2019高中数学 第二章 函数章末检测试题 新人教B版必修1

第一学期新课标人教B 版高一数学 必修一 第二章 函数 二次函数 测试卷一、选择题1．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(图像的顶点在第一象限，与x 轴的两个交点分别位于原点的两侧，那么c b a ,,的符号是（ ）A.0,0,0<<<c b aB.0,0,0>><c b aC.0,0,0><<c b aD.0,0,0<<<c b a2．已知函数32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则)(x f 在)2,5(--上是（ ）A. 增函数B.减函数C.非单调函数D.视m 的值而定函数的单调性3．已知函数c bx ax x f ++=2)(,如果c b a >>,且0=++c b a ,则它的图像可能是( )A. B. C. D.4．已知{01{},042<--=<<-=mx mx m Q m m P 对一切R x ∈成立}，那么下列关系中成立的是（ ）A.Q P ⊂B.P Q ⊂C.Q P =D.Φ=Q P I 5．已知函数m mx x m y ---=2)1(的图像如图2，则m 的取值范围是（ ） A. 54<m B.540<<m C. 1<m D. 10<<m 6．函数12-+=x x y 的值域为（ ）A.),0[+∞B.),21[+∞C.]21,(-∞D.]21,0(二、填空题7．方程07)1(2=-+++m x m x 有两个负根，则m 的取值范围是 .8．函数122++-=x x y 在区间],(a -∞上是增函数，则a 的取值范围是 .三、解答题9．若函数12)(2++=mx mx x f 在区间]2,3[-上的最大值是4,求实数的值.10．设二次函数的图像的顶点是)23,2(-，与x 轴的两个交点之间的距离为6，求这个二次函数的解析式.11．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40厘米和60厘米，现在要把它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪法，才能使剩下的残料最少.12．已知二次函数)(x f 同时满足以下三个条件：（1）)1()1(x f x f -=+对任意R x ∈成立；（2）)(x f 的最大值为15；（3）0)(=x f 的两根立方和等于17.试确定)(x f 的解析式.13．如图3，二次函数)(x f 图像的顶点是)3,4(M ，图像交x 轴于B A ,两点，交y 轴于点 C ，并且四边形AMBC 的面积为316，试确定)(x f 的解析式.图2 图314．某商品在近30天内每件的销售价格P 元与时间t 天的函数关系是:⎩⎨⎧∈≤≤+-∈<<+=).,3025(100),,250(20N t t t N t t t P 该商品的日销售量Q 件与时间t 天的函数关系是; ),300(40N t t t Q ∈≤<+-=,求这种商品的日销售金额的最大值,并指出取得该最大值的一天是30天中的第几天?答案1．B ；2．A ；3．D ；4．A ；5．B ；6．B ；7．7>m ；8．1≤a ；9．83=m 或3-=m ；10．6532612+--=x x y ；11．当30=x 时，S 取最小值6002cm ，这时cm y 20=；12．9126)(2++-=x x x f ；13．138)(2-+-=x x x f ；14．最大值为1125元，第25天.。

高中数学 函数综合测试 新人教B 版必修1一．选择题：本大题共5小题，每小题7分，共35分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数)(x f 唯一的零点在区间(1,3)内，那么下面命题错误的（ ）A 函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点B 函数)(x f 在(3,5)内无零点C 函数)(x f 在(2,5)内有零点D 函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点2．若0,0,1a b ab >>>，12log ln 2a =，则log a b 与a 21log 的关系是 （ ） A 12log log a b a < B 12log log a b a = C 12log log a b a > D 12log log a b a ≤3. 函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为 （ ）A 1B 2C 3D 44. 已知函数y =f （x ）有反函数，则方程f （x ）=0 （ ）A 有且仅有一个根B 至多有一个根C 至少有一个根D 以上结论都不对5. 某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林（ ）A 14400亩B 172800亩C 17280亩D 20736亩二．填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。

6．用“二分法”求方程x 3-2x -5=0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x 0=2.5，那么下一个有根的区间是7．函数f （x ）=ln x -x +2的零点个数为8. 设函数y =f （x ）的图象在[a ,b ]上连续，若满足 ，则方程f （x ）=0在[a ,b ]上有实根.9. 1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为%x ,2005年底世界人口为y 亿，那么y 与x 的函数关系式为解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

高中数学 函数性质综合测试 新人教B 版必修1一、选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 下列四个函数中，在(0,＋∞)上增函数的是 （ ）A ．)(x f ＝x -3B ．2()(1)f x x =-C ．)(x f ＝11+-x D ．)(x f ＝-｜x ｜ 2． 函数3)1(+-=x m y 在R 上是增函数，则m 的取值范围是( )A ． ),1(+∞B ．)0,(-∞C ．),0(+∞D ．)1,(-∞3． 函数y=6x 4x 2+- 当]4,1[x ∈时，函数的值域为( )A ．[]3,6B ．[]2,6C ．)2,6⎡⎣D ．)3,6⎡⎣4．下列函数既是奇函数又是偶函数的是（ ）A ．x x x f 1)(+= ；B ．21)(xx f =； C ．2211)(x x x f -+-= D ．2211,02()11,02x x f x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩ 5．定义在R 上的函数)(x f 对任意两个不等实数a ，b ，总有0)()(>--ba b f a f 成立，则（ ） A ．函数)(x f 是先增后减函数 B ． 函数)(x f 是先减后增函数C ．)(x f 在R 上是减函数D ．)(x f 在R 上是增函数二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．6 ．函数32)(2+-=mx x x f ，当),2[+∞-∈x 是增函数，当]2,(--∞∈x 时是减函数，则 m= ．7．如果函数c bx x x f ++=2)( ，对称轴为2=x ， 则f (1)、f (2)、f (4) 从大到小的顺序是 ．8．若)(x f ＝3)1()2(2+-+-x k x k 是偶函数，则)(x f 的递增区间是 ．9．下列四个结论：①偶函数的图象一定与直角坐标系的纵轴相交；②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；③既是奇函数，又是偶函数的函数一定是)(x f ＝0（R x ∈）；④偶函数的图象关于y 轴对称；⑤偶函数f (x )在(0,)+∞上单调递减，则f (x )在)0,(-∞上单调递增．其中正确的命题的序号是 ．三、解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤．10．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，)(x f ＝x x 22+．求)(x f 的解析式，并作出)(x f 的图象．11．已知函数21()1x f x x -=+．（1）确定)(x f 在区间 [3,5]上的单调性并证明； （2）求)(x f 的最值．12．已知定义在（－1,1）上的奇函数)(x f ，在定义域上为减函数，且0)21()1(>-+-a f a f ，求实数a 的取值范围．参考答案一、1－5．CABCD二、6．－8 7．f(4)>f(1)>f(-2) 8．(,0]-∞ 9． ④⑤三、10．222,0()0,02,0x x x f x x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-+>⎩，图略11．增， 最大值为1.5,最小值为1.2512．213a <<。

第二章 章末检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，则给出的下列4个图形中，能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系是( )2．已知函数y ＝x 2的值域是[1,4]，则其定义域不可能是( )A ．[1,2] B.⎣⎡⎦⎤－32，2 C ．[－2，－1] D ．[－2，－1]∪{1} 3．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝－x 2，g (x )＝－(x )2B ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝1＋x ·1－x ，g (x )＝1－x 24．当ab >0时，函数y ＝ax 2与y ＝ax ＋b 的图象是( )5．已知[1，＋∞)是函数y ＝－x 2＋4ax 的单调递减区间，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，12B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞C.⎝⎛⎦⎤－∞，14D.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 6. 若函数f (x )＝{ g (x )，x f (x )，x <0是奇函数，当x >0时，其对应的图象如图，则f (x )为( )A ．－2x －3B ．－2x ＋3C ．2x －3D ．2x ＋37．设f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，若x 1<0，且x 1＋x 2>0，则( ) A ．f (x 1)>f (x 2) B ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)<f (x 2)D ．无法比较f (x 1)与f (x 2)的大小 8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 (x ≤－1)x 2(－1<x <2)2x (x ≥2)，若f (x 0)＝3，则x 0的值是( )A ．1B ．±3C.32，1 D. 3 9．设集合A 和B 都是坐标平面上的点集，{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在映射f 下，象(2,1)的原象是( )A ．(3,1)B ．(32，12)C ．(32，－12) D ．(1,3)10．已知g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f (12)等于( )A ．1B ．3C ．15D ．3011．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则与故事情节相吻合的是( )12．已知函数f (x )＝{ x 2＋4x ， (x ≥0)，x －x 2， (x <0). 若f (2－a )>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－∞，1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数y ＝lg (x ＋2)x －1的定义域是__________．14．若函数f (x )＝(m －1)x 2＋mx ＋3(x ∈R )是偶函数，则f (x )的单调减区间是________． 15．已知二次函数y ＝f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则在(m ，m ＋1)上函数零点的个数是________．16．下列四个命题：①若定义在R 上的函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数；②如果函数y ＝f (x )是R 上的减函数，则k >0(k 是常数)时，kf (x )也是R 上的减函数； ③函数y ＝x 2－2|x |－3的单调增区间只有[1，＋∞)；④若定义在R 上的函数f (x )对任意的实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，则函数f (x )是奇函数．其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知a ，b 为常数，且a ≠0，f (x )＝ax 2＋bx ，f (2)＝0，方程f (x )＝x 有两个相等实根．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的值域；(3)若F (x )＝f (x )－f (－x )，试判断F (x )的奇偶性，并证明你的结论．18．(12分)已知f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－4x ＋3. (1)求f (f (－1))的值； (2)求函数f (x )的解析式．19．(12分)已知函数f (x )＝x 2－ax ＋a2，x ∈[0,1]，求f (x )的最小值g (a )的表达式，并求出g (a )的最大值．20．(12分)已知函数f (x )的定义域为(－2,2)，函数g (x )＝f (x －1)＋f (3－2x )． (1)求函数g (x )的定义域；(2)若f (x )是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g (x )≤0的解集．21．(12分)为减少空气污染，某市鼓励居民用电(减少燃气或燃煤)．采用分段计费的方法计算电费．每月用电不超过100度时，按每度0.57元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分每度按0.5元计算．(1)设月用电x度时，应交电费y元．写出y关于x的函数关系式；(2)小明家第一季度交纳电费情况如下：22．(12分) 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(a>b)，在AB、AD、CB、CD 上，分别截取AE＝AH＝CF＝CG＝x(x>0)，设四边形EFGH的面积为y.(1)写出四边形EFGH的面积y与x之间的函数关系式；(2)求当x为何值时y取得最大值，最大值是多少？第二章章末检测答案1．B[函数的定义域应为M＝[－2,2]，排除A；函数值域应为N＝[0,2]，排除D；函数的对应法则不允许一对多，排除C，所以选B]．2．B[将选项代入验证．]3．D[只有D定义域、解析式相同．]4．D[根据a、b同号知，抛物线开口向上时，直线在y轴上截距为正，且一次函数y ＝ax＋b递增，从而排除A、B，当抛物线开口向下时，一次函数单调递减且在y轴上截距为负，排除C.从而选D.]5．A[对称轴x＝2a，当2a≤1，即a ≤12时，函数单调递减．]6．D [显然点(0，－3)和点(32，0)在y 轴右侧的函数图象上，所以点(0,3)和点(－32，0)在y 轴左侧的函数图象上，用特殊值法应选D.]7．C [由x 1＋x 2>0，得x 1>－x 2， 又x 1<0，∴f (x 1)<f (－x 2)， ∴f (x 1)<f (x 2)．]8．D [当x ≤－1时，x ＋2＝3，得x ＝1(舍去)； 当－1<x <2时，x 2＝3，x ＝3(－3舍去)；当x ≥2时，2x ＝3，x ＝32，(舍去)，选D.]9．B [根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝1，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12.故选B.]10．C [令g (x )＝1－2x ＝12，得x ＝14，则f (12)＝1－(14)2(14)2＝15.]11．B [A 表示同时到达；C 表示没有追赶；D 表示兔子先到终点．正确答案是B.] 12．C [由f (x )的图象可知，f (x )在R 上为增函数， 由f (2－a )>f (a )得，2－a >a ，解得a <1，故选C.] 13．[－1,1)∪(1，＋∞)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ lg (x ＋2)≥0x －1≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥1x ≠1， ∴x ≥－1且x ≠1. 14．[0，＋∞)解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴(m －1)x 2－mx ＋3＝(m －1)x 2＋mx ＋3， ∴m ＝0.这时f (x )＝－x 2＋3，∴单调减区间为[0，＋∞)． 15．1 解析(数形结合)f (0)＝a >0，对称轴为x ＝－12，图象如图所示． 由f (m )<0， 得－1<m <0.∴m ＋1>0，∴f (m ＋1)>0，∴(m ，m ＋1)上函数零点个数为1个． 16．②④17．解 (1)已知f (x )＝ax 2＋bx . 由f (2)＝0，得4a ＋2b ＝0， 即2a ＋b ＝0. ①方程f (x )＝x ，即ax 2＋bx ＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0有两个相等实根， 且a ≠0，∴b －1＝0，∴b ＝1，代入①得a ＝－12.∴f (x )＝－12x 2＋x .(2)由(1)知f (x )＝－12(x －1)2＋12.显然函数f (x )在[1,2]上是减函数，∴x ＝1时，y max ＝12，x ＝2时，y min ＝0.∴x ∈[1,2]时，函数的值域是[0，12]．(3)∵F (x )＝f (x )－f (－x )＝(－12x 2＋x )－⎣⎡⎦⎤－12(－x )2＋(－x ) ＝2x ，∴F (x )是奇函数． 证明如下：∵F (－x )＝2(－x )＝－2x ＝－F (x )， ∴F (x )＝2x 是奇函数．18．解 (1)因为f (－1)＝－f (1)＝0， 故f (f (－1))＝f (0)，由奇函数的性质知f (0)＝0， 从而有f (f (－1))＝0.(2)当x ＝0时，由奇函数的性质知f (0)＝0； 当x <0时，－x >0， 故f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－4(－x )＋3] ＝－x 2－4x －3.综上所述，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3 (x >0)0 (x ＝0)－x 2－4x －3 (x <0).19．解 由f (x )＝x 2－ax ＋a2得f (x )＝x 2－ax ＋a2＝(x －a 2)2＋a 2－a 24，当0≤a2≤1即0≤a ≤2时，f (x )最小值为g (a )＝f (a 2)＝a 2－a 24；当a 2<0，即a <0时，f (x )在[0,1]上为增函数，所以最小值为g (a )＝f (0)＝a 2；当a2>1即a >2时， f (x )在[0,1]上为减函数，所以最小值为g (a )＝f (1)＝1－a2；于是g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a2， a <0，a 2－a24， 0≤a ≤2，1－a 2， a >2.由函数g (a )的图象可知，g (a )在a ＝1处取得最大值为g (1)＝14.20．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－2<x －1<2，－2<3－2x <2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <3，12<x <52. 解得12<x <52. 故函数g (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫12，52.(2)由g (x )≤0，得f (x －1)＋f (3－2x )≤0， ∴f (x －1)≤－f (3－2x )．∵f (x )为奇函数，∴f (x －1)≤f (2x －3)． 而f (x )在(－2,2)上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥2x －3，12<x <52. 解得12<x ≤2. ∴g (x )≤0的解集为⎝⎛⎦⎤12，2.21．解 (1)当0≤x ≤100时，y ＝0.57x ； 当x >100时，y ＝0.5×(x －100)＋0.57×100 ＝0.5x －50＋57＝0.5x ＋7. ∴所求函数式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.57x (0≤x ≤100)，0.5x ＋7 (x >100). (2)据题意，一月份：0.5x ＋7＝76，∴x ＝138(度)， 二月份：0.5x ＋7＝63，∴x ＝112(度)， 三月份：0.57x ＝45.6，∴x ＝80(度)．所以第一季度共用电：138＋112＋80＝330(度)． 答 小明家第一季度共用电330度．22．解 用割补法，将四边形EFGH 的面积转化为特殊图形——矩形和直角三角形的面积问题．(1)∵△AEH ≌△CFG ，△EBF ≌GDH ，∴y ＝S 矩形ABCD －2S △AEH －2S △EFB＝ab －2×12x 2－2×12(a －x )(b －x )＝－2x 2＋(a ＋b )x (0<x ≤b )．(2)y ＝－2(x －a ＋b 4)2＋18(a ＋b )2.①如图1，当b ≥a ＋b 4，即a >b ≥a3时，当x ＝a ＋b 4时，y max ＝18(a ＋b )2；图1 图2②如图2，当0<b <a ＋b 4，即0<b <a3时，y 在区间(0，b ]上是增函数， 当x ＝b 时，y max ＝(a －b )b .。

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第一章空间向量与立体几何...................................................................................................... - 2 -1.1空间向量及其运算......................................................................................................... - 2 -1.1.1空间向量及其运算.............................................................................................. - 2 -1.1.2空间向量基本定理.............................................................................................. - 9 -1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系................................................................ - 17 -1.2空间向量在立体几何中的应用................................................................................... - 25 -1.2.1空间中的点、直线与空间向量........................................................................ - 25 -1.2.2空间中的平面与空间向量................................................................................ - 32 -1.2.3直线与平面的夹角............................................................................................ - 44 -1.2.4二面角 ............................................................................................................... - 53 -1.2.5空间中的距离 ................................................................................................... - 70 -第一章综合测验 ................................................................................................................... - 81 - 第二章平面解析几何 ................................................................................................................... - 95 -2.1坐标法 .......................................................................................................................... - 95 -2.2直线及其方程............................................................................................................. - 102 -2.2.1直线的倾斜角与斜率...................................................................................... - 102 -2.2.2直线的方程 ..................................................................................................... - 108 -2.2.3两条直线的位置关系...................................................................................... - 119 -2.2.4点到直线的距离.............................................................................................. - 126 -2.3圆及其方程 ................................................................................................................ - 133 -2.3.1圆的标准方程 ................................................................................................. - 133 -2.3.2圆的一般方程 ................................................................................................. - 140 -2.3.3直线与圆的位置关系...................................................................................... - 146 -2.3.4圆与圆的位置关系.......................................................................................... - 154 -2.4曲线与方程................................................................................................................. - 162 -2.5椭圆及其方程............................................................................................................. - 168 -2.5.1椭圆的标准方程.............................................................................................. - 168 -2.5.2椭圆的几何性质.............................................................................................. - 176 -2.6双曲线及其方程......................................................................................................... - 186 -2.6.1双曲线的标准方程.......................................................................................... - 186 -2.6.2双曲线的几何性质.......................................................................................... - 194 -2.7抛物线及其方程......................................................................................................... - 202 -2.7.1抛物线的标准方程.......................................................................................... - 202 -2.7.2抛物线的几何性质.......................................................................................... - 209 -第二章综合训练 ................................................................................................................. - 217 -第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其运算1.下列命题中为真命题的是( ) A.向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆C.空间向量就是空间中的一条有向线段D.不相等的两个空间向量的模必不相等2.下列向量的运算结果为零向量的是( ) A.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗B.PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QG ⃗⃗⃗⃗⃗D.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗3.已知e 1,e 2为单位向量,且e 1⊥e 2,若a =2e 1+3e 2,b =k e 1-4e 2,a ⊥b ,则实数k 的值为( ) A.-6 B.6C.3D.-3a ·b=0,e 1·e 2=0,|e 1|=|e 2|=1,所以(2e 1+3e 2)·(k e 1-4e 2)=0,所以2k-12=0, 所以k=6.故选B .4.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ,点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.a 2 B.12a 2 C .14a 2 D .√34a 2⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·12AD ⃗⃗⃗⃗⃗=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14a×a×12+a×a×12=14a 2.5.(多选)已知四边形ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD 连接AC ,BD ,PB ,PC ,PD ,则下列各组向量中,数量积一定为零的是( ) A.PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B .DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PB ⃗⃗⃗⃗⃗ C.PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D .PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BA⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(BC⃗⃗⃗⃗⃗ )2≠0. 因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥CD , 即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,又因为AD ⊥AB ,AD ⊥PA ,所以AD ⊥平面PAB ,所以AD ⊥PB ,所以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,同理PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,因此B,C,D 中的数量积均为0.故选B,C,D .6.设e 1,e 2是平面内不共线的向量,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+k e 2,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+3e 2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1-e 2,若A ,B ,D 三点共线,则k= .87.化简:12(a +2b -3c )+5(23a -12b +23c)-3(a -2b +c )= .+92b -76c8.如图,平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=AD=1,AA'=2,∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°,则AC'的长为 .√11AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CC'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12+12+22+2×1×1×cos60°+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos60°=11,则|AC'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√11. 9.在四面体ABCD 中,E ,F 分别为棱AC ,BD 的中点,求证:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EF ⃗⃗⃗⃗⃗ .=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =右边,得证. 10.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是C 1D 1,D 1D 的中点,正方体的棱长为1. (1)求<CE⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >的余弦值; (2)求证:BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12.又|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√52,所以cos <CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF⃗⃗⃗⃗⃗ >=25.1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), 所以BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ .11.已知空间向量a =(t ,1,t ),b =(t-2,t ,1),则|a -b |的最小值为( ) A.√2 B.√3C.2D.4a =(t ,1,t ),b =(t-2,t ,1),∴a -b =(2,1-t ,t-1),则|a-b |=√22+(1-t )2+(t -1)2=√2(t -1)2+4, ∴当t=1时,|a-b |取最小值为2.故选C .12.设平面上有四个互异的点A ,B ,C ,D ,已知(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,则△ABC 是( ) A.直角三角形 B .等腰三角形 C.钝角三角形 D .锐角三角形DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |,即△ABC 是等腰三角形. 13.如图,已知PA ⊥平面ABC ,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC 等于( )A.6√2 B .6C.12D .144PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =36+36+36+2×36×cos60°=144,所以PC=12. 14.给出下列几个命题:①方向相反的两个向量是相反向量;②若|a|=|b|,则a=b 或a=-b ;③对于任意向量a ,b ,必有|a+b|≤|a|+|b|.其中所有真命题的序号为 .①,长度相等且方向相反的两个向量是相反向量,故①错误;对于②,若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等,但方向没有任何联系,故不正确;只有③正确.15.等边三角形ABC 中,P 在线段AB 上,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ的值为 .-√22|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a (a>0),由题知,0<λ<1.如图, CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cos A=a 2λ-12a 2, PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(1-λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(λ-1)|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=λ(λ-1)a 2, 则a 2λ-12a 2=λ(λ-1)a 2, 解得λ=1-√22λ=1+√22舍.16.如图,平面α⊥平面β,AC ⊥AB ,BD ⊥AB ,且AB=4,AC=6,BD=8,用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |= .−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2√29CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2 =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16+36+64=116,∴|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√29.17.已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体,AA'的中点为E ,点F 为D'C'上一点,且D'F=23D'C'.(1)化简:12AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)设点M 是底面ABCD 的中心,点N 是侧面BCC'B'对角线BC'上的34分点(靠近C'),设MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =αAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +βAD ⃗⃗⃗⃗⃗ +γAA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,试求α,β,γ的值.由AA'的中点为E ,得12AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D'F=23D'C',因此23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23D 'C '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =D 'F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .从而12AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =EA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 'F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EF⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+34(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(-AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+34(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此α=12,β=14,γ=34.18.如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,M ,N 分别是A 1B ,B 1C 1上的点,且BM=2A 1M ,C 1N=2B 1N.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c . (1)试用a ,b ,c 表示向量MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)若∠BAC=90°,∠BAA 1=∠CAA 1=60°,AB=AC=AA 1=1,求MN 的长.MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(c-a )+a+13(b-a ) =13a+13b+13c.(2)因为(a+b+c )2=a 2+b 2+c 2+2a ·b+2b ·c+2a ·c=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5,所以|a+b+c|=√5,所以|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=13|a+b+c |=√53,即MN=√53. 19.如图所示,已知线段AB 在平面α内,线段AC ⊥α,线段BD ⊥AB ,且AB=7,AC=BD=24,线段BD 与α所成的角为30°,求CD 的长.AC ⊥α,可知AC ⊥AB ,过点D 作DD 1⊥α, D 1为垂足,连接BD 1,则∠DBD 1为BD 与α所成的角,即∠DBD 1=30°,所以∠BDD 1=60°,因为AC ⊥α,DD 1⊥α,所以AC ∥DD 1,所以<CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=60°,所以<CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=120°.又CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为BD ⊥AB ,AC ⊥AB , 所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.故|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗=242+72+242+2×24×24×cos120°=625, 所以|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=25,即CD 的长是25.20.如图所示,在矩形ABCD 中,AB=1,BC=a ,PA ⊥平面ABCD (点P 位于平面ABCD 的上方),则边BC 上是否存在点Q ,使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ?Q (点Q 在边BC 上),使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 连接AQ ,因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥QD. 又PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 又PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 即点Q 在以边AD 为直径的圆上,圆的半径为a2.又AB=1,所以当a2=1,即a=2时,该圆与边BC 相切,存在1个点Q 满足题意; 当a2>1,即a>2时,该圆与边BC 相交,存在2个点Q 满足题意; 当a 2<1,即a<2时,该圆与边BC 相离,不存在点Q 满足题意. 综上所述,当a ≥2时,存在点Q ,使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 当0<a<2时,不存在点Q ,使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .1.1.2 空间向量基本定理1.如图所示,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 为AC 与BD 的交点.若A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )A.-12a +12b +c B.12a +12b +c C.12a -12b +c D.-12a -12b +c1M =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=c +12(-a +b )=-12a +12b +c .2.对于空间一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,且有6OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.O ,A ,B ,C 四点共面 B.P ,A ,B ,C 四点共面 C.O ,P ,B ,C 四点共面 D.O ,P ,A ,B ,C 五点共面6OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )+3(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ),即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.又三个向量的基线有同一公共点P ,∴P ,A ,B ,C 四点共面. 3.(多选)已知点M 在平面ABC 内,并且对空间任意一点O ,有OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x 的值不可能为 ( ) A.1 B .0 C .3D .13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且M ,A ,B ,C 四点共面,∴x+13+13=1,∴x=13.4.已知向量a ,b ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a +6b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =7a -2b ,则一定共线的三点是( ) A.A ,B ,D B .A ,B ,C C.B ,C ,D D .A ,C ,DAD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a +6b =3(a +2b )=3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A ,所以A ,B ,D 三点共线. 5.下列说法错误的是( )A.设a ,b 是两个空间向量,则a ,b 一定共面B.设a ,b 是两个空间向量,则a ·b =b ·aC.设a ,b ,c 是三个空间向量,则a ,b ,c 一定不共面D.设a ,b ,c 是三个空间向量,则a ·(b+c )=a ·b+a ·c设a ,b 是两个空间向量,则a ,b 一定共面,正确,因为向量可以平移;B.设a ,b 是两个空间向量,则a ·b=b ·a ,正确,因为向量的数量积满足交换律;C.设a ,b ,c 是三个空间向量,则a ,b ,c 可能共面,可能不共面,故C 错误;D.设a ,b ,c 是三个空间向量,则a ·(b+c )=a ·b+a ·c ,正确,因为向量的数量积满足分配律.故选C .6.设e 1,e 2是空间两个不共线的向量,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+k e 2,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5e 1+4e 2,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-e 1-2e 2,且A ,B ,D 三点共线,实数k= .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =7e 1+(k+6)e 2,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,故AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即7e 1+(k+6)e 2=x e 1+xk e 2,故(7-x )e 1+(k+6-xk )e 2=0,又e 1,e 2不共线, ∴{7-x =0,k +6-kx =0,解得{x =7,k =1,故k 的值为1. 7.在以下三个命题中,所有真命题的序号为 .①三个非零向量a ,b ,c 不能构成空间的一个基底,则a ,b ,c 共面;②若两个非零向量a ,b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a ,b 共线; ③若a ,b 是两个不共线的向量,而c=λa +μb (λ,μ∈R 且λμ≠0),则{a ,b ,c }构成空间的一个基底.与a ,b 共面,不能构成基底.8.已知平行六面体OABC-O'A'B'C',且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OO '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c . (1)用a ,b ,c 表示向量AC'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)设G ,H 分别是侧面BB'C'C 和O'A'B'C'的中心,用a ,b ,c 表示GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OO '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b+c-a .(2)GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =GO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-OG ⃗⃗⃗⃗⃗ +OH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(OB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12(a+b+c+b )+12(a+b+c+c )=12(c-b ).9.已知三个向量a ,b ,c 不共面,并且p =a +b -c ,q =2a -3b -5c ,r =-7a +18b +22c ,向量p ,q ,r 是否共面?λ,μ,使p =λq +μr ,则a +b -c =(2λ-7μ)a +(-3λ+18μ)b +(-5λ+22μ)c .∵a ,b ,c 不共面,∴{2λ-7μ=1,-3λ+18μ=1,-5λ+22μ=-1,解得{λ=53,μ=13,即存在实数λ=53,μ=13,使p =λq +μr ,∴p ,q ,r 共面.10.如图所示,四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形,且不共面,M ,N 分别是AC ,BF 的中点.判断CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是否共线?M ,N 分别是AC ,BF 的中点,而四边形ABCD ,ABEF 都是平行四边形,∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +12FB⃗⃗⃗⃗⃗ .又MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −12FB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +12FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −12FB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FN ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即CE⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.11.如图,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB=2CD ,点O 为空间内任意一点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,向量OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x a +y b +z c ,则x ,y ,z 分别是 ( ) A.1,-1,2 B.-12,12,1 C.12,-12,1 D.12,-12,-1⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12OA⃗⃗⃗⃗⃗ −12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a -12b+c ,因此,x=12,y=-12,z=1.故选C .12.在平行六面体ABCD-EFGH 中,若AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2y BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +3z DH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x+y+z 等于( )A.76 B .23C .34D .56于AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,对照已知式子可得x=1,-2y=1,3z=1,故x=1,y=-12,z=13,从而x+y+z=56.13.(多选)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P ,M 为空间任意两点,如果有PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么对点M 判断错误的是( ) A.在平面BAD 1内 B .在平面BA 1D 内 C.在平面BA 1D 1内 D .在平面AB 1C 1内=PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6(PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )-4(PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =11PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -6PB ⃗⃗⃗⃗⃗ -4PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且11-6-4=1, 于是M ,B ,A 1,D 1四点共面.14.已知空间单位向量e 1,e 2,e 3,e 1⊥e 2,e 2⊥e 3,e 1·e 3=45,若空间向量m =x e 1+y e 2+z e 3满足:m ·e 1=4,m ·e 2=3,m ·e 3=5,则x+y+z= ,|m |=.√34为e 1⊥e 2,e 2⊥e 3,e 1·e 3=45,空间向量m =x e 1+y e 2+z e 3满足:m ·e 1=4,m ·e 2=3,m ·e 3=5,所以{(xe 1+ye 2+ze 3)·e 1=4,(xe 1+ye 2+ze 3)·e 2=3,(xe 1+ye 2+ze 3)·e 3=5,即{x +45z =4,y =3,45x +z =5,解得{x =0,y =3,z =5,所以x+y+z=8,|m |=√34.15.已知O 是空间任一点,A ,B ,C ,D 四点满足任三点均不共线,但四点共面,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +3y CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +4z DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2x+3y+4z= .1=2x BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +3y CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +4z DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -3y OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -4z OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .由四点共面的充要条件知-2x-3y-4z=1, 即2x+3y+4z=-1.16.如图,设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点,E 为OC 的中点,若AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求x ,y 的值.AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-32OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以x=12,y=-32.17.已知非零向量e 1,e 2不共线,如果AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+e 2,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+8e 2,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 1-3e 2,求证:A ,B ,C ,D 四点共面.:令λ(e 1+e 2)+μ(2e 1+8e 2)+v (3e 1-3e 2)=0,则(λ+2μ+3v )e 1+(λ+8μ-3v )e 2=0.∵e 1,e 2不共线,∴{λ+2μ+3v =0,λ+8μ-3v =0.易知{λ=-5,μ=1,v =1是其中一组解,则-5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.∴A ,B ,C ,D 四点共面.证法二:观察易得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2e 1+8e 2)+(3e 1-3e 2)=5e 1+5e 2=5(e 1+e 2)=5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .由共面向量知,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面. 又它们有公共点A ,∴A ,B ,C ,D 四点共面.18.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是B 1D 1的中点,求证:B 1C ∥平面ODC 1.1C ⃗⃗ =B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵O 是B 1D 1的中点,∴B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,且B 1C ⊄平面OC 1D. ∴B 1C ∥平面ODC 1.19.如图所示,四边形ABCD 是空间四边形,E ,H 分别是边AB ,AD 的中点,F ,G 分别是边CB ,CD 上的点,且CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .求证:四边形EFGH 是梯形.E ,H 分别是边AB ,AD 的中点,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =CG ⃗⃗⃗⃗⃗ −CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34FG⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=34|FG ⃗⃗⃗⃗⃗ |. ∵点F 不在EH 上,∴四边形EFGH 是梯形. 20.已知平行四边形ABCD ,从平面ABCD 外一点O 引向量OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求证:(1)点E ,F ,G ,H 共面; (2)直线AB ∥平面EFGH.∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴k OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OB⃗⃗⃗⃗⃗ . 而OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 同理,EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =k AC⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EG ⃗⃗⃗⃗⃗ k =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ k+EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ k,即EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又它们有同一公共点E ,∴点E ,F ,G ,H 共面. (2)由(1)知EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥EF⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AB ∥EF .又AB ⊄平面EFGH , ∴AB 与平面EFGH 平行,即AB ∥平面EFGH.1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系1.已知向量a =(1,-2,1),a +b =(-1,2,-1),则向量b 等于( ) A.(2,-4,2) B .(-2,4,-2) C.(-2,0,-2) D .(2,1,-3)2.向量a =(1,2,x ),b =(2,y ,-1),若|a |=√5,且a ⊥b ,则x+y 的值为( ) A.-2 B .2 C.-1 D .1{√12+22+x 2=√5,2+2y -x =0,即{x=0,y=-1,∴x+y=-1.3.若△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为()A.√10B.-√10C.2√D.±√10⃗⃗⃗ =(-6,1,2k),CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,2,-k),则CB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6)×(-3)+2+2k(-k)=-2k2+20=0,∴k=±√10.4.若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形=(3,4,2),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,1,3),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-3,1).由AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得A为锐角;由CA⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得C为锐角;由BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得B为锐角.所以△ABC为锐角三角形.5.(多选)如图所示,设Ox,Oy是平面内相交成θ(θ≠π2)角的两条数轴,e1,e2分别是与x,y轴正方向同向的单位向量,则称平面坐标系xOy为θ反射坐标系,若OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x e1+y e2,则把有序数对(x,y)叫做向量OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的反射坐标,记为OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y),在θ=2π3的反射坐标系中,a=(1,2),b=(2,-1).则下列结论正确的是()A.a-b=(-1,3)B.|a|=√3C.a⊥bD.a∥b=(e1+2e2)-(2e1-e2)=-e1+3e2,则a-b =(-1,3),故A 正确; |a |=√(e 1+2e 2)2=√5+4cos2π3=√3,故B 正确;a ·b =(e 1+2e 2)·(2e 1-e 2)=2e 12+3e 1·e 2-2e 22=-32,故C 错误;D 显然错误.6.已知向量a =(1,2,3),b =(x ,x 2+y-2,y ),并且a ,b 同向,则x+y 的值为 .a ∥b ,所以x1=x 2+y -22=y3,即{y =3x ,①x 2+y -2=2x ,②把①代入②得x 2+x-2=0,即(x+2)(x-1)=0, 解得x=-2或x=1. 当x=-2时,y=-6;当x=1时,y=3.则当{x =-2,y =-6时,b =(-2,-4,-6)=-2a ,向量a ,b 反向,不符合题意,故舍去. 当{x =1,y =3时,b =(1,2,3)=a , a 与b 同向,符合题意,此时x+y=4.7.已知向量a =(5,3,1),b =-2,t ,-25,若a 与b 的夹角为钝角,则实数t 的取值范围为 . 答案-∞,-65∪-65,5215解析由已知得a ·b =5×(-2)+3t+1×-25=3t-525,因为a 与b 的夹角为钝角,所以a ·b <0,即3t-525<0,所以t<5215.若a 与b 的夹角为180°,则存在λ<0,使a =λb (λ<0), 即(5,3,1)=λ-2,t ,-25, 所以{5=-2λ,3=tλ,1=-25λ,解得{λ=-52,t =-65, 故t 的取值范围是-∞,-65∪-65,5215.8.已知O 为坐标原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,2),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),点Q 在直线OP 上运动,则当QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时,求Q 的坐标. 解设OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,2-λ,3-2λ),QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-λ,1-λ,2-2λ),所以QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,2-λ,3-2λ)·(2-λ,1-λ,2-2λ)=2(3λ2-8λ+5)=23λ-432-13.当λ=43时,QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值,此时点Q 的坐标为43,43,83.9.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长AB=2,AB 1⊥BC 1,点O ,O 1分别是棱AC ,A 1C 1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求该三棱柱的侧棱长;(2)若M 为BC 1的中点,试用向量AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)求cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >.设该三棱柱的侧棱长为h ,由题意得A (0,-1,0),B (√3,0,0),C (0,1,0),B 1(√3,0,h ),C 1(0,1,h ),则AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,h ),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,h ),因为AB 1⊥BC 1,所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3+1+h 2=0,所以h=√2.(2)AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(3)由(1)可知AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,√2),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0), 所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3+1=-2,|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=2√6=-√66.10.(多选)已知点P 是△ABC 所在的平面外一点,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,4),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),则( ) A.AP ⊥AB B.AP ⊥BP C.BC=√53 D.AP ∥BC⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2-2+4=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AB ,故A 正确;BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3+6-3=6≠0,∴AP 与BP 不垂直,故B 不正确;BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),∴|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√62+12+(-4)2=√53,故C 正确;假设AP⃗⃗⃗⃗⃗ =k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则{1=6k ,-2=k ,1=-4k ,无解,因此假设不成立,即AP 与BC 不平行,故D 不正确.11.已知点A (1,0,0),B (0,-1,1),若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)的夹角为120°,则λ的值为( ) A.√66 B .-√66C.±√66D .±√6OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-λ,λ), cos120°=(OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2λ2+1×2=-12,可得λ<0,解得λ=-√66.故选B .12.已知点A (1,-1,2),B (5,-6,2),C (1,3,-1),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为 .4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3,-1)-(1,-1,2)=(0,4,-3), ∴cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=√42+(-5)×√42+(-3)=-5√41,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ > =√42+(-5)2×-5√41=-4.13.已知空间向量a =(1,-2,3),则向量a 在坐标平面xOy 上的投影向量是 .-2,0)14.已知A ,B ,C 三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ ),则点P 的坐标是 .,12,0)CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,3,-4),设P (a ,b ,c ), 则(a-2,b+1,c-2)=(3,32,-2),∴a=5,b=12,c=0,∴P (5,12,0). 15.如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,侧棱P A ⊥底面ABCD ,AB=√3,BC=1,P A=2,E 为PD 的中点.建立空间直角坐标系, (1)求cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB⃗⃗⃗⃗⃗ >; (2)在侧面P AB 内找一点N ,使NE ⊥平面P AC ,求N 点的坐标.解(1)由题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (√3,0,0),C (√3,1,0),D (0,1,0),P (0,0,2),E 0,12,1,从而AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,-2). 则cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PB ⃗⃗⃗⃗⃗ | =2√7=3√714.∴<AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >的余弦值为3√714. (2)由于N 点在侧面P AB 内,故可设N 点坐标为(x ,0,z ),则NE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-x ,12,1-z , 由NE ⊥平面P AC 可得,{NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0,NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{(-x ,12,1-z)·(0,0,2)=0,(-x ,12,1-z)·(√3,1,0)=0,化简得{z -1=0,-√3x +12=0,∴{x =√36,z =1,即N 点的坐标为√36,0,1.16.已知点A (0,2,3),B (-2,1,6),C (1,-1,5).(1)求以向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在有向线段为边的平行四边形的面积; (2)若|a |=√3,且向量a 分别与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直,求向量a .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-1,3),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3,2), 设θ为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角, 则cos θ=AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+1+9·√1+9+4=12,∴sin θ=√32.∴S ▱=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |sin θ=7√3. ∴以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为边的平行四边形面积为7√3. (2)设a =(x ,y ,z ),由题意,得{-2x -y +3z =0,x -3y +2z =0,x 2+y 2+z 2=3.解得{x =1,y =1,z =1或{x =-1,y =-1,z =-1.∴a =(1,1,1)或a =(-1,-1,-1). 17.P是平面ABC外的点,四边形ABCD是平行四边形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1).(1)求证:P A ⊥平面ABCD ; (2)对于向量a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2),c =(x 3,y 3,z 3),定义一种运算:(a×b )·c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2-x 1y 3z 2-x 2y 1z 3-x 3y 2z 1,试计算(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的绝对值;说明其与几何体P-ABCD 的体积关系,并由此猜想向量这种运算(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的绝对值的几何意义.⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4)·(-1,2,-1)=-2+(-2)+4=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AB.同理,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1)·(4,2,0)=-4+4+0=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即P A ⊥AD.又AB ⊂平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,AB ∩AD=A ,∴P A ⊥平面ABCD.(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=48, 又cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√105,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√21,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5,|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6, V=13|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |·sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >·|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=16,可得|(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=3V P-ABCD . 猜测:|(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |在几何上可表示以AB ,AD ,AP 为棱的平行六面体的体积(或以AB ,AD ,AP 为棱的四棱柱的体积).18.正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为4的正方形,A 1C 1与B 1D 1交于点N ,BC 1与B 1C 交于点M ,且AM ⊥BN ,建立空间直角坐标系. (1)求AA 1的长; (2)求<BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >;(3)对于n 个向量a 1,a 2,…,a n ,如果存在不全为零的n 个实数λ1,λ2,…,λn ,使得λ1a 1+λ2a 2+…+λn a n =0成立,则这n 个向量a 1,a 2,…,a n 叫做线性相关,不是线性相关的向量叫线性无关,判断AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否线性相关,并说明理由.以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设AA 1的长为a ,则B (4,4,0),N (2,2,a ),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,a ),A (4,0,0),M (2,4,a 2),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4,a2),由BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即a=2√2,即AA 1=2√2.(2)BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,2√2),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,0,2√2),cos <BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√63, <BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=arccos √63.(3)由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4,√2),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,2√2),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-4,0),λ1(-2,4,√2)+λ2(-2,-2,2√2)+λ3(0,-4,0)=(0,0,0),得λ1=λ2=λ3=0,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 线性无关.1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.1 空间中的点、直线与空间向量1.已知l 1的方向向量为v 1=(1,2,3),l 2的方向向量为v 2=(λ,4,6),若l 1∥l 2,则λ等于( ) A.1 B .2 C .3 D .4l 1∥l 2,得v 1∥v 2,得1λ=24=36,故λ=2.2.空间中异面直线a 与b 所成角的取值范围是( ) A.[0,π] B.(0,π) C.(0,π2] D.(0,π2),空间中异面直线a 与b 所成角的取值范围是(0,π2]. 3.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,若E 为A 1C 1的中点,则直线CE 垂直于( ) A.BDB.ACC.A 1DD .A 1A。

02第二章函数2.1　函数2.1.1　函数课时过关·能力提升1下列函数中,与函数y=有相同定义域的是( )1x A.f (x )=x 0B.f (x )=1xC.f (x )=|x|D.f (x )=x x2对于函数y=f (x ),下列命题正确的个数为( )①y 是x 的函数;②对于不同的x 值,y 值也不同;③f (a )表示当x=a 时函数f (x )的值,是一个常量.A.1B.2C.3D.0显然正确;不同的x 值可对应同一个y 值,如y=x 2,故②错误.3已知f (x )=x 2-3x ,且f (a )=4,则实数a 等于( )A.4B.-1C.4或-1D.-4或1a 2-3a=4,即a 2-3a-4=0,解得a=4或a=-1.4若M={x|0≤x ≤2},N={y|1≤y ≤2},则下列图形中不能表示以M 为定义域,N 为值域的函数的是( )[0,2],且值域均为[1,2],但选项D 不能构成函数,因为对于任意的x ∈[0,2),对应的y 值有2个,这不符合函数的定义,故选D .5设集合A 和集合B 中的元素都属于N +,映射f :A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素为n 2+n ,则在映射f 下,象20的原象是( )A.4B.5C.4,-5D.-4,5,令n 2+n=20,得n=4或n=-5.又因为n ∈N +,所以n=-5舍去,所以n=4.6函数y=的值域是( )4x 1-x A.{y|y ≠1}B.{y|y ≠4}C.{y|y ≠-4}D.{y|y ≠-1}y==-4+,当x ≠1时,≠0,即-4+≠-4,故函数的值域为{y|y ≠-4}.4x 1-x =4x -4+41-x 41-x 41-x 41-x7函数y=的定义域为( )1-x 2x 2-3x -2A.(-∞,1]B.(-∞,2]C.(-∞,-12)∪(-12,1)D.(-∞,-12)∪(-12,1],应满足{1-x ≥0,2x 2-3x -2≠0,即{x ≤1,x ≠-12,且x ≠2,所以x ≤1,且x ≠-,12即函数的定义域为.(-∞,-12)∪(-12,1]8已知集合M={x|y=x 2+1},N={y|y=x 2+1},则M ∩N 等于 .,得M=R ,N=[1,+∞),故M ∩N=[1,+∞).+∞)9已知f (+1)=x+2,则f (x )= .x xt=+1,则x=(t-1)2,且t ≥1.x 由已知,得f (t )=(t-1)2+2(t-1)=t 2-1,故f (x )=x 2-1(x ≥1).2-1(x ≥1)10若关于x 的函数f (x )=的定义域是{x|x ≤-2},则实数a= .a -xf (x )有意义,应满足a-x ≥0,即x ≤a.因为函数f (x )的定义域为{x|x ≤-2},所以a=-2.211若函数f (x )的定义域是{x|x ≥-2},则函数y=f (-2x+1)的定义域是 .,要使函数y=f (-2x+1)有意义,应满足-2x+1≥-2,即x ≤,故其定义域为.32{x |x ≤32}x |x ≤32}12已知f (x )=,x ∈R ,且x ≠-1,g (x )=x 2-1,x ∈R .1-x 1+x (1)求f (2),g (3);(2)求f (g (3)),f (g (x ));(3)求f (x ),g (x )的值域.因为f (x )=,所以f (2)==-.1-x 1+x 1-21+213又因为g (x )=x 2-1,所以g (3)=32-1=8.(2)f (g (3))=f (8)==-,1-81+879f (g (x ))=,x ≠0.1-g (x )1+g (x )=1-(x 2-1)1+(x 2-1)=2-x 2x 2(3)f (x )==-1+.1-x 1+x =-(1+x )+21+x21+x 因为x ∈R ,且x ≠-1,所以≠0.21+x 所以f (x )≠-1.所以f (x )的值域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),又因为g (x )=x 2-1的定义域是R ,x 2-1≥-1,所以g (x )的值域为[-1,+∞).13已知A={a ,b ,c },B={-1,0,1},映射f :A →B 满足f (a )+f (b )=f (c ).求映射f :A →B 的个数.:由于f (a ),f (b ),f (c )∈{-1,0,1},故符合f (a )+f (b )=f (c )的f (a ),f (b ),f (c )的取值情况如下表所示:f (a)f (b )f (c )000101011-10-10-1-11-10-110由上表可知,所求的映射有7个.方法二:(1)当A 中三个元素都对应0时,f (a )+f (b )=0+0=0,f (c )=0,则有f (a )+f (b )=f (c ),有1个映射.(2)当A 中三个元素对应B 中两个元素时,满足f (a )+f (b )=f (c )的映射有4个,它们分别是f (a )=1,f (b )=0,f (c )=1;f (a )=0,f (b )=1,f (c )=1;f (a )=-1,f (b )=0,f (c )=-1;f (a )=0,f (b )=-1,f (c )=-1.(3)当A 中的三个元素对应B 中三个元素时,有两个映射,它们分别是f (a )=-1,f (b )=1,f (c )=0;f (a )=1,f (b )=-1,f (c )=0.综上可知,满足条件的映射有7个.★14已知函数f (x )=.x 21+x 2(1)求f (2)与f ,f (3)与f ;(12)(13)(2)由(1)中求得的结果,你能发现f (x )与f 的关系吗?并证明你的发现;(1x )(3)求f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 017)+f +f +…+f .(12)(13)(12 017)∵f (x )=,∴f (2)=,x 21+x 2221+22=45f ,(12)=(12)21+(12)2=15f (3)=,321+32=910f .(13)=(13)21+(13)2=110(2)由(1)中的结果发现f (x )+f =1.(1x )证明如下:f (x )+f (1x )=x 21+x 2+(1x )21+(1x )2==1.x 21+x 2+11+x 2(3)f (1)=.121+12=12由(2)知f (2)+f =1,(12)f (3)+f =1,(13)……f (2 017)+f =1,(12017)故原式=12+1+1+1+…+1⏟2 016个1=2 016+12=.4 0332。

第二章检测试题(时间:120分钟满分:150分)【选题明细表】知识点、方法题号函数概念、定义域、值域1,3,7,13,14函数解析式2,10,15,16函数零点4,6,18函数单调性、奇偶性5,8一次函数与二次函数9,10,11,12,17,18 函数综合应用及应用问题12,19,20,21,22 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.函数f(x)=(x-)0+的定义域为( C )(A)(-2,) (B)[-2,+∞)(C)[-2,)∪(,+∞) (D)(,+∞)解析:要使函数有意义,则即即x≥-2且x≠,所以函数的定义域为[-2,)∪(,+∞),故选C.2.已知f(x-1)=2x+3,f(m)=6,则m等于( A )(A)- (B)(C) (D)-解析:令t=x-1,所以x=2t+2,f(t)=4t+7,又因为f(m)=6,即4m+7=6,所以m=-,故选A.3.已知函数y=f(x)的定义域和值域分别为[-1,1]和[5,9],则函数y=f(2x+1)的定义域和值域分别为( C )(A)[1,3]和[11,19] (B)[-1,0]和[2,4](C)[-1,0]和[5,9] (D)[-1,1]和[11,19]解析:由题意,函数y=f(x)的定义域和值域分别为[-1,1]和[5,9],即-1≤x≤1,5≤f(x)≤9. 则函数y=f(2x+1)的定义域-1≤2x+1≤1,得-1≤x≤0.值域为5≤f(2x+1)≤9.故选C.4.函数f(x)=x5+x-3的零点落在区间( B )(A)[0,1] (B)[1,2] (C)[2,3] (D)[3,4]解析:f(0)=05+0-3=-3<0,f(1)=15+1-3=-1<0,f(2)=25-1>0,f(3)=35>0, f(4)=45+1>0,所以f(1)·f(2)<0,故选B.5.已知函数f(x)=,g(x)=+,下列判断正确的是( B )(A)函数f(x)是奇函数,函数g(x)是偶函数(B)函数f(x)不是奇函数,函数g(x)是偶函数(C)函数f(x)是奇函数,函数g(x)不是偶函数(D)函数f(x)不是奇函数,函数g(x)不是偶函数解析:因为f(x)的定义域为{x|x≠2},不关于原点对称,所以f(x)为非奇非偶函数.由得-1≤x≤1.又g(-x)=+=g(x),所以g(x)为偶函数.选B.6.已知x0是f(x)=-x的一个正数零点,若x1∈(0,x0),x2∈(x0,+∞),则( C )(A)f(x1)<0,f(x2)<0 (B)f(x1)<0,f(x2)>0(C)f(x1)>0,f(x2)<0 (D)f(x1)>0,f(x2)>0解析:当x>0时,易知f(x)=-x是减函数,又因为f(x0)=0,所以f(x1)>f(x0)=0,f(x2)<f(x0)=0,故选C.7.函数f(x)=(x∈R)的值域是( B )(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1]解析:对于函数f(x)=,因为x∈R,所以1+x2≥1,所以0<≤1,即值域为(0,1].故选B.8.已知函数g(x)=f(x)-x,若f(x)是偶函数,且f(2)=1,则g(-2)等于( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1解析:f(x)是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=1,所以g(-2)=f(-2)-(-2)=3,故选C.9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列4个结论:①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④b2-4ac>0;其中正确的结论有( B )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:①因为抛物线开口向下,所以a<0.因为抛物线的对称轴为x=-=1,所以b=-2a>0.当x=0时,y=c>0,所以abc<0,①错误;②当x=-1时,y<0,所以a-b+c<0,所以b>a+c,②错误;③因为抛物线的对称轴为x=1,所以当x=2时与x=0时,y值相等,因为当x=0时,y=c>0,所以4a+2b+c=c>0,③正确;④因为抛物线与x轴有两个不相同的交点,所以一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根,所以Δ=b2-4ac>0,④正确.综上可知成立的结论有2个.10.已知函数f(x)=x2+ax-3a-9的值域为[0,+∞),则f(1)等于( C )(A)6 (B)-6 (C)4 (D)13解析:f(x)=x2+ax-3a-9=(x+)2-3a-9-≥--3a-9,由题意,得--3a-9=0,a2+12a+36=0,(a+6)2=0,a=-6,所以f(x)=x2-6x+9,f(1)=12-6×1+9=4.故选C.11.函数f(x)=(a-1)x2+2ax+3为偶函数,那么f(x)在区间(-1,1)上的单调性是( C )(A)增函数(B)减函数(C)在(-1,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数(D)在(-1,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数解析:因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=(a-1)x2-2ax+3=f(x)=(a-1)x2+2ax+3,所以-2a=2a,所以a=0,所以f(x)=-x2+3,所以在区间(-1,1)上,f(x)的单调性为在(-1,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数.选C.12.已知函数f(x)的值域为[-,),则函数g(x)=f(x)+的值域为( B )(A)[,] (B)[,1](C)[,1] (D)(0,]∪[,+∞)解析:设t=,则f(x)=(1-t2),因为f(x)∈[-,],所以≤t≤2,则y=+t=-(t-1)2+1=g(t),函数g(t)的对称轴为t=1,当t=1时,g(t)取得最大值为1,当t=2时,g(t)取得最小值为,所以函数g(x)的值域是[,1].故选B.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)、g(x)分别由下表给出:x 1 2 3f(x) 1 3 1g(x) 3 2 1的值是.解析:由表格,f(g(1))=1,f(g(2))=3,f(g(3))=1,g(f(1))=3, g(f(2))=1,g(f(3))=3,所以满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是2.答案:214.设函数f(x)=若f(f(a))=2,则a= .解析:若a≤0,f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0,因此f(f(a))=-[f(a)]2<0,显然此时无解,若a>0,f(a)=-a2,f(f(a))=a4-2a2+2=2,即a4-2a2=0,解得a2=0(舍去)或a2=2,所以a=.答案:15.若定义在(-∞,1)∪(1,+∞)上的函数f(x)满足f(x)+2f()= 2 017-x,则f(2 019)= .解析:f(x)+2f(1+)=2 017-x,当x=2时,f(2)+2f(2 019)=2 015, ①当x=2 019时,f(2 019)+2f(2)=-2, ②①×2-②,得3f(2 019)=4 032,f(2 019)=1 344.答案:1 34416.函数f(x)是定义在R上的奇函数,下列命题:①f(0)=0;②若f(x)在[0,+∞)上有最小值为-1,则f(x)在(-∞,0]上有最大值为1;③若f(x)在[1,+∞)上为增函数,则f(x)在(-∞,-1]上为减函数;④若x>0时,f(x)=x2-2x,则x<0时,f(x)=-x2-2x,其中正确命题的个数是.解析:f(x)为R上的奇函数,则f(0)=0,①正确;其图象关于原点对称,且在对称区间上具有相同的单调性,所以②正确,③不正确;对于④,x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x),又f(-x)=-f(x),所以f(x)=-x2- 2x,即④正确.答案:3三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知f(x)为一次函数,且满足4f(1-x)-2f(x-1) =3x+18,求函数f(x)在[-1,1]上的最大值,并比较f(2 018)与f(2 017)的大小.解:因为f(x)为一次函数,所以f(x)在[-1,1]上是单调函数,所以f(x)在[-1,1]上的最大值为max{f(-1),f(1)}.分别取x=0和x=2,得解得f(1)=10,f(-1)=11,所以函数f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=11,最小值为f(1)=10.因为f(1)<f(-1),所以f(x)在[-1,1]上是减函数,所以f(x)在R上是减函数.所以f(2 017)>f(2 018).18.(本小题满分12分)已知一次函数f(x)满足2f(2)-3f(1)=5, 2f(0)-f(-1)=1.(1)求这个函数的解析式;(2)若函数g(x)=f(x)-x2,求函数g(x)的零点.解:(1)设f(x)=kx+b(k≠0),由已知有解得所以f(x)=3x-2.(2)由(1)知g(x)=3x-2-x2,令-x2+3x-2=0,得x=2或x=1.所以函数g(x)的零点是x=2和x=1.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x(2-x).(1)求函数f(x)的解析式,并画出函数f(x)的简图(不需列表);(2)讨论方程f(x)-k=0的根的情况.(只需写出结果,不要解答过程)解:(1)当x<0时,-x>0,故f(-x)=-x(2+x),因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=-x(2+x),所以f(x)=作出函数图象如图所示.(2)当k=1或k<0时,f(x)=k有两个解;当k=0时,f(x)=k有三个解;当k>1时,f(x)=k无解;当0<k<1时,f(x)=k有四个解.20.(本小题满分12分)某企业为了保护环境,发展低碳经济,在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了一个把二氧化碳处理转化为一种化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:吨)之间的函数关系可近似地表示为y=且每处理一吨二氧化碳所得的这种化工产品可获利200元,如果该项目不获利,那么亏损额将由国家给予补偿.(1)求x=30时,该项目的月处理成本;(2)当x∈[100,200]时,判断该项目能否获利?如果亏损,那么国家每月补偿数额(单位:元)的范围是多少?解:(1)当x=30时,y=300×30=9 000,所以x=30时,该项目的月处理成本为9 000元.(2)当x∈[100,200]时,设该项目获利为g(x)元,则g(x)=200x-(-10x2+2 000x+4 800)=10x2-1 800x-48 000=10(x-90)2- 129 000,g(x)为单调递增函数,当x=100时,g(x)min=-128 000,当x=200时,g(x)max=-8 000,因此该项目不能获利,故补偿金额的范围是[8 000,128 000].21.(本小题满分12分)设f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.解:当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,只要求出f(x)在[-1,+∞)上的最小值f(x)min.使f(x)min≥a即可,所以问题转化为求x∈[-1,+∞)时,f(x)的最小值.因为f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2,x∈[-1,+∞).(1)当a<-1时,f(x)在[-1,+∞)上是单调增函数,所以当x=-1时,f(x)min=f(-1)=2a+3.所以2a+3≥a,所以a≥-3,所以-3≤a<-1. ①(2)当a≥-1时,当x=a时f(x)取最小值,f(x)min=f(a)=2-a2.所以2-a2≥a,即a2+a-2≤0,即(a-1)(a+2)≤0,解得-2≤a≤1,因为a≥-1,所以-1≤a≤1, ②由①②得,a的取值范围为[-3,1].22.(本小题满分12分)函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f()=.(1)确定函数f(x)的解析式;(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.(1)解:依题意得即解得所以f(x)=.(2)证明:任取-1<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=-=因为-1<x1<x2<1,所以x1-x2<0,1+>0,1+>0.又-1<x1·x2<1,所以1-x1x2>0.所以f(x1)-f(x2)<0.所以f(x)在(-1,1)上是增函数.(3)解:原不等式即f(t-1)<-f(t)=f(-t). 因为f(x)在(-1,1)上是增函数,所以-1<t-1<-t<1,解得0<t<.所以原不等式的解集为{t|0<t<}.。

第二章综合测试(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数f(x)＝a，则f(x2)＝( )A．a2B．aC．x2D．x[答案] B[解析] ∵f(x)＝a，∴函数f(x)为常数函数，∴f(x2)＝a，故选B．2．(2014～2015学年度广东珠海四中高一上学期月考)已知函数f(x)＝12－x的定义域为M，g(x)＝x＋2的定义域为N，则M∩N＝( )A．{x|x≥－2} B．{x|x<2}C．{x|－2<x<2} D．{x|－2≤x<2}[答案] D[解析] 由题意得M＝{x|2－x>0}＝{x|x<2}，N＝{x|x＋2≥0}＝{x|x≥－2}，∴M∩N＝{x|－2≤x<2}．3．在下列由M到N的对应中构成映射的是( )[答案] C[解析] 选项A中，集合M中的数3在集合N中没有数与之对应，不满足映射的定义；选项B中，集合M中的数3在集合N中有两个数a、b与之对应，选项D中，集合M中的数a在集合N中有两个数1、3与之对应不满足映射的定义，故选C．4．(2014～2015学年度重庆南开中学高一上学期期中测试)已知f(x＋1)＝x＋1，则函数f(x)的解析式为( ) A．f(x)＝x2B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x2－2x＋2 D．f(x)＝x2－2x[答案] C[解析] 令x＋1＝t≥1，∴x＝(t－1)2，∴f(t)＝(t－1)2＋1＝t2－2t＋2∴f(x)＝x2－2x＋2(x≥1)．5．(2014～2015学年度山东烟台高一上学期期中测试)若f(x)＝x2－2(a－1)x＋2在(－∞，3]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A．a>4 B．a<4C．a≥4 D．a≤4[答案] D[解析] 函数f(x)的对称轴为x＝a－1，由题意得a－1≥3，∴a≥4.6．已知一次函数y＝kx＋b为减函数，且kb<0，则在直角坐标系内它的大致图象是( )[答案] A[解析] 选项A图象为减函数，k<0，且在y轴上的截距为正，故b>0，满足条件．7．对于“二分法”求得的近似解，精确度ε说法正确的是( )A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关[答案] B[解析] ε越小，零点的精确度越高；重复计算次数与ε有关．8．已知f(x)＝－3x＋2，则f(2x＋1)＝( )A．－3x＋2 B．－6x－1C．2x＋1 D．－6x＋5[答案] B[解析] ∵f(x)＝－3x＋2，∴f(2x＋1)＝－3(2x＋1)＋2＝－6x－1.9．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )[答案] B[解析] 观察图象，根据图象的特点，发现取水深h ＝H2时，注水量V 1>V 02，即水深为水瓶高的一半时，实际注水量大于水瓶总容量的一半，A 中V 1<V 02，C ，D 中V 1＝V 02，故选B ．10．(2014～2015学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)定义在R 上的偶函数f(x)满足：对任意的x 1、x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，都有(x 2－x 1)[f(x 2)－f(x 1)]>0，则( )A ．f(－2)<f(1)<f(3)B ．f(1)<f(－2)<f(3)C ．f(3)<f(－2)<f(1)D ．f(3)<f(1)<f(－2)[答案] C[解析] 由题意知，函数f(x)在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数．又f(－2)＝f(2)，∴f(3)<f(－2)<f(1)．11．定义两种运算：a⊕b＝ab，a⊗b＝a2＋b2，则f(x)＝2⊕xx⊗2－2为( )A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数[答案] A[解析] ∵a⊕b＝ab，a⊗b＝a2＋b2，∴f(x)＝2⊕xx⊗2－2＝2xx2＋22－2＝2xx2＋2，∴在定义域R上，有f(－x)＝2xx2＋2＝－2xx2＋2＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故选A．12．(2014～2015学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则使f x f xx<0的x的取值范围为( )A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)[答案] D[解析] 由f(x)为奇函数，可知f x f xx＝2f xx<0.而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.当x>0时，f(x)<0＝f(1)；当x<0时，f(x)>0＝f(－1)．又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，则奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数，所以0<x<1或－1<x<0.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．(2014～2015学年度青海师范大学附属第二中学高一上学期月考)函数y ＝x －1＋x 的定义域是______________．[答案] [1，＋∞)[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0x ≥0，∴x ≥1，故函数y ＝x －1＋x 的定义域为[1，＋∞)．14．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似根时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定根所在的区间为________．[答案] [1.5,2][解析] 令f(x)＝x 3－2x －1，f(1.5)＝1.53－2×1.5－1<0，f(2)＝23－2×2－1＝3>0，∴f(1.5)·f(2)<0，故可以断定根所在的区间为[1.5,2]．15．函数f(x)＝x 2－mx ＋m －3的一个零点是0，则另一个零点是________．[答案] 3[解析] ∵0是函数f(x)＝x2－mx＋m－3的一个零点，∴m－3＝0，∴m＝3.∴f(x)＝x2－3x.令x3－3x＝0，得x＝0或3.故函数f(x)的另一个零点是3.16．(2014～2015学年度江苏南通中学高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1，且f(－a)＝6，则f(a)＝________.[答案] －4[解析] f(－a)＝a(－a)3＋b(－a)＋1＝－(a4＋ab)＋1＝6，∴a4＋ab＝－5.∴f(a)＝a4＋ab＋1＝－5＋1＝－4.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)(2014～2015学年度四川德阳五中高一上学期月考)设定义域为R 的函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ≤0x 2－2x ＋1x>0.(1)在如图所示的平面直角坐标系内作出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的单调区间(不需证明)；(2)求函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2上的最大值与最小值．[解析] (1)画出函数f(x)的图象如图所示．由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0]，[1，＋∞)；单调递减区间为[0,1]．(2)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋112≤x ≤0x 2－2x ＋10<x ≤2，当－12≤x ≤0时，f(x)max ＝f(0)＝1，f(x)min ＝12，当0<x ≤2时，f(x)min ＝f(1)＝0，f(x)max ＝f(2)＝1，∴函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2上的最大值为1，最小值为0.18．(本小题满分12分)(2014～2015学年度河南省实验中学高一月考)用函数单调性定义证明f(x)＝x ＋2x 在x ∈(0，2)上是减函数． [解析] 设任意x 1∈(0，2)，x 2∈(0，2)，且x 1<x 2.f(x 2)－f(x 1)＝x 2＋2x 2－x 1－2x 1＝(x 2－x 1)＋2x 1－x 2x 2x 1＝(x 2－x 1)(1－2x 2x 1)，∵0<x 1<x 2<2，∴x 2－x 1>0,0<x 2x 1<2，∴1－2x 2x 1<0，∴(x 2－x 1)(1－2x 2x 1)<0，∴f(x 2)<f(x 1)． 即函数f(x)在(0，2)上是减函数．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax 2－2ax ＋3－b(a>0)在区间[1,3]上有最大值5和最小值2，求a 、b 的值．[解析] 依题意，f(x)的对称轴为x ＝1，函数f(x)在[1,3]上随着x 的增大而增大，故当x ＝3时，该函数取得最大值，即f(x)max ＝f(3)＝5,3a －b ＋3＝5，当x ＝1时，该函数取得最小值，即f(x)min ＝f(1)＝2，即－a －b ＋3＝2，∴联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＝2－a －b ＝－1，解得a ＝34，b ＝14. 20．(本小题满分12分)(2014～2015学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝1时，求函数f(x)在[－32，2]上的最值；(2)若函数f(x)在[－32，2]上的最大值为1，求实数a 的值．[解析] (1)当a ＝1时，f(x)＝x 2＋x －3＝(x ＋12)2－133，∴当x ＝－12时，f(x)min ＝－133，当x ＝2时，f(x)max ＝3.(2)函数f(x)的对称轴为x＝12－a，当12－a≤14，即a≥14时，f(x)max＝f(2)＝4a－1＝1，∴a＝1 2 .当12－a>14，即a<14时，f(x)max＝f(－32)＝34－3a＝1，∴a＝－112.∴实数a的值为－112或12.21．(本小题满分12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为了鼓励销售商订购，决定每一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多个时，零件的实际出厂单价恰好为51元？(2)当销售商一次订购x个零件时，该厂获得的利润为P元，写出P＝f(x)的表达式．[解析] (1)设每个零件的实际出厂价格恰好为51元时，一次订购量为x0个，则60－0.02(x0－100)＝51，解得x0＝550，所以当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好为51元．(2)设一次订量为x个时，零件的实际出厂单价为W，工厂获得利润为P，由题意P＝(W－40)·x，当0<x≤100时，W＝60；当100<x<550时，W＝60－0.02(x－100)＝62－x 50；当x≥550时，W＝51.当0<x≤100时，y＝(60－40)x＝20x；∴当100<x<550时，y＝(22－x50)x＝22x－150x2；当x≥550时，y＝(51－40)x＝11x.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x 0<x ≤100，x ∈N ＋22x ＋x 250100<x<550，x ∈N＋11xx ≥550，x ∈N ＋.22．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5有两个零点．(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k 的值； (2)若函数的两个零点是x 1和x 2，求T ＝x 21＋x 22的取值范围．[解析] (1)∵－1和－3是函数f(x)的两个零点， ∴－1和－3是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两个实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧－1－3＝k －2－13k 2＋3k ＋5，解得k ＝－2，经检验满足Δ≥0.(2)若函数的两个零点为x 1和x 2，则x 1和x 2是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝k －2x 1·x 2＝k 2＋3k ＋5k －22－4k 2＋3k ＋50，则T ＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝－k 2－10k －6 ＝－(k ＋5)2＋19(－4≤k ≤－43)∴T 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，－43上的最大值是18，最小值为509，即T 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤509，18.。

1 B.3C. D.23139因为3>1,所以f (3)=.23又因为≤1,23所以f +1=.(23)=(23)2139所以f (f (3))=f,故选D .(23)=139D 21A.(0,2)3A.±∴f(-x)=f(x),即f(-x)=ax2-(1-a2)x-a=ax2+(1-a2)x-a.∴1-a2=0,解得a=±1.当a=1时,f(x)=x2-1,在(0,+∞)内为增函数,满足条件.当a=-1时,f(x)=-x2+1,在(0,+∞)内为减函数,不满足条件.故a=1.C4函数f(x)对于任意x∈R,都有f(x+1)=2f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则f(-1.5)的值是( ) 111155A.(-∞所以f (-x )=-f (x ),所以<0,-3f (x )-2f (x )5x 即>0,f (x )x 即x ·f (x )>0.f (x )的函数图象示意图如图所示,故xf (x )>0时,x 的取值范围是(-2,0)∪(0,2).D6A.(-∞当x ≠-1时,≠0,3x +1即2-≠2.3x +1故函数f (x )的值域是(-∞,2)∪(2,+∞).C7若a<b<c ,则函数f (x )=(x-a )(x-b )+(x-b )·(x-c )+(x-c )(x-a )的两个零点分别位于区间( )A.(a b )和(b ,c )内-∞,a )和(a ,b )内c )和(c ,+∞)内8息知营销人员没有销售时的收入是B 9已知函数f (x )的图象向左平移1个单位长度后关于y 轴对称,当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)]·(x 2-x 1)<0,设a=f ,b=f (2),c=f (3),则a ,b ,c 的大小关系为( )(-12)c>a>bB.c>b>a a>c>b D.b>a>c根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x=1对称,且在(1,+∞)上是减函数.由a=f=f ,故b>a>c.(-12)(52)D 10{A .最大值为.由解得{y =3+2x ,y =x 2-2x ,11若f (x )=f (a )=15,则a= .{x 2-1,x ≤0,-3x ,x >0,解析若当a ≤0时,有f (a )=a 2-1=15,解得a=-4(a=4舍去);若当a>0时,有f (a )=-3a=15,解得a=-5舍去.综上可知,a=-4.-412用二分法求方程x 3+4=6x 2的一个近似解时,已经将一个根锁定在区间(0,1)内,则下一步可断定此根所在的区间为 .设f (x )=x 3-6x 2+4,显然f (0)>0,f (1)<0.1314在如图所示的锐角三角形空地上,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x 为m .如图所示,设DE=x m,MN=y m,由三角形相似得,,即,x 40=AD AB =AN AM=40-y 40x 40=40-y 40得x+y=40,即y=40-x (0<x<40).故S=xy=x (40-x )=-x 2+40x ,15a )>f (3a )可得4(-∞,12)三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)已知函数f (x )=x 2+x+a.若a=,求f (x )的零点;14若函数f (x )有两个不同的零点,求实数a 的取值范围.(1)当a=时,f (x )=x 2+x+.1414由f (x )=0得x 2+x+=0,1417所以f(x)在(0,+∞)内是增函数.又因为f(x+6)>2,所以f(x+6)>f(16),即x+6>16,解得x>10.故x的取值范围是(10,+∞).18(9分)已知函数f(x)=x|x-a|(a∈R).(1)当a=2时,在给定的平面直角坐标系中作出f(x)的图象,并写出f(x)的单调区间;1,2]上的值域.2,<2,由图象可知,f(x)的单调递增区间是(x)在(-∞,-2]和[-1,+∞22而当x∈(--1,2]时,f(x)在(--1,-2]和[-1,2]上是单调递增的,在[-2,-1]上是单调递减的,故当x=-1时,f(x)取最小值f(-1)=-1;当x=2时,f(x)取最大值f(2)=8,故函数f(x)的值域为[-1,8].19(10分)设f(x)是(-∞,+∞)内的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值;当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.(1)由f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),故f(π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.20若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水求y关于x的函数关系式.当a=120时,若该班每年需要纯净水380桶,请你根据提供的信息比较,该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用,哪一种更少?说明你的理由.当a至少为多少时,该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定不会超过该班全体学生购买饮料的年总费用?(1)设y=kx+b(k≠0).∵当x=8时,y=400;当x=10时,y=320,{400=8k+b,{k=-40,P=xy=x(-40x+720)=-40(x-9)2+3 240,故当x=9时,P max=3 240.要使饮用桶装纯净水的年总费用一定不会超过该班全体学生购买饮料的年总费用,则51a≥P max+228,解得a≥68,故a至少为68时全班饮用桶装纯净水的年总费用一定不会超过该班全体学生购买饮料的年总费用.。