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课后习题及答案第4章快速傅里叶变换习题答案.pdf

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傅里叶变换习题及答案

傅里叶变换习题及答案

傅里叶变换习题及答案傅里叶变换习题及答案傅里叶变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、物理学等领域。

它能够将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的和，从而将时域上的函数转换为频域上的函数。

为了帮助读者更好地理解和掌握傅里叶变换，本文将介绍一些傅里叶变换的习题，并提供相应的答案。

1. 问题：计算函数 f(t) = 2cos(3t) + 4sin(5t) 的傅里叶变换。

解答：根据傅里叶变换的定义，我们可以将 f(t) 表示为一系列正弦和余弦函数的和。

首先，我们需要计算 f(t) 的频谱。

根据欧拉公式，我们可以将 cos(3t) 和sin(5t) 表示为指数形式。

cos(3t) = (e^(3it) + e^(-3it)) / 2sin(5t) = (e^(5it) - e^(-5it)) / 2i将上述结果代入 f(t) 的表达式中，得到：f(t) = 2((e^(3it) + e^(-3it)) / 2) + 4((e^(5it) - e^(-5it)) / 2i)= e^(3it) + e^(-3it) + 2i(e^(5it) - e^(-5it))接下来，我们需要计算 f(t) 的傅里叶变换F(ω)。

根据傅里叶变换的定义，可以得到：F(ω) = ∫[(-∞,∞)] f(t)e^(-iωt) dt将 f(t) 的表达式代入上述公式中，并进行积分计算，得到：F(ω) = ∫[(-∞,∞)] (e^(3it) + e^(-3it) + 2i(e^(5it) - e^(-5it)))e^(-iωt) dt通过对每一项进行积分计算，最终得到F(ω) 的表达式为：F(ω) = π(δ(ω - 3) + δ(ω + 3)) + 2πi(δ(ω - 5) - δ(ω + 5))其中，δ(x) 表示Dirac δ 函数。

2. 问题：计算函数 f(t) = e^(-2t)u(t) 的傅里叶变换。

解答：首先，我们需要将 f(t) 表示为指数形式。

数字信号处理答案(第三版)清华大学

数字信号处理答案(第三版)清华大学

数字信号处理教程课后习题答案目录第一章离散时间信号与系统第二章Z变换第三章离散傅立叶变换第四章快速傅立叶变换第五章数字滤波器的基本结构第六章无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法第七章有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器的设计方法第八章数字信号处理中有限字长效应第一章 离散时间信号与系统1 .直接计算下面两个序列的卷积和)n (h *)n (x )n (y =请用公式表示。

分析：①注意卷积和公式中求和式中是哑变量m （ n 看作参量）， 结果)(n y 中变量是 n ,; )()()()()(∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=m m m n x m h m n h m x n y ②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，; )( )( 4n y n n y n 值的，如此可求得所有值的）相加，求得一个（③ 围的不同的不同时间段上求和范一定要注意某些题中在 n00 , 01()0 , ,()0,n n n a n N h n n n n x n n n β-⎧≤≤-=⎨⎩⎧≤⎪=⎨<⎪⎩其他如此题所示，因而要分段求解。

)(5.0)(,)1(2 )()4()(5.0)(,)2( )()3()()(,)( )()2()()(,)( )()1(3435n u n h n u n x n R n h n n x n R n h n R n x n R n h n n x n n n =--==-=====δδ2 .已知线性移不变系统的输入为)n (x ,系统的单位抽样响应 为)n (h ,试求系统的输出)n (y ,并画图。

分析：①如果是因果序列)(n y 可表示成)(n y ={)0(y ，)1(y ，)2(y ……}，例如小题（2）为)(n y ={1，2，3，3，2，1} ;②)()(*)( , )()(*)(m n x n x m n n x n x n -=-=δδ ;③卷积和求解时，n 的分段处理。

数字信号处理课后答案第3和4章fb

数字信号处理课后答案第3和4章fb

[e 2
n0
N 1
j 0 n
e
]e
j N j N 1 e 0 1 e 0 2π 2π j( 0 k) j( 0 k) 2 N N 1 e 1 e

第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
解法二
因为
由DFT共轭对称性可得同样结果。
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
(6)
2π kn X (k ) cos mn W N N n0

N 1

N 1
1 2
j
2π N
mn
(e
e
-j
2π N
mn
-j
2π N
kn
)e
n0

1 2

N 1
j
2π N
(mk )n
e

1 2
n0

N 1
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
教材第3章习题与上机题解答
1． 计算以下序列的N点DFT， 在变换区间0≤n≤N－1内， 序列定义为 (1) x(n)=1 (2) x(n)=δ(n) (3) x(n)=δ(n－n0) 0<n0<N (4) x(n)=Rm(n) 0<m<N
1 2j
j(
2π N
mn )
[e
e
j(
2π N
mn )
]
2π sin mn N
n=0, 1, …, N－1
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
3． 已知长度为N=10的两个有限长序列：

课后习题及答案第4章快速傅里叶变换习题答案.pdf

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和共轭反对称分量， 即
F(k)=X(k)+jY(k)=Fep(k)+Fop(k) 计算一次 N 点 IFFT 得到
f(n)=IFFT［F(k)］=Re［f(n)］+j Im［f(n)］ 由 DFT 的共轭对称性可知
Re［f(n)］=IDFT［Fep(k)］=IDFT［X(k)］=x(n) j Im［f(n)］=IDFT［Fop(k)］=IDFT［jY(k)］=jy(n)
X (k + N ) = X1(k) −W2kN X 2 (k)
k = 0,1,L, N −1
由上式可解出
X1(k)
=
1 2
[
X
(k)
+
X
(k
+
N )]
X
2
(k)
=
1 2
[X
(k)
+
X
(k
+
N
)]W2−Nk
k = 0,1, 2,L, N −1
由以上分析可得出运算过程如下：
（1）由 X(k)计算出 X1(k)和 X2(k):
Xk=conj(Xk)；
%对 Xk 取复共轭
xn=conj(fft(Xk， N))/N； %按照所给算法公式计算 IFFT
分别对单位脉冲序列、 长度为 8 的矩形序列和三角序列进行 FFT， 并调
用函数 ifft46 计算 IFFT 变换， 验证函数 ifft46 的程序 ex406.m 如下：
%程序 ex406.m
Tc = 2TF +1024 次复数乘计算时间 = 2 × 0.1536×10−3 +10×10−9 ×1024
= 0.317 44 ms 可实时处理的信号最高频率 fmax 为

《数字信号处理》课后答案

《数字信号处理》课后答案

数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。

解：()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它（1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。

解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。

（2）()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-（3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。

（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。

（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。

3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

（1）3()cos()78x n A n ππ=-，A 是常数；（2）1()8()j n x n e π-=。

解：（1）3214,73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； （2）12,168w wππ==，这是无理数，因此是非周期序列。

5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。

第四章 快速傅里叶变换

第四章 快速傅里叶变换

运 算
X[3] 2WN0 3WN3 3WN6 2WN9 1 j
复数加法 N(N-1)
复数乘法 N 2
效 率
?
1.将长序列DFT分解为短序列的DFT 由于DFT的运算量与N2成正比，N越小，
DFT的运算量越少。所以如果把一个长序列 的DFT能分解为短序列的DFT的组合，则显 然可取得减少运算工作量的效果。
N 1
X (k) DFT[x(n)]
x(n)W
kn N
n0
N 1
N 1
x(n)WNkn＋ x(n)WNkn
n0 n为偶数
n0 n 为奇数
N / 21
N / 21
＝ x(2r)WN2rk x(2r 1)WN(2r1)k
r 0
r 0
N / 21
N / 21
＝ x1 (r)WN2rk WNk x2 (r)WN2rk
X 3 (k) WNk / 2 X 4 (k)
k 0,1, , N 1 4
将系数统一为以Ｎ为周期，即
，可得
Wk N/2
WN2k
X X
1 1
(k (k
) X 3 (k) WN2k X 4 (k) N / 4) X 3 (k) WN2k
X
4
(k
)
k 0,1, , N 1 4
同样，对也可进行类似的分解。一直分解
第4章 快速傅里叶变换
4.1 快速傅里叶变换
4点序列{2，3，3，2} DFT的计算复杂度 如
N 1
X [k] x[k]WNkn
何 提
n0
高
X[0] 2WN0 3WN0 3WN0 2WN0 10
DFT
X[1] 2WN0 3WN1 3WN2 2WN3 1 j

(完整版)通信原理第七版课后答案解析樊昌信

第一章习题习题1.1 在英文字母中E 出现的概率最大，等于0.105，试求其信息量。

解：E 的信息量：()()b 25.3105.0log E log E 1log 222E =-=-==P P I习题1.2 某信息源由A ，B ，C ，D 四个符号组成，设每个符号独立出现，其出现的概率分别为1/4，1/4，3/16，5/16。

试求该信息源中每个符号的信息量。

解：b A P A P I A 241log )(log )(1log 222=-=-==b I B 415.2163log 2=-= b I C 415.2163log 2=-= b I D 678.1165log 2=-= 习题1.3 某信息源由A ，B ，C ，D 四个符号组成，这些符号分别用二进制码组00，01，10，11表示。

若每个二进制码元用宽度为5ms 的脉冲传输，试分别求出在下列条件下的平均信息速率。

（1） 这四个符号等概率出现； （2）这四个符号出现概率如习题1.2所示。

解：（1）一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持续时间为2×5ms。

传送字母的符号速率为Bd 100105213B =⨯⨯=-R 等概时的平均信息速率为b 2004log log 2B 2B b ===R M R R（2）平均信息量为符号比特977.1516log 165316log 1634log 414log 412222=+++=H 则平均信息速率为 b 7.197977.1100B b =⨯==H R R习题1.4 试问上题中的码元速率是多少？解：311200 Bd 5*10B B R T -===错误!未找到引用源。

习题1.5 设一个信息源由64个不同的符号组成，其中16个符号的出现概率均为1/32，其余48个符号出现的概率为1/96，若此信息源每秒发出1000个独立的符号，试求该信息源的平均信息速率。

解：该信息源的熵为96log 961*4832log 321*16)(log )()(log )()(22264121+=-=-=∑∑==i i i i M i i x P x P x P x P X H=5.79比特/符号因此，该信息源的平均信息速率 1000*5.795790 b/s b R mH ===错误!未找到引用源。

数字信号处理第4章习题解答教材



DFT [x2 (n)]

DFT {Im[ w(n )]}

1 j Wop (k )

1 2j
[W
((k )) N
W
* (( N

k )) N
]RN
(k)
解：由题意 X k DFT xn，Y k DFT y n 构造序列 Z k X k jY k 对Z k 作一次N点IFFT可得序列z n z(n) IDFT Z k
Re[w(n)] j Im[w(n)]
Wep (k) Wop (k)
由x1(n) Re[w(n)]得
X1(k) DFT[x1(n)] DFT{Re[w(n)]} Wep (k)

1 2
[W
((k
))
N
W *((N

k ))N
]RN
(k)
由x2 (n) Im[w(n)]得
X 2 (k )
(2) 按频率抽取的基-2FFT流图
同样共有L = 4级蝶形运算，每级N / 2 = 8个蝶形运算
基本蝶形是DIT 蝶形的转置
X m1(k )
X m1( j)
WNr
-1
X m (k ) Xm( j)
每个蝶形的两节点距离为2Lm ，即从第一级到 第四级两节点距离分别为8，4，2，1。
系数WNr的确定：r (k )2 2m1 即k的二进制左移m 1位补零
3. N=16 时，画出基 -2 按时间抽取法及按频率抽取法 的 FFT 流图（时间抽取采用输入倒位序，输出自然数 顺序，频率抽取采用输入自然顺序，输出倒位序）。
解： 自然序
倒位序
0 0000 0000 0 1 0001 1000 8 2 0010 0100 4 3 0011 1100 12 4 0100 0010 2 5 0101 1010 10 6 0110 0110 6 7 0111 1110 14

《数字通信基础》第4章答案

第四章习题解
4-1 已知线性调制信号表示式如下： (1) cos t cos c t (2) (1 0.5sin t ) cos c t 式中， c 6 。试分别划出它们的波形图和频谱图。 [解] (1) 波形图：
频谱图：
S()
/2
c
c
c +
c
4-7 设某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度 Pn ( f ) =0.5103W/Hz， 在该信道中传输抑制
载波的双边带信号，并设调制信号 m(t ) 的频带限制在 5kHz，而载波为 100kHz，已调信号 的功率为 10kW。若接收机的输入信号在加至解调器之前，先经过带宽为 10kHz 的一理想带 通滤波器滤波，试问： (1) 该理想带通滤波器的中心频率为多大？ (2) 解调器输入端的信噪功率比为多少？ (3) 解调器输出端的信噪功率比为多少？ (4) 求出解调器输出端的噪声功率谱密度，并用图形表示出来。 [解] (1) 该理想带通滤波器的中心频率为 100kHz。 (2)
Si 10 103 (W)， N i n0 B 2 0.5 103 10 103 10 (W)。所以，
Si 10000 1000 。 Ni 10
(3) 因为抑制载波的双边带调制的信噪比增益 G 2 ，所以
So S G i 2 1000 2000 。 No Ni
接收机输入信号功率
1 2 1 m (t ) Pm (t )df 2 2 fm n f 1 2 m df 0 2 2 fm 1 nm f m 4 1 （2）输出信号为 mout (t ) m(t ) ，所以输出信号功率 2 1 2 1 PSout m (t ) nm f m 4 8 Psin

傅立叶光学习题解答及参考答案

第一章 傅里叶分析部份习题解答及参考答案[1-1] 试分别写出图X1－1中所示图形的函数表达式。

图X1-1 习题[1-1]各函数图形解：(a)−∧L x x a 0 (b) () ∧−−L x b a L x a 2rect(c) ()x L x a sgn 2rect (d) x L x cos 2rect[1-2] 试证明下列各式。

(1) += 21comb 21comb x x- (2) ()()x i e x x x πcomb comb 2comb +=(3)()()()x x N x N ππsin sin lim comb ∞→= (4) ()()xx x πωδωsin lim ∞→=(5)()()∫∞∞−=ωωπδd cos 21x x (6)()ωπδωd 21∫∞∞−±=x i e x解：(1)原式左端∑∑∞−∞=∞−∞=+−−=−−=m n m x n x 12121δδ 令()1−=m n=−+=∑∞−∞=m m x 21δ右端 (2)()∑∑∞−∞=∞−∞=−=−= n n n x n x x 2222comb δδ n 2只取偶数()()∑∞−∞=−=m m x x δcomb()()πδδππm m x e m x e x m im m x i cos 2comb ∑∑∞−∞=∞−∞=−=−=当=m 奇数时，()()0comb comb =+xi ex x π；当=m 偶数时，令n m 2=，则12 cos =x π，并且有： ()()()∑∞−∞=−=+n n x x x 22e comb comb xi δπ 得证。

(3)由公式(1-8-7)知：()∑∞−∞=−=n nxex π2i comb上式可视为等比级数求和，其前N 项之和为：()()()()()x Nx e e e e e e e e q q a S x i x i x i Nx i Nx i Nx i x i Nx i N N ππππππππππsin sin 1111221=−−=−−=−−=−−−−−− 所以 ()()()x Nx S x N N N ππsin sin limlim comb ∞→∞→==得证。

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Tc = 2TF +1024 次复数乘计算时间 = 2 × 0.1536×10−3 +10×10−9 ×1024
= 0.317 44 ms 可实时处理的信号最高频率 fmax 为
f
max
≤
1 2
Fs
=
1 2
·
由此可见，
1024 = 用TDc SP
1 ·3.1158 MHz=1.6129 MHz 2 专用单片机可大大提高信号处理速度。
令
y(n)=x1(n)+jx2(n)
Y(k)=DFT［y(n)］
k=0, 1, …, N－1
则
X1(k)
=
DFT[ x1 (n)]
=
Yep (k )
=
1 2
[Y
(k)
+Y
*(N
−
k )]
jX 2 (k)
=
DFT[ jx2 (n)]
=
Yep (k )
=
1 2
[Y
(k)
−Y*(N
−
k )]
2N 点 DFT［x（n）］=X（k）可由 X1(k)和 X2(k)得到
x2(n)=x(2n+1)
n=0, 1, …, N－1
2
根据 DIT-FFT 的思想， 只要求得 x1(n)和 x2(n)的 N 点 DFT， 再经过简单 的一级蝶形运算就可得到 x(n)的 2N 点 DFT。因为 x1(n)和 x2(n)均为实序列， 所 以根据 DFT 的共轭对称性， 可用一次 N 点 FFT 求得 X1(k)和 X2(k)。 具体方法 如下：
（2） 与（1）相同， 设
x1(n)=x(2n)
n=0, 1, …, N－1
x2(n)=x(2n+1)
n=0, 1, …, N－1
X1(k)=DFT［x1(n)］
k=0, 1, …, N－1
X2(k)=DFT［x2(n)］
k=0, 1, …, N－1
则应满足关系式
X (k) = X1(k) + W2kN X 2 (k)
积的计算时间 Tc 约为 Tc = 2TF +1024次复数乘计算时间 = 71680 µs + 4×1024 µs = 65536 µs
所以， 每秒钟处理的采样点数（即采样速率）
Fs
<
1024 65536 ×10−6
= 15
625
次/秒
由采样定理知， 可实时处理的信号最5 2
X (k) = X1(k) + W2kN X 2 (k)
X (k + N ) = X1(k) −W2kN X 2 (k)
k = 0,1,L, N −1
这样， 通过一次 N 点 IFFT 计算就完成了计算 2N 点 DFT。 当然还要进行由
Y(k)求 X1(k)、 X2(k)和 X(k)的运算(运算量相对很少)。
用 FFT 计算 1024 点 DFT 所需计算时间 TF 为
TF
=
5 ×10−6
×
N 2
lbN
+
NlbN
×10−6
= 5×10−6 × 1024 ×10 +1024×10×10−6 2
= 30.72 ms
快速卷积时， 需要计算一次 N 点 FFT（考虑到 H(k)= DFT［h(n)］已计算好存
入内存）、 N 次频域复数乘法和一次 N 点 IFFT。 所以， 计算 1024 点快速卷
所以，
DSP
在数字信号处理领域得到广泛应用。机器周期小于 1 ns 的 DSP 产品已上市， 其
处理速度更高。
3. 解: 因为 x(n)和 y(n)均为实序列， 所以， X(k)和 Y(n)为共轭对称序列，
jY(k)为共轭反对称序列。 可令 X(k)和 jY(k)分别作为复序列 F(k)的共轭对称分量
故 x(n) = 1 [ f (n) + f ∗(n)] 2
y(n) = 1 [ f (n) − f ∗ (n)] 2j
4. 解: 本题的解题思路就是 DIT-FFT 思想。
（1）在时域分别抽取偶数和奇数点 x(n)，得到两个 N 点实序列 x1(n)和 x2(n)：
x1(n)=x(2n)
n=0, 1, …, N－1
3
X1(k)
=
1 2
[
X
(k)
+
X
(k
+
N
)]
X2
(k)
=
1 2
[X
(k)
+
X
(k
+
N
)]W2−Nk
② 由 X1(k)和 X2(k)构成 N 点频域序列 Y(k):
Y(k)=X1(k)+jX2(k)=Yep(k)+Yop(k)
其中， Yep(k)=X1(k), Yop(k)=jX2(k)， 进行 N 点 IFFT， 得到
X (k + N ) = X1(k) −W2kN X 2 (k)
k = 0,1,L, N −1
由上式可解出
X1(k)
=
1 2
[
X
(k)
+
X
(k
+
N )]
X
2
(k)
=
1 2
[X
(k)
+
X
(k
+
N
)]W2−Nk
k = 0,1, 2,L, N −1
由以上分析可得出运算过程如下：
（1）由 X(k)计算出 X1(k)和 X2(k):
1
TD=10×10－9×10242+10×10－9×1 047 552=20.961 28 ms
用 FFT 计算 1024 点 DFT 所需计算时间 TF 为
TF
= 10 ×10−9
×
N 2
l
bN
+10 ×10−9
×
N
l bN
= 10−8 × 1024 ×10 +10−8 ×1024×10 2
= 0.1536 ms 快速卷积计算时间 Tc 约为
和共轭反对称分量， 即
F(k)=X(k)+jY(k)=Fep(k)+Fop(k) 计算一次 N 点 IFFT 得到
f(n)=IFFT［F(k)］=Re［f(n)］+j Im［f(n)］ 由 DFT 的共轭对称性可知
Re［f(n)］=IDFT［Fep(k)］=IDFT［X(k)］=x(n) j Im［f(n)］=IDFT［Fop(k)］=IDFT［jY(k)］=jy(n)
第 4 章 快速傅里叶变换（FFT）
习题答案
1. 解: 当 N=1024=210 时， 直接计算 DFT 的复数乘法运算次数为
N2=1024×1024=1 048 576 次
复数加法运算次数为
N（N－1）=1024×1023=1 047 552 次
直接计算所用计算时间 TD 为
TD=4×10－6×10242+1 047 552×10－6=5.241 856 s
= 7.8125
kHz
应当说明， 实际实现时， fmax 还要小一些。 这是由于实际中要求采样频 率高于奈奎斯特速率， 而且在采用重叠相加法时， 重叠部分要计算两次。 重 叠部分长度与 h(n)长度有关， 而且还有存取数据和指令周期等消耗的时间。 2. 解: 与第 1 题同理。
直接计算 1024 点 DFT 所需计算时间 TD 为