z【解答】解：∵sin2x cos π4−cos2x sinπ4=sin （2x −π4）＞0，∴2k π+π＞2x −π4＞2k π，又∵函数y =log 12（sin2x cos π4−cos2x sin π4）单调递减，∴由2k π＜2x −π4＜2k π+π2，k ∈Z 可解得函数y =log 12（sin2x cos π4−cos2x sin π4）的单调递减区间是：（k π+π8，k π+3π8），k ∈Z 故选：B ．11．（5分）已知函数f(x)={√x +3，x ≥0ax +b ，x ＜0满足条件：对于∀x 1∈R ，且x 1≠0，∃唯一的x 2∈R且x 1≠x 2，使得f （x 1）＝f （x 2）．当f （2a ）＝f （3b ）成立时，则实数a +b ＝（ ） A ．√62B ．−√62C ．√62+3 D ．−√62+3【解答】解：若对于∀x 1∈R ，存在唯一的x 2∈R ，使得f （x 1）＝f （x 2）． ∴f （x ）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调， 则b ＝3，且a ＜0，由f （2a ）＝f （3b ）得f （2a ）＝f （9）， 即2a 2+3=√9+3＝3+3，即a =−√62，则a +b =−√62+3， 故选：D ． 12．（5分）已知椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为 （ ） A ．√22B ．2−√3C ．√5−2D ．√6−√3【解答】解：如图，设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m ， 若△ABF 1构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形， 则|AB |＝|AF 1|＝m ，|BF 1|=√2m ， 由椭圆的定义可得△ABF 1的周长为4a ， 即有4a ＝2m +√2m ，即m ＝2（2−√2）a ， 则|AF 2|＝2a ﹣m ＝（2√2−2）a ， 在直角三角形AF 1F 2中， |F 1F 2|2＝|AF 1|2+|AF 2|2，即4c 2＝4（2−√2）2a 2+4（√2−1）2a 2， ∴c 2＝（9﹣6√2）a 2， 则e 2=c 2a 2=9﹣6√2=9−2√18， ∴e =√6−√3． 故选：D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P （3，4），则sinα+2cosαsinα−cosα= 10 ．【解答】解：∵角α的始边与x 轴非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边经过点P （3，4）． ∴sinα=√3+4=45，cos α=35，则sinα+2cosαsinα−cosα=45+2×3545−35=10．故答案为：10．14．（5分）若关于x 的方程xlnx ﹣kx +1＝0在区间[1e ，e ]上有两个不等实根，则实数k 的取值范围是 （1，1+1e ] ．【解答】解：由xlnx ﹣kx +1＝0得k ＝lnx +1x， 令f （x ）＝lnx +1x，则f ′（x ）=1x −1x 2=x−1x2． ∴当1e＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当1＜x ＜e 时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， ∴当x ＝1时，f （x ）取得最小值f （1）＝1， 又f （1e ）＝﹣1+e ，f （e ）＝1+1e．∴f （e ）＜f （1e）．∵关于x 的方程xlnx ﹣kx +1＝0在区间[1e，e ]上有两个不等实根，∴f （x ）＝k 有两解， ∴1＜k ≤1+1e ． 故答案为：（1，1+1e]．15．（5分）在正三棱锥S ﹣ABC 中，AB =√2，M 是SC 的中点，AM ⊥SB ，则正三棱锥S ﹣ABC 外接球的表面积为 3π ． 【解答】解：如图所示：正三棱锥S﹣ABC中，AB=√2，M是SC的中点，取AC的中点N，连接SN，BN，所以：AC⊥平面SNB，则：AC⊥SB，由于AM⊥SB，则：SB⊥平面SAC，由于三棱锥是正三棱锥，所以：∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°．故：（2R）2＝12+12+12，所以：R2=3 4，则：S=4π⋅34=3π．故答案为：3π16．（5分）在△ABC中，D是AB的中点，∠ACD与∠CBD互为余角，AD＝2，AC＝3，则sin A的值为√74或√53．【解答】解：如图所示：在△ADC中，设∠ACD＝θ，则：∠CBD=π2−θ，利用余弦定理：cosθ=32+CD 2−42⋅3⋅CD =5+CD26CD ．在△ADC 中，利用正弦定理：CD sin(π2−θ)=BDsin(π2−A)，故：CDcosθ=BD cosA，所以：CD5+CD 26CD=2cosA，解得：cos A =10+2CD26CD2， 在△ACD 中，利用余弦定理：cosA =22+32−CD 22⋅2⋅3，所以：10+2CD 26CD 2=13−CD 212，整理得：CD 4﹣9CD 2+20＝0 解得：CD =2或√5．①当CD ＝2时，cos A =10+2⋅226⋅22=34． 所以：sin A =√74CD =√5时，cos A =10+2⋅56⋅5=23， 所以：sin A =√53． 故答案为：√74或√53三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且2√S n =a n +1，求 （1）{a n }的通项公式；（2）设b n =1a n a n+1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意，数列{a n }满足2√S n =a n +1， 当n ＝1时，有2√S 1=a 1+1＝2√a 1，解可得a 1＝1， 将2√S n =a n +1两边平方得4S n =(a n +1)2①， n ≥2时，4S n−1=(a n−1+1)2②，①﹣②可得，4a n =(a n +1)2−(a n−1+1)2， 变形可得：（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）＝0，又由数列{a n }为正数数列，则（a n +a n ﹣1）＞0， 则有（a n ﹣a n ﹣1﹣2）＝0，∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴有a n ＝2n ﹣1； （2）b n =1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(1(2n−1)−12n+1)，则T n =12（1−13）+12（13−15）+⋯+12（12n−1−12n+1）=12(1−12n+1)，则T n ＜12，当n ＝1，T n =13，则T n ≥13， 故13≤T n ＜12．18．（12分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题．中国高中生答题情况是：选择家的占25、朋友聚集的地方占310、个人空间占310．美国高中生答题情况是：朋友聚集的地方占35、家占15、个人空间占15．（Ⅰ）请根据以上调查结果将下面2×2列联表补充完整；并判断能否有95%的把握认为“恋家（在家里感到最幸福）”与国别有关；在家里最幸福在其它场所幸福合计 中国高中生 美国高中生 合计（Ⅱ）从被调查的不“恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，再从4人中随机抽取2人到中国交流学习，求2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率．附：k 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．P （k 2≥k 0）0.0500.025 0.010 0.001k0 3.841 5.024 6.63510.828【解答】解：（Ⅰ）由已知得，在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生223355美国高中生93645合计3169100∴K2=100×(22×36−9×33)231×69×55×45=100×11×331×23≈4.628＞3.841，∴有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；（Ⅱ）用分层抽样的方法抽出4人，其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人，在“个人空间”感到幸福的有1人，分别设为a1，a2，a3，b；∵Ω＝{（a1，a2），（a1，a3），（a1，b），（a2，a3），（a2，b），（a3，b）}，∴n＝6；设“含有在“个人空间”感到幸福的学生”为事件A，A＝{（a1，b），（a2，b），（a3，b）}，∴m＝3；则所求的概率为P(A)=mn=36=12．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝CC1＝2，M是AB的中点．（1）求证：平面A1CM⊥平面ABB1A1；（2）求点M到平面A1CB1的距离．【解答】证明：（Ⅰ）由A1A⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，则A1A⊥CM．由AC＝CB，M是AB的中点，则AB⊥CM．又A1A∩AB＝A，则CM⊥平面ABB1A1，又CM⊂平面A1CM，所以平面A 1CM ⊥平面ABB 1A 1．解：（Ⅱ）设点M 到平面A 1CB 1的距离为h ，由题意可知A 1C =CB 1=A 1B 1=2MC =2√2，S △A 1CB 1=2√3，S △A 1MB 1=2√2． 由（Ⅰ）可知CM ⊥平面ABB 1A 1，得：V C−A 1MB 1=13MC ⋅S △A 1MB 1=V M−A 1CB 1=13ℎ⋅S △A 1CB 1，所以，点M 到平面A 1CB 1的距离ℎ=MC⋅S △A 1MB 1S △A 1CB1=2√33．20．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |，当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，试问直线AE 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【解答】解：（I ）抛物线的焦点F （p2，0），设D （t ，0），则FD 的中点为（p+2t 4，0）．∵|F A |＝|FD |，∴3+p 2=|t −p2|，解得t ＝3+p 或t ＝﹣3（舍）． ∵p+2t 4=3，∴3p+64=3，解得p ＝2．∴抛物线方程为y 2＝4x ．（II ）由（I ）知F （1，0），设A （x 0，y 0），D （x D ，0），∵|F A |＝|FD |，则|x D ﹣1|＝x 0+1，由x D ＞0得x D ＝x 0+2，即D （x 0+2，0）．∴直线l 的斜率为k AD =−y 02．∵l 1∥l ，故直线l 1的斜率为−y2． 设直线l 1的方程为y =−y02x +b ，联立方程组{y 2=4xy =−y 02x +b，消元得：y 2+8y 0y −8by 0=0， ∵直线l 1与抛物线相切， ∴△=64y 02+32b y 0=0，∴b =−2y 0． 设E （x E ，y E ），则y E =−4y 0，x E =4y 02， 当y 02≠4时，k AE =y E −y0x E −x 0=4y0y 02−4，直线AE 的方程为y ﹣y 0=4y0y 02−4（x ﹣x 0）， ∵y 02＝4x 0，∴直线AE 方程为y =4y 0y 02−4(x −1)．∴直线AE 经过点（1，0）． 当y 02＝4时，直线AE 方程为x ＝1，经过点（1，0）． 综上，直线AE 过定点F （1，0）．21．（12分）已知函数f(x)=(x −1)e x −t2x 2，其中t ∈R ．（1）函数f （x ）的图象能否与x 轴相切？若能，求出实数t ，若不能，请说明理由； （2）讨论函数f （x ）的单调性．【解答】解：（1）根据题意，函数f(x)=(x −1)e x −t 2x 2，则f ′（x ）＝xe x ﹣tx ＝x （e x ﹣t ）．假设函数f （x ）的图象与x 轴相切于点（x 0，0），则有{f(x 0)=0f ′(x)=0，即{(x 0−1)e x 0−t2x 02=0x 0e x 0−tx 0=0．显然x 0≠0，将t =e x 0＞0代入方程(x 0−1)e x 0−t2x 02=0中， 得x 02−2x 0+2=0．显然此方程无解．故无论t 取何值，函数f （x ）的图象都不能与x 轴相切． （2）由于f ′（x ）＝xe x ﹣tx ＝x （e x ﹣t ），当t ≤0时，e x ﹣t ＞0，当x ＞0时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增， 当x ＜0时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减； 当t ＞0时，由f ′（x ）＝0得x ＝0或x ＝lnt ， ①当0＜t ＜1时，lnt ＜0，当x ＞0时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增， 当lnt ＜x ＜0时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减，当x ＜lnt ，f ′（x ）＞0，f （x ）递增； ②当t ＝1时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增； ③当t ＞1时，lnt ＞0，当x ＞lnt 时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增， 当0＜x ＜lnt 时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减， 当x ＜0时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增．综上，当t ≤0时，f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数； 当0＜t ＜1时，f （x ）在（﹣∞，lnt ），（0，+∞）上是增函数，在（lnt ，0）上是减函数； 当t ＝1时，f （x ）在（﹣∞，+∞）上是增函数；当t ＞1时，f （x ）在（﹣∞，0），（lnt ，+∞）上是增函数，在（0，lnt ）上是减函数． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2，现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C 1的参数方程为{x =−1+2cosφy =−2+2sinφ（φ为参数）．（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 1的普通方程；（2）若曲线C 2为曲线C 1关于直线l 的对称曲线，点A ，B 分别为曲线C 1、曲线C 2上的动点，点P 坐标为（2，2），求|AP |+|BP |的最小值． 【解答】解：（1）直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2， ∴√22ρsinθ+√22ρcosθ=2√2， 即ρcos θ+ρsin θ＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x +y ﹣4＝0；曲线C 1的参数方程为{x =−1+2cosφy =−2+2sinφ（φ为参数）．∴曲线C 1的普通方程为（x +1）2+（y +2）2＝4． （2）∵点P 在直线x +y ＝4上，根据对称性，|AP |的最小值与|BP |的最小值相等． 曲线C 1是以（﹣1，﹣2）为圆心，半径r ＝2的圆． ∴|AP |min ＝|PC 1|﹣r =√(2+1)2+(2+2)2−2=3． 所以|AP |+|BP |的最小值为2×3＝6．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝3|x ﹣a |+|3x +1|，g （x ）＝|4x ﹣1|﹣|x +2|． （1）求不等式g （x ）＜6的解集；（2）若存在x 1，x 2∈R ，使得f （x 1）和g （x 2）互为相反数，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）g （x ）＝|4x ﹣1|﹣|x +2|．g （x ）={−3x +3，x ≤2−5x −1，2＜x ＜14−3x −3，x ≥14，不等式g （x ）＜6，x ≤﹣2时，4x ﹣1﹣x ﹣2＜6，解得：x ＞﹣1，不等式无解； ﹣2＜x ＜14时，1﹣4x ﹣x ﹣2＜6，解得：−75＜x ＜14， x ≥14时，4x ﹣1﹣x ﹣2＜6，解得：3＞x ≥14， 综上，不等式的解集是（−75，3）；（2）因为存在x 1∈R ，存在x 2∈R ，使得f （x 1）＝﹣g （x 2）成立， 所以{y |y ＝f （x ），x ∈R }∩{y |y ＝﹣g （x ），x ∈R }≠∅， 又f （x ）＝3|x ﹣a |+|3x +1|≥|（3x ﹣3a ）﹣（3x +1）|＝|3a +1|， 故g （x ）的最小值是−94，可知﹣g （x ）max =94，所以|3a +1|≤94，解得−1312≤a ≤512， 所以实数a 的取值范围为[−1312，512]．。

洛阳市2017学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合{}{}|110,,|A x x x N B x x a A =<<∈==∈，则A B = （ ）A ．{1,2,3}B ．{}|13x x <<C ．{2,3}D ．{|1x x << 2. 欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位，x R ∈）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.它在复变函数论里有极其重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若3iz e π=，则复数2z 在复平面中所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知命题p ：x R ∀∈，都有23x x<；命题q ：0x R ∃∈，使得32001x x =-，则下列复合命题正确的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ． p q ∧⌝D ． p q ⌝∧⌝4.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，则C 的两条渐近线的方程为（ ）A ．y =B ．y x = C.2y x =± D ．12y x =±5.已知等比数列{}n a 满足12851,232a a a a ==+，则9a =（ ） A ．12-B ．98C.648 D ．186.如图，在正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+的值为（ ）A ．B ． C.1 D ．-17.若实数,x y 满足条件211x x y x ⎧≥-⎨≤+⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．-1B ．12-C.5 D ．7 8.利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆2225x y +=内的个数为（ ）A ．2B ．3 C.4 D ．59.已知函数()()221xx f x ax a R =+∈+，若()l n 33f =，则1ln 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．-2B ．-3 C.0 D ．110.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．56π B ．53π C. 13π+ D ．213π+ 11.将函数()y f x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到()sin 2g x x =的图象，当12,x x 满足()()122f x g x -=时，12min3x x π-=，则ϕ的值为（ ）A ．512π B ．3π C.4π D ．6π 12.若对任意实数[]0,1m ∈，总存在唯一实数[]1,1x ∈-，使得20xm x e a +-=成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]1,e B ．1(1,]e e +C.(0,]e D ．1[1,]e e+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.“15a =”是“直线()2120ax a y +-+=与直线()1330a x ay +++=垂直”的 条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选取一个）.14.已知函数()ln2f x a x bx =+在1x =处取得最大值ln 21-，则a = ，b = ．15.已知P 是抛物线24y x =上的动点，Q 在圆()()22:331C x y ++-=上，R 是P 在y 轴上的射影，则PQ PR +的最小值是 ． 16.如图，四边形ABCD为直角梯形，90,//,10,20ABC CB DA AB DA CB ∠=︒===，若AB 边上有一点P ，使C P D ∠最大，则AP = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足11313,1n n n a a a a +-==+. （1）证明；数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）令12n n b a a a = ，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .18.在四棱柱1111ABCD A BC D -中，四边形ABCD 是平行四边形，1A A ⊥平面ABCD ，60BAD ∠=︒，12,1,AB BC AA ===，E 为11A B 中点.（1）求证：平面1A BD ⊥平面1A AD ； （2）求多面体1A E ABCD -的体积.19. 某销售公司为了解员工的月工资水平，从1000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：（1）试由此图估计该公司员工的月平均工资；（2）该公司工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于450。