专题探讨-二次函数与等腰三角形的综合考察

二次函数与等腰三角形的综合一、代数解法，不考虑点的位置，利用两点间距离公式，构建方程求解。

例1：已知，一条抛物线的顶点为E（-1，4），且过点A（-3，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且-3＜m＜-1，过点D作DK⊥x轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．⑴求这条抛物线的解析式；⑵求证：GH＝HK；⑶当△CGH是等腰三角形时，求m的值．练习1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝-x2+bx+c与x轴相交于原点O和点B（4，0），点A（3，m）在抛物线上．⑴求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；⑵若点P为线段OA上方抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线，交OA于点Q，求线段PQ长度的最大值．⑶求tan∠OAB的值．⑷在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得△BAN为以AB为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由，若存在，请直接写出点N的坐标．练习2．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4交x 轴于A （ 3，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．⑴求此抛物线的表达式：⑵过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N ，请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？⑶试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．练习3．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）经过原点O 和（a ，161）两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A （0，2）．⑴a ＝，b ＝，c ＝；⑵求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；⑶设⊙P 与x 轴相交于M 、N 两点，M 在N 的左边．当△AMN 为等腰三角形时，直接写出圆心P的横坐标．二、几何解法，结合图形特点，进行图形转化求解。

二次函数在数学中是一个非常重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。

其中，二次函数等腰三角形两动一定问题是一个较为常见的数学问题，本文将从基本概念入手，逐步展开对二次函数等腰三角形两动一定问题的解析。

1. 二次函数的基本概念二次函数是指数学中的一种函数形式，其一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数且a≠0。

二次函数的图像是一条开口朝上或朝下的抛物线，其开口方向取决于a的正负。

二次函数在代数、几何、物理等领域都有着广泛的应用，因此对二次函数的研究具有重要意义。

2. 等腰三角形的基本概念等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。

在等腰三角形中，两个相等的边称为等腰边，而夹在等腰边之间的角称为顶角。

等腰三角形在几何学中具有重要的地位，其性质和应用也是我们在学习和实际生活中经常遇到的。

3. 二次函数等腰三角形两动一定问题在数学问题中，我们经常会遇到求解关于二次函数和等腰三角形的结合问题。

其中，二次函数等腰三角形两动一定问题即是其中之一。

这类问题通常涉及到二次函数图像与等腰三角形的关系，需要通过数学方法去分析和求解。

4. 解析二次函数等腰三角形两动一定问题的方法4.1 分析二次函数的图像特点我们需要通过对二次函数的图像特点进行分析，来理解二次函数与等腰三角形的关系。

通过对二次函数的开口方向、顶点、对称轴等特征进行研究，可以为后续的问题解决提供重要的线索。

4.2 探讨等腰三角形的性质我们需要对等腰三角形的性质进行深入探讨。

通过对等腰三角形的角度、边长、高度等特性进行分析，可以为问题的解决提供必要的几何基础。

4.3 利用二次函数的性质解决问题我们可以利用二次函数的性质，结合等腰三角形的几何特性，来解决二次函数等腰三角形两动一定问题。

通过建立方程、求解交点、推导关系式等方法，可以得出最终的答案。

5. 实例分析为了更好地理解二次函数等腰三角形两动一定问题的解决方法，我们可以通过实例进行详细分析。

选取一个具体的二次函数和等腰三角形，通过具体计算和推导，来展示问题的解决过程和思路。

二次函数与等腰三角形判定
二次函数与等腰三角形之间的关系可以从几何和代数两个角度来进行探讨。

首先从几何角度来看，等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。

而二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向可以是向上或向下。

当二次函数的图像是向上开口或向下开口的抛物线时，我们可以通过观察其顶点来判断与等腰三角形的关系。

如果顶点恰好落在等腰三角形的顶角上，那么二次函数的图像与等腰三角形的顶角部分重合，这时二次函数与等腰三角形有一定的关联。

其次从代数角度来看，我们可以通过二次函数的标准形式或一般形式来判断与等腰三角形的关系。

二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别代表抛物线的开口方向、顶点横坐标和纵坐标。

等腰三角形的特点是两条边相等，因此可以通过二次函数的一般形式y = a(x h)^2 + k来判断与等腰三角形的关系。

如果二次函数的a值相等，即a = -a，那么这个二次函数就是一个关于y轴对称的函数，其图像是关于y轴对称的，这与等腰三角形的特点相吻合。

综上所述，二次函数与等腰三角形之间的关系可以从几何和代数两个角度来进行分析。

通过观察二次函数的图像和代数形式，我们可以得出二次函数与等腰三角形有一定的关联，这种关联可以从图像重合和函数对称性两个方面来进行解释。

专题1二次函数与等腰三角形问题在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC 的∠A （的余弦值）是确定的，夹∠A 的两边AB 和AC 可以用含x 的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB ＝AC ，直接列方程；②如图2，如果BA ＝BC ，那么1cos 2AC AB A =∠；③如图3，如果CA ＝CB ，那么1cos 2AB AC A =∠．图1图2图3代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．222222222()(y ),()(y ),()(y )A B A B A C A C B C B C AB x x y AC x x y BC x x y =-+-=-+-=-+-，然后根据分类：AB=AC ，BA=BC ，CA=CB 列方程进行计算.【例1】（2022•百色）已知抛物线经过A （﹣1，0）、B （0，3）、C （3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC 的边BD 于点E ，点M 为射线BD 上一动点，连接OM ，交BC 于点F ．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF ＝∠BDF ；（3）是否存在点M ，使△MDF 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME 的长．【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，即可得解；（2）根据正方形的性质得出∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，再由BF＝BF，得出△BOF≌△BDF，最后利用全等三角形的性质得出结论；（3）分两种情况讨论解答，当M在线段BD的延长线上时，先求出∠M，再利用解直角三角形得出结果，当M在线段BD上时，得出∠BOM＝30°，类比①解答即可．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．【例2】（2022•河池）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y 轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF ＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；（3）若将抛物线L1绕点B旋转°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出a，b的值即可；（2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．首先证明∠DCB ＝90°，利用面积法求出CH，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）如图2中，由题意抛物线L2的对称轴x＝5，M（6，﹣3）．设P（5，m），分三种情形：当BP＝BM ＝3时，当PB＝PM时，当BM＝PM时，分别构建方程求解即可．【解答】解：（1）∵y＝ax2+2x+b经过B（3，0），C（0，3），∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的顶点D（1，4）；（2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．∵C（0，3），B（3，0），D（1，4），∴BC＝3，CD＝，BD＝＝2，∴BC2+CD2＝BD2，∴∠BCD＝90°，∵•CD•CB＝•BD•CH，∴CH＝＝，∵EF⊥x轴，DT⊥x轴，∴EF∥DT，∴＝＝，∴＝＝，∴BE＝m，BF＝m，∴△BFE与△DEC的面积之和S＝×（2﹣m）×+×m×m＝（m﹣）2+，∵＞0，∴S有最小值，最小值为，此时m＝，∴m＝时，△BFE与△DEC的面积之和有最小值．解法二：求两个三角形面积和的最小值，即就是求四边形OCEF面积的最大值．求出四边形OCEF的面积的最大值即可．（3）存在．理由：如图2中，由题意抛物线L2的对称轴x＝5，M（6，﹣3）．设P（5，m），当BP＝BM＝3时，22+m2＝（3）2，∴m＝±，∴P1（5，），P2（5，﹣），当PB＝PM时，22+m2＝12+（m+3）2，解得，m＝﹣1，∴P3（5，﹣1），当BM＝PM时，（3）2＝12+（m+3）2，解得，m＝﹣3±，∴P4（5，﹣3+），P5（5，﹣3﹣），综上所述，满足条件的点P的坐标为P1（5，），P2（5，﹣），P3（5，﹣1），P4（5，﹣3+），P5（5，﹣3﹣）．【例3】．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由y＝﹣x2+x+4得，A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），用待定系数法可得直线BC解析式为y＝﹣x+4，（2）过C作CG⊥PD于G，设P（m，﹣m2+m+4），可得PD＝﹣m2+m+4，DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m，而CP＝CE，CG⊥PD，即得GE＝PG＝﹣m2+m，证明△CGE∽△BOC，可得＝，即可解得P（4，6）；（3）过C作CH⊥PD于H，设P（m，﹣m2+m+4），根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，可得直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m+4，从而F（0，﹣m2﹣m+4），OF＝|﹣m2﹣m+4|，证明Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），可得∠HCE＝∠FDO，即得∠FDO＝∠CBO，tan∠FDO＝tan∠CBO，故＝，可解得m＝2﹣2或m＝4．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG ＝PD ﹣DG ＝﹣m 2+m +4﹣4＝﹣m 2+m ，∵CP ＝CE ，CG ⊥PD ，∴GE ＝PG ＝﹣m 2+m ，∵∠GCE ＝∠OBC ，∠CGE ＝90°＝∠BOC ，∴△CGE ∽△BOC ，∴＝，即＝，解得m ＝0（舍去）或m ＝4，∴P （4，6）；（3）存在点P ，使得CE ＝FD ，理由如下：过C 作CH ⊥PD 于H ，如图：设P （m ，﹣m 2+m +4），由A （﹣2，0），C （0，4）可得直线AC 解析式为y ＝2x +4，根据PF ∥AC ，设直线PF 解析式为y ＝2x +b ，将P （m ，﹣m 2+m +4）代入得：﹣m 2+m +4＝2m +b ，∴b ＝﹣m 2﹣m +4，∴直线PF 解析式为y ＝2x ﹣m 2﹣m +4，令x ＝0得y ＝﹣m 2﹣m +4，∴F （0，﹣m 2﹣m +4），∴OF ＝|﹣m 2﹣m +4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m+4＝m或﹣m2﹣m+4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．【例4】（2022•贺州）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；＝S△BCP？若存在，求出点M （3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由交点式可直接得出抛物线的解析式；（2）设P（1，m），根据PB＝PC列出方程，进而求得点P坐标；（3）作PQ∥BC交y轴于Q，作MN∥BC交y轴于N，先求出PQ的解析式，进而求得MN的解析式，进一步求得结果．【解答】解：（1）由题意得：y＝﹣（x+1）•（x﹣3），∴y＝﹣x2+2x+3；（2）设P（1，m），∵PB2＝PC2，∴（3﹣1）2+m2＝1+（m﹣3）2，∴m＝1，∴P（1，1）；（3）假设存在M点满足条件，作PQ∥BC交y轴于Q，作MN∥BC交y轴于N，∵PQ的解析式为y＝﹣x+2，∴Q（0，2），＝S△BCP，∵C（0，3），S△BCM∴N（0，4），∴直线MN的解析式为：y＝﹣x+4，由﹣x2+2x+3＝﹣x+4得，x＝，∴M点横坐标为或．1．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式得，，解得，∴这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；（2）①设BC的解析式为y＝kx+b，将B，C的坐标代入函数解析式得，，解得，∴BC的解析式为y＝x﹣3，设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，＝，当n＝时，PM最大∴线段PM的最大值；②解法一：当PM＝PC时，（﹣n2+3n）2＝n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，解得n1＝n2＝0（不符合题意，舍），n3＝2，n2﹣2n﹣3＝﹣3，P（2，﹣3）．当PM＝MC时，（﹣n2+3n）2＝n2+（n﹣3+3）2，解得n1＝0（不符合题意，舍），n2＝3﹣，n3＝3+（不符合题意，舍），n2﹣2n﹣3＝2﹣4，P（3﹣，2﹣4）．综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．解法二：当PM＝PC时，∵BC：y＝x﹣3，∴∠ABC＝45°，∵PH⊥AB，∴∠BMH＝∠CMP＝45°，∴PM＝PC时，△CPM为等腰直角三角形，CP∥x轴，设P（n，n2﹣2n﹣3），则CPMP＝﹣n2+3n，∴n＝﹣n2+3n，解得n＝0（舍去）或n＝2，∴P（2，﹣3），当PM＝CM时，设P（n，n2﹣2n﹣3），则＝﹣n2+3n，＝﹣n2+3n，∵n＞0，∴n＝﹣n2+3n，解得n＝3﹣，∴P（3﹣，2﹣4），综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．2．（2022•岚山区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P在BC上方的抛物线上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为E，交BC于点D，过点P作BC的垂线，垂足为Q，若△PQD≌△BED，求m的值；（3）如图2，将直线BC沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线MN于点D，是否存在一点P，使△BMD是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把点A和点B的坐标代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式；（2）由待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+8（0＜x＜8），设P（m，﹣m+8），则D（m，﹣m+8），E（m，0），根据全等三角形的性质列出关于m的方程可得出答案；（3）分三种情况：①当MB＝MD时，②当MB＝BD时，③当MD+BD时，由两点间的距离公式列出关于m的方程可得出答案．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8；（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8，令x＝0，y＝8，∴C（0，8），设直线BC的解析式为y＝kx+m，∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8（0＜x＜8），设P（m，﹣m+8），则D（m，﹣m+8），E（m，0），∴BD＝＝＝（8﹣m），又PD＝﹣m+8﹣（﹣m+8）＝﹣m，∵△PQD≌△BED，∴PD＝BD，∴（8﹣m）＝﹣m，解得，m1＝3，m2＝8（舍去）∴m的值为3；（3）由（2）可知直线BC的解析式为y＝﹣x+8，向下平移5个单位得到y＝﹣x+3，当y＝0时，x＝3，∴M（3，0），当x＝0时，y＝3，∴N（0，3），由题意得PD⊥MB，∵MB＝8﹣3＝5，D（m，﹣m+3），∴MD2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，BD2＝（8﹣m）2+（﹣m+3）2，若△BMD是等腰三角形，可分三种情况：①当MB＝MD时，∴（m﹣3）2+（﹣m+3）2＝25，解得m1＝3+，m2＝3﹣，②当MB＝BD时，∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝25，解得，m1＝3（舍去），m2＝8（舍去），③当MD+BD时，∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，解得，m＝5.5．综上所述，m的值为3+或3﹣或5.5时，△BMD是等腰三角形．3．（2022•淮阴区校级一模）如图，抛物线y＝2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；（3）将抛物线在BC下方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E，求点E的坐标；（4）若点N是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点M在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，直接写出直线AN的关系式．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设D（1，n），由两点间距离公式可得：BC2＝OB2+OC2＝32+62＝45，BD2＝（1﹣3）2+（n﹣0）2＝n2+4，CD2＝（0﹣1）2+（﹣6﹣n）2＝n2+12n+37，分两种情况：当∠CBD＝90°时，当∠BCD＝90°时，分别利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；（3）如图2，作△BCO关于直线BC对称的△BCG，CG交抛物线于点E′，利用三角函数和面积法可求得G（，﹣），运用待定系数法求得直线CG的解析式为y＝x﹣6，联立方程组可得E′（，﹣），再根据轴对称可求得点E的坐标；（4）由题意可知△BMN为等边三角形，分两种情况讨论：①当点N在x轴的上方时，点M在x轴上方，连接BM，RN．证出△BAM≌△BRN，可得AN垂直平分BR，则L点在直线AN上，可求出直线AN的解析式，②当点N在x轴的下方时，点M在x轴下方．同理可求出另一直线解析式．【解答】解：（1）∵抛物线y＝2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得：，∴该抛物线的表达式为y＝2x2﹣4x﹣6，∵x＝﹣＝1，∴抛物线对称轴为直线x＝1；（2）设D（1，n），∵抛物线y＝2x2﹣4x﹣6交y轴于点C，∴C（0，﹣6），∵B（3，0），∴BC2＝OB2+OC2＝32+62＝45，BD2＝（1﹣3）2+（n﹣0）2＝n2+4，CD2＝（0﹣1）2+（﹣6﹣n）2＝n2+12n+37，当∠CBD＝90°时，则BC2+BD2＝CD2，∴45+n2+4＝n2+12n+37，解得：n＝1，∴D（1，1）；当∠BCD＝90°时，则BC2+CD2＝BD2，∴45+n2+12n+37＝n2+4，解得：n＝﹣，∴D（1，﹣）；∴所有符合条件的点D的坐标为（1，1）或（1，﹣）；（3）如图2，作△BCO关于直线BC对称的△BCG，CG交抛物线于点E′，S四边形BOCG＝2S△BCO＝2××3×6＝18，在Rt△BCO中，BC＝＝＝3，∵OG⊥BC，∴×BC×OG＝18，∴OG＝，∴GH＝OG•sin∠GOH＝OG•sin∠BCO＝×＝，OH＝OG•cos∠GOH＝OG•cos∠BCO＝×＝，∴G（，﹣），设直线CG的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线CG的解析式为y＝x﹣6，∴，解得：（不符合题意，舍去），，∴E′（，﹣），∵点E与点E′关于BC对称，∴CE＝CE′，∵CE′＝＝，∴﹣6+＝﹣，∴E（0，﹣）；（4）在抛物线对称轴上取点R（1，2），连接AR、BR，设对称轴交x轴于点S，则S（1，0），∵tan∠RAS＝＝＝，∴∠RAS＝60°，∵AR＝BR，∴△ABR是等边三角形，①当点N在x轴上方时，点M在x轴上方，连接AN交对称轴于点L，连接BR，NR，AM，BL，如图3，∵△BMN，△BAR为等边三角形，∴BM＝BN，BA＝BR，∠MBN＝∠ABR＝60°，∴∠ABM＝∠RBN，∴△ABM≌△RBN（SAS），∴AM＝RN，∵点M在抛物线对称轴上，∴AM＝BM，∴RN＝BM＝BN，∴AN垂直平分BR，∴LR＝LB＝LA，设L（1，m），则LS＝m，AL＝BL＝RL＝2m，∴2m+m＝2，解得：m＝，∴L（1，），设直线AN的解析式为y＝k1x+d1，则，解得：，∴直线AN的解析式为y＝x+；②当点N在x轴下方时，点M在x轴下方，如图4，∵△BMN，△BAR为等边三角形，∴BM＝BN，BA＝BR，∠MBN＝∠ABR＝60°，∴∠ABN＝∠RBM，∴△BRM≌△BAN（SAS），∴∠BAN＝∠BRM，∵AR＝BR，RS⊥AB，∴∠BRM＝∠ARB＝30°，∴BAN＝30°，设AN与y轴交于点Q，在Rt△AOQ中，OQ＝OA•tan∠BAN＝OA•tan30°＝1×＝，∴Q（0，﹣），设直线AN的解析式为y＝k2+d2，则，解得：，∴直线AN的解析式为y＝﹣x﹣．综上所述，直线AN的解析式为y＝x+或y＝﹣x﹣．4．（2022•仁寿县模拟）如图，直线y＝kx+n（k≠0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点C，且C（﹣1，0），A（4，0）．（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）若M点为x轴上一动点，当△MAB是以AB为腰的等腰三角形时，求点M的坐标．（3）若点P是抛物线上A，B两点之间的一个动点（不与A，B重合），则是否存在一点P，使△PAB的面积最大？若存在求出△PAB的最大面积；若不存在，试说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，可得B点的坐标，将A、B两点代入直线y＝kx+n 即可得直线AB的解析式；（2）先利用勾股定理计算出AB＝4，分两种情况，根据等腰三角形的性质解答即可；（3）设P（x，﹣x2+3x+4）（0＜x＜4），过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，则D（x，﹣x+4），可得PD＝y P﹣y D＝−x2+4x，即得S△P AB＝PD•OA＝﹣2（x﹣2）2+8，根据二次函数的最值即可求解．【解答】解：（1）∵过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点C，且C（﹣1，0），A（4，0）．∴，解得，∴抛物线解析式为y＝−x2+3x+4，令x＝0，得y＝4，∴B（0，4），∵直线y＝kx+n（k≠0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；（2）如图，∵A（4，0）．B（0，4），∴AB＝＝4，①当AB＝MB时，点M与点A（4，0）关于y轴对称，故M（﹣4，0）符合题意；②当AB＝AM时，AM＝AB＝4，∴M′（4﹣4，0）、M″（，0）．综上所述，点M的坐标为（﹣4，0）或（4﹣4，0）或（4+4，0）；（3）存在，理由如下：设P（x，﹣x2+3x+4）（0＜x＜4），如图，过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，则D（x，﹣x+4），∴PD＝y P﹣y D＝（−x2+3x+4）﹣（−x+4）＝−x2+4x，＝PD•OA＝×4×[−x2+4x]＝﹣2（x﹣2）2+8，∴S△P AB∵﹣2＜0，∴当x＝2时，△PAB的面积最大，最大面积是8，∴存在点P，使△PAB的面积最大，最大面积是8．5．（2022•徐汇区模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0），点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式；（2）过P作y轴的平行线交抛物线于M，当△PBM是MP为腰的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）若顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内（不含边界），求m的取值范围．【分析】（1）先求出点B（0，3），运用待定系数法可求得抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，可求得A（﹣3，0），把点A的坐标代入y＝kx+3，即可求得直线AB的解析式为y＝x+3；（2）设P（m，m+3），且﹣3≤m≤0，则M（m，﹣m2﹣2m+3），可得PM＝﹣m2﹣3m，运用两点间距离公式可得PB＝﹣m，根据△PBM是MP为腰的等腰三角形，分两种情况：MP＝PB或MP＝MB，分别建立方程求解即可得出答案；（3）利用待定系数法可求得经过点D（﹣1，4）且平行直线AB的直线DG的解析式y＝x+5，联立，得x+5＝﹣x2﹣2x+3，可得点G的横坐标为﹣2，根据题意可知：点M必须在直线DG上方的抛物线上运动，故﹣2＜m＜﹣1．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+3交y轴于点B，∴B（0，3），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（0，3），点C（1，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，得﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），把点A的坐标代入y＝kx+3，得﹣3k+3＝0，解得：k＝1，∴直线AB的解析式为y＝x+3；（2）∵点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m，∴P（m，m+3），且﹣3≤m≤0，∵过P作y轴的平行线交抛物线于M，∴M（m，﹣m2﹣2m+3），∴PM＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，∵PB2＝（m﹣0）2+（m+3﹣3）2＝2m2，且﹣3≤m≤0，∴PB＝﹣m，∵△PBM是MP为腰的等腰三角形，B（0，3），∴MP＝PB或MP＝MB，∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO＝45°，∵PM∥OB，∴∠BPM＝45°，①当MP＝PB时，∴﹣m2﹣3m＝﹣m，解得：m＝0（舍去）或m＝﹣3+，∴P（﹣3+，）；②当MP＝MB时，则∠PBM＝∠BPM＝45°，∴∠BMP＝90°，∴BM∥x轴，即点M的纵坐标为3，∴﹣m2﹣2m+3＝3，解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣2，∴P（﹣2，1），综上所述，点P的坐标为（﹣3+，）或（﹣2，1）；（3）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的顶点D（﹣1，4），设经过点D（﹣1，4）且平行直线AB的直线DG的解析式为y＝x+n，如图2，则﹣1+n＝4，解得：n＝5，∴y＝x+5，联立，得x+5＝﹣x2﹣2x+3，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2，∴点G的横坐标为﹣2，∵顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内（不含边界），∴点M必须在直线DG上方的抛物线上运动，∴m的取值范围为：﹣2＜m＜﹣1．6．（2022•沭阳县模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）如图2，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO、AD，记△ADC的面积为S1，△AEO的面积为S2，求S1﹣S2的最大值及此时点D的坐标；（3）如图3，连接CB，并将抛物线沿射线CB方向平移2个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当△AMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标．【分析】（1）令y＝0，即可求A点坐标；（2）延长DE交x轴于点K，求出直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣3，设D（t，t2+2t﹣3），其中﹣3＜t＜0，则E（（t，﹣t﹣3），K（t，0），即可求S1﹣S2＝﹣t2﹣t﹣（t+＝﹣t2﹣6t﹣）＝﹣（t+2）2+，当t＝﹣2时，S1﹣S2取得最大值，最大值为，此时点D的坐标为（﹣2，﹣3）；（3）由题意可求抛物线向右平移2个单位长度，向上平移6个单位长度，则平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+2，可求M（0，3），设N（﹣1，n），分两种情况①当AM＝AN时，9+9＝4+n2，得到N（﹣1，）或N（﹣1，﹣）；②当AM＝MN时，9+9＝1+（3﹣n）2，得到N（﹣1，3+）或N （﹣1，3﹣）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），令y＝0，得x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为（﹣3，0）；（2）如图，延长DE交x轴于点K，∵抛物线y＝x2+2x﹣3与y轴交于点C，∴C（0，﹣3），设直线AC的函数表达式为y＝kx+n（k≠0），∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣3，设D（t，t2+2t﹣3），其中﹣3＜t＜0，∴E（（t，﹣t﹣3），K（t，0），∴DE＝﹣t2﹣3t，∵S1＝S△ADC＝DE•OA＝（﹣t2﹣3t）＝﹣t2﹣t，S 2＝S △AEO ＝EK •OA ＝（t +3）＝t +，∴S 1﹣S 2＝﹣t 2﹣t ﹣（t +＝﹣t 2﹣6t ﹣）＝﹣（t +2）2+，∴当t ＝﹣2时，S 1﹣S 2取得最大值，最大值为，此时点D 的坐标为（﹣2，﹣3）；（3）∵C （0，﹣3），B （1，0），∴＝，∵抛物线沿射线CB 方向平移2个单位长度，∴抛物线向右平移2个单位长度，向上平移6个单位长度，∴平移后的抛物线解析式为y ＝（x +1﹣2）2﹣4+6＝（x ﹣1）2+2，当x ＝0时，y ＝3，∴M （0，3），∵原抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，设N （﹣1，n ），①当AM ＝AN 时，9+9＝4+n 2，∴n ＝±，∴N （﹣1，）或N （﹣1，﹣）；②当AM ＝MN 时，9+9＝1+（3﹣n ）2，∴n ＝3+或n ＝3﹣，∴N （﹣1，3+）或N （﹣1，3﹣）；综上所述：N 点坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）．7．（2022春•北碚区校级期末）如图，已知点（0，）在抛物线C 1：y ＝x 2+bx +c 上，且该抛物线与x 轴正半轴有且只有一个交点A ，与y 轴交于点B ，点O 为坐标原点．（1）求抛物线C1的解析式；（2）抛物线C1沿射线BA的方向平移个单位得到抛物线C2，如图2，抛物线C2与x轴交于C，D 两点，与y轴交于点E，点M在抛物线C2上，且在线段ED的下方，作MN∥y轴交线段DE于点N，连接ON，记△EMD的面积为S1，△EON的面积为S2，求S1+2S2的最大值；（3）如图3，在（2）的条件下，抛物线C2的对称轴与x轴交于点F，连接EF，点P在抛物线C2上且在对称轴的右侧，满足∠PEC＝∠EFO．①直接写出P点坐标；②是否在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，若存在，请直接写出H点的坐标；若不存在请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）利用（1）的结论和已知条件求得抛物线C2的解析式，依据图象求得S1+2S2的值，利用二次函数的性质求得结论；（3）①设EP与x轴交于点H，利用相似三角形的判定与性质求得线段CH的长，得到点H的坐标，利用待定系数法解答即可；②利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得对应相等的长度即可求得结论．【解答】解：（1）∵点在抛物线C 1：y ＝x 2+bx +c 上，∴c ＝．∵该抛物线与x 轴正半轴有且只有一个交点A ，∴b ＜0，b 2﹣4××＝0．∴b ＝﹣．∴抛物线C 1的解析式为y ＝﹣x +．（2）∵y ＝﹣x +＝，又∵抛物线C 1沿射线BA 的方向平移个单位得到抛物线C 2，∴抛物线C 2的解析式为y ＝＝x +2，令x ＝0，则y ＝2，∴E （0，2）．∴OE ＝2．令y ＝0，则﹣x +2＝0，解得：x ＝1或3，∴C （1，0），D （3，0）．∴OC ＝1，OD ＝3，∴CD ＝2．∵点M 在抛物线C 2上，∴设M （m ，﹣m +2），设直线ED 的解析式为y ＝kx +n ，∴，解得：，∴直线ED 的解析式为y ＝﹣x +2．∵MN ∥y 轴交线段DE 于点N ，∴N（m，﹣m+2），∵点M在线段ED的下方，∴MN＝﹣x+2﹣（﹣m+2）＝﹣+2m，＝S△EMN+S△DMN＝×MN•OD＝﹣m2+3m，OE×m＝m，∵S△EMD∴S1+2S2＝﹣m2+2m+2m＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，∵﹣1＜0，∴当m＝2时，S1+2S2有最大值4；（3）①点P的坐标为（，），理由：设直线EP与x轴交于点G，如图，∵抛物线C2的解析式为y＝，∴抛物线的对称轴为直线x＝2∴F（2，0）．∴OF＝2．∵OC＝1，∴CF＝OF﹣OC＝1．EC＝＝＝，∵∠PEC＝∠EFO，∠PEC＝∠PEF+∠CEF，∠EFO＝∠PEF+∠G，∴∠CEF＝∠G．∵∠ECF＝∠GCE，∴△ECF∽△GCE，∴．∴CE2＝CF•CG，∴CG＝5，∴OG＝OC+CG＝6，∴G（6，0）．设直线EG的解析式为y＝ax+2，∴6a+2＝0，∴a＝﹣．∴直线EG的解析式为y＝﹣x+2，∴，解得：或，∴P（，）；②在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，理由：过点P作PG G，PH⊥x轴于点H，连接PD，如图，∵P（，），∴OK＝，PK＝，∴DK＝OK﹣OD＝，PG＝KF＝OK﹣OF＝，∴DP＝＝＜1，∵DF＝1，∴抛物线C2的对称轴上不存在点H，使得HD＝DP，HP＝PD；当HP＝HD时，设H（2，h），则HF＝h，过点P作PG⊥抛物线对称轴与点G，如图，则PG＝KF＝OK﹣OF＝，GF＝，∵HP＝HD，∴＝．∴12+h2＝+，解得：h＝，∴H（2，）．综上，在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，点H的坐标为（2，）．8．（2022•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A、B，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式；（2）点M（t，0）是x轴上的一个动点，点N是抛物线对称轴上的一个动点，当DN＝2t，△MNB的面积为时，求出点M与点N的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；＝BM•DN＝，建立方程求解即可得出答案；（2）根据S△MNB（3）由勾股定理，得：CD2＝OC2+OD2＝32+12＝10，PD2＝（m﹣1）2，CP2＝OP2+OC2＝m2+32＝m2+9，分为三种情况讨论：①当CD＝PD时，CD2＝PD2，②当CD＝CP时，CD2＝CP2，③当PC＝PD时，PC2＝PD2，分别建立方程求解即可得出答案．【解答】解：（1）对于直线y＝﹣x+3，令y＝0，即﹣x+3＝0，解得：x＝3，令x＝0，得y＝3，∴B（3，0），C（0，3），∵A为x轴负半轴上一点，且OA＝OB，∴A（﹣1，0）．将点A、B的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知：A（﹣1，0），B（3，0），D（1，0），∴BM＝|3﹣t|，∵S △MNB ＝BM •DN ＝，即•|3﹣t |•2t ＝，当t ＜3时，•（3﹣t ）•2t ＝，化简得：4t 2﹣12t +15＝0，∵Δ＝（﹣12）2﹣4×4×15＝﹣96＜0，∴方程无解；当t ＞3时，•（t ﹣3）•2t ＝，解得t 1＝，t 2＝（舍），∴DN ＝2t ＝3+2，∴点M 的坐标为（，0），点N 的坐标为（1，3+2）；（3）存在．如图2，∵点P 在x 轴上，∴设P （m ，0）．∵C （0，3），D （1，0），∴由勾股定理，得：CD 2＝OC 2+OD 2＝32+12＝10，PD 2＝（m ﹣1）2，CP 2＝OP 2+OC 2＝m 2+32＝m 2+9，分为三种情况讨论：①当CD ＝PD 时，CD 2＝PD 2，即10＝（m ﹣1）2，解得m 1＝1+，m 2＝1﹣，此时点P 的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）；②当CD ＝CP 时，CD 2＝CP 2，即10＝m 2+9，解得m 1＝﹣1，m 2＝1（不符合题意，舍去），此时点P 的坐标为（﹣1，0）；③当PC ＝PD 时，PC 2＝PD 2，即m 2+9＝（m ﹣1）2，解得m ＝﹣4，此时点P 的坐标为（﹣4，0）．综上所述，在x 轴上存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形，满足条件的点P 的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）或（﹣1，0）或（﹣4，0）．9．（2022•沈阳模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，与x轴交于A，C两点，直线BC的解析式为y＝﹣x+m．（1）求m与b的值；（2）P是直线BC上方抛物线上一动点（不与点B，C重合），连接AP交BC于点E，交OB于点F．①是否存在最大值？若存在，求出的最大值．并直接写出此时点E的坐标；若不存在，说明理由．②当△BEF为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．【分析】（1）根据二次函数求出B点坐标，将B点坐标代入一次函数求出m的值，再根据一次函数求出C点的坐标，再将C点坐标代入二次函数即可求出b的值；（2）①过点P作PG∥x轴交BC于点G，设出P点坐标，证△PEG∽△AEC，根据线段比例关系求出比值的代数式，利用二次函数的性质求最值，然后利用两直线相交得出E点坐标即可；②过点E作EM⊥y轴于点M，设出P点坐标，求出直线AP的解析式，分别用代数式表示出BE、BF、EF，然后分情况求出P点坐标即可．【解答】解：（1）∵物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，当x＝0时，y＝3，∴B（0，3），∵直线BC的解析式为y＝﹣x+m，∴m＝3，即直线BC的解析式为y＝﹣x+3，当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝4，∴C（4，0），把C点坐标代入二次函数解析式得﹣×42+b×4+3＝0，解得b＝；（2）①存在最大值，理由如下：过点P作PG∥x轴交BC于点G，由（1）得，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3，当y＝0时，﹣x2+x+3＝0，解得x＝﹣2或4，∴A（﹣2，0），B（4，0），∴OA＝2，OC＝4，AC＝6，∵P是直线BC上方抛物线上的动点（不与点B，点C重合），设P（n，﹣n2+n+3），且0＜n＜4，∴G点的纵坐标为﹣n2+n+3，又∵G点在直线BC上，∴G（n2﹣n，﹣n2+n+3），∴PG＝n﹣（n2﹣n）＝﹣n2+2n，∵PG∥x轴，∴△PEG∽△AEC，∴＝＝﹣（n﹣2）2+，∵﹣（n﹣2）2≤0，∴﹣（n﹣2）2+，即当n＝2时，，此时P（2，3），设直线AP的解析式为y＝kx+t，代入A点和P点的坐标得，解得，∴直线AP的解析式为y＝x+，联立方程组，解得，∴E（1，），即存在最大值，且的最大值为，此时E点的坐标为（1，）；②过点E作EM⊥y轴于点M，则∠BME＝∠FME＝90°，∵P是直线BC上方抛物线上的一点（不与点B，点C重合），设P（p，﹣p2+p+3），且0＜p＜4，设直线AP的解析式为y＝sx+h，把A（﹣2，0），P（p，﹣p2+p+3）代入解析式得，，解得，∴直线AP的解析式为y＝，令x＝0时，y＝，∴F（0，），∴OF＝，∵B（0，3），∴OB＝3，∴BF＝3﹣＝，联立方程组，解得，∴E（，），∵EM⊥y轴，∴EM＝，OM＝，∴MF＝OM﹣OF＝﹣＝，BM＝OB﹣OM＝3﹣＝，在Rt△MBE和Rt△FME中，根据勾股定理得，BE2＝BM2+EM2＝（）2+（）2，EF2＝MF2+EM2＝（）2+（）2，若△BEF为等腰三角形，则分以下三种情况：（Ⅰ）当BE＝BF时，则BE2＝BF2，即（）2+（）2＝（）2，解得p＝或p＝（不符合题意，舍去），此时P （，）；（Ⅱ）当BE ＝EF 时，则BE 2＝EF 2，即（）2+（）2＝（）2+（）2，解得p ＝2，此时P （2，3）；（Ⅲ）当BF ＝EF 时，则BF 2＝EF 2，即（）2＝（）2+（）2，解得p ＝，此时P （，）；综上，符合条件的P 点坐标为（，）或（2，3）或（，）．10．（2022•永昌县一模）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A （1，0），B （﹣3，0）两点，C 是抛物线与y 轴的交点，P 是该抛物线上一动点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上求一点M ，使得△MAC 是以AM 为底的等腰三角形；求出点M 的坐标．（3）设（1D ，对称轴与直线BC 交于点E ，过抛物线上的动点P 作x 轴的垂线交线段BC 于点Q ，使得D 、E 、P 、Q 四点组成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；（2）设M（﹣1，m），由题意可知CM＝CA，则1+（m﹣3）2＝1+9，即可求解；（3）求出D（﹣1，4），E（﹣1，2），设P（t，﹣t2﹣2t+3），Q（t，t+3）（﹣3≤t≤0），分三种情况讨论：①当DE为平行四边形的对角线时；②当DP为平行四边形的对角线时；③当DQ为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式即可求解．【解答】解：（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），设M（﹣1，m），∵△MAC是以AM为底的等腰三角形，∴CM＝CA，∴1+（m﹣3）2＝1+9，解得m＝0或m＝6（舍），∴M（﹣1，0）；（3）存在P点，使得D、E、P、Q四点组成的四边形是平行四边形，理由如下：由（2）知D（﹣1，4），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+3，∴E（﹣1，2），设P（t，﹣t2﹣2t+3），Q（t，t+3）（﹣3≤t≤0），①当DE为平行四边形的对角线时，，∴t＝﹣1，∴P（﹣1，4）（舍）；②当DP为平行四边形的对角线时，4﹣t2﹣2t+3＝2+t+3，解得t＝（舍）；③当DQ为平行四边形的对角线时，4+t+3＝2﹣t2﹣2t+3，解得t＝﹣1（舍）或t＝﹣2，∴P（﹣2，3）；综上所述：P点坐标为（﹣2，3）．11．（2021•无为市三模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C．（1）求抛物线的对称轴；（2）当△ABC为等边三角形时，求a的值；（3）直线l：y＝kx+b经过点A，并与抛物线交于另一点D（4，3），点P为直线l下方抛物线上一点，过点P分别作PM∥y轴交直线l于点M，PN∥x轴交直线l于点N，记W＝PM+PN，求W的最大值．【分析】（1）根据对称轴直线公式直接代入系数即可；（2）若△ABC为等边三角形，则C点的纵坐标等于AB，即可求出a值；（3）把D点代入解析式可求出抛物线解析式，A点坐标和D点坐标可确定直线解析式，设出P点坐标，分别用P点横坐标字母表示出PM和PN，利用二次函数性质求出最值即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0），∴对称轴为直线x＝﹣＝2，即对称轴为直线x＝2；（2）当y＝0时，ax2﹣4ax+3a＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴A（1，0），B（3，0），当△ABC为等边三角形时，抛物线开口向上，∴C点的横坐标为＝2，纵坐标为﹣AC•sin60°＝﹣AB•sin60°＝﹣AB＝×（3﹣1）＝﹣，即C（2，﹣），把C点坐标代入抛物线得﹣＝4a﹣8a+3a，解得a＝；（3）∵A（1，0），D（4，3）在直线y＝kx+b上，∴，解得，∴直线l的解析式为y＝x﹣1，∵抛物线过点D（4，3），∴3＝16a﹣16a+3a，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3，∵PM∥y轴交直线l于点M，PN∥x轴交直线l于点N，∴设P点坐标为（m，m2﹣4m+3），M点坐标为（m，m﹣1），∵点P与N的纵坐标相同，∴m2﹣4m+3＝x N﹣1，∴x N＝m2﹣4m+4，∴PM＝y M﹣y P＝m﹣1﹣m2+4m﹣3＝﹣m2+5m﹣4，PN＝x P﹣x N＝m﹣m2+4m﹣4＝﹣m2+5m﹣4，∴W＝PM+PN＝﹣m2+5m﹣4﹣m2+5m﹣4＝﹣2（m﹣）2+，∴当m＝时，W有最大值，最大值为．12．（2021•广东模拟）如图，抛物线y＝x2+bx﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴为直线x＝﹣，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？如果存在，请直接写出点E的坐标，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）由对称轴为直线x＝﹣＝﹣，即可求b的值；（2）A（﹣﹣2，0），B（﹣+2，0），则BA＝4，所以△ABC的面积＝×4×1＝2；（3）设E（﹣，t），分三种情况：①CD＝CE，则有3+9＝3+（t+1）2，求得E（﹣，2）；②CD＝DE，则有3+9＝（t+4）2，求得E（﹣，2﹣4）或E（﹣，﹣2﹣4）；③CE＝DE，则有3+（t+1）2＝（t+4）2，求得E（，﹣2）．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，∴b＝2，∴y＝x2+2x﹣1；（2）令x2+2x﹣1＝0，∴x＝﹣+2或x＝﹣﹣2，∴A（﹣﹣2，0），B（﹣+2，0），∴BA＝4，∴△ABC的面积＝×4×1＝2；（3）点E存在，理由如下：设E（﹣，t），由y＝x2+2x﹣1，可求C（0，﹣1），D（﹣，﹣4），△CDE为等腰三角形，分三种情况：①CD＝CE，∴3+9＝3+（t+1）2，∴t＝2或t＝﹣4，∴E（﹣，2）或E（﹣，﹣4）（舍）；②CD＝DE，3+9＝（t+4）2，∴t＝2﹣4或t＝﹣2﹣4，∴E（﹣，2﹣4）或E（﹣，﹣2﹣4）；③CE＝DE，3+（t+1）2＝（t+4）2，∴t＝﹣2，∴E（﹣，﹣2）；综上所述：得△CDE为等腰三角形时，E点坐标为（﹣，2）或（﹣，2﹣4）或（﹣，﹣2﹣4）或（﹣，﹣2）．13.（2021•建华区二模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；＝；（2）设该抛物线的顶点为点H S△BCH（3）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME 长的最大值及点M的坐标；（4）在（3）的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．。

一、考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题 2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。

这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。

一解决此类题目的基本步骤与思路 1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3. 根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。

例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。

注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。

4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。

5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。

6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K 字形相似去处理。

二、二次函数问题中三角形面积最值问题 （一）例题演示1. 如图，已知抛物线(2)(4)y a x x =+-(a 为常数，且a ＞0)与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线33y x b =+与抛物线的另一交点为D ，且点D 的横坐标为﹣5．(1)求抛物线的函数表达式；(2)P 为直线BD 下方的抛物线上的一点，连接PD 、PB , 求△PBD 面积的最大值．解答：(1)抛物线(2)(4)y a x x =+-令y ＝0，解得x ＝－2或x ＝4， ∴A (－2，0)，B (4，0)． ∵直线3-3y x b =+经过点B(4，0)，∴3-4=03b ⨯+，解得43=3b ， ∴直线BD 解析式为：343-33y x =+当x ＝－5时，y ＝33，∴D (－5，33)∵点D(－5，33)在抛物线(2)(4)y a x x =+-上， ∴(-52)(-54)=33a +-，∴39a =． ∴抛物线的函数表达式为：2332383(2)(4)=9999y x x x x =+---． (2)设P (m ,232383999m m --) ∴2134323839(3)()233999BPD S m m m ⎡⎤=⨯-+---⎢⎥⎣⎦△ 233=+10322m m --23181=()+3228m -+ ∴△BPD 面积的最大值为8138．DBO A yxC【试题精炼】2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y ax ax a =--（0>a ）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），经过点A 的直线l ：y kx b =+与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且4CD AC =． （1）直接写出点A 的坐标，并用含a 的式子表示直线l 的函数表达式（其中k 、b 用含a 的式子表示）. （2）点E 为直线l 下方抛物线上一点，当△ADE 的面积的最大值为425时，求抛物线的函数表达式；解答：1）A （－1，0）∵CD ＝4AC ，∴点D 的横坐标为4 ∴a y D 5=，∴)5,4a D （. ∴直线l 的函数表达式为y ＝ax ＋a （2）过点E 作EH ∥y 轴，交直线l 于点H 设E （x ，ax 2－2ax －3a ），则H （x ，ax ＋a ）.∴a ax ax a ax ax a ax HE 43)32()(22++-=---+=yx lBC DAOEFH∴a x a a ax ax S S S DEH AEH ADE 8125)23(25)43(2522+--=++-=+=△△△. ∴△ADE 的面积的最大值为a 8125，∴4258125=a ，解得52=a .∴抛物线的函数表达式为5654522--=x x y .【中考链接】3.如图，直线l ：y =﹣3x +3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y =ax 2﹣2ax +a +4（a ＜0）经过点B ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值；解答：（1）令x =0代入y =﹣3x +3，∴y =3，∴B （0，3）， 把B （0，3）代入y =ax 2﹣2ax +a +4，∴3=a +4， ∴a =﹣1，∴二次函数解析式为：y =﹣x 2+2x +3； （2）令y =0代入y =﹣x 2+2x +3， ∴0=﹣x 2+2x +3，∴x =﹣1或3，∴抛物线与x 轴的交点横坐标为﹣1和3，∴S=DM•BE+DM•OE=DM（BE+OE）=DM•OB=××3==（m﹣）2+∵0＜m＜3，∴当m=时，S有最大值，最大值为；二、二次函数问题中直角三角形问题（一）例题演示如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．解答：（1）依题意得：1203ba abc c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为223y x x =--+.把B （3-，0）、C （0，3）分别代入直线y =mx +n ，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解得13m n =⎧⎨=⎩，∴直线y =mx +n 的解析式为y =x +3； （2）设P （1-，t ）， 又∵B （－3，0），C （0，3），∴BC 2=18，PB 2=（1-+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（1-）2+（t －3）2=t 2-6t +10， ①若点B 为直角顶点，则BC 2+PB 2=PC 2即：18+4+t 2=t 2－6t +10解得：t =2-； ②若点C 为直角顶点，则BC 2+PC 2=PB 2即：18+t 2－6t +10=4+t 2解得：t =4， ③若点P 为直角顶点，则PB 2+PC 2=BC 2即：4+t 2+t 2－6t +10=18解得：13172t +=，23172t -=.综上所述P 的坐标为（1-，2-）或（1-，4）或（1-，3172+） 或（1-，3172-）．【试题精炼】 如图，二次函数（其中a ，m 是常数，且a>0，m>0）的图象与x 轴分别交于点A ，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）)求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.【解析】试题分析：（1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根据，CD∥AB，求点D的坐标，由△ADM∽△AEN,对应边成比例，将求的比转化成求比，结果不含m即为定值.（3）连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G..过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt △FGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m 表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得AD∶GF∶AE=3∶4∶5，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G的横坐标.试题解析：解：（1）将C（0，-3）代入函数表达式得，，∴.（2）证明：如答图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N.由解得x1=－m，x2=3m．∴A(－m，0)，B(3m，0). ∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，－3）．∵AB平分∠DAE．∴∠DAM=∠EAN．∵∠DMA=∠ENA=900，∴△ADM∽△AEN, ∴.设点E的坐标为（x,）,∴,∴x=4m.∴为定值.（3）存在，如答图2，连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m，-4），过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中,∵tan∠CGO＝, tan∠FGH＝, ∴=．∴OG="3m,"由勾股定理得，GF=，AD=∴.由（2）得，，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5．∴以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.考点：1.二次函数综合题；2.定值和直角三角形存在性问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.二次函数的性质；5.勾股定理和逆定理；6相似三角形的判定和性质；7.锐角三角函数定义.【中考链接】如图所示，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为（－1，0）．B点在抛物线y＝12x2＋12x－2的图像上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点的横坐标为－3．(1)求BC所在直线的函数关系式．(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解答：（1）∵C点坐标为（-1,0），∴BD=CO=1．∵B点的横坐标为-3，∴B点坐标为（-3,1）设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，则有，解得∴BC所在直线的函数关系式为y=x．（2）①若以为AC直角边，点C为直角顶点，如图所示，作CP1⊥AC，因为BC⊥AC，所以点P1为直线BC与对称轴直线的交点，即点P1的横坐标为-。

专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。

【解题思路】等腰三角形的存在性问题【方法1 几何法】“两圆一线”（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．注意：若有重合的情况，则需排除．以点C1 为例，具体求点坐标：过点A作AH⊥x轴交x轴于点H，则AH=1，又32121131311==-=∴=HC AC ，()03211，坐标为故点-C类似可求点 C 2 、C 3、C 4 ．关于点 C 5 考虑另一种方法．【方法2 代数法】点-线-方程表示点：设点C 5坐标为(m ,0)，又A （1,1）、B （4,3），表示线段：11-m 225+=）（AC 94-m 225+=）（BC 联立方程：914-m 1-m 22+=+）（）（，623m =解得：，），坐标为（故点06232C总结：【典例分析】【考点1 等腰角形的存在性】【典例1】（2020•泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A （﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．【变式11】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC 于点Q．（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-2】（2022•荣昌区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c （a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线y＝ax2+x+c沿射线BC平移，B，C的对应点分别为M，N，当以点A，M，N为顶点的三角形是以MN为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【典例2】（2020•贵港）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC 交于点M，连接PC．当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【变式2-1】（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【变式2-1】（2021•大渡口区自主招生）如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B 两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。

等腰直角三角形与二次函数综合等腰直角三角形与二次函数综合：一、等腰直角三角形的概念1、定义：等腰直角三角形是指有三条直角的三角形，三角形的三条边都是相等的，角度分别为90°、45°、45°。

2、构造：等腰直角三角形一般都用穿孔牌、直尺和圆规，先将所要构造等腰三角形的直角点标定在牌上，再用直尺在其它两点上把水平线和斜线各画出一条，之后再穿孔后，在孔上接上转角尺，将它的测好的角度画出来，就可以得到等腰直角三角形了。

3、性质：两边相等，另一边90°；任意一内角为45°；外接圆为半圆；中央角度是钝角；其角平分线两根等长；边长比其他边和它的半周长的比值为2：1；高等于底；腰等于斜边。

二、二次函数的概念1、定义：二次函数指的是一元二次方程。

它由一个变量的一次、二次项和一个不定系数组成。

2、标准式：二次函数的标准式为：y=ax^2+bx+c3、图像：直线、曲线，如抛物线、圆、双曲线等。

三、等腰直角三角形与二次函数的综合1、应用实例：当等腰直角三角形的高就等于该等腰三角形对应的二次函数y=ax^2+bx+c的变量x时，那么可以写成 a*x^2+b*x+c=x,代入后会得出a+b=1、2c=1-b，这样就可以求出这个二次函数的解。

2、绘制及特性：等腰直角三角形与二次函数的综合，给出了一个由等腰直角三角形组成的二次函数图像，表现为y轴和x轴之间的一个对称曲线，抛物线可分为上凸曲线和下凹曲线，其中上凸曲线的二次项为正，下凹曲线的二次项为负，曲线的性质也不相同，其实现实中一般都是上凸曲线。

3、在实际应用中，等腰直角三角形和二次函数都被广泛应用于数学、物理和技术等诸多领域，如计算力学中的运动、电力学中的容性模型、工程设计中的三维运动等，还有各种求解运动轨迹的场合也会使用到等腰直角三角形和二次函数的综合。

二次函数与等腰三角形问题等腰三角形呢？它看起来就像一座小山，两个边相等，真是让人觉得稳重又对称。

这个三角形的顶点高高在上，像个小王子，下面的两个底角，就像是守护他的骑士，坚守着自己的位置，毫不动摇。

哎，说到这里，大家是不是都能想象出那种优雅的姿态了呢？二次函数和等腰三角形的相遇，就像是命运的安排，前者的优雅与后者的对称，简直是一对绝配。

有趣的是，当我们把二次函数的图像和等腰三角形结合起来，就像是一幅美丽的画卷，充满了数学的魅力。

想象一下，抛物线的顶点恰好就是三角形的顶点，这样的安排让人感觉特别神奇。

是不是有点像情人之间的默契？只要稍微调整一下二次函数的参数，哇，三角形的高度就能随之变化。

就像我们生活中的小调整，有时候只需要一点点变化，结果就会大不相同。

咱们可以探讨一下这个结合的实际应用。

比如，在建筑设计中，很多时候需要用到等腰三角形的形状，这个形状不仅美观，而且结构稳固。

而二次函数的图像，往往用于表示一些物理现象，比如抛物线运动，这可让我们的设计更有依据。

就像给设计加了一层“保险”，让整个建筑更加稳当，这样的结合是不是很棒呢？在学校的课堂上，老师们常常会用这些问题来启发我们的思维，像是在引导我们走向一条新的道路。

通过这些问题，我们不仅学会了数学的知识，也锻炼了自己的逻辑思维能力，真是一举两得。

说到这里，不知道大家有没有想过，等腰三角形的对称性会如何影响二次函数的图像呢？是不是有点让人想入非非？这个问题还有更深层次的内涵。

每当我们在纸上画出那个抛物线，心里总会有一种成就感，仿佛自己正在创造一件艺术品。

等腰三角形则给我们带来了平衡与美感，真是相辅相成。

你知道吗？数学不仅仅是冰冷的数字和公式，它也可以是生活中的一种美，一种哲学。

最终，二次函数和等腰三角形的结合，不仅让我们在学习中乐在其中，也教会了我们在生活中寻找平衡的重要性。

人生就像一条抛物线，起起落落，曲曲折折；而那些等腰三角形的瞬间，正是我们努力追求的稳固与和谐。

专题：二次函数中等腰三角形存在性问题类型一、等腰三角形存在性问题以(,)A A A x y 、(,)B B B x y 为三角形的边，在x 轴上找一点P 使得△PAB 为等腰三角形（二定一动）一.找法：画圆和作垂直平分线①以A 为圆心，线段AB 为半径画圆，与x 轴交点即为1P 、2P 点；（AB=AP ）②以B 为圆心，线段AB 为半径画圆，与x 轴交点即为3P 、4P 点；（AB=BP ）③作线段AB 的垂直平分线，与x 轴交点即为5P 点；（AP=BP ）二、算法：利用两点距离公式进行计算 公式：22()()A B A B AB x x y y =-+- ，设(,)p p P x y ，分三种情况：①AB=AP 时 2222()()()()A B A B A P A P x x y y x x y y -+-=-+-可得1P 、2P ，（特殊情况可能是一个点，例如2P 与B 重合）②AB=BP 时2222()()()()A B A B B P B P x x y y x x y y -+-=-+-可得3P 、4P ，（特殊情况可能是一个点，例如3P 与A 重合）③AP=BP 时2222()()()()A P A P B P B P x x y y x x y y -+-=-+-可得5P 、例题1、如图，已知二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于点A 、B 两点，其中A 点坐标为（-3,0），与y 轴交于点C ，点D （-2，-3）在抛物线上.（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上是否存在动点Q ，使得△BCQ 为等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.1、（2021·云南九年级一模）如图所示，抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()1,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点M 是线段OB 上不与点O 、B 重合的点，过点M 作DM x ⊥轴，交抛物线于点D ，交BC 于点E ．（1）求抛物线的表达式；（2）过点D 作DF BC ⊥，垂足为点F ．设M 点的坐标为(),0M m ，请用含m 的代数式表示线段DF 的长，并求出当m 为何值时DF 有最大值，最大值是多少？（3）试探究是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．2、（八中2020级初三第三次月考）如图在平面直角坐标系中，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于A （-4,0），B （1,0），交y 轴于C （0,3）（1）求此抛物线解析式；（2）如图1，点P 为直线AC 上方抛物线上一点，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，再过点Q 作QR//AC 交y 轴于点R ，求PQ+QR 的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，点E 在抛物线上，横坐标为-3，连接AE ，将线段AE 沿直线AC 平移，得到线段''A E ，连接'CE ，当△''A E C 为等腰三角形时，只写写出点'A 的坐标。

二次函数综合题——等腰三角形假设我们要解决的问题是：已知一个等腰三角形的顶角是60度，底边长为10cm，求这个等腰三角形的面积。

首先，我们要找到这个等腰三角形的高。

由于等腰三角形的两个底角相等，且和为180度，所以每个底角都是(180-60)/2=60度。

因此，这个等腰三角形可以看作是一个以底边为底，两腰边等长，且夹角为60度的三角形。

接下来，我们用二次函数来描述这个等腰三角形的两腰边的关系。

设等腰三角形的两腰边的长度分别为x和y，则根据三角恒等式，我们可以得到以下关系：x^2=y^2+(10/2)^2x=y将第一个等式代入第二个等式，得到：y^2=y^2+250=25这个等式无解，意味着我们的假设不成立，这个等腰三角形不存在。

所以，我们无法求出这个等腰三角形的面积。

但是，我们可以继续讨论二次函数和等腰三角形的关系。

假设我们要求的是一个更一般的等腰三角形，顶角为θ，底边长为a。

同样地，我们可以找到等腰三角形的高，设为h。

由于等腰三角形的两个底角相等，且和为180度，所以每个底角都是(180-θ)/2=θ/2度。

因此，这个等腰三角形可以看作是一个以底边为底，两腰边等长，且夹角为θ/2度的三角形。

同样地，我们用二次函数来描述这个等腰三角形的两腰边的关系。

设等腰三角形的两腰边的长度分别为x和y，则根据三角恒等式，我们可以得到以下关系：x^2=y^2+(a/2)^2x=y将第一个等式代入第二个等式，得到：y^2=y^2+a^2/40=a^2/4这个等式只有一个解y=0，意味着当底边长为0时，等腰三角形不存在。

所以，我们不能得到一个退化的等腰三角形（即底边长为0）的面积。

综上所述，要求一个等腰三角形的面积，我们需要确保它存在。

当顶角为60度时，底边长为10cm的等腰三角形不存在，因此我们无法求出这个等腰三角形的面积。

但是，我们可以在一般情况下求解等腰三角形的面积。

当我们已知等腰三角形的底边长a和顶角θ时，可以根据等腰三角形的性质，将底边平分找到等腰三角形的高，再利用三角形的面积公式求解。

专题13函数与等腰三角形综合问题【例1】在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C．（1）求抛物线的对称轴；（2）当△ABC为等边三角形时，求a的值；（3）直线l：y＝kx+b经过点A，并与抛物线交于另一点D（4，3），点P为直线l下方抛物线上一点，过点P分别作PM∥y轴交直线l于点M，PN∥x轴交直线l于点N，记W＝PM+PN，求W的最大值．【例2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与轴交于C（0，﹣1）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AC，BC，过O点的直线l∥BC，点E，D分别为直线l和抛物线上的点，试探究第一象限是否存在这样的点E，D，使△BDE为等腰直角三角形？若存在，请求出所有的E点的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）求b、c的值．（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【例4】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【例5】如图1，平面直角坐标系xOy中，A（4，3），反比例函数y=kx（k＞0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于E、F两点（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合．（1）AE＝（用含有k的代数式表示）；（2）如图2，当点D恰好落在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长度；（3）若折叠后，△ABD是等腰三角形，求此时点D的坐标．1．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（4，﹣4），B（﹣2，m），交y轴于点C（0，﹣4）．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接AB，AD，点E是线段AB上的一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F．（1）求二次函数y＝x2+bx+c的表达式；（2）判断△ABD的形状，并说明理由；（3）在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时AG与BD 的数量关系，并求出点E的坐标；（4）点H是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得∠EPF＝90°的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．在x轴上有一动点E （m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．3．如图，已知抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处．求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．4．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：y＝a（x﹣）2+与x轴交于点A（﹣，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求抛物线F1的表达式；（2）如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC．①求点D的坐标；②判断△BCD的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E（4，a），抛物线的顶点为点Q，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求直线CE的解析式．（2）如图2，P为直线CE下方抛物线上一动点，直线CE与x轴交于点F，连接PF，PC．当△PCF的面积最大时，求点P的坐标及△PCF面积的最大值．（3）如图3，连接CD，将（1）中抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点H，在直线QH上是否存在点G，使得△DQG为等腰三角形？若存在，求出点G的坐标．6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．9．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y 轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q．（1）如图1，连接AC，BC．若点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴交BC于点E，作PF⊥BC于点F，过点B作BG∥AC交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH，HK．当△PEF的周长最大时，求PH+HK+KG的最小值及点H的坐标．（2）如图2，将抛物线沿射线AC方向平移，当抛物线经过原点O时停止平移，此时抛物线顶点记为D′，N为直线DQ上一点，连接点D′，C，N，△D′CN能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B 三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标；②当△OPC为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．11．如图，开口向上的抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且AC⊥BC，其中x1，x2是方程x2+3x﹣4＝0的两个根．（1）求点C的坐标，并求出抛物线的表达式；（2）垂直于线段BC的直线l交x轴于点D，交线段BC于点E，连接CD，求△CDE的面积的最大值及此时点D的坐标；（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PDE是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．抛物线y ＝ax 2+bx +3过点A （﹣1，0），点B （3，0），顶点为C ．（1）求抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）如图1，点P 在抛物线上，连接CP 并延长交x 轴于点D ，连接AC ，若△DAC 是以AC 为底的等腰三角形，求点P 的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点E 是线段AC 上（与点A ，C 不重合）的动点，连接PE ，作∠PEF ＝∠CAB ，边EF 交x 轴于点F ，设点F 的横坐标为m ，求m 的取值范围．13．如图，直线y ＝﹣x +4与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点P 以每秒√2个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N ，连接MN 交BC 于点Q ，当MQ NQ =12时，求t 的值； （3）如图②，连接AM 交BC 于点D ，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN 有最大值，最大值是多少？15．如图，在直角坐标系xOy中，反比例函数y=1x（x＞0）的图象与直线y＝kx+b交于点A（m，2）、B（4，n）．连接OA、OB．（1）求直线y＝kx+b的解析式；（2）若点C是y轴上的点，当△AOC为等腰三角形时，请直接写出点C的坐标；（3）求△AOB的面积．16．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y=√33x的图象上运动（不与O重合），连接AP．过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．（1）求线段AP长度的取值范围；（2）试问：点P运动的过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．（3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．17．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和C（0，94），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）若点P在抛物线上，且S△PBDS△CBD=m，试确定满足条件的点P的个数．18．如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．19．如图：一次函数y=−34x+3的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数y=−34x+3（0＜x＜4）图象上任意一点，过点P作PM⊥y轴于点M，连接OP．（1）当AP为何值时，△OPM的面积最大？并求出最大值；（2）当△BOP为等腰三角形时，试确定点P的坐标．20．已知一次函数y＝﹣3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C（3，0）．（1）如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y 轴于点F．①求点E的坐标；②△AOB与△FOD是否全等，请说明理由；（2）如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P 的坐标．。

专题复习：二次函数中等腰三角形的存在性问题教学目标：1. 通过题组训练，理解等腰三角形的性质，掌握分类讨论及其基本的作图方法.2. 掌握二次函数中等腰三角形存在性问题的解题思路及解题方法.3. 通过综合题提高运算能力、分析问题与解决问题的能力，养成良好的思维习惯，熟悉中考压轴题结构，把握答题规范.4. 感悟数学内容本质，积累思维经验，体会分类讨论、数形结合、转化化归和方程建模等数学思想.教学重点：掌握二次函数中等腰三角形存在性问题的解题思路及解题方法. 教学难点：运用转化与化归的数学思想，把复杂问题化解为几个基础问题，基本图形，形成解决压轴题的一种解题策略。

教学过程：一、知识与方法回顾(预习完成)1. 知识梳理：等腰三角形的性质与判定.2. 如图1，若△ABC 是等腰三角形时，三边存在哪几种情况?怎样分类？(明理)3. 如图2，已知线段AB 和直线 l ，在直线l 上存在一点P ，使△P AB 是等腰三角形？如何确定点P 的位置. 思考：为什么这样画？依据是什么？【方法小结】1. 若一个三角形是等腰三角形，没有明确给出底边和腰，则需要进行分类讨论.2. 以线段AB 为边的等腰三角形构造方法如上图所示（基本图形）. 等腰三角形的另一个顶点在线段AB 的垂直平分线上，或以点A 、点B 为圆心，AB 长为半径的圆周上（不与线段AB 共线）.二、基础训练训练1：如图3，在平面直角坐标系中，点D 的坐标为(3,4)P 是x 轴正半轴上的一个动点，若以P ，O ，D 为顶点的三角形是等腰三角形，求点P 的坐标.【思路分析】1．学生审题，思考，尝试解题，展示解法；2．思路分析，回答以下问题：图3 图1 C A B A B A l（1）题目中的定点、动点分别是什么？求什么？联想曾经学过解决类似问题的方法.（2）要求点P 的坐标，只需求什么？（点P 的横坐标即求线段OP 的长）（3）这时点P 的位置有几种情况？画出点P 的位置，写出每种情况中相等的线段.（4）观察所画的点P 的位置，哪种情况可以直接求得OP 的长？理由是什么？（5）当PO =PD 时，如何求OP 的长？求线段长度的常用方法有哪些？怎样转化？怎样构造“基本图形”求解？请思考，讨论.（开放性问题，解法多样.）【解题分析】 1. 第（1）、（2）种情况计算较易，由学生独立完成.2．重点研究：当PO =PD 时，求OP 的长. 怎样想？为什么这样想？思路1：根据PO =PD ，列方程求解. 关键是用参数（设未知数）的代数式表示相关动线的长度. 用到知识“两点间距离公式”.思路2：根据Rt △DEP 中，DE 2+EP 2=PD 2，列方程求解. 关键设EP =t ，则DP =3+t . 思路3：用相似或三角函数求解. 作PF ⊥OD 于点F ，OF =25，ODOE OP OF =. 思路4：用直线与x 轴交点求解. 作PF ⊥OD 于点F ，设直线PF 的解析式为：b x y +-=43，F (23,2)，易求得82543+-=x y ，所以P (625,2). 用到k 1×k 2=-13．学生的解题思路、答题情况展示、点评与小结.点评：解法1、2的思路特点是设未知量，建立方程求解；解法3几何推理（相似或三角函数），计算；解法4用函数与方程思路求解. 相对而言，解法1思路更为简明、直接，易理解，解题步骤简单，具有一定通用性，但有时计算量较大.【题后反思】学生感悟，方法规律总结。

专题06二次函数与等腰直角三角形问题二次函数与等腰直角三角形的相结合的综合问题，是中考数学压轴题中比较常见的一种，涉及到的知识点有：等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、斜边的中线、全等三角形与相似三角形、角平分线、方程与函数模型、函数的基本性质等。

等腰直角三角形与二次函数综合问题常见的有三种类型：两定一动探索直角三角形问题；一定两动探索等腰直角三角形问题；三动探索等腰直角三角形问题；常见的思路中，不管是哪种类型的等腰直角三角形三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角，解决的思路是通过构造K型全等或相似图来列方程解决。

在Rt△ACB和Rt△BEF中，若∠A=∠EBF，则△ACB∽BFE，则AC BF=AB BE=BC EF;若Rt△ACB和Rt△BEF是等腰直角三角形，则AC BF=AB BE=BC EF=1.【例1】（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【例3】（2022•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B （0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．①求m的值．②以PA为边作等腰直角三角形PAQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．1．（2022•石狮市模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴正半轴交于点C，点P为该抛物线在第一象限内的点．当点P为该抛物线顶点时，△ABP为等腰直角三角形．（1）求该抛物线的解析式；（2）过点P作PD⊥x轴于点E，交△ABP的外接圆于点D，求点D的纵坐标；（3）直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，求的值．2．（2022•福建模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C（2，﹣4）在抛物线上，且△ABC是等腰直角三角形．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（2，0）的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．3．（2022•碑林区校级四模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．（1）若抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标．4．（2021秋•福清市期末）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2经过（2，2），且顶点在y轴上．（1）求抛物线解析式；（2）直线y＝kx+c与抛物线交于A，B两点．①点P在抛物线上，当k＝0，且△ABP为等腰直角三角形时，求c的值；②设直线y＝kx+c交x轴于点M（m，0），线段AB的垂直平分线交y轴于点N，当c＝1，m＞6时，求点N 纵坐标n的取值范围．5．（2022•集美区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线T：y＝a（x+4）（x﹣m）与x轴交于A，B两点，m ＞﹣3，点B在点A的右侧，抛物线T的顶点为记为P．（1）求点A和点B的坐标；（用含m的代数式表示）（2）若a＝m+3，且△ABP为等腰直角三角形，求抛物线T的解析式；（3）将抛物线T进行平移得到抛物线T'，抛物线T'与x轴交于点B，C（4，0），抛物线T'的顶点记为Q．若0＜a＜，且点C在点B的右侧，是否存在直线AP与CQ垂直的情形？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．6．（2022•城厢区模拟）抛物线y2﹣（m+3）x+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（不与点O重合）．（1）若点A在x轴的负半轴上，且△OBC为等腰直角三角形．①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在一点D，使得点O为△BCD的外心，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．（2）点P在抛物线对称轴上，且点P的纵坐标为﹣9，将直线PC向下平移n（1≤n≤4）个单位长度得到直线P′C′，若直线P′C′与抛物线有且只有一个交点，求△ABC面积的取值范围．7．（2022•将乐县模拟）抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣有唯一的公共点A，与直线y＝交于点B，C（C 在B的右侧），且△ABC是等腰直角三角形．过C作x轴的垂线，垂足为D（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y＝2x与抛物线的交点为P，Q，且P在Q的左侧．（ⅰ）求P，Q两点的坐标；（ⅱ）设直线y＝2x+m（m＞0）与抛物线的交点为M，N，求证：直线PM，QN，CD交于一点．8．（2022•赣州模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3（x≤3）的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c），记为L．将L沿直线x＝3翻折得到“部分抛物线”K，点A，C的对应点分别为点A'，C'．（1）求a，b，c的值；（2）画出“部分抛物线”K的图象，并求出它的解析式；（3）某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若直线y＝m和图形“W”只有两个交点M，N（点M在点N的左侧）．①直接写出m的取值范围；②若△MNB为等腰直角三角形，求m的值．9．（2022•琼海二模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣4），求出此时△AFP面积的最大值；（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2022•虹口区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，联结BC交抛物线的对称轴l于点E．（1）求抛物线的表达式；＝S△CDB，求点P的坐标；（2）联结CD、BD，点P是射线DE上的一点，如果S△PDB（3）点M是线段BE上的一点，点N是对称轴l右侧抛物线上的一点，如果△EMN是以EM为腰的等腰直角三角形，求点M的坐标．11．（2022•顺城区模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2022•襄城区模拟）抛物线y＝x2﹣（m+3）x+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）如图1，若点A在x轴的负半轴上，△OBC为等腰直角三角形，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，点D（﹣2，5）是抛物线上一点，点M为直线BC下方抛物线上一动点，令四边形BDCM 的面积为S，求S的最大值及此时点M的坐标；（3）若点P是抛物线对称轴上一点，且点P的纵坐标为﹣9，作直线PC，将直线PC向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线P'C'，若直线P'C'与抛物线有且仅有一个交点．①直接写出n关于m的函数关系式；②直接写出当1≤n≤5时m的取值范围．13．（2022•山西二模）综合与探究如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且A，B两点的坐标分别是A（﹣2，0），B（8，0）．点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作直线l⊥x轴，交直线AC于点G，交直线BC于点H．（1）求抛物线的函数表达式及点C的坐标．（2）如果点D是抛物线的顶点，点P在点C和点D之间运动时，试判断在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得△NGH是等腰直角三角形，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．（3）试探究在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2022•长沙模拟）已知抛物线C1：y＝mx2+n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值；（3）如图，若点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．15．（2022•永川区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4x+c与直线AB相交于点A（0，1）和点B（3，4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）设C为直线AB上方的抛物线上一点，连接AC，BC，以AC，BC为邻边作平行四边形ACBP，求四边形ACBP面积的最大值；（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2022•兴城市一模）如图，抛物线与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点C（0，﹣3），连接AC，BC，点E是对称轴上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；＝2S△ABC时，求点E的坐标；（2）当S△BCE（3）在抛物线上是否存在点P，使△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2021•昆明模拟）已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）过点（﹣1，0）与（0，﹣3）．直线y＝x﹣6交x轴、y轴分别于点A、B．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上的任意一点．连接PA，PB，使得△PAB的面积最小，求△PAB的面积最小时，P的横坐标；（3）作直线x＝t分别与抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）和直线y＝x﹣6交于点E，F，点C是抛物线对称轴上的任意点，若△CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，求点C的纵坐标．18（2021•新泰市一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．已知点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD．（1）求这个抛物线的表达式．（2）点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．（3）①点M在平面内，当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点M的坐标；②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，求出满足条件的所有点N的坐标．19.（2021•广安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）求b、c的值．（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20.（2021•上海）已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；的坐标．②若C在抛物线上，求C21。