湘教版八年级数学直角三角形单元测试卷

第一章 直角三角形单元测试题（时限：100分钟 总分：100分）班级 姓名 总分一、 选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分)1.下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是 ( )A. 4，5，6B.1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，232.一个正方形的面积为216cm ，则它的对角线长为 ( )A. 4 cmB.6cm3如图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，且PD ＝PE ，则△APD 与△APE 全等的理由是（ ）A ．SAS B.AASC. SSSD.HL4. 三角形内到三边的距离相等的点是（ ）A. 三条中线的交点B. 三条高的交点C. 三条角平分线的交点D. 以上均不对第3题5. 如果梯子的底端离建筑物5 米，13 米长的梯子可以达到该建筑物的高度是( )A . 12 米 B. 13 米 C. 14 米D. 15 米6. 等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为( )A.43B.3C. 23D.37. 如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2等于( )第7题A．315° B．270°C．180° D．135°8. 在△ABC中，∠C＝90°，角平分线AD交BC于点D，若BC＝32，BD∶CD＝9∶7，则D点到AB边的距离为（）A . 18 B. 16 C. 14 D. 12二、填空题(本题共8小题，每小题4分，共32分)9. 已知△ABC的三边长分别为1，3，2，则△ABC是D三角形.CAB10. 等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为 . 11. 如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的周长 是 .12. 在直角三角形中，两锐角之比为2:1，则两锐角的度数分别为 ．13. 如图，以Rt △ABC 的三边向外作正方形，其面积分别为1S ，2S ，3S 且14S =，28S =，则3S = ；以Rt ∆ABC 的三边向外作等边三角形，其面积分别为 1S ，2S ，3S ， 则1S ，2S ，3S 三者之间的关系为 .14. 如图，△ABC 中，∠C =90°，点D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，且AE=EB ，DE=DC ，则∠B 的度数为 ．15. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，BD =3.5，BC =6，则△ABC 的周长是 ．16. 如图，在△ABC 中，∠A =90，BD 是角平分线，若AD =m ，BC =n ，则△BDC 的面积为 ．A第11题三、解答题(本题共5小题，共36分) 17.（本小题满分7分）如图，90C ∠=︒，AC =3，BC =4，AD =12，BD =13，试判断△ABD 的形状，并说明理由.18. （本小题满分7分）如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 且交AC 于D ，若AP 平分∠BAC 交BD 于点P ，求∠APB 的度数.ABCDE第16题19. （本小题满分7分）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC. 过点C作一条射线CE ⊥AE于点E，再过点B作BD⊥CE于点D. 试证明AE=BD+DE.20.（本小题满分7分）如图，一个梯子AB长10 米，顶端A靠在墙上的AC上，这时梯子下端B与墙角c距离为6 米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为1 米，求梯子顶端A下落了多少米？（精确到0.01 )121.（本小题满分8分）D B小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，若已知AC ，求CD的长.参考答案第一章 直角三角形一、选择题：1.B ；2.B ；3. D ；4.C ；5.A ；6.B ；7.B ；8 C. 二、填空题：9. 直角； 10. 16； 11. 12. 30︒，60︒； 13. 12；S1+S 2=S 3 14. 30︒ ； 15. 20.5或12+16. mn DE BC S ABC 2121=⨯⨯=∆.三、解答题：17. △ABD 为直角三角形. 理由如下：90C ∠=︒，AC =3，BC =4，5AB ∴=.22251213+=,222AB AD BD ∴+=. 90BAD ∴∠=︒.18. 135APB ∠=︒.19. 利用“AAS ”判定△ACE ≌△CBD ，,AE CD CE BD ∴==.AE CD CE DE BD DE ∴==+=+.20. 梯子顶端A 下落了0.86米. 21. 2．。

初中数学试卷直角三角形单元测试基础部分：1、完全平方公式及平方差公式(4分）2、三角形的性质：①有一个角是②两个锐角③④3、直角三角形的判定：①②(4分）4、Rt△ABC 中，CD是斜边上AB的中线：①三条相等的线段为②∠1与∠2的关系为(4分）5、勾股定理及逆定理(4分）6、300直角三角形性质定理及逆定理(4分）ADBC127、据勾股定理填空： (4分）32+ =52 (122+162 = ) 52+ =132 ( +242 = )82+152 = （162+30= ) 12 + =22 （a 2+(3 a) 2 = )8、在Rt △ABC 中，∠A=300 ， ∠ACB=900 ，AD 是AB 边上的中线，则该图中相等的线段有 ； 等边三角形是 。

(2分） 9、在Rt △ABC 中，BC=3 ，AC=4，∠ACB=900 ，AD 是AB 边上的中线， (5分）①S △ADC = S △BDC = 。

②用两种方法求斜边AB 上的高CH 的长。

10、HL 定理(2分） 11、角平分线性质定理及逆定理(4分）12、一直角三角形两直角边为3、4，则第三边长为 。

(2分） 13、一直角三角形两边长为3、4，则第三边长为 。

(2分） 14、请证明：全等三角形中对应边上的高相等. (4分）ACB15、一架木梯长25米，斜靠在墙上，底端离墙角7米。

(5分）（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）若梯子顶端沿墙面下滑4米，则梯子在水平方向滑动了几米？16、将下题完成: (5分)在△ABC中，AD⊥BC于D,AD与BE交于H，且解：∵AD⊥BC∴= =90°在Rt△BHD与Rt△ADC中，= （两直角边相等）DCAA′B B′= （两斜边相等） Rt △BHD ≌Rt △ADC （ ）∴ = （全等三角形对应边相等） 即Rt △ABD 是等腰直角三角形。

∴∠ABC= 。

17、在△ABC 中， ∠C=90°， AC=BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E,若AB=6，(6分） ①求S △ABC ②求L △DEB提高部分：一选择：（10×3分）1．下列命题中，是假命题的是 （ ） A ．直角三角形中两锐角互余B ．若三角形三边长之比为1∶3∶2，则这个三角形中的最大角的度数是90° C. 在△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶1∶2，则其各角所对边长比为1∶1∶2D ．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等2.“如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等”ABD C的依据是（）。

湘教版2017—2018学年八年级数学下学期第一章直角三角形单元测试题（时限：100分钟总分：100分）班级姓名总分一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分)1.下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是( )C. 6，8，11D.A. 4，5，6B.1，15，12，232.一个正方形的面积为216cm，则它的对角线长为( )C.cmA. 4 cmB.D. 6cm3如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD＝PE，则△APD与△APE全等的理由是（）A．SAS B.AASC. SSSD.HL4. 三角形内到三边的距离相等的点是（）A. 三条中线的交点B. 三条高的交点C.三条角平分线的交点D. 以上均不对5. 如果梯子的底端离建筑物5 米，13 米长的梯子可以达到该建筑物的高度是( )A . 12 米 B. 13 米 C. 14 米D. 15 米6. 等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为( )C.A.D. 37. 如图，已知△ABC为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2等于( )A．315°B．270°C．180°D．135°8. 在△ABC 中，∠C ＝90°，角平分线AD 交BC 于点D ，若BC ＝32，BD ∶CD ＝9∶7，则D 点到AB 边的距离为（）A . 18 B. 16 C. 14D. 12二、 填空题(本题共8小题，每小题4分，共32分)9. 已知△ABC 的三边长分别为12，则△ABC是三角形.10. 等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为. 11. 如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的周长是.12.在直角三角形中，两锐角之比为2:1，则两锐角的度数分别为．13. 如图，以Rt △ABC 的三边向外作正方形，其面积分别为1S ，2S ，3S 且14S =，28S =， 则3S =；以Rt ∆ABC 的三边向A 第11题外作等边三角形，其面积分别为S，2S，3S，1则S，2S，3S三者之间的关系为.114. 如图，△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，DE⊥AB于E，且AE=EB，DE=DC，则∠B的度数为．15. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，BD=3.5，BC=6，则△ABC的周长是．16. 如图，在△ABC中，∠A=90，BD是角平分线，若AD=m，BC=n，则△BDC的面积为．三、解答题(本题共5小题，共36分)17.（本小题满分7分）如图，90∠=︒，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断C△ABD的形状，并说明理由.18. （本小题满分7分）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC且交AC于D，若AP平分∠BAC交BD于点P，求∠APB的度数.19.（本小题满分7分）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC. 过点C作一条射线CE⊥AE于点E，再过点B作BD⊥CE于点D. 试证明AE=BD+DE.20.（本小题满分7分）如图，一个梯子AB长10 米，顶端A靠在墙上的AC上，这时梯子下端B与墙角c距离为6 米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为1 米，求梯子顶端A下落了多少米？（精确到0.01 )1 21.（本小题满分8分）小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，若已知AC CD的长.参考答案第一章直角三角形一、 选择题：1.B ；2.B ；3. D ；4.C ；5.A ；6.B ；7.B ；8 C.二、填空题：9. 直角； 10. 16； 11.12.30︒，60︒； 13. 12；S1+S 2=S 3 14. 30︒； 15. 20.5或12+16. mn DE BC S ABC 2121=⨯⨯=∆.三、解答题：17.△ABD 为直角三角形. 理由如下： 90C ∠=︒，AC=3，BC=4，5AB ∴=.22251213+=,222AB AD BD ∴+=. 90BAD ∴∠=︒.18. 135APB ∠=︒.19. 利用“AAS ”判定△ACE ≌△CBD ， ,AE CD CE BD ∴==.AE CD CE DE BD DE ∴==+=+.20.梯子顶端A 下落了0.86米.21. 2．。

八年级下册第一单元测试时量：90分钟 满分：120分姓名 班级一、选择题（每小题3分，且每题只有一个正确答案，共36分）1. 如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2等于（ ） A ．270° B ．135° C ．90° D ．315°2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，斜边AB 的长为2 cm ，则AC 长为（ ）A ．4 cmB ．2 cmC ．1 cm D. 12cm3. 边长为2的等边三角形的内有一点O ，那么O 到三角形各边的距离之和为（ ）A ．3B ．23C ．2D ．43 4. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB 的平分线AD 交BC 于点D ，BC ＝8，BD ＝5，那么点D 到AB 的距离是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．65. 如图，EA ⊥AB ，BC ⊥AB ，EA =AB =2BC ，D 为AB 中点，有以下结论：①DE =AC ；②DE ⊥AC ；③∠CAB =30°；④∠EAF =∠ADE . 其中正确的结论个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46. 如图，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，能使△ABD ≌△ACD 的条件是（ ） A ．AB ＝AC B ．∠BAC ＝90°C ．BD ＝ACD ．∠B ＝45°7. 在直角三角形ABC 中，斜边72=AB ，则222AC BC AB ++的值是（ ）A. 7B. 14C. 21D. 498. 小东想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m ，当他把绳子的下端拉开8m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ）AB9. 如右图，长方形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则 这个点表示的实数是（ ） A.2.5B.22C.3D.510. 如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ） A.90° B.60° C.45°D.30°11. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点 12. 如图，已知Rt △ABC 的两直角边AC =5，BC =12，D 是BC 上一点，AD 是∠BAC 的平分线，则CD 的长为（ ）A.310 B. 38C.311D. 3 二、填空题（每小题4分，共24分）13. 如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是AC 的中点．若DE ＝5，则AB 的长为________．14. 腰长为5，一条高为415. 如右图，直线l 为5和11，则b 16. 如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB =30°，有以下结论：①AF ⊥BC ；②△ADG ≌△ACF ；③O 为BC 的中点. 其中正确的序号是 . 17. 如右图，△ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若AB =AC =5，BC =6，则AP+BP+CP 的最小值为 . 18. 顶角为150°，腰长为20的等腰三角形面积为 . C B三、解答题（共60分）19.（本小题8分）按要求用尺规作图：如图所示，在△ABC 内部，求作一点D ，使得D 点到AB 边和BC 边的距离相等，并且到B 点和C 点距离也相等.（不要求写作法，但必须保留作图痕迹）20.（本小题8分）如右图，△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接BD ，求BD 的长.21.（本小题8分）如图，上午8时，一条轮船从海岛A 出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B 处，从A 、B 望灯塔C ，测得∠NAC ＝30°，∠NBC ＝60°，问以同样的速度继续前行，则上午何时轮船与灯塔C 距离最近．22.（本小题8分）如图，AC ⊥CB ，DB ⊥CB ，AB ＝DC ．求证：∠ABD ＝∠ACD ．B23.（本小题8分）如图所示，AD ∥BC ，AB=BD=BC =2，CD =1，求AC 的长.24.（本小题10分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 是BC 边的中点，BF ∥AC ，EF ∥AB ，EF ＝4 cm . （1）求∠F 的度数； （2）求AB 的长．25.（本小题10分）已知：如图，△ABC 是边长3cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动．设点P 的运动时间为t （s ），则当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？A。

湘教版初二数学下册《直角三角形》单元试卷检测练习及答案解析一、选择题1、已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm2、如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M、C两点间的距离为（）A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km（第2题图）（第3题图）3、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=2cm，求AB的长（）A．4 B．6 C．8 D．104、在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列判断错误的是( )A．如果∠C－∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形B．如果a2＋c2＝b2，则△ABC不是直角三角形C．如果（c-a）(c+a)＝b2，则△ABC是直角三角形D．如果∠A∶∠B∶∠C＝5∶2∶3，则△ABC是直角三角形5、如图，△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，∠B=30°，若BD=4，则BC=（）A．5 B．6 C．7 D．8（第5题图）（第6题图）（第8题图）6、如图，△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于点E，且AC=7cm，则DE+BD等于（）A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm7、到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（）.A．三条中线交点B．三条角平分线交点C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线交点8、如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为15，AB=6，DE=3，则AC的长是( )A．8 B．6 C．5 D．4二、填空题9、如图，Rt△ABC中∠ABC=90°，D为斜边AC的中点，AC=20cm，则BD= cm．（第9题图）（第11题图）（第12题图）10、在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=60°，BC=3，那么∠A= ，AB= ．11、如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于______．12、如图△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,CD=4,则点D到AB的距离为________.13、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=2cm，则AB= cm．（第13题图）（第14题图）（第15题图）（第16题图）14、如图，在Rt△ABC中，各边的长度如图所示，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，则点D到AB的距离是__．15、如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC="3" cm，那么=_________。

八年级下册第一单元测试时量：90分钟 满分：120分姓名 班级一、选择题（每小题3分，且每题只有一个正确答案，共36分）1. 如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2等于（ ） A ．270° B ．135° C ．90° D ．315°2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，斜边AB 的长为2 cm ，则AC 长为（ ）A ．4 cmB ．2 cmC ．1 cm D. 12cm3. 边长为2的等边三角形的内有一点O ，那么O 到三角形各边的距离之和为（ ）A ．3B ．23C ．2D ．43 4. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB 的平分线AD 交BC 于点D ，BC ＝8，BD ＝5，那么点D 到AB 的距离是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．65. 如图，EA ⊥AB ，BC ⊥AB ，EA =AB =2BC ，D 为AB 中点，有以下结论：①DE =AC ；②DE ⊥AC ；③∠CAB =30°；④∠EAF =∠ADE . 其中正确的结论个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46. 如图，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，能使△ABD ≌△ACD 的条件是（ ） A ．AB ＝AC B ．∠BAC ＝90°C ．BD ＝ACD ．∠B ＝45°7. 在直角三角形ABC 中，斜边72=AB ，则222AC BC AB ++的值是（ ）A. 7B. 14C. 21D. 498. 小东想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m ，当他把绳子的下端拉开8m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ）AB9. 如右图，长方形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则 这个点表示的实数是（ ） A.2.5B.22C.3D.510. 如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ） A.90° B.60° C.45°D.30°11. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点 12. 如图，已知Rt △ABC 的两直角边AC =5，BC =12，D 是BC 上一点，AD 是∠BAC 的平分线，则CD 的长为（ ）A.310 B. 38C.311D. 3 二、填空题（每小题4分，共24分）13. 如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是AC 的中点．若DE ＝5，则AB 的长为________．14. 腰长为5，一条高为415. 如右图，直线l 为5和11，则b 16. 如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB =30°，有以下结论：①AF ⊥BC ；②△ADG ≌△ACF ；③O 为BC 的中点. 其中正确的序号是 . 17. 如右图，△ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若AB =AC =5，BC =6，则AP+BP+CP 的最小值为 . 18. 顶角为150°，腰长为20的等腰三角形面积为 . C B三、解答题（共60分）19.（本小题8分）按要求用尺规作图：如图所示，在△ABC 内部，求作一点D ，使得D 点到AB 边和BC 边的距离相等，并且到B 点和C 点距离也相等.（不要求写作法，但必须保留作图痕迹）20.（本小题8分）如右图，△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接BD ，求BD 的长.21.（本小题8分）如图，上午8时，一条轮船从海岛A 出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B 处，从A 、B 望灯塔C ，测得∠NAC ＝30°，∠NBC ＝60°，问以同样的速度继续前行，则上午何时轮船与灯塔C 距离最近．22.（本小题8分）如图，AC ⊥CB ，DB ⊥CB ，AB ＝DC ．求证：∠ABD ＝∠ACD ．B23.（本小题8分）如图所示，AD ∥BC ，AB=BD=BC =2，CD =1，求AC 的长.24.（本小题10分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 是BC 边的中点，BF ∥AC ，EF ∥AB ，EF ＝4 cm . （1）求∠F 的度数； （2）求AB 的长．25.（本小题10分）已知：如图，△ABC 是边长3cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动．设点P 的运动时间为t （s ），则当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？A。

第1章直角三角形一、选择题(每小题3分，共24分)1．如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B都是格点，则线段AB的长度为( )图1A．5 B．6 C．7 D．252．如图2，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则下列结论不正确的是( )图2A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，其中的一个锐角为30°，最短边的长为5 cm，则最长边上的中线长为( )A．5 cm B．15 cm C．10 cm D．2.5 cm4．以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是( )A．8，15，17 B．11，60，61 C．2，3，4 D．7，24，255．若△ABC的三边长分别为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则△ABC是( ) A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．无法判断6．如图3，直线AB，CD相交于点O，PE⊥CD于点E，PF⊥AB于点F.若PE＝PF，∠AOC＝50°，则∠AOP的度数为( )图3A．65° B．60° C．40° D．30°7．如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，∠BCD＝20°，则∠ACE的度数为( )图4A．20° B．30° C．45° D．60°8．有一长、宽、高分别为5 cm，4 cm，3 cm的木箱，在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计)，要求木条不能露出木箱．请你算一算，能放入的细木条的最大长度是( )A.41 cmB.34 cm C．5 2 cm D．5 3 cm二、填空题(每小题4分，共24分)9．若直角三角形的一个锐角为25°，则另一个锐角等于________°.10．如图5，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，O是BD的中点，且OA＝5 cm，那么OC的长等于________ cm.图511．如图6，△ABC是等边三角形，AB＝4 cm，则BC边上的高AD等于________ cm.图612．在△ABC和△MNP中，已知AB＝MN，∠A＝∠M＝90°.如果直接用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△MNP，那么应添加的条件是________．13．如图7，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC.若AD＝6，则CD＝________．图714．如图8，在△ABC中，BC＝18，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F，G分别为BC，DE的中点．若ED＝10，则FG的长为________．图8三、解答题(共52分)15．(12分)将一副三角尺(在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，在Rt △DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°)按图9所示摆放，D为AB的中点，DE交AC 于点P，DF经过点C.求∠ADE的度数．图916．(12分)如图10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E.若AC＝6，BC＝8，CD＝3.(1)求DE的长；(2)求△ADB的面积．图1017．(14分)交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图11，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点O，B，使得OP⊥l，OP＝100米，∠PBO ＝45°.测得某轿车在公路l上由点B向点A匀速行驶所用时间为3秒，并测得∠APO＝60°.已知此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速，并说明理由．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图1118．(14分)如图12，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.(1)若点B，C在DE的同侧(如图①所示)且AD＝CE，求证：AB⊥AC.(2)若点B，C在DE的两侧(如图②所示)，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．图121．A 2.D 3.A 4.C 5.A 6.A7．A [解析] ∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.∵∠BCD＝20°，∴∠B＝90°－∠BCD＝70°.同理∠A＝20°.∵∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，∴CE＝AE，∴∠ACE＝∠A＝20°.故选A.8．C 9.65 10.5 11.2 3 12.BC＝NP13．3 [解析] 由∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，可知∠A＝30°，∠ABD＝∠DBC＝30°，所以∠A＝∠ABD，所以AD＝BD＝6.在Rt△BDC中，∠DBC ＝30°，DB＝6，所以CD＝3.14．2 14 [解析] 如图，连接EF，DF.∵BD⊥AC，CE⊥AB，F是BC的中点，∴在Rt△CEB中，EF＝12 BC.在Rt△BDC中，DF＝12 BC，∴EF＝DF＝9，∴△EFD为等腰三角形．又∵G是DE的中点，∴FG是等腰三角形EFD的中线，∴FG⊥DE，EG＝DG＝5.在Rt△GDF中，FG＝DF2－DG2＝92－52＝2 14. 15．解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AD＝BD＝12 AB，∴∠ACD＝∠A＝30°，∴∠ADC＝180°－30°×2＝120°，∴∠ADE＝∠ADC－∠EDF＝120°－90°＝30°. 16．解：(1)∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC⊥CD.又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DE＝CD.又∵CD＝3，∴DE＝3.(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10，∴S△ADB＝12AB·DE＝12×10×3＝15.17．解：此车超速．理由：∵∠POB＝90°，∠PBO＝45°，∴△POB是等腰直角三角形，∴OB＝OP＝100米．∵∠APO＝60°，∴∠OAP＝30°，∴AP＝2OP＝200米，∴OA＝2002－1002≈173(米)，∴AB＝OA－OB≈73米，73÷3≈24(米/秒)≈86千米/时＞80千米/时，∴此车超速．18．解：(1)证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠CEA＝90°.在Rt△ABD和Rt△CAE中，∵AB＝AC，AD＝CE，∴Rt△ABD≌Rt△CAE，∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC.∵∠EAC＋∠ECA＝90°，∴∠EAC＋∠DAB＝90°，∴∠BAC＝180°－(∠DAB＋∠EAC)＝90°，∴AB⊥AC.(2)AB与AC仍垂直．证明：同(1)可得Rt△ABD≌Rt△CAE，∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC.∵∠EAC＋∠ECA＝90°，∴∠EAC＋∠DAB＝90°，即∠BAC＝90°，∴AB⊥AC.。

八年级数学《直角三角形》单元测试题总分：100分；时间：70分钟；姓名： 得分： ；一、选择题（4分×8＝32分）1.Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=54° ，则∠A=（ ） A.66° B.36° C.56° D.46°2.以下四组数中，不是勾股数的是（ ）A.3，4，5B.5，13，12C.2,5,7D.8，15，17 3. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A ）13 （B ）8 （C ）25 （D ）64 4. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） （A ）25（B ）14（C ）7（D ）7或255.已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ） A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6．如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2等于( )A ．270°B ．135°C ．90°D ． 315°7.在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD ⊥AB 于D,AB=a ,则DB 等于( )A.2a B.3a C.4aD.以上结果都不对 8.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，将△ABC折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 等于( ) A.254 cm B.223 cm C.74 cm D.53 cm4米3米二、填空题（4分×8＝32分）9.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，CD ＝4 cm ，则AB ＝_______cm.。

10、直角三角形中一个锐角为30°,斜边和最小的边的和为12cm,则斜边长为 .11.∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________.12. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长_________.13.如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下树尖部分与树根距离为4米，这棵大树原来的高度为__________米。

第一章直角三角形单元检测试题一、选择题 ( 本大题共10 小题 )1. 若是三角形中一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形2.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB， CD， EF， GH四条线段，其中能组成一个直角三角形三边的一组线段是 ()， EF，GH B.AB ， EF，， CF， EF D.GH ， AB， CD3. 若一个三角形的三边长为6，8， x，则此三角形是直角三角形时，x 的值是（）A． 8 B． 10 C． 2 D． 10 或 24. 满足以下条件的△ABC，不是直角三角形的是 ( )(A)b 2=c2-a 2(B)a ∶ b∶ c=3∶ 4∶ 5(C)∠ C=∠ A-∠ B(D)∠ A∶∠ B∶∠ C=12∶ 13∶155. 以下长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A． 4， 5， 6 B． 2，3， 4 C． 1， 1，D． 1，2， 26. 以下说法中正确的选项是（）A．已知 a， b， c 是三角形的三边长，则a2+b2=c2B．在直角三角形中，两边长和的平方等于第三边长的平方C．在 Rt△ABC中，若∠ C=90°，则三角形对应的三边满足a2+b2=c2 D．在 Rt△ABC中，若∠ A=90°，则三角形对应的三边满足a2+b2=c27. 如图，在△ ABC中，AD是△ ABC中∠ BAC的均分线，且 BD＞ DC，则以下说法中正确的选项是 ( )A.点 D到 AB边的距离大于点 D 到 AC边的距离B.点 D到 AB边的距离等于点 D 到 AC边的距离C.点 D到 AB边的距离小于点 D 到 AC边的距离D.点 D到 AB边的距离与点 D到 AC边的距离大小关系不确定8.如图，已知在△ ABC 中， CD是 AB 边上的高线， BE 均分∠ ABC，交 CD于点 E， BC＝5， DE ＝ 2，则△ BCE的面积等于（）A． 10B． 7C．5 D ． 49.在△ ABC中，∠ BAC=90°，AB=3，AC=4，AD均分∠ BAC交BC于D，则BD的长为（）A．B．C．D．10.如图，已知点 P 到 AE， AD，BC的距离相等，以下说法：①点 P 在∠ BAC的均分线上；②点P 在∠ CBE的均分线上；③点 P 在∠ BCD的均分线上；④点 P 在∠ BAC，∠ CBE，∠ BCD的平分线的交点上．其中正确的选项是（）A．①②③④B．①②③C．④D．②③二、填空题 ( 本大题共8 小题 )11.如图，AC⊥ CE，AD=BE=13，BC=5，DE=7，则AC=．12. 已知一个直角三角形斜边上的中线长为6cm，那么这个直角三角形的斜边长为cm．13.如图，一棵树在一次强台风中于离地面 4 米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为米．14.如图，在Rt△ABC中，∠ ACB=90°， D是 AB的中点， CD=5cm，则 AB=cm．15. 生活经验表示：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙约为梯子长度的13时，则梯子比较稳定．现有一长度为9 m 的梯子，当梯子牢固摆放时，它的顶端能到达8.5 m 高的墙头吗？________( 填“能”或“不能够” ) ．16.已知：如图， GB＝ FC， D、E 是 BC上两点，且 BD＝ CE，作 GE⊥BC， FD⊥BC，分别与 BA、CA的延长线交于点G， F，则 GE和 FD. 的数量关系式。

湘教版八年级数学下册《第一章直角三角形》测试卷-带参考答案一、选择题(每题3分，共30分)1.下列各组数中，以它们为边长能构成直角三角形的是()A.1，3，4B.2，3，4C.1，1，√3D.5，12，132.如图，已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，EG⊥EF于点E，∠AEF＝40°，则∠EGF的度数是()(第2题)A.40°B.45°C.50°D.60°3.如图，在4×3的正方形网格中，标记格点A，B，C，D，且每个小正方形的边长都是1，下列选项中的线段长度为√13的是()(第3题)A.线段ABB.线段BCC.线段CDD.线段AD4.(母题：教材P16习题T2)在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边.下列条件中，不能得出△ABC是直角三角形的是()A.b2＝a2－c2B.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5C.∠C＝∠A－∠BD.a∶b∶c＝1∶√3∶√25.如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AC，交AB于点D，E是垂足，连接CD.若BD＝1，则AC的长是()(第5题)A.2√3B.2C.4√3D.46.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∠BCD＞∠CBD，BC＝24，P，Q分别是BD，BC上的动点，当CP＋PQ取得最小值时，BQ的长是()(第6题)A.8B.10C.12D.167.若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋｜a2＋b2－c2｜＝0，则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.无法确定8.如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝√3，则△AOB 与△BOC的面积之和为()(第8题)A.√34B.√32C.3√34D.√39.如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P.若PM＝PC，则AM的长为()(第9题)A.3(√3－1)B.3(3√3－2)C.6(√3－1)D.6(3√3－2)10.“春节”是我国最重要的传统节日，在春节期间有很多习俗，贴对联、剪窗花、挂彩灯、吃饺子、守岁、放鞭炮等，为了增添节日的气氛，某同学家买了一串长52 cm的彩灯，按如图方式(从A绕到B)缠绕在圆柱体的柱子上，且柱子的底面周长为10 cm，则柱子高()(第10题)A.2√651 cmB.√69 cmC.12 cmD.48 cm二、填空题(每题3分，共24分)11.如图，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的平分线，若∠BPC＝130°，则∠A＝.(第11题)12.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为.(第12题)13.如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB于点M，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为.(第13题)14.已知直角三角形的两边长分别为3和4，则此三角形的周长为.15.如图所示的象棋棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为.(第15题)16.七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图)，由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为dm2.(第16题)17.如图，边长为2的等边三角形ABC的两个顶点A，B分别在两条射线OM，ON 上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是.(第17题)18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，P是HI上一点，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝16，S2＝25，则四边形ACBP的面积等于.(第18题)三、解答题(19～22题每题10分，23题12分，24题14分，共66分)19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，CD＝3.(1)求DE的长；(2)若AC＝6，BC＝8，求△ADB的面积.20.(母题：教材P16习题T2)如图，在边长为1的小正方形组成的网格图中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列问题：(1)求△ABC的周长；(2)试判断△ABC的形状.21.海绵城市是新一代城市雨洪管理概念，下雨时吸水、蓄水、渗水、净水，需要时将蓄存的水释放并加以利用.某市是全国首批16个海绵城市建设试点城市之一，其中位于梦溪路与滨水路交界处的海绵主题公园，既是周边汇水区雨洪管理的一个有机模块，也是立体化展示海绵技术的科普公园，园区内有一块下沉式绿地(四边形ABCD，如图)，经测量，AB∥CD，AB＝BC＝20米，∠B＝60°，∠D＝45°，求该绿地的周长(结果保留根号).22.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB 于点E.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数.23.如图，学习了勾股定理后，数学兴趣小组的小红和小明对离教室不远的一个直角三角形空地斜边上的高进行了探究：两人在直角边AB上距离直角顶点B为9米远的点D处同时开始测量，点C为终点，小明沿D→B→C的路径测得所经过的路程为18米，小红沿D→A→C的路径测得所经过的路程为18米，这时小明说：“我能求出这个直角三角形空地斜边上的高了.”小红说：“我也知道怎么求出这个直角三角形空地斜边上的高了.”你能求出这个直角三角形空地斜边上的高吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由.24.如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB＋BD.(1)写出AB与BD的数量关系；(2)延长BC到点E，使CE＝BC，延长DC到点F，使CF＝DC，连接EF，求证：EF⊥AB；(3)在(2)的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH.答案一、1.D 2.C3.B 【点拨】由题意得AB＝√12＋22＝√5，BC＝√22＋32＝√13，CD＝√12＋12＝√2，AD＝√12＋32＝√10，故选B.4.B 【点拨】根据三角形内角和等于180°判断B，C；根据勾股定理的逆定理判断A，D，即可得出答案.5.A6.C 【点拨】作点Q关于BD的对称点H，易知点H在直线AB上，连接PH，则PQ＝PH，BH＝BQ，∴CP＋PQ＝CP＋PH，∴当C，H，P三点在同一直线BC 上，且CH⊥AB时，CP＋PQ＝CH为最短.易得此时∠BCH＝30°，∴BH＝12×24＝12，∴BQ＝12.故选C.＝127.C8.C9.C 【点拨】∵四边形ABCD是边长为6的正方形∴AD＝CD＝6，∠ADC＝90°，∠ADM＝∠CDM＝45°.又∵DM＝DM∴△ADM≌△CDM(SAS)∴∠DAM＝∠DCM.∵PM＝PC，∴∠CMP＝∠DCM∴∠APD＝∠CMP＋∠DCM＝2∠DCM＝2∠DAM.又∵∠APD＋∠DAM＝180°－∠ADC＝90°∴∠DAM＝30°.设PD＝x，则AP＝2PD＝2x，PM＝PC＝CD－PD＝6－x∴AD＝√AP2－PD2＝√3x＝6，解得x＝2√3∴PM＝6－x＝6－2√3，AP＝2x＝4√3∴AM＝AP－PM＝4√3－(6－2√3)＝6(√3－1).10.D二、11.80°【点拨】∵∠BPC＝130°∴∠CBP＋∠BCP＝180°－∠BPC＝50°.∵BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的平分线∴∠ABC＝2∠CBP，∠ACB＝2∠BCP∴∠ABC＋∠ACB＝2(∠CBP＋∠BCP)＝100°∴∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝80°.12.4 【点拨】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°.∵BC＝6，∴BD＝CD＝3.在Rt△ABD中，根据勾股定理得AD＝√AB2－BD2＝√52－32＝4.13.314.12或7＋√715.√2【点拨】如图，第一步到①，第二步到②.故走两步后的落点与出发点间的最短距离为√12＋12＝√2.16.2 【点拨】如图所示AD＝2√2 dm依题意，得OD＝√22OD＝√2 dm.OE＝12∴阴影部分的面积为OE2＝(√2)2＝2(dm2).17.1＋√3【点拨】取AB中点D，连接OD，DC∴OC≤OD＋DC，当O，D，C三点共线时，OC有最大值，最大值是OD＋CD.∵△ABC为边长为2的等边三角形，点D为AB中点∴AB＝BC＝2，BD＝1，CD⊥AB∴CD＝√BC2－BD2＝√3.∵△AOB 为直角三角形，点D 为斜边AB 的中点 ∴OD ＝12AB ＝1，∴OD ＋CD ＝1＋√3 即OC 的最大值为1＋√3.18.18.5 【点拨】∵正方形ACDE 和正方形AHIB 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝16，S 2＝25∴AC ＝4，AB ＝5.易得正方形CBGF 的面积＝CB 2＝AB 2－AC 2＝25－16＝9，∴BC ＝3.∴四边形ACBP 的面积＝S △ABC ＋S △ABP ＝12×3×4＋12×5×5＝18.5.三、19.【解】(1)∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于点E ，∴DE ＝CD .∵CD ＝3，∴DE ＝CD ＝3.(2)∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8 ∴AB ＝√62＋82＝10. ∵由(1)知，DE ＝CD ＝3∴S △ABD ＝12AB ·DE ＝12×10×3＝15.20.【解】(1)∵AB ＝√22＋12＝√5，AC ＝√22＋42＝2√5，BC ＝√32＋42＝5，∴AB ＋AC ＋BC ＝√5＋2√5＋5＝3√5＋5，即△ABC 的周长为3√5＋5. (2)∵AB 2＋AC 2＝(√5)2＋(2√5)2＝25，BC 2＝52＝25，∴AB 2＋AC 2＝BC 2. ∴△ABC 是直角三角形.21.【解】连接AC ，过点A 作AE ⊥CD ，垂足为点E ，如图.∵AB ＝BC ＝20米，∠B ＝60° ∴△ABC 是等边三角形. ∴AC ＝AB ＝20米，∠BAC ＝60°. ∵AB ∥CD∴∠ACE ＝∠BAC ＝60°.又∵∠AEC ＝90°，∴∠CAE ＝30°.∴CE ＝12AC ＝10米.∴AE ＝√AC 2－CE 2＝10√3米.∵∠AED ＝90°，∠D ＝45°，∴∠EAD ＝45°. ∴DE ＝AE ＝10√3米.由勾股定理得AD ＝√AE 2＋DE 2＝10√6米. ∴该绿地的周长＝AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝20＋20＋10＋10√3＋10√6 ＝50＋10√3＋10√6(米).22.(1)【证明】∵∠ABC 的平分线交AC 于点D ∴∠ABD ＝∠CBD .∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠CBD . ∴∠EBD ＝∠EDB .∴BE ＝DE .(2)【解】∵∠A ＝80°，∠C ＝40°，∴∠ABC ＝60°. ∵∠ABC 的平分线交AC 于点D ∴∠ABD ＝∠CBD ＝12∠ABC ＝30°. 由(1)知∠BDE ＝∠EBD ，∴∠BDE ＝30°. 23.【解】能.设BC ＝a 米，AC ＝b 米，AD ＝x 米，斜边AC 上的高为h 米，则9＋a ＝x ＋b ＝18，∴a ＝9，b ＝18－x .在Rt △ABC 中，由勾股定理得(9＋x )2＋a 2＝b 2 ∴(9＋x )2＋92＝(18－x )2，解得x ＝3，即AD ＝3米. ∴AB ＝AD ＋DB ＝3＋9＝12(米)，AC ＝15米. ∴12×9×12＝12×15h ，解得h ＝365.答：这个直角三角形空地斜边上的高为365米. 24.(1)【解】∵∠A ＝90°，AB ＝AC ，∴BC ＝√2AB . ∵BC ＝AB ＋BD ，∴√2AB ＝AB ＋BD 即(√2－1)AB ＝BD .第 11 页 共 11 (2)【证明】如图①，∵CE ＝BC ，∠2＝∠1，CF ＝DC ，∴△CEF ≌△CBD①∴∠E ＝∠DBC ，∴EF ∥BD ，∵BD ⊥AB ，∴EF ⊥AB .(3)【证明】如图②，延长BA ，EF 交于点M ，延长CH 交ME 于点G .②∵EF ⊥AB ，AC ⊥AB∴ME ∥AC ，∴∠CGE ＝∠ACG .∵CH 是∠ACE 的平分线∴∠ACG ＝∠ECG ，∴∠CGE ＝∠ECG∴EG ＝EC ＝BC ＝AB ＋BD .∵△CBD ≌△CEF∴EF ＝BD ，∴EG ＝AB ＋BD ＝AC ＋EF即FG ＋EF ＝AC ＋EF ，∴AC ＝FG .在△AHC 和△FHG 中{∠ACH ＝∠FGH∠AHC ＝∠FHG AC ＝FG∴△AHC ≌△FHG (AAS)∴AH ＝HF.。